资源简介

(共77张PPT)
§8.7　抛物线
第八章　直线和圆、圆锥曲线
1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程.
2.掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).
3.了解抛物线的简单应用.
考试要求
内容索引
第一部分
第二部分
第三部分
落实主干知识
探究核心题型
课时精练
落实主干知识
第
一
部
分
1.抛物线的概念
把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离______的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的______，直线l叫做抛物线的_____.
相等
焦点
准线
标准 方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图形
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
2.抛物线的标准方程和简单几何性质
焦点 _______ ________ _______
________
准线 方程 _________ _______ __________
_______
对称轴 _____ _____
顶点 ______
离心率 e＝___
x轴
y轴
(0,0)
1
1.通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线.(　 　)
(2)方程y＝4x2表示焦点在x轴上的抛物线，焦点坐标是(1,0).(　 　)
(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.(　 　)
(4)以(0,1)为焦点的抛物线的标准方程为x2＝4y.(　 　)
×
×
√
×
√
2.过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于
A.9 B.8
C.7 D.6
√
抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，
|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1
＝x1＋x2＋2＝8.
3.抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(3，y)到焦点F的距离|MF|＝4，则抛物线的方程为
A.y2＝8x B.y2＝4x
C.y2＝2x D.y2＝x
√
探究核心题型
第
二部
分
例1　(1)(2022·全国乙卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|等于
题型一
抛物线的定义及应用
√
方法一　由题意可知F(1,0)，抛物线的准线方程为x＝－1.
因为|BF|＝3－1＝2，
解得y0＝±2，所以A(1,2)或A(1，－2).
不妨取A(1,2)，
方法二　由题意可知F(1,0)，故|BF|＝2，
所以|AF|＝2.
因为抛物线的通径长为2p＝4，
所以AF的长为通径长的一半，
所以AF⊥x轴，
(2)已知点M(20,40)不在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，抛物线C的焦点为F.若对于抛物线上的一点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值等于________.
42或22
当点M(20,40)位于抛物线内时，如图①，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为D，
则|PF|＝|PD|，
|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|.
当点M，P，D三点共线时，
|PM|＋|PF|的值最小.
①
当点M(20,40)位于抛物线外时，如图②，当点P，M，F三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小.
解得p＝22或p＝58.
当p＝58时，y2＝116x，点M(20,40)在抛物线内，故舍去.
综上，p＝42或p＝22.
②
“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解.“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径.
思维升华
√
(2)已知点P为抛物线y2＝－4x上的动点，设点P到l：x＝1的距离为d1，到直线x＋y－4＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值是
√
直线l：x＝1为抛物线y2＝－4x的准线，点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，过焦点F作直线x＋y－4＝0的垂线，
如图所示，此时d1＋d2最小为点F到直线x＋y－4＝0的距离.
题型二
抛物线的标准方程
例2　分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.
(1)准线方程为2y＋4＝0；
准线方程为2y＋4＝0，即y＝－2，故抛物线焦点在y轴的正半轴上，设其方程为x2＝2py(p＞0).
(2)过点(3，－4)；
∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线开口向右或向下，
设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p1y(p1＞0).
把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)，
(3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上.
令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.
∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0).
∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.
求抛物线的标准方程的方法
(1)定义法.
(2)待定系数法：当焦点位置不确定时，分情况讨论.
思维升华
√
跟踪训练2　(1)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为
如图，分别过点A，B作准线的垂线，交准线于点E，D，
设|BF|＝a，则|BC|＝2a，由抛物线的定义得|BD|＝a，故∠BCD＝30°，
∴在Rt△ACE中，2|AE|＝|AC|，
∵|AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a，
∴3＋3a＝6，解得a＝1，
因此抛物线的方程为y2＝3x.
√
则抛物线方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.
题型三
抛物线的几何性质
√
解得p＝2(p＝－6舍去).
√
√
√
因为AE∥x轴，所以∠EAF＝60°，
由抛物线的定义可知，|AE|＝|AF|，
则△AEF为等边三角形，
所以∠EFP＝∠AEF＝60°，则∠PEF＝30°，
所以|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p＝8，得p＝4，
故A正确；
因为|AE|＝|EF|＝2|PF|，且PF∥AE，
因为∠DAE＝60°，所以∠ADE＝30°，
所以|BD|＝2|BM|＝2|BF|，故C正确；
因为|BD|＝2|BF|，
思维升华
应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性.
