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模块4、二项式定理
题型一、求相关项的系数
【能量补给站】
同学们，恭喜你们又过了一关，初中我们学习了，那么更高次的展开式该怎么去学习呢？
结构一、
【火眼金睛】
1.（x2）5的展开式中x4的系数为（　　）
A．10 B．20 C．40 D．80
2．（x2）6的展开式中常数项是 　　（用数字作答）．
结构二、
【火眼金睛】
当我们遇到这种形式的结构，可以分别利用二项展开式求指定项，然后把两个或多个同类项合并求解就可以得出答案。
在展开式中，含x3的项的系数是__________．
2．的展开式中整理后的常数项等于______；
结构三、
【火眼金睛】
遇到乘积这种形式的，我们要学会使用排列组合里面的系数分配方法，前面一个括号取多少与后面一个括号取多少是种分配的关系，最后一步将同类项进行合并。
3.1、单变量问题
1．（1+2x2）（1+x）4的展开式中x3的系数为（　　）
A．12 B．16 C．20 D．24
3.2、 双变量问题
1．（2022 新高考Ⅰ）（1）（x+y）8的展开式中x2y6的系数为 　　（用数字作答）．
结构四、
【火眼金睛】
当我们遇到括号里面有三项的这种形式的时候，一般我们有两种处理方式
①若里面可以化简为完全平方式，可以化成两项式的常规方法来处理。
②若里面不能进行化简，可以将其中两项看做一个整体进行展开，最后分类来讨论。
1、的展开式中常数项是（ ）
A．-252 B．-220 C．220 D．252
2．（2020·全国高三专题练习）展开式中常数项为（ ）.
A．11 B． C．8 D．
3．的展开式中的项的系数是________.
题型二、二项式系数和与系数和
【能量补给站】
同学们，继学习了指定项的系数后，如果想要求解所遇的系数和该怎么做呢？这里给你一个小妙招。
①二项式系数和为
②处理：令变量
结构一、二项式系数与系数和的求法
1．在的二项展开式中，二项式系数之和为___________；所有项的系数之和为_______.
结构二、二项式系数的性质
【火眼金睛】
遇到考察二项式系数的性质问题时，我们要熟练运用以下二项式系数性质来解决问题
①当幂指数n为偶数时，中项即第项二项式系数最大；当幂指数n为奇数时，中项即第项二项式系数相等且最大。②奇数项与偶数项二项式系数和相等：
2.1、根据n的奇偶性判断二项式系数最大值问题
1.设为正整数，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为，若13=17，则= ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
2.展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（ ）
A． B． C．-180 D．-90
2.2、奇数项二项式系数和与偶数项二项式系数和
1.已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )
A. B. C. D.
结构三、赋值法求系数和
【火眼金睛】
3.1、单变量问题
1.已知的展开式中第9项为常数项，则展开式中的各项系数之和为（ ）
A． B． C． D．
3.2、多变量问题
在的展开式中，求展开式系数和。
3.3、奇偶项系数和
1．（2020·浙江台州市）若，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．已知多项式可以写成，则（ ）
A．0 B． C． D．
3.（多选题）已知，下列命题中，正确的是（ ）
A．展开式中所有项的二项式系数的和为；
B．展开式中所有奇次项系数的和为；
C．展开式中所有偶次项系数的和为；
D．.
4．在的展开式中，求：
(1)二项式系数的和；
(2)各项系数的和；
(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；
(4)奇数项系数和与偶数项系数和；
(5)的奇次项系数和与的偶次项系数和．
结构四、求系数最大的项
【火眼金睛】
当我们遇到求系数最大项的问题时，我们可以假设第
代入系数展开式，得出答案。
1．（多选）二项式的展开式中，系数最大的项为（ ）.
A．第五项 B．第六项 C．第七项 D．第八项
2.（多选题）已知展开式中，各项系数的和比它的二项式系数的和大，则下列结论正确的为（ ）
A．展开式中偶数项的二项式系数之和为 B．展开式中二项式系数最大的项只有第三项
C．展开式中系数最大的项只有第五项 D．展开式中有理项为第三项、第六项
结构五、求二项式展开式的系数组合值
【火眼金睛】
当我们求解二项式展开式的系数组合问题时，一般会遇到如下几种类型，我们相应的解决办法可以按照下面的步骤来。
5.1、
1．已知展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，，若，则的值为( )
A．1 B．－1 C．8l D．－81
5.2、
1.若＝＋＋＋…＋，
－=
2.若则的值为 ( )
A.1 B.－1 C.0 D.2
5.3、
1．已知 ，则_____.
2.已知，则（ ）
A．405 B．406 C． D．
题型六、二项式定理的综合应用
【能量补给站】
同学们好，二项式定理的应用问题，主要是跟杨辉三角有关系的，利用二项式定理的对称性来解决问题。
结构一、杨辉三角
【火眼金睛】
当我们碰到杨辉三角问题时，如果按照标准三角形的形式来，第行有个数据，每一行
的数据之和为，前的和
通过这些小结论，我们结合题目具体的要求，来实现求和以及求特定的项。
1．我国南宋数学家杨辉在他所著的《详解九章算法》中提出了如图所示的三角形数表，这就是著名的“杨辉三角”，它是二项式系数在三角形中的一种几何排列.从第1行开始，第行从左至右的数字之和记为，如：为各项非零的等差数列，其前项和为，且，则数列的前项和________________.
2．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，若第行中从左至右第14与第15个数的比为，则的值为___________.
结构二、误差估计
【火眼金睛】
1．的近似值（精确到0.01）为（ ）
A．1.12 B．1.13 C．l.14 D．1.20
2．（2020·全国高三课时练习）的计算结果精确到个位的近似值为（）
A．106 B．107 C．108 D．109
3.的计算结果精确到0.001的近似值是
结构三、余数探求
【火眼金睛】
1．设，且，若能被13整除，则（ ）
A．0 B．1 C．11 D．12
2. 除以88的余数是（ ）
A．2 B．1 C．86 D．87
模块5、计数原理
题型一、组合数
【能量补给站】
题型一：组合
(
排列组合问题看似复杂，实际上有据可循，同学们看完公式，你还觉得它难么？
①
②
平均分组与部分平均分组：
（平分几组就除以几组的阶乘）
)
结构一、组合数的计算公式
【火眼金睛】
1.1、
1．设n为满足不等式的最大正整数，则n的值为（ ）．
A．11 B．10 C．9 D．8
1.2、
1．已知，（ ）
A．1 B．m C． D．0
2．（ ）．
A． B． C． D．
结构二、组合数的应用
【火眼金睛】
组合数的定义：从个不同的元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示
1. 从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，至少有一名女生入选，则不同的选法一共多少种？（用数字填写答案）
从10名大学毕业生选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法数是多少？
A.85 B.49 C.56 D.28
题型二、排列
【能量补给站】
(
排列组合问题看似复杂，实际上有据可循，同学们看完公式，你还觉得它难么？
①
②
全排列：
③
分组再分配：
（平分几组就除以几组的阶乘）
)
结构一、排列数的计算
【火眼金睛】
1．对于满足的正整数n，（ ）
A． B． C． D．
2.若，则m的值为 ( )
A．5 B．3 C．6 D．7
结构二、排列数方程与不等式
1．（1）解不等式；（2）证明：.
【解构分析】考查利用排列数解方程与解不等式问题，遇到此类题型，一是要正确的写出排列数，而是注意排列公式中变量的取值范围。
结构三、全排列问题
【火眼金睛】
个元素随便排的方法数：
1.在新冠肺炎疫情防控期间，某记者要去武汉4个方舱医院采访，则不同的采访顺序有（ ）
A．4种 B．12种 C．18种 D．24种
2．将5本不同的数学用书放在同一层书架上，则不同的放法有（ ）
A．50 B．60 C．120 D．90
题型三：常见的排列组合题型
【能量补给站】
排列组合一些比较常见的题型，复习也要注意抓重点哦，读书百遍，其义自见.
结构一、数字问题
【火眼金睛】
数字问题是排列组合题型中出现频率较高的一种题型，对数字的排列问题考查的点也比较多，需要我们认真去审题，一般分为如下几种：
①无重复数字排列问题，要注意先把特殊元素排好，后进行分类讨论；
②数字被整除问题，要注意对数字进行因式分解，然后转化为集合的子集个数问题去研究。
③奇偶个数问题注意末位数字的奇偶性，同时如果有特殊元素0的话，注意不能放在首位。
④数字比大小个数问题，可以从第一位开始比较，然后依次往后面递推去计算即可。
1.1、无重复数字排列问题
1．从1，3，5，7，9中任取3个数宇，与0，2，4组成没有重复数字的六位数，其中偶数共有（ ）
A．312个 B．1560个 C．2160个 D．3120个
2．用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有 　　个．（用数字作答）
1.2、数字被整除问题
1.从1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数中取三个，所取三个数之积为偶数且能被3整除，则不同的选取方法有（ ）
A．55种 B．61种 C．64种 D．70种
2 . 30030能被多少个不同的偶数整除？
1.3、奇偶数个数问题
1.由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是（ ）
1.4、数字之查字典比大小问题
1. 由0，1，2，3，4，5六个数可以组成多少个没有重复数字的比324105大的数字？
1.5、数字分行排列问题
1．现将0－9十个数字填入下方的金字塔中，要求每个数字都使用一次，第一行的数字中最大的数字为a，第二行的数字中最大的数字为b，第三行的数字中最大的数字为c，第四行的数字中最大的数字为d，则满足的填法的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．将数字1，2，3，4，5，6按第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数的形式随机排列，设表示i行中最大的数，则满足的所有排列的个数是_________．（用数字作答）
结构二、排队问题
2.1、特殊元素优先安排
【火眼金睛】
对于带有特殊元素的排列问题，一般应先考虑特殊元素、特殊位置，再考虑其他元素与其他位置，也就是解题过程中的一种主元思想；若含有两个或两个以上的特殊位置或特殊元素，则应使用集合的思想来考虑，这种情况又分为：无关型(两个特殊位置上分别可取的元素所组成的集合的交是空集)；包合型(两个特殊位置上分别可取的元素所组成集合具有包合关系)；影响型(两个特殊位置上可取的元素既有相同的，又有不同的) ．
1．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（　　）
A．192种 B．216种 C．240种 D．288种
2.（2021·全国·专题练习）为了纪念高中三年舍友之间留下的深厚情感，某宿舍的7位同学决定站成一排合照留念，其中中间位置只能站甲或乙，且甲、乙、丙三人不站在两侧，则不同的安排方法有（ ）.
