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第4讲 绝对值不等式与一元二次不等式的解法
一．知识精讲
知识点一：绝对值的几何意义及应用
1．绝对值的几何意义：是指数轴上点到原点的距离；是指数轴上点到点的距离.
2．绝对值的意义：
知识点二：基本不等式的求解
1．与型的不等式的解法
不等式的解集是；不等式的解集是.
2．与型的不等式的解法
把 看作一个整体时，可化为与型的不等式来求解.
知识点三：二次函数、 二次方程、二次不等式间的关系
判别式
方程 有两个不等实根 有两个相等实根 无实根
二次函数 的图象
不等式 的解集 或
不等式 的解集
知识点四：一元二次不等式的解法（化归思想）及应用
（1）先判断二次项系数的正负，若为负，化为正数；
（2）判断方程的判别式大于，等于，或小于，解方程；
（3）根据方程的根，结合变形后不等号的方向，写出不等式的解集，“大于（号）找两边，小于（号）找中间”.
二．经典例题
题型一：基本不等式的解法
【例1】解不等式① ②
【答案】①②或
【变式】解不等式① ②
【答案】①②或
【例2】解不等式① ② ③解不等式
【答案】①② ③
【变式】解不等式① ②
【答案】①②
【拓展】解不等式：.
【答案】
当时，原不等式同解于，解得，所以；
当时，原不等式同解于，解得，所以；
当时，原不等式同解于，解得，所以。
综上所述，原不等式的解集为.
题型二：一元二次不等式的解法
【例3】求下列不等式的解集
（1）； （2）； （3）．
【答案】（1） （2） （3）
【变式】求下列不等式的解集
(1)； （2）； （3）.
【答案】（1）（2）或（3）
【拓展】1．解关于的不等式（）
（1）； （2）.
【解析】（1），下列分情况讨论：
a、当，即时，不等式的解集为
b、当，即或时，方程的两个根为，.
当时，原不等式的解集为
当或时，原不等式的解集为
当时，原不等式的解集为
（2）若，原不等式等价于，解得
若，则原不等式等价于，解得或
若，原不等式等价于
a、当时，，无解
b、当时，，解得
c、当时，，解得
综上所述：当时，解集为
当时，解集为；当时，解集为；
当时，解集为；当时，解集为
2.（1）解不等式.
【解析】方程的根为标根穿根
解集为
（2）解不等式：.
解：∵
∴原不等式的解集为.
题型三：不等式、方程、函数间的关系
【例4】已知不等式的解集为，求不等式的解集为 .
【答案】
【变式】关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集为___ ___.
【解析】不等式的解集为
为方程的两根且
根据韦达定理可得
，
关于的不等式可变形为
又
不等式的解集为
【拓展】若不等式的解集为，求不等式的解集 .
【答案】
题型四：含参不等式恒成立的解法
【例5】（1）当取何值时，关于的不等式的解集为全体实数.
【解析】当时，或； 当时，原不等式变为恒成立，此时解集为；
当时，不等式变为，，显然不符合题意，； 当时，由题意，解得： 综上所述：.
（2）若不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围为 ．
【解析】不等式对一切实数恒成立，由绝对值的几何意义可知表示数轴上点到3和4的距离之和，那么对任意恒成立，利用三角不等式可得，故，又，故，
所以实数的取值范围
【变式】（1）当时，恒成立，则实数的取值范围为 .
【解析】①当时，即，解得，符合题意.
②当时，即，解得.
综上，的取值范围为.
（2）若不等式的解集在上不是空集，则实数的取值范围 .
【答案】
【拓展】已知不等式
（1）若对于所有实数不等式恒成立，求的取值范围.
（2）若对于 不等式恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）原不等式等价于：对成立.
当且仅当，解得.
（2）设，由于时，恒成立.当且仅当，
即，解得：即所求的范围为.
课后作业
一．基础过关
1．解关于的不等式
【解析】.解集为
2．若不等式的解集为，则实数等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
3．设集合，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
4．若关于的不等式的解集为，则＝________，＝________．
【答案】
5．在上定义运算，若不等式的解集是，则 .
【解析】，即，该不等式的解集为，说明方程的两根之和等于，故
二．延伸拓展
6．如果，则实数a的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
7．设集合求的取值范围.
解析：分别作出集合，表示的平面区域，由图求出的范围为.第4讲 绝对值不等式与一元二次不等式的解法
一．知识精讲
知识点一：绝对值的几何意义及应用
1．绝对值的几何意义：是指数轴上点到原点的距离；是指数轴上点到点的距离.
2．绝对值的意义：
知识点二：基本不等式的求解
1．与型的不等式的解法
不等式的解集是；不等式的解集是.
2．与型的不等式的解法
把 看作一个整体时，可化为与型的不等式来求解.
知识点三：二次函数、 二次方程、二次不等式间的关系
判别式
方程 有两个不等实根 有两个相等实根 无实根
二次函数 的图象
不等式 的解集 或
不等式 的解集
知识点四：一元二次不等式的解法（化归思想）及应用
（1）先判断二次项系数的正负，若为负，化为正数；
（2）判断方程的判别式大于，等于，或小于，解方程；
（3）根据方程的根，结合变形后不等号的方向，写出不等式的解集，“大于（号）找两边，小于（号）找中间”.
二．经典例题
题型一：基本不等式的解法
【例1】解不等式① ②
【变式】解不等式① ②
【例2】解不等式① ② ③解不等式
【变式】解不等式① ②
【拓展】解不等式：.
题型二：一元二次不等式的解法
【例3】求下列不等式的解集
（1）； （2）； （3）．
【变式】求下列不等式的解集
(1)； （2）； （3）.
【拓展】1．解关于的不等式（）
（1）； （2）.
2.（1）解不等式.
题型三：不等式、方程、函数间的关系
【例4】已知不等式的解集为，求不等式的解集为 .
【变式】关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集为___ ___.
【拓展】若不等式的解集为，求不等式的解集 .
题型四：含参不等式恒成立的解法
【例5】（1）当取何值时，关于的不等式的解集为全体实数.
.
（2）若不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围为 ．
【变式】（1）当时，恒成立，则实数的取值范围为 .
（2）若不等式的解集在上不是空集，则实数的取值范围 .
【拓展】已知不等式
（1）若对于所有实数不等式恒成立，求的取值范围.
（2）若对于 不等式恒成立，求实数的取值范围.
课后作业
一．基础过关
1．解关于的不等式
2．若不等式的解集为，则实数等于（ ）
A． B． C． D．
3．设集合，，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．若关于的不等式的解集为，则＝________，＝________．
5．在上定义运算，若不等式的解集是，则 .
二．延伸拓展
6．如果，则实数a的集合为（ ）
A． B． C． D．
7．设集合求的取值范围.

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