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第五讲 指数与指数函数
课前检测
成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差
1．如图是幂函数和在第一象限内的图象，则（ ）
（A） （B）
（C） （D）
【答案】B
2．幂函数曲线当时的图象为(　　)
（A） （B）
（C） （D）
【答案】A
3．若幂函数的图象过点，则它的单调递减区间是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
4．已知幂函数在实数集上单调，那么实数＝________.【答案】3
5．已知幂函数的图象与轴，轴都无交点，则函数的解析式是________．
【答案】
教学目标
1.能理解指数的定义，并进行对应运算
2.能理解运用指数函数的定义及图象
3.能运用指数函数处理实际问题
知识框架
知识要点
知识点1：次方根和分数指数幂
如果，那么叫做的平方根.例如是4的平方根
如果，那么叫做的立方根.例如3是8的立方根
一般地，如果，那么叫做的次方根.其中，且
负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作
式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数
根式也可以表示成分数指数幂的形式，于是规定，正数的正分数指数幂的意义是，在条件下，根式都可以写成分数指数幂的形式
同理，我们规定正数的负分数指数幂的意义相仿，我们规定：
的正分数指数幂等于，0的负分数指数幂没有意义
规定了分数指数幂的意义以后，幂中指数的取值范围从整数拓展到了有理数
运算公式：（1）为奇数时，（2）为偶数时，
考点一：求值运算
【例1】求下列各式的值
（1）；（2）；（3）；（4）（书上例题）
答案：（1）-8（2）10（3）（4）
【练习1】求下列各式的值
（1）；（2）；（3）；（4）（书上练习题）
答案：（1）100（2）-0.1（3）（4）
【例2】把下列根式改成为分数指数幂
（1）；（2）；（3）（书上例题）
答案：（1）（2）（3）
【练习1】用根式的形式表示下列各式（）（书上例题）
（1）；（2）；（3）；（4）
答案：（1）（2）（3）（4）
【练习2】把下列根式用分数指数幂表示
（1）；（2）；（3）；（4）
答案：（1）（2）（3）（4）
知识点2：运算法则
整数的指数运算法则在拓展到有理数时依然成立，对于任意的有理数，均有以下运算性质
（1）
（2）
（3）
（4）
考点一：求值运算
【例1】（1）（2）（书上例题）
答案：（1）4（2）
【练习1】（1）（2）（书上例题）
答案：（1）（2）18
【练习2】（1） （2） （3）
答案：（1）（2）（3）
考点二：等式化简
【例1】（1）（2）（3）（4）
（5）（书上例题）
答案：（1）（2）（3）（4）（5）
【练习1】计算下列各式（字母均为正数）
（1）（2）（3）（4）（5）（6）（书上例题）
答案：（1）（2）（3）（4）（5）（6）
【练习2】（1） （2）（3）（4）（5）
答案：（1）（2）（3）（4）（5）
【练习3】化简
答案：
【练习4】已知，，求（书上综合应用）
答案：
【例2】已知，求的值（书上综合应用）
答案：
【练习1】已知，求下列各式的值（书上综合应用）
（1） （2）
答案：（1）7（2）47
【练习2】若，求的值．
答案：
知识点3：无理数指数幂
我们上述的学习是基于有理数指数幂的基础上，而指数也可以是无理数.
的不足近似值 的近似值 的过剩近似值 的近似值
1.4 9.52 1.5 11.18
1.41 9.67 1.42 9.83
1.414 9.71 1.415 9.75
1.4142 9.7383 1.4143 9.74
1.41421 9.73846 1.41422 9.7386
1.414213 9.738509 1.414214 9.738524
一般地，无理数指数幂为无理数）是一个确定的实数，指数的范围我们也从整数逐渐拓展到了实数，实数指数幂是一个具体的实数.
有理数指数幂的运算法则同样适用于无理数指数幂，所以对于任意的实数指数幂都具有以下运算法则：
（1）
（2）
（3）
（4）
考点一：化简求值运算
【例1】（1）（2）（书上例题）
答案：（1）（2）1
【练习1】（1）（2）
答案：（1）4m（2）2m
【练习2】将下列数从小到大排列（可用计算工具，书上练习题）
答案：
知识点4：指数函数的定义
引入：当生物死亡后，它机体内的碳14含量会按照确定的比例衰减(称为衰减率)，大约每5730年衰减为原来的一半，这个时间称为半衰期，按照上述变化规律，生物体内的碳14含量与死亡年数之间有怎样的变化？
假设年衰减率为，根据已知条件，所以，所以
设生物死亡年数为，死亡生物体内碳14含量为，那么，即
我们把上式的替换成字母，那么函数就可以表示成的形式，其中指数是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量.