A．232种 B．464种 C．288种 D．576种
2.2、元素相邻问题
【火眼金睛】
对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”起来，看作一个“大元素”与其他元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列．
1.某班优秀学习小组有甲 乙 丙 丁 戊共5人，他们排成一排照相，则甲 乙二人相邻的排法种数为（ ）
A．24 B．36 C．48 D．60
2．在某场新冠肺炎疫情视频会议中，甲 乙 丙 丁 戊五位疫情防控专家轮流发言，其中甲必须排在前两位，丙 丁必须排在一起，则这五位专家的不同发言顺序共有（ ）
A．8种 B．12种 C．20种 D．24种
3．5个人排成一排照相，甲乙要相邻，则有多少种排列的方法（ ）
A．24种 B．36种 C．48种 D．72种
2.3、元素不相邻问题
【火眼金睛】
对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入即可．
1.省实验中学为预防秋季流感爆发，计划安排学生在校内进行常规体检，共有3个检查项目，需要安排在3间空教室进行检查，学校现有一排6间的空教室供选择使用，但是为了避免学生拥挤，要求作为检查项目的教室不能相邻，则共有（ ）种安排方式.
A．12 B．24 C．36 D．48
2．3位老师和4名学生站成一排，要求任意两位老师都不相邻，则不同的排法种数为（ ）
A． B．
C． D．
2.4正难则反间接法
【火眼金睛】
对某些排列组合问题，当从正面入手情况复杂，不易解决时，可考虑从反面入手，将其等价转化为一个较简单的问题来处理．即采用先求总的排列数(或组合数)，再减去不符合要求的排列数(或组合数)，从而使问题获得解决的方法(其实它就是补集思想) ．
1.将7个人从左到右排成一排，若甲、乙、丙3人中至多有2人相邻，且甲不站在最右端，则不同的站法有　　
A．1860种 B．3696种 C．3600种 D．3648种
2.如图，的边上有四点、、、，上有三点、、，则以、、、、、、、中三点为顶点的三角形的个数为（ ）
A． B．
C． D．
3.有6个座位连成一片排，现有3人入座，则恰有两个空位相邻的不同坐法的种数是　　
A．36 B．48 C．72 D．120
2.5、部分元素定序法
【火眼金睛】
对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数．
1.用，，，，，，这七个数字组成没有重复数字的七位数中，①若偶数，，次序一定，有多少个？②若偶数，，次序一定，奇数，，，次序也一定，有多少个？
2.信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号。现有3面红旗、2面白旗，把这五面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是多少？（用数字做答）
结构三、分组分配问题
【火眼金睛】
当题目中出现了平均分配的字眼时，我们注意看平均分了几组，组合完之后别忘记除以平均分组的组数阶乘，然后根据分配的人数，进行排列，不分配则不排列
3.1、平均分组
1．（2020·河北）特岗教师是中央实施的一项对中西部地区农村义务教育的特殊政策.某教育行政部门为本地两所农村小学招聘了6名特岗教师，其中体育教师2名，数学教师4名.按每所学校1名体育教师，2名数学教师进行分配，则不同的分配方案有（ ）
A．24 B．14 C．12 D．8
2．公元2020年年初，肆虐着中国武汉，为了抗击，中国上下众志成城，纷纷驰援武汉.达州市决定派出6个医疗小组驰援武汉市甲、乙、丙三个地区，每个地区分配2个医疗小组，其中A医疗小组必须去甲地，则不同的安排方法种数为（ ）
A．30 B．60 C．90 D．180
3.2、部分平均分组
1.（2020·全国）疫情期间，上海某医院安排5名专家到3个不同的区级医院支援，每名专家只去一个区级医院，每个区级医院至少安排一名专家，则不同的安排方法共有（ ）
A．60种 B．90种 C．150种 D．240种
3.3、 不平均分组
1.将6本不同的书分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，一共有几种分法？
A. 15 B.30 C.45 D.60
结构四、染色问题
【火眼金睛】
对于染色问题，我们采用先局部后整体的策略，常考的题型为平面相邻区域不同色，或者空间立体几何相邻端点不同色问题，遇到复杂一些的问题，我们可以用讨论或者列举法去一步步分析，总之都要通过定下来的一部分去讨论剩下的一部分。
4.1、平面方块形相邻区域不同色问题
1.如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有（ ）种.
A．24 B．48 C．72 D．96
2.如图所示，有5种不同的颜色供选择，给图中5块区域A，B，C，D，E染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色，则共有（ ）种不同的染色方法.
A．210 B．360 C．420 D．640
4.2、平面环状相邻区域不同色问题
1.给图中A，B，C，D，E，F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有（ ）种不同的染色方案.
A．96 B．144 C．240 D．360
4.3、立体图形相邻线段两端不同色问题
1.用五种不同的颜色给三棱柱六个顶点涂色，要求每个点涂一种颜色，且每条棱的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有 种（用数字作答）．
2.将一个五棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两个端点异色，如果只有4种颜色可供使用，那么不同染色方法总数为　　
A．120 B．125 C．130 D．135
3．如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用
A．288种 B．264种 C．240种 D．168种
结构五、多面手模型
【火眼金睛】
此类问题一般出现在有人会好几种技能，所以选人的时候我们要分几种不同的情况去分析，然后把选派方法加起来.
1．某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有　　
A．56种 B．68种 C．74种 D．92种
2．现有甲、乙、丙、丁、戌5人参加社区志愿者服务活动，每人从事团购、体温测量、进出人员信息登记、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．若甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是　　
A．234 B．152 C．126 D．108
结构六、鞋子配对问题
【火眼金睛】
(
遇到鞋子配对问题，成双的鞋子只需要在总鞋子双数中任取一只，不成对的鞋子是要分左右脚的，按两种可能来算。比如从
双鞋子中任取
一双
成对，则总选法数为：
)
1.从5双不同的鞋中任取4只，求4只鞋中至少有2只配成一双的概率是多少？
结构七、座位问题
【火眼金睛】
对于座位问题，我们一般分为两类，空位问题与错排问题，对于空位问题，我们一般使用插空法进行处理，先排好一部分元素，剩下的元素进行插空.对于错位排列问题，我们只需要记住一些常见的错排方法数就可以解题了.
7.1 、空位问题
1. 有6个座位连成一片排，现有3人入座，则恰有两个空位相邻的不同坐法的种数是　　
A．36 B．48 C．72 D．120
7.2、错排问题
错位排列：指的是排列好的n个元素，经过一次再排序后，每个元素都不在原来的位置，即为这n个元素的错排。
重要结论：1个元素的错位排列有0种，2个元素的错位排列有1种，3个元素的错位排列有2种，4个元素的错位排列有9种，5个元素的错位排列有44种。
错位排列的递推公式：
4位顾客将各自的帽子随意放在衣服架子上，然后，每人随意取走一顶帽子，则4人取走的都不是自己帽子的有多少种取法？
2.安排6位班主任监考6个班级，则其中恰好有2位班主任监考自己班的排法总数有多少种？
结构八、路灯背景
【火眼金睛】
路灯问题一般考察的是开关问题，我们经常采用的方法是插空法来解决此类问题.
1.某道路旁有10盏路灯，为节约用电，准备关掉其中3盏。已知两端的路灯不能关，并且关掉的灯不能相邻，则有多少种不同的关灯方法？
A.20 B.40 C.48 D.96
2.一排路灯共10盏，关闭其中3盏且不相邻，有多少种不同的情况？
结构九、车位背景
【火眼金睛】
车位背景主要考查的是插空问题，把车与车位看成两个部分，一般可以考虑先排车，再将车位进行插空.
