资源简介

(共62张PPT)
§1.2　常用逻辑用语
第一章　集合、常用逻辑用语、不等式
1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、
性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系.
2.理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定.
考试要求
内容索引
第一部分
第二部分
第三部分
落实主干知识
探究核心题型
课时精练
落实主干知识
第
一
部
分
1.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p q，则p是q的 条件，q是p的 条件
p是q的 条件 p q且q p
p是q的 条件 p q且q p
p是q的 条件 p q
p是q的 条件 p q且q p
充分
必要
充分不必要
必要不充分
充要
既不充分也不必要
2.全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示.
(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示.


3.全称量词命题和存在量词命题
名称 全称量词命题 存在量词命题
结构 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立
简记 ____________ ____________
否定 x∈M，綈p(x) ______________
x∈M，p(x)
x∈M，p(x)
x∈M，綈p(x)
1.充分、必要条件与对应集合之间的关系
设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}.
(1)若p是q的充分条件，则A B；
(2)若p是q的充分不必要条件，则A?B；
(3)若p是q的必要不充分条件，则B?A；
(4)若p是q的充要条件，则A＝B.
2.含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”.
3.命题p与p的否定的真假性相反.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)p是q的充分不必要条件等价于q是p的必要不充分条件.(　　)
(2)“三角形的内角和为180°”是全称量词命题.(　　)
(3)已知集合A，B，A∪B＝A∩B的充要条件是A＝B.(　　)
√
√
√
×
1.命题“ x∈R，ex－1≥x”的否定是
A. x∈R，ex－1≥x B. x∈R，ex－1≤x
C. x∈R，ex－1√
由题意得命题“ x∈R，ex－1≥x”的否定是“ x∈R，ex－12.(多选)下列命题中为真命题的是
A. x∈R，x2>0 B. x∈R，－1≤sin x≤1
C. x∈R，2x<0 D. x∈R，tan x＝2
√
√
当x＝0时，x2＝0，所以A选项错误；
当x∈R时，－1≤sin x≤1，所以B选项正确；
因为2x>0，所以C选项错误；
因为函数y＝tan x∈R，所以D选项正确.
3.若“x>3”是“x>m”的必要不充分条件，则m的取值范围是__________.
(3，＋∞)
因为“x>3”是“x>m”的必要不充分条件，
所以(m，＋∞)是(3，＋∞)的真子集，
由图可知m>3.
探究核心题型
第
二部
分
例1　(1)(2023·淮北模拟) “a>b>0”是“ >1”的
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
√
题型一
充分、必要条件的判定
(2)(2023·盐城、南京模拟)在等比数列{an}中，公比为q.已知a1＝1，则0A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
√
an＝qn－1，
所以数列{an}单调递减，故充分性成立.
所以0充分条件、必要条件的两种判定方法
(1)定义法：根据p q，q p进行判断，适用于定义、定理判断性问题.
(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题.
思维升华
跟踪训练1　(1)(2022·长春模拟) “a·b＝|a||b|”是“a与b共线”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
因为a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝|a||b|，
所以cos〈a，b〉＝1，
因为〈a，b〉∈[0，π]，
所以〈a，b〉＝0，
所以a与b共线，
当a与b共线时，〈a，b〉＝0或〈a，b〉＝π，
所以a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝|a||b|或a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝－|a||b|，
所以“a·b＝|a||b|”是“a与b共线”的充分不必要条件.
(2)(多选)下列各函数中，满足“x1＋x2＝0”是“f(x1)＋f(x2)＝0”的充要条件的是
A.f(x)＝2x B.f(x)＝3x－3－x
C.f(x)＝x3 D.f(x)＝log3|x|
√
√
依题意，x1＋x2＝0 f(x1)＋f(x2)＝0，即f(x)是奇函数，故B，C符合题意.
例2　在①A∪B＝B；②“x∈A”是“x∈B”的充分条件；③“x∈ RA”是“x∈ RB”的必要条件这三个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，求解下列问题.
问题：已知集合A＝{x|a≤x≤a＋2}，B＝{x|(x＋1)(x－3)<0}.
