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(共50张PPT)
知识回顾、引入新课
前面我们分别认识了基本立体图形的结构特征和平面表示.
1、棱柱的结构特征
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱．
知识回顾、引入新课
2、棱锥的结构特征
有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的几何体叫做棱锥．
知识回顾、引入新课
3、棱台的结构特征
有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的几何体叫做棱锥．
知识回顾、引入新课
第八章 立体几何初步
8.3 简单几何体的表面积与体积
-------棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
学习目标
XUEXIMUBIAO
1. 通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握它们的表面积与体积的公式及求法；
2.掌握与多面体相关的简单几何体的表面积与体积的求法，并能解决一些有关的实际问题；
3.通过学习逐步培养学生的转化、类比、一般化与特殊化等思想方法；提高逻辑推理、直观想象等素养和空间想象等能力.
重点难点
ZHONGDIANNANDIAN
1、棱柱、棱锥和棱台的表面积与体积公式及求法.(重点).
2、实际问题中与多面体相关的简单组合体的表面积与体积的求法.(难点).
1
研学引导
PART ONE
问题1：生产生活中，我们经常会遇见这样的问题：某产品呈棱锥状，现需对其表面进行涂色；一礼品盒呈长方体状，现需用彩纸对其进行包装．在这些实际问题中，所需涂料的多少或者彩纸的大小围成几何体的各个面的面积密切相关．为此我们引入几何体表面积这一概念．什么是几何体的表面积？如何计算几何体的表面积？
知识点一 棱柱、棱锥、棱台的表面积
多面体的表面积就是围成多面体的各个面的面积之和．
棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和．
问题2：在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？
几何体表面积
展开图
平面图形面积
空间问题
平面问题
知识点一 棱柱、棱锥、棱台的表面积
追问2.1：棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
知识点一 棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱柱侧面展开图是由若干个平行四边形组成的平面图形．
棱柱的表面积等于上、下底面面积和侧面面积的和．
知识点一 棱柱、棱锥、棱台的表面积
追问2.2：棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
棱锥的侧面展开图是由若干个三角形组成的平面图形．
棱锥的表面积等于底面面积和侧面面积的和．
知识点一 棱柱、棱锥、棱台的表面积
追问2.3：棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
侧面展开
棱台的侧面展开图是由若干个梯形组成的平面图形．
棱台的表面积等于上、下底面面积和侧面面积的和．
棱柱的侧面展开图是由平行四边形组成的平面图形，棱锥的侧面展开图是由三角形组成的平面图形，棱台的侧面展开图是由梯形组成的平面图形.
知识点一 棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和．
这样，求它们的表面积的问题就可转化为求平行四边形、三角形、梯形的面积问题.
2
例题精讲
PART TWO
例1.(教材P114)四面体P-ABC的各棱长均为a，求它的表面积 ．
正四面体：各棱长都相等的四面体.
因此，四面体P-ABC的表面积
通过例1我们可得：求几何体的表面积首先是要弄清楚几何体的结构特征，它的每个面是哪个平面图形，然后我们再根据平面图形的面积公式来求它的面积．最后再将各个面的面积相加就是几何体的表积．其中侧面的展开图是关键，我们要弄清楚它的形状以及各几何量的大小．从而将空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题最基本的、常用的方法．
小结与反思
1-1、（金太阳导学案P112题）已知正三棱柱的底面边长为1,侧棱长为2,则它的侧面积为_______,表面积为_______．
课堂检测
1-1、（金太阳导学案P112题）已知正三棱台的上、下底面边长分别为为2和4,高为1,则它的侧面积为_______,表面积为_______．
课堂检测
求棱柱、棱台的表面积首先是要弄清楚棱柱、棱台的结构特征，它的上、下底面是哪个平面图形，侧面梯形的高怎么计算，然后我们再根据平面图形的面积公式来求它的面积．最后再将各个面的面积相加就是棱柱、棱台的表面积．
小结与反思
高度没变，每页纸的面积没变，体积没变．
问题3：一摞书，当改变摆放书的形式时，这摞书的总体积是否会改变？由此能得到有关体积的什么结论？
知识点二 棱柱、棱锥、棱台的体积
问题3：一摞书，当改变摆放书的形式时，这摞书的总体积是否会改变？由此能得到有关体积的什么结论？
知识点二 棱柱、棱锥、棱台的体积
我国古代对几何体的体积研究，取得了光辉的成就，并建立了完整的理论体系．这个理论的基础是：祖暅原理．
祖暅（5世纪-6世纪），祖冲之之子，南北朝时期的伟大科学家．于5世纪末提出了下面的体积计算公式即著名的祖暅原理．
幂势既同，则积不容异：
知识点二 棱柱、棱锥、棱台的体积
这就是说，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．
我们注意到棱柱被平行与底面的平面所截时，得到的截面与底面全等，因此截面面积一定等于底面面积，从而由祖暅原理可知，底面面积相等，高相等的两个棱柱，体积相等．
问题4：还记得以前学过的特殊棱柱——正方体、长方体的体积公式吗？
你能由长方体体积的算法，推出求其它棱柱体积的算法吗？
知识点二 棱柱、棱锥、棱台的体积
V正方体=6a3(a为正方体的棱长)
V长方体=abc(a、b、c为长方体的长、宽、高)
V棱柱=Sh
一般地，如果棱柱的底面积是S，高是h,那么这个棱柱的体积：
棱柱的体积等于它的底面积乘高.
