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第一讲 函数的概念及其表示
课前检测
成绩（满分10）： 完成情况：优/中/差
1、已知函数，求函数定义域；
分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果只给出解析式，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合.
解：（1）使根式有意义的实数的集合为，使分式有意义的实数的集合为，所以这个函数的定义域是即
2、【练习1】求下列函数的定义域（课后练习题）
（1）
（2）
【答案】（1）（2）
3、函数的定义域是.
【答案】
4、函数的定义域是()
（A） （B）
（C） （D）
【答案】（C）
教学目标
1理解函数的概念及函数的三要素，会求一些简单函数的定义域和值域，能够正确使用区间表示某些函数的定义域和值域.
2.掌握函数的常用的三种表示法，能根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，了解函数不同表示法的优缺点，理解分段函数及其表示法，会处理某些简单的分段函数问题
知识框架
函数概念的引入：
在初中我们已经接触过函数的概念，知道函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具.例如，正方形的周长与边长的对应关系是，而且对于每一个每一个确定的都有唯一的与之对应，所以是的函数.这个函数与正比例函数相同吗？又如，你能用已知的函数知识判断与是否相同？要解决这些问题，我们先分析一下下列问题：
【问题1】某“复兴号”高速列车加速到后保持匀速运行半小时.这段时间内，列车行进的路程（单位：km）与运行时间（单位：h）的关系可以表示为
.
这里和是两个变量，而且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，所以是的函数.
【思考】有人说：“根据对应关系，这趟列车加速到350km/h后，运行1h就前进了350km.”你认为这个说法正确吗？
根据问题1的条件，我们不能判断列车以350km/h运行半小时后的情况，所以上述说法不正确.显然，其原因是没有关注到的变化范围.
下面用更精确的语言表示问题1中和的对应关系.
列车行进路程与运行时间的对应关系是
.
其中，的变化范围是数集，的变化范围是数集对于数集中的任一时刻,按照对应关系，在数集中都有唯一确定的路程和它对应.
知识点1：函数的定义
一般地，我们有：
设是非空数集，如果按照某种确定关系的对应关系，使对于集合
中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就
称为从集合到集合的一个函数，记作
其中,叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域（domain）；
与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.显然，值域是集合的子集
【总结】上述问题的共同特征有：
（1）都包含两个非空数集，用来表示
（2）都有一个对应关系
（3）他们的共同特征：对于数集中的任意一个数，按照某张确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的和它对应.事实上，除了解析式、图象、表格外，还有其他对应关系的表示方法，为了表示方便，我们引进符号来表示对应关系.
【例1】（课后练习）
一枚炮弹发射后，经过26秒落到地面击中目标，炮弹的射高为845米，且炮弹距离地面的高度（单位：）与时间（单位：）的关系为
求函数的定义域和值域，并用函数的定义描述.
【练习1】（课后练习）
如图，矩形的面积为10.如果举行的长为，宽为，对角线为，周长为，那你能获得关于这些量的哪些函数？
【答案】
【例2】（课本例题）
函数的解析式是舍弃实际背景而抽象出来的，它所反映的两个量之间的对应关系，可以广泛的应用于刻画一类事物中的变量关系和规律.例如，正比例函数可以用来刻画匀速运动中路程和时间的关系，一定密度的物体的质量与体积之间的关系、圆的周长与半径之间的关系等.
试构建一个实际情境，使其中的变量关系可以用解析式来描述.
解：把看成二次函数，那么它的定义域是R.值域是（B）=.对应关系把R中的任意一个数，对应到（B）中唯一确定的数.
如果对取值范围做出限制，例如，那么可以构建如下情境：长方形的周长为20，设一边长为，面积为，那么.其中，的取值范围是，的取值范围是，对应关系把每一个长方形的边长，对应到唯一确定的面积.
【练习1】构建一个问题情境，使其中的变量关系能用解析式来描述（课后习题）
【答案不唯一】初速度为0，加速为的匀加速直线运动中，时间与位移之间的函数关系.
【练习2】试构建一个实际情境，使其中的变量关系可以用解析式来描述.
【答案不唯一】初速度为，加速度为的匀加速直线运动中，时间和速度瞬时速度之间的函数关系.
知识点2：区间的概念
设是两个实数，而且.我们规定：
（1）满足不等式的实数集合叫做闭区间，表示为；
（2）满足不等式的实数集合叫做开区间，表示为；
（3）满足不等式或的实数的集合叫做半开半闭区间，分别表示为.
这里的实数都叫做相应区间的端点
定义 名称 符号 数轴表示
闭区间
开区间
半开半闭区间
半开半闭区间
这些区间的几何表示如上图所示.在图中，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点.
实数集可以用区间表示为，读作“无穷大”，读作“负无穷大”，读作“正无穷大”.我们可以把满足的实数集分别表示为
考点一：求函数定义域
【例1】（课本例题）
已知函数，求函数定义域；
分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果只给出解析式，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合.
解：（1）使根式有意义的实数的集合为，使分式有意义的实数的集合为，所以这个函数的定义域是即
根式内大于等于0，分分不为0
【练习1】求下列函数的定义域（课后练习题）
（1）
（2）
【答案】（1）（2）
【练习2】函数的定义域是.