跟踪训练3　(1)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且
PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为_________.
所以tan∠OPF＝tan∠PQF，
|PF|＝p，|PF|2＝|OF|·|FQ|，
16
易知焦点F的坐标为(4,0)，准线l的方程为x＝－4，如图，
抛物线准线与x轴的交点为A，作MB⊥l于点B，NC⊥l于点C，
又|CN|＝4，|OF|＝4，
所以|FN|＝16.
课时精练
第
三部
分
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√
基础保分练
2.(2023·榆林模拟)已知抛物线x2＝2py(p>0)上的一点M(x0,1)到其焦点的距离为2，则该抛物线的焦点到其准线的距离为
A.6 B.4
C.3 D.2
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3.(2023·福州质检)在平面直角坐标系Oxy中，动点P(x，y)到直线x＝1的距离比它到定点(－2,0)的距离小1，则P的轨迹方程为
A.y2＝2x B.y2＝4x
C.y2＝－4x D.y2＝－8x
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由题意知动点P(x，y)到直线x＝2的距离与到定点(－2,0)的距离相等，
由抛物线的定义知，P的轨迹是以(－2,0)为焦点，x＝2为准线的抛物线，
所以p＝4，轨迹方程为y2＝－8x.
4.(2022·北京模拟)设M是抛物线y2＝4x上的一点，F是抛物线的焦点，O是坐标原点，若∠OFM＝120°，则|FM|等于
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过点M作抛物线的准线l的垂线，垂足为点N，连接FN，如图所示，
因为∠OFM＝120°，MN∥x轴，则∠FMN＝60°，
由抛物线的定义可得|MN|＝|FM|，所以△FNM为
等边三角形，则∠FNM＝60°，
抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，设直线x＝－1
交x轴于点E，则∠ENF＝30°，
易知|EF|＝2，∠FEN＝90°，则|FM|＝|FN|＝2|EF|＝4.
5.(多选)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为4，直线l过点F且与抛物线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若M(m,2)是线段AB的中点，则下列结论正确的是
A.p＝4
B.抛物线方程为y2＝16x
C.直线l的方程为y＝2x－4
D.|AB|＝10
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由焦点F到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知p＝4，故A正确；
则抛物线的方程为y2＝8x，
焦点F(2,0)，故B错误；
若M(m,2)是线段AB的中点，则y1＋y2＝4，
∴直线l的方程为y＝2x－4，故C正确；
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又由y1＋y2＝2(x1＋x2)－8＝4，得x1＋x2＝6，
∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋4＝10，故D正确.
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7.如图是抛物线形拱桥，当水面为l时，拱顶离水面2米，水面宽4米.则水位下降1米后，水面宽______米.
8.(2021·北京)已知抛物线C：y2＝4x，焦点为F，点M为抛物线C上的点，且|FM|＝6，则M的横坐标是_____，作MN⊥x轴于N，则S△FMN＝_______.
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因为抛物线的方程为y2＝4x，
故p＝2且F(1,0)，
解得xM＝5，
9.过抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2.
(1)求抛物线C的方程；
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当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2，
∴抛物线C的方程为x2＝4y.
(2)若抛物线C上存在点M(－2，y0)，使得MA⊥MB，求直线l的方程.
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∵点M(－2，y0)在抛物线C上，
又直线l过点F(0,1)，∴设直线l的方程为y＝kx＋1.
得x2－4kx－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，
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∵MA⊥MB，
∴(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－1)(y2－1)＝0，
∴－4＋8k＋4－4k2＝0，解得k＝2或k＝0.
当k＝0时，l过点M，不符合题意，∴k＝2，
∴直线l的方程为y＝2x＋1.
10.已知在抛物线C：x2＝2py(p>0)的第一象限的点P(x,1)到其焦点的距离为2.
(1)求抛物线C的方程和点P的坐标；
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故抛物线的方程为x2＝4y，
当y＝1时，x2＝4，
又因为x>0，所以x＝2，
所以点P的坐标为(2,1).
