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第七讲 函数的应用（二）
课前检测
成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差
1. 设，则
（A） （B）
（C） （D）
2. 函数在上递减，那么在上
（A）递增且无最大值 （B）递减且无最小值
（C）递增且有最大值 （D）递减且有最小值
3. 函数的定义域是
（A） （B） （C） （D）
4. 若，则实数的取值范围是_________．
5. 已知：,试用表示．
教学目标
1.了解函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系、掌握函数零点存在的判定方法、能结合图像求解零点问题．
2.根据具体函数的图像，借助计算器用二分法求相应方程的近似解、学习利用二分法求方程近似解的过程和方法．
3.数形结合思想
4.分类讨论思想
5.了解函数模型的应用，体会函数模型在解决实际问题中的应用
6.掌握求解函数应用题的基本步骤.
7.测量、运动、生产、交易、储蓄等常见应用问题中变量的数学含义和关系
知识框架
知识要点
知识点1：函数的零点与方程的解
思考：我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程，知道一元二次方程的实数根就是相应二次函数的零点．像这样不能用公式求解的方程，是否也能采用类似的方法，用相应的函数研究它的解的情况呢？
与二次函数的零点一样，对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点（zero pomt）．
这样，函数的零点就是方程的实数解，也就是函数图象与轴的公共点的横坐标．所以
方程有实数解函数有零点函数的图象与轴有公共点
注：函数零点是函数图象与轴交点的横坐标，是数值而不是交点.
由此可知，求方程的实数解，就是确定函数的零点．一般地，对于不能用公式求解的方程，我们可以把它与相应的函数联系起来，利用函数的图象和性质找出零点，从而得到方程的解
典型例题
考点一：求一次、二次函数函数零点
【例1】函数的零点个数
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）不能确定
【练习1】函数的图象与轴交点的个数是
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
【例2】函数的一个零点为1，则它的另外一个零点为.
【例3】若函数没有零点，则实数的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
【练习1】函数的零点的个数为
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
【练习2】二次函数中，则函数的零点个数是
（A）1个 （B）2个 （C）0个 （D）不能确定
考点二：分段函数的零点问题
【例1】函数其中，那么的零点是
【例2】已知函数,若存在实数,使得,则的取值范围为
（A） （B）
（C） （D）
【练习1】设对任意实数，关于的方程总有实数根，则的取值范围是 .
【练习2】已知函数
（1）若，则实数.
（2）在（1）的条件下，若直线与的图像有且只有一个交点，则实数的取值范围是.
【练习3】已知函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是_____.
【练习4】已知符号函数，则函数的零点个数为
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
【练习5】函数的零点个数是
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
考点三：综合应用
【例1】函数的定义域为，图象如图1所示；函数的定义域为，图象如图2所示，方程有个实数根，方程有个实数根，则
（A）6 （B）8 （C）10 （D）12
【练习1】关于的方程（,且）解的个数是
（A）2 （B）1 （C）0 （D）不确定的
【练习2】设函数对都满足,且方程恰有6个不同的实数根，则这6个实根的和为
（A）0 （B）9 （C）12 （D）18
【例2】已知函数.
（1）若函数是上的偶函数，求实数的值.
（2）若，求函数的零点.
知识点2：零点存在性定理
探究：对于二次函数,画出它的图象求出它的零点所在的区间，观察此时函数图象与轴有什么关系 在任意画几个函数的图象，观察函数零点所在区间，以及这一区间内函数与轴的关系，并探究的取值刻画这种关系的方法.
一般地，我们有：
函数零点存在定理： 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解．
典型例题
考点一：求函数零点个数
【例1】求方程的实数解的个数.
思考：为什么由图和还不能证明函数只有一个零点？你能证明函数是增函数吗？
【例2】下列函数不存在零点的是
（A） （B）
（C） （D）
【练习1】若函数是偶函数，定义域为且在上减函数，，则函数的零点有
（A）唯一一个 （B）两个 （C）至少2个 （D）无法判断
【练习2】方程的解的个数为
(A)0个 （B）1个 （C）0个或1个 （D）2个
【练习3】已知,那么的方程的实数根的个数是 .