【答案】
【练习3】函数的定义域是()
（A） （B）
（C） （D）
【答案】（C）
【练习4】函数的定义域是
（A） （B） （C） （D）
【答案】（D）
【练习5】函数的定义域为
（A） （B）
（C） （D）
【答案】（A）
零指数幂，底数不为0
【例2】函数的定义域为
（A） （B）
（C） （D）
【答案】（C）
【练习1】求函数的定义域为__________.
【答案】
【练习2】求函数的定义域为________.
【答案】
【总结】求函数定义域注意：
（1）分式分母不为零；
（2）开偶次方根底数大于等于零；
（3）零指数幂底数不为零；
（4）求函数定义域要在原始解析式上求解，不可化简.
抽象函数定义域，作用范围相同
【例1】函数的定义域为，则函数的定义域是
（A） （B）
（C） （D）
【答案】（D）
【练习1】若函数的定义域是，则的定义域是______
【答案】
【练习2】若函数的定义域为，则函数的定义域是________；
【答案】
考点二：求函数的值
【例1】已知函数，求的值；（课本例题）
【答案】将-3与代入解析式，
有
【练习1】已知函数，求的值
【答案】28；-28；0
【练习2】函数的值域是
（A） （B） （C） （D）
【答案】（C）
【练习2】.设函数，则的值为
（A）0 （B）-1 （C）1 （D）.不存在
【答案】（C）
考点三：相同函数的判定
函数的三要素一致
判断两个函数是否为同一函数：
①判断定义域是否相同
②化简解析式是否相同
当定义域及函数对应法则相同时，值域必然相同.
【例1】下列哪个函数和是同一函数？（课本例题）
（1）；（2）；（3）；（4）
【答案】
，它与函数虽然对应关系相同，但是定义域不同，所以不是同一函数.
它与函数不仅对应关系相同，而且定义域也相同，所以两个函数是同一函数.
，它与函数的定义域都是实数集R.但是当时，它的定义关系与函数不相同，所以两个函数不是同一函数.
，它与函数对应关系相同但是定义域不同，所以不是同一函数.
【例2】判断下列各组中的函数是否为同一函数，并且说明理由（课后练习题）
（1）表示炮弹飞行高度与时间的关系的函数和二次函数
（2）和
【答案】（1）不是.
（2）不是.
【练习1】下列四组函数，表示同一函数的是
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】（D）
【练习2】已知函数,则与相等的函数是
（A） （B）
（C） （D）
【答案】（D）
知识点3：函数的表示方法
我们初中已经接触过函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法.
解析法，就是利用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，如下题的表示①.
图象法，就是用图象表示两个变量之间的对应关系，如下题的表示②.
列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系，下图的表示③.
【例】某笔记本的单价是元，买个笔记本需要元，试用函数的三种表示法表示函数.
解：这个函数的定义域是数集
用解析法可将函数表示为： 表示①
用列表法可将函数表示为
笔记本数 1 2 3 4 5
钱数 5 10 15 20 25
表示②
用图象法可将函数表示为：
表示③
对于一个具体的问题，我们应该学会选择恰当的方法表示问题中的函数关系，高中阶段我们重点需要掌握的是解析法.思考下列两个问题：
比较函数的三种表示法，它们各自的特点是什么？
所有函数都能用解析法表示吗？列表法与图象法呢？请你举出实例加以说明.
考点一：求函数的解析式
方法1：代入法，给出解析式直接代入.
【例1】已知函数，当时，求的值（课本例题）
【答案】因为，所以有意义
【练习1】已知函数，求的值（课后习题）
【答案】
方法2：配凑、换元法
【例1】已知函数则函数的解析式为（）
（A） （B）
（C） （D）
【答案】（B）
【练习1】已知函数，则函数的解析式为_________.
【答案】
【练习2】已知,且,则.
【答案】3
方法3：待定系数法：已知函数类型，通过设系数解系数的方式求得函数解析式
【例1】已知为一次函数，为二次函数，且
（1）求 的解析式；
（2）若与轴及都相切，且，求的解析式
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）设出f（x），g（x）的解析式，利用待定系数法求解
（Ⅱ）根据y=g（x）与x轴及y=f（x）都相切，g（0）=，建立关系，利用判别式求解
【详解】
由题意，设f（x）=kx+m，g（x）=ax2+bx+c（a≠0）
∵f[g（x）]=g[f（x）]
∴k（ax2+bx+c）+m=a（kx+m）2+b（kx+m）+c，
解得：k=1，m=0
∴f（x）的解析式为f（x）=x
（Ⅱ）∵g（0）=，
∴c=
得g（x）=ax2+bx+
又∵y=g（x）与x轴，相切，
可得：4ac=b2，即…①
又∵y=g（x）与f（x）=x相切，
可得：ax2+bx+=x，即方程ax2+x（b﹣1）+=0只有一个解
∴…②
由①②解得：b=，a=1
故得g（x）的解析式为g（x）=x2+x+
【练习1】已知是一次函数，且满足，求；
【答案】（1）；
试题解析：(1)由题意，设函数为，∵，∴，即，由恒等式性质，得∴，，∴所求函数解析式为.
【练习2】已知是二次函数，且满足，求.
【答案】.
【解析】试题分析:f(x)是二次函数，设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝1，得c＝1，由f(x＋1)－f(x)＝2x，代入化简得出a和b,即可求出解析式.
试题解析:
∵f(x)是二次函数，设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝1，得c＝1，由f(x＋1)－f(x)＝2x，
得a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－ax2－bx－1＝2x，即2ax＋(a＋b)＝2x.