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由题意可得直线l的斜率存在，
所以Δ＝16k2＋4(4k＋2)>0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4k－2，
因为∠APB的角平分线与y轴垂直，
所以kPA＋kPB＝0，
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即x1＋x2＋4＝0，
所以k＝－1，x1＋x2＝－4，x1x2＝2，
11.(多选)(2023·衡阳联考)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，O为坐标原点，过F的直线与C分别交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则
A.y1y2为定值
B.∠AOB可能为直角
C.以BF为直径的圆与y轴有两个交点
D.对于确定的直线AB，在C的准线上存在三个不同的点P，使得△ABP为
直角三角形
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综合提升练
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设lAB：x＝ty＋1，与y2＝4x联立可得y2－4ty－4＝0，y1y2＝－4，故A正确；
则以BF为直径的圆与y轴相切，故C错误；
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故有以AB为直径的圆与C的准线相切，对于确定的直线AB，当∠P为直角时，P为切点；
当∠A或∠B为直角时，P为过A(或B)的AB的垂线与准线的交点，故D正确.
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12.(2023·茂名模拟)以抛物线C：y2＝4x的焦点F为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点，已知|AB|＝8，则|DE|＝________.
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∴F(1,0)，
不妨设点A在第一象限，如图所示，
由|AB|＝8，y2＝4x得A(4,4)，
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拓展冲刺练
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由题知，抛物线y2＝8x的焦点坐标为(2,0)，
若直线AB的方程为x＝2，则|AB|＝8，与已知矛盾，故直线AB的斜率存在，
设直线AB的方程为y＝k(x－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由于k≠0，
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又|AB|＝9，∴x1＋x2＋4＝9，
∴(2－x1，－y1)＝λ(x2－2，y2)，
∴2－x1＝λ(x2－2)，
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如图所示，作BE⊥l，AD⊥l，设|AF|＝a，|BF|＝b，
由抛物线定义得|AF|＝|AD|，|BF|＝|BE|，
在梯形ABED中，2|MN|＝|AD|＋|BE|＝a＋b，
因为AF⊥AB，∠ABF＝30°，§8.7　抛物线
考试要求　1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程.2.掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.了解抛物线的简单应用．
知识梳理
1．抛物线的概念
把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程和简单几何性质
标准 方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图形
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
焦点
准线 方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
对称轴 x轴 y轴
顶点 (0,0)
离心率 e＝1
常用结论
1．通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.
2．抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线．(　×　)
(2)方程y＝4x2表示焦点在x轴上的抛物线，焦点坐标是(1,0)．(　×　)
(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(　×　)
(4)以(0,1)为焦点的抛物线的标准方程为x2＝4y.(　√　)
教材改编题
1．抛物线x2＝y的准线方程为(　　)
A．y＝－ B．x＝－
C．y＝ D．x＝
答案　A
解析　由抛物线的标准方程可得，抛物线的焦点位于y轴正半轴上，焦点坐标为，准线方程为y＝－.
2．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于(　　)
A．9 B．8 C．7 D．6
答案　B
解析　抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，
|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1
＝x1＋x2＋2＝8.
3．抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(3，y)到焦点F的距离|MF|＝4，则抛物线的方程为(　　)
A．y2＝8x B．y2＝4x C．y2＝2x D．y2＝x
答案　B
解析　由题意可得|MF|＝xM＋，
则3＋＝4，即p＝2，故抛物线方程为y2＝4x.
题型一　抛物线的定义及应用
例1　(1)(2022·全国乙卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|等于(　　)
A．2 B．2 C．3 D．3
答案　B
解析　方法一　由题意可知F(1,0)，抛物线的准线方程为x＝－1.
设A，
则由抛物线的定义可知|AF|＝＋1.
因为|BF|＝3－1＝2，
所以由|AF|＝|BF|，可得＋1＝2，
解得y0＝±2，所以A(1,2)或A(1，－2)．
不妨取A(1,2)，
则|AB|＝＝＝2.
方法二　由题意可知F(1,0)，故|BF|＝2，
所以|AF|＝2.
因为抛物线的通径长为2p＝4，
所以AF的长为通径长的一半，
所以AF⊥x轴，
所以|AB|＝＝＝2.
(2)已知点M(20,40)不在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，抛物线C的焦点为F.若对于抛物线上的一点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值等于________．
答案　42或22
解析　当点M(20,40)位于抛物线内时，如图①，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为D，
则|PF|＝|PD|，
|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|.
当点M，P，D三点共线时，
|PM|＋|PF|的值最小．
由最小值为41，得20＋＝41，解得p＝42.