一般地，函数叫做指数函数，其中指数是自变量，定义域是
考点一：利用解析式求值
【例1】已知指数函数，且，求的值
答案: ,
【练习1】设函数，且
（1）求函数的增长率
（2）求
答案（1）0.15（2）26.75
【练习2】一种产品原来的产量是100件，今后10年内，计划使产量平均每年比上一年增加，写出年产量关于经过年的函数解析式，并求出第几年超过130件（书上习题改数）
答案：、第3年
【练习3】按复利计算（前一期的本金加利息加在一起记作下一期的本金）的一种储蓄，本金为元，每期利率为，本利和为，存期数为.
（1）写出本利和关于存期数的函数解析式
（2）如果存入本金1000元，每期利率为，试计算5期后的本利和
答案：（1）（2）1118元
知识点5：指数函数的图象及性质
利用描点法，画出如下图象
图象
定义域
值域
过定点 过定点 过定点
单调性 减函数 增函数
考点一：图象过定点
【例1】若，则函数的图象必过定点 ．
【答案】(2,0)
【练习1】若，则函数的图象必过第 象限内的定点．
答案：二
考点二：指幂比大小
【例1】比较下列各题中两个值的大小（书上例题）
（1）（2）（3）
答案：（1）（2）（3）
【练习1】下列大小关系正确的是
（A） （B）
（C） （D）
【答案】B
【练习2】设,,,则的大小关系是
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【练习3】设，则的大小关系是
（A） （B）
（C） （D）
【答案】B
【练习4】已知,则的大小关系是
（A） （B）
（C） （D）
【答案】C
考点三：指数的值域
【例1】函数的值域为
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【练习1】求下列指数函数的值域.
（1） ； （2）； （3）
【答案】（1）
（2）
（3）
【练习2】求下列指数函数的值域.
（1）(2)
答案：（1）（2）
考点四：指数的单调性应用
【例1】比较下列各项中的大小
（1）（2）（3）（4）
答案：（1）（2）（3）（4）
【练习1】已知，求的范围
答案：
【练习2】已知，求的范围
答案：
【练习3】已知，则的取值范围为__________.
【答案】
【练习4】已知，求的范围
答案：
考点五：底数的比较
【例1】如图是指数函数（1）；（2）；（3）；（4）的图象，则与1的大小关系是
（A） （B）
（C） （D）
【答案】B
【练习1】已知时，的图象在的上方，且，试比较的大小？
答案：
【练习2】已知时，的图象在的下方且，且是比较的大小？
答案：
考点六：与指数相关的函数图象变换
【例1】函数的大致图象是
【答案】B
【练习1】函数的图象大致是
（A） · （B） （C） （D）
【答案】A
【练习2】定义运算，则函数的图象是
【答案】A
【练习3】在下列图象中，二次函数与指数函数的图象只可能是
【答案】A
【练习4】 若函数的图象不经过第一象限，则的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
拓展提升
【探索1】比较下列数的大小
（1）与、与，同时思考与两函数的图象在上交点的个数
（2）与
答案：（1）<、>,两个交点（2）<
【探索2】已知，求证
答案：
【探索3】从盛有1纯酒精的容器中倒出，然后用水填满，再倒出，又用水填满.
（1）连续进行5次后，容器中的纯酒精还剩下多少
（2）连续进行次后，容器中的纯酒精还剩下多少
答案：（1）（2）
【探索4】（1）当是，用计算工具计算的值.
（2）越来越大时，的底数越来越小，而指数越来越大，那么是否也越来越大，有没有最大值.
答案：（1）2、2.25、2.37、2.59、2.70、2.716、2.718、2.71826
（2）依据函数图象可以看出一直增大
【探索5】已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交
（1）求该函数解析式，并画出图象
（2）判断该函数的奇偶性与单调性
答案：（1）
（2）偶函数、
【探索6】已知
（1）讨论函数的单调性
（2）如果，那么的取值范围
答案：(1)（2
小试牛刀
1、若函数恒成立，求的范围（）
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
2、函数的值域为
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
3、已知，则的取值范围为__________.
【答案】
4、函数的值域为__________.
答案：
5、比较与的大小
【答案】
巩固练习
1、（1） （2） （3）
答案：（1）（2）（3）
2、
【答案】解:（Ⅰ）原式
3、已知，， ，则
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
4、已知,则的大小关系是
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
5、若集合，则
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
6、函数过定点
答案：
7、如果，那么函数的图象在
（A）第一、二、三象限 （B）第一、三、四象限
（C）第二、三、四象限 （D）第一、二、四象限
【答案】B
8、如果函数，那么函数是
（A）奇函数，且在上是增函数
（B）偶函数，且在上是减函数
（C）奇函数，且在上是增函数
（D）偶函数，且在上是减函数
【答案】D
9、已知函数 若有,则的取值范围为
（A） （B）
（C） （D）
【答案】B
10、若函数的图象不经过第一象限，则的取值范围是.