∴ ,
∴.
方法4：方程组法
【例1】求下列函数解析式
(1)已知2＋＝()，求；
(2)已知＋2＝，求
【答案】(1)＝－(x≠0);(2)＝x2－2x.
【解析】试题分析:(1)将原式中的与互换，得到新的方程,与原式构造方程组,消去,可得的解析式;(2)将原式中的换成，得到新的方程,与原式构造方程组,消去,可得的解析式.
试题解析:
(1)∵＋2f＝x，将原式中的x与互换，
得f＋2＝.
于是得关于的方程组,
解得＝－(x≠0)
(2)∵＋2＝x2＋2x，
将x换成－x，得＋2＝x2－2x，
∴将以上两式消去，得3＝x2－6x，
∴＝x2－2x.
【练习1】若满足关系式，则的值为
（A）1 （B） （C） （D）
【答案】（B）
【解析】
【分析】
由已知条件得，由此能求出f（2）的值
【详解】
∵f（x）满足关系式f（x）+2f（）=3x，
∴，
①﹣②×2得﹣3f（2）=3，
∴f（2）=﹣1，
故选：（B）
【练习2】已知函数满足，求的表达式
【答案】
考点二：函数图象与分段函数
【例1】画出函数的图象（课本例题）
解：由绝对值的概念，我们有
所以函数图象如图所示.像这样的函数称为分段函数.生活中有很多可以用分段函数来秒描述的问题，比如出租车的计费，个人所得税纳税额等.
分段函数的概念：一个函数的表达式可以分成几个式子，把这类函数叫做分段函数，分段函数的问题，要根据函数的定义域分段函数.
例如，函数用解析法可表示为
用图象法表示这个函数，它由两条线段组成，如图所示：
像这样的函数，在函数的定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数.
【练习1】画出函数的图象.
【答案】如图所示
利用图象求函数的值或值域
【例1】填空
①函数的值域是________.
②已知，则_________
【答案】；4
【练习1】函数的值域是_________.
【答案】
【练习2】已知，那么________
【答案】
【练习3】函数的图象是两条直线的一部分如下图所示，其定义域为，则不等式的解集为（ ）
（A）,且
（B）
（C）或
（D）或
【答案】（D）
取大函数
【例1】给定函数（课本例题）
（1）在同一直角坐标系中画出函数图象
（2），用表示中的较大者，记为.
例如，当时，
请分别用图象法和解析法表示函数.
【答案】
（1）图象法，右图所示
（2）解析式法
【练习1】对，记，函数
的最小值是_________.
【答案】
【练习2】对，记，函数的最小值是__________.
【答案】0
【解析】由题意知函数f(x)是两个函数y1=|x+1|,
y2=-x2+1中的较大者,作出两个函数在同一直角坐标系中的图象,则f(x)的图象是图中的实线部分,
由图象易知f(x)min=0.
取小函数
【例1】给定函数，，（课后练习题）
（1）画出，的图象；
（2），用表示，中较小者，记为，请分别用图象法和解析法表示函数.
【答案】（1）图象如下图：
（2）
图象法：
解析法：
【练习1】对，记，函数的最大值为________
【答案】1
【解析】y＝f(x)是y＝x与y＝－|x－1|＋2两者中的较小者，数形结合可知，函数的最大值为1.
【练习2】对任意实数，min()表示中较小的那个数，若，
，则的最大值是__________
【答案】1
【解析】作出函数，的图象，
令，即，解得，，由题意得，由图象知，当时，最大，最大值是1，故答案为1.
【练习3】对，记，当正数变化时，也在变化，则的最大值为________.
【答案】
【解析】
试题分析：解：=≤=，
当x≥时，即x≥时，t=min{x，}=，而≤≤x≤，
当x≤≤时，也即0＜x≤时，t=min{x，}=x，而x≤，
综上t的最大值为
故答案为：
【例2】设为表示三者中较小的一个，若函数
，则的最大值为（ ）
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5
【答案】（B）
【解析】由题意得f（x）=，
作出函数f（x）的图象如图所示，
则函数f（x）的最大值为f（2）=22﹣2+1=3
故选：（B）
【练习1】设函数，其中表示中的最小值下列说法正确的是（ ）
（A）函数为奇函数
（B）函数既是奇函数又是偶函数
（C）函数为偶函数
（D）函数既不是奇函数也不是偶函数
【答案】（C）
【解析】
【分析】
在同一直角坐标系中画出y=|x-2|，y=x2，y=|x+2|，求得f（x）的解析式，结合图象可得奇偶性，即可得答案
【详解】
根据题意，在同一直角坐标系中画出y=|x-2|，y=x2，y=|x+2|的图象：
则有，
显然f（-x）=f（x），可得f（x）为偶函数；
故选：（C）
【练习2】记为中的最小值.若是任意正实数，则
的最大值是__________.
【答案】
【解析】
【详解】
依题设，则.
于是，.
当时，.
所以，，M的最大值是.
取大取小函数的拓展提升
1记实数中的最大数为max，最小数为min.已知的三边边长为，定义它的倾斜度
，则“”是“为等边三角形”的（ ）
（A）必要而不充分条件
（B）充分而不必要条件
（C）充要条件
（D）既不充分也不必要条件
【答案】（A）
【解析】主要考查充要条件的概念及充要条件的判定方法.
