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第六讲 对数与对数函数
课前检测
成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差
1. 已知则的值为.
2. 如果函数为奇函数，则的值为.
3. 已知，的取值范围是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
4. 如图是指数函数（1）；（2）；（3）；（4）的图像，则与的大小关系是
（A） （B）
（C） （D）
5. 若函数的图象不经过第一象限，则的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
教学目标
1.理解对数及对数函数的概念
2.学会根据对数函数图像研究对数函数性质
3.掌握对数的运算法则
4.熟练习应用换底公式
5.能够解决对数函数的实际应用
知识框架
知识要点
引入：从指数引出对数
某地有一上市公司的股票如果按照每年速度增长,那么这家公司的股票什么时候能够增长为原来的倍 什么时候能够增长为原来的倍 什么时候增长为原来的倍
上述问题实际上就是从中分别求出,即已知底数和幂的值,求指数.这是本节课学习的对数.
知识点1：对数的概念
一般地,如果且,那么数叫做以为底的对数（logarithm）,记作,
其中叫做对数的底数,叫做真数.
例如,由于,所以就是以为底的对数,记作;再如，由于,所以以为底的对数为,记作.
通常,我们将以为底的对数叫做常用对数（common logarithm）,并把记为.另外，在科技、经济以及社会生活中经常使用无理数为底数的对数,以为底的对数称为自然对数（natural logarithm）,并把记为.
根据对数的定义,可以得到对数与指数间的关系:
当时,.
由指数与对数的这个关系，可以得到关于对数的如下结论:
负数和没有对数；
.
思考：请你利用对数与指数间的关系证明这两个结论.
典型例题
考点一：指数对数互化
【例1】把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）.
【练习1】把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）.
考点二：对数求值
【例1】求出下列的值
（1）； （2）；
（3）； （4）.
【练习1】求出下列式子的值
（1）； （2）； （3）； （4）.
【练习2】求出下列的值
（1）； （2）；
（3）； （4）.
知识点2：对数的运算
探究：我们知道了对数与指数间的关系,能否利用指数幂运算性质得出相应的对数运算性质呢
设
,
因为
，
所以
.
根据对数与指数间的关系可得
,
.
同样地，可以仿照上述过程，由和,自己推出对数运算的其他性质.
得到对数运算性质如下：
如果且,那么
（1）;
（2）;
（3）.
对数恒等式：
（1）若，则，即.
（2）若，则，即.
典型例题
考点一：对数的化简及运算
【例1】求值
（1）； （2）.
【练习1】求值
(1); (2);
(3); (4).
【练习2】求值
计算：.
【练习3】计算：.
【练习4】已知,则.
【练习5】若,则＝.
【练习6】求出下列的值
（1）; （2）;
（3）; （4）.
考点二：对数的表示
【例1】
用表示.
【练习1】
用表示下列各式:
（1）; （2）; （3）; （4）.
知识点3：换底公式
探究:根据对数的定义，能否利用表示的值 那么能否利用表示且且吗
设,则,于是
.
根据性质（3）得,即
,且,且.
我们把上式叫做对数换底公式.
典型例题
考点一：换底公式的应用——对数的表示
【例1】设,，试用、表示
【练习1】设,，试用、表示.
【练习2】已知，，则.
考点二：换底公式的实际应用
【例2】尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为
．
2011年３月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1）
【练习1】我们可以把看作每天的“进步”率都是1%，一年后是；而把看作每天的“落后”率都是1%，一年后是．利用计算工具计算并回答下列问题：
（1）一年后“进步”的是“落后”的多少倍？
（2）大约经过多少天后“进步”的分别是“落后”的10倍、100倍、1000倍？
【练习2】在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度和燃料的质量、火箭（除燃料外）的质量的函数关系是.当燃料质量是火箭质量的倍时，火箭的最大速度可达.（要求填写准确值）
方法总结：取对数、化指数
知识点4：对数函数
引入：我们用指数函数模型研究了呈指数增长或衰减变化规律的问题．对这样的问题，在引入对数后，我们还可以从另外的角度，对其蕴含的规律作进一步的研究．
一般地,函数且叫做对数函数（logarithmic function），其中是自变量，定义域是.