考点二：求函数零点所在区间
【例1】函数的零点所在的大致区间是
（A） （B） （C） （D）
【练习1】函数的零点所在的一个区间是
（A） （B） （C） （D）
【练习2】函数与的图象交点为,则所在区间是
（A） （B） （C） （D）
【练习3】根据表格中的数据，可以判定方程的一个根所在的区间是
-1 0 1 2 3
0.37 1 2.72 7.39 20.09
1 2 3 4 5
（A） （B） （C） （D）
【例2】若函数在内恰有一解，则实数的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
【练习1】若方程在内恰有一解,则实数的取值范围是_____．
【练习2】已知函数在内存在一个零点，则实数的取值范围是
（A） （B） （C）或 （D）
【练习3】已知定义在上的函数的对称轴为，且当时，.若在区间上有零点，则的值为
（A）2或-7 （B）2或-8 （C）1或-7 （D）1或-8
【练习4】已知函数，其中表示不超过实数的最大整数．若关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是
（A） （B）
（C） （D）
知识点3：用二分法求方程的近似解
由零点存在性定理引出二分法
我们已经知道，函数在区间内存在一个零点．进一步的问题是，如何求出这个零点呢？
一个直观的想法是：如果能将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，就可以得到符合要求的零点的近似值．为了方便，可以通过取区间中点的方法，逐步缩小零点所在的范围．
例如：取区间的中点，用计算工具算得．因为，所以零点在区间内.
对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection）.
给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下：
１.确定零点的初始区间，验证．
２.求区间的中点．
３.计算，并进一步确定零点所在的区间 ：
（1）若（此时），则就是函数的零点 ；
（2）若（此时），则令；
（3）若（此时），则令．
４.判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值或；否则重复步骤２～步骤４．
由函数零点与相应方程解的关系，我们可用二分法来求方程的近似解.
典型例题
考点一：求方程的近似解
【例1】用“二分法”求方程在区间内的实根，取区间中点为，那么下一个有根的区间是
【例2】借助信息技术,用二分法求方程的近似解(精确度为).
【例3】下列函数中，不能用二分法求零点的是
（A） （B） （C） （D）
【例4】设函数用二分法求方程，在的近似解的求解过程中，计算得到则方程的根落在区间
（A） （B） （C） （D）
【例5】某方程有一无理根在区间内，若二分法，求次根的近似值，则将至少分 次后，所得近似值可精确到.
【练习1】若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
那么方程的一个近似根（精确度为）为
（A）1.2 （B）1.3 （C）1.4 （D）1.5
【练习2】用二分法研究函数的零点，第一次经计算，，可得其中一个零点,第二次计算的的值为.
知识点3：函数模型的应用
1、高一常见函数模型：
（1）一次函数：（为常数，）.
（2）二次函数：（为常数，）.
（3）类反比例函数：（为常数，）.
（4）类指数函数：（为常数，）.
（5）类对数函数：（为常数，）.
（6）类幂函数：（为常数，）.
（7）分段函数
2、应用题计算步骤：
（1）审题：理清题意，找出核心变量和中间变量；
高中常见生活变量词：路程、速度、时间、费用、产量、销量、价格、成本、收入、利润、本金、利息、利率等.
（2）建模：根据数学关系词，找出变量间的数学关系，选择合适函数模型进行描述；
高中常见数学关系词： 总、累积、每、44均(人均、年均)、率（增长率、降低率）、递（递增、递减）、比（正比、反比）、线性、指数、折扣、翻番.
（3）求模：求解数学模型，得出数学结论.
（4）还原：将数学结论还原为实际问题的意义.
典型例题
【例1】人口问题是当今世界各国普遍关注的问题．认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列相关政策提供依据．早在1798年，英国经济学家马尔萨斯（T.R.Maithus，1766—1834）就提出了自然状态下的人口增长模型
其中表示经过的时间，表示时的人口数，表示人口的年平均增长率.
