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立体几何中有关异面直线夹角、线面角、二面角的计算问题
知识点梳理
1.异面直线的夹角
（1）异面直线的夹角的范围；
（2）异面直线所成角求法的步骤：平移法，分三步
第一步，对异面直线进行平移或平行转换，有两种策略：一是固定一条直线，平移另一条；二是将两条直线同时平移到某一特殊位置，构成同一平面.
第二步，构建异面直线所成角，或者证明图形中某一夹角为所求角.
第三步，依托所求角构造三角形，通过解三角形完成求解.
2.直线与平面所成的角
（1）直线与平面所成角的范围；
（2）直线与平面所成角求法的步骤：
第一步：确定斜足：斜线与平面的交点；
第二步：确定垂足：经过斜线上除斜足外任一点作平面的垂线，与平面交点就是垂足，第三步：确定摄影：连接斜足和垂足构成的线段；
第四步：求角：解由垂线、斜线及其射影构成的直角三角形，求出线面角．
3.二面角
（1）二面角平面角的范围
（2）二面角的平面角求法的步骤：
第一步 作：找出这个平面角；
第二步 证：证明这个角是二面角的平面角；
第三步 求：将作出的角放在三角形中，解这个三角形，计算出平面角的大小．
经典例题讲解
知识点一：异面直线所成的角
例1.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝3，AB＝5，AA1＝4，则异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
解：连接BC1，与B1C交于点O，则O为B1C的中点，取AB的中点D，连接CD、OD，
∴OD∥AC1，OD＝AC1，
∴∠COD或其补角为异面直线AC1与B1C所成角，
∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1，且AC⊥BC，AC＝3，AB＝5，AA1＝4，
∴OD＝AC1＝，OC＝B1C＝，CD＝AB＝，
∴由余弦定理知，cos∠COD＝＝＝，
∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为．
故选：D．
变式训练：1.如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱C1D1，A1D1的中点，则异面直线DE与AF所成角的余弦值是（　　）
A． B． C． D．
解：取A1B1的中点M，连接AM，EM，FM，则EM∥A1D1∥AD，EM＝A1D1＝AD，
∴四边形ADEM为平行四边形，
∴DE∥AM，
∴∠FAM或其补角为异面直线DE与AF所成角，
设正方体的棱长为2，
在△AFM中，AF＝AM＝，FM＝，
由余弦定理知，cos∠FAM＝＝＝．
故选：A．
2.如图，圆锥的轴截面ABC为等边三角形，D为弧的中点，E为母线BC的中点，则异面直线AC和DE所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
解：设底面圆的圆心为O，半径为R．连接EO，DO．
因为O，E分别为BA，BC的中点，所以OE∥AC，OE＝R．
因为D为弧AB中点，所以DO⊥AB，又平面ABC⊥平面ABD，所以DO⊥平面ABC．
所以DO⊥OE，又OD＝R，所以△ODE为等腰直角三角形，所以∠ODE＝45°．
因为OE∥AC，所以异面直线AC和DE所成角为∠ODE，故余弦值为．
故选：C．
3.如图,正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AC中点，且直线AB1与平面BCC1B1所成的角为300，则异面直线AB1与BD所成角的大小为
A．300 B．450 C．600 D．900
【答案】C
【分析】分析：先由直线AB1与平面BCC1B1所成的角为300，明确A B1=2AE,进而明确异面直线AB1与BD所成角的大小.
详解：在底ABC中,过A做AE⊥BC,垂足为E,则∠A B1E就是直线B1与平面BCC1 B1所成的角,所以在直角三角形AE B1中,A B1=2AE.
设正三角形边长为a,则AE=a,所以A B1=a
在△A B1C中,A B1=C B1,故过D点做A B1的平行线,交C B1于F,DF==a
显然BF=a
故在△DFB中,DB=DF=BF=a,所以三角形为等边三角形,∠FDB=60
即,直线A B1与BD所成的角为60°
故选:C.
4.在空间四边形ABCD中，，点M N分别为BD AC的中点.
(1)若直线AB与MN所成角为60°，求直线AB与CD所成角的大小；
(2)若直线AB与CD所成角为，求直线AB与MN所成角的大小.
【答案】(1)60°
(2)或
【详解】（1）如图，取AD的中点为P，连接PM PN.