探究：画出函数的图象.根据下表中的对应值表，用描点法画出函数的图象.
2
2.58
3
3.58
4
思考：我们知道,底数互为倒数的两个指数函数的图象关于轴对称.对于底数互为倒数的两个对数函数,比如和,它们的图象是否也有某种对称关系呢 可否利用其中一个函数的图象画出另一个函数的图象
利用换底公式，可以得到.因为．因为点与点关于轴对称，所以图象上任意一点关于轴的对称点都在的图象上，反之亦然．由此可知，底数互为倒数的两个对数函数的图象关于轴对称．根据这种对称性，就可以利用的图象画出的图象.（如右图）
探究：选取底数,且的若干个不同的值，在同一直角坐标系内画出相应的对数函数的图象．观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性 由此你能概括出对数函数,且的值域和性质吗
思考：对于指数函数,你能利用指数与对数间的关系,得到与之对应的对数函数吗 它们的定义域、值域之间有什么关系
一般地，指数函数,且与对数函数且互为反函数,它们的定义域与值域正好互换.
典型例题
考点一：求对数函数的定义域
【例1】
求下列函数的定义域:
(1);(2)且.
【例2】求下列函数的定义域:
（1）; （2）;
（3）; （3）且.
【练习2】函数的定义域是.
【练习3】求下列各式中的取值范围：
（1）
【练习4】函数,则函数的定义域为.
【练习5】已知函数.
（1）函数的定义域为_______；（2）若，则________.
考点二：对数函数比较大小
【例1】
比较下列各题中两个值的大小:
(1);
(2);
(3)且.
【练习1】比较下列各题中两个值的大小:
(1); (2); (3).
【练习2】设，则（ ）
（A） （B）
（C） （D）
【练习3】若实数，则的大小关系为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【练习4】已知,则从小到大的排列为.
【练习5】右图中有五个函数的图象,依据图象用“”表示出以下五个量的大小关系,正确的是
（A）
（B）
（C）
（D）
考点三：对数函数图象
【例1】
在同一直角坐标系中画出函数和的图象,并说明它们的关系.
【例2】函数的图象如图所示,则可能是( )
(A)
(B)
(C)
(D)
【练习1】函数与且在同一坐标系中的图象只可能是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【练习2】当，在同一坐标系中，函数与的图像是
【例3】为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点( )
（A）向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
（B）向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
（C）向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
（D）向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
【练习1】函数的部分图象可能是
（B） （C） （D）
【练习2】函数的图象是把函数的图象沿轴先向 平移______个单位，再沿轴向______移动______个单位．
考点四：对数函数的单调性
【例1】判断函数的单调性.
【例2】下列函数中，在上为增函数的是
（A） （B）
（C） （D）
【练习1】已知函数在区间上是的减函数，则的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
【例3】求函数的单调区间.
【练习1】函数的单调递增区间是.
【练习2】函数的单调增区间是.
【练习3】函数的图像如图所示,满足 的的取值范围是( )
（A）
（B）
（C）
（D）
方法总结:
求解复合函数单调区间——“同增异减”.
考点五：对数函数值域（最值）
【例1】求函数的值域.
【例2】函数的值域为的真子集，则的取值范围是______.
【练习1】函数的值域是
（A） （B） （C） （D）
【练习2】对任意实数，都有且,则实数的取值范围是________.
【练习3】设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则 等于（ ）
（A） （B） （C） （D）
考点六：对数函数的性质——奇偶性
【例1】判断函数的奇偶性.