下表是1950~1959年我国的人口数据资料:
年份 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959
人口数/万 55196 56300 57482 58796 60266 61456 62828 64563 65994 67207
(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.1），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；
(2)如果按表格中的增长趋势，那么大约在哪一年我国的人口数达到13亿？
【练习1】某食品的保鲜时间y（单位:小时）与储存温度x（单位:）满足函数关系（为自然对数的底数, 为常数）.若该食品在0的保鲜时间为192小时,在22的保鲜时间是48小时,求该食品在33的保鲜时间.
【练习2】已知1650年世界人口为5亿，当时人口的年增长率为0.3％；1970年世界人口为36亿，当时人口的年增长率为2.1％．
(1)用马尔萨斯人口模型计算，什么时候世界人口是1650年的2倍？什么时候世界人口是1970年的2倍？
(2)实际上，1850年以前世界人口就超过了10亿；而2004年世界人口还没有达到72亿．你对同样的模型得出的两个结果有何看法？
【例2】2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的55.2％，能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的？
【练习1】在一段时间内，某地的野兔快速繁殖，野兔总只数的倍增期为21个月，那么1万只野兔增长到1亿只野兔大约需要多少年？
【练习2】1959年，考古学家在河南洛阳偃师市区二里头村发掘出了一批古建筑群，从其中的某样本中检测出碳14的残余量约为初始量的62.76％，能否以此推断二里头遗址大概是什么年代的？
【例3】假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元 ；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．
请问，你会选择哪种投资方案？
【题型总结】：
用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程如下：
这一过程包括分析和理解实际问题的增长情况（是“对数增长”“直线上升”还是“指数爆炸”）；根据增长情况选择函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题；通过运算、推理求解函数模型；用得到的函数模型描述实际问题的变化规律，解决有关问题．在这一过程中，往往需要利用信息技术帮助画图、运算等．
拓展提升
典型例题
1. 已知定义在上的函数满足，当时，．若函数恰有6个零点，则
（A）或 （B）
（C） （D）
2. 某同学为研究函数的性质,构造了如图所示的两个边长为的正方形和,点是上的一个动点,设,则,请你参考这些信息,推知函数的图象的对称轴是直线；函数的零点的个数是
小试牛刀
1. 函数的零点所在区间为
（A） （B） （C） （D）
2.已知函数,若关于的方程有3个不同的实数根,则实数的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
3. 设函数用二分法求方程，在的近似解的求解过程中，计算得到则方程的根落在区间
（A） （B） （C） （D）
4. 已知,那么的方程的实数根的个数是 .
5. 已知函数，若在上存在，使，则实数的取值范围是．
巩固练习
一、选择题
1. 若函数的一个零点是2，那么函数的零点是
（A）0，2 （B）0， （C）0， （D）
2. 设函数与的图像交点为，则所在的区间
（A） （B） （C） （D）
3. 下面函数没有零点的是
（A） （B）
（C） （D）
4. 函数在区间上
（A）没有零点 （B）有一个零点
（C）有两个零点 （D）有无数个零点
5. 若，则方程的根是
（A） （B） （C） （D）
6. 函数的零点必落在区间
（A） （B） （C） （D）
7. 若函数的图象与轴有交点，则实数的取值范围是
（A） （B）
（C）或 （D）或
8. 已知函数,若方程有且只有两个不相等的实数根,则实数的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
9. 已知函数,若关于的方程有三个不等的实根，则实数的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
10.已知函数满足，且时，，则与的图象交点的个数是
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
11.用表示两个数中的最大数，设，若函数有2个零点，则的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
12．某商场在2022年元旦开展“购物折上折”活动,商场内所有商品先按标价打八折,折后价格每满500元再减100元,如某商品标价1500元,则购买该商品的实际付款额为1500×0.8﹣200=1000元．设购买某商品的实际折扣率= ,某人欲购买标价为2700元的商品,那么他可以享受的实际折扣率约为
（A）55% （B）65% （C）75% （D）80%
二、填空题
1. 设函数,则函数的零点个数为_______．
2. 已知函数,若关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是 ．
3. 已知函数,若关于的方程有两个不等的实根，则实数的取值范围是.