(1)当a＝2时，求A∩B；
(2)若________，求实数a的取值范围.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
题型二
充分、必要条件的应用
(1)由(x＋1)(x－3)<0，
解得－1所以B＝{x|(x＋1)(x－3)<0}＝{x|－1当a＝2时，A＝{x|2≤x≤4}，
所以A∩B＝{x|2≤x<3}.
求参数问题的解题策略
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.
(2)要注意区间端点值的检验.
跟踪训练2　若集合A＝{x|x>2}，B＝{x|bx>1}，其中b为实数.
(1)若A是B的充要条件，则b＝_____；
由已知可得A＝B，
则x＝2是方程bx＝1的解，
(2)若A是B的充分不必要条件，则b的取值范围是___________.
若不等式bx>1对任意的x>2恒成立，
因为A是B的充分不必要条件，
命题点1　含量词命题的否定
例3　(2022·漳州模拟)命题“ a∈R，x2－ax＋1＝0有实数解”的否定是
A. a∈R，x2－ax＋1＝0无实数解
B. a∈R，x2－ax＋1＝0无实数解
C. a∈R，x2－ax＋1≠0有实数解
D. a∈R，x2－ax＋1≠0有实数解
题型三
全称量词与存在量词
√
因为全称量词命题的否定是存在量词命题，
所以“ a∈R，x2－ax＋1＝0有实数解”的否定是“ a∈R，x2－ax＋1＝0无实数解”.
命题点2　含量词命题真假的判断
例4　(多选)(2023·沈阳模拟)下列命题中为真命题的是
A. x∈R， ≤1
B.对于 x∈R，n∈N*且n>1，都有 ＝x
C. x∈R，ln(x－1)2≥0
D. x∈R，ln x≥x－1
√
√
当x＝1时，ln(x－1)2无意义，故C项是假命题；
当x＝1时，ln x≥x－1，故D项是真命题.
命题点3　含量词命题的应用
√
含量词命题的解题策略
(1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可.当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假.
(2)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围.
跟踪训练3　(1)已知命题p： n∈N，n2≥2n＋5，则綈p为
A. n∈N，n2≥2n＋5
B. n∈N，n2≤2n＋5
C. n∈N，n2<2n＋5
D. n∈N，n2＝2n＋5
√
由存在量词命题的否定可知，綈p为 n∈N，n2<2n＋5.
所以C正确，A，B，D错误.
(2)(多选)下列命题是真命题的是
A. x∈R，－x2－1<0
B. n∈Z， m∈Z，nm＝m
C.所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径
√
√
√
x∈R，－x2≤0，所以－x2－1<0，故A项是真命题；
当m＝0时，nm＝m恒成立，故B项是真命题；
任何一个圆的圆心到切线的距离都等于半径，故C项是真命题；
因为x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2，
(3)若命题“ x∈R，x2－x＋a＝0”为假命题，则实数a的取值范围为
__________.
若命题“ x∈R，x2－x＋a＝0”为假命题，则一元二次方程x2－x＋a＝0无实数解，
课时精练
第
三部
分
1.(2023·上饶模拟)“x2>2 021”是“x2>2 022”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
基础保分练
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
若x2>2 022，因为2 022>2 021，故x2>2 021，
故“x2>2 022”可以推出“x2>2 021”，
取x2＝2 021.5，则满足x2>2 021，但x2>2 022不成立，
所以“x2>2 021”不能推出“x2>2 022”，
所以“x2>2 021”是“x2>2 022”的必要不充分条件.
2.已知命题p： x∈Q，使得x N，则綈p为
A. x Q，都有x N B. x Q，使得x∈N
C. x∈Q，都有x∈N D. x∈Q，使得x∈N
√
因为存在量词命题的否定是全称量词命题，
所以由p： x∈Q，使得x N，
得綈p： x∈Q，都有x∈N.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3.已知命题：“ x∈R，方程x2＋4x＋a＝0有解”是真命题，则实数a的取值范围是
A.a<4 B.a≤4
C.a>4 D.a≥4
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
“ x∈R，方程x2＋4x＋a＝0有解”是真命题，
故Δ＝16－4a≥0，解得a≤4.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4.(2023·武汉模拟)已知a，b是两条不重合的直线，α为一个平面，且a⊥α，则“b⊥α”是“a∥b”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
当b⊥α时，结合a⊥α，可得a∥b，充分性满足；
当a∥b时，结合a⊥α，可得b⊥α，必要性满足.
