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第三讲 函数奇偶性
课前诊断
成绩（满分10）： 完成情况：优/中/差
函数的单调递减区间是（ ）
（A） （B） （C） （D）
下列函数中，在上为增函数的是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
函数的单调增区间为________.
若函数为减函数，则的解集为_________.
用定义证明在上单调递增
教学目标
1能从函数解析式和图象角度理解函数奇偶性的定义
2能运用定义、奇偶性的运算性质以及其他性质来判断函数的奇偶性
3能通过奇偶性的性质确定函数的解析式
3能将函数的奇偶性和单调性综合运用
知识框架
知识要点
引入：奇偶性的引入和图象性质
知识点1：奇偶性的起源
欧拉在研究函数的时候，发现有些函数中自变量全部以的偶数次方（比如）的形式出现.在这样的函数中，把换成函数值不变.除此之外，有些函数虽然解析式中自变量并不都以的形式出现，但也满足把换成函数值不变，欧拉将这类函数统一地定义为“偶函数”（evenfunction）.
与此相反，有一些函数把换成时函数值变为相反数，这样的函数则定义为“奇函数”(oddfunction).
知识点2：函数奇偶性定义
设函数的定义域为，若对，都有，则称为偶函数.若对，都有，则称为奇函数.
定义中暗含了一个前提：对，都存在.也就是说函数要想具有奇偶性，它的定义域必须关于原点对称.
知识点3：几何角度解释奇偶性：图象的对称性
图1 图2 图3
,,这三个函数根据定义很容易判断出它们是偶函数.观察它们的图象（图1，图2，图3），发现它们都关于轴对称.由此我们可以猜测偶函数的图象都是关于轴对称的.是不是这样呢？下面我们来验证一下.
偶函数的图象如果过，那么也一定过.如果图象不关于轴对称，那么图象上至少有一点，使不在图象上，这与偶函数的定义相悖.所以偶函数一定关于轴对称.
依照同样的方法也可以证明，奇函数的图象一定关于原点中心对称.观察奇函数、的图象（图4，图5），可以验证这个结论成立.
图4 图5
考点一、直接通过定义判断
典型例题
【例1】判断下列函数的奇偶性
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
【例2】判断下列函数的奇偶性
（1）; （2）
（3）; （4）
【练习1】判断下列函数的奇偶性
（1） （2）
（3） （4）
【练习2】下列函数中，是偶函数的是（ ）
（A） （B）
（C） （D）．
考点二、奇偶函数运算性质
1、四则运算性质
设函数和均为奇函数，下面来研究的奇偶性
由此可知，也是奇函数
用同样的方法可以得到奇偶函数的四则运算关系，如下表所示：
加法
减法
乘法
除法
如果把上表中的奇函数变成负数，偶函数变成正数，那么表中的运算法则依然成立.因此，可以联系正负数的四则运算法则来记忆奇偶函数的四则运算法则，其中奇函数对应负数，偶函数对应正数
奇函数与偶函数相加减一般来讲是非奇非偶函数这也可以类比到正负数的运算中：正数与负数相加减不能确定正负性
2、复合函数性质
设函数为奇函数，为偶函数，下面来研究的奇偶性
由此可知，是偶函数
以此类推可以得到复合函数的奇偶性，如下表所示
奇 偶
奇 奇 偶
偶 偶 偶
只有和都是奇函数的时候，才是奇函数
典型例题
【例1】判断下列函数的奇偶性
（1） （2）
（3） （4）
【练习1】判断下列函数的奇偶性
（1） （2）
（3） （4）
【练习2】下列函数中不是偶函数的是（）
（A） （B）
（C） （D）
【练习3】下列函数中奇函数有_________.
，其中为偶函数
，其中为偶函数
知识点4：奇偶性的性质
考点一：求解析式
典型例题
【例1】已知函数是定义域为R的奇函数，当时，．画出函数的图象，并求出函数在的解析式．
【例2】已知函数是偶函数，当时，，求函数在的解析式
【练习1】已知函数是奇函数，当时，，求函数在的解析式
【练习2】已知函数是偶函数，当时，，求函数在的解析式
【练习3】已知函数是定义域为的偶函数，当时，，求函数在的解析式
知识点补充：函数的奇偶分量
定理：函数只要定义域关于原点对称，就可以分成一个奇函数和一个偶函数的和，即.其中奇函数称为的奇分量，偶函数称为的偶分量.