解：当是等边三角形时，a＝b＝c，
∴l＝max·min＝1×1＝1.
∴“l＝1”是“为等边三角形”的必要条件
∵a≤b≤c，∴max＝.
又∵l＝1，∴min＝，
即＝或＝，
得b＝c或b＝a，可知为等腰三角形，而不能推出为等边三角形
∴“l＝1”不是“为等边三角形”的充分条件故选（A）.
2已知函数.
，(表示中的较大值，表示中的较小值)记的最小值为，的最大值为，则（ ）
（A）16 （B）－16 （C） （D）
【答案】（B）
【解析】
【分析】
先作差得到h（x）=f（x）﹣g（x）=2（x﹣a）2﹣8分别解出h（x）=0，h（x）＞0，h（x）＜0画出图形，利用新定义即可得出H1（x），H2（x）进而得出（A），（B）即可
【详解】
令h（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣2（a+2）x+a2﹣[﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8]=2x2﹣4ax+2a2﹣8=2（x﹣a）2﹣8
①由2（x﹣a）2﹣8=0，解得x=a±2，此时f（x）=g（x）；
②由h（x）＞0，解得x＞a+2，或x＜a﹣2，此时f（x）＞g（x）；
③由h（x）＜0，解得a﹣2＜x＜a+2，此时f（x）＜g（x）
综上可知：
（1）当x≤a﹣2时，则H1（x）=max{f（x），g（x）}=f（x）=[x﹣（a+2）]2﹣4a﹣4，
H2（x）=min{f（x），g（x）}=g（x）=﹣[x﹣（a﹣2）]2﹣4a+12，
（2）当a﹣2≤x≤a+2时，H1（x）=max{f（x），g（x）}=g（x），H2（x）=min{f（x），g（x）}=f（x）；
（3）当x≥a+2时，则H1（x）=max{f（x），g（x）}=f（x），H2（x）=min{f（x），g（x）}=g（x），
故（A）=g（a+2）=﹣[（a+2）﹣（a﹣2）]2﹣4a+12=﹣4a﹣4，（B）=g（a﹣2）=﹣4a+12，
∴（A）﹣（B）=﹣4a﹣4﹣（﹣4a+12）=﹣16
故选：（B）
3.已知关于的不等式的解集不是空集，记的最小值为
（1）求；
（2）已知，求证：.
注：max（A）表示数集（A）中的最大数
【答案】(1)(2)见证明
【解析】
【分析】
（1）根据绝对值三角不等式求出|x﹣3|+|x﹣5|的最小值即可求出t；（2）由（1）得：根据基本不等式的性质求出即可
【详解】
解：（1）因为.
当时取等号，故，即.
（2）由（1）知，则，
等号当且仅当，即时成立.
∵，∴.
4.已知，函数，其中.
（Ⅰ）求使得等式成立的的取值范围；
（Ⅱ）（ⅰ）求的最小值；
（ⅱ）求在区间上的最大值.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（ⅰ）（ⅱ）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）分别对和两种情况讨论，进而可得使得等式成立的的取值范围；（Ⅱ）（Ⅰ）先求函数，的最小值，再根据的定义可得的最小值；（Ⅱ）分别对和两种情况讨论的最大值，进而可得在区间上的最大值
试题解析：（Ⅰ）由于，故
当时，，
当时，
所以，使得等式成立的的取值范围为
（Ⅱ）（ⅰ）设函数，，
则，，
所以，由的定义知，即
（ⅱ）当时，
，
当时，
所以，
做题总结：
①准确做出函数所有函数的图象
②由图象找出不同区间各函数图象的关系
③得出满足条件的函数图象
④根据题意得到相应解.
考点三：分段函数的实际应用
【例1】依然纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）.个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为（课本例题）
个人所得税额=应纳税额所得额税率速算扣除数. ①
应纳税所得额的计算公式为
应纳税所得额=综合所得收入额基本减除费用专项扣除
专项附加加除依法确定的其它扣除 ②
其中，“基本减除费用”（免征额）为每年600000.税率与速算扣除数见下表
（1）设全年应纳税所得额为，应缴纳个税税额为，
求，并画出图象；
（2）小王全年综合所得收入额为189600元，假定缴纳的基本养老
保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合
所得收入额的比例分别是专项扣除是52800元，依法
确定其他扣除是4560元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？
【练习1】2018年税改之前，根据《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得税不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳所得税额.此项税款按下表分段累计计算：（老教材课后习题）
全月应纳税所得额 税率（%）
不超过1500元的部分 3
超过1500元至4500元的部分 10
超过4500元至9000元的部分 20
某人一月份应交此项税款为303元，那么他当月的工资、薪金所得是多少？
【答案】7580元
【练习2】.某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律.每生产产品(百台)，其总成本为（万元），其中固定成本为2万元，并且每生产1百台的成本为1万元（总成本=固定成本生产成本）；销售收入（万元）满足：
假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律
要使工厂有盈利，产量X应该控制在什么范围？
共产生产多少台产品时，可使盈利最多？
求盈利最多时每台产品的售价.
【答案】
拓展提升，取整函数
【例1】函数的函数值表示不超过的最大整数.例如，当当时，写出函数的解析式，并画出函数的图象.（课后练习题）
【答案】
解析式：图象：
【练习1】函数称为高斯函数，又称取整函数，对任意实数是不超过的最大整数，则函数的值域为.