1.某单位有8个连在一起的车位，现有4辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位中恰好有3个连在一起，则不同的停放方法数为（ ）
A.240 B.360 C.480 D.720
现在一排10个位置的空停车场，甲乙丙三辆不同的车去停放，要求每辆车左右两边都有空车位且甲车在乙、丙两车之间的停放方式共有多少种？
地面上有并排的七个汽车位，现有红、白、黄、黑四辆不同的汽车同时倒车入库。当停车完毕后，恰有两个连续的空车位，且红、白两车互不相邻的情况有多少种？
结构十、走楼梯背景
【火眼金睛】
走楼构梯背景的题一般与组合数有关系，我们可以关注两种做法
①找递推公式，比如一个12级台阶，每次只能走一阶或者两阶，故上12级台阶，可以分成2类，最后一步走一级和最后一步走两级，如果确定最后一步走一级，只需要算出走到第11级台阶的方法数，即S（11）。如果最后一步走两级，只需要算出走到第10级台阶的方法数，即S(10)。我们可以分成即S(12)=S（11）+S(10)，依次类推
②用组合数来求解，确定不同跨阶的步数进行组合。
一楼梯共个台阶步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的走法？
结构十一、节目单背景
【火眼金睛】
与节目单背景相关的问题，一般涉及到新增节目不改变原有节目相对顺序或者相同类型节目不相邻，我们一般采用插空法，有部分元素的位置有特殊要求时，可以采取优先安排的方法去处理。
11.1、新增节目不改变原有节目相对顺序
1. 在含个节目的节目单中，临时插入个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少种插入方法？
11.2、相同类型节目不相邻
1．某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（　　）
A．72 B．120 C．144 D．168
11.3、特殊顺序要求问题
1.某电视台的一个综艺栏目对六个不同的节目排演出顺序，最前只能排甲或乙，最后不能排甲，则不同的排法共有
A．240种 B．288种 C．192种 D．216种
结构十二、球盒问题
【火眼金睛】
球盒问题是排列组合重点问题，涉及到“球是否相同，盒子是否相同”。很容易混淆， 有如下几种常考形式，我们根据所考内容找到对应的方法来处理，注意联系考点之间的关系。
①球相同，盒子相同，且盒子不能空
分非空堆有几堆，就有几种方法
②球相同，盒子相同，且盒子可以空
在①基础上加上空堆
③球相同，盒子不同，且盒子不能空
④球相同，盒子不同，且盒子可以空
⑤球不同，盒子相同，且盒子不能空
的方法数。
⑥球不同，盒子相同，且盒子可以空
在⑤的基础上加上空堆
⑦球不同，盒子不同，且盒子不能空
在⑤的基础上全排列
⑧球不同，盒子不同，且盒子可以空
1.（1）将编号为1，2，3，4的四个小球放入编号为1，2，3的三个盒子.把球全部放入盒内，共有多少种放法？
（2）将编号为1，2，3，4，5的五个小球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子，每个盒子放一个小球，若有且只有1个盒子的编号与放入小球的编号相同，有多少种不同的放法？
（3）将11个相同的小球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子中.若要求每个盒至少放一个小球，有多少种不同的放法？
带有编号1、2、3、4、5的五个球，放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，则共有__种不同放法．
结构十三、多排问题单排法
【火眼金睛】
对于多排问题，我们可以分为两步来解决此类问题
①第一步：把特殊元素在该排的排列数写出来
②第二步：把剩下的普通元素进行全排列，然后分步相乘。
1. 8人排成前后两排，每排4人，其中甲、乙在前排，丙在后排，共有多少种排法？
结构十四、连号问题
【火眼金睛】
连号问题的处理原则上第一步先用列举法写出所有连号的情况数,再将剩下的元素进行全排列，然后两者相乘处理就可以了。
现将7张连号的100元人民币分给甲、乙、丙、丁、戊、已、庚七人，每人一张，若甲、乙、丙分得的人民币连号，有多少种不同的方法（用数字做答）.
将序号分别为1，2，3，4，5的五张券分别分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种类是
结构十五、学科科目排序问题
【火眼金睛】
对于学科科目排序问题，一般考查某课程的时间安排有特殊需求问题，比如只能安排在上午或者下午，以及科目不相邻问题，我们一般可以考虑采取讨论法与插空法结合起来使用的策略来处理该类问题
某班级一天要排语文、数学、英语、生物、体育、班会六节课（上午四节，下午两节）要求上午第一节不排体育，数学课排在上午，班会课排在下午，问共有多少种不同的排课方法？
2.某班上午有五节课，分别是语文、数学、英语、物理、化学各一节课，要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同的排课法的种类是( ).
A.16 B.24 C.8 D.12
结构十六、多元问题
【火眼金睛】
多元问题分类（加法原理）处理：对于多种可能性排列的，要先进行分类，对每一类进行排列，然后利用分类加法原理进行处理。
1.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，则不同的安排方法是（ ）
A.20种 B.30种 C.40种 D.60种
2.某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有（ ）
A.16种 B.36种 C.42种 D.60种
3.由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有
A.210个
B.300个
C.464个
D.600个
结构十七、隔板问题
【火眼金睛】
一般我们遇到这个问题，必须要求元素相同才能使用该方法。可以按照有无空盒来分类。
①非空：个 相同小球放入个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于个相同小球串成一串从间隙里选个结点剪成段（插入块隔板），有
种方法
②个 相同小球放入个盒子里,允许盒子里为空的放法等价为+个相同小球放进个盒子里，每个盒子至少一个小球，即
17.1、标准型
1. 把6本相同的书放进4个不同的抽屉里，每个抽屉至少有一本书，则共有多少种方法？
2.方程的正整数解有　　
A．组 B．136组 C．190组 D．68组
3.某校准备组建一支人篮球队，这人来自个班的学生，每班至少人，名额分配方案共 种。
17.2、多分型
1. 某单位订阅了30份学习材料发放给3个部门，每个部门至少发放9份材料，问共有多少种不同的发放方法？
2 . 12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问每个盒子中的小球数不小于其编号数，不同的方法有多少种？
17.3、少分型
1. 将20个大小形状完全相同的小球放进3个不同的盒子里，允许有盒子为空，但球必须放完，有多少种不同的方法？
结构十八、容斥问题（多重条件限制问题）
【火眼金睛】
容斥问题体现的是计数原理，计数的时候先把符合条件的部分全部加到一起，之后再减去重复的部分， 过程中如果多减了再补回来。
18.1、排队容斥问题
1. 6个人进行站队，其中要求甲不能站在排头，乙不能站在排尾，问一共有多少种排法？
18.2、表格填数字问题
1. 将数字1，2，3，4填入下侧表格内，要求每行、每列的数字互不相同，右图所示，则不同的填表方式共有（ ）
1 2 3 4
4 3 1 2
2 1 4 3
3 4 2 1
A.432 B.576 C.720 D.864
2．将数字、、、、、、、排成四行两列，要求每行的数字互不相同，每列的数字也互不相同，则不同的排列方法共有（ ）
A． B． C． D．
结构十九、路径问题
【火眼金睛】
路径问题一般考查到目的地路径最短问题和相遇概率问题，相当于组合数问题，经常与古典概率公式结合在一起考查，比如路径最短问题，每次只能向上走或者向右走，从中选几步向上走就行。
1．如图，小明从街道的处出发，选择最短路径到达处参加志愿者活动，在小明从处到达处的过程中，途径处的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．小明与小红两位同学计划去养老院做义工．如图，小明在街道E处，小红在街道F处，养老院位于G处，小明与小红到养老院都选择最短路径，两人约定在老年公寓门口汇合，事件A：小明经过F；事件B：小明经过H；事件C：从F到养老院两人的路径没有重叠部分（路口除外），则下面说法正确的个数是（ ）
（1）；（2）；（3）．
A．3 B．2 C．1 D．0
结构二十、环排问题直排
【火眼金睛】
环排问题是没有排头与排尾的区别的，个人围成一排，第一个人的顺序有种，但是只要与其他人的相对顺序固定，只能算一种排法。所以所有人的排列数为
1. 8人围坐而坐，共有多少种做法？
2.A,B,C,D,E,F六人围坐在一张圆桌周围开会，A是会议的中心发言人，必须做最北面的椅子，B,C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有多少种？
A.60种 B.48种 C.30种 D.24种
结构二十一、排列之几何取点问题
【火眼金睛】
对于此类无问题，我们要想比较好的去解决，关键是要熟悉立体几何图形的一些相关性质，其次在使用排列组合公式算出所有的情况，然后再减去一些不满足条件的特殊情况，从而得出正确答案。
21.1、共面问题
1. 在四棱锥中，顶点为，从其它的顶点和各棱的中点任取3个点，使它们和点在同一平面上，不同的取法有（ ）种？
A.40 B.48 C.56 D.62
2.从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率是多少？
21.2、异面问题
1. 四面体的顶点及各棱中点共有10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有
A.150种
B.147种
C.144种
D.141种
21.3、公共边问题
1. 如图所示,连接正八边形的三个顶点而成的三角形中,与正八边形有公共边的三角形有(　　)个.
A．40 B．30 C．20 D．10
21.4、夹角问题
1．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为的共有( )
A．24对 B．30对 C．48对 D．60对模块4、二项式定理
题型一、求相关项的系数
结构一、
1.【解构分析】此题考查的是二项展开式特定项的系数问题，可以用进行求解即可。
【详解】解：由二项式定理得的展开式的通项为：.由10﹣3r＝4，解得r＝2，∴（x2）5的展开式中的系数为40．
故选：C．
【答案】C
2.【解构分析】此题考查的是求解展开式中的常数项问题，根据二项式的展开式，令含有未知数的项合并同类项，并令其指数为0，解出对应的r,代回计算即可。
【详解】解：由于（x2）6的展开式的通项公式为 Tr+1 2r x12﹣3r，
令12﹣3r＝0，求得r＝4，故常数项的值等于 24＝240，
故答案为：240．
【答案】240
结构二、
1.【解构分析】此题由多个结构相似的二项式加起来组合而成，且观察到指数都是大于3次的，可考虑用二项式展开式求出每一项的含有，然后进行同类项合并，把系数全部加起来，构成我们最终的答案。
【详解】(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数
为－10－20－35－56＝－121.故答案为－121.