推论：由奇偶性的定义可知，若是奇函数，是偶函数，则是偶函数.又由奇偶性的运算性质可知，是偶函数.
同理可知，是奇函数.
利用以上推论，可以很快捷地解决奇偶函数求分段解析式的问题，方法如下.
第一步观察已知部分的解析式，将其分为的形式，其中是奇函数，是偶函数
第二步若题目要求是奇函数，则偶分量前面加负号；若题目要求是偶函数，则奇分量前面加负号.
简单的讲，就是把解析式中奇偶性与题目要求相异的分量变号，可以简称“变异”.
考点二：含参函数奇偶性
【例1】已知函数为偶函数，则（）
（A）-2 （B）-1 （C）0 （D）1
【例2】已知函数是定义在R上的奇函数．
（Ⅰ）求的解析式及值域；
【例3】已知函数为偶函数,则的值是
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
【练习1】已知函数为奇函数，则_________.
【练习2】已知函数为偶函数,则的值是
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
【练习3】已知函数是偶函数，试判断的奇偶性
考点三：抽象函数奇偶性
【例1】定义在R上的单调函数满足对于任意都有
(1)求的值；
(2)求证:为奇函数；
【练习1】已知的定义域为，对定义域内的任意，有，且当时，，求证：为偶函数
【练习2】 已知的定义域为R，对任意和都，有，且，试判断的奇偶性
知识点5：奇偶性与单调性：
根据图象可以看出，奇函数在区间与上单调性相同；偶函数在区间与上单调性相反.
典型例题
【例1】已知函数是偶函数，且在上单调递减，试判断在上是单调递增还是单调递减，并用定义证明你的结论.
【练习1】奇函数在上的减函数，在区间上的最大值为8，最小值为，则__________.
【练习2】如果奇函数在区间上是增函数且最大值为5,那么在区间上是（ ）
（A）减函数且最大值是-5 （B）增函数且最大值是-5
（C）增函数且最小值是-5 （D）减函数且最小值是-5
【例2】下列函数中,既是奇函数又在单调递减的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【练习1】关于函数的性质描述，不正确的是（ ）
（A）的定义域为 （B）的值域为
（C）在定义域上是增函数 （D）的图象关于原点对称
【例3】定义在R上的单调函数满足对于任意都有，且当时，
（1）求证:为奇函数；
（2）求证为增函数
【练习1】已知是定义在上的奇函数，当时，，
（1）求函数在的解析式
（2）若，求的范围
拓展提升
思考题：我们知道，函数的图象关于原点成中心对称图形的充分必要条件是是奇函数，聪明的小智发现这个结论可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数
求函数的对称中心
类比上述推广结论，写出“函数的图象关于y轴成轴对称的充分必要条件是是偶函数”的一个推广结论
【例1】已知，则的图象关于点中心对称若，则__________
【练习1】已知，若，则_________
小试牛刀
1已知函数是上的奇函数，且当时，，则时，函数的表达式为（ ）
（A） （B） （C） （D）
2下列函数中既是奇函数又在上单调递增函数的是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
3判断下列函数的奇偶性
（1）
（2）
4已知是定义在上的奇函数，且，则
（A）-1 （B）0 （C）1 （D）2
5若函数是奇函数,则_____
巩固练习
1已知偶函数在上是减函数，则满足的的取值范围是（）
（A） （B）
（C） （D）
2已知定义域为R的函数在上是减函数，且函数为偶函数，则
（A） （B）
（C） （D）
3若函数为偶函数，且在上单调递增，又，则不等式的解集为（）
（A） （B）
（C） （D）
4已知是奇函数，是偶函数，，，则（）
（A）4 （B）3 （C）2 （D）1
5下列结论有（）个是正确的
①偶函数图象一定与轴相交
②奇函数图象一定通过原点
③偶函数图象关于轴对称
④既奇又偶的函数一定是
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
6已知函数对于任意满足且当时，,若恰有4个零点,则实数的取值范围是_________
7设是上的奇函数，且当时，，那么当时，_________.