【答案】
【解析】
试题分析：：①当-0.5＜x＜0时，y=[x]+1的函数值为0；
②当0≤x＜1时，y=[x]+1的函数值为1；
③当1≤x＜2时，y=[x]+1的函数值为2；
④当2≤x＜2.5时，y=[x]+1的函数值为3；
综上所述，得函数y=[x]+1（-0.5＜x＜2.5）的值域为{0，1，2，3}.
考点：函数的值域.
【练习2】已知当表示不超过的最大整数，称为取整函数，例如，若，且偶函数，则方程
的所有解之和为（ ）
（A）1 （B） （C） （D）
【答案】（D）
【解析】
试题分析：设，则，又为偶函数，所以由，得在同一坐标系中画出与的图象，如图所示由图知同，两个图象有四个交点，交点的纵坐标分别为，当时，方程的解是0和1；当时，由解得，由解得综上，得的所有解之和为，故选（D）
【练习3】我们定义函数（表示不大于的最大整数）为“下整函数”；定义（表示不小于的最小整数）为“上整函数”；例.
某停车场收费标准为每小时2元，即不超过1小时（包括1小时）收费2元，超过一小时，不超过2小时（包括2小时）收费4元，以此类推.若李刚停车时间为小时，则李刚应缴费为（单位：元）
（A） （B） （C） （D）
【答案】（C）
【解析】
试题分析：如时，应缴费2元，此时，，排除（A）、（B）；当时，缴费为2元，此时排除（D），故选（C）
【练习4】遂宁二中将于近期召开学生代表大会，规定各班每人推选一名代表，当各班人数除以的余数大于时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数（表示不大于的最大整数）可以表示为（）
（A） （B） （C） （D）
【答案】（C）
【解析】
试题分析：可以采用特殊值法，由于已知中当各班人数除以的余数大于时再增选一名代表，比如当x=56时，则可知被10除的余数大于5，因此y=6,这样选项（A）,（B）中代入得到的结论为5，不符合题意.再看x=55,那么可知，而55被10除的余数等于5，因此得到y=5，显然不成立，排除法选（C）.
【阅读与思考】函数概念的发展历程
1692年，德国数学家莱布尼兹首先使用“”一词
1718年，瑞士数学家约翰·伯努利（莱布尼兹的学生）强调函数要用公式表示.
1755年，瑞士数学家欧拉将函数定义为“如果某些变量，以一种方式依赖于另一些变量，我们将前面的变量称为后面变量的函数”
1837年，德国数学家狄利克雷提出：“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，则是的函数”
1859年，中国清代数学家李善兰和英国传教士烈亚力合译的《代微积拾级》中首次将“”译成“函数”.
19世纪70年代以后，随着集合概念的出现，函数概念又进而更加严谨化、精确化、这与我们学习函数的过程是一样的.
小试牛刀（均为课后习题）
1.求下列函数的定义域
（1）；（2）；（3）；（4）
【答案】（1）；（2）；（3）且；（4）且.
2.下列哪一组函数是同一函数
（1）；
（2）；
（3）
【答案】（3）
3.画出下列函数的图象，并说出函数的定义域和值域
（1）；（2）；（3）；（4）
【答案】（1）定义域；值域；（2）定义域；值域
（3）定义域；值域；（4）定义域；值域
4.已知函数，求的值.
【答案】
5.已知函数
（1）点在图象上吗？
（2）当时求的值.
（3）当时求的值.
【答案】（1）不在（2）（3）
6.若且，求的值
【答案】-8
7.画出下列函数图象
（1）；
（2）
巩固练习
一、单选题
1在同一直角坐标系中，表示直线与正确的是（）
（A） （B）
（C） （D）
【答案】（C）
2如图所示的4个图象中，与所给3个事件最吻合的顺序为
①我离开家后，心情愉快，缓慢行进，但最后发现快迟到时，加速前进；
②我骑着自行车上学，但中途车坏了，我修理好又以原来的速度前进；
③我快速的骑着自行车，最后发现时间充足，又减缓了速度.
① ② ③ ④
（A）③①② （B）③④② （C）②①③ （D）②④③
【答案】（C）
3函数的定义域是
（A） （B）
（C）且 （D）且
【答案】（D）
4下列四个图象中（如图），属于函数图象的是
（1） （2） （3） （4）
（A）(1)(2) （B）(1)(3)(4) （C）(2)(3)(4) （D）(1)(2)(3)(4)
【答案】（B）
5已知函数，则等于
（A） （B） （C） （D）
【答案】（B）
二、填空题
1用区间表示函数的定义域：____________.
【答案】（1，+∞）
2.若函数，则
【答案】
3已知函数，满足，且.则____________.
【答案】18
4若函数，则
【答案】-1
4.已知函数，若，则
【答案】或
5已知，那么的值是________.
【答案】2
三、解答题
1下面是李强同学数学作业本上的一道题，请你帮他完成下面的题目.
（题目）求函数,在处的函数值和值域
（解答）(一)计算.
(二)总结：容易看出，这个函数当时，有最大值__________，当自变量的绝对值逐渐__________（选填“变大”或“变小”）时，函数值逐渐变小并趋向于0，但__________（选填“永远不会”或“可能会”）等于0，于是可知该函数的值域为集合：
，___________＝____________.
