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(共85张PPT)
§8.6　双曲线
第八章　直线和圆、圆锥曲线
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.
2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率).
3.了解双曲线的简单应用.
考试要求
内容索引
第一部分
第二部分
第三部分
落实主干知识
探究核心题型
课时精练
落实主干知识
第
一
部
分
1.双曲线的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的________等于非零常数(______
|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的______，两焦点间的距离叫做双曲线的______.
绝对值
小于
焦点
焦距
标准方程 ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0)
图形
性质 焦点 _________________ ____________________
焦距 ___________
2.双曲线的标准方程和简单几何性质
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
|F1F2|＝2c
性质 范围 _______或______，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R
对称性 对称轴：_______；对称中心：______
顶点 _________________ ____________________
轴 实轴：线段_______，长：____；虚轴：线段B1B2， 长：_____，实半轴长：___，虚半轴长：___
渐近线 ________
___________
x≤－a
x≥a
坐标轴
原点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
A1A2
2a
2b
a
b
性质 离心率 e＝ ∈_________
a，b，c的关系 c2＝_______(c>a>0，c>b>0)
(1，＋∞)
a2＋b2
1.双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
2.若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.(　 　)
√
×
×
√
A.－15
C.k<－1 D.k≠－1或5
√
若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，
√
2.双曲线2y2－x2＝1的渐近线方程是
17
根据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8，
因为|PF1|＝9，
所以|PF2|＝1或17.
又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17.
探究核心题型
第
二部
分
例1　(1)(2022·洛阳模拟)在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(－3,0)，B(3,0)，其内切圆圆心在直线x＝2上，则顶点C的轨迹方程为
题型一
双曲线的定义及应用
√
如图，设△ABC与圆的切点分别为D，E，F，
则有|AD|＝|AE|＝5，|BF|＝|BE|＝1，|CD|＝|CF|，
所以|CA|－|CB|＝5－1＝4.
根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，
实轴长为4的双曲线的右支(右顶点除外)，
即c＝3，a＝2，又c2＝a2＋b2，所以b2＝5，
(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为______.
不妨设点P在双曲线的右支上，
在△F1PF2中，由余弦定理，得
∴|PF1|·|PF2|＝8，
在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系.
思维升华
跟踪训练1　(1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为
√
设动圆M的半径为r，由动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，
得|MC1|＝1＋r，|MC2|＝3＋r，
|MC2|－|MC1|＝2<6，
所以动圆圆心M的轨迹是以点C1(－3,0)和C2(3,0)为焦点的双曲线的左支，
且2a＝2，解得a＝1，又c＝3，
则b2＝c2－a2＝8，
(2)已知双曲线C： ＝1的左焦点为F1，M为双曲线C右支上任意一点，D点的坐标为(3,1)，则|MD|－|MF1|的最大值为
A.3 B.1
C.－3 D.－2
√
由题意知双曲线C的实半轴长a＝2，设右焦点为F2(3,0)，
当且仅当M为DF2的延长线与双曲线交点时取等号.
题型二
双曲线的标准方程
√
√
求双曲线的标准方程的方法
(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2.
思维升华
√
解得a＝2，c＝4，
(2)(2023·廊坊模拟)江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在x轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是
√
由题意可知该双曲线的焦点在x轴上，实轴长为4，点(4,3)在该双曲线上.
命题点1　渐近线
题型三
双曲线的几何性质
－3
4x2－y2＝1
方法二　由题可设双曲线方程为4x2－y2＝λ(λ≠0)，
∴双曲线方程为4x2－y2＝1.
思维升华
命题点2　离心率
例4　(1)(2021·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为
√
设|PF2|＝m，则|PF1|＝3m，
在△F1PF2中，
意值均可)
思维升华
√
√
√
√
√
对于A，因为00，k－1<0，
课时精练
第
三部
分
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√
基础保分练
2.“mn<0”是“方程mx2＋ny2＝1表示双曲线”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
√
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因为方程mx2＋ny2＝1表示双曲线，所以mn<0，
又当mn<0时，方程mx2＋ny2＝1表示双曲线，
因此“mn<0”是“方程mx2＋ny2＝1表示双曲线”的充要条件.