4. 设函数,则；若函数存在两个零点，则实数的取值范围是______．
5. 燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬.鸟类科学家发现,两岁燕子的飞行速度可以表示为耗氧量的函数.若两岁燕子耗氧量达到个单位时,其飞行速度为,则两岁燕子飞行速度为时,耗氧量达到单位.
三、解答题
1.已知函数，．
（1）若有零点，求的取值范围；
（2）确定的取值范围，使得有两个相异实根。
2. 某校学生研究性学习小组发现,学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化,老师讲课开始时,学生的兴趣激增;接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间,随后学生的注意力开始分散.设表示学生注意力指标,该小组发现随时间（分钟）的变化规律（越大,表明学生注意力越集中）如下:且,若上课后第分钟时的注意力指标为,回答下列问题:
（Ⅰ）求的值;
（Ⅱ）上课后第分钟时和下课前分钟时比较,哪个时间注意力更集中 并请说明理由.
（Ⅲ）在一节课中,学生的注意力指标至少达到的时间能保持多长
3. 用清水洗一堆蔬菜上残留的农药,设用单位的水清洗一次后,蔬菜上残留的农药与本次清洗前残留的农药量之比为,设.
（Ⅰ）请直接写出的值域,并解释其实际意义;
（Ⅱ）用定义证明在单调递减;
（Ⅲ）现有单位的水,可以清洗一次,也可以将水平均分成两份后清洗两次,试问,哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药比较少
4.某地西红柿从2月1号起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本 (单位：元/100 )与上市时间(距2月1日的天数，单位：天)的部分数据如下表：
时间 50 110 250
成本 150 108 150
(Ⅰ)根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本与上市时间的变化关系，说明选择理由，并求所选函数的解析式；
(Ⅱ)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．
5.某企业打算购买工作服和手套，市场价为每套工作服53元，每副手套3元，该企业联系了两家商店和，由于用货量大，这两家商店都给出了优惠条件：
商店：买一赠一，买一套工作服，赠一副手套；
商店：打折，按总价的95%收款．
该企业需要工作服75套，手套副（），如果工作服与手套只能在一家购买，请你帮助老板选择在哪一家商店购买更省钱？第七讲 函数的应用（二）
课前检测
成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差
1. 设，则
（A） （B）
（C） （D）
【答案】D
2. 函数在上递减，那么在上
（A）递增且无最大值 （B）递减且无最小值
（C）递增且有最大值 （D）递减且有最小值
【答案】A
3. 函数的定义域是
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
4. 若，则实数的取值范围是_________．
【答案】
5. 已知：,试用表示．
答案：（1）
教学目标
1.了解函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系、掌握函数零点存在的判定方法、能结合图像求解零点问题．
2.根据具体函数的图像，借助计算器用二分法求相应方程的近似解、学习利用二分法求方程近似解的过程和方法．
3.数形结合思想
4.分类讨论思想
5.了解函数模型的应用，体会函数模型在解决实际问题中的应用
6.掌握求解函数应用题的基本步骤.
7.测量、运动、生产、交易、储蓄等常见应用问题中变量的数学含义和关系
知识框架
知识要点
知识点1：函数的零点与方程的解
思考：我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程，知道一元二次方程的实数根就是相应二次函数的零点．像这样不能用公式求解的方程，是否也能采用类似的方法，用相应的函数研究它的解的情况呢？
与二次函数的零点一样，对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点（zero pomt）．
这样，函数的零点就是方程的实数解，也就是函数图象与轴的公共点的横坐标．所以
方程有实数解函数有零点函数的图象与轴有公共点
注：函数零点是函数图象与轴交点的横坐标，是数值而不是交点.
