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2022-2023学年四川省绵阳市重点中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设复数，则的虚部是( )
A. B. C. D.
2. 平面向量，，若，则等于( )
A. B. C. D.
3. 若函数是奇函数，则可取的一个值为( )
A. B. C. D.
4. 在中，若，则的形状是( )
A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形
5. 已知，则( )
A. B. C. D.
6. 关于函数的性质，下列叙述不正确的是( )
A. 的最小正周期为
B. 是偶函数
C. 的图象关于直线对称
D. 在每一个区间内单调递增
7. 已知是边长为的正六边形内的一点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8. 已知函数，在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列说法中正确的是( )
A. 若，则 B.
C. 若为单位向量，则 D. 是与非零向量共线的单位向量
10. 在中，根据下列条件解三角形，其中恰有一解的是( )
A. B.
C. D.
11. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是( )
A. 函数的图象关于点对称
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数在单调递减
D. 该图象向右平移个单位可得的图象
12. 已知函数，以下结论正确的是( )
A. 它是偶函数
B. 它是周期为的周期函数
C. 它的值域为
D. 它在这个区间有且只有个零点
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 设，则 ______ ．
14. 已知非零向量与的夹角为，，若，则 ______ ．
15. 化简： ．
16. 如图，直角三角形的三个顶点分别在等边三角形的边、、上，且，，，则长度的最大值为______．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知向量，，求：
求向量与；
求向量与的夹角．
18. 本小题分
已知函数．
求函数的最小正周期及单调递减区间；
求在区间上的最大值和最小值．
19. 本小题分
在；；这三个条件中任选一个，解答下面两个问题．
求角；
在中，内角，，的对边分别是，，，若已知，，求，的值．
20. 本小题分
已知．
求的值；
若，且，求角．
21. 本小题分
如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边为半圆的直径，为半圆的圆心，，，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形，其底边，点在边上，设；
若，求三角形铁皮的面积；
求剪下的三角形铁皮面积的最大值．
22. 本小题分
如图，设中角，，所对的边分别为，，，为边上的中线，已知且，．
求边的长度；
求的面积；
设点，分别为边，上的动点，线段交于，且的面积为面积的一半，求的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，的虚部是．
故选：．
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：平面向量，，
且，
，
解得．
故选：．
根据两向量平行的坐标表示，列出方程组，求出的值即可．
本题考查了平面向量平行的坐标表示及其应用问题，是基础题目．
3.【答案】
【解析】解：函数是奇函数，
则，，
故可取的一个值为．
故选：．
根据已知条件，结合奇函数的定义，即可求解．
本题主要考查奇函数的定义，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：在中，若，
则，即为，可得，
故的形状是直角三角形．
故选：．
运用余弦定理和勾股定理的逆定理，可得三角形的形状．
本题考查三角形的形状的判断，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
则．
故选：．
由已知利用二倍角公式可求的值，进而利用诱导公式化简所求即可得解．
本题考查了二倍角公式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了正切函数的图象与性质，是基础题．
根据正切函数的图象与性质，结合绝对值的意义，对选项中的结论进行判断即可．
【解答】
解：对于函数，根据该函数的图象与性质知，其最小正周期为，A错误；
又，所以是定义域上的偶函数，B正确；
根据函数的图象与性质知，的图象关于直线对称，C正确；
根据的图象与性质知，在每一个区间内单调递增，D正确．
故选：．

7.【答案】
【解析】解：画出图形如图，
，它的几何意义是的长度与在向量的投影的乘积，显然，在处时，取得最大值，，可得，最大值为，
在处取得最小值，，最小值为，
是边长为的正六边形内的一点，
所以的取值范围是．
故选：．
画出图形，结合向量的数量积转化判断求解即可．
本题考查向量的数量积的应用，向量在几何中的应用，是中档题．
8.【答案】
【解析】解：方法一复合函数法：令，，
则．
函数在区间上单调递增，
，．
当时，，
函数在区间恰好取一次最大值，
，．
综上所知，
故选C．
方法二特殊值法：当时，令，，
则，则函数在区间上不单调，不合题意，排除．
当时，令，，
则，则函数在区间取不到最大值，不合题意，排除．
故选：．
方法一复合函数法：根据在区间上是增函数，可得，再结合在区间上恰好取得一次最大值，得到，然后解出关于的不等式即可．
方法二特殊值法：取，可排除，取，可排除，从而得到正确选项．
本题考查了根据三角函数的单调性和最值求参数的取值范围，考查了转化思想，属中档题．
9.【答案】
【解析】解：根据零向量的定义知A正确；
B.根据向量加法的几何意义知B正确；
C.与方向不同时，，C错误；
D.，与非零向量共线，且是单位向量，D正确．
故选：．
根据零向量的定义，向量加法的几何意义即可判断，的正误；根据相等向量的定义即可判断的正误；根据向量数乘的几何意义即可判断的正误．