【答案】
2.【解构分析】分别写出的通项，令的指数为0，即可求出的常数项，然后相加即可
【详解】解： 展开式的通项公式为，令，得，
所以展开式的常数项为，
展开式的通项公式为，令，得，
所以展开式的常数项为，
所以的展开式中整理后的常数项等于38，
故答案为：38
【答案】38
结构三、
3.1、单变量问题
1.【解构分析】这题是属于两个二项式乘积的形式，求展开式特定的项，我们可以采取分步骤的方式来完成
①（1+2x2）取常数1时，则必须产生，即，两者相乘可得
②（1+2）取时，则必须产生，即，两者相乘可得
再将以上两种结果作为同类项相加即可求解。
【详解】解：（1+2x2）（1+x）4的展开式中x3的系数为：
1212．
故选：A．
【答案】A
3.2、双变量问题
1.【解构分析】考查两个二项式相乘的形式，可以将后面的通项公式展开，因为前面（1）只能提供常数1和，所以后面二项式即可
【详解】解：（x+y）8的通项公式为Tr+1＝C8rx8﹣ryr，
当r＝6时，，当r＝5时，，
∴（1）（x+y）8的展开式中x2y6的系数为．
故答案为：﹣28．
【答案】﹣28
结构四、
1.【解构分析】此题括号里有三项，且满足完全平方公式，考虑转化为二项式展开式进行求解。
【详解】(1）由
可得二项式的展开式通项为，
令，解得，所以展开式的常数项为.故选：A.
【答案】A
2.【解构分析】注意到此题是一个三项式，而且不能化为二项式，考虑将其中二项看成一个整体进行求解。
【详解】将看成一个整体，展开得到：
的展开式为：取
当时，系数为：，当时， 系数为：
常数项为 故答案选B
【答案】B
3.【解构分析】发现括号内的可以分解为，可以变形为，变成二个二项式相乘的形式，考虑用系数的分配进行求解。
【详解】由，
因为的展开式的通项公式为，的展开式的通项公式为，
所以的展开式中的项的系数是.故答案为：1560.
【答案】1560
题型二、二项式系数和与系数和
结构一、二项式系数与系数和的求法
1.【解构分析】根据二项式系数和与系数和公式进行代入求解即可。
【详解】根据二项展开式的性质，展开式的二项式系数之和为，
令可得所有项的系数之和为，故答案为：，
【答案】
结构二、二项式系数的性质
2.1、根据n的奇偶性判断二项式系数最大值问题
1.【解构分析】根据指数与的奇偶性，结合二项式系数最值问题，列等式求解
【详解】：前面展开后共有(奇数项)，后面展开后共有(偶数项)，则有：，化为阶乘：，得=6，选B。
【答案】B
2.【解构分析】根据二项式系数最大的项，可以求解出，然后利用二项展开式算出常数项即可。
【详解】展开式中只有第六项的二项式系数最大，，
故展开式的通项公式为，令，解得，所以展开式中的常数项为.故选：A
【答案】A
2.2、奇数项二项式系数和与偶数项二项式系数和
1.【解构分析】根据第4项与第8项的二项式系数相等，可得解出，再根据奇数项和与偶数项和相等，都等于进行求解。
【详解】：由，得n=10，奇数项与偶数项的二项式系数和相等：为，选D。
【答案】D
结构三、赋值法求系数和
3.1、单变量问题
1.【解构分析】题目中只有一个变量，根据系数和展开式的特点，令=代入计算即可。
【详解】，所以，则,
令，可得，所以展开式中的各项系数之和为．故选：A.
【答案】A
3.2、多变量问题
1.【解构分析】该结构里面有两个变量，可以令代入式子即可。
【详解】解：令，则各项系数和为
【答案】1
3.3、奇偶项系数和
1.【解构分析】本题考查的是偶数项系数和问题，分别令代入得到两组式子，通过联立方程即可求解。
【解析】令可得：，
令可得：，两式相加可得：，
所以，故选：B
【答案】B
2.【解构分析】根据展开式的形式逆向变形，可以得到未展开的式子形式，进而求解。
【详解】由题意，多项式
，
即，
令，可得，
令，可得，
两式相加，可得，可得.
故选：C.
【答案】C
4.【解构分析】由二项式定理知的所有项的二项式系数和为，分别令、，再将所得作和差处理，求奇偶次项的系数和，根据通项，即可求，进而判断各选项的正误.
【详解】对于A：由二项式知：，故A正确；
当时，有，
当有，
对于B：由上，可得，故B错误；
对于C：由上，可得，故C正确；
对于D：由二项式通项知：，
则，，…，，
所以，故D正确.
故选：ACD
【答案】ACD
4.【解构分析】（1）（3）根据二项式系数的和公式即得；
（2）（4）（5）设，利用赋值法结合条件即得.
【详解】（1）二项式系数的和为；
（2）令，则各项系数和为；
（3）奇数项的二项式系数和为，
偶数项的二项式系数和为；
（4）设，
令，得到，
令，得，
所以，
即奇数项系数和为，
所以，
即偶数项系数和为；
（5）的奇次项系数和为，
的偶次项系数和为．
【答案】(1)；
(2)1；
(3)；；
(4)；；
(5)；．
结构四、求系数最大的项
1.【解构分析】注意到二项式中的式子没有出现单独的常数项，所以二项式系数和与系数和一致，可以用指数n的奇偶性来判断。
【详解】二项式的展开式中，每项的系数与二项式系数相等，共有12项
所以系数最大的项为第六项和第七项故选：BC
【答案】BC
2.【解构分析】本题考查二项展开式的系数和与二项式系数和问题，可根据二项式系数和中的奇数项和与偶数项和相等的性质判断A选项；通过题目条件算出n后，结合n的奇偶性判断二项式系数最大项可判断B选项；用系数最大值的判断方法判断C选项；结合n及二项式展开式判断D选项。
【详解】令，可得展开式中各项系数的和为，又二项式系数的和，
因为各项系数的和比它的二项式系数的和大，所以，解得，
对A：因为二项式展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，
所以展开式中，偶数项的二项式系数的和为，故A错误；
对B：因为，所以第三项、第四项的二项式系数最大，故B错误；
对C：，设展开式中系数最大的项是第项，
则，解得，又，所以，
所以展开式中系数最大的项只有第五项，故C正确；
对D：若是有理项，则当且为整数，又，，
所以，所以展开式中有理项为第三项、第六项，故D正确.故选：CD
【答案】CD
结构五、求二项式展开式的系数组合值
5.1、
1.【解构分析】根据第三项与第四项的二项式系数相等可算得n,再由赋值法令变量，可求得，结合的正负相间的形式，考虑令变量即可求解。
【详解】因为展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，
故可得，令，故可得，又因为，令，
则，
解得令，则.故选：B.
【答案】B
5.2、
1.【解构分析】此题是比较典型的平方差公式，可以转化为奇数项系数和与偶数项系数和来求解。
【详解】令，得，令，得，
.故选：A.
【答案】1
2.【解构分析】利用平方差公式展开后，结合赋值法和联立方程组，对奇数项系数和与偶数项系数和进行求解
【详解】：原式=，令x=1与x=-1分别得：，，原式=，选A。
【答案】 A
5.3、
1.【解构分析】此题是属于系数展开式问题，且系数组合是属于正负相间型，考虑用赋值法令，且的系数绝对值与下标保持一致，考虑对题目所给等式两边使用幂函数的复合函数求导法则进行求导，将下标往系数上进行转移。即先求导，后赋值。
【详解】对等式两边求导，得，令，则.
【答案】
2.【答案】C
【解构分析】利用导数，结合赋值法求得所求表达式的值.
【详解】，令，；
两边求导得，，
令，.
∴.
故选：C
【答案】C
题型六、二项式定理的综合应用
结构一、杨辉三角
1.【解构分析】根据三角形中的几何排列规则可得再根据等差数列的递推公式，，可得是等差除等比类型，可以利用错位相减求和即可求得.
【详解】根据“杨辉三角”中的几何排列规则可得
所以数列的通项公式为
又数列为各项非零的等差数列，
由等差数列前项和公式可得，
即，又，所以，
即数列的通项公式为
可得数列的前项和
可得
所以
故答案为：
【答案】
2.【解构分析】根据杨辉三角形中数据的规律可以写出第行中从左至右第14与第15个数的表达式，根据比例结果可计算得的值.
【详解】由题意可知，根据二项式定理展开式的数字规律可以看出第行中从左至右第个数为
所以，第行中从左至右第14与第15个数分别是和；
即，由组合数计算公式
可得，计算的；
故答案为：34.
【答案】34
结构二、误差估计
1.【详解】
.