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∵2a＝4，∴a2＝4，
当m>0时，2m＝4，m＝2；
当m<0时，－m＝4，m＝－4.
4.(2022·南通模拟)方程x2＋(cos θ)y2＝1，θ∈(0，π)表示的曲线不可能为
A.两条直线 B.圆
C.椭圆 D.双曲线
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因为θ∈(0，π)，所以cos θ∈(－1,1)，
所以当cos θ∈(－1,0)时，方程x2＋(cos θ)y2＝1表示双曲线；
当cos θ＝0时，方程x2＋(cos θ)y2＝1表示两条直线x＝±1；
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如图所示，
因为|PM|＝|MF1|，
即M为PF1中点，O为F1F2中点，
所以OM∥PF2，
因为OM⊥F1F2，
所以PF2⊥F1F2，
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又|F1F2|＝2c，∠PF1F2＝30°，
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所以c2＝3a2，
所以b2＝c2－a2＝2a2，
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由题意得m>0，
解得m＝9.
(1)若双曲线C的一条渐近线方程为y＝2x，求双曲线C的标准方程；
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所以b＝2，
(2)设双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C上，若PF1⊥PF2，且△PF1F2的面积为9，求b的值.
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因为PF1⊥PF2，
因为△PF1F2的面积为9，
所以|PF1|·|PF2|＝18，
又因为||PF1|－|PF2||＝2a＝2，
所以|PF1|2－2|PF1|·|PF2|＋|PF2|2＝4，
所以|PF1|2＋|PF2|2＝40，
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又因为|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，
所以c2＝10，
由a2＋b2＝c2，得1＋b2＝10，
所以b＝3.
(1)求双曲线C的方程；
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(2)求双曲线C的实轴长、离心率、焦点到渐近线的距离.
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综合提升练
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∴焦距2c＝4.
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过点A作AF⊥x轴，垂足为F，过点B作BE⊥x轴，垂足为E，如图所示.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|OB|＝|OF2|＝c，
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拓展冲刺练
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如图，
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M的坐标为(2,3)，S△OMN＝6.
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14.(2023·广州模拟)从某个角度观察篮球(如图1)，可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮廓为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，且
|AB|＝|BC|＝|CD|，则该双曲线的离心率为________.
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14§8.6　双曲线
考试要求　1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率).3.了解双曲线的简单应用．
知识梳理
1．双曲线的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
2．双曲线的标准方程和简单几何性质
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
图形
性质 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 |F1F2|＝2c
范围 x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)
轴 实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b，实半轴长：a，虚半轴长：b
渐近线 y＝±x y＝±x
离心率 e＝∈(1，＋∞)
a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)
常用结论
1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
2．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为.
4．若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则＝，其中θ为∠F1PF2.
5．与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(　×　)
(2)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．(　×　)
(3)双曲线－＝1(m>0，n>0)的渐近线方程是±＝0.(　√　)
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.(　√　)
教材改编题
1．已知曲线C的方程为＋＝1(k∈R)，若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是(　　)
A．－15
C．k<－1 D．k≠－1或5
答案　C
解析　若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，
则解得k<－1.
2．双曲线2y2－x2＝1的渐近线方程是(　　)
A．y＝±x B．y＝±2x
C．y＝±x D．y＝±x
答案　C
解析　依题意知，双曲线－x2＝1的焦点在y轴上，实半轴长a＝，虚半轴长b＝1，
所以双曲线2y2－x2＝1的渐近线方程是y＝±x.
3．设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝________.
答案　17
解析　根据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8，
因为|PF1|＝9，
所以|PF2|＝1或17.
又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17.