故“b⊥α”是“a∥b”的充要条件.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5.命题“ 1≤x≤2，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是
A.a≥4 B.a≥5
C.a≤4 D.a≤5
√
因为命题“ 1≤x≤2，x2－a≤0”是真命题，
所以 1≤x≤2，a≥x2恒成立，
所以a≥4，
结合选项，命题是真命题的一个充分不必要条件是a≥5.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6.(多选)下列命题是真命题的是
A.所有的素数都是奇数
B.有一个实数x，使x2＋2x＋3＝0
C.“α＝β”是“sin α＝sin β”成立的充分不必要条件
D.命题“ x∈R，x＋2≤0”的否定是“ x∈R，x＋2>0”
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2是一个素数，但2是偶数，所以A是假命题；
对于方程x2＋2x＋3＝0，其中Δ＝22－4×3＝－8<0，
所以不存在实数，使得x2＋2x＋3＝0成立，所以B是假命题；
由α＝β sin α＝sin β，但由sin α＝sin β不能得到α＝β，故“α＝β”是“sin α＝sin β”成立的充分不必要条件，所以C是真命题；
根据全称量词命题与存在量词命题的关系，可得命题“ x∈R，x＋2≤0”的否定是“ x∈R，x＋2>0”，所以D是真命题.
7.(多选)若“ x∈(0,2)，使得2x2－λx＋1<0成立”是假命题，则实数λ可能的值是
√
√
由题意可知，命题“ x∈(0,2)，2x2－λx＋1≥0成立”是真命题，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8.南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V1，V2，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为S1，S2，则“S1，S2不总相等”是“V1，V2不相等”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
命题：如果“S1，S2不总相等”，那么“V1，V2不相等”的等价命题是：如果“V1，V2相等”，那么“S1，S2总相等”.
根据祖暅原理，当两个截面的面积S1，S2总相等时，这两个几何体的体积V1，V2相等，所以逆命题为真，故是必要条件；
当两个三棱台，一正一反的放在两个平面之间时，此时体积相等，但截得截面面积未必相等，故是不充分条件，所以“S1，S2不总相等”是“V1，V2不相等”的必要不充分条件.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
因为“sin x10.使得“2x>4x”成立的一个充分条件是___________________.
x<－1(答案不唯一)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
由于4x＝22x，故2x>22x等价于x>2x，
解得x<0，
使得“2x>4x”成立的一个充分条件只需为集合{x|x<0}的子集即可.
11.已知命题“ x∈{x|－21
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(－∞，－4]∪[6，＋∞)
若原命题为真命题，则 x∈{x|－2使得m＝2x成立，则－4故若原命题为假命题，
则实数m的取值范围为(－∞，－4]∪[6，＋∞).
12.已知α：x<2m－1或x>－m，β：x<2或x≥4，若α是β的必要条件，则
实数m的取值范围是___________.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
设A＝{x|x<2m－1或x>－m}，B＝{x|x<2或x≥4}，
若α是β的必要条件，则B A，
13.(多选)若“ x∈M，|x|>x”为真命题，“ x∈M，x>3”为假命题，则集合M可以是
A.(－∞，－5) B.(－3，－1]
C.(3，＋∞) D.[0,3]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
综合提升练
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
∵ x∈M，x>3为假命题，
∴ x∈M，x≤3为真命题，
可得M (－∞，3]，
又 x∈M，|x|>x为真命题，
可得M (－∞，0)，
∴M (－∞，0).
14.一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下：甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”，经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是______.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
乙
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
四人供词中，乙、丁意见一致，或同真或同假.若同真，即丙偷的，而四人有两人说的是真话，则甲、丙说的是假话，甲说“罪犯在乙、丙、丁三人之中”是假话，即乙、丙、丁没偷，相互矛盾；若同假，即不是丙偷的，则甲、丙说的是真话，甲说“罪犯在乙、丙、丁三人之中”，丙说“甲、乙两人中有一人是小偷”是真话， 可知罪犯是乙.