当点M(20,40)位于抛物线外时，如图②，当点P，M，F三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小．
由最小值为41，得＝41，
解得p＝22或p＝58.
当p＝58时，y2＝116x，点M(20,40)在抛物线内，故舍去．
综上，p＝42或p＝22.
　　　　 ①　　　　　　　　②
思维升华　“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解．“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径．
跟踪训练1　(1)已知抛物线y＝mx2(m>0)上的点(x0,2)到该抛物线焦点F的距离为，则m等于(　　)
A．4 B．3 C. D.
答案　D
解析　由题意知，抛物线y＝mx2(m>0)的准线方程为y＝－，
根据抛物线的定义，可得点(x0,2)到焦点F的距离等于到准线y＝－的距离，
可得2＋＝，解得m＝.
(2)已知点P为抛物线y2＝－4x上的动点，设点P到l：x＝1的距离为d1，到直线x＋y－4＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值是(　　)
A. B. C．2 D.
答案　B
解析　直线l：x＝1为抛物线y2＝－4x的准线，点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，过焦点F作直线x＋y－4＝0的垂线，
如图所示，此时d1＋d2最小为点F到直线x＋y－4＝0的距离．
∵F(－1,0)，∴(d1＋d2)min＝＝.
题型二　抛物线的标准方程
例2　分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．
(1)准线方程为2y＋4＝0；
(2)过点(3，－4)；
(3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上．
解　(1)准线方程为2y＋4＝0，即y＝－2，故抛物线焦点在y轴的正半轴上，设其方程为x2＝2py(p＞0)．
又＝2，∴2p＝8，故所求抛物线的标准方程为x2＝8y.
(2)∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线开口向右或向下，
设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p1y(p1＞0)．
把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)，
则2p＝，2p1＝.
∴所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y.
(3)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.
∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)．
∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.
思维升华　求抛物线的标准方程的方法
(1)定义法．
(2)待定系数法：当焦点位置不确定时，分情况讨论．
跟踪训练2　(1)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为(　　)
A．y2＝x
B．y2＝9x
C．y2＝x
D．y2＝3x
答案　D
解析　如图，分别过点A，B作准线的垂线，交准线于点E，D，
设|BF|＝a，则|BC|＝2a，由抛物线的定义得|BD|＝a，故∠BCD＝30°，
∴在Rt△ACE中，2|AE|＝|AC|，
∵|AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a，
∴3＋3a＝6，解得a＝1，
∵BD∥FG，∴＝，
∴p＝，
因此抛物线的方程为y2＝3x.
(2)(2022·烟台模拟)已知点F为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，点P在抛物线上且横坐标为8，O为坐标原点，若△OFP的面积为2，则该抛物线的准线方程为(　　)
A．x＝－ B．x＝－1
C．x＝－2 D．x＝－4
答案　B
解析　抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，
将点P的横坐标代入抛物线得y2＝16p，可得y＝±4，不妨令P(8,4)，
则S△OFP＝××4＝p＝2，解得p＝2，
则抛物线方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.
题型三　抛物线的几何性质
例3　(1)(2021·新高考全国Ⅱ)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点到直线y＝x＋1的距离为，则p等于(　　)
A．1 B．2 C．2 D．4
答案　B
解析　抛物线的焦点坐标为，其到直线x－y＋1＝0的距离d＝＝，
解得p＝2(p＝－6舍去)．
(2)(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l的斜率为且经过点F，与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线C的准线交于点D.若|AF|＝8，则以下结论正确的是(　　)
A．p＝4 B.＝
C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝4
答案　ABC
解析　如图所示，分别过点A，B作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为点E，M，连接EF.设抛物线C的准线交x轴于点P，则|PF|＝p.因为直线l的斜率为，所以其倾斜角为60°.
因为AE∥x轴，所以∠EAF＝60°，
由抛物线的定义可知，|AE|＝|AF|，
则△AEF为等边三角形，
所以∠EFP＝∠AEF＝60°，
则∠PEF＝30°，
所以|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p＝8，得p＝4，
故A正确；
因为|AE|＝|EF|＝2|PF|，且PF∥AE，
所以F为AD的中点，则＝，故B正确；
因为∠DAE＝60°，所以∠ADE＝30°，
所以|BD|＝2|BM|＝2|BF|，故C正确；
因为|BD|＝2|BF|，
所以|BF|＝|DF|＝|AF|＝，故D错误．
思维升华　应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．
跟踪训练3　(1)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为______．
答案　x＝－
解析　方法一　(解直角三角形法)由题易得|OF|＝，|PF|＝p，∠OPF＝∠PQF，
所以tan∠OPF＝tan∠PQF，
所以＝，即＝，
解得p＝3(p＝0舍去)，所以C的准线方程为x＝－.
