资源简介

(共91张PPT)
§8.8　直线与圆锥曲
线的位置关系
第八章　直线和圆、圆锥曲线
1.了解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法.
2.掌握直线被圆锥曲线所截的弦长公式.
3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、中点弦问题.
考试要求
内容索引
第一部分
第二部分
第三部分
落实主干知识
探究核心题型
课时精练
落实主干知识
第
一
部
分
1.直线与圆锥曲线的位置判断
将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与圆锥曲线相交 Δ 0；直线与圆锥曲线相切 Δ 0；直线与圆锥曲线相离 Δ 0.
特别地，①与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交，有且只有一个交点.
②与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交，有且只有一个交点.
>
＝
<
2.弦长公式
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(2)直线与抛物线只有一个公共点，则该直线与抛物线相切.(　　)
(3)与双曲线渐近线平行的直线一定与双曲线有公共点.(　　)
(4)圆锥曲线的通径是所有的焦点弦中最短的弦.(　　)
√
√
√
×
√
由题意知Δ＝(12k)2－4×6×(2＋3k2)＝0，
2.已知直线l：y＝x－1与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的长是
A.2 B.4 C.8 D.16
√
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝6，x1x2＝1，
3.已知点A，B是双曲线C： ＝1上的两点，线段AB的中点是M(3,2)，则直线AB的斜率为
√
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵点A，B是双曲线C上的两点，
∵M(3,2)是线段AB的中点，
∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝4，
探究核心题型
第
二部
分
例1　(1)(多选)直线y＝kx－ 的位置关系可能为
A.相交 B.相切
C.相离 D.有3个公共点
√
题型一
直线与圆锥曲线的位置关系
√
(2)(多选)已知直线y＝x与双曲线 ＝1(a>0，b>0)无公共点，则双曲线的离心率可能为
√
√
(1)直线与双曲线只有一个交点，包含直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行.
(2)直线与抛物线只有一个交点包含直线与抛物线相切、直线与抛物线的对称轴平行(或重合).
思维升华
跟踪训练1　(1)(2023·梅州模拟)抛物线C：y2＝4x的准线为l，l与x轴交于点A，过点A作抛物线的一条切线，切点为B，则△OAB的面积为
A.1 B.2 C.4 D.8
√
∵抛物线C：y2＝4x的准线为l，
∴l的方程为x＝－1，A(－1,0)，
设过点A作抛物线的一条切线为x＝my－1，m>0，
∴Δ＝(－4m)2－4×4＝0，解得m＝1，
∴y2－4y＋4＝0，解得y＝2，即yB＝2，
(2)已知双曲线C： ＝1(a>0，b>0)，经过双曲线C的右焦点F，且倾斜角为60°的直线l与双曲线右支有两个交点，则双曲线离心率的取值范围为______.
(1,2)
例2　(2021·新高考全国Ⅱ)已知椭圆C的方程为 ＝1(a>b>0)，右焦点
为
(1)求椭圆C的方程；
题型二
弦长问题
由题意得，
(2)设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2＋y2＝b2(x>0)相切.证明：M，N，F三点共线的充要条件是|MN|＝
由(1)得，曲线为x2＋y2＝1(x>0)，
当直线MN的斜率不存在时，直线MN：x＝1，不符合题意；
当直线MN的斜率存在时，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
必要性：
若M，N，F三点共线，
所以必要性成立；
充分性：设直线MN：y＝kx＋m(km<0)，
即kx－y＋m＝0，
所以m2＝k2＋1，
可得(1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，
化简得3(k2－1)2＝0，所以k＝±1，
(1)弦长公式不仅适用于圆锥曲线，任何两点的弦长都可以用弦长公式求.
(2)抛物线的焦点弦的弦长应选用更简捷的弦长公式|AB|＝x1＋x2＋p.
(3)设直线方程时应注意讨论是否存在斜率.
思维升华
跟踪训练2　已知焦点在x轴上的椭圆C： ＝1(a>b>0)，短轴长为
椭圆左顶点A到左焦点F1的距离为1.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设椭圆的右顶点为B，过F1的直线l与椭圆C交于点M，N，且S△BMN＝
求直线l的方程.
