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(共29张PPT)
必刷小题1　集合、常用
逻辑用语、
不等式
第一章　集合、常用逻辑用语、不等式
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一、单项选择题
1.(2023·咸阳模拟)已知集合A＝{－1,0,1,2,3}，B＝{x|2x2－5x－3<0}，那么集合A∩B等于
A.{－1,0,1,2} B.{0,1,2,3}
C.{0,1,2} D.{－1,0,1,2,3}
故A∩B＝{0,1,2}.
√
2.设集合A＝{x∈Z|(x－1)(x－5)≤0}，则集合A的子集个数为
A.16 B.32 C.15 D.31
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因为集合A＝{x∈Z|(x－1)(x－5)≤0}＝{1,2,3,4,5}，
所以集合A的子集个数为25＝32.
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√
4.(2023·长沙模拟)已知p： >1；q：x>m，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是
A.[0，＋∞) B.[1，＋∞) C.(－∞，0] D.(－∞，1]
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记A＝{x|0m}，
若p是q的充分条件，
则A是B的子集，所以m≤0，
所以实数m的取值范围是(－∞，0].
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5.关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋1>0的解集为 ，则ab的值为
A.3 B.2 C.1 D.6
√
解得a＝－3，b＝－2，故ab＝6.
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6.(2023·衡水质检)已知实数x，y，z满足x>y，z>0，则下列不等式恒成立的是
√
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令x＝－1，y＝－2，z＝1，则x2z－y2z＝－3<0，所以C选项错误；
因为xz－yz＝(x－y)z，由x>y，z>0得xz－yz>0，即xz>yz，所以D选项正确.
7.给定集合S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，对于x∈S，如果x＋1 S，x－1 S，那么x是S的一个“好元素”，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有
A.5个 B.6个 C.9个 D.12个
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若由S的3个元素构成的集合中不含“好元素”，则这3个元素一定是连续的3个整数，
故不含“好元素”的集合有{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}，共6个.
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所以ab＝4，a>0，从而b>0，
又a>b，则a－b>0，
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∵A＝{x|x2－2x<0}＝(0,2)，
B＝{x|2x>1}＝(0，＋∞)，
∴A∩( UB)＝ ，A∪B＝B，A B，
故AC正确，BD错误.
二、多项选择题
9.已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－2x<0}，B＝{x|2x>1}，则
A.A∩( UB)＝ B.A∪B＝A
C.A B D.B A
√
√
10.以下命题中是真命题的是
A. x∈R，使exB. θ∈R，函数f(x)＝sin(2x＋θ)都不是偶函数
C.“a，b∈R，a>b”是“a|a|>b|b|”的充要条件
D.“x∈A”是“x∈A∩B”的必要不充分条件
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√
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设f(x)＝ex－x－1，所以f′(x)＝ex－1，
当x＝0时，函数f′(x)＝0，当x<0时，f′(x)<0，
当x>0时，f′(x)>0，
故在x＝0时函数f(x)取得最小值，f(0)＝0，
所以f(x)＝ex－x－1≥f(x)min＝f(0)＝0，
即 x∈R，ex≥x＋1，故A错误；
故函数f(x)为偶函数，故B错误；
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当a>b>0时，等价于a2－b2＝(a＋b)(a－b)>0，
当0>a>b时，等价于－a2＋b2＝－(a＋b)(a－b)>0，
当a>0>b时，等价于a2＋b2>0，
反之同样成立，故C正确；
“x∈A∩B” “x∈A”，“x∈A” “x∈A∩B”，
则“x∈A”是“x∈A∩B”的必要不充分条件，故D正确.
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11.(2022·莆田质检)已知直线l：ax＋by＋1＝0(a>0，b>0)与圆C：x2＋y2＝1相切，则下列说法正确的是
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因为直线l：ax＋by＋1＝0与圆C：x2＋y2＝1相切，
所以圆心C(0,0)到直线l的距离等于1，
因为a2＋b2≥2ab且a2＋b2＝1，
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因为a2＋b2＝1，
因为a2＋b2≥2ab且a2＋b2＝1，
(当且仅当a＝b时取等号)，即D正确.
12.已知实数a，b，c满足a>b>1，c<0，则下列不等式一定成立的是
A.a2>b2>c2 B.a－ac>b－bc
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对于A，取a＝2.5，b＝2，c＝－3，即可判断选项A错误；
对于B，因为a>b，c<0，所以ac即－ac>－bc，所以a－ac>b－bc，故选项B正确；
对于D，原不等式等价于loga(a－c)－11
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又因为a>b>1，所以logba>1，
三、填空题
13.已知集合A＝{x|－2≤x≤2}，若集合B＝{x|x≤a}满足A B，则实数a的取值范围为___________.