8偶函数的局部图象如图所示，，则与的大小关系如何？
9已知是定义在上的偶函数，当时，函数的解析式为
求
求上的解析式
用定义证明在上单调递减
10设函数是R上的增函数,对任意都有
(1)求；
(2)求证:是奇函数；
(3)若求实数的取值范围.
11已知函数
（1）判断的奇偶性并证明
（2）时，求的单调增区间
12如图放置的边长为2的正三角形沿轴滚动，记滚动过程中顶点的横、纵坐标分别为和，且是在映射作用下的象，则下列说法中：
①映射的值域是；
②映射不是一个函数；
③映射是函数，且是偶函数；
④映射是函数，且单增区间为，
其中正确说法的序号是___________第三讲函数奇偶性
课前诊断
成绩（满分10）： 完成情况：优/中/差
函数的单调递减区间是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】（C）
下列函数中，在上为增函数的是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
【答案】（B）
函数的单调增区间为________.
【答案】
若函数为减函数，则的解集为_________.
【答案】
用定义证明在上单调递增
【答案】证明略，有针对绝对值的分类讨论并且以单调性定义为依据即可
教学目标
1能从函数解析式和图象角度理解函数奇偶性的定义
2能运用定义、奇偶性的运算性质以及其他性质来判断函数的奇偶性
3能通过奇偶性的性质确定函数的解析式
3能将函数的奇偶性和单调性综合运用
知识框架
知识要点
引入：奇偶性的引入和图象性质
知识点1：奇偶性的起源
欧拉在研究函数的时候，发现有些函数中自变量全部以的偶数次方（比如）的形式出现.在这样的函数中，把换成函数值不变.除此之外，有些函数虽然解析式中自变量并不都以的形式出现，但也满足把换成函数值不变，欧拉将这类函数统一地定义为“偶函数”（evenfunction）.
与此相反，有一些函数把换成时函数值变为相反数，这样的函数则定义为“奇函数”(oddfunction).
知识点2：函数奇偶性定义
设函数的定义域为，若对，都有，则称为偶函数.若对，都有，则称为奇函数.
定义中暗含了一个前提：对，都存在.也就是说函数要想具有奇偶性，它的定义域必须关于原点对称.
知识点3：几何角度解释奇偶性：图象的对称性
图1 图2 图3
,,这三个函数根据定义很容易判断出它们是偶函数.观察它们的图象（图1，图2，图3），发现它们都关于轴对称.由此我们可以猜测偶函数的图象都是关于轴对称的.是不是这样呢？下面我们来验证一下.
偶函数的图象如果过，那么也一定过.如果图象不关于轴对称，那么图象上至少有一点，使不在图象上，这与偶函数的定义相悖.所以偶函数一定关于轴对称.
依照同样的方法也可以证明，奇函数的图象一定关于原点中心对称.观察奇函数、的图象（图4，图5），可以验证这个结论成立.