由题意知，直线的斜率存在且不为0，F1(－1,0)，B(2,0)，
设直线l的方程为x＝my－1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
解得m＝±1，
所以直线l的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.
例3　(2023·衡水模拟)已知椭圆C： ＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为
F1，F2，离心率为 短轴顶点分别为M，N，四边形MF1NF2的面积为32.
(1)求椭圆C的标准方程；
题型三
中点弦问题
因为a2＝b2＋c2，所以b＝c.
因为四边形MF1NF2的面积为32，
(2)直线l交椭圆C于A，B两点，若AB的中点坐标为(－2,1)，求直线l的方程.
由题意得，直线l的斜率存在.
因为AB的中点坐标为(－2,1)在椭圆内部，
故直线l的方程为y－1＝x＋2，即x－y＋3＝0.
(1)解决圆锥曲线“中点弦”问题的思路
①根与系数的关系法：联立直线和圆锥曲线的方程得到方程组，消元得到一元二次方程后，由根与系数的关系及中点坐标公式求解.
②点差法：设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将这两点坐标分别代入圆锥曲线的方程，并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和直线AB斜率有关的式子，可以大大减少计算量.
思维升华
(2)点差法常用结论
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)为圆锥曲线E上的两点，AB的中点为C(x0，y0)，直线AB的斜率为k.
思维升华
思维升华
跟踪训练3　(1)已知双曲线方程为 ＝1，则以A(2,1)为中点的弦所在直线l的方程是
A.6x＋y－11＝0 B.6x－y－11＝0
C.x－6y－11＝0 D.x＋6y＋11＝0
√
即直线l的斜率为6，
故直线l的方程为y－1＝6(x－2)，即6x－y－11＝0.
经检验满足题意.
(2)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点到准线的距离为1，若抛物线C上存在关于直线l：x－y－2＝0对称的不同的两点P和Q，则线段PQ的中点坐标为
A.(1，－1) B.(2,0)
C. D.(1,1)
√
因为焦点到准线的距离为p，则p＝1，
所以y2＝2x.设点P(x1，y1)，Q(x2，y2).
则(y1－y2)(y1＋y2)＝2(x1－x2)，
又∵P，Q关于直线l对称，
∴kPQ＝－1，即y1＋y2＝－2，
又∵PQ的中点在直线l上，
∴线段PQ的中点坐标为(1，－1).
课时精练
第
三部
分
1.已知直线l：kx＋y＋1＝0，椭圆C： ＝1，则直线l与椭圆C的位置关系是
A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定
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√
基础保分练
由直线l：kx＋y＋1＝0，得直线l过定点(0，－1)，
所以直线l与椭圆C相交.
由抛物线的对称性知，要使|AB|＝2的直线l有且仅有1条，
代入抛物线方程可解得p＝1.
2.(2023·长春模拟)直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于A，B两点，若使|AB|＝2的直线l有且仅有1条，则p等于
√
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3.“直线与双曲线有且仅有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
√
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充分性：因为“直线与双曲线有且仅有一个公共点”，所以直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行.故充分性不满足.
必要性：因为“直线与双曲线相切”，所以“直线与双曲线有且仅有一个公共点”.故必要性满足.
所以“直线与双曲线有且仅有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的必要不充分条件.
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4.已知双曲线C： －y2＝1的右焦点为F，点P在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点.若|PO|＝|PF|，则△OPF的面积为
√
又|PO|＝|PF|，
所以点P在线段OF的中垂线上，
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5.(多选)已知椭圆 ＋y2＝1与直线y＝x＋m交于A，B两点，且|AB|＝
则实数m的值为
A.2 B.1
C.－1 D.－2
√
√
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得3x2＋4mx＋2m2－2＝0.
Δ＝16m2－12(2m2－2)＝－8m2＋24>0，即m2<3，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
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解得m＝±1，满足题意.
6.(多选)已知椭圆C： ＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，其中|F1F2|＝2c.直线l：y＝k(x＋c)(k∈R)与椭圆交于A，B两点，则下列说法中正确的是
A.△ABF2的周长为4a
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√
√
由直线l：y＝k(x＋c)过点(－c,0)，知弦AB过椭圆的左焦点F1.