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[2，＋∞)
∵A＝{x|－2≤x≤2}≠ ，A B，
∴A与B的关系如图，
∴a≥2.
14.设p：实数x满足(x－3a)(x－a)<0，q：实数x满足 ≤0.当a<0时，若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是____________.
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[－2，－1)
解得－3≤x<－2，
即q：B＝{x|－3≤x<－2}，
因为a<0，由(x－3a)(x－a)<0，得3a即p：A＝{x|3a若p是q的必要条件，则q p，所以B A，
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④△ABC中，边a>b是sin A>sin B的充要条件；
⑤“a＝2”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件.
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对⑤，满足函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上为增函数的a的取值范围为a≤2，故“a＝2”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件，故⑤为假命题.
16.一般地，把b－a称为区间(a，b)的“长度”.已知关于x的不等式x2－kx＋2k<0有实数解，且解集区间长度不超过3个单位，则实数k的取值范围为_______________.
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[－1,0)∪(8,9]
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不等式x2－kx＋2k<0有实数解等价于x2－kx＋2k＝0有两个不相等的实数根，则Δ＝(－k)2－8k>0，解得k<0或k>8，
设x2－kx＋2k＝0的两根分别为x1，x2，不妨令x1结合k<0或k>8，所以实数k的取值范围为[－1,0)∪(8,9].必刷小题1　集合、常用逻辑用语、不等式
一、单项选择题
1．(2023·咸阳模拟)已知集合A＝{－1,0,1,2,3}，B＝{x|2x2－5x－3<0}，那么集合A∩B等于(　　)
A．{－1,0,1,2} B．{0,1,2,3}
C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2,3}
答案　C
解析　因为B＝{x|2x2－5x－3<0}＝{x|(2x＋1)(x－3)<0}＝，
故A∩B＝{0,1,2}．
2．设集合A＝{x∈Z|(x－1)(x－5)≤0}，则集合A的子集个数为(　　)
A．16 B．32 C．15 D．31
答案　B
解析　因为集合A＝{x∈Z|(x－1)(x－5)≤0}＝{1,2,3,4,5}，
所以集合A的子集个数为25＝32.
3．(2022·百师联盟联考)命题“ x>0，cos x>－x2＋1”的否定是(　　)
A． x>0，cos x≤－x2＋1
B． x≤0，cos x>－x2＋1
C． x>0，cos x≤－x2＋1
D． x≤0，cos x≤－x2＋1
答案　C
4．(2023·长沙模拟)已知p：>1；q：x>m，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是(　　)
A．[0，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(－∞，0] D．(－∞，1]
答案　C
解析　由>1，可得x(x－1)<0，解得0记A＝{x|0m}，
若p是q的充分条件，
则A是B的子集，所以m≤0，
所以实数m的取值范围是(－∞，0]．
5．关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋1>0的解集为，则ab的值为(　　)
A．3 B．2 C．1 D．6
答案　D
解析　因为关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋1>0的解集为，
则a<0，－1，是方程ax2＋bx＋1＝0的根．
由根与系数的关系，得－＝－1＋，＝－1×，
解得a＝－3，b＝－2，故ab＝6.
6．(2023·衡水质检)已知实数x，y，z满足x>y，z>0，则下列不等式恒成立的是(　　)
A.－>0 B.－<0
C．x2z－y2z>0 D．xz>yz
答案　D
解析　令x＝2，y＝1，z＝1，则－＝－，即－<0，所以A选项错误；
令x＝1，y＝－1，z＝1，则－＝2，即－>0，所以B选项错误；
令x＝－1，y＝－2，z＝1，则x2z－y2z＝－3<0，所以C选项错误；
因为xz－yz＝(x－y)z，由x>y，z>0得xz－yz>0，即xz>yz，所以D选项正确．
7．给定集合S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，对于x∈S，如果x＋1 S，x－1 S，那么x是S的一个“好元素”，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有(　　)
A．5个 B．6个 C．9个 D．12个
答案　B
解析　若由S的3个元素构成的集合中不含“好元素”，则这3个元素一定是连续的3个整数，
故不含“好元素”的集合有{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}，共6个．
8．已知a>b，ax2＋4x＋b≥0对于一切实数x恒成立，又 x∈R，使ax2＋4x＋b＝0成立，则的最小值为(　　)
A．2 B．2 C．4 D．4
答案　D
解析　由题意
所以ab＝4，a>0，从而b>0，
又a>b，则a－b>0，
＝＝a－b＋
≥2＝4，
当且仅当a－b＝，即a－b＝2时等号成立，
此时a＝＋，b＝－.