方法二　(应用射影定理法)由题易得|OF|＝，
|PF|＝p，|PF|2＝|OF|·|FQ|，
即p2＝×6，解得p＝3或p＝0(舍去)，
所以C的准线方程为x＝－.
(2)已知F是抛物线y2＝16x的焦点，M是抛物线上一点，FM的延长线交y轴于点N，若3＝2，则|FN|＝________.
答案　16
解析　易知焦点F的坐标为(4,0)，准线l的方程为x＝－4，如图，
抛物线准线与x轴的交点为A，作MB⊥l于点B，NC⊥l于点C，
AF∥MB∥NC，则＝，
由3＝2，
得＝，
又|CN|＝4，|OF|＝4，
所以＝，|BM|＝，|MF|＝|BM|＝，＝，
所以|FN|＝16.
课时精练
1．(2022·桂林模拟)抛物线C：y2＝－x的准线方程为(　　)
A．x＝ B．x＝－ C．y＝ D．y＝－
答案　A
解析　y2＝－x的准线方程为x＝.
2．(2023·榆林模拟)已知抛物线x2＝2py(p>0)上的一点M(x0,1)到其焦点的距离为2，则该抛物线的焦点到其准线的距离为(　　)
A．6 B．4 C．3 D．2
答案　D
解析　由题可知，抛物线准线为y＝－，可得1＋＝2，解得p＝2，所以该抛物线的焦点到其准线的距离为p＝2.
3．(2023·福州质检)在平面直角坐标系Oxy中，动点P(x，y)到直线x＝1的距离比它到定点(－2,0)的距离小1，则P的轨迹方程为(　　)
A．y2＝2x B．y2＝4x C．y2＝－4x D．y2＝－8x
答案　D
解析　由题意知动点P(x，y)到直线x＝2的距离与到定点(－2,0)的距离相等，
由抛物线的定义知，P的轨迹是以(－2,0)为焦点，x＝2为准线的抛物线，
所以p＝4，轨迹方程为y2＝－8x.
4．(2022·北京模拟)设M是抛物线y2＝4x上的一点，F是抛物线的焦点，O是坐标原点，若∠OFM＝120°，则|FM|等于(　　)
A．3 B．4 C. D.
答案　B
解析　过点M作抛物线的准线l的垂线，垂足为点N，连接FN，如图所示，
因为∠OFM＝120°，MN∥x轴，则∠FMN＝60°，
由抛物线的定义可得|MN|＝|FM|，所以△FNM为等边三角形，则∠FNM＝60°，
抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，设直线x＝－1交x轴于点E，则∠ENF＝30°，
易知|EF|＝2，∠FEN＝90°，则|FM|＝|FN|＝2|EF|＝4.
5．(多选)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为4，直线l过点F且与抛物线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若M(m,2)是线段AB的中点，则下列结论正确的是(　　)
A．p＝4
B．抛物线方程为y2＝16x
C．直线l的方程为y＝2x－4
D．|AB|＝10
答案　ACD
解析　由焦点F到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知p＝4，故A正确；
则抛物线的方程为y2＝8x，
焦点F(2,0)，故B错误；
则y＝8x1，y＝8x2，
若M(m,2)是线段AB的中点，则y1＋y2＝4，
∴y－y＝8x1－8x2，
即＝＝＝2，
∴直线l的方程为y＝2x－4，故C正确；
又由y1＋y2＝2(x1＋x2)－8＝4，得x1＋x2＝6，
∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋4＝10，故D正确．
6．(多选)(2022·金陵模拟)在平面直角坐标系Oxy中，点F是抛物线C：y2＝ax(a>0)的焦点，点A，B(a，b)(b>0)在抛物线C上，则下列结论正确的是(　　)
A．C的准线方程为x＝ B．b＝
C.·＝2 D.＋＝
答案　BD
解析　点A(a>0)，B(a，b)(b>0)在抛物线C上，
则解得
则抛物线C：y2＝x，A，B(，)，
抛物线C的准线方程为x＝－，故A错误，B正确；
·＝×＋1×＝1＋，故C错误；
抛物线C的焦点F，
则|AF|＝＝，
|BF|＝＝，
则＋＝＋＝，故D正确．
7. 如图是抛物线形拱桥，当水面为l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．则水位下降1米后，水面宽________米．
答案　2
解析　建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p＝1，所以x2＝－2y.当y＝－3时，x2＝6，所以水面宽为2米．
8．(2021·北京)已知抛物线C：y2＝4x，焦点为F，点M为抛物线C上的点，且|FM|＝6，则M的横坐标是________，作MN⊥x轴于N，则S△FMN＝________.