因为点M N分别为BD AC的中点，所以，，且，，
所以，为直线AB与CD所成的角（或补角），为直线AB与MN所成的角（或补角）.
又，所以，即为等腰三角形.
直线AB与MN所成角为60°，即，则.
所以，直线AB与CD所成的角为60°.
（2）（2）若直线AB与CD所成的角为，则或.
若，则，即直线AB与MN所成角为；
若，则，即直线AB与MN所成角为.
综上所述，直线AB与MN所成的角为或.
5.如图，在四棱锥中，平面，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】分别取的中点，连接.过点作，垂足为，则是的中点，如图所示，
，，所以，，四边形为平行四边形， 有，又，则是异面直线与所成的角（或补角）.
，，则有，
设，则，，，，
,,，
故.
则异面直线与所成角的余弦值为.
故选：A
知识点二：直线与平面所成的角
例1.在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，四棱锥P﹣ABCD为阳马，侧棱PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝AD，E为棱PA的中点，则直线CE与平面PAD所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为平面平面，故可得，
又平面，
故可得平面.连接.
故即为所求直线CE与平面PAD所成角.
不妨设PA＝AB＝AD，
故在直角三角形中，，
故可得.
则.
则直线CE与平面PAD所成角的正弦值为.
故选：.
变式训练1.已知圆柱的体积是，点是下底面中心，底面半径为1，点是圆柱上底面圆周上的一点，则直线与圆柱底面所成角的正切值大小为______。
【答案】
【详解】解：设圆柱的高为，
因为圆柱的体积是，底面半径为，
所以，即，
设点是上底面中心
因为点是下底面中心，点是圆柱上底面圆周上的一点，
所以，是直线与圆柱底面所成角，作出其过点的轴截面（如图），
所以，
2.如图，正方体中，为的中点，为正方形的中心，则直线与侧面所成角的正切值是___________.
【答案】
【详解】如图所示，连接，
在正方体中，可得平面，
所以即为与平面所成的角，
设正方体的棱长为，则，
在直角中，.
故答案为：.
3.如图，在四棱锥中，底面为矩形，，是正三角形，平面平面，且，则与平面所成角的正切值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【详解】取的中点，连接，
由已知为等边三角形，所以，
又平面平面，平面平面，
平面，
所以平面，
设，则，，又，
所以矩形的面积，
所以四棱锥的体积，
所以，所以，
所以，
因为平面平面，，
平面平面，平面，
所以平面，又平面，
所以，
所以为直角三角形，斜边为，
因为平面，
所以与平面所成角的平面角为，
在中，，，
所以，
与平面所成角的正切值为.
故选：B.
4.如图，在矩形中， ,点为的中点，为线段（端点除外）上一动点.现将沿折起，使得平面平面.设直线与平面所成角为，则的最大值为
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
矩形中，过点作的垂线交于点，
交于点．设，．
由，得，即有，
由，得．
在翻折后的几何体中，
，平面．
从而平面平面，又平面平面，则平面．
连接,则是直线与平面所成角，即．
而，，则．
由于，则当时，取到最大值，其最大值为
故选：A.
【点睛】本题考查立体几何的翻折问题，翻折问题中关注翻折过程中的变量与不变量，本题中找到线面角为，得到，利用函数性质得到最大值为．
5.在正四棱柱中，已知，，E为棱的中点．
(1)求证：；
(2)求与平面所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）连结AC交BD于点O，连结．
在正四棱柱中，面ABCD，
又∵ABCD，∴
∵四边形ABCD为正方形，∴
又∵，，面，∴面，又∵面
∴
（2）由（1）知：面，又平面，∴平面平面，
又面面，
∴为直线与平面所成的平面角，
∵正四棱柱中，，，
分别在，，中，
解得，，
所以，
故与平面所成角的余弦值为．
6.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，为等边三角形，平面平面PCD，，CD＝2，AD＝3，棱PC的中点为N，连接DN．
(1)求证：平面PCD；
(2)求直线AD与平面PAC所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：取棱PC的中点N，连接DN，