【练习1】判断函数的奇偶性
【例2】函数的图像关于
（A）轴对称 （B）轴对称
（C）原点对称 （D）直线对称
【练习1】函数
（A）是偶函数，在区间上单调递增
（B）是偶函数，在区间上单调递减
（C）是奇函数，在区间上单调递增
（D）是奇函数，在区间上单调递减
【练习2】设是定义在上的奇函数，若当时，，则.
【练习3】已知函数，若函数是上的偶函数，求实数的值.
考点七：反函数的判定
【例1】判断下列各对函数是否互为反函数.若是,则求出它们的定义域和值域:
(1); (2).
【练习1】在同一坐标系中，函数与的图象之间的关系是
（A）关于轴对称 （B）关于直线对称
（C）关于原点对称 （D）关于轴对称
【练习2】若函数是函数且的反函数，其图像经过点，则
（A） （B） （C） （D）
考点八：分段函数
【例1】已知函数，则=.
【练习1】已知函数则的值是.
【练习2】函数的值域为.
知识点5：不同函数增长的差异
选取适当的指数函数与一次函数，探索它们在区间上的增长差异，你能描述一下指数函数增长的特点吗？
以函数和为例.通过下表做出函数图象如下图所示,可以看到,函数和的图象有两个交点.在区间上,函数的图象位于的图象之上,;在区间上,函数的图象位于的图象之下,;在区间上,函数的图象位于的图象之上,.这表明,虽然这两个函数函数在上都单调递增，但它们的增长速度不同，函数的增长速度保持不变，而函数增长速度在变化.
0 1 0
0.5 1.414 1
1 2 2
1.5 2.828 3
2 4 4
2.5 5.657 5
3 8 6
… … …
下面在更大的范围内,观察和的增长情况.
0 1 0
2 4 4
4 16 8
6 64 12
8 256 16
10 1024 20
12 4096 24
… … …
一般地,指数函数与一次函数的增长差异与上述情况类似.即使的值远远大于的值.的增长速度最终都会大大超过的增长速度.
探究：选取适当的对数函数与一次函数，探索它们在区间上的增长差异，你能描述一下对数函数增长的特点吗
不妨以函数和为例,通过下表做出函数图象如下图所示.
0 不存在 0
10 1 1
20 1.301 2
30 1.477 3
40 1.602 4
50 1.699 5
60 1.778 6
… … …
思考：如果将放大1000倍，再对函数和的增长情况进行比较,那么仍有上述规律吗
一般地，虽然对数函数与一次函数在区间上都单调递增,但它们的增长速度不同．随着的增大，一次函数保持固定的增长速度，而对数函数的增长速度越来越慢．不论的值比的值大多少，在一定范围内，可能会大于，但由于的增长慢于的增长，因此总会存在一个，当时，恒有.
典型例题
【例1】
三个变量随变量变化的数据如下表:
0 5 10 15 20 25 30
5 130 505 1130 2005 3130 4505
5 90 1620 29160 524880 9447840 170061120
5 30 55 80 105 130 155
其中关于呈指数增长的变量是.
【例2】如图,对数函数的图象与一次函数的图象有两个公共点,求一次函数的解析式.
拓展提升
考点一：对数函数+函数的性质
1. 若函数，若，实数的取值范围是
(A) (B)
(C) (D)
考点二：对数函数与不等式
【例1】若定义域为R的偶函数在上是增函数且则不等式的解集是______________
【练习1】若，则实数的取值范围是_________．
【例2】若，则的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【练习1】若，则的取值范围是 ．
【练习2】解关于的不等式（为常数且）的解集。
【例3】函数在区间上恒为正值，则实数的取值范围（　　）
(A) (B) (C) (D)
【练习1】若函数，且对定义域内的所有恒成立，则实数的取值范围是__________________．
【练习2】已知函数，
（1）求函数的定义域和值域；
（2）设函数，若不等式无解，求实数的取值范围．
方法总结——单调性定义“脱”衣法、“穿”衣法、“穿脱”交替法
小试牛刀
1. 函数的定义域是
（A）或 （B）
（C） （D）
2. 下列函数中是奇函数,又在定义域为减函数的是
（A） （B）
（C） （D）
3. 已知函数，则为 ；不等式的解集是________.