由此可知，求方程的实数解，就是确定函数的零点．一般地，对于不能用公式求解的方程，我们可以把它与相应的函数联系起来，利用函数的图象和性质找出零点，从而得到方程的解
典型例题
考点一：求一次、二次函数函数零点
【例1】函数的零点个数
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）不能确定
【答案】C
【练习1】函数的图象与轴交点的个数是
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
【答案】B
【例2】函数的一个零点为1，则它的另外一个零点为.
【答案】-3
【例3】若函数没有零点，则实数的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【练习1】函数的零点的个数为
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
【答案】B
【练习2】二次函数中，则函数的零点个数是
（A）1个 （B）2个 （C）0个 （D）不能确定
【答案】B
考点二：分段函数的零点问题
【例1】函数其中，那么的零点是
【答案】-1，0
【例2】已知函数,若存在实数,使得,则的取值范围为
（A） （B）
（C） （D）
【答案】A
【练习1】设对任意实数，关于的方程总有实数根，则的取值范围是 .
【答案】[0,1]
【练习2】已知函数
（1）若，则实数.
（2）在（1）的条件下，若直线与的图像有且只有一个交点，则实数的取值范围是.
【答案】-1，
【练习3】已知函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是_____.
【答案】
【练习4】已知符号函数，则函数的零点个数为
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
【答案】B
【练习5】函数的零点个数是
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
【答案】C
考点三：综合应用
【例1】函数的定义域为，图象如图1所示；函数的定义域为，图象如图2所示，方程有个实数根，方程有个实数根，则
（A）6 （B）8 （C）10 （D）12
【答案】C
【练习1】关于的方程（,且）解的个数是
（A）2 （B）1 （C）0 （D）不确定的
【答案】A
【练习2】设函数对都满足,且方程恰有6个不同的实数根，则这6个实根的和为
（A）0 （B）9 （C）12 （D）18
【答案】D
【例2】已知函数.
（1）若函数是上的偶函数，求实数的值.
（2）若，求函数的零点.
【答案】
（1）是偶函数
（2）时，
知识点2：零点存在性定理
探究：对于二次函数,画出它的图象求出它的零点所在的区间，观察此时函数图象与轴有什么关系 在任意画几个函数的图象，观察函数零点所在区间，以及这一区间内函数与轴的关系，并探究的取值刻画这种关系的方法.
一般地，我们有：
函数零点存在定理： 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解．
典型例题
考点一：求函数零点个数
【例1】求方程的实数解的个数.【课本】
思考：为什么由图和还不能证明函数只有一个零点？你能证明函数是增函数吗？ 【答案】
单调性+零点存在性定理求证只有一个零点
【例2】下列函数不存在零点的是
（A） （B）
（C） （D）
【答案】D
【练习1】若函数是偶函数，定义域为且在上减函数，，则函数的零点有
（A）唯一一个 （B）两个 （C）至少2个 （D）无法判断
【答案】B
【练习2】方程的解的个数为
(A)0个 （B）1个 （C）0个或1个 （D）2个
【答案】D
【练习3】已知,那么的方程的实数根的个数是 .
【答案】2
考点二：求函数零点所在区间
【例1】函数的零点所在的大致区间是
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【练习1】函数的零点所在的一个区间是
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【练习2】函数与的图象交点为,则所在区间是
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【练习3】根据表格中的数据，可以判定方程的一个根所在的区间是
-1 0 1 2 3
0.37 1 2.72 7.39 20.09
1 2 3 4 5
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【例2】若函数在内恰有一解，则实数的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【练习1】若方程在内恰有一解,则实数的取值范围是_____．
【答案】
【练习2】已知函数在内存在一个零点，则实数的取值范围是
（A） （B） （C）或 （D）
【答案】A
【练习3】已知定义在上的函数的对称轴为，且当时，.若在区间上有零点，则的值为
（A）2或-7 （B）2或-8 （C）1或-7 （D）1或-8
【答案】A
【练习4】已知函数，其中表示不超过实数的最大整数．若关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是
（A） （B）
（C） （D）
【答案】B
知识点3：用二分法求方程的近似解
由零点存在性定理引出二分法
我们已经知道，函数在区间内存在一个零点．进一步的问题是，如何求出这个零点呢？
一个直观的想法是：如果能将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，就可以得到符合要求的零点的近似值．为了方便，可以通过取区间中点的方法，逐步缩小零点所在的范围．
例如：取区间的中点，用计算工具算得．因为，所以零点在区间内.