【答案】
【解析】
【分析】
(1)直接将自变量代入求解即可，（2）根据代入求值估计函数单调性，进而得值域.
【详解】
(一)f(0)=f(1)=,f(2)=
(二)函数当x＝0时，有最大值1,当自变量x的绝对值逐渐变大时，函数值逐渐变小并趋向于0，但永远不会等于0，于是可知该函数的值域为集合：｛y｜y＝f（x）,x∈R｝＝（0,1].第一讲 函数的概念及其表示
课前检测
成绩（满分10）： 完成情况：优/中/差
1、已知函数，求函数定义域；
2、【练习1】求下列函数的定义域
（1）
（2）
3、函数的定义域是.
4、函数的定义域是()
（A） （B）
（C） （D）
教学目标
1理解函数的概念及函数的三要素，会求一些简单函数的定义域和值域，能够正确使用区间表示某些函数的定义域和值域.
2.掌握函数的常用的三种表示法，能根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，了解函数不同表示法的优缺点，理解分段函数及其表示法，会处理某些简单的分段函数问题
知识框架
函数概念的引入：
在初中我们已经接触过函数的概念，知道函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具.例如，正方形的周长与边长的对应关系是，而且对于每一个每一个确定的都有唯一的与之对应，所以是的函数.这个函数与正比例函数相同吗？又如，你能用已知的函数知识判断与是否相同？要解决这些问题，我们先分析一下下列问题：
【问题1】某“复兴号”高速列车加速到后保持匀速运行半小时.这段时间内，列车行进的路程（单位：km）与运行时间（单位：h）的关系可以表示为
.
这里和是两个变量，而且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，所以是的函数.
【思考】有人说：“根据对应关系，这趟列车加速到350km/h后，运行1h就前进了350km.”你认为这个说法正确吗？
根据问题1的条件，我们不能判断列车以350km/h运行半小时后的情况，所以上述说法不正确.显然，其原因是没有关注到的变化范围.
下面用更精确的语言表示问题1中和的对应关系.
列车行进路程与运行时间的对应关系是
.
其中，的变化范围是数集，的变化范围是数集对于数集中的任一时刻,按照对应关系，在数集中都有唯一确定的路程和它对应.
知识点1：函数的定义
一般地，我们有：
设是非空数集，如果按照某种确定关系的对应关系，使对于集合
中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就
称为从集合到集合的一个函数，记作
其中,叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域（domain）；
与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.显然，值域是集合的子集
【总结】上述问题的共同特征有：
（1）都包含两个非空数集，用来表示
（2）都有一个对应关系
（3）他们的共同特征：对于数集中的任意一个数，按照某张确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的和它对应.事实上，除了解析式、图象、表格外，还有其他对应关系的表示方法，为了表示方便，我们引进符号来表示对应关系.
【例1】一枚炮弹发射后，经过26秒落到地面击中目标，炮弹的射高为845米，且炮弹距离地面的高度（单位：）与时间（单位：）的关系为
求函数的定义域和值域，并用函数的定义描述.
【练习1】如图，矩形的面积为10.如果举行的长为，宽为，对角线为，周长为，那你能获得关于这些量的哪些函数？
【例2】
函数的解析式是舍弃实际背景而抽象出来的，它所反映的两个量之间的对应关系，可以广泛的应用于刻画一类事物中的变量关系和规律.例如，正比例函数可以用来刻画匀速运动中路程和时间的关系，一定密度的物体的质量与体积之间的关系、圆的周长与半径之间的关系等.
试构建一个实际情境，使其中的变量关系可以用解析式来描述.
【练习1】构建一个问题情境，使其中的变量关系能用解析式来描述
0.
【练习2】试构建一个实际情境，使其中的变量关系可以用解析式来描述.
知识点2：区间的概念
设是两个实数，而且.我们规定：
（1）满足不等式的实数集合叫做闭区间，表示为；
（2）满足不等式的实数集合叫做开区间，表示为；
（3）满足不等式或的实数的集合叫做半开半闭区间，分别表示为.
这里的实数都叫做相应区间的端点
定义 名称 符号 数轴表示
闭区间
开区间
半开半闭区间
半开半闭区间
这些区间的几何表示如上图所示.在图中，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点.
实数集可以用区间表示为，读作“无穷大”，读作“负无穷大”，读作“正无穷大”.我们可以把满足的实数集分别表示为
考点一：求函数定义域
【例1】（
已知函数，求函数定义域；
根式内大于等于0，分分不为0
【练习1】求下列函数的定义域
（1）
（2）
【练习2】函数的定义域是.
【练习3】函数的定义域是()
（A） （B）
（C） （D）
【练习4】函数的定义域是
（A） （B） （C） （D）
【练习5】函数的定义域为
（A） （B）
（C） （D）
零指数幂，底数不为0
【例2】函数的定义域为
（A） （B）
（C） （D）
【练习1】求函数的定义域为__________.
【练习2】求函数的定义域为________.
【总结】求函数定义域注意：
（1）分式分母不为零；
（2）开偶次方根底数大于等于零；
（3）零指数幂底数不为零；
（4）求函数定义域要在原始解析式上求解，不可化简.