15.(2022·九江模拟)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝kan＋k，则“数列{an}为等差数列”是“k＝1”的
A.充要条件 B.必要不充分条件
C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
拓展冲刺练
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
当k＝1时，an＋1＝an＋1，则{an}为等差数列，必要性成立；
若{an}为等差数列，由a1＝1，a2＝2k，a3＝2k2＋k，
16.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“a>b”是“A＋cos A>B＋cos B”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
在△ABC中，若a>b，则根据大边对大角可得A>B.
设f(x)＝x＋cos x，x∈(0，π)，
则f′(x)＝1－sin x，x∈(0，π)时，sin x∈(0,1]，
∴f′(x)≥0，
∴f(x)在(0，π)上单调递增，
∴a>b A>B f(A)>f(B) A＋cos A>B＋cos B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16§1.2　常用逻辑用语
考试要求　1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系.2.理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定．
知识梳理
1．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件 p q且q p
p是q的必要不充分条件 p q且q p
p是q的充要条件 p q
p是q的既不充分也不必要条件 p q且q p
2．全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示．
(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示．
3．全称量词命题和存在量词命题
名称 全称量词命题 存在量词命题
结构 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立
简记 x∈M，p(x) x∈M，p(x)
否定 x∈M，綈p(x) x∈M，綈p(x)
常用结论
1．充分、必要条件与对应集合之间的关系
设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．
(1)若p是q的充分条件，则A B；
(2)若p是q的充分不必要条件，则A?B；
(3)若p是q的必要不充分条件，则B?A；
(4)若p是q的充要条件，则A＝B.
2．含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”．
3．命题p与p的否定的真假性相反．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)p是q的充分不必要条件等价于q是p的必要不充分条件．(　√　)
(2)“三角形的内角和为180°”是全称量词命题．(　√　)
(3)已知集合A，B，A∪B＝A∩B的充要条件是A＝B.(　√　)
(4)命题“ x∈R，sin2＋cos2＝”是真命题．(　×　)
教材改编题
1．命题“ x∈R，ex－1≥x”的否定是(　　)
A． x∈R，ex－1≥x B． x∈R，ex－1≤x
C． x∈R，ex－1答案　C
解析　由题意得命题“ x∈R，ex－1≥x”的否定是“ x∈R，ex－12．(多选)下列命题中为真命题的是(　　)
A． x∈R，x2>0 B． x∈R，－1≤sin x≤1
C． x∈R，2x<0 D． x∈R，tan x＝2
答案　BD
解析　当x＝0时，x2＝0，所以A选项错误；
当x∈R时，－1≤sin x≤1，所以B选项正确；
因为2x>0，所以C选项错误；
因为函数y＝tan x∈R，所以D选项正确．
3．若“x>3”是“x>m”的必要不充分条件，则m的取值范围是________．
答案　(3，＋∞)
解析　因为“x>3”是“x>m”的必要不充分条件，
所以(m，＋∞)是(3，＋∞)的真子集，
由图可知m>3.