题型一　双曲线的定义及应用
例1 (1)(2022·洛阳模拟)在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(－3,0)，B(3,0)，其内切圆圆心在直线x＝2上，则顶点C的轨迹方程为(　　)
A.－＝1(x>2)
B.－＝1(x>3)
C.＋＝1(0D.＋＝1(0答案　A
解析　如图，设△ABC与圆的切点分别为D，E，F，
则有|AD|＝|AE|＝5，|BF|＝|BE|＝1，|CD|＝|CF|，
所以|CA|－|CB|＝5－1＝4.
根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为4的双曲线的右支(右顶点除外)，
即c＝3，a＝2，又c2＝a2＋b2，所以b2＝5，
所以顶点C的轨迹方程为－＝1(x>2)．
(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为______．
答案　2
解析　不妨设点P在双曲线的右支上，
则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，
在△F1PF2中，由余弦定理，得
cos∠F1PF2＝＝，
∴|PF1|·|PF2|＝8，
∴＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝2.
思维升华　在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．
跟踪训练1　(1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)
A．x2－＝1 B.－y2＝1
C．x2－＝1(x≤－1) D．x2－＝1(x≥1)
答案　C
解析　设动圆M的半径为r，由动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，
得|MC1|＝1＋r，|MC2|＝3＋r，
|MC2|－|MC1|＝2<6，
所以动圆圆心M的轨迹是以点C1(－3,0)和C2(3,0)为焦点的双曲线的左支，
且2a＝2，解得a＝1，又c＝3，
则b2＝c2－a2＝8，
所以动圆圆心M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．
(2)已知双曲线C：－＝1的左焦点为F1，M为双曲线C右支上任意一点，D点的坐标为(3,1)，则|MD|－|MF1|的最大值为(　　)
A．3 B．1 C．－3 D．－2
答案　C
解析　由题意知双曲线C的实半轴长a＝2，设右焦点为F2(3,0)，
所以|MD|－|MF1|＝|MD|－(|MF2|＋2a) ＝(|MD|－|MF2|)－2a≤|F2D|－2a＝－4＝－3，
当且仅当M为DF2的延长线与双曲线交点时取等号．
题型二　双曲线的标准方程
例2　(1)(2021·北京)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)过点(，)，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为(　　)
A．x2－＝1 B.－y2＝1
C．x2－＝1 D.－y2＝1
答案　A
解析　由e＝＝2，
得c＝2a，b＝＝a，
则双曲线的方程为－＝1，
将点(，)的坐标代入双曲线的方程可得－＝＝1，解得a＝1，故b＝，因此双曲线的标准方程为x2－＝1.
(2)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为2，点P(2,1)在C的一条渐近线上，则双曲线C的标准方程为(　　)
A.－y2＝1 B．x2－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案　A
解析　因为焦距为2，所以半焦距为，故a2＋b2＝5，
因为P(2,1)在C的一条渐近线上，故×2＝1，解得a＝2，b＝1，
故双曲线C的标准方程为－y2＝1.
思维升华　求双曲线的标准方程的方法
(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2.
(2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为－＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．
跟踪训练2　(1)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，左焦点到渐近线的距离为2，则双曲线的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案　A
解析　易知双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为ay＝±bx，由C的左焦点(－c,0)到其渐近线的距离是2，可得＝b＝2，则b2＝12，
由双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，得e＝＝2，又c2＝a2＋b2，
解得a＝2，c＝4，
则双曲线的方程为－＝1.
(2)(2023·廊坊模拟)江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永．现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在x轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是(　　)
A.－＝1 B.－y2＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案　D
解析　由题意可知该双曲线的焦点在x轴上，实轴长为4，点(4,3)在该双曲线上．
设该双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，
则解得
故该双曲线的标准方程是－＝1.
题型三　双曲线的几何性质
命题点1　渐近线
例3　(1)(2022·北京)已知双曲线y2＋＝1的渐近线方程为y＝±x，则m＝________.
答案　－3
解析　方法一　依题意得m<0，双曲线的方程化为标准方程为y2－＝1，此时双曲线的渐近线的斜率为±＝±，解得m＝－3.
方法二　依题意得m<0，令y2－＝0，得y＝±x，则±＝±，解得m＝－3.