抽象函数定义域，作用范围相同
【例1】函数的定义域为，则函数的定义域是
（A） （B）
（C） （D）
【练习1】若函数的定义域是，则的定义域是______
【练习2】若函数的定义域为，则函数的定义域是________；
考点二：求函数的值
【例1】已知函数，求的值；
【练习1】已知函数，求的值
【练习2】函数的值域是
（A） （B） （C） （D）
【练习2】.设函数，则的值为
（A）0 （B）-1 （C）1 （D）.不存在
考点三：相同函数的判定
函数的三要素一致
判断两个函数是否为同一函数：
①判断定义域是否相同
②化简解析式是否相同
当定义域及函数对应法则相同时，值域必然相同.
【例1】下列哪个函数和是同一函数？
（1）；（2）；（3）；（4）
【例2】判断下列各组中的函数是否为同一函数，并且说明理由
（1）表示炮弹飞行高度与时间的关系的函数和二次函数
（2）和
【练习1】下列四组函数，表示同一函数的是
（A）
（B）
（C）
（D）
【练习2】已知函数,则与相等的函数是
（A） （B）
（C） （D）
知识点3：函数的表示方法
我们初中已经接触过函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法.
解析法，就是利用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，如下题的表示①.
图象法，就是用图象表示两个变量之间的对应关系，如下题的表示②.
列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系，下图的表示③.
【例】某笔记本的单价是元，买个笔记本需要元，试用函数的三种表示法表示函数.
解：这个函数的定义域是数集
用解析法可将函数表示为： 表示①
用列表法可将函数表示为
笔记本数 1 2 3 4 5
钱数 5 10 15 20 25
表示②
用图象法可将函数表示为：
表示③
对于一个具体的问题，我们应该学会选择恰当的方法表示问题中的函数关系，高中阶段我们重点需要掌握的是解析法.思考下列两个问题：
比较函数的三种表示法，它们各自的特点是什么？
所有函数都能用解析法表示吗？列表法与图象法呢？请你举出实例加以说明.
考点一：求函数的解析式
方法1：代入法，给出解析式直接代入.
【例1】已知函数，当时，求的值
【练习1】已知函数，求的值
方法2：配凑、换元法
【例1】已知函数则函数的解析式为（）
（A） （B）
（C） （D）
【练习1】已知函数，则函数的解析式为_________.
【练习2】已知,且,则.
方法3：待定系数法：已知函数类型，通过设系数解系数的方式求得函数解析式
【例1】已知为一次函数，为二次函数，且
（1）求 的解析式；
（2）若与轴及都相切，且，求的解析式
【练习1】已知是一次函数，且满足，求；
【练习2】已知是二次函数，且满足，求.
方法4：方程组法
【例1】求下列函数解析式
(1)已知2＋＝()，求；
(2)已知＋2＝，求
【练习1】若满足关系式，则的值为
（A）1 （B） （C） （D）
【练习2】已知函数满足，求的表达式
考点二：函数图象与分段函数
【例1】画出函数的图象
解：由绝对值的概念，我们有
所以函数图象如图所示.像这样的函数称为分段函数.生活中有很多可以用分段函数来秒描述的问题，比如出租车的计费，个人所得税纳税额等.
分段函数的概念：一个函数的表达式可以分成几个式子，把这类函数叫做分段函数，分段函数的问题，要根据函数的定义域分段函数.
例如，函数用解析法可表示为
用图象法表示这个函数，它由两条线段组成，如图所示：
像这样的函数，在函数的定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数.
【练习1】画出函数的图象.
利用图象求函数的值或值域
【例1】填空
①函数的值域是________.
②已知，则_________
【练习1】函数的值域是_________.
【练习2】已知，那么________
【练习3】函数的图象是两条直线的一部分如下图所示，其定义域为，则不等式的解集为（ ）
（A）,且
（B）
（C）或
（D）或
取大函数
【例1】给定函数
（1）在同一直角坐标系中画出函数图象
（2），用表示中的较大者，记为.
例如，当时，
请分别用图象法和解析法表示函数.
【练习1】对，记，函数
的最小值是_________.
【练习2】对，记，函数的最小值是__________.
取小函数
【例1】给定函数，，
（1）画出，的图象；
（2），用表示，中较小者，记为，请分别用图象法和解析法表示函数.
【练习1】对，记，函数的最大值为________
【练习2】对任意实数，min()表示中较小的那个数，若，
，则的最大值是__________
【练习3】对，记，当正数变化时，也在变化，则的最大值为________.
【例2】设为表示三者中较小的一个，若函数
，则的最大值为（ ）
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5
【练习1】设函数，其中表示中的最小值下列说法正确的是（ ）
（A）函数为奇函数
（B）函数既是奇函数又是偶函数
（C）函数为偶函数
（D）函数既不是奇函数也不是偶函数
【练习2】记为中的最小值.若是任意正实数，则
的最大值是__________.
取大取小函数的拓展提升
1记实数中的最大数为max，最小数为min.已知的三边边长为，定义它的倾斜度
，则“”是“为等边三角形”的（ ）
（A）必要而不充分条件
（B）充分而不必要条件
（C）充要条件
（D）既不充分也不必要条件
2已知函数.
，(表示中的较大值，表示中的较小值)记的最小值为，的最大值为，则（ ）
（A）16 （B）－16 （C） （D）
3.已知关于的不等式的解集不是空集，记的最小值为
（1）求；
（2）已知，求证：.
4.已知，函数，其中.
（Ⅰ）求使得等式成立的的取值范围；
（Ⅱ）（ⅰ）求的最小值；
（ⅱ）求在区间上的最大值.