【答案】
11、定义在上的奇函数,已知当时,.
（Ⅰ）求在上的解析式;
（Ⅱ）若时,不等式恒成立,求实数的取值范围.
【答案】（Ⅰ）因为定义在上的奇函数,
所以.
设,所以.
所以,
所以在上的解析式.
（Ⅱ）若时,不等式恒成立,
即恒成立.
因为,
所以,
因为在上单调递减.
所以时,的最大值为.
所以.
12、已知函数是定义域为R的指数函数.
（Ⅰ）若，求函数的解析式；
（Ⅱ）若，求的值；
（Ⅲ）若在区间上的值域是，且，求实数的取值范围.
【答案】
解：设 ……… 2分
（Ⅰ）因为，
所以，所以
所以函数的解析式的解析式为 ……… 5分
（Ⅱ）因为，所以 ……… 6分
所以 ……… 9分
（Ⅲ）因为是指数函数，且在区间上的值域是（0，1]，
所以,
所以在R上是单调递减函数. ……… 10分
又因为 ……… 11分
所以
所以
所以
故实数x的取值范围是 ……… 13分第五讲 指数与指数函数
课前检测
成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差
1．如图是幂函数和在第一象限内的图象，则（ ）
（A） （B）
（C） （D）
2．幂函数曲线当时的图象为(　　)
（A） （B）
（C） （D）
3．若幂函数的图象过点，则它的单调递减区间是（ ）
（A） （B） （C） （D）
4．已知幂函数在实数集上单调，那么实数＝________.
5．已知幂函数的图象与轴，轴都无交点，则函数的解析式是________．
教学目标
1.能理解指数的定义，并进行对应运算
2.能理解运用指数函数的定义及图象
3.能运用指数函数处理实际问题
知识框架
知识要点
知识点1：次方根和分数指数幂
如果，那么叫做的平方根.例如是4的平方根
如果，那么叫做的立方根.例如3是8的立方根
一般地，如果，那么叫做的次方根.其中，且
负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作
式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数
根式也可以表示成分数指数幂的形式，于是规定，正数的正分数指数幂的意义是，在条件下，根式都可以写成分数指数幂的形式
同理，我们规定正数的负分数指数幂的意义相仿，我们规定：
的正分数指数幂等于，0的负分数指数幂没有意义
规定了分数指数幂的意义以后，幂中指数的取值范围从整数拓展到了有理数
运算公式：（1）为奇数时，（2）为偶数时，
考点一：求值运算
【例1】求下列各式的值
（1）；（2）；（3）；（4）
【练习1】求下列各式的值
（1）；（2）；（3）；（4）
【例2】把下列根式改成为分数指数幂
（1）；（2）；（3）
【练习1】用根式的形式表示下列各式（）
（1）；（2）；（3）；（4）
【练习2】把下列根式用分数指数幂表示
（1）；（2）；（3）；（4）
知识点2：运算法则
整数的指数运算法则在拓展到有理数时依然成立，对于任意的有理数，均有以下运算性质
（1）
（2）
（3）
（4）
考点一：求值运算
【例1】（1）（2）
【练习1】（1）（2）
【练习2】（1） （2） （3）
考点二：等式化简
【例1】（1）（2）（3）（4）
（5）
【练习1】计算下列各式（字母均为正数）
（1）（2）（3）（4）（5）（6）
【练习2】（1） （2）（3）（4）（5）
【练习3】化简
【练习4】已知，，求
【例2】已知，求的值
【练习1】已知，求下列各式的值
（1） （2）
【练习2】若，求的值．
知识点3：无理数指数幂
我们上述的学习是基于有理数指数幂的基础上，而指数也可以是无理数.
的不足近似值 的近似值 的过剩近似值 的近似值
1.4 9.52 1.5 11.18
1.41 9.67 1.42 9.83
1.414 9.71 1.415 9.75
1.4142 9.7383 1.4143 9.74
1.41421 9.73846 1.41422 9.7386
1.414213 9.738509 1.414214 9.738524
一般地，无理数指数幂为无理数）是一个确定的实数，指数的范围我们也从整数逐渐拓展到了实数，实数指数幂是一个具体的实数.
有理数指数幂的运算法则同样适用于无理数指数幂，所以对于任意的实数指数幂都具有以下运算法则：
（1）
（2）
（3）
（4）
考点一：化简求值运算
【例1】（1）（2）
【练习1】（1）（2）
【练习2】将下列数从小到大排列
知识点4：指数函数的定义
引入：当生物死亡后，它机体内的碳14含量会按照确定的比例衰减(称为衰减率)，大约每5730年衰减为原来的一半，这个时间称为半衰期，按照上述变化规律，生物体内的碳14含量与死亡年数之间有怎样的变化？
假设年衰减率为，根据已知条件，所以，所以
设生物死亡年数为，死亡生物体内碳14含量为，那么，即
我们把上式的替换成字母，那么函数就可以表示成的形式，其中指数是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量.