由题意可知，DN⊥PC，又因为平面PAC⊥平面PCD，平面PAC∩平面PCD＝PC，
所以DN⊥平面PAC，又PA 平面PAC，
故DN⊥PA，又PA⊥CD，CD∩DN＝D，CD，DN 平面PCD，
则PA⊥平面PCD；
（2）连接AN，由（1）可知，DN⊥平面PAC，
则∠DAN为直线AD与平面PAC所成的角，
因为为等边三角形，CD＝2且N为PC的中点，
所以DN＝，又DN⊥AN，
在中，sin∠DAN＝，
故直线AD与平面PAC所成角的正弦值为．
7.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1，M、N分别是A1B、B1C1的中点．
（Ⅰ）求证：MN⊥平面A1BC；
（Ⅱ）求直线BC1和平面A1BC所成角的大小．
证明：（Ⅰ）由已知BC⊥AC，BC⊥CC1，
所以BC⊥平面ACC1A1．连接AC1，则BC⊥AC1．
由已知，侧面ACC1A1是矩形，所以A1C⊥AC1．
又BC∩A1C＝C，所以AC1⊥平面A1BC．
因为侧面ABB1A1是正方形，M是A1B的中点，连接AB1，则点M是AB1的中点．
又点N是B1C1的中点，则MN是△AB1C1的中位线，所以MN∥AC1．
故MN⊥平面A1BC．
（Ⅱ）因为AC1⊥平面A1BC，设AC1与A1C相交于点D，
连接BD，则∠C1BD为直线BC1和平面A1BC所成角．
设AC＝BC＝CC1＝a，则C1D＝a，BC1＝a．
在Rt△BDC1中，sin∠C1BD＝，
所以∠C1BD＝30°，故直线BC1和平面A1BC所成的角为30°．
知识点三：二面角
例1.如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝4，AD＝3，AA1＝2，E是线段AB上的点，且EB＝1，则二面角C﹣DE﹣C1的正切值为　　．
解：过点C作CF⊥DE于F，连结C1F，因为DE⊥C1C，所以DE⊥平面C1CF，所以C1F⊥DE，
所以∠C1FC就是二面角C﹣DE﹣C1的平面角，
在△C1FC中，∠C1CF＝90°，CF＝CDsin45．
所以tan∠C1FC＝＝．
故答案为：．
变式训练：1.已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面BB1C1C是边长为2的菱形，∠B1BC＝60°，侧面BB1C1C⊥底面ABC，∠ACB＝90°，二面角A﹣B1B﹣C为30°．
（1）求证：AC⊥平面BB1C1C；
（2）求AB1与平面BB1C1C所成角的正切值．
证明：（1）∵平面BB1C1C⊥平面ABC
平面BB1C1C∩平面ABC＝BC
又∵AC⊥BC，AC 平面ABC
∴AC⊥平面BB1C1C（6分）
（2）取BB1的中点D，
AC⊥平面BB1C1C
∴AC⊥BB1
∴BB1⊥平面ADC
∴AD⊥BB1
∴∠CDA为二面角A﹣BB1﹣C的平面角
∴∠CDA＝30°
∵CD＝
∴AC＝1（8分）
连接B1C，则∠AB1C为AB1与平面BB1C1C所成的角（10分）
在Rt△ACB1中tan∠AB1C＝（12分）
2.如图，圆柱OQ的上，下底面圆的圆心分别为Q，O，四边形ABCD是圆柱QQ的轴截面，点P在圆柱OQ的下底面圆周上，G是DP的中点，圆柱OQ的底面圆的直径AB＝4，母线AD＝AP＝2．
（1）求证：AG⊥BD；
（2）求锐二面角P﹣AG﹣B的平面角的余弦值．
（1）证明：∵AD⊥平面APB，PB 平面APB，
∴AD⊥PB，
∵AB是圆O的直径，∴AP⊥PB，
又AD∩AP＝A，
∴PB⊥平面PAD，∴PB⊥AG，
∵AD＝AP，G是PD的中点，
∴AG⊥PD，
又PD∩PB＝P，
∴AG⊥平面PBD，又BD 平面PBD，
∴AG⊥BD．
（2）解：由（1）可知AG⊥平面PBD，
∴AG⊥PD，AG⊥BG，
∴∠PGB为二面角P﹣AG﹣B的平面角，
由PB⊥平面PAD可得PB⊥PD，
在直角三角形PBG中，PB＝＝＝2，
PG＝PD＝＝＝，
∴BG＝＝＝，
∴cos∠PGB＝＝＝．
所以平面PAG与平面BAG的夹角的余弦值为．
3.如图，已知正三棱柱的底面边长是2，D是侧棱的中点，直线AD与侧面所成的角为45°．
(1)求此正三棱柱的侧棱长；
(2)求二面角A－BD－C的正切值；
【详解】（1）设正三棱柱的侧棱长为x，取BC中点E，连接AE，
∵是正三角形，∴，
又底面侧面，且两平面交线为BC，∴侧面．
连接ED，则∠ADE为直线AD与侧面所成的角，∴∠ADE＝45°，
在中，，解得，∴此正三棱柱的侧棱长为．
（2）过E作于F，连接AF，
∵侧面，∴，可知，∴∠AFE为二面角A－BD－C的平面角．
在中，，又BE＝1，，∴．
又，∴在中，．
4.如图，为圆柱的轴截面，是圆柱上异于，的母线.