故选：B．
【答案】B
2.【解构分析】根据估计值的计算方式和精确度要求，考虑将1.95拆开变成2-0.05的形式，按照二项式定理展开，当加到某一项的绝对值小于等于1时，算出结果即可。
【解析】∵，
∴.故选B
【答案】B
3.【解构分析】0.99接近1.考虑将0.99用1-0.01表示，当加到某一项的绝对值小于等于0.001的时候停止，即为所求近似值。
【解析】
故选B
【答案】0.941
结构三、余数探求
1.【解构分析】本题考查二项式定理的应用，能被13整除，而52能被13整除，考虑令=，然后用二项式定理展开，观察式子结构求解。
【详解】由题意，因为，
所以，
又因为52能被13整除，所以只需能被13整除，
因为，，所以.
故选：D.
【答案】D
2.【解构分析】注意到题目中90的次方与后面的指数保持一致，联想到二项式定理
，变成为，跟88有关的考虑变形为，将含有88的整数倍的数合并起来，剩余的数即为余数。
【详解】因为
，
所以除以88的余数是1.故选：B.
【答案】B
模块5、计数原理
题型一、组合数
结构一、组合数的计算公式
1.1、
1.【解构分析】注意到此式子的结构是属于前后对成型，满足。可以考虑将式子按照等差数列的求和方式，使用倒序相加法。
【详解】设，则，
又，，
，由得：，
，，，，
的值为.故选：.
【答案】D
1.2、
1.【解构分析】根据，可以变形为
【详解】.故选：D
【答案】D
2.【解构分析】结合，开头的不能满足变形要求，考虑将改写为，然后进行逐次并项化简。
【详解】因为，
所以
．故选：B
【答案】B
结构二、组合数的应用
1.【解构分析】此题要求至少一名女生入选，可以直接讨论不同情况或者使用间接法。
【详解1】解法一：从2名女生，4名男生中选3人，且至少有一位女生入选有1位女生入选的情况有以下2种：①2女一男：有种选法；②1女2男：有种选法，故至少有一位女生入选的选法有4+12=16种。
【详解2】从2位女生，4位男生中选3人有种选法，其中选出的3人都是男生的选法有种，所以至少有1位女生入选的选法有20-4=16种。
【答案】16
2.【解构分析】丙没有入选，甲、乙至少有一人入选，分成一人入选或者两人入选即可。
【详解】因为丙没有入选，可把丙去掉，总人数变为9个。分为两类：一类是甲、乙两人只选一人的选法有种，另一类是甲、乙都入选的选法是种，根据分类加法计数原理可知共有种或者使用间接法：总方法数-甲乙都没有入选的方法数，即种。
【答案】B
题型二、排列
结构一、排列数的计算
1.【解构分析】总共有8个元素，且数字相邻，使用排列数的定义求解。
【详解】根据排列数定义，要确定元素总数和选取个数，元素总数为，
选取个数为，.故选：C．
【答案】C
2.【详解】根据题意，若，则有m（m﹣1）（m﹣2）（m﹣3）（m﹣4）=2×m（m﹣1）（m﹣2），即（m﹣3）（m﹣4）=2，解可得：m=5故答案为A
【答案】A
结构二、排列数方程与不等式
1.【解析】（1）由，得，
化简得，解之得，①
又，，②由①②及得.
,.
【答案】（1）；（2）详见解析.
结构三、全排列问题
1.【解构分析】按照分析，第一次取得的医院有4种可能，接下来去的医院有3种可能，接着有两种可能，1种可能，满足全排列的计算公式。
【解析】由题意可得不同的采访顺序有种，故选：D.
【答案】D
2.【详解】由题意，将5本不同的数学用书放在同一层书架上，即将5本不同数学书全排列，故有种，故选：C．
【答案】C
题型三、常见的排列组合题型
结构一、数字问题
1.1、无重复数字排列问题
1．【解构分析】题目要求组成没有重复数字的六位数字，其中0作为特殊元素是不能放在首位的，且0也是一个偶数，考虑按照0在末位与不在末位进行分类讨论。
【详解】从1，3，5，7，9中任取3个数字，与0，2，4组成没有重复数字的六位偶数，可分为以下两种情况：
①、0放在末位，从1，3，5，7，9中任取3个数宇，再与2，4全排列即可，共有个；
②、0不放在末位，从1，3，5，7，9中任取3个数宇，再从2，4中选择一个作为末位数，从剩下的非首位中选择一个放置0，再将余下的数字全排列即可，共有个；
则满足要求的偶数共有个.
故选：D.
【答案】D
2．【解构分析】本题考查了分类讨论的解题思想，至多有一个数字是偶数的四位数，包含了没有偶数的四位数和只有一个偶数的四位数。且题目要求没有重复数字，考虑使用全排列公式进行解答。
【详解】解：根据题意，分2种情况讨论：
①、四位数中没有一个偶数数字，即在1、3、5、7、9种任选4个，组成一共四位数即可，
有A54＝120种情况，即有120个没有一个偶数数字四位数；
②、四位数中只有一个偶数数字，
在1、3、5、7、9种选出3个，在2、4、6、8中选出1个，有C53 C41＝40种取法，
将取出的4个数字全排列，有A44＝24种顺序，
则有40×24＝960个只有一个偶数数字的四位数；
则至多有一个数字是偶数的四位数有120+960＝1080个；
故答案为：1080．
【答案】1080．
1.2、数字被整除问题
1.【解构分析】所取三个数之积为偶数且能被3整除，则至少有一个数能被3整除，并且三个数的组合有两种情况
①含有数字6，则其它两个数字任取都满足乘积为偶数；
②不含有数字6；至少含有数字3或9.
（1）3和9同时存在，还需要一个偶数
（2）3和9只有一个存在，还需要一个或两个偶数，进行讨论即可。
【详解】对三个数中有没有6进行分类：
①含有6时，只需从剩下的8个数中任意选两个即可，即种；
②不含6时，则需要3与9．
当3与9同时存在时，需要从剩余的3个偶数中选一个，即种；
当3与9有1个存在时，偶数可以选1个或2个，即种．
综上所述，不同的选取方法有55种，
故选：A．
【答案】A
2 . 【解构分析】300030能被偶数整数，说明其中的因数至少有一个2，其余的因数取若干个出来与2进行组合即可，归结为组合数问题。
【详解】先把30030分解成质因数的形式：；依题意偶数2
必取，3，5，7，11，13这5个因数中任取若干个数与2相乘。所有的偶因数为
【答案】32个
1.3、奇偶数个数问题
1.【解构分析】题目要求是偶数，则末位数字只能是2，4，6.注意分情况讨论。并且题目要求数字1、3都不与5相邻，考虑插空法的使用。
【详解】先确定个位数为偶数，有3种方法，再讨论：若5在首位或十位，则1，3可在三个位置中选两个排列，其排列数为若5在百位、千位或万位，则1，3可在两个位置排列，其排列数为.综上，六位偶数.
【答案】108
1.4、数字之查字典比大小问题
1. 【解构分析】问有多少个数字问题，可以考虑先从首项第一个数开始比较，然后依次到下一位，把不同结果全部相加，即可得到所求结果。
【详解】①考虑首位为4或5，则肯定满足条件，后面5位数字随便排，有
②当首位为3时，第二位是4或5时，后面4位数字随便排，有
③当首位为3，且第二位为2时，第三位是5时，后面3位数字随便排，有
④当首位为3，且第二位为2时，第三位是4，第4位是5时，后面两个数字随便排，有
⑤当首位为3，且第二位为2时，第三位是4，第4位是1时，只有一种.
所有方法种数一共有.
【答案】297
1.5、数字分行排列问题
【解构分析】方法一：先填第四行：取这10个数中最大数作为，剩余位置任取3个数填入；填第三行：取剩余6个数中最大数作为，剩余位置任取2个数填入；填第二行：取剩下3个数中最大数作为，剩余位置任取1个数，最后剩下的1个数作为，即可求出所有满足要求的情况，根据古典概型公式计算即可．
方法二：分别讨论最大的数在第4行，前3行中最大的数在第3行，前2行中最大的数在第2行的概率，然后由相互独立事件的概率乘法公式可得．
【详解】方法一：
由题可知，
第四行：，可选位置有4个，其余位置任取3个数，共有种情况；
第三行：取剩下6个数中最大的数为，可选位置有3个，其余位置任取2个数，共有种情况；
第二行：取剩下3个数中最大的数为，可选位置有2个，其余位置任取1个数，共有种情况；
第一行：最后1个数作为，
所有满足的填法共有种情况，位置不限的情况共有种，
故满足填法的概率为：，
方法二：
最大的数在第4行的概率，
在前3行中，最大的数在第3行的概率，
在前2行中，最大的数在第2行的概率，
则的概率，
故选：C．
【答案】C
2.
【分析】由题意为最大的数，即，根据题意，分别讨论、4、5三种情况，分析计算，即可得答案.
【详解】由题意得：为一定为6个数中最大的数，即，
且第二行2个数，所以一定为3,4,5中的一个，
若，则可以为1或2，第二行为2,3或1,3，第三行为4,5,6，共有个，
若，则可以为1或2或3，此时5必须在第三行，共有个，
若，则可以为1或2或3或4，满足题意共有个，
综上符合条件的排列个数为24+72+144=240.
