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第5讲 函数的概念及定义域
一．知识精讲
知识一
1．函数的概念：设是非空的数集，如果按某个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数．记作：，．其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域,与的值相对应的的值叫做函数值，所有函数值的集合叫做函数的值域．()
注：（1）定义域、值域、对应法则称函数的三要素．两个函数相同，这三个要素必须相同，缺一不可．
（2）对应法则，可以是解析式，可以是图象、表格、文字描述；自变量只能是数．
（3）与的关系：是自变量的函数，表示时的函数值．
2．区间与“无穷大”：设是两个实数，而且，则
（1）满足不等式的实数的集合叫做闭区间，表示为；
（2）满足不等的实数的集合叫做开区间，表示为；
（3）满足不等式，或的实数的集合叫做半开半闭区间，分别表示为；
（4）实数集也可以用区间表示为，其中“”读作“无穷大”．
（5）若，可表示为, ,可表示为；
（6）若,可表示为, ,可表示为．
知识二
1．映射的概念：设是两个非空的集合，如果按照某种对应法则，对于集合中的任意一个元素，在集合中都有唯一的一个元素和它对应，那么这样的对应叫做集合到集合的映射，记作
2．若，且,如果元素和元素对应，那么我们把元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象．
3．中元素都有象且有唯一的象，中元素可以没有原象，若有也不一定只有一个．中多个元素可以同时对应中一个元素，但中一个元素不能对应中多个元素．
4．对于集合中不同元素，在集合中有不同的象，而且中每一个元素都有原象，那么这个映射叫做到上的一一映射．
知识三
1．定义域概念：使函数有意义的所有自变量组成的集合
2．求定义域的方法：
①是整式，则定义域为；
②是分式，则定义域是使分母不等于零的实数的集合；
③是偶次根式，则定义域是使根号内的表达式不小于零的实数的集合；
④的次方没有意义
⑤, 则定义域为与的交集；
⑥给出的定义域，求的定义域，则把的定义域当作值域，然后再求的定义域；
⑦给出的定义域求的定义域，则求值域当作把的定义域．
二．经典例题
题型一：函数的定义
【例1】（1）如下图可作为的图象的是（ ）
A B
C D
（2）若函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能是(　 　)．
A B C D
【例2】下列各题中两个函数表示同一个函数的有 .
①； ②,；
③； ④；
⑤．
【变式】下列各组中表示同一函数的是（ ）．
A． B．
C． D．
题型二：求函数值问题
【例3】已知,
①求的值； ②求的值； ③求．
【例4】已知函数，求的值．
题型三：函数定义域问题
【例5】求下列函数的定义域
①； ②； ③．
【变式】求下列函数的定义域
①； ②；
③．
【拓展】已知函数且为常数)在区间上有意义，则实数的取值范围为 ．
【例6】（1）已知函数的定义域为，求函数的定义域；
（2）已知函数的定义域为，求函数的定义域；
（3）已知函数的定义域为，求函数的定义域．
【变式】（1）已知的定义域为，求的定义域；
（2）已知的定义域为，求的定义域；
（3）已知函数的定义域为，求函数的定义域．
【拓展】（1）已知函数的定义域为, 求的定义域；
（2）已知函数的定义域为，求函数的定义域；
（3）已知的定义域为，求函数的定义域．
【例7】若函数的定义域为，求实数的取值范围．
（2）解得
【变式】已知函数的定义域为，则的取值范围是__ ___．
【例8】已知函数的定义域为,求的定义域．
【变式】已知函数,求的定义域．
题型四：映射问题
【例9】（1）在映射中，下列说法正确的是（ ）
A．集是集中所有元素的象的集合
B．集中的每一个元素至少与集中的一个元素相对应
C．集中可能有元素不是集中元素的象
D．集中可能有元素在集中无象
（2）给定映射，在映射下，的原象是（ ）．
A． B． C． D．
【变式】下面三个对应中哪些是从到的映射．
（1）；
（2）；
（3）．
【例10】已知，，由到的映射满足，那么这样的映射的个数是(　　) 　
　 A．4 　 B．5 　 C．6 　 D．7
【变式】已知映射，其中，对应法则为， 若对实数，在集合中不存在原象，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．第5讲 函数的概念及定义域
一．知识精讲
知识一
1．函数的概念：设是非空的数集，如果按某个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数．记作：，．其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域,与的值相对应的的值叫做函数值，所有函数值的集合叫做函数的值域．()
注：（1）定义域、值域、对应法则称函数的三要素．两个函数相同，这三个要素必须相同，缺一不可．
（2）对应法则，可以是解析式，可以是图象、表格、文字描述；自变量只能是数．
（3）与的关系：是自变量的函数，表示时的函数值．
2．区间与“无穷大”：设是两个实数，而且，则
（1）满足不等式的实数的集合叫做闭区间，表示为；
（2）满足不等的实数的集合叫做开区间，表示为；
（3）满足不等式，或的实数的集合叫做半开半闭区间，分别表示为；
（4）实数集也可以用区间表示为，其中“”读作“无穷大”．
（5）若，可表示为, ,可表示为；
（6）若,可表示为, ,可表示为．