(2)(2022·连云港模拟)若双曲线经过点(1，)，其渐近线方程为y＝±2x，则双曲线的方程是________．
答案　4x2－y2＝1
解析　方法一　由题意可知，①若双曲线的焦点在x轴上，则可设－＝1(a>0，b>0)，则－＝1且＝2，联立解得a＝，b＝1，则双曲线的方程为4x2－y2＝1；
②若双曲线的焦点在y轴上，则可设－＝1(a>0，b>0)，则－＝1，且＝2，此时无解，综上，双曲线的方程为4x2－y2＝1.
方法二　由题可设双曲线方程为4x2－y2＝λ(λ≠0)，
∵双曲线经过点(1，)，
∴λ＝4×12－()2＝1，
∴双曲线方程为4x2－y2＝1.
思维升华　(1)渐近线的求法：求双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令－＝0，即得两渐近线方程±＝0.
(2)在双曲线的几何性质中，重点是渐近线方程和离心率，在双曲线－＝1(a>0，b>0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±，满足关系式e2＝1＋k2.
命题点2　离心率
例4　(1)(2021·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　设|PF2|＝m，则|PF1|＝3m，
在△F1PF2中，
|F1F2|＝
＝m，
所以C的离心率e＝＝＝
＝＝.
(2)(2022·全国甲卷)记双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为e，写出满足条件“直线y＝2x与C无公共点”的e的一个值________．
答案　2((1，]内的任意值均可)
解析　双曲线C的渐近线方程为y＝±x，若直线y＝2x与双曲线C无公共点，
则2≥，∴≤4，∴e2＝＝1＋≤5，
又e＞1，∴e∈(1，]，
∴填写(1，]内的任意值均可．
思维升华　求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围)．
跟踪训练3　(1)(多选)(2022·南京模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线的夹角为，则此双曲线的离心率为(　　)
A．2 B. C. D.
答案　AC
解析　∵双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，
∴由双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线的夹角为，
可得＝tan ＝或＝tan ＝.
∴双曲线的离心率为e＝＝，
即e＝2或.
(2)(多选)(2023·聊城模拟)已知双曲线C：＋＝1(0A．双曲线C的焦点在x轴上
B．双曲线C的焦距等于4
C．双曲线C的焦点到其渐近线的距离等于
D．双曲线C的离心率的取值范围为
答案　ACD
解析　对于A，因为00，k－1<0，
所以双曲线C：－＝1(0对于B，由A知a2＝9－k，b2＝1－k，所以c2＝a2＋b2＝10－2k，所以c＝，
所以双曲线C的焦距等于2c＝2(0对于C，设焦点在x轴上的双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)，焦点坐标为(±c,0)，则渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，
所以焦点到渐近线的距离d＝＝b，
所以双曲线C：－＝1(0对于D，双曲线C的离心率e＝＝＝，
因为0课时精练
1．(2022·宜昌模拟)双曲线－＝λ(λ>0)的离心率为(　　)
A. B. C.或 D.
答案　B
解析　因为λ>0，所以－＝1，所以双曲线焦点在x轴上，所以a2＝2λ，b2＝4λ，c2＝a2＋b2＝6λ，所以离心率为＝＝＝.
2. “mn<0”是“方程mx2＋ny2＝1表示双曲线”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　C
解析　因为方程mx2＋ny2＝1表示双曲线，所以mn<0，
又当mn<0时，方程mx2＋ny2＝1表示双曲线，
因此“mn<0”是“方程mx2＋ny2＝1表示双曲线”的充要条件．
3．已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为(　　)
A.－＝1
B.－＝1或－＝1
C.－＝1
D.－＝1或－＝1
答案　D
解析　设双曲线方程为－＝1(m≠0)，
∵2a＝4，∴a2＝4，
当m>0时，2m＝4，m＝2；
当m<0时，－m＝4，m＝－4.