4. 若，则的取值范围是 ．
巩固练习
一、选择题
1. 设，则
（A）1 （B）2 （C）4 （D）11
2. 函数的定义域为
（A）或 （B）或
（C） （D）
3. 给出下列函数：①；②；③；④.其中图象关于轴对称的是
（A）①② （B）②③ （C）①③ （D）②④
4. 函数的值域为
（A） （B）
（C） （D）
5. 已知，则三者的大小关系是
(A) (B) (C) (D)
6. 三个数，，之间的大小关系是
（A） （B） （C） （D）不确定
7. 设偶函数在上是递增函数,则与的大小关系是
（A） （B）
（C） （D）不确定
8. 当时，使不等式成立的正数的值为( )
(A) (B) (C)2 (D)4
8. 已知函数在上是单调函数，且满足对任意，都有，则的值是( )
(A)4 (B)8 (C)10 (D)12
9. 函数(为常数),若时,恒成立,则
（A） （B） （C） （D）
二、填空题
1. .
2. .
3. 求值
4. 的值为__________．
5. 求值：.
6. 用和表示.
7. ，，则．
8. 若，，则用表示为_______.
9. 已知函数的图象必经过定点，则点的坐标为．
10. 函数且恒过定点.
11. 已知函数,则.
12. 设，则.
13. 函数的单调递增区间是.
14. 函数的单调递增区间是________．
15. 函数的单调增区间为.
16. 已知是上的增函数,那么的取值范围是.
17. 为奇函数,当时,,则当时,.
18. 如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是．
三、解答题
1.求值：
（1） （2） （3） （4）
2.计算:
（Ⅰ）
（Ⅱ）
3.求满足下列条件的各式的值:
(1)若,求的值;
(2)若,求的值.
4.已知,求下列各式的值:
(1); (2); (3); (4).
5.设集合,且.
（Ⅰ）求集合;
（Ⅱ）若,求集合;
（Ⅲ）若,求实数的取值范围.
6.已知函数
（Ⅰ）求的定义域
（Ⅱ）判断的奇偶性
7.已知设函数.
（Ⅰ）求定义域;
（Ⅱ）判断的奇偶性并予以证明;
（Ⅲ）求使的的取值范围.第六讲 对数与对数函数
课前检测
成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差
1. 已知则的值为.
【答案】8
2. 如果函数为奇函数，则的值为.
【答案】2
3. 已知，的取值范围是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
【答案】C
4. 如图是指数函数（1）；（2）；（3）；（4）的图像，则与的大小关系是
（A） （B）
（C） （D）
【答案】B
5. 若函数的图象不经过第一象限，则的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
教学目标
1.理解对数及对数函数的概念
2.学会根据对数函数图像研究对数函数性质
3.掌握对数的运算法则
4.熟练习应用换底公式
5.能够解决对数函数的实际应用
知识框架
知识要点
引入：从指数引出对数
某地有一上市公司的股票如果按照每年速度增长,那么这家公司的股票什么时候能够增长为原来的倍 什么时候能够增长为原来的倍 什么时候增长为原来的倍
上述问题实际上就是从中分别求出,即已知底数和幂的值,求指数.这是本节课学习的对数.
知识点1：对数的概念
一般地,如果且,那么数叫做以为底的对数（logarithm）,记作,
其中叫做对数的底数,叫做真数.
例如,由于,所以就是以为底的对数,记作;再如，由于,所以以为底的对数为,记作.
通常,我们将以为底的对数叫做常用对数（common logarithm）,并把记为.另外，在科技、经济以及社会生活中经常使用无理数为底数的对数,以为底的对数称为自然对数（natural logarithm）,并把记为.
根据对数的定义,可以得到对数与指数间的关系:
当时,.
由指数与对数的这个关系，可以得到关于对数的如下结论:
负数和没有对数；
.