一般地，函数叫做指数函数，其中指数是自变量，定义域是
考点一：利用解析式求值
【例1】已知指数函数，且，求的值
【练习1】设函数，且
（1）求函数的增长率
（2）求
【练习2】一种产品原来的产量是100件，今后10年内，计划使产量平均每年比上一年增加，写出年产量关于经过年的函数解析式，并求出第几年超过130件
【练习3】按复利计算（前一期的本金加利息加在一起记作下一期的本金）的一种储蓄，本金为元，每期利率为，本利和为，存期数为.
（1）写出本利和关于存期数的函数解析式
（2）如果存入本金1000元，每期利率为，试计算5期后的本利和
知识点5：指数函数的图象及性质
利用描点法，画出如下图象
图象
定义域
值域
过定点 过定点 过定点
单调性 减函数 增函数
考点一：图象过定点
【例1】若，则函数的图象必过定点 ．
【练习1】若，则函数的图象必过第 象限内的定点．
考点二：指幂比大小
【例1】比较下列各题中两个值的大小
（1）（2）（3）
【练习1】下列大小关系正确的是
（A） （B）
（C） （D）
【练习2】设,,,则的大小关系是
（A） （B） （C） （D）
【练习3】设，则的大小关系是
（A） （B）
（C） （D）
【练习4】已知,则的大小关系是 （A） （B）
（C） （D）
考点三：指数的值域
【例1】函数的值域为
（A） （B） （C） （D）
【练习1】求下列指数函数的值域.
（1） ； （2）； （3）
【练习2】求下列指数函数的值域.
（1）(2)
考点四：指数的单调性应用
【例1】比较下列各项中的大小
（1）（2）（3）（4）
【练习1】已知，求的范围
【练习2】已知，求的范围
【练习3】已知，则的取值范围为__________.
【练习4】已知，求的范围
答案：
考点五：底数的比较
【例1】如图是指数函数（1）；（2）；（3）；（4）的图象，则与1的大小关系是
（A） （B）
（C） （D）
【练习1】已知时，的图象在的上方，且，试比较的大小？
【练习2】已知时，的图象在的下方且，且是比较的大小？
考点六：与指数相关的函数图象变换
【例1】函数的大致图象是
【练习1】函数的图象大致是
（A） · （B） （C） （D）
【练习2】定义运算，则函数的图象是
【练习3】在下列图象中，二次函数与指数函数的图象只可能是
【练习4】 若函数的图象不经过第一象限，则的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
拓展提升
【探索1】比较下列数的大小
（1）与、与，同时思考与两函数的图象在上交点的个数
（2）与
【探索2】已知，求证
【探索3】从盛有1纯酒精的容器中倒出，然后用水填满，再倒出，又用水填满.
（1）连续进行5次后，容器中的纯酒精还剩下多少
（2）连续进行次后，容器中的纯酒精还剩下多少
【探索4】（1）当是，用计算工具计算的值.
（2）越来越大时，的底数越来越小，而指数越来越大，那么是否也越来越大，有没有最大值.
【探索5】已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交
（1）求该函数解析式，并画出图象
（2）判断该函数的奇偶性与单调性
【探索6】已知
（1）讨论函数的单调性
（2）如果，那么的取值范围
小试牛刀
1、若函数恒成立，求的范围（）
（A） （B） （C） （D）
2、函数的值域为
（A） （B） （C） （D）
3、已知，则的取值范围为__________.
4、函数的值域为__________.
5、比较与的大小
巩固练习
1、（1） （2） （3）
2、
3、已知，， ，则
（A） （B） （C） （D）
4、已知,则的大小关系是
（A） （B） （C） （D）
5、若集合，则
（A） （B） （C） （D）
6、函数过定点
7、如果，那么函数的图象在
（A）第一、二、三象限 （B）第一、三、四象限
（C）第二、三、四象限 （D）第一、二、四象限
8、如果函数，那么函数是
（A）奇函数，且在上是增函数
（B）偶函数，且在上是减函数
（C）奇函数，且在上是增函数
（D）偶函数，且在上是减函数
9、已知函数 若有,则的取值范围为
（A） （B）
（C） （D）
10、若函数的图象不经过第一象限，则的取值范围是.
11、定义在上的奇函数,已知当时,.
（Ⅰ）求在上的解析式;
（Ⅱ）若时,不等式恒成立,求实数的取值范围.
12、已知函数是定义域为R的指数函数.
（Ⅰ）若，求函数的解析式；
（Ⅱ）若，求的值；
（Ⅲ）若在区间上的值域是，且，求实数的取值范围.

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