本题考查了零向量的定义，单位向量的定义，共线向量基本定理，相等向量的定义，考查了计算能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：：由正弦定理得，
所以，显然不存在，不符合题意；
：由正弦定理得，
所以，
因为，
所以，
故B为锐角，有一解，符合题意；
：由正弦定理可得，
所以，，则，有唯一解，故C正确；
对于，由正弦定理可得，，即，
因为，
所以，
故符合条件的角有两个，故D不正确．
故选：．
由已知结合正弦定理及三角形大边对大角分别检验各选项即可判断．
本题考查了正弦定理，三角形的边角关系，以及三角形的内角和定理，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属基础题．
11.【答案】
【解析】解：由图象可得的最大值为，即，，即，
所以，
因为，所以，
所以，因为，所以，
所以，
对于，因为，所以函数的图象关于点对称，故A正确；
对于，因为，故B错误；
对于，当时，，
所以函数在上不单调，故C错误；
对于，该图象向右平移个单位可得的图象，故D正确．
故选：．
根据图象求出的解析式，然后根据正弦函数的知识判断，根据图象的平移变换可判断．
本题主要考查由的部分图象确定其解析式，三角函数的图象和性质，三角函数的平移变换，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：由于，所以它是偶函数，故A正确；
由于，它们不相等，所以它不是周期为的周期函数，即B错误；
现在来考察这个函数在内的情况．
当时，，
当时，，
分别画出以上两个函数图象，并截取相关部分如图：
由此可知函数值域为，即选项C正确；
又由于这个函数是偶函数，它在内没有零点，而在有个零点，故D正确．
故选：．
根据函数奇偶性定义可知，，即A正确；由周期函数得定义可知，与不一定相等，故B错误；将函数写成分段函数的形式并画出函数图像可得C正确；结合以及偶函数的性质，可判断D正确．
本题主要考查了三角函数图象的变换及图象的应用，在求解含有绝对值的三角函数值域问题时，可以想尽一切办法先把绝对值去掉，然后结合其他函数性质进行求解即可．例如在判断选项时，首先可讨论时的函数解析式，画出图形；当时图像重复的图像，而时，关于轴作出对称图像即可．
13.【答案】
【解析】解：，．
故答案为：．
直接利用商的模等于模的商求解．
本题考查复数模的求法，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：，，，
，且，解得．
故答案为：．
根据条件及即可得出，从而可得出，然后根据解出的值即可．
本题考查了向量数量积的计算公式和向量数量积的运算，向量垂直的充要条件，考查了计算能力，属于基础题．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了三角函数的切化弦及辅助角公式、二倍角公式、诱导公式在化简求值中的应用，属于中档题．
利用三角函数的切化弦及辅助角公式、二倍角公式、诱导公式等对函数式化简即可求解．
【解答】
解：
．
故答案为．

16.【答案】
【解析】解：设，则，，
在中，由正弦定理可得，，
在中，由正弦定理可得，，
，其中
长度的最大值为．
故答案为：．
设，则，，利用正弦定理可得，，即可得，利用辅助角公式求解．
本题考查了正弦定理的应用，考查了方程思想、计算能力，属于中档题．
17.【答案】解：，．
，，，，
．
【解析】利用向量的坐标运算可得答案；
利用向量的夹角公式可得答案．
本题主要考查数量积表示两个向量的夹角，属于基础题．
18.【答案】解：，
故函数的最小正周期，
令，，
则，，
故函数的单调递减区间为，；
由可得，
所以，
故函数的最大值为，最小值为．
【解析】先利用二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的单调性即可求解；
由的范围先求出的范围，然后结合正弦函数的的性质可求．
本题主要考查了二倍角公式，辅助角公式的应用，还考查了正弦函数的性质的应用，属于中档题．
19.【答案】解：若选：由已知得：，
由正弦定理可得，可得，
由余弦定理可得，因为，所以．
若选：因为，
由正弦定理可得，
所以，
因为 ，所以，所以，
因为，所以．
若选：因为 ，由正弦定理得，
因为 ，所以，故可得，
即，所以，因为 ，所以；
由可得，，所以，
由余弦定理得：，
所以，又因为，解得，．
【解析】若选，首先转化，再利用正弦定理边角互化，结合余弦定理求角；
若选，首先将边化为角，再结合三角函数恒等变形，化简后求角；
若选，首先将边化为角，再利用两角差的余弦公式展开，结合辅助角公式，化简求角；
首先根据面积公式求，再结合余弦定理求，即可求解，的值．
本题主要考查解三角形，正余弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：由已知得，即，
因为，且，
所以，
故．
因为，且，
所以，
又，
所以，
所以，
因为，
所以．
【解析】由已知利用同角三角函数基本关系式即可求解．
由题意利用同角三角函数基本关系式可求，进而利用两角差的余弦公式可求的值，结合范围，即可求解的值．
本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
21.【答案】解：当时，，
到的距离为．
的面积为．
，到直线的距离为，
的面积，
设，则，
，
，，
，
当时，取得最大值．
【解析】求出和到的距离，代入面积公式得出答案；
用表示出和到的距离，得出三角形的面积关于的函数，利用三角变换求出的最大值．
本题考查了三角形的面积计算，三角恒等变换，属于中档题．
22.【答案】解：由条件，
可得：，
化简可得：，而，
所以：．
因为为中点，所以，
设，则，
又，
所以，
化简可得：，
解得：或，
又，所以，
故的面积为．
设，因为的面积为面积的一半，所以，
设，则，
又，，共线，所以设，
则，
所以：，解得：，
所以：，又，
所以：
，
又，所以化简可得：，
又，所以，
所以，当时等号成立．
【解析】根据正弦定理，余弦定理求出，的关系，求出的值即可；
根据向量的运算性质以及余弦定理求出三角形的面积即可；
求出，再根据向量的运算性质求出的解析式，求出其最小值即可．
本题考查了正弦定理，余弦定理的应用，考查向量的运算性质以及求函数最值问题，是难题．
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