二、多项选择题
9．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－2x<0}，B＝{x|2x>1}，则(　　)
A．A∩( UB)＝ B．A∪B＝A
C．A B D．B A
答案　AC
解析　∵A＝{x|x2－2x<0}＝(0,2)，
B＝{x|2x>1}＝(0，＋∞)，
∴A∩( UB)＝ ，A∪B＝B，A B，
故AC正确，BD错误．
10．以下命题中是真命题的是(　　)
A． x∈R，使exB． θ∈R，函数f(x)＝sin(2x＋θ)都不是偶函数
C．“a，b∈R，a>b”是“a|a|>b|b|”的充要条件
D．“x∈A”是“x∈A∩B”的必要不充分条件
答案　CD
解析　设f(x)＝ex－x－1，所以f′(x)＝ex－1，
当x＝0时，函数f′(x)＝0，当x<0时，f′(x)<0，
当x>0时，f′(x)>0，
故在x＝0时函数f(x)取得最小值，f(0)＝0，
所以f(x)＝ex－x－1≥f(x)min＝f(0)＝0，
即 x∈R，ex≥x＋1，故A错误；
当x＝时f(x)＝sin＝cos 2x，
故函数f(x)为偶函数，故B错误；
当a>b>0时，等价于a2－b2＝(a＋b)(a－b)>0，
当0>a>b时，等价于－a2＋b2＝－(a＋b)(a－b)>0，
当a>0>b时，等价于a2＋b2>0，
反之同样成立，故C正确；
“x∈A∩B” “x∈A”，“x∈A” “x∈A∩B”，则“x∈A”是“x∈A∩B”的必要不充分条件，故D正确．
11．(2022·莆田质检)已知直线l：ax＋by＋1＝0(a>0，b>0)与圆C：x2＋y2＝1相切，则下列说法正确的是(　　)
A．ab≥ B．ab≤
C.＋≥4 D.2≤
答案　BCD
解析　因为直线l：ax＋by＋1＝0与圆C：x2＋y2＝1相切，
所以圆心C(0,0)到直线l的距离等于1，
即＝1，即a2＋b2＝1，且a>0，b>0，
因为a2＋b2≥2ab且a2＋b2＝1，
所以ab≤＝，即A错误，B正确；
因为a2＋b2＝1，
所以＋＝＋＝2＋＋
≥2＋2＝4
，即C正确；
因为a2＋b2≥2ab且a2＋b2＝1，
所以2＝≤＝
(当且仅当a＝b时取等号)，即D正确．
12．已知实数a，b，c满足a>b>1，c<0，则下列不等式一定成立的是(　　)
A．a2>b2>c2
B．a－ac>b－bc
C.c>1
D．loga(a－c)答案　BCD
解析　对于A，取a＝2.5，b＝2，c＝－3，即可判断选项A错误；
对于B，因为a>b，c<0，所以ac即－ac>－bc，所以a－ac>b－bc，故选项B正确；
对于C，因为a>b>1，所以0<<1，
又因为c<0，所以c>0＝1，故选项C正确；
对于D，原不等式等价于loga(a－c)－1即loga因为a>b>1，所以0<<<1，
又因为c<0，所以0<－<－，
所以1<1－<1－，
又因为a>b>1，所以logba>1，
所以loga＝三、填空题
13．已知集合A＝{x|－2≤x≤2}，若集合B＝{x|x≤a}满足A B，则实数a的取值范围为________．
答案　[2，＋∞)
解析　∵A＝{x|－2≤x≤2}≠ ，A B，
∴A与B的关系如图，
∴a≥2.
14．设p：实数x满足(x－3a)(x－a)<0，q：实数x满足≤0.当a<0时，若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是________．
答案　[－2，－1)
解析　由≤0，得
解得－3≤x<－2，
即q：B＝{x|－3≤x<－2}，
因为a<0，由(x－3a)(x－a)<0，得3a即p：A＝{x|3a若p是q的必要条件，则q p，
所以B A，
所以即－2≤a<－1.
