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第3讲 集合的基本运算
一．知识精讲
知识点一：交集
1．一般地，由属于集合且属于集合的元素所组成的集合，称为集合与集合的交集，记作，即．
2．用图形表示
3．一般情况下，可分以下五种情况：
4．交集有如下性质：
（1）,； （2）；
（3）； （4）；
（5）若，则； （6）；
（7）．
知识点二：并集
1．一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为集合与的并集；
记作．即．
2．用图形表示
3．并集有如下性质：
（1）,； （2）；
（3）； （4）；
（5）若，则； （6）；
（7）.
知识点三:全集与补集
1．补集：一般地，设是一个集合，是的一个子集（即），由中所有不属于的元素组成的集合，叫做中子集的补集（或余集），记作，即．
补集的性质：①，②，③．
2．全集：如果集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用表示．
二．经典例题
题型一：交集的性质及运算
【例1】（1）设，，则= ．
（2）设，，
【变式1】已知集合，，则=
【变式2】已知集合,集合，且满足
,则符合条件的集合的个数有（ ）．
A．3个 B．4个 C．6个 D．8个
【拓展1】设集合，，，则 .
【拓展2】已知集合，分别求适合下列条件的的值．
（1）（2）．
【例2】设集合，．
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围．
【例3】已知集合为常数，
，求当为何实数时，与同时成立．
【变式1】设集合，，若，求的取值范围．
【变式2】已知集合，，若，求实数的取值范围
题型二：并集的性质及运算
【例4】设全集为，则= .
【变式】设全集，，若，,则实数的值为 .
【拓展】已知集合，，则= .【例5】（1）集合A=,求实数的取值范围．
（2）已知，，且,，求、、的值
【变式】设全集，，若,求的值．
题型三：全集、补集
【例6】已知全集,，是非空集合，求及的值．
【变式】1．设全集，求实数的值．
2．设全集，求实数的值．
题型四：交、并、补综合运算
（1）德摩根定律：
（2）容斥原理：①；
②
【例7】设，，；则= ，
=
【变式】集合中有10个元素，集合中有8个元素，集合有3个元素，的元素个数= ．
【拓展】已知全集取不大于30的质数，是的两个子集，且，
，，则 ， ．
【例8】开运动会时，高一（1）班共有名同学参加比赛，有人参加游泳比赛，有人参加田径比赛，有人参加球类比赛，同时参加游泳和田径比赛的有人，同时参加游泳和球类比赛的有人，没有人同时参加三项比赛，问：同时参加田径和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？
课后作业
一．基础过关
1．已知全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．或
2．已知集合，，则能使成立的实数的范围是（ ）
A． B． C． D．
3．设集合，，则满足的集合的个数是 .
4．对于集合，定义且，设
，则中元素的个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．已知集合是方程的解集，，，若且，试求的值．
二．延伸拓展
6．设是两个非空集合，定义，根据这一定义，等于（ ）
A． B． C． D．
7．已知集合，若，求实数的取值范围．第3讲 集合的基本运算
一．知识精讲
知识点一：交集
1．一般地，由属于集合且属于集合的元素所组成的集合，称为集合与集合的交集，记作，即．
2．用图形表示
3．一般情况下，可分以下五种情况：
4．交集有如下性质：
（1）,； （2）；
（3）； （4）；
（5）若，则； （6）；
（7）．
知识点二：并集
1．一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为集合与的并集；
记作．即．
2．用图形表示
3．并集有如下性质：
（1）,； （2）；
（3）； （4）；
（5）若，则； （6）；
（7）.
知识点三:全集与补集
1．补集：一般地，设是一个集合，是的一个子集（即），由中所有不属于的元素组成的集合，叫做中子集的补集（或余集），记作，即．
补集的性质：①，②，③．
2．全集：如果集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用表示．
二．经典例题
题型一：交集的性质及运算
【例1】（1）设，，则=．
（2）设，，
【变式1】已知集合，，则=
【变式2】已知集合,集合，且满足
,则符合条件的集合的个数有（ ）．
A．3个 B．4个 C．6个 D．8个
【答案】B．
【解析】由题得，{0,1}的子集可含于，符合条件的集合有4个．
【拓展1】设集合，，，则 .
【答案】
【拓展2】已知集合，分别求适合下列条件的的值．
（1）（2）．
【解析】（1）且或，
，或或，经检验或符合题意
或
（2），且
由（1）知或
当时，，此时
当时，，此时不合题意，
【例2】设集合，．
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）的值为或；（2）的取值范围是
【解析】（1），，代入中的方程，
得，或；
当时，，满足条件；
当时，，满足条件；
综上，的值为或．
（2）对于集合，．
，，
①当，即时，，满足条件；
②当，即时，，满足条件；
③当，即时，，才能满足条件，
则由根与系数的关系得，即，矛盾；
综上，的取值范围是．
【例3】已知集合为常数，
，求当为何实数时，与同时成立．
【解析】，，因为是的真子集，,
．将代入得或者．若则此时
，不符合要求，舍去；当时，则，满足要求，综上．
【变式1】设集合，，若，求的取值范围．
【答案】
【变式2】已知集合，，若，求实数的取值范围
【答案】
题型二：并集的性质及运算
【例4】设全集为，则= .
【答案】或
【变式】设全集，，若，,则实数的值为 .
【答案】
【拓展】已知集合，，则= .
【答案】
【例5】（1）集合A=,求实数的取值范围．
【答案】
（2）已知，，且,，求、、的值
【答案】
【变式】设全集，，若,求的值．
【答案】
题型三：全集、补集
【例6】已知全集,，是非空集合，求及的值．
【答案】；或
【变式】1．设全集，求实数的值．
【答案】或
2．设全集，求实数的值．
【答案】
题型四：交、并、补综合运算
（1）德摩根定律：
（2）容斥原理：①；
②
【例7】设，，；则= ，
=
【答案】，
【变式】集合中有10个元素，集合中有8个元素，集合有3个元素，的元素个数= ．
【答案】15
【拓展】已知全集取不大于30的质数，是的两个子集，且，
，，则 ， ．
【答案】
【例8】开运动会时，高一（1）班共有名同学参加比赛，有人参加游泳比赛，有人参加田径比赛，有人参加球类比赛，同时参加游泳和田径比赛的有人，同时参加游泳和球类比赛的有人，没有人同时参加三项比赛，问：同时参加田径和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？
【解析】解法一：设同时参加田径和球类比赛的共有人．参加游泳比赛的人数，参加田径比赛的人数，参加球类比赛，而，
，．有，解得．
因此同时参加田径和球类比赛的共有人，只参加游泳一项比赛的人数有（人）
解法二：（如图3-3-9）设同时参加田径和球类比赛的人数为，则有，解得（人）只参加游泳比赛的人数为（人）
课后作业
一．基础过关
1．已知全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
2．已知集合，，则能使成立的实数的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
3．设集合，，则满足的集合的个数是 .
【答案】2
4．对于集合，定义且，设
，则中元素的个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
5．已知集合是方程的解集，，，若且，试求的值．
【答案】
二．延伸拓展
6．设是两个非空集合，定义，根据这一定义，等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
7．已知集合，若，求实数的取值范围．
【答案】

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