思考：请你利用对数与指数间的关系证明这两个结论.
典型例题
考点一：指数对数互化
【例1】把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：（课本）
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）.
【答案】(1)；(2)；(3)
(4)；(5)；(6)
【练习1】把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：（课本）
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）.
【答案】（1）；（2）；（3）
（4）；（5）；（6）
考点二：对数求值
【例1】求出下列的值（课本）
（1）； （2）；
（3）； （4）.
【答案】（1）因为，所以
.
（2）因为，所以.又，所以
.
（3）因为，所以
.
于是 .
(4)因为,所以
.
于是 .
【练习1】求出下列式子的值（课本）
（1）； （2）； （3）； （4）.
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【练习2】求出下列的值（课本）
（1）； （2）；
（3）； （4）.
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
知识点2：对数的运算
探究：我们知道了对数与指数间的关系,能否利用指数幂运算性质得出相应的对数运算性质呢
设
,
因为
，
所以
.
根据对数与指数间的关系可得
,
.
同样地，可以仿照上述过程，由和,自己推出对数运算的其他性质.
得到对数运算性质如下：
如果且,那么
（1）;
（2）;
（3）.
对数恒等式：
（1）若，则，即.
（2）若，则，即.
典型例题
考点一：对数的化简及运算
【例1】求值（课本）
（1）； （2）.
【答案】(1)
(2).
【练习1】求值
(1); (2);
(3); (4).
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.
【练习2】求值
计算：.
【答案】-4
【练习3】计算：.
【答案】
【练习4】已知,则.
【答案】
【练习5】若,则＝.
【答案】
【练习6】求出下列的值（课本）
（1）; （2）;
（3）; （4）.
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.
考点二：对数的表示
【例1】（课本）
用表示.
【答案】
【练习1】【课本】
用表示下列各式:
（1）; （2）; （3）; （4）.
【答案】（1）；（2）；
（3）；（4）
知识点3：换底公式
探究:根据对数的定义，能否利用表示的值 那么能否利用表示且且吗
设,则,于是
.
根据性质（3）得,即
,且,且.
我们把上式叫做对数换底公式.
典型例题
考点一：换底公式的应用——对数的表示
【例1】设,，试用、表示
【答案】
【练习1】设,，试用、表示.
【答案】
【练习2】已知，，则.
【答案】
考点二：换底公式的实际应用
【例2】尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为
．
2011年３月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1）
【答案】
解：设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别为和．
由，可得
,
,
于是，，
利用计算工具可得．
虽然里氏9.0级地震与里氏8.0级地震仅相差1级，但前者释放出来的能量却是后者的约32倍.
【练习1】我们可以把看作每天的“进步”率都是1%，一年后是；而把看作每天的“落后”率都是1%，一年后是．利用计算工具计算并回答下列问题：
（1）一年后“进步”的是“落后”的多少倍？
（2）大约经过多少天后“进步”的分别是“落后”的10倍、100倍、1000倍？
【答案】（1）；（2）；；.
【练习2】在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度和燃料的质量、火箭（除燃料外）的质量的函数关系是.当燃料质量是火箭质量的倍时，火箭的最大速度可达.（要求填写准确值）
【答案】
方法总结：取对数、化指数
知识点4：对数函数
引入：我们用指数函数模型研究了呈指数增长或衰减变化规律的问题．对这样的问题，在引入对数后，我们还可以从另外的角度，对其蕴含的规律作进一步的研究．
一般地,函数且叫做对数函数（logarithmic function），其中是自变量，定义域是.
探究：画出函数的图象.根据下表中的对应值表，用描点法画出函数的图象.