答案　5　4
解析　因为抛物线的方程为y2＝4x，
故p＝2且F(1,0)，
因为|FM|＝6，所以xM＋＝6，
解得xM＝5，
故yM＝±2，
所以S△FMN＝×(5－1)×2＝4.
9．过抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若抛物线C上存在点M(－2，y0)，使得MA⊥MB，求直线l的方程．
解　(1)抛物线C：x2＝2py(p>0)的准线方程为y＝－，焦点为F.
当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2，
∴1＋＝2，解得p＝2，
∴抛物线C的方程为x2＝4y.
(2)∵点M(－2，y0)在抛物线C上，
∴y0＝＝1，M坐标为(－2,1)．
又直线l过点F(0,1)，∴设直线l的方程为y＝kx＋1.
由
得x2－4kx－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，
＝(x1＋2，y1－1)，
＝(x2＋2，y2－1)．
∵MA⊥MB，
∴·＝0，
∴(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－1)(y2－1)＝0，
∴－4＋8k＋4－4k2＝0，解得k＝2或k＝0.
当k＝0时，l过点M，不符合题意，∴k＝2，
∴直线l的方程为y＝2x＋1.
10．已知在抛物线C：x2＝2py(p>0)的第一象限的点P(x,1)到其焦点的距离为2.
(1)求抛物线C的方程和点P的坐标；
(2)过点的直线l交抛物线C于A，B两点，若∠APB的角平分线与y轴垂直，求弦AB的长．
解　(1)由1＋＝2，可得p＝2，
故抛物线的方程为x2＝4y，
当y＝1时，x2＝4，
又因为x>0，所以x＝2，
所以点P的坐标为(2,1)．
(2)由题意可得直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y＝k(x＋1)＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得x2－4kx－4k－2＝0，
所以Δ＝16k2＋4(4k＋2)>0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4k－2，
因为∠APB的角平分线与y轴垂直，
所以kPA＋kPB＝0，
所以kPA＋kPB＝＋＝0，
即＋＝0，
即x1＋x2＋4＝0，
所以k＝－1，x1＋x2＝－4，x1x2＝2，
所以|AB|＝|x1－x2|＝＝4.
11．(多选)(2023·衡阳联考)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，O为坐标原点，过F的直线与C分别交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则(　　)
A．y1y2为定值
B．∠AOB可能为直角
C．以BF为直径的圆与y轴有两个交点
D．对于确定的直线AB，在C的准线上存在三个不同的点P，使得△ABP为直角三角形
答案　AD
解析　设lAB：x＝ty＋1，与y2＝4x联立可得y2－4ty－4＝0，y1y2＝－4，故A正确；
因为x1x2＝＝1，
所以kOA·kOB＝≠－1，
∴∠AOB≠，故B错误；
设BF的中点M，＝，
则以BF为直径的圆与y轴相切，故C错误；
设AB的中点N，
N到C的准线的距离为＋1，
因为＝＋1，
故有以AB为直径的圆与C的准线相切，对于确定的直线AB，当∠P为直角时，P为切点；
当∠A或∠B为直角时，P为过A(或B)的AB的垂线与准线的交点，故D正确．
12．(2023·茂名模拟)以抛物线C：y2＝4x的焦点F为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点，已知|AB|＝8，则|DE|＝________.
答案　2
解析　由抛物线方程知＝1，
∴F(1,0)，
不妨设点A在第一象限，如图所示，
由|AB|＝8，y2＝4x得A(4,4)，
∴圆的半径r＝＝5，
∴|DE|＝2＝2＝2.