故答案为：240
【答案】240
结构二、排队问题
2.1、特殊元素优先安排
1．【解构分析】属于排队问题的特殊位置优先安排问题，直接讨论情况较多，考虑使用间接法。
【详解】解：最左端排甲，共有120种，最左端只排乙，最右端不能排甲，有96种，
根据加法原理可得，共有120+96＝216种．
故选：B．
【答案】B
2.【解构分析】先排甲乙，再从除了甲、乙、丙之外的四人中选择两人排在两侧，最后排没有特殊位置要求的几人，按照分步乘法的方式进行。
【详解】先排中间，从甲乙中选择一人排在中间，共有种不同排法，再排两侧，从除了甲、乙、丙之外的四人中选择2人排在两侧，共有=12种不同的排法，最后排剩余的4个位置，共有=24种不同的排法，由分步乘法计数原理可知，共有种不同排法.
【答案】D
2.2、元素相邻问题
1.【解构分析】甲乙二人相邻，有特殊位置要求，考虑使用捆绑法，同时注意元素之间有内部顺序的要求。
【详解】
先安排甲 乙相邻，有种排法，再把甲、乙看作一个元素，与其余三个人全排列，
故有排法种数为.故选：C
【答案】C
2．【解构分析】可以按照甲排第一位与第二位进行分类讨论，把丙丁作为一个整体与其它元素进行排列。
【详解】当甲排在第一位时，共有种发言顺序，当甲排在第二位时，共有种发言顺序，所以一共有种不同的发言顺序.故选：C.
【答案】C
3．【解构分析】甲乙相邻，考虑使用捆绑法
【详解】5个人排成一排照相，甲乙要相邻，则有种排列的方法.故选：C.
【答案】C
2.3、元素不相邻问题
1.【解构分析】题目出现不能相邻的要求，考虑使用插空法进行解答。
【详解】6间空教室，有3个空教室不使用，故可把作为检查项目的教室插入3个不使用的教室之间，故所有不同的安排方式的总数为.故选：B.
【答案】B
2．【解构分析】任意两位老师不能相邻，考虑使用插空法，先排学生，后在学生空隙之间排老师位置，使用分步相乘原则进行处理。
【详解】根据题意，分2步进行：①将4名学生站成一排，有种排法；
②4人排好后，有5个空位可选，在其中任选3个，安排三名教师，有种情况；则有种排法；
故选：D.
【答案】D
2.4、正难则反间接法
1.【解构分析】属于特殊位置问题，甲、乙、丙3人中至多有2人相邻的对立面是三人都相邻，可以用对立事件的概率特点进行计算。
【详解】解：7个人从左到右排成一排，共有种不同的站法，
其中甲，乙，丙3个都相邻有种不同的站法，甲站在最右端有种不同的排法，
甲、乙、丙3个相邻且甲站最右端有种不同的站法，
故甲、乙、丙3人中至多有2人相邻，且甲不站在最右端，则不同的站法有种不同的站法．
故选：．
【答案】
2.【解构分析】三个点构成三角形的要求是三个点不能共线，考虑间接法，用总的组合数减去三点共线的组合数进行求解。
【解析】利用间接法，先在个点中任取个点，再减去三点共线的情况，
因此，符合条件的三角形的个数为.故选：B.
【答案】B
3.【解构分析】6个座位有3人入座，还有3个空位。恰有两个空位相邻的对立事件位都相邻或都不相邻，考虑用插空法进行计算。
【详解】解：3人坐6个座位，坐法共有，其中空坐各不相邻的坐法为，
三个空坐相连的坐法，满足条件的坐法共有．
故选：．
【答案】C
2.5、部分元素定序法
1.【解构分析】①可使用使用部分元素定序法；②总数分别除以它们之间的全排列数.
【详解】①若偶数2，4，6次序一定，则相互之间只有一种排法，使用部分元素定序法进行求解；
②若偶数之间的顺序固定，奇数之间的顺序也固定，则要用总数分别除以它们之间的全排列数.
【答案】①；②
2.【解构分析】这里面红旗之间，白旗之间是不考虑先后顺序的，即同种颜色的旗子之间的顺对顺序之间固定。
【详解】5面旗全排列有种挂法，由于3面红旗与2面白旗的分别全排列均只能算作一次的挂法，故共有不同的信号种数是
【答案】10
结构三、分组分配问题
3.1、平均分组
1．【解构分析】本题考查平均分配问题，数学老师4人平分成2堆，体育老师也平分，平分成几组，就可以在分母上除以组数的阶乘。可以按照先分堆，后分配的原则来列式子。
【详解】先把4名数学教师平分为2组，有种方法，
再把2名体育教师分别放入这两组，有种方法，
最后把这两组教师分配到两所农村小学，共有种方法.故选：C.
【答案】C
2．【解构分析】6个医疗小组，分到3个地区，每个地区配两个医疗小组，属于平均分配问题。
【详解】根据题意，分2步进行：
①将6个医疗小组平均分成3组，每组2支医疗队，有种分组方法；
②将甲所在的小组安排到甲地，其他两个小组安排到乙、丙两地，有种情况，
则有种不同的安排方法.
故选：A.
【答案】A
3.2、部分平均分组
1.【解构分析】5名专家去到3个地区，每个地区至少一位专家，先考虑分组，后分配。
【详解】5名专家到3个不同的区级医院，分为1，2，2和1,1,3两种情况；
分为1，2，2时安排有;分为1，1，3时安排有
所以一共有故选：C
【答案】C
3.3、不平均分组
1.【解构分析】每堆书的数量都不相同，不属于平均分组问题。而且没有涉及到分配，所以考虑使用组合数公式即可。
【详解】解：先从6本书中挑出1本一堆，有种情况，再从剩下的5本书中再挑出2本作为一堆，有种情况；最后剩下的3本就是第三堆，有种情况，总共有.
【答案】D
结构四、染色问题
4.1、平面方块形相邻区域不同色问题
1.【解构分析】4种颜色涂5个行政区域，相邻区域不同色，区域1与其余4个区域均相邻，优先考虑涂色，有4种涂法，剩下的4个区域再进行讨论，分为相对区域同色与相对区域不同色，但是至少有一组相对区域涂色，不然颜色不够用，然后据此进行分析即可。
【详解】先涂区域 、区域，区域，分情况讨论区域与区域同色和不同色两种情况，再涂区域，利用分步乘法和分类加法即可求解.
【详解】首先涂区域有种，其次区域有种，再次区域有种，
若区域与区域同色有种，则区域有种，
若区域与区域不同色有种，则区域有种，
所以不同的着色方法共有，
故选：C.
【答案】C
2.【解构分析】染色问题应分情况讨论，A位置与BCDE均相邻，优先考虑涂色，接下来分析BCDE，BD不相邻，CE也不相邻，可以根据BD是否同色来判断CE的涂法，一步一步进行分析。然后再利用分类分步原理求解即可.
【详解】第一步：A，则有种染色方法；
第二步分两种情况，第一种， B，D同色， 则B,D,C,E有种染色方法；
第二种，不同色，则有种染色方法；
综上，共有种染色方法.
故选：C.
【答案】C
4.2、平面环状相邻区域不同色问题
1.【解构分析】通过分析题目给出的图形，可知要完成给图中、、、、、六个区域进行染色，最少需要3种颜色，即同色，同色，同色，由排列知识可得该类染色方法的种数；也可以4种颜色全部用上，即，，三组中有一组不同色，同样利用排列组合知识求解该种染法的方法种数，最后利用分类加法求和．
【详解】解：要完成给图中、、、、、六个区域进行染色，染色方法可分两类，
第一类是仅用三种颜色染色，
即同色，同色，同色，则从四种颜色中取三种颜色有种取法，三种颜色染三个区域有种染法，共种染法；
第二类是用四种颜色染色，即，，中有一组不同色，则有3种方案不同色或不同色或不同色），先从四种颜色中取两种染同色区有种染法，剩余两种染在不同色区有2种染法，共有种染法．
由分类加法原理得总的染色种数为种．
故选：A．
【答案】A
4.3、立体图形相邻线段两端不同色问题
1.【解构分析】A,B,C在同一个面，D,E,F在同一个面。先可以考虑涂A,B,C，各不相同，再考虑涂D,E,F,按照需要颜色数来分类比较恰当。
【详解】解：分两步来进行，先涂、、，再涂、、．
①若5种颜色都用上，先涂、、，方法有种；再涂、、中的两个点，方法有种，
最后剩余的一个点只有2种涂法，故此时方法共有种．
②若5种颜色只用4种，首先选出4种颜色，方法有种；
先涂、、，方法有种；再涂、、中的1个点，方法有3种，
最后剩余的两个点只有3种涂法，故此时方法共有种．
③若5种颜色只用3种，首先选出3种颜色，方法有种；
先涂、、，方法有种；再涂、、，方法有2种，
故此时方法共有 种．
综上可得，不同涂色方案共有 种
【答案】1920种。
2.【解构分析】可以先考虑涂S，有4种涂法。再考虑底面5个点，不相邻的点可以同色，也可以异色，若AC同色，其余元素选择数固定，若AC异色，则AD还需要进一步划分情况讨论。
【详解】解：如图，有4种选择，
当同色时，有3种选择，有2种选择，有2种选择，
有一种选择，
当异色时，有3种选择，有2种选择，有1种选择，
若，相同，则有2种选择，若，不同，则有1种选择，
故有，
故选：．
【答案】
3．【解构分析】遇到这种上下面的涂色问题，可以考虑先涂一个面，在涂剩下的部分，用分组后分步相乘法去计算。
【详解】先涂点A,E,D，有种方法数；
①如果只用到3种颜色，只需要对剩余的点B,F,C进行错位排列，一共有2种方法，所以共有24种涂法。
②如果用到4种颜色，在B,F,C中选一个使用新颜色，有种，剩余的两个点与上面同色，3种颜色选两个有种，每种对应1种排法，总共有.
