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第6讲 函数的值域及表示
一、知识要点
知识点一：值域的概念
所有有意义的自变量对应的函数值组成的集合
知识点二：求值域的方法
（1）观察法（或直接法）：根据最基本函数值域（如，）及函数的图像、性质、简单的计算、推理，凭观察能直接得到一些简单的复合函数的值域.
（2）图像法（或数形结合法）：根据所给数学式子的特征，构造合适的几何模型.
（3）配方法：对于形如的值域问题可充分利用二次函数可配方的特点，结合二次函数的定义域求出函数的值域.
（4）换元法：对于形如的值域，可通过换元将原函数转化为二次型函数.
（5）分离常数法：对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简化而便于分析.
（6）判别式法：把函数解析式化为关于的一元二次方程，利用一元二次方程的判别式求值域.一般地，形如或的函数值域问题可运用判别式法。
（7）平方法：一般用于含两个根式的函数
注意：①求值域一定要遵循定义域优先的原则
②值域的结果必须写成区间或集合的形式
知识点三: 函数的表示方法
1．表示函数的常用方法有解析法、列表法、图象法．
①解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式．
②列表法：就是列出表格来表示两个变量的对应关系．
③图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．
2．求解析式的方法： 拼凑法、换元法、待定系数法、方程组法、赋值法 ．
经典例题
题型一：值域
1. 直接法（观察法）
【例1】已知函数，则函数值域是（　　）
A． B． C． D．
【变式】下列函数中值域是的是（　　）
A．. B． C． D．
2. 配方法
【例2】函数的值域是（　　）
A． B． C． D．
【变式】已知函数的定义域为，函数的值域为，全集为，，则实数的取值范围是　 　．
3. 换元法
【例3】函数的值域为（　　）
A． B． C． D．
【变式1】求函数的最大值．
【变式2】求函数的值域．
4.分离常数法
【例4】求函数的值域．
【变式1】函数的值域是 （　　）
A． B．
C． D．
5.判别式法
【例5】 求函数的值域.
题型二：解析式
1、拼凑法
【例 6】已知，求的解析式.
【变式】 若，则=（　　）
2、换元法
【例7】已知，则的解析式可取（　　）
A． B． C． D．
【变式】如果，则当且时，=（　　）
A． B． C． D．
待定系数法
【例8】已知函数是一次函数，且满足，求的解析式.
方程组法
【例9】已知满足，求.
【变式】已知，则的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
5、赋值法
【变式】设是定义在实数集上的函数，满足，且任意实数都满足，则函数的解析式为（ ）
A. B. C. D.
课后作业
1、函数的值域为（　　）
A．R B． C． D．
2、函数的值域是（ 　）
A． B． C． D．
3、求函数的值域．
4、求函数的值域.
5、求函数的值域
6、 已知，求函数的解析式.
7、已知，则的解析式为（　　）
A． B． C． D．
8、函数在闭区间上有最大值5，最小值2，则，的值为(　　)
A． B．
C． D．以上答案均不正确
9、设函数满足，且，则的解析式是（ ）
A． B． C． D．第6讲 函数的值域及表示
一、知识要点
知识点一：值域的概念
所有有意义的自变量对应的函数值组成的集合
知识点二：求值域的方法
（1）观察法（或直接法）：根据最基本函数值域（如，）及函数的图像、性质、简单的计算、推理，凭观察能直接得到一些简单的复合函数的值域.
（2）图像法（或数形结合法）：根据所给数学式子的特征，构造合适的几何模型.
（3）配方法：对于形如的值域问题可充分利用二次函数可配方的特点，结合二次函数的定义域求出函数的值域.
（4）换元法：对于形如的值域，可通过换元将原函数转化为二次型函数.
（5）分离常数法：对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简化而便于分析.