题型一　充分、必要条件的判定
例1　(1)(2023·淮北模拟) “a>b>0”是“>1”的(　　)
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　由a>b>0，得>1，反之不成立，
如a＝－2，b＝－1，满足>1，但是不满足a>b>0，
故“a>b>0”是“>1”的充分不必要条件．
(2)(2023·盐城、南京模拟)在等比数列{an}中，公比为q.已知a1＝1，则0A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　C
解析　an＝qn－1，
当0所以数列{an}单调递减，故充分性成立．
若数列{an}单调递减，则0<<1，即0所以0思维升华　充分条件、必要条件的两种判定方法
(1)定义法：根据p q，q p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．
(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题．
跟踪训练1　(1)(2022·长春模拟) “a·b＝|a||b|”是“a与b共线”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　因为a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝|a||b|，
所以cos〈a，b〉＝1，
因为〈a，b〉∈[0，π]，
所以〈a，b〉＝0，
所以a与b共线，
当a与b共线时，〈a，b〉＝0或〈a，b〉＝π，
所以a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝|a||b|或a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝－|a||b|，
所以“a·b＝|a||b|”是“a与b共线”的充分不必要条件．
(2)(多选)下列各函数中，满足“x1＋x2＝0”是“f(x1)＋f(x2)＝0”的充要条件的是(　　)
A．f(x)＝2x B．f(x)＝3x－3－x
C．f(x)＝x3 D．f(x)＝log3|x|
答案　BC
解析　依题意，x1＋x2＝0 f(x1)＋f(x2)＝0，即f(x)是奇函数，故B，C符合题意．
题型二　充分、必要条件的应用
例2　在①A∪B＝B；②“x∈A”是“x∈B”的充分条件；③“x∈ RA”是“x∈ RB”的必要条件这三个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，求解下列问题．
问题：已知集合A＝{x|a≤x≤a＋2}，B＝{x|(x＋1)(x－3)<0}．
(1)当a＝2时，求A∩B；
(2)若________，求实数a的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解　(1)由(x＋1)(x－3)<0，
解得－1所以B＝{x|(x＋1)(x－3)<0}＝{x|－1当a＝2时，A＝{x|2≤x≤4}，
所以A∩B＝{x|2≤x<3}．
(2)若选①A∪B＝B，则A B，所以解得－1若选②“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A B，所以解得－1即a∈(－1,1)；
若选③“x∈ RA”是“x∈ RB”的必要条件，则A B，所以解得－1思维升华　求参数问题的解题策略
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
(2)要注意区间端点值的检验．
跟踪训练2　若集合A＝{x|x>2}，B＝{x|bx>1}，其中b为实数．
(1)若A是B的充要条件，则b＝________；
(2)若A是B的充分不必要条件，则b的取值范围是________．
答案　(1)　(2)
解析　(1)由已知可得A＝B，
则x＝2是方程bx＝1的解，
且有b>0，解得b＝.
(2)若不等式bx>1对任意的x>2恒成立，
则b>对任意的x>2恒成立，
当x>2时，∈，
则b≥，
因为A是B的充分不必要条件，
故b的取值范围是.
题型三　全称量词与存在量词
命题点1　含量词命题的否定
例3　(2022·漳州模拟)命题“ a∈R，x2－ax＋1＝0有实数解”的否定是(　　)
A． a∈R，x2－ax＋1＝0无实数解
B． a∈R，x2－ax＋1＝0无实数解
C． a∈R，x2－ax＋1≠0有实数解
D． a∈R，x2－ax＋1≠0有实数解
答案　B
解析　因为全称量词命题的否定是存在量词命题，
所以“ a∈R，x2－ax＋1＝0有实数解”的否定是“ a∈R，x2－ax＋1＝0无实数解”．
命题点2　含量词命题真假的判断
例4　(多选)(2023·沈阳模拟)下列命题中为真命题的是(　　)
A． x∈R，≤1
B．对于 x∈R，n∈N*且n>1，都有＝x
C． x∈R，ln(x－1)2≥0
D． x∈R，ln x≥x－1
答案　AD
解析　当x≥0时，0<≤1，故A项是真命题；
当n为偶数，且x<0时，＝－x ，故B项是假命题；
当x＝1时，ln(x－1)2无意义，故C项是假命题；
当x＝1时，ln x≥x－1，故D项是真命题．
命题点3　含量词命题的应用
例5　若“ x∈，sin xA. B．－ C. D．－
答案　D
解析　因为“ x∈，sin x所以“ x∈，m≤sin x”是真命题，
即m≤sin x对于 x∈恒成立，所以m≤(sin x)min，
因为y＝sin x在上单调递增，
所以x＝－时，y＝sin x最小，其最小值为y＝sin＝－sin ＝－，
所以m≤－，所以实数m的最大值为－.