所以总共有种涂法
【答案】B
结构五、多面手模型
1．【解构分析】此题考查多面手问题，注意确定好分类标准。
【详解】解：设只会划左舷的3人，只会划右舷的4人，既会划左舷又会划右舷的2人
先分类：以为标准划左舷的3人中．
①中有3人，划右舷的在中剩下的人中选取，有种；
②中有2人，中有1人，划右舷的在中剩下的人中选取种；
③中有1人，中有2人，划右舷的在中剩下的人中选取种，
所以共有种
故选：．
【答案】
2．【解构分析】5个人参加4项工作，每项工作都必须至少一人参加。考虑先分组后分配：
①2 ，2，1 ②1，1，3
甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，可以按照甲乙在一起工作和不在一起工作来讨论。
【详解】解：根据题意，分2种情况讨论：
①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一：种安排方案；
②甲乙不同时参加一项工作：
若丙、丁、戊三人中有两人承担同一份工作，有种；
若甲或乙与丙、丁、戊三人中的一人承担同一份工作：种；
此时有种安排方案；
则共有种安排方案，
故选：．
【答案】
结构六、鞋子配对问题
1.【解构分析】解：这题有至少这个关键词，考虑用间接法
【详解】设
从5双不同的鞋中任取4只，求4只鞋中恰好只有2只配成一双的概率是多少？
【详解】解：恰好只有两只配成一双，说明其余的2只来自剩下的4双鞋子中的其中2双，
而且有左右脚之分，按照分步乘法的计算要求，
结构七、座位问题
7.1、空位问题
1.【详解】解：3人坐6个座位，坐法共有，
其中空坐各不相邻的坐法为，
三个空坐相连的坐法，
满足条件的坐法共有．
故选：．
【答案】C
7.2、错排问题
1.【详解】解：很明显这是4个元素的错排问题，共有9种方法。
2.【详解】解：第一步确定哪两个班主任监考自己班，共有选法，然后剩下的4位班主任均不监考自己班，则为4个元素的错位排列，共9种，所以安排总数为
【答案】135种
结构八、路灯背景
1.【解构分析】路灯问题一般考查开关问题，考虑用插空法。
【详解】解：10盏路灯要关掉其中3盏，关掉的灯不能相邻，且不能放在两端。我们用插空法进行解题，已知还有7盏灯是亮的，中间有6个空位，插入3盏关着的灯，因为路灯是相同的，所以用组合公式：，选A
【答案】A
2.【解构分析】关闭三盏灯，且不相邻，可以考虑将灭了的灯插空在亮的灯之间。路灯属于同一类元素。不考虑之间的排序问题。
【详解】解：根据题意，分两步进行解答：
①先将亮的7盏路灯排成一排，有1种排法。
②由题意，有8个符合条件的空位，进而在8个空位中，任取3个插入熄灭的3盏灯，有。
【答案】56
结构九、车位背景
1.【解构分析】根据题意，剩余的4个车位中恰好有3个连在一起，则另外一个车位需单独存放，考虑使用插空法，还有一点需要注意的是车位是相同元素，不存在内部排序。
【详解】：4辆车标记为ABCD，四个车位，三个组合一起，标记为3，剩余一个标记为1，则变成数字1，3与四个字母排列，且数字不相邻，插空法即可，
【答案】480
2.【解构分析】由题意，每辆车两边都有空车位，可以考虑先将甲乙丙停好，将剩余的空车位进行插空。
【详解】根据题意，先将甲、乙、丙、三辆不同的车排列，使得甲车在乙、丙两车之间，有2种排法，再将剩余的7个空车位分成4组，分别排在甲、乙、丙三辆车形成的四个空上，有1，1，1，4；1，1，2，3；1，2，2，2三组分法，则不同的分组方法共有种，由分步乘法计数原理得不同的停放方法共有40种。
【答案】40
3.【解构分析】根据题意从反面考虑，先算出有两个连续空车位的排法，再算出恰有两个连续空车位，且红、白两车相邻时的排法，再两数做差即可求解。
【详解】从反面考虑，恰有两个连续空车位时有种情况；恰有两个连续空车位，且红、白两车相邻时有种情况，故所求情况有480-144=336种。
【答案】336
结构十、走楼梯背景
1.【解构分析】7步走10个台阶，每步登一个或两个台阶，讨论一下用组合公式计算即可。
【详解】要步登完个台阶，只有其中步每步登两个台阶，还有步每步登一个台阶，转化为个相同的白球和个相同的黑球排成一排的问题，故有。
【答案】35种
结构十一、节目单背景
11.1、新增节目不改变原有节目相对顺序
1.【解构分析】对于临时插入节目，并且不改变原有顺序，分步骤去插空即可。
【详解】原个节目有个空档，插入个后，空档变为个，共有种插入方法。
【答案】90种
11.2、相同类型节目不相邻
1．【解构分析】同类节目不能相邻，可以考虑先排一部分元素，剩余的元素进行插空，但是务必把之前元素之间的空占完。
【详解】解：分2步进行分析：
1、先将3个歌舞类节目全排列，有A33＝6种情况，排好后，有4个空位，
2、因为3个歌舞类节目不能相邻，则中间2个空位必须都安排节目，
分3种情况讨论：
①将中间2个空位安排1个小品类节目和1个相声类节目，有C21A22＝4种情况，
排好后，最后1个小品类节目放在2端，有2种情况，
此时同类节目不相邻的排法种数是4×2＝8种；
②将中间2个空位安排2个小品类节目，有A22＝2种情况，
相声类节目放在2端，有2种情况，
此时有4种安排方法；
③将中间2个空位安排3个节目，
将一个小品类节目和相声类节目作为一个整体放在其中一个空位，剩下一个空位安排另一个小品类节目，
此时有C21×2×2＝8种安排方法，
则中间空位的安排方法有8+4+8＝20种，
则同类节目不相邻的排法种数是6×20＝120种，
故选：B．
【答案】B
11.3、特殊顺序要求问题
1.【解构分析】甲乙两元素有特殊位置要求，先排甲，其它元素任意排，先排乙，甲不能排最后，分类讨论即可。
【详解】最前排甲，共有种；最前排乙，最后不能排甲，有种，根据加法原理可得，共有种，故选D．
【答案】D
结构十二、球盒问题
1.【解构分析】(1)利用分步乘法计数原理原理求解；(2)利用分步乘法原理，结合排列的知识求解；(3)利用隔板法求解即可.
【详解】(1)满足条件的放发可分为4步，第一步放1号球，第二步放2号球，第三步放3号球，第四步放4号球，每步都有3种放法，由分步乘法计数原理可得满足条件的放法有种放法，即种放法；
(2)满足条件的放发可分为3步，第一步，从5个球中任选一个球将其放在与其编号为盒子中，有5种放法；第二步，从余下的四个球中任选一个球，放入编号为的盒子中，有3种放法，第三步，将编号为的小球放入余下的某一盒子中，有3种放法，第四步，将余下的两个小球按要求放入余下的盒子中，有1种放法，由分步乘法计数原理可得共有种放法，即45种放法；
(3)将11个相同的小球排成1排，在排列的两端各放置1块隔板，在小球之间的10个空隙中选择4个空隙插入隔板，即可将11个小球分为5段，依次将各段小球放入5个盒子中，可得满足要求的放法，故满足条件的放法有种，即满足条件的放法有210种.
【答案】(1)81，(2)45，(3)210.
2.【解构分析】先选出2个球，分成4组，再放进4个盒子即可.
【详解】五个不同的球，放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，共有种不同的放法．
故答案为：240.
【答案】
结构十三、多排问题单排法
1. 【解构分析】此题考查前后排列问题，可以在前排4个位置中先安排甲乙，后面的4个位置中安排丙，由于其它元素无任何特殊位置要求，所以可以使用全排列来求解。
【详解】人排前后两排，相当于人坐把椅子，可以把椅子排成一排。先排前个位置上的个特殊元素甲、乙有种排法；再排后个位置上的个特殊元素丙有种；其余的人在个位置上任意排列有种。共有种不同的排法。排好后，按前人为前排，后人为后排分成两排即可。
结构十四、连号问题
1. 【解构分析】连号问题本质上考查的是与捆绑问题相关的知识点，先找出连号的人民币种类数，再与剩余的人进行全排列即可。
【详解】
根据题意，分2步进行分析：
①7张连号的100元人民币，其中3张连号的情况有5种，将这3张连号的人民币分给甲乙丙三人，有5=30种情况。
②将剩下的4张人名币分给其他4人，有=24种情况，则有
【答案】720种
2.【解构分析】五张券分给4人，每人至少一张，则只能分成2，1，1，1四堆，且其中2张一堆的必须连号，列举出来，其余的使用全排列，分法种类数可以用分步相乘即可。
【详解】
根据题意，分2步进行分析：
①两张连号的券有12，23，34，45四种可能
②再将分好的4组券分给4个人，有种可能，即一共有96种方法。
【答案】96种
结构十五、学科科目排序问题
1.【解构分析】可看作6个不同的元素填6个空的问题，条件限制是体育不排第一节，数学排上午，解答时分数学在第一节和数学不在第一节两类，结合分步计算与分类计算原理即可求得结论。
【详解】要求上午第一节课不排体育，数学必须排在上午，班会课必须排在下午。
①数学排在上午第一节，班会课从下午2节任选一节，则其余4节任意排列，有种排法
②数学不排在上午第一节，第一节需要从语文、英语、生物选一科，上午的其它三节选一节排数学，班会课从下午2节任选一节，其余任意排，有，所有这天课表的不同排法数为
【答案】156
2.【解构分析】本题考查元素相邻与不相邻问题，且涉及到特殊位置要求问题，可以按照分类讨论的思想来解题。
【详解】根据题意，分三步进行
①要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序有种情况；
②将这个整体与英语全排列，有=2种顺序，排好后，有3个空位；
③数学课不排第一节，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选一个，安排物理，有2种情况，则数学，物理的安排方法有4种，则不同的排课法的种数是种。
故选A.