2
2.58
3
3.58
4
思考：我们知道,底数互为倒数的两个指数函数的图象关于轴对称.对于底数互为倒数的两个对数函数,比如和,它们的图象是否也有某种对称关系呢 可否利用其中一个函数的图象画出另一个函数的图象
利用换底公式，可以得到.因为．因为点与点关于轴对称，所以图象上任意一点关于轴的对称点都在的图象上，反之亦然．由此可知，底数互为倒数的两个对数函数的图象关于轴对称．根据这种对称性，就可以利用的图象画出的图象.（如右图）
探究：选取底数,且的若干个不同的值，在同一直角坐标系内画出相应的对数函数的图象．观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性 由此你能概括出对数函数,且的值域和性质吗
思考：对于指数函数,你能利用指数与对数间的关系,得到与之对应的对数函数吗 它们的定义域、值域之间有什么关系
一般地，指数函数,且与对数函数且互为反函数,它们的定义域与值域正好互换.
典型例题
考点一：求对数函数的定义域
【例1】（课本）
求下列函数的定义域:
(1);(2)且.
【答案】(1);(2).
【例2】（课本）求下列函数的定义域:
（1）; （2）;
（3）; （3）且.
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【练习2】函数的定义域是.
【答案】
【练习3】求下列各式中的取值范围：
（1）
【答案】（1）且；（2）且；
【练习4】函数,则函数的定义域为.
【答案】
【练习5】已知函数.
（1）函数的定义域为_______；（2）若，则________.
【答案】（1）；（2）
考点二：对数函数比较大小
【例1】（课本）
比较下列各题中两个值的大小:
(1);
(2);
(3)且.
【答案】
（1）（2）
（3）
【练习1】（课本）比较下列各题中两个值的大小:
(1); (2); (3).
【答案】
（1）（2）（3）
【练习2】设，则（ ）
（A） （B）
（C） （D）
【答案】D
【练习3】若实数，则的大小关系为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【练习4】已知,则从小到大的排列为.
【答案】
【练习5】右图中有五个函数的图象,依据图象用“”表示出以下五个量的大小关系,正确的是
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】C
考点三：对数函数图象
【例1】（课本）
在同一直角坐标系中画出函数和的图象,并说明它们的关系.
【答案】图象关于轴对称
【例2】（课本）函数的图象如图所示,则可能是( )
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】C
【练习1】函数与且在同一坐标系中的图象只可能是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【练习2】当，在同一坐标系中，函数与的图像是
【答案】C
【例3】为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点( )
（A）向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
（B）向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
（C）向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
（D）向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
【答案】C
【练习1】函数的部分图象可能是
（B） （C） （D）
【答案】B
【练习2】函数的图象是把函数的图象沿轴先向 平移______个单位，再沿轴向______移动______个单位．
【答案】左，1，上，2
考点四：对数函数的单调性
【例1】判断函数的单调性.
【答案】单调递减
任取，
，
当时，，
，
所以，，此函数是减函数.
当时，，
，所以此函数是减函数.
当时，易知，此函数为减函数.
综上，函数单调递减
【例2】下列函数中，在上为增函数的是
（A） （B）
（C） （D）
【答案】D
【练习1】已知函数在区间上是的减函数，则的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【例3】求函数的单调区间.
【答案】单调递减区间，单调递增区间
【练习1】函数的单调递增区间是.
【答案】
【练习2】函数的单调增区间是.
【答案】
【练习3】函数的图像如图所示,满足 的的取值范围是( )
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】A
方法总结:
求解复合函数单调区间——“同增异减”.
考点五：对数函数值域（最值）
【例1】求函数的值域.
【答案】
【例2】函数的值域为的真子集，则的取值范围是______.
【答案】
【练习1】函数的值域是
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【练习2】对任意实数，都有且,则实数的取值范围是________.
【答案】
【练习3】设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则 等于（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
考点六：对数函数的性质——奇偶性
【例1】判断函数的奇偶性.
【答案】奇函数
【练习1】判断函数的奇偶性
【答案】奇函数
【例2】函数的图像关于
（A）轴对称 （B）轴对称
（C）原点对称 （D）直线对称
【答案】C
【练习1】函数
（A）是偶函数，在区间上单调递增
（B）是偶函数，在区间上单调递减
（C）是奇函数，在区间上单调递增
（D）是奇函数，在区间上单调递减
【答案】B
【练习2】设是定义在上的奇函数，若当时，，则.