(1)证明：平面DEF；
(2)若，当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：如右图，连接AE，由题意知AB为的直径，所以.
因为AD，EF是圆柱的母线，所以且,
所以四边形AEFD是平行四边形.
所以 ,
所以.
因为EF是圆柱的母线，所以平面ABE,
又因为平面ABE，
所以.
又因为，DF，平面DEF，
所以平面DEF.
（2）由（1）知BE是三棱锥底面DEF上的高，
由（1）知，，所以，
即底面三角形DEF是直角三角形.
设，，则,
所以，
当且仅当时等号成立，即点E，F分别是，的中点时，
三棱锥的体积最大,
下面求二面角的余弦值：
由（1）得平面DEF，因为平面DEF，所以.
又因为，，所以平面BEF.
因为平面BEF，所以,所以是二面角的平面角,
由（1）知为直角三角形，则.
故,
所以二面角的余弦值为.
5.已知三棱锥中，△是边长为3的正三角形，与平面所成角的余弦值为．
(1)求证：；
(2)求二面角的平面角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）如图所示，取中点为，连接，O为△BCD的中心，
因为△是边长为3的正三角形，，则面，
又与平面所成角的余弦值为，
所以，即，即三棱锥是正四面体，
所以，又平面，
所以平面，又平面，所以．
（2）如图所示，
取中点为，连接，
由（1）知：三棱锥是正四面体，则，
所以二面角的平面角为，
另一方面，，
所以由余弦定理得，
所以，
所以二面角的平面角的正弦值．
巩固练习
1．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M为侧面ABB1A1的中心，N为侧面ACC1A1的中心，P为BC的中点，则直线MN与直线AP所成的角为（　　）
A．0° B．45° C．60° D．90°
解：如图，
∵M为侧面ABB1A1的中心，N为侧面ACC1A1的中心，∴MN∥BC，
P为BC的中点，连接AP，则AP⊥BC．
∴AP⊥MN，即直线MN与直线AP所成的角为90°．
故选：D．
2．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝2，底面ABCD为边长为2的正方形，E为BC的中点，则异面直线BD与PE所成的角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
解：取CD的中点F，连接EF，PF，
∵E为BC的中点，∴EF∥BD，
则∠PEF为异面直线BD与PE的所成角（或补角）．
∵PA⊥底面ABCD，AE 底面ABCD，
∴PA⊥AE，
∵底面ABCD为边长为2的正方形，E为BC的中点，
∴AE＝，在Rt△PAE中，PA＝2，则PE＝3，
同理可得PF＝3，又EF＝BD＝，
∴cos∠PEF＝＝＝．
故选：A．
3．在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知可得，是直角三角形，，在中解出即可得到体积.
【详解】
由已知，是直角三角形，且即为与平面所成的角，
即，，
则，则.
长方体的体积.
故选：C.
4．（多选题）长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则下列说法不正确的是（ ）
A． B．与平面所成的角为
C． D．与平面所成的角为
【答案】ABC
【分析】令，根据线面角定义可知，由此可求得的长，即可得到AC错误；作，可证得平面，同时平面，根据线面角定义，结合长度可得BD正误.
【详解】连接，
不妨令，在长方体中，面，面，
和分别为与平面和平面所成的角，
即，
在中，，，，
在中，，，，
，，，，，AC错误；
作，垂足为，
平面，平面，，
又，平面，平面，
为与平面所成的角，
在中，，B错误；
连接，
平面，为与平面所成的角，
在中，，，D正确.
故选：ABC.
5.如图，已知平面，，，，，，点是的中点.