【答案】A
结构十六、多元问题
1.【详解】对于有多种可能性排列的，要先进行分类，对每一类进行排列，然后利用加法原理
本题甲安排周一：共有；甲安排周二：共有；甲安排周三：共有，共有
【答案】20种
2.【解构分析】分类讨论，三个项目分到三个城市或者两个城市，然后用分类加法相加。
【详解】①三个项目投资到三个城市，每个城市一个项目，有种；
②三个项目投资到两个城市，一个城市一个项目，一个城市两个项目，共有，共有24+36=60种。
【答案】D
3.【解构分析】可以按照个位数的值进行讨论，或者按照数字0是特殊元素，可以按照先排0的位置进行计算
【详解1】按题意个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，符合题意的分别有,,,,,合计300个
【详解2】先排首位，不用0，有种方法，再同时排个位和十位，由于个位数字小于十位数字，即顺序固定，固有种方法，最后排剩余的3个位置，有种排法，故共有符合要求的六位数
结构十七、隔板问题
17.1、标准型
1. 【详解】把6本书排成一排，因为书是相同的，不存在排列顺序问题。要把这6本书分成4堆，且每堆至少一本，只需要在中间形成的5个空隙中插入3个隔板，即从5个空中选择3个空插入隔板，代入公式：。
【答案】10种
2.【详解】解：根据题意，对于方程，
将18看成18个“1”，18个“1”中间有17个空，从17个空中选两个空进行隔板，.
【答案】B
3.【详解】个名额分配给个班，每班至少个名额，可在个名额的个空当中插入块板，一种插法对应一种名额的分配方式，共有种。
【答案】330种
17.2、多分型
1. 【详解】解：假设3个部门分别为A、B、C，每个部门可以先分8份，然后再把剩下的6份发给3个部门，保证每个部门至少发一份，代入公式：
【答案】10种
2 . 【详解】解：分两步进行：
①先分别给编号为1，2，3，4的盒子中放入0个球，1个球，2个球，3个球，还剩余6个球。
②将剩下的6个球进行隔板处理，从中间的5个空隙中插入3个板，分成4份，每份非空，应用公式
【答案】10种
17.3、少分型
1. 1. 将20个大小形状完全相同的小球放进3个不同的盒子里，允许有盒子为空，但球必须放完，有多少种不同的方法？
【详解】解：在分之前先向每个盒子借3个小球，总共就会有23个小球，总共就会有23个小球，接下来分的时候需要再给每个盒子一个小球，就变成每个盒子至少分一个小球了，代入公式：
【答案】231种
结构十八、容斥问题（多重条件限制问题）
18.1、排队容斥问题
1.【解构分析】此题考察了特殊元素的位置关系问题，可以考虑使用间接法，但是在减去不满足条件的结果时，注意重复元素。
【详解】6个人进行全排列，有，先假设甲在排头，则不满足条件的有，同理，乙在排尾的时候，不满足条件的有，但是前两种情况是有重复的，即甲在排头的同时，乙在排尾。所以总的排法数应为：
例2、学校5月1日至5月3日拟安排6位领导值班，要求每人值班一天，每天安排两人。若六位领导中，甲不能值第二天，乙不能值第三天，则不同的安排值班的方法有几种？
采用正难则反的思路。若不考虑特殊元素，排列方式为，考虑甲必然排在第二天，则有；考虑乙必然排在第3天，则有；考虑甲排在第2天，乙排在第三天，则有。故合计有。
18.2、表格填数字问题
1. 【解构分析】对于第一行，有种 填法.可以先固定第一行所排数字，再去讨论第二行，依次类推，是典型的容斥问题。
【详解】第一行有 ，不防假设第一行依次排1，2，3，4.当第二行第一位排数字2时①若第二行数字排列为2，1，4，3，则第三行有4种排列方法；
②若第二行数字排列为2，3，4，1，则第三行有2种排列方法；
③若第二行数字排列为2，4，1，3，则第三行有2种排列方法.
故此种情况有8种排列方法
同理，当第二行第一位数字排数字3或4时，各有8种排列方法.
由乘法原理得种数为
【答案】576
2．【解构分析】先考虑第一行四个数的排列，有种，然后就第一行数字分别为进行考查，列举出符合条件的第二行数字的排列，然后利用分步乘法计数原理可得出结果.
【详解】由于每行的数字互不相同，每列的数字也互不相同，则第一行数字是、、、的全排列，共种，现考虑第一行数字的排列为，
则第二行数字的排列可以是：、、、、、、、、，共种.
由分步乘法计数原理可知，不同的排列方法共有种.
故选：A.
【答案】A
结构十九、路径问题
1．【解构分析】利用组合数与分步乘法计数原理，计算出从处出发到达处的最短路径数，并计算出小明从处到达处的过程中，途径处的最短路径数，然后利用古典概型的概率公式，即可得到结果.
【详解】解：由题意，小明从处出发到达处，最短需要走四横三纵共七段路，共有条不同的路；小明从处到处，最短需要走两横两纵共四段路，共有条不同的路，从处到处，最短需要走两横一纵共三段路，共有条不同的路.
所以小明从处到达处的过程中，途径处的概率.
故选：.
【答案】D
2．【解构分析】根据组合知识结合古典概型概率公式及条件概率的求法逐项分析即得.
【详解】小明到养老院能选择的最短路径条数为条；
小明到F的最短路径走法有条，再从F到养老院的最短路径有条，小明经过F到养老院能选择的最短路径条数为条，
所以，故（1）正确；
小明从H到养老院的最短路径有条，即，
从H到F的最短路径有条，从F到养老院的最短路径有3条，即，所以，故（2）正确；
又，
所以，故（3）正确．
故选：A.
【答案】A
结构二十、环排问题直排
1.【详解】围成一桌并没有首尾之分，所以固定一人并从此位置把圆形展开成直线，其余7人共有（8-1）！=5040种坐法。
2.【详解】首先，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，考虑B,C两人的情况，只能选择相邻的两把椅子，位置可以互换，根据排列数的计算公式，得到,接下来，考虑其余三人的情况，有种 ，最后根据分步计数原理，得到.
结构二十一、排列之几何取点问题
21.1、共面问题
1. 【解构分析】对于此类问题，我们在分析的时候可以按照3个点在同一个侧面上或三个点在两个对角面上来思考，分类讨论的时候做到不重不漏。
【详解】如图2，满足题设的取法可分为三类：
（1）在四棱锥的每个侧面上除点外任取3点，有(种）不同的取法；
（2）在两个对角面上除点外任取3点，共有(种）不同的取法；
（3）过点的每一条棱上的三点与这条棱异面的棱的中点也共面，共有(种）。故不同的取法数共有(种）
【答案】56
2.【解构分析】可以先算出总的平面数，四个点没有顺序要求，可以使用组合数公式。然后减去一些不满足的情况数，用古典概率公式计算即可。
【详解】8个点中任选4个，一共有 种情况，其中正方体有6个面是共面的，还有前后左右的对角面也有6个，所以4个点在一个平面内的情况一共有12种，所以4点共面的概率为
【答案】
21.2、异面问题
1. 【解构分析】在所给的10个点中，取4个不共面的点，要注意各点之间的位置关系，由于直接讨论情况比较复杂，一般采用间接法去处理此类问题。
【详解】10个点中取4个点共有种取法，其中同一个侧面的6个点中任取4个点必共面，这样的面共有4个；又同一条棱上的3个点与对棱的中点也四点共面，共有6个面；再各棱中点共6个点中，取四点共面的平面有3个。故符合条件4个点不共面的取法共有 种,故选D.
【答案】D
21.3、公共边问题
1. 【解构分析】把与正八边形有公共边的三角形分为两类：有一条公共边的三角形、有两条公共边的三角形，由分类加法计数原理，可得结论．
【详解】把与正八边形有公共边的三角形分为两类：
第一类，有一条公共边的三角形共有8×4＝32（个）；
第二类，有两条公共边的三角形共有8（个）．
由分类加法计数原理知，共有32+8＝40（个）．
故选A
【答案】A
21.4、夹角问题
1．【解构分析】正方体有6个面，每个面有两条对角线，由于两条对角线夹角为的情况不算很多，对单个面可以使用列举法分析，每个面的情况都一样，同时注意这里面所有点都用了，而且是重复用，每条对角线用了2次，为了避免重复，要除以2.
【详解】试题分析：在正方体中，与上平面中一条对角线成的直线有，，，共八对直线，与上平面中另一条对角线的直线也有八对直线，所以一个平面中有16对直线，正方体6个面共有对直线，去掉重复，则有对.故选C.
【答案】C

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