【答案】-1
【练习3】已知函数，若函数是上的偶函数，求实数的值.
【答案】
考点七：反函数的判定
【例1】（课本）判断下列各对函数是否互为反函数.若是,则求出它们的定义域和值域:
(1); (2).
【答案】（1）互为反函数，定义域，值域，，定义域，值域；（2）互为反函数，定义域，值域，，定义域，值域.
【练习1】在同一坐标系中，函数与的图象之间的关系是
（A）关于轴对称 （B）关于直线对称
（C）关于原点对称 （D）关于轴对称
【答案】B
【练习2】若函数是函数且的反函数，其图像经过点，则
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
考点八：分段函数
【例1】已知函数，则=.
【答案】
【练习1】已知函数则的值是.
【答案】
【练习2】函数的值域为.
【答案】
知识点5：不同函数增长的差异
选取适当的指数函数与一次函数，探索它们在区间上的增长差异，你能描述一下指数函数增长的特点吗？
以函数和为例.通过下表做出函数图象如下图所示,可以看到,函数和的图象有两个交点.在区间上,函数的图象位于的图象之上,;在区间上,函数的图象位于的图象之下,;在区间上,函数的图象位于的图象之上,.这表明,虽然这两个函数函数在上都单调递增，但它们的增长速度不同，函数的增长速度保持不变，而函数增长速度在变化.
0 1 0
0.5 1.414 1
1 2 2
1.5 2.828 3
2 4 4
2.5 5.657 5
3 8 6
… … …
下面在更大的范围内,观察和的增长情况.
0 1 0
2 4 4
4 16 8
6 64 12
8 256 16
10 1024 20
12 4096 24
… … …
一般地,指数函数与一次函数的增长差异与上述情况类似.即使的值远远大于的值.的增长速度最终都会大大超过的增长速度.
探究：选取适当的对数函数与一次函数，探索它们在区间上的增长差异，你能描述一下对数函数增长的特点吗
不妨以函数和为例,通过下表做出函数图象如下图所示.
0 不存在 0
10 1 1
20 1.301 2
30 1.477 3
40 1.602 4
50 1.699 5
60 1.778 6
… … …
思考：如果将放大1000倍，再对函数和的增长情况进行比较,那么仍有上述规律吗
一般地，虽然对数函数与一次函数在区间上都单调递增,但它们的增长速度不同．随着的增大，一次函数保持固定的增长速度，而对数函数的增长速度越来越慢．不论的值比的值大多少，在一定范围内，可能会大于，但由于的增长慢于的增长，因此总会存在一个，当时，恒有.
典型例题
【例1】（课本）
三个变量随变量变化的数据如下表:
0 5 10 15 20 25 30
5 130 505 1130 2005 3130 4505
5 90 1620 29160 524880 9447840 170061120
5 30 55 80 105 130 155
其中关于呈指数增长的变量是.
【答案】
【例2】（课本）如图,对数函数的图象与一次函数的图象有两个公共点,求一次函数的解析式.
【答案】
拓展提升
考点一：对数函数+函数的性质
1. 若函数，若，实数的取值范围是
(A) (B)
(C) (D)
【答案】
考点二：对数函数与不等式
【例1】若定义域为R的偶函数在上是增函数且则不等式的解集是______________
【答案】
【练习1】若，则实数的取值范围是_________．
【答案】
【例2】若，则的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【练习1】若，则的取值范围是 ．
【答案】
【练习2】解关于的不等式（为常数且）的解集。
【答案】
【例3】函数在区间上恒为正值，则实数的取值范围（　　）
(A) (B) (C) (D)
【答案】B
【练习1】若函数，且对定义域内的所有恒成立，则实数的取值范围是__________________．
【答案】
【练习2】已知函数，
（1）求函数的定义域和值域；
（2）设函数，若不等式无解，求实数的取值范围．
【答案】（1），；（2）.