(1)求证:平面;
(2)求直线与平面所成角的正切值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据平面，得到平面，即可得到平面平面，根据等腰三角形三线合一的性质得到，然后利用面面垂直的性质定理即可得到平面；
（2）根据，点为中点得到，即可将直线与平面所成角转化为直线与平面所成角，由（1）的结论可得为直线与平面所成角，然后利用勾股定理得到，的长度，即可求直线与平面所成角的正切值.
【详解】（1）∵平面，，
∴平面，
∵平面，
∴平面平面，
∵，点为中点，
∴，
∵平面平面，平面，
∴平面.
（2）
取中点，连接，，
∵，，，点为中点，
∴四边为平行四边形，，
∴直线与平面所成角和直线与平面所成角相等，
∵平面，
∴为直线与平面所成角，
∵点为中点，，
∴，，，
∴，
所以直线与平面所成角的正切值为.
6.如图，直三棱柱中，，.
(1)求直线与平面所成的角；
(2)求二面角的正切值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）取的中点，连接和，结合条件可证明平面，由直线与平面所成角的定义可得直线与平面所成的角，由解直角三角形即可求解；
（2）取的中点，连接，，先求得，再由二面角的定义找到二面角的平面角，由解直角三角形即可求解.
【详解】（1）
取的中点，连接和，如图所示：
因为，所以，
在直三棱柱中，平面，又平面，所以，
因为，、平面，则平面，又平面，
所以，则在中，，即直线与平面所成的角为，
在直三棱柱中，平面，又因为平面，所以，
因为，所以，即，
则，，
所以，则，又，所以，
故直线与平面所成的角为.
（2）
取的中点，连接，，
在直三棱柱中，平面，又因为平面，所以，
因为，，
由（1）知，，所以，，
又平面，平面，所以是二面角的平面角；
又，，，、平面，
所以平面，平面，则，又，
在中，，故二面角的正切值为.
7.如图，四棱柱的底面是菱形，平面，，，，点为的中点.
(1)求证：直线平面；
(2)求证：；
(3)求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3).
【详解】（1）设和交于点，连接，如图，
由于，分别是，的中点，故，
∵平面，平面，所以直线平面.
（2）在四棱柱中，底面是菱形，则，
又平面，且平面，则，
∵平面，平面，
∴平面.
平面，∴.
（3）连接，，
因为，是中点，所以，
因为平面，平面，所以，
∴为二面角的平面角，
，，，
由余弦定理可知，
∴二面角的余弦值为.
8.如图．正方体中，棱长为1，
(1)求证：AC⊥平面；
(2)求二面角的平面角的正弦值．
【解析】(1)证明：∵在正方体中，平面ABCD，
又平面ABCD，
∴，
∵，，，BD，平面，
∴AC⊥平面；
(2)∵，所以，又，而，面BAC，
∴为二面角的平面角．
在中，，，
∴，
∴．立体几何中有关异面直线夹角、线面角、二面角的计算问题
知识点梳理
1.异面直线的夹角
（1）异面直线的夹角的范围；
（2）异面直线所成角求法的步骤：平移法，分三步
第一步，对异面直线进行平移或平行转换，有两种策略：一是固定一条直线，平移另一条；二是将两条直线同时平移到某一特殊位置，构成同一平面.
第二步，构建异面直线所成角，或者证明图形中某一夹角为所求角.
第三步，依托所求角构造三角形，通过解三角形完成求解.
2.直线与平面所成的角
（1）直线与平面所成角的范围；
（2）直线与平面所成角求法的步骤：
第一步：确定斜足：斜线与平面的交点；
第二步：确定垂足：经过斜线上除斜足外任一点作平面的垂线，与平面交点就是垂足，第三步：确定摄影：连接斜足和垂足构成的线段；
第四步：求角：解由垂线、斜线及其射影构成的直角三角形，求出线面角．
3.二面角
（1）二面角平面角的范围
（2）二面角的平面角求法的步骤：
第一步 作：找出这个平面角；
第二步 证：证明这个角是二面角的平面角；
第三步 求：将作出的角放在三角形中，解这个三角形，计算出平面角的大小．
经典例题讲解
知识点一：异面直线所成的角
例1.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝3，AB＝5，AA1＝4，则异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
变式训练：1.如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱C1D1，A1D1的中点，则异面直线DE与AF所成角的余弦值是（　　）
A． B． C． D．
2.如图，圆锥的轴截面ABC为等边三角形，D为弧的中点，E为母线BC的中点，则异面直线AC和DE所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
3.如图,正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AC中点，且直线AB1与平面BCC1B1所成的角为300，则异面直线AB1与BD所成角的大小为
A．300 B．450 C．600 D．900
4.在空间四边形ABCD中，，点M N分别为BD AC的中点.