做题总结：
①准确做出函数所有函数的图象
②由图象找出不同区间各函数图象的关系
③得出满足条件的函数图象
④根据题意得到相应解.
考点三：分段函数的实际应用
【例1】依然纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）.个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为
个人所得税额=应纳税额所得额税率速算扣除数. ①
应纳税所得额的计算公式为
应纳税所得额=综合所得收入额基本减除费用专项扣除
专项附加加除依法确定的其它扣除 ②
其中，“基本减除费用”（免征额）为每年600000.税率与速算扣除数见下表
（1）设全年应纳税所得额为，应缴纳个税税额为，
求，并画出图象；
（2）小王全年综合所得收入额为189600元，假定缴纳的基本养老
保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合
所得收入额的比例分别是专项扣除是52800元，依法
确定其他扣除是4560元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？
【练习1】2018年税改之前，根据《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得税不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳所得税额.此项税款按下表分段累计计算：
全月应纳税所得额 税率（%）
不超过1500元的部分 3
超过1500元至4500元的部分 10
超过4500元至9000元的部分 20
某人一月份应交此项税款为303元，那么他当月的工资、薪金所得是多少？
【练习2】.某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律.每生产产品(百台)，其总成本为（万元），其中固定成本为2万元，并且每生产1百台的成本为1万元（总成本=固定成本生产成本）；销售收入（万元）满足：
假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律
要使工厂有盈利，产量X应该控制在什么范围？
共产生产多少台产品时，可使盈利最多？
求盈利最多时每台产品的售价.
拓展提升，取整函数
【例1】函数的函数值表示不超过的最大整数.例如，当当时，写出函数的解析式，并画出函数的图象.
【练习1】函数称为高斯函数，又称取整函数，对任意实数是不超过的最大整数，则函数的值域为.
【练习2】已知当表示不超过的最大整数，称为取整函数，例如，若，且偶函数，则方程
的所有解之和为（ ）
（A）1 （B） （C） （D）
【练习3】我们定义函数（表示不大于的最大整数）为“下整函数”；定义（表示不小于的最小整数）为“上整函数”；例.
某停车场收费标准为每小时2元，即不超过1小时（包括1小时）收费2元，超过一小时，不超过2小时（包括2小时）收费4元，以此类推.若李刚停车时间为小时，则李刚应缴费为（单位：元）
（A） （B） （C） （D）
【练习4】遂宁二中将于近期召开学生代表大会，规定各班每人推选一名代表，当各班人数除以的余数大于时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数（表示不大于的最大整数）可以表示为（）
（A） （B） （C） （D）
【阅读与思考】函数概念的发展历程
1692年，德国数学家莱布尼兹首先使用“”一词
1718年，瑞士数学家约翰·伯努利（莱布尼兹的学生）强调函数要用公式表示.
1755年，瑞士数学家欧拉将函数定义为“如果某些变量，以一种方式依赖于另一些变量，我们将前面的变量称为后面变量的函数”
1837年，德国数学家狄利克雷提出：“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，则是的函数”
1859年，中国清代数学家李善兰和英国传教士烈亚力合译的《代微积拾级》中首次将“”译成“函数”.
19世纪70年代以后，随着集合概念的出现，函数概念又进而更加严谨化、精确化、这与我们学习函数的过程是一样的.
小试牛刀
1.求下列函数的定义域
（1）；（2）；（3）；（4）
2.下列哪一组函数是同一函数
（1）；
（2）；
（3）
3.画出下列函数的图象，并说出函数的定义域和值域
（1）；（2）；（3）；（4）
4.已知函数，求的值.
5.已知函数
（1）点在图象上吗？
（2）当时求的值.
（3）当时求的值.
6.若且，求的值
7.画出下列函数图象
（1）；
（2）
巩固练习
一、单选题
1在同一直角坐标系中，表示直线与正确的是（）
（A） （B）
（C） （D）
2如图所示的4个图象中，与所给3个事件最吻合的顺序为
①我离开家后，心情愉快，缓慢行进，但最后发现快迟到时，加速前进；
②我骑着自行车上学，但中途车坏了，我修理好又以原来的速度前进；
③我快速的骑着自行车，最后发现时间充足，又减缓了速度.
① ② ③ ④
（A）③①② （B）③④② （C）②①③ （D）②④③
3函数的定义域是
（A） （B）
（C）且 （D）且
4下列四个图象中（如图），属于函数图象的是
（1） （2） （3） （4）
（A）(1)(2) （B）(1)(3)(4) （C）(2)(3)(4) （D）(1)(2)(3)(4)
5已知函数，则等于
（A） （B） （C） （D）
二、填空题
1.用区间表示函数的定义域：____________.
2.若函数，则
3已知函数，满足，且.则____________.
4.若函数，则
5.已知函数，若，则
6已知，那么的值是________.
三、解答题
1下面是李强同学数学作业本上的一道题，请你帮他完成下面的题目.
（题目）求函数,在处的函数值和值域
（解答）(一)计算.
(二)总结：容易看出，这个函数当时，有最大值__________，当自变量的绝对值逐渐__________（选填“变大”或“变小”）时，函数值逐渐变小并趋向于0，但__________（选填“永远不会”或“可能会”）等于0，于是可知该函数的值域为集合：
，___________＝____________.

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