方法总结——单调性定义“脱”衣法、“穿”衣法、“穿脱”交替法
小试牛刀
1. 函数的定义域是
（A）或 （B）
（C） （D）
【答案】A
2. 下列函数中是奇函数,又在定义域为减函数的是
（A） （B）
（C） （D）
【答案】C
3. 已知函数，则为 ；不等式的解集是________.
【答案】；
4. 若，则的取值范围是 ．
【答案】
巩固练习
一、选择题
1. 设，则
（A）1 （B）2 （C）4 （D）11
【答案】C
2. 函数的定义域为
（A）或 （B）或
（C） （D）
【答案】B
3. 给出下列函数：①；②；③；④.其中图象关于轴对称的是
（A）①② （B）②③ （C）①③ （D）②④
【答案】B
4. 函数的值域为
（A） （B）
（C） （D）
【答案】C
5. 已知，则三者的大小关系是
(A) (B) (C) (D)
【答案】B
6. 三个数，，之间的大小关系是
（A） （B） （C） （D）不确定
【答案】C
7. 设偶函数在上是递增函数,则与的大小关系是
（A） （B）
（C） （D）不确定
【答案】C
8. 当时，使不等式成立的正数的值为( )
(A) (B) (C)2 (D)4
【答案】C
8. 已知函数在上是单调函数，且满足对任意，都有，则的值是( )
(A)4 (B)8 (C)10 (D)12
【答案】C
9. 函数(为常数),若时,恒成立,则
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
二、填空题
1. .
【答案】
2. .
【答案】-1
3. 求值
【答案】
4. 的值为__________．
【答案】1
5. 求值：.
【答案】-3
6. 用和表示.
【答案】
7. ，，则．
【答案】因为，∴．
8. 若，，则用表示为_______.
【答案】
9. 已知函数的图象必经过定点，则点的坐标为．
【答案】
10. 函数且恒过定点.
【答案】
11. 已知函数,则.
【答案】
12. 设，则.
【答案】
13. 函数的单调递增区间是.
【答案】
14. 函数的单调递增区间是________．
【答案】
15. 函数的单调增区间为.
【答案】
16. 已知是上的增函数,那么的取值范围是.
【答案】
17. 为奇函数,当时,,则当时,.
【答案】
18. 如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是．
【答案】
三、解答题
1.求值：
（1） （2） （3） （4）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
2.计算:
（Ⅰ）
（Ⅱ）
【答案】解:（Ⅰ）原式
（Ⅱ）原式
3.（课本）求满足下列条件的各式的值:
(1)若,求的值;
(2)若,求的值.
【答案】（1）；（2）
4.已知,求下列各式的值:
(1); (2); (3); (4).
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
5.设集合,且.
（Ⅰ）求集合;
（Ⅱ）若,求集合;
（Ⅲ）若,求实数的取值范围.
【答案】解:（Ⅰ）集合中的不等式可化为,
解得,
所以.
（Ⅱ）当时,集合表示的值域,
令,则
所以.
（Ⅲ）集合表示的值域,且,
令,则,
所以,
若,则,
所以,
解得,
所以实数的取值范围为.
6.已知函数
（Ⅰ）求的定义域
（Ⅱ）判断的奇偶性
【答案】
解：（1）∵∴定义域为
（2）
∴为奇函数
7.已知设函数.
（Ⅰ）求定义域;
（Ⅱ）判断的奇偶性并予以证明;
（Ⅲ）求使的的取值范围.
【答案】
解:（Ⅰ）,则
定义域.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知,定义域,关于原点对称.
所以,.
所以为奇函数.
（Ⅲ）,则.
当时,原不等式等价为:;
当时,原不等式等价为:;
又因为定义域,
所以当时,的取值范围;当时,的取值范围.

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