15．下列命题中，真命题的序号是________．
① x∈R，sin x＋cos x＝；
②若p：<0，则綈p：≥0；
③lg x>lg y是>的充要条件；
④△ABC中，边a>b是sin A>sin B的充要条件；
⑤“a＝2”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件．
答案　④
解析　对①，∵sin x＋cos x＝sin≤，>，故①为假命题；
对②，命题p：<0，解得01}，故②为假命题；
对③，当x＝1，y＝0时，满足>，但lg x>lg y不成立，故③为假命题；
对④，根据正弦定理＝可得，边a>b是sin A>sin B的充要条件，故为真命题；
对⑤，满足函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上为增函数的a的取值范围为a≤2，故“a＝2”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件，故⑤为假命题．
16．一般地，把b－a称为区间(a，b)的“长度”．已知关于x的不等式x2－kx＋2k<0有实数解，且解集区间长度不超过3个单位，则实数k的取值范围为________．
答案　[－1,0)∪(8,9]
解析　不等式x2－kx＋2k<0有实数解等价于x2－kx＋2k＝0有两个不相等的实数根，则Δ＝(－k)2－8k>0，解得k<0或k>8，
设x2－kx＋2k＝0的两根分别为x1，x2，不妨令x1由题意得x2－x1＝＝≤3，解得－1≤k≤9，结合k<0或k>8，所以实数k的取值范围为[－1,0)∪(8,9]．必刷小题1　集合、常用逻辑用语、不等式
一、单项选择题
1．(2023·咸阳模拟)已知集合A＝{－1,0,1,2,3}，B＝{x|2x2－5x－3<0}，那么集合A∩B等于(　　)
A．{－1,0,1,2} B．{0,1,2,3}
C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2,3}
2．设集合A＝{x∈Z|(x－1)(x－5)≤0}，则集合A的子集个数为(　　)
A．16 B．32 C．15 D．31
3．(2022·百师联盟联考)命题“ x>0，cos x>－x2＋1”的否定是(　　)
A． x>0，cos x≤－x2＋1
B． x≤0，cos x>－x2＋1
C． x>0，cos x≤－x2＋1
D． x≤0，cos x≤－x2＋1
4．(2023·长沙模拟)已知p：>1；q：x>m，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是(　　)
A．[0，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(－∞，0] D．(－∞，1]
5．关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋1>0的解集为，则ab的值为(　　)
A．3 B．2 C．1 D．6
6．(2023·衡水质检)已知实数x，y，z满足x>y，z>0，则下列不等式恒成立的是(　　)
A.－>0 B.－<0
C．x2z－y2z>0 D．xz>yz
7．给定集合S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，对于x∈S，如果x＋1 S，x－1 S，那么x是S的一个“好元素”，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有(　　)
A．5个 B．6个 C．9个 D．12个
8．已知a>b，ax2＋4x＋b≥0对于一切实数x恒成立，又 x∈R，使ax2＋4x＋b＝0成立，则的最小值为(　　)
A．2 B．2 C．4 D．4
二、多项选择题
9．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－2x<0}，B＝{x|2x>1}，则(　　)
A．A∩( UB)＝ B．A∪B＝A
C．A B D．B A
10．以下命题中是真命题的是(　　)
A． x∈R，使exB． θ∈R，函数f(x)＝sin(2x＋θ)都不是偶函数
C．“a，b∈R，a>b”是“a|a|>b|b|”的充要条件
D．“x∈A”是“x∈A∩B”的必要不充分条件
11．(2022·莆田质检)已知直线l：ax＋by＋1＝0(a>0，b>0)与圆C：x2＋y2＝1相切，则下列说法正确的是(　　)
A．ab≥ B．ab≤
C.＋≥4 D.2≤
12．已知实数a，b，c满足a>b>1，c<0，则下列不等式一定成立的是(　　)
A．a2>b2>c2
B．a－ac>b－bc
C.c>1
D．loga(a－c)三、填空题
13．已知集合A＝{x|－2≤x≤2}，若集合B＝{x|x≤a}满足A B，则实数a的取值范围为________．
答案　[2，＋∞)
解析　∵A＝{x|－2≤x≤2}≠ ，A B，
∴A与B的关系如图，
∴a≥2.
14．设p：实数x满足(x－3a)(x－a)<0，q：实数x满足≤0.当a<0时，若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是________．
16．一般地，把b－a称为区间(a，b)的“长度”．已知关于x的不等式x2－kx＋2k<0有实数解，且解集区间长度不超过3个单位，则实数k的取值范围为________．

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