(1)若直线AB与MN所成角为60°，求直线AB与CD所成角的大小；
(2)若直线AB与CD所成角为，求直线AB与MN所成角的大小.
5.如图，在四棱锥中，平面，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
知识点二：直线与平面所成的角
例1.在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，四棱锥P﹣ABCD为阳马，侧棱PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝AD，E为棱PA的中点，则直线CE与平面PAD所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
变式训练1.已知圆柱的体积是，点是下底面中心，底面半径为1，点是圆柱上底面圆周上的一点，则直线与圆柱底面所成角的正切值大小为______。
2.如图，正方体中，为的中点，为正方形的中心，则直线与侧面所成角的正切值是___________.
3.如图，在四棱锥中，底面为矩形，，是正三角形，平面平面，且，则与平面所成角的正切值为（ ）
A．2 B． C． D．
4.如图，在矩形中， ,点为的中点，为线段（端点除外）上一动点.现将沿折起，使得平面平面.设直线与平面所成角为，则的最大值为
A． B． C． D．
5.在正四棱柱中，已知，，E为棱的中点．
(1)求证：；
(2)求与平面所成角的余弦值．
6.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，为等边三角形，平面平面PCD，，CD＝2，AD＝3，棱PC的中点为N，连接DN．
(1)求证：平面PCD；
(2)求直线AD与平面PAC所成角的正弦值．
7.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1，M、N分别是A1B、B1C1的中点．
（Ⅰ）求证：MN⊥平面A1BC；
（Ⅱ）求直线BC1和平面A1BC所成角的大小．
知识点三：二面角
例1.如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝4，AD＝3，AA1＝2，E是线段AB上的点，且EB＝1，则二面角C﹣DE﹣C1的正切值为　　．
变式训练：1.已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面BB1C1C是边长为2的菱形，∠B1BC＝60°，侧面BB1C1C⊥底面ABC，∠ACB＝90°，二面角A﹣B1B﹣C为30°．
（1）求证：AC⊥平面BB1C1C；
（2）求AB1与平面BB1C1C所成角的正切值．
2.如图，圆柱OQ的上，下底面圆的圆心分别为Q，O，四边形ABCD是圆柱QQ的轴截面，点P在圆柱OQ的下底面圆周上，G是DP的中点，圆柱OQ的底面圆的直径AB＝4，母线AD＝AP＝2．
（1）求证：AG⊥BD；
（2）求锐二面角P﹣AG﹣B的平面角的余弦值．
3.如图，已知正三棱柱的底面边长是2，D是侧棱的中点，直线AD与侧面所成的角为45°．
(1)求此正三棱柱的侧棱长；
(2)求二面角A－BD－C的正切值；
4.如图，为圆柱的轴截面，是圆柱上异于，的母线.
(1)证明：平面DEF；
(2)若，当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值.
5.已知三棱锥中，△是边长为3的正三角形，与平面所成角的余弦值为．
(1)求证：；
(2)求二面角的平面角的正弦值．
巩固练习
1．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M为侧面ABB1A1的中心，N为侧面ACC1A1的中心，P为BC的中点，则直线MN与直线AP所成的角为（　　）
A．0° B．45° C．60° D．90°
2．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝2，底面ABCD为边长为2的正方形，E为BC的中点，则异面直线BD与PE所成的角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
3．在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积等于（ ）
A． B． C． D．
4．（多选题）长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则下列说法不正确的是（ ）
A． B．与平面所成的角为
C． D．与平面所成的角为
5.如图，已知平面，，，，，，点是的中点.
(1)求证:平面;
(2)求直线与平面所成角的正切值.
6.如图，直三棱柱中，，.
(1)求直线与平面所成的角；
(2)求二面角的正切值.
7.如图，四棱柱的底面是菱形，平面，，，，点为的中点.
(1)求证：直线平面；
(2)求证：；
(3)求二面角的余弦值.
8.如图．正方体中，棱长为1，
(1)求证：AC⊥平面；
(2)求二面角的平面角的正弦值．

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