故所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
4．(2022·南通模拟)方程x2＋(cos θ)y2＝1，θ∈(0，π)表示的曲线不可能为(　　)
A．两条直线 B．圆
C．椭圆 D．双曲线
答案　B
解析　因为θ∈(0，π)，所以cos θ∈(－1,1)，
所以当cos θ∈(－1,0)时，方程x2＋(cos θ)y2＝1表示双曲线；
当cos θ＝0时，方程x2＋(cos θ)y2＝1表示两条直线x＝±1；
当cos θ∈(0,1)时，方程x2＋(cos θ)y2＝1可化为x2＋＝1，
因为>1，所以方程表示焦点在y轴上的椭圆．
5．(多选)(2023·唐山模拟)已知F1，F2为双曲线C：－x2＝1的两个焦点，P为双曲线C上任意一点，则(　　)
A．|PF1|－|PF2|＝2
B．双曲线C的渐近线方程为y＝±x
C．双曲线C的离心率为
D．|＋|≥2
答案　CD
解析　双曲线C：－x2＝1焦点在y轴上，a＝，b＝1，c＝＝2.
对于A选项，||PF1|－|PF2||＝2a＝2，而P点在哪支上并不确定，故A错误；
对于B选项，焦点在y轴上的双曲线C的渐近线方程为y＝±x＝±x，故B错误；
对于C选项，e＝＝＝，故C正确；
对于D选项，设P(x，y)(x∈R)，则|PO|＝＝＝≥(当且仅当x＝0时取等号)，
因为O为F1F2的中点，所以|＋|＝|2|＝2||≥2，故D正确．
6．(多选)已知F1，F2是双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1作倾斜角为30°的直线分别交y轴与双曲线右支于点M，P，|PM|＝|MF1|，下列判断正确的是(　　)
A．∠PF2F1＝60°
B．|MF2|＝|PF1|
C．E的离心率等于
D．E的渐近线方程为y＝±x
答案　BCD
解析　如图所示，
因为|PM|＝|MF1|，
即M为PF1中点，O为F1F2中点，
所以OM∥PF2，
因为OM⊥F1F2，
所以PF2⊥F1F2，
所以∠PF2F1＝90°，|MF2|＝|PF1|，故A错误，B正确；
由PF2⊥F1F2知，|PF2|＝，
又|F1F2|＝2c，∠PF1F2＝30°，
所以＝2c，
即(c2－a2)＝2ac，
所以e2－2e－＝0，
解得e＝(负值舍去)，故C正确；
因为e＝＝，
所以c2＝3a2，
所以b2＝c2－a2＝2a2，
所以＝，
所以E的渐近线方程为y＝±x，故D正确．
7．(2021·新高考全国Ⅱ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，则该双曲线C的渐近线方程为________．
答案　y＝±x
解析　因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，
所以e＝＝＝＝2，所以＝3，
所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
8．若F1，F2分别是双曲线－＝1的左、右焦点，AB是双曲线左支上过点F1的弦，且|AB|＝4，△ABF2的周长是20，则m＝________.
答案　9
解析　由题意得m>0，
根据双曲线定义得|AF2|－|AF1|＝2a＝2，|BF2|－|BF1|＝2a＝2，
上述两式相加得(|AF2|＋|BF2|)－(|AF1|＋|BF1|)＝4，
即|AF2|＋|BF2|－|AB|＝4，
即|AF2|＋|BF2|－4＝4，
∴|AF2|＋|BF2|＝4＋4，
∴△ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4＋4＋4＝20，
解得m＝9.
9．已知双曲线C：x2－＝1(b>0)．
(1)若双曲线C的一条渐近线方程为y＝2x，求双曲线C的标准方程；
(2)设双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C上，若PF1⊥PF2，且△PF1F2的面积为9，求b的值．
解　(1)因为双曲线C：x2－＝1(b>0)的渐近线方程为y＝±bx，而它的一条渐近线方程为y＝2x，
所以b＝2，
所以双曲线C的标准方程为x2－＝1.