图4 图5
考点一、直接通过定义判断
典型例题
【例1】判断下列函数的奇偶性
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
【答案】（1）偶（2）奇（3）奇（4）偶（5）非奇非偶（6）既奇又偶
【例2】判断下列函数的奇偶性
（1）; （2）
（3）; （4）
【答案】（1）非奇非偶（2）非奇非偶（3）非奇非偶（4）偶
【练习1】判断下列函数的奇偶性
（1） （2）
（3） （4）
【答案】（1）偶（2）偶（3）非奇非偶（4）既奇又偶
【练习2】下列函数中，是偶函数的是（ ）
（A） （B）
（C） （D）．
【答案】（D）
考点二、奇偶函数运算性质
1、四则运算性质
设函数和均为奇函数，下面来研究的奇偶性
由此可知，也是奇函数
用同样的方法可以得到奇偶函数的四则运算关系，如下表所示：
加法
减法
乘法
除法
如果把上表中的奇函数变成负数，偶函数变成正数，那么表中的运算法则依然成立.因此，可以联系正负数的四则运算法则来记忆奇偶函数的四则运算法则，其中奇函数对应负数，偶函数对应正数
奇函数与偶函数相加减一般来讲是非奇非偶函数这也可以类比到正负数的运算中：正数与负数相加减不能确定正负性
2、复合函数性质
设函数为奇函数，为偶函数，下面来研究的奇偶性
由此可知，是偶函数
以此类推可以得到复合函数的奇偶性，如下表所示
奇 偶
奇 奇 偶
偶 偶 偶
只有和都是奇函数的时候，才是奇函数
典型例题
【例1】判断下列函数的奇偶性
（1） （2）
（3） （4）
【答案】（1）偶（2）奇（3）偶（4）奇
【练习1】判断下列函数的奇偶性
（1） （2）
（3） （4）
【答案】（1）奇（2）偶（3）非奇非偶（4）奇
【练习2】下列函数中不是偶函数的是（）
（A） （B）
（C） （D）
【答案】（D）
【练习3】下列函数中奇函数有_________.
，其中为偶函数
，其中为偶函数
【答案】①②④
知识点4：奇偶性的性质
考点一：求解析式
典型例题
【例1】已知函数是定义域为R的奇函数，当时，．画出函数的图象，并求出函数在的解析式．
【答案】
【例2】已知函数是偶函数，当时，，求函数在的解析式
【答案】
【练习1】已知函数是奇函数，当时，，求函数在的解析式
【答案】
【练习2】已知函数是偶函数，当时，，求函数在的解析式
【答案】
【练习3】已知函数是定义域为的偶函数，当时，，求函数在的解析式
【答案】其中c是任意实数
知识点补充：函数的奇偶分量
定理：函数只要定义域关于原点对称，就可以分成一个奇函数和一个偶函数的和，即.其中奇函数称为的奇分量，偶函数称为的偶分量.
推论：由奇偶性的定义可知，若是奇函数，是偶函数，则是偶函数.又由奇偶性的运算性质可知，是偶函数.
同理可知，是奇函数.
利用以上推论，可以很快捷地解决奇偶函数求分段解析式的问题，方法如下.
第一步观察已知部分的解析式，将其分为的形式，其中是奇函数，是偶函数
第二步若题目要求是奇函数，则偶分量前面加负号；若题目要求是偶函数，则奇分量前面加负号.
简单的讲，就是把解析式中奇偶性与题目要求相异的分量变号，可以简称“变异”.
考点二：含参函数奇偶性
【例1】已知函数为偶函数，则（）
（A）-2 （B）-1 （C）0 （D）1
【答案】（D）
【例2】已知函数是定义在R上的奇函数．
（Ⅰ）求的解析式及值域；
解：（Ⅰ）由题知，，即：，
故，． 3分
因为，所以，，
． 5分
【例3】已知函数为偶函数,则的值是
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
【答案】（B）
【练习1】已知函数为奇函数，则_________.
【答案】
【练习2】已知函数为偶函数,则的值是
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
【答案】（C）
【练习3】已知函数是偶函数，试判断的奇偶性
【答案】奇函数
考点三：抽象函数奇偶性
【例1】定义在R上的单调函数满足对于任意都有
(1)求的值；
(2)求证:为奇函数；
【答案】（1）令，则
（2）令，则‘
因此是奇函数
【练习1】已知的定义域为，对定义域内的任意，有，且当时，，求证：为偶函数
【答案】证明略，以定义为依据即可
【练习2】 已知的定义域为R，对任意和都，有，且，试判断的奇偶性
【答案】非奇非偶
令，则，所以，所以不可能是奇函数
令，则，若是偶函数，必须有
在这种情况下，，解得，与题意矛盾
因此非奇非偶
知识点5：奇偶性与单调性：
根据图象可以看出，奇函数在区间与上单调性相同；偶函数在区间与上单调性相反.
典型例题
【例1】已知函数是偶函数，且在上单调递减，试判断在上是单调递增还是单调递减，并用定义证明你的结论.