对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection）.
给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下：
１.确定零点的初始区间，验证．
２.求区间的中点．
３.计算，并进一步确定零点所在的区间 ：
（1）若（此时），则就是函数的零点 ；
（2）若（此时），则令；
（3）若（此时），则令．
４.判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值或；否则重复步骤２～步骤４．
由函数零点与相应方程解的关系，我们可用二分法来求方程的近似解.
典型例题
考点一：求方程的近似解
【例1】用“二分法”求方程在区间内的实根，取区间中点为，那么下一个有根的区间是
【答案】[2,2.5]
【例2】借助信息技术,用二分法求方程的近似解(精确度为).【课本】
【答案】1.375
【例3】下列函数中，不能用二分法求零点的是
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【例4】设函数用二分法求方程，在的近似解的求解过程中，计算得到则方程的根落在区间
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【例5】某方程有一无理根在区间内，若二分法，求次根的近似值，则将至少分 次后，所得近似值可精确到.
【答案】5
【练习1】若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
那么方程的一个近似根（精确度为）为
（A）1.2 （B）1.3 （C）1.4 （D）1.5
【答案】C
【练习2】用二分法研究函数的零点，第一次经计算，，可得其中一个零点,第二次计算的的值为.
【答案】（0,0.5）；
知识点3：函数模型的应用
1、高一常见函数模型：
（1）一次函数：（为常数，）.
（2）二次函数：（为常数，）.
（3）类反比例函数：（为常数，）.
（4）类指数函数：（为常数，）.
（5）类对数函数：（为常数，）.
（6）类幂函数：（为常数，）.
（7）分段函数
2、应用题计算步骤：
（1）审题：理清题意，找出核心变量和中间变量；
高中常见生活变量词：路程、速度、时间、费用、产量、销量、价格、成本、收入、利润、本金、利息、利率等.
（2）建模：根据数学关系词，找出变量间的数学关系，选择合适函数模型进行描述；
高中常见数学关系词： 总、累积、每、44均(人均、年均)、率（增长率、降低率）、递（递增、递减）、比（正比、反比）、线性、指数、折扣、翻番.
（3）求模：求解数学模型，得出数学结论.
（4）还原：将数学结论还原为实际问题的意义.
典型例题
【例1】【课本】人口问题是当今世界各国普遍关注的问题．认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列相关政策提供依据．早在1798年，英国经济学家马尔萨斯（T.R.Maithus，1766—1834）就提出了自然状态下的人口增长模型
其中表示经过的时间，表示时的人口数，表示人口的年平均增长率.
下表是1950~1959年我国的人口数据资料:
年份 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959
人口数/万 55196 56300 57482 58796 60266 61456 62828 64563 65994 67207
(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.1），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；
(2)如果按表格中的增长趋势，那么大约在哪一年我国的人口数达到13亿？
【答案】
【练习1】某食品的保鲜时间y（单位:小时）与储存温度x（单位:）满足函数关系（为自然对数的底数, 为常数）.若该食品在0的保鲜时间为192小时,在22的保鲜时间是48小时,求该食品在33的保鲜时间.
【答案】24h
【练习2】【课本】已知1650年世界人口为5亿，当时人口的年增长率为0.3％；1970年世界人口为36亿，当时人口的年增长率为2.1％．
(1)用马尔萨斯人口模型计算，什么时候世界人口是1650年的2倍？什么时候世界人口是1970年的2倍？
(2)实际上，1850年以前世界人口就超过了10亿；而2004年世界人口还没有达到72亿．你对同样的模型得出的两个结果有何看法？
【答案】
（1），，，年，
，年，年.