思维升华　含量词命题的解题策略
(1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可．当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假．
(2)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围．
跟踪训练3　(1)已知命题p： n∈N，n2≥2n＋5，则綈p为(　　)
A． n∈N，n2≥2n＋5
B． n∈N，n2≤2n＋5
C． n∈N，n2<2n＋5
D． n∈N，n2＝2n＋5
答案　C
解析　由存在量词命题的否定可知，綈p为 n∈N，n2<2n＋5.所以C正确，A，B，D错误．
(2)(多选)下列命题是真命题的是(　　)
A． x∈R，－x2－1<0
B． n∈Z， m∈Z，nm＝m
C．所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径
D．存在实数x，使得＝
答案　ABC
解析　 x∈R，－x2≤0，所以－x2－1<0，故A项是真命题；
当m＝0时，nm＝m恒成立，故B项是真命题；
任何一个圆的圆心到切线的距离都等于半径，故C项是真命题；
因为x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2，
所以≤<，故D项是假命题．
(3)若命题“ x∈R，x2－x＋a＝0”为假命题，则实数a的取值范围为________．
答案　
解析　若命题“ x∈R，x2－x＋a＝0”为假命题，则一元二次方程x2－x＋a＝0无实数解，
∴Δ＝1－4a<0 a>.
∴a的取值范围是.
课时精练
1．(2023·上饶模拟)“x2>2 021”是“x2>2 022”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　若x2>2 022，因为2 022>2 021，故x2>2 021，
故“x2>2 022”可以推出“x2>2 021”，
取x2＝2 021.5，则满足x2>2 021，但x2>2 022不成立，
所以“x2>2 021”不能推出“x2>2 022”，
所以“x2>2 021”是“x2>2 022”的必要不充分条件．
2．已知命题p： x∈Q，使得x N，则綈p为(　　)
A． x Q，都有x N B． x Q，使得x∈N
C． x∈Q，都有x∈N D． x∈Q，使得x∈N
答案　C
解析　因为存在量词命题的否定是全称量词命题，
所以由p： x∈Q，使得x N，
得綈p： x∈Q，都有x∈N.
3．已知命题：“ x∈R，方程x2＋4x＋a＝0有解”是真命题，则实数a的取值范围是(　　)
A．a<4 B．a≤4
C．a>4 D．a≥4
答案　B
解析　“ x∈R，方程x2＋4x＋a＝0有解”是真命题，
故Δ＝16－4a≥0，解得a≤4.
4．(2023·武汉模拟)已知a，b是两条不重合的直线，α为一个平面，且a⊥α，则“b⊥α”是“a∥b”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　C
解析　当b⊥α时，结合a⊥α，可得a∥b，充分性满足；
当a∥b时，结合a⊥α，可得b⊥α，必要性满足．
故“b⊥α”是“a∥b”的充要条件．
5．命题“ 1≤x≤2，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是(　　)
A．a≥4 B．a≥5
C．a≤4 D．a≤5
答案　B
解析　因为命题“ 1≤x≤2，x2－a≤0”是真命题，
所以 1≤x≤2，a≥x2恒成立，
所以a≥4，
结合选项，命题是真命题的一个充分不必要条件是a≥5.
6．(多选)下列命题是真命题的是(　　)
A．所有的素数都是奇数
B．有一个实数x，使x2＋2x＋3＝0
C．“α＝β”是“sin α＝sin β”成立的充分不必要条件
D．命题“ x∈R，x＋2≤0”的否定是“ x∈R，x＋2>0”
答案　CD
解析　2是一个素数，但2是偶数，所以A是假命题；
对于方程x2＋2x＋3＝0，其中Δ＝22－4×3＝－8<0，
所以不存在实数，使得x2＋2x＋3＝0成立，所以B是假命题；
由α＝β sin α＝sin β，但由sin α＝sin β不能得到α＝β，故“α＝β”是“sin α＝sin β”成立的充分不必要条件，所以C是真命题；
根据全称量词命题与存在量词命题的关系，可得命题“ x∈R，x＋2≤0”的否定是“ x∈R，x＋2>0”，所以D是真命题．
7．(多选)若“ x∈(0,2)，使得2x2－λx＋1<0成立”是假命题，则实数λ可能的值是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．3
答案　AB
解析　由题意可知，命题“ x∈(0,2)，2x2－λx＋1≥0成立”是真命题，
所以λx≤2x2＋1，可得λ≤2x＋，
当x∈(0,2)时，由基本不等式可得
2x＋≥2＝2，
当且仅当x＝时，等号成立，
所以λ≤2.