【答案】单调递增，证明略
【练习1】奇函数在上的减函数，在区间上的最大值为8，最小值为，则__________.
【答案】-6
【练习2】如果奇函数在区间上是增函数且最大值为5,那么在区间上是（ ）
（A）减函数且最大值是-5 （B）增函数且最大值是-5
（C）增函数且最小值是-5 （D）减函数且最小值是-5
【答案】（C）
【例2】下列函数中,既是奇函数又在单调递减的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】（D）
【练习1】关于函数的性质描述，不正确的是（ ）
（A）的定义域为 （B）的值域为
（C）在定义域上是增函数 （D）的图象关于原点对称
【答案】（C）
【例3】定义在R上的单调函数满足对于任意都有，且当时，
（1）求证:为奇函数；
（2）求证为增函数
【答案】证明略，以定义为依据即可
【练习1】已知是定义在上的奇函数，当时，，
（1）求函数在的解析式
（2）若，求的范围
【答案】（1）时，
（2）
拓展提升
思考题：我们知道，函数的图象关于原点成中心对称图形的充分必要条件是是奇函数，聪明的小智发现这个结论可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数
求函数的对称中心
类比上述推广结论，写出“函数的图象关于y轴成轴对称的充分必要条件是是偶函数”的一个推广结论
【答案】（1）对称中心为
（2）函数的图象关于点成轴对称图形的充要条件是为偶函数
【例1】已知，则的图象关于点中心对称若，则__________
【答案】（0,5）；13
【练习1】已知，若，则_________
【答案】-14
小试牛刀
1已知函数是上的奇函数，且当时，，则时，函数的表达式为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】（A）
2下列函数中既是奇函数又在上单调递增函数的是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
【答案】（D）
3判断下列函数的奇偶性
（1）
（2）
【答案】（1）偶（2）奇
4已知是定义在上的奇函数，且，则
（A）-1 （B）0 （C）1 （D）2
【答案】（D）
5若函数是奇函数,则_____
【答案】0
巩固练习
1已知偶函数在上是减函数，则满足的的取值范围是（）
（A） （B）
（C） （D）
【答案】（C）
2已知定义域为R的函数在上是减函数，且函数为偶函数，则
（A） （B）
（C） （D）
【答案】（D）
3若函数为偶函数，且在上单调递增，又，则不等式的解集为（）
（A） （B）
（C） （D）
【答案】（A）
4已知是奇函数，是偶函数，，，则（）
（A）4 （B）3 （C）2 （D）1
【答案】（B）
5下列结论有（）个是正确的
①偶函数图象一定与轴相交
②奇函数图象一定通过原点
③偶函数图象关于轴对称
④既奇又偶的函数一定是
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
【答案】（A）
6已知函数对于任意满足且当时，,若恰有4个零点,则实数的取值范围是_________
【答案】
7设是上的奇函数，且当时，，那么当时，_________.
【答案】
8偶函数的局部图象如图所示，，则与的大小关系如何？
【答案】
9已知是定义在上的偶函数，当时，函数的解析式为
求
求上的解析式
用定义证明在上单调递减
【答案】（1）
（2）
（3）证明略
10设函数是R上的增函数,对任意都有
(1)求；
(2)求证:是奇函数；
(3)若求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）证明略
（3）
11已知函数
（1）判断的奇偶性并证明
（2）时，求的单调增区间
【答案】（1）奇函数，证明略
（2）
12如图放置的边长为2的正三角形沿轴滚动，记滚动过程中顶点的横、纵坐标分别为和，且是在映射作用下的象，则下列说法中：
①映射的值域是；
②映射不是一个函数；
③映射是函数，且是偶函数；
④映射是函数，且单增区间为，
其中正确说法的序号是___________
说明：“正三角形（A）（B）（C）沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动．沿x轴正方向滚动指的是先以顶点（B）为中心顺时针旋转，当顶点（C）落在x轴上时，再以顶点（C）为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正三角形（A）（B）（C）可以沿x轴负方向滚动．
【答案】③

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