1881年世界人口是1650年的2倍，2003年世界人口是1970年的2倍.
（2）年增长率的变动会影响到人口规模的变动，而人口增长率受到政治、经济因素的影响具有不确定性.
【例2】2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的55.2％，能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的？
【答案】
【练习1】在一段时间内，某地的野兔快速繁殖，野兔总只数的倍增期为21个月，那么1万只野兔增长到1亿只野兔大约需要多少年？
【答案】
年
【练习2】1959年，考古学家在河南洛阳偃师市区二里头村发掘出了一批古建筑群，从其中的某样本中检测出碳14的残余量约为初始量的62.76％，能否以此推断二里头遗址大概是什么年代的？
【答案】
推测遗迹是年建成的.
【例3】假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元 ；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．
请问，你会选择哪种投资方案？
【答案】
分析：我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据.
方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不相同．可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量 ”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二所无法企及的．从每天所得回报看，在第1-3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5-8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元．
因此，投资1-6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8-10天，应选择方案二；投资11天（含11天）以上，则应选择方案三．
【题型总结】：
用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程如下：
这一过程包括分析和理解实际问题的增长情况（是“对数增长”“直线上升”还是“指数爆炸”）；根据增长情况选择函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题；通过运算、推理求解函数模型；用得到的函数模型描述实际问题的变化规律，解决有关问题．在这一过程中，往往需要利用信息技术帮助画图、运算等．
拓展提升
典型例题
1. 已知定义在上的函数满足，当时，．若函数恰有6个零点，则
（A）或 （B）
（C） （D）
【答案】D
2. 某同学为研究函数的性质,构造了如图所示的两个边长为的正方形和,点是上的一个动点,设,则,请你参考这些信息,推知函数的图象的对称轴是直线；函数的零点的个数是
【答案】；
小试牛刀
1. 函数的零点所在区间为
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
2.已知函数,若关于的方程有3个不同的实数根,则实数的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
3. 设函数用二分法求方程，在的近似解的求解过程中，计算得到则方程的根落在区间
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
4. 已知,那么的方程的实数根的个数是 .
【答案】2
5. 已知函数，若在上存在，使，则实数的取值范围是．
【答案】
巩固练习
一、选择题
1. 若函数的一个零点是2，那么函数的零点是
（A）0，2 （B）0， （C）0， （D）
【答案】C
2. 设函数与的图像交点为，则所在的区间
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
3. 下面函数没有零点的是
（A） （B）
（C） （D）
【答案】C
4. 函数在区间上
（A）没有零点 （B）有一个零点
（C）有两个零点 （D）有无数个零点
【答案】B
5. 若，则方程的根是
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
6. 函数的零点必落在区间
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
7. 若函数的图象与轴有交点，则实数的取值范围是
（A） （B）
（C）或 （D）或
【答案】A
8. 已知函数,若方程有且只有两个不相等的实数根,则实数的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
9. 已知函数,若关于的方程有三个不等的实根，则实数的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
10.已知函数满足，且时，，则与的图象交点的个数是
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
【答案】B
11.用表示两个数中的最大数，设，若函数有2个零点，则的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
12．某商场在2022年元旦开展“购物折上折”活动,商场内所有商品先按标价打八折,折后价格每满500元再减100元,如某商品标价1500元,则购买该商品的实际付款额为1500×0.8﹣200=1000元．设购买某商品的实际折扣率= ,某人欲购买标价为2700元的商品,那么他可以享受的实际折扣率约为
（A）55% （B）65% （C）75% （D）80%
【答案】B
二、填空题
1. 设函数,则函数的零点个数为_______．
【答案】3
2. 已知函数,若关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是 ．
【答案】（-1,0）
3. 已知函数,若关于的方程有两个不等的实根，则实数的取值范围是.