问题4：由祖暅原理可知，底面面积相等，高相等的两个棱锥，体积相等．那么如果棱锥的底面积是S，高为h，则棱锥的体积公式是什么？
知识点一 棱柱、棱锥、棱台的体积
C
C′
B
A
B′
A′
A′
A
C
B
1
+
A′
B′
C
B
2
A′
C′
B′
C
3
+
+
C
C′
B
A
B′
A′
问题4：由祖暅原理可知，底面面积相等，高相等的两个棱锥，体积相等．那么如果棱锥的底面积是S，高为h，则棱锥的体积公式是什么？
知识点一 棱柱、棱锥、棱台的体积
A′
A
C
B
1
A′
B′
C
B
2
因为棱锥1、2的底面积相等，即:
高也相等，即:点C到平面A′ABB′.
所以棱锥1、2的体积相等.
C
C′
B
A
B′
A′
问题4：由祖暅原理可知，底面面积相等，高相等的两个棱锥，体积相等．那么如果棱锥的底面积是S，高为h，则棱锥的体积公式是什么？
知识点一 棱柱、棱锥、棱台的体积
A′
B′
C
B
2
因为棱锥2、3的底面积相等，即:
高也相等，即:点A′到平面B′BCC′.
所以棱锥2、3的体积相等.
A′
C′
B′
C
3
问题4：由祖暅原理可知，底面面积相等，高相等的两个棱锥，体积相等．那么如果棱锥的底面积是S，高为h，则棱锥的体积公式是什么？
知识点一 棱柱、棱锥、棱台的体积
C
C′
B
A
B′
A′
A′
A
C
B
1
+
A′
B′
C
B
2
A′
C′
B′
C
3
+
+
因此，一般地，如果棱锥的底面面积为S，高为h，那么该棱锥的体积
问题4：由祖暅原理可知，底面面积相等，高相等的两个棱锥，体积相等．那么如果棱锥的底面积是S，高为h，则棱锥的体积公式是什么？
知识点一 棱柱、棱锥、棱台的体积
三棱锥的体积等于它的底面积乘高的积的三分之一.
问题4：设棱台的上、下底面面积分别为S ′ ，S ，高为h，因为棱台可看成一个大棱锥截去一个小棱锥得到，所以棱台的体积可以通过计算棱锥的体积之差来得到．
知识点一 棱柱、棱锥、棱台的体积
知识点一 棱柱、棱锥、棱台的体积
几何体 棱柱 棱锥 棱台
直 观 图
体 积
知识点一 棱柱、棱锥、棱台的体积
问题5：观察棱柱、棱锥、棱台的体积公式，它们之间有什么关系？你能用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗？
知识点一 棱柱、棱锥、棱台的体积
当棱台的上底面扩大到和下底面相等时就变成了棱柱；当棱台的上底面缩小到一个点时，就变成了棱锥.
2
例题精讲
PART TWO
　　例2、（教材P115例题2） 如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5 m，公共面ABCD是边长为1 m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米（精确到0.01 m3）？
解：
如右下图，由题意知
V长方体ADCD-A'B'C'D'=1×1×0.5=0.5(m3)，
V棱锥P-ABCD=
×1×1×0.5=
(m3)
所以这个漏斗的容积
V=0.5+ =
(m3)
求组合体的体积时，要注意组合体的结构特征，可采用“割补法”转化为简单几何体（如棱柱、棱锥、棱台等），求解往往会取到更佳的效果再根据每个简单几何体的体积公式来计算．求棱柱、棱锥、棱台的体积时要注意底面面积和高的计算．
小结与反思
例3、（教材P119习题8.3：2题）如图，将一个长方体ABCD-A 1B 1C 1D1 ′ 沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥B-A 1B 1C 1， 求棱锥B-A 1B 1C1的体积与剩下的几何体体积的比．
C
C1
B
A
B1
A1
D1
D
本题是几何体的分割问题，解答时可先求出整个长方体的体积，再求出截下的三棱锥的体积，从而求出剩余部分的体积．还可以利用“等积法”转化几何体的底面和高，使得计算简单.
小结与反思
在求几何体的体积时，必须先确定底面面积和高，然后运用体积公式，应注意到平面图形的应用．
3-1、如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，求三棱锥A-DED1的体积．
课堂检测
例4、正四棱锥底面边长为4cm，高与斜高的夹角是30o，求正四棱锥的表面积和体积．
B
A
C
D
P
O
E
要计算正四棱锥的表面积和体积关键是要弄清楚：底面面积是正方形，侧面是四个全等的等腰三角形，利用平面直角三角形求出正四棱锥的高和斜高，然后再利用表面积和体积计算公式求出表面积和体积．
小结与反思
例5、（金太阳P1142题）正四棱台的上、下底面边长分别是20cm和10cm，侧棱长是8cm，求它的体积．
分析：正四棱台的上底面和下底面均为正方形，侧面是由四个等腰梯形组成的．
要计算棱台的体积关键是要弄清楚棱台的五个基本量（上、下底面边长、高、斜高、侧棱），然后将基本量转化到直角三角形中求解，最后再代入体积公式求出体积．
小结与反思
5-1、（金太阳P1141题）已知高为3的三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面边长为1的正三角形，如图所示，则三棱锥B 1-A B C 求它的体积．
课堂检测
课堂练习
教材P104练习
课堂小结
3
PARTTHREE
计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和．求它们的侧面积关键是要弄清楚侧面展开图的形状及各几何量的大小．
一、棱柱、棱锥、棱台的表面积
二、棱柱、棱锥、棱台的体积
（1）公式法：直接根据相关的体积公式计算；
（2）等积法：转化几何体的底面和高，使得计算简单；
（3）割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形，转化为可计算体积的几何体．
三、求体积的常用方法
4
课后作业
PART FOUR
教材P119 ：习题8.3：1、3、6、7题;

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