(2)因为PF1⊥PF2，
所以＝|PF1|·|PF2|，
因为△PF1F2的面积为9，
所以|PF1|·|PF2|＝18，
又因为||PF1|－|PF2||＝2a＝2，
所以|PF1|2－2|PF1|·|PF2|＋|PF2|2＝4，
所以|PF1|2＋|PF2|2＝40，
又因为|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，
所以c2＝10，
由a2＋b2＝c2，得1＋b2＝10，
所以b＝3.
10．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)与双曲线－＝1有相同的渐近线，且经过点M(，－)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)求双曲线C的实轴长、离心率、焦点到渐近线的距离．
解　(1)在双曲线－＝1中，a′＝2，b′＝，
则渐近线方程为y＝±x＝±x，
∵双曲线C：－＝1与双曲线－＝1有相同的渐近线，
∴＝，
∴方程可化为－＝1，
又双曲线C经过点M(，－)，代入方程得
－＝1，解得a＝1，故b＝，
∴双曲线C的方程为x2－＝1.
(2)由(1)知双曲线C的方程为x2－＝1，
∵a＝1，b＝，c＝，
∴实轴长2a＝2，离心率为e＝＝，
设双曲线C的一个焦点为(－，0)，一条渐近线方程为y＝x，
∴d＝＝，
即焦点到渐近线的距离为.
11．中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C与椭圆＋＝1有相同的焦距，一条渐近线方程为x－y＝0，则C的方程为(　　)
A.－y2＝1或y2－＝1
B．x2－＝1或y2－＝1
C.－y2＝1或－x2＝1
D．x2－＝1或－x2＝1
答案　A
解析　在椭圆＋＝1中，c＝＝2，
∴焦距2c＝4.
∵C的一条渐近线方程为x－y＝0，
∴设C的方程为－y2＝λ(λ≠0)，化为标准方程为－＝1.
当λ>0时，c＝＝2，解得λ＝1，则C的方程为－y2＝1；
当λ<0时，c＝＝2，解得λ＝－1，则C的方程为y2－＝1.
综上，C的方程为－y2＝1或y2－＝1.
12．(2022·徐州模拟)已知F1，F2分别是双曲线C：－＝1的左、右焦点，以线段F1F2为直径的圆与双曲线及其渐近线在第一象限分别交于A，B两点，若A，B两点的横坐标之比是∶，则该双曲线的离心率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　过点A作AF⊥x轴，垂足为F，过点B作BE⊥x轴，垂足为E，如图所示．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|OB|＝|OF2|＝c，
由渐近线的方程y＝x可知y2＝x2，
在Rt△OBE中，x＋x＝c2，解得x2＝a(舍负)，
由已知得x1∶x2＝∶，即x1＝a，即|AF|2＝c2－2＝c2－a2，
因为离心率e>，
所以c2－a2>0，
则点A的坐标为，
代入双曲线方程可得－＝1，化简得2a2＝c2，即e＝.
13．(多选)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦点在圆O：x2＋y2＝13上，圆O与双曲线C的渐近线在第一、二象限分别交于点M，N，点E(0，a)满足＋＋＝0(其中O为坐标原点)，则下列结论正确的是(　　)
A．双曲线C的一条渐近线方程为3x－2y＝0
B．双曲线C的离心率为
C．||＝1
D．△OMN的面积为6
答案　ABD
解析　如图，
设双曲线C的焦距为2c＝2，MN与y轴交于点P，
由题意可知|OM|＝c＝，
则P(0，b)，由＋＋＝0，得点E为△OMN的重心，可得|OE|＝|OP|，
即a＝b，＝＝，
所以a＝2，b＝3，e＝.
所以双曲线C的渐近线方程为3x±2y＝0，||＝2，
M的坐标为(2,3)，S△OMN＝6.