【答案】
4. 设函数,则；若函数存在两个零点，则实数的取值范围是______．
【答案】-2；（0,1]
5. 燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬.鸟类科学家发现,两岁燕子的飞行速度可以表示为耗氧量的函数.若两岁燕子耗氧量达到个单位时,其飞行速度为,则两岁燕子飞行速度为时,耗氧量达到单位.
【答案】
三、解答题
1.已知函数，．
（1）若有零点，求的取值范围；
（2）确定的取值范围，使得有两个相异实根。
【答案】(1)
(2)
2. 某校学生研究性学习小组发现,学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化,老师讲课开始时,学生的兴趣激增;接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间,随后学生的注意力开始分散.设表示学生注意力指标,该小组发现随时间（分钟）的变化规律（越大,表明学生注意力越集中）如下:且,若上课后第分钟时的注意力指标为,回答下列问题:
（Ⅰ）求的值;
（Ⅱ）上课后第分钟时和下课前分钟时比较,哪个时间注意力更集中 并请说明理由.
（Ⅲ）在一节课中,学生的注意力指标至少达到的时间能保持多长
【答案】
解:（Ⅰ）由已知得时,,得.
（Ⅱ）因为,,
所以上课后第分钟时和下课前分钟时比较,上课后第分钟注意力更集中.
（Ⅲ）当时,的解集是,
当时,成立,
当时,的解集是,
综上所述,.
故在一节课中,学生的注意力指标至少达到的时间能保持分钟.
3. 用清水洗一堆蔬菜上残留的农药,设用单位的水清洗一次后,蔬菜上残留的农药与本次清洗前残留的农药量之比为,设.
（Ⅰ）请直接写出的值域,并解释其实际意义;
（Ⅱ）用定义证明在单调递减;
（Ⅲ）现有单位的水,可以清洗一次,也可以将水平均分成两份后清洗两次,试问,哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药比较少
【答案】
解:（Ⅰ）的值域为,表示用单位的水清洗一次后,蔬菜上残留的农药与本次清洗前残留的农药量之比在范围内.
（Ⅱ）设任意,
因为
所以,
所以在单调递减.
（Ⅲ）设清洗前蔬菜上残留的农药量为,
①用单位的水清洗一次后,残留的农药量为,
②将单位的水平均分成两份后清洗两次,残留的农药量为,
所以将单位的水平均分成两份后清洗两次,清洗后蔬菜上残留的农药比较少.
4.某地西红柿从2月1号起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本 (单位：元/100 )与上市时间(距2月1日的天数，单位：天)的部分数据如下表：
时间 50 110 250
成本 150 108 150
(Ⅰ)根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本与上市时间的变化关系，说明选择理由，并求所选函数的解析式；
(Ⅱ)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．
【答案】
解：(Ⅰ)根据表中数据，表述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不是单调函数，这与函数Q＝at＋b， Q＝a·bt，Q＝a·logbt均具有单调性不符，所以，在a≠0的前提下，可选取二次函数Q＝at2＋bt＋c进行描述． ……… 4分
把表格提供的三对数据代入该解析式得到：
……… 6分
解得， ， ． ……… 9分
所以，西红柿种植成本Q与上市时间t的函数关系是.
……… 10分
(Ⅱ)当t＝－＝150天时，西红柿种植成本Q最低为
Q＝×1502－×150＋＝100(元/100 kg)． ……… 12分
所以，西红柿种植成本Q最低时的上市天数是150天，最低种植成本为100（元/100kg） ……… 13分
5.某企业打算购买工作服和手套，市场价为每套工作服53元，每副手套3元，该企业联系了两家商店和，由于用货量大，这两家商店都给出了优惠条件：
商店：买一赠一，买一套工作服，赠一副手套；
商店：打折，按总价的95%收款．
该企业需要工作服75套，手套副（），如果工作服与手套只能在一家购买，请你帮助老板选择在哪一家商店购买更省钱？
【答案】
设按商店和优惠付款数分别为和
商店： ……4分
商店： ……8分
令，解得 选择与是一样的 ……10分
令，
当时，，选择商店； ……12分
当时，，选择商店； ……14分

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