所以△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a，
所以A正确；
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
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①
②
则a2－2c2≤3c2≤a2－c2，
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即2a2－3ac－2c2＝0，解得a＝2c，
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7.(2022·金华模拟)已知椭圆C： 相交于A，
B两点，则实数m的取值范围为______________.
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整理可得9x2＋6mx＋2m2－18＝0，
由已知可得Δ＝36m2－36(2m2－18)＝36(18－m2)>0，
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8.已知斜率为2的直线l与双曲线C： ＝1(a>0，b>0)交于A，B两点，
若点P(2,1)是线段AB的中点，则C的离心率等于_____.
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因为点P(2,1)是线段AB的中点，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
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得a2＝b2，
即a2＝c2－a2，
又因为直线l的斜率为2，
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9.已知椭圆C：
长轴长为4.
(1)求椭圆C的标准方程；
解得a＝2，c＝1，则b2＝3，
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(2)已知直线l过定点 ，若椭圆C上存在两点A，B关于直线l对称，求直线l的斜率k的取值范围.
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易知直线的斜率存在，设直线l的方程为
当直线l的斜率k＝0时，易得在椭圆C上有无数对A，B关于直线y＝0对称；
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两式相减得3(x1＋x2)(x1－x2)＝－4(y1＋y2)(y1－y2)，
即3kx0＝4y0，
因为线段AB的中点在椭圆内部，
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解得－2综上，直线l的斜率k的取值范围为(－2,2).
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10.已知双曲线C： ＝1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F1(－2,0)，
F2(2,0)，点P(5， )在双曲线C上.
(1)求双曲线C的方程；
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依题意，c＝2，所以a2＋b2＝4，
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解得a2＝50(舍去)或a2＝2，
(2)记O为坐标原点，过点Q(0,2)的直线l与双曲线C交于不同的两点A，B，若△OAB的面积为 求直线l的方程.
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依题意，可设直线l的方程为y＝kx＋2，
代入双曲线C的方程并整理，得(1－k2)x2－4kx－6＝0.
因为直线l与双曲线C交于不同的两点A，B，
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(*)
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
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故满足条件的直线l有两条，
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11.在平面直角坐标系Oxy中，过点(0，－4)的直线l交抛物线C：y＝
于不同的两点A，B，则 等于
A.16 B.32 C.64 D.56
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综合提升练
√
易知直线l的斜率存在，设l：y＝kx－4，A(x1，y1)，B(x2，y2).
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整理得x2－4kx＋16＝0，
12.(2022·六安模拟)已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为 ＝1
(a>b>0)，则在椭圆上一点A(x0，y0)处的切线方程为 ＝1，试运用
该性质解决以下问题：椭圆C1： ＋y2＝1，O为坐标原点，点B为C1在第
一象限中的任意一点，过B作C1的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，则△OCD面积的最小值为
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√
设B(x1，y1)，(x1>0，y1>0)，由题意得，
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13.(2022·济南模拟)已知抛物线C：y2＝4x，圆F：(x－1)2＋y2＝1，直线l：y＝k(x－1)(k≠0)自上而下顺次与上述两曲线交于M1，M2，M3，M4四点，则下列各式结果为定值的是
A.|M1M2|·|M3M4| B.|FM1|·|FM4|
C.|M1M3|·|M2M4| D.|FM1|·|M1M2|
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√
拓展冲刺练
如图，分别设M1，M2，M3，M4四点的横坐标为x1，x2，x3，x4，
由y2＝4x得焦点F(1,0)，准线l0：x＝－1，
由定义得，|M1F|＝x1＋1，
又|M1F|＝|M1M2|＋1，
所以|M1M2|＝x1，
同理|M3M4|＝x4，
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整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0(k≠0)，
设M1(x1，y1)，M4(x4，y4)，
则x1x4＝1，即|M1M2|·|M3M4|＝1.
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14.(2022·新高考全国Ⅰ)已知椭圆C： ＝1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为 过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两
点，|DE|＝6，则△ADE的周长是_____.
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如图，连接AF1，DF2，EF2，
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所以a＝2c，
所以b2＝a2－c2＝3c2.