8.南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V1，V2，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为S1，S2，则“S1，S2不总相等”是“V1，V2不相等”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　命题：如果“S1，S2不总相等”，那么“V1，V2不相等”的等价命题是：如果“V1，V2相等”，那么“S1，S2总相等”．
根据祖暅原理，当两个截面的面积S1，S2总相等时，这两个几何体的体积V1，V2相等，所以逆命题为真，故是必要条件；
当两个三棱台，一正一反的放在两个平面之间时，此时体积相等，但截得截面面积未必相等，故是不充分条件，所以“S1，S2不总相等”是“V1，V2不相等”的必要不充分条件．
9．命题“ x∈，sin x答案　 x∈，sin x≥cos x
解析　因为“sin x所以“ x∈，sin x10．使得“2x>4x”成立的一个充分条件是________．
答案　x<－1(答案不唯一)
解析　由于4x＝22x，故2x>22x等价于x>2x，
解得x<0，
使得“2x>4x”成立的一个充分条件只需为集合{x|x<0}的子集即可．
11．已知命题“ x∈{x|－2答案　(－∞，－4]∪[6，＋∞)
解析　若原命题为真命题，则 x∈{x|－2使得m＝2x成立，则－4故若原命题为假命题，
则实数m的取值范围为(－∞，－4]∪[6，＋∞)．
12．已知α：x<2m－1或x>－m，β：x<2或x≥4，若α是β的必要条件，则实数m的取值范围是________．
答案　
解析　设A＝{x|x<2m－1或x>－m}，B＝{x|x<2或x≥4}，
若α是β的必要条件，则B A，
当2m－1>－m，即m>时，此时A＝R，B A成立；
当2m－1≤－m，即m≤时，若B A，此时无解．
综上，m>.
13．(多选)若“ x∈M，|x|>x”为真命题，“ x∈M，x>3”为假命题，则集合M可以是(　　)
A．(－∞，－5) B．(－3，－1]
C．(3，＋∞) D．[0,3]
答案　AB
解析　∵ x∈M，x>3为假命题，
∴ x∈M，x≤3为真命题，
可得M (－∞，3]，
又 x∈M，|x|>x为真命题，
可得M (－∞，0)，
∴M (－∞，0)．
14．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下：甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”，经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是________．
答案　乙
解析　四人供词中，乙、丁意见一致，或同真或同假．若同真，即丙偷的，而四人有两人说的是真话，则甲、丙说的是假话，甲说“罪犯在乙、丙、丁三人之中”是假话，即乙、丙、丁没偷，相互矛盾；若同假，即不是丙偷的，则甲、丙说的是真话，甲说“罪犯在乙、丙、丁三人之中”，丙说“甲、乙两人中有一人是小偷”是真话， 可知罪犯是乙．
15．(2022·九江模拟)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝kan＋k，则“数列{an}为等差数列”是“k＝1”的(　　)
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　当k＝1时，an＋1＝an＋1，则{an}为等差数列，必要性成立；
若{an}为等差数列，由a1＝1，a2＝2k，a3＝2k2＋k，
有2k2＋k＋1＝4k，解得k＝1或.
当k＝时，an＋1＝an＋，此时an＝1，充分性不成立．
16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“a>b”是“A＋cos A>B＋cos B”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　C
解析　在△ABC中，若a>b，则根据大边对大角可得A>B.
设f(x)＝x＋cos x，x∈(0，π)，
则f′(x)＝1－sin x，x∈(0，π)时，sin x∈(0,1]，
∴f′(x)≥0，
∴f(x)在(0，π)上单调递增，
∴a>b A>B f(A)>f(B) A＋cos A>B＋cos B.§1.2　常用逻辑用语
考试要求　1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系.2.理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定．
知识梳理
1．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p q，则p是q的________条件，q是p的________条件
p是q的________________条件 p q且q p
p是q的________________条件 p q且q p
p是q的________条件 p q
p是q的________________条件 p q且q p
2.全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“________”表示．
(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“______”表示．
3．全称量词命题和存在量词命题
名称 全称量词命题 存在量词命题
结构 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立
简记
否定 x∈M，綈p(x)
常用结论
1．充分、必要条件与对应集合之间的关系
设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．
(1)若p是q的充分条件，则A B；
(2)若p是q的充分不必要条件，则A?B；
(3)若p是q的必要不充分条件，则B?A；
(4)若p是q的充要条件，则A＝B.