（6）判别式法：把函数解析式化为关于的一元二次方程，利用一元二次方程的判别式求值域.一般地，形如或的函数值域问题可运用判别式法。
（7）平方法：一般用于含两个根式的函数
注意：①求值域一定要遵循定义域优先的原则
②值域的结果必须写成区间或集合的形式
知识点三: 函数的表示方法
1．表示函数的常用方法有解析法、列表法、图象法．
①解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式．
②列表法：就是列出表格来表示两个变量的对应关系．
③图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．
2．求解析式的方法： 拼凑法、换元法、待定系数法、方程组法、赋值法 ．
经典例题
题型一：值域
1. 直接法（观察法）
【例1】已知函数，则函数值域是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：
已知函数，则函数值域是．故选C．
【变式】下列函数中值域是的是（　　）
A．. B． C． D．
【解答】解：A、函数y=2x+1在（0，+∞）上是增函数，∴函数的值域为（1，+∞），故错；
B、函数y=x2≥0，函数的值域为[0，+∞），故错；
C、函数的值域为{y|y≠0}，故错；
D、函数的定义域为（1，+∞），根据复合函数的单调性知：函数在（1，+∞）上单调递减，故函数的值域为（0，+∞）故选D．
2. 配方法
【例2】函数的值域是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：y==；
∵；
∴；
∴原函数的值域为．故选：B．
【变式】已知函数的定义域为，函数的值域为，全集为，，则实数的取值范围是　 　．
【解答】解：由题可知： ，得
则
且由
即，故答案为：．
3. 换元法
【例3】函数的值域为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解；设，则，
，，
∵轴，可判断在上单调递减，
∴当 时， ，故选：B
【变式1】求函数的最大值．
【解答】解：设，则
∴f（t）==，（t≥0），
∴f（t）max=．
【变式2】求函数的值域．
【解答】解：设t=x2，∵y=x4+4x2+1
∴y=t2+4t+1，t＞0
可知函数y=t2+4t+1，在区间（0，+∞）为增函数
当t=0时，y=1,即y=t2+4t+1，t＞0的值域为（1，+∞）
所以函数y=x4+4x2+1的值域为（1，+∞）
4.分离常数法
【例4】求函数的值域．
【解答】解：=，
∵（x﹣1）2+2≥2
∴，∴，
所以函数的值域为．
【变式1】函数的值域是 （　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵y===1﹣，画出函数y=1﹣的图象，如图示：
，
∵x≠3，∴y≠﹣，
∴函数的值域是（﹣∞，﹣）∪（﹣，1）∪（1，+∞），
故选：D．
5.判别式法
【例5】 求函数的值域.
解：，所以函数的定义域为，原函数可以化为，整理得：
当时，上式可以看成关于的二次方程，该方程的 范围应该满足即此时方程有实数根即，.
当时，方程化为，显然不能成立，所以当.
将分别代入检验得不符合方程，所以.
题型二：解析式
1、拼凑法
【例 6】已知，求的解析式.
【变式】 若，，则=（　　）
【解答】解：=．故选：A．
2、换元法
【例7】已知，则的解析式可取（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：令，则
∵，∴
∴故选A
【变式】如果，则当且时，=（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：令，则
∵∴， 化简得：即
故选B
待定系数法
【例8】已知函数是一次函数，且满足，求的解析式.
【解答】解：设，
则
方程组法
【例9】已知满足，求.
解：
【变式】已知，则的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
5、赋值法
【变式】设是定义在实数集上的函数，满足，且任意实数都满足，则函数的解析式为（ ）
A. B. C. D.
课后作业
1、函数的值域为（　　）
A．R B． C． D．
【解答】解：
故函数的值域为故选D
2、函数的值域是（ 　）
A． B． C． D．
3、求函数的值域．
【解答】解：设，（其中）；
∴；
∴
∵，∴，∴，
又，∴；
∴的值域是．
4、求函数的值域.
5、求函数的值域
【解析】
6、 已知，求函数的解析式.
7、已知，则的解析式为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：设，则，所以，
即，所以f（x+1）=（x+1﹣1）2+3=x2+3，
由，得，
所以．
故选B．
8、函数在闭区间上有最大值5，最小值2，则，的值为(　　)
A． B．
C． D．以上答案均不正确
[答案]　B
[解析]　对称轴x＝1，当a>0时在[2,3]上递增，
则解得
当a<0时，在[2,3]上递减，
则解得
故选B.
9、设函数满足，且，则的解析式是（ ）
A． B． C． D．

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