14．(2023·广州模拟)从某个角度观察篮球(如图1)，可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮廓为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，且|AB|＝|BC|＝|CD|，则该双曲线的离心率为________．
答案　
解析　如图，设圆O的半径为r，双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
因为|AB|＝|BC|＝|CD|，所以a＝，
由题意可知E，代入方程－＝1，得－＝1，
解得b2＝，所以e＝＝＝.§8.6　双曲线
考试要求　1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率).3.了解双曲线的简单应用．
知识梳理
1．双曲线的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的__________等于非零常数(________|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的________，两焦点间的距离叫做双曲线的________．
2．双曲线的标准方程和简单几何性质
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
图形
性质 焦点
焦距
范围 ________或________，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R
对称性 对称轴：________； 对称中心：________
顶点
轴 实轴：线段________，长：________；虚轴：线段B1B2，长：__________，实半轴长：________，虚半轴长：________
渐近线
离心率 e＝∈________
a，b，c的关系 c2＝________ (c>a>0，c>b>0)
常用结论
1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
2．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为.
4．若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则＝，其中θ为∠F1PF2.
5．与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(　　)
(2)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．(　　)
(3)双曲线－＝1(m>0，n>0)的渐近线方程是±＝0.(　　)
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.(　　)
教材改编题
1．已知曲线C的方程为＋＝1(k∈R)，若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是(　　)
A．－15
C．k<－1 D．k≠－1或5
2．双曲线2y2－x2＝1的渐近线方程是(　　)
A．y＝±x B．y＝±2x
C．y＝±x D．y＝±x
3．设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝________.
题型一　双曲线的定义及应用
例1 (1)(2022·洛阳模拟)在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(－3,0)，B(3,0)，其内切圆圆心在直线x＝2上，则顶点C的轨迹方程为(　　)
A.－＝1(x>2) B.－＝1(x>3)
C.＋＝1(0(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为______．
听课记录：______________________________________________________________
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思维升华 在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．
跟踪训练1 (1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)
A．x2－＝1 B.－y2＝1
C．x2－＝1(x≤－1) D．x2－＝1(x≥1)
(2)已知双曲线C：－＝1的左焦点为F1，M为双曲线C右支上任意一点，D点的坐标为(3,1)，则|MD|－|MF1|的最大值为(　　)
A．3 B．1 C．－3 D．－2
题型二　双曲线的标准方程
例2 (1)(2021·北京)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)过点(，)，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为(　　)
A．x2－＝1 B.－y2＝1
C．x2－＝1 D.－y2＝1
(2)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为2，点P(2,1)在C的一条渐近线上，则双曲线C的标准方程为(　　)
A.－y2＝1 B．x2－＝1
C.－＝1 D.－＝1
听课记录：______________________________________________________________
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思维升华 求双曲线的标准方程的方法
(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2.
(2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为－＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．
跟踪训练2 (1)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，左焦点到渐近线的距离为2，则双曲线的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
(2)(2023·廊坊模拟)江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永．现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在x轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是(　　)
A.－＝1 B.－y2＝1
C.－＝1 D.－＝1
题型三　双曲线的几何性质
命题点1　渐近线
例3 (1)(2022·北京)已知双曲线y2＋＝1的渐近线方程为y＝±x，则m＝________.
(2)(2022·连云港模拟)若双曲线经过点(1，)，其渐近线方程为y＝±2x，则双曲线的方程是________________．
听课记录：______________________________________________________________
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思维升华 (1)渐近线的求法：求双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令－＝0，即得两渐近线方程±＝0.
(2)在双曲线的几何性质中，重点是渐近线方程和离心率，在双曲线－＝1(a>0，b>0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±，满足关系式e2＝1＋k2.
命题点2　离心率
例4 (1)(2021·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
(2)(2022·全国甲卷)记双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为e，写出满足条件“直线y＝2x与C无公共点”的e的一个值________．
听课记录：______________________________________________________________
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思维升华 求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围)．
跟踪训练3 (1)(多选)(2022·南京模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线的夹角为，则此双曲线的离心率为(　　)
A．2 B. C. D.
(2)(多选)(2023·聊城模拟)已知双曲线C：＋＝1(0A．双曲线C的焦点在x轴上
B．双曲线C的焦距等于4
C．双曲线C的焦点到其渐近线的距离等于
D．双曲线C的离心率的取值范围为

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