13．(2022·南通模拟)已知抛物线y2＝8x，过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，若|AB|＝9，＝λ，则λ＝________.
答案　或2
解析　由题知，抛物线y2＝8x的焦点坐标为(2,0)，
若直线AB的方程为x＝2，则|AB|＝8，与已知矛盾，故直线AB的斜率存在，
设直线AB的方程为y＝k(x－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立化简可得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，
由于k≠0，
所以有x1＋x2＝，x1x2＝4，
又|AB|＝9，∴x1＋x2＋4＝9，
∴＝5，
∴k＝±2，x1＝1，x2＝4或x1＝4，x2＝1，
∵＝λ ，
∴(2－x1，－y1)＝λ(x2－2，y2)，
∴2－x1＝λ(x2－2)，
∴λ＝或λ＝2.
14．(2022·无锡模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线C上的两个动点，且AF⊥AB，∠ABF＝30°，设线段AB的中点M在准线l上的射影为点N，则的值是________．
答案　
解析　如图所示，作BE⊥l，AD⊥l，
设|AF|＝a，|BF|＝b，
由抛物线定义得|AF|＝|AD|，|BF|＝|BE|，
在梯形ABED中，2|MN|＝|AD|＋|BE|＝a＋b，
因为AF⊥AB，∠ABF＝30°，
所以b＝2a，则|MN|＝，
又|AB|＝＝a，
故＝＝.§8.7　抛物线
考试要求　1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程.2.掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.了解抛物线的简单应用．
知识梳理
1．抛物线的概念
把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离________的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的________，直线l叫做抛物线的________．
2．抛物线的标准方程和简单几何性质
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图形
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
焦点
准线方程
对称轴
顶点
离心率 e＝______
常用结论
1．通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.
2．抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线．(　　)
(2)方程y＝4x2表示焦点在x轴上的抛物线，焦点坐标是(1,0)．(　　)
(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(　　)
(4)以(0,1)为焦点的抛物线的标准方程为x2＝4y.(　　)
教材改编题
1．抛物线x2＝y的准线方程为(　　)
A．y＝－ B．x＝－
C．y＝ D．x＝
2．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于(　　)
A．9 B．8 C．7 D．6
3．抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(3，y)到焦点F的距离|MF|＝4，则抛物线的方程为(　　)
A．y2＝8x B．y2＝4x
C．y2＝2x D．y2＝x
题型一　抛物线的定义及应用
例1 (1)(2022·全国乙卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|等于(　　)
A．2 B．2
C．3 D．3
(2)已知点M(20,40)不在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，抛物线C的焦点为F.若对于抛物线上的一点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值等于________．
听课记录：______________________________________________________________
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思维升华 “看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解．“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径．
跟踪训练1 (1)已知抛物线y＝mx2(m>0)上的点(x0,2)到该抛物线焦点F的距离为，则m等于(　　)
A．4 B．3 C. D.
(2)已知点P为抛物线y2＝－4x上的动点，设点P到l：x＝1的距离为d1，到直线x＋y－4＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值是(　　)
A. B. C．2 D.
题型二　抛物线的标准方程
例2 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．
(1)准线方程为2y＋4＝0；
(2)过点(3，－4)；
(3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上．
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思维升华 求抛物线的标准方程的方法
(1)定义法．
(2)待定系数法：当焦点位置不确定时，分情况讨论．
跟踪训练2 (1)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为(　　)
A．y2＝x B．y2＝9x
C．y2＝x D．y2＝3x
(2)(2022·烟台模拟)已知点F为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，点P在抛物线上且横坐标为8，O为坐标原点，若△OFP的面积为2，则该抛物线的准线方程为(　　)
A．x＝－ B．x＝－1
C．x＝－2 D．x＝－4
题型三　抛物线的几何性质
例3 (1)(2021·新高考全国Ⅱ)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点到直线y＝x＋1的距离为，则p等于(　　)
A．1 B．2 C．2 D．4
(2)(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l的斜率为且经过点F，与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线C的准线交于点D.若|AF|＝8，则以下结论正确的是(　　)
A．p＝4 B.＝
C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝4
听课记录：______________________________________________________________
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思维升华 应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．
跟踪训练3 (1)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为________________．
(2)已知F是抛物线y2＝16x的焦点，M是抛物线上一点，FM的延长线交y轴于点N，若3＝2，则|FN|＝________.

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