2．含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”．
3．命题p与p的否定的真假性相反．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)p是q的充分不必要条件等价于q是p的必要不充分条件．(　　)
(2)“三角形的内角和为180°”是全称量词命题．(　　)
(3)已知集合A，B，A∪B＝A∩B的充要条件是A＝B.(　　)
(4)命题“ x∈R，sin2＋cos2＝”是真命题．(　　)
教材改编题
1．命题“ x∈R，ex－1≥x”的否定是(　　)
A． x∈R，ex－1≥x
B． x∈R，ex－1≤x
C． x∈R，ex－1D． x∈R，ex－12．(多选)下列命题中为真命题的是(　　)
A． x∈R，x2>0
B． x∈R，－1≤sin x≤1
C． x∈R，2x<0
D． x∈R，tan x＝2
3．若“x>3”是“x>m”的必要不充分条件，则m的取值范围是________.
题型一　充分、必要条件的判定
例1 (1)(2023·淮北模拟) “a>b>0”是“>1”的(　　)
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
(2)(2023·盐城、南京模拟)在等比数列{an}中，公比为q.已知a1＝1，则0A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
听课记录：______________________________________________________________
________________________________________________________________________
思维升华 充分条件、必要条件的两种判定方法
(1)定义法：根据p q，q p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．
(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题．
跟踪训练1 (1)(2022·长春模拟) “a·b＝|a||b|”是“a与b共线”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)(多选)下列各函数中，满足“x1＋x2＝0”是“f(x1)＋f(x2)＝0”的充要条件的是(　　)
A．f(x)＝2x B．f(x)＝3x－3－x
C．f(x)＝x3 D．f(x)＝log3|x|
题型二　充分、必要条件的应用
例2 在①A∪B＝B；②“x∈A”是“x∈B”的充分条件；③“x∈ RA”是“x∈ RB”的必要条件这三个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，求解下列问题．
问题：已知集合A＝{x|a≤x≤a＋2}，B＝{x|(x＋1)(x－3)<0}．
(1)当a＝2时，求A∩B；
(2)若________，求实数a的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
思维升华 求参数问题的解题策略
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
(2)要注意区间端点值的检验．
跟踪训练2 若集合A＝{x|x>2}，B＝{x|bx>1}，其中b为实数．
(1)若A是B的充要条件，则b＝________；
(2)若A是B的充分不必要条件，则b的取值范围是________．
题型三　全称量词与存在量词
命题点1　含量词命题的否定
例3 (2022·漳州模拟)命题“ a∈R，x2－ax＋1＝0有实数解”的否定是(　　)
A． a∈R，x2－ax＋1＝0无实数解
B． a∈R，x2－ax＋1＝0无实数解
C． a∈R，x2－ax＋1≠0有实数解
D． a∈R，x2－ax＋1≠0有实数解
听课记录：________________________________________________________________
________________________________________________________________________
命题点2　含量词命题真假的判断
例4 (多选)(2023·沈阳模拟)下列命题中为真命题的是(　　)
A． x∈R，≤1
B．对于 x∈R，n∈N*且n>1，都有＝x
C． x∈R，ln(x－1)2≥0
D． x∈R，ln x≥x－1
听课记录：______________________________________________________________
________________________________________________________________________
命题点3　含量词命题的应用
例5 若“ x∈，sin xA. B．－ C. D．－
听课记录：______________________________________________________________
________________________________________________________________________
思维升华 含量词命题的解题策略
(1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可．当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假．
(2)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围．
跟踪训练3 (1)已知命题p： n∈N，n2≥2n＋5，则綈p为(　　)
A． n∈N，n2≥2n＋5
B． n∈N，n2≤2n＋5
C． n∈N，n2<2n＋5
D． n∈N，n2＝2n＋5
(2)(多选)下列命题是真命题的是(　　)
A． x∈R，－x2－1<0
B． n∈Z， m∈Z，nm＝m
C．所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径
D．存在实数x，使得＝
(3)若命题“ x∈R，x2－x＋a＝0”为假命题，则实数a的取值范围为________．

展开更多......

收起↑