知识二
1．映射的概念：设是两个非空的集合，如果按照某种对应法则，对于集合中的任意一个元素，在集合中都有唯一的一个元素和它对应，那么这样的对应叫做集合到集合的映射，记作
2．若，且,如果元素和元素对应，那么我们把元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象．
3．中元素都有象且有唯一的象，中元素可以没有原象，若有也不一定只有一个．中多个元素可以同时对应中一个元素，但中一个元素不能对应中多个元素．
4．对于集合中不同元素，在集合中有不同的象，而且中每一个元素都有原象，那么这个映射叫做到上的一一映射．
知识三
1．定义域概念：使函数有意义的所有自变量组成的集合
2．求定义域的方法：
①是整式，则定义域为；
②是分式，则定义域是使分母不等于零的实数的集合；
③是偶次根式，则定义域是使根号内的表达式不小于零的实数的集合；
④的次方没有意义
⑤, 则定义域为与的交集；
⑥给出的定义域，求的定义域，则把的定义域当作值域，然后再求的定义域；
⑦给出的定义域求的定义域，则求值域当作把的定义域．
二．经典例题
题型一：函数的定义
【例1】（1）如下图可作为的图象的是（ ）
A B
C D
【答案】D
【解析】：由函数的概念，对每一个有唯一的与之对应，反应在图像上，取平行于轴的直线与图形始终只有一个交点．
（2）若函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能是(　 　)．
A B C D
【答案】B
【解析】本题主要考查函数的图象、定义域和值域．
A项，根据图象，定义域为，故A项不符合题意；
B项，根据图象，定义域为，值域为，故B项符合题意；
C项，根据图象，一个对应两个，不满足函数定义，故C项不符合题意；
D项，根据图象，值域为，故D项不符合题意．
故本题正确答案为B．
【例2】下列各题中两个函数表示同一个函数的有 .
①； ②,；
③； ④；
⑤．
【答案】③⑤
【解析】（1）定义域不同，前者定义域是R，后者定义域是，故不是同一函数
（2）对应法则不同，前者后者是是定义域不一样，故不是同一函数
（3）定义域与对应法则都相同，是同一函数
（4）定义域不同，前者定义域是，后者定义域为R，故不是同一函数
故答案为
（5）定义域对应法则都一样故同一个函数
【变式】下列各组中表示同一函数的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】A中函数定义域不同；B中函数定义域不同；C中函数定义域，对应关系相同，因此是同一函数，图象相同；D项定义域不同．
考点：判断两函数是否为同一函数．
题型二：求函数值问题
【例3】已知,
①求的值； ②求的值； ③求．
【答案】①；②；③．
【例4】已知函数，求的值．
【答案】
【解析】
=
=
=
题型三：函数定义域问题
【例5】求下列函数的定义域
①； ②； ③．
【答案】①；②；③
【变式】求下列函数的定义域
①； ②；
③．
【答案】① ②
③，所以函数定义域为．
【拓展】已知函数且为常数)在区间上有意义，则实数的取值范围为 ．
【答案】．
【解析】函数且为常数)．
∵，，∴，
即函数的定义域为．
∵函数在区间上有意义，
∴，
∴，∴．
即的取值范围是．
【例6】（1）已知函数的定义域为，求函数的定义域；
【答案】
（2）已知函数的定义域为，求函数的定义域；
【答案】
（3）已知函数的定义域为，求函数的定义域．
【答案】
【变式】（1）已知的定义域为，求的定义域；
【答案】
（2）已知的定义域为，求的定义域；
【答案】
（3）已知函数的定义域为，求函数的定义域．
【答案】
【拓展】（1）已知函数的定义域为, 求的定义域；
【答案】
（2）已知函数的定义域为，求函数的定义域；
【答案】
（3）已知的定义域为，求函数的定义域．
【答案】
【例7】若函数的定义域为，求实数的取值范围．
【答案】
【解析】（1）当，，当时不等式恒成立，当时，无意义
（2）解得
综上：属于
【变式】已知函数的定义域为，则的取值范围是__ ___．
【答案】
【解析】函数的定义域为，即不等式对于任意的恒成立，分两种情况，（1）当时，不等式恒成立；（2）当时，有，解得，因此为所求
【例8】已知函数的定义域为,求的定义域．
【答案】
【解析】因为函数的定义域为
解得：
【变式】已知函数,求的定义域．
【答案】
【解析】定义域为 解得：
所以应满足 解得：或．
题型四：映射问题
【例9】（1）在映射中，下列说法正确的是（ ）
A．集是集中所有元素的象的集合
B．集中的每一个元素至少与集中的一个元素相对应
C．集中可能有元素不是集中元素的象
D．集中可能有元素在集中无象
（2）给定映射，在映射下，的原象是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】（1）C；（2）B
【变式】下面三个对应中哪些是从到的映射．
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】由映射定义上述三个对应，（2）是从到的映射；（1）、（3）不是从到的映射．
【例10】已知，，由到的映射满足，那么这样的映射的个数是(　　) 　
　 A．4 　 B．5 　 C．6 　 D．7
【答案】D
【变式】已知映射，其中，对应法则为， 若对实数，在集合中不存在原象，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当时，在映射的作用下对应象满足：
故若实数，集合A中不存在原象则应满足

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