因为|AF1|＝|AF2|＝a＝2c＝|F1F2|，
所以△AF1F2为等边三角形，
又DE⊥AF2，
所以直线DE为线段AF2的垂直平分线，
所以|AD|＝|DF2|，|AE|＝|EF2|，且∠EF1F2＝30°，
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得13x2＋8cx－32c2＝0.设D(x1，y1)，E(x2，y2)，
所以△ADE的周长为|AD|＋|AE|＋|DE|＝|DF2|＋|EF2|＋|DE|＝4a＝13.
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14§8.8　直线与圆锥曲线的位置关系
考试要求　1.了解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法.2.掌握直线被圆锥曲线所截的弦长公式.3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、中点弦问题．
知识梳理
1．直线与圆锥曲线的位置判断
将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与圆锥曲线相交 Δ>0；直线与圆锥曲线相切 Δ＝0；直线与圆锥曲线相离 Δ<0.
特别地，①与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交，有且只有一个交点．
②与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交，有且只有一个交点．
2．弦长公式
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)，
则|AB|＝
＝|x1－x2|
＝
或|AB|＝|y1－y2|
＝.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)过点的直线一定与椭圆＋y2＝1相交．(　√　)
(2)直线与抛物线只有一个公共点，则该直线与抛物线相切．(　×　)
(3)与双曲线渐近线平行的直线一定与双曲线有公共点．(　√　)
(4)圆锥曲线的通径是所有的焦点弦中最短的弦．(　√　)
教材改编题
1．直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1有且只有一个交点，则k的值是(　　)
A. B．－
C．± D．±
答案　C
解析　由得(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0，
由题意知Δ＝(12k)2－4×6×(2＋3k2)＝0，
解得k＝±.
2．已知直线l：y＝x－1与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的长是(　　)
A．2 B．4 C．8 D．16
答案　C
解析　联立消去y并整理得x2－6x＋1＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝6，x1x2＝1，
所以|AB|＝＝×＝8.
3．已知点A，B是双曲线C：－＝1上的两点，线段AB的中点是M(3,2)，则直线AB的斜率为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵点A，B是双曲线C上的两点，
∴－＝1，－＝1，
两式相减得＝，
∵M(3,2)是线段AB的中点，
∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝4，
∴＝，
∴kAB＝＝.
题型一　直线与圆锥曲线的位置关系
例1 (1)(多选)直线y＝kx－k＋与椭圆＋＝1的位置关系可能为(　　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．有3个公共点
答案　AB
解析　直线y＝kx－k＋＝k(x－)＋恒过定点，又点在椭圆上，故直线与椭圆可能相交也可能相切．
(2)(多选)已知直线y＝x与双曲线－＝1(a>0，b>0)无公共点，则双曲线的离心率可能为(　　)
A．1 B. C. D.
答案　BC
解析　双曲线的一条渐近线为y＝x，因为直线y＝x与双曲线无公共点，
故有≤1.
即＝＝e2－1≤1，
所以e2≤2，所以1思维升华　(1)直线与双曲线只有一个交点，包含直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行．
(2)直线与抛物线只有一个交点包含直线与抛物线相切、直线与抛物线的对称轴平行(或重合)．
跟踪训练1　(1)(2023·梅州模拟)抛物线C：y2＝4x的准线为l，l与x轴交于点A，过点A作抛物线的一条切线，切点为B，则△OAB的面积为(　　)
A．1 B．2 C．4 D．8
答案　A
解析　∵抛物线C：y2＝4x的准线为l，
∴l的方程为x＝－1，A(－1,0)，
设过点A作抛物线的一条切线为x＝my－1，m>0，
由得y2－4my＋4＝0，
∴Δ＝(－4m)2－4×4＝0，解得m＝1，
∴y2－4y＋4＝0，解得y＝2，即yB＝2，
∴△OAB的面积为×1×2＝1.
(2)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，经过双曲线C的右焦点F，且倾斜角为60°的直线l与双曲线右支有两个交点，则双曲线离心率的取值范围为________．
答案　(1,2)
解析　∵直线l的斜率kl＝tan 60°＝，
双曲线的渐近线方程为y＝±x，
则<，
∴e＝＝<2，故1题型二　弦长问题
例2　(2021·新高考全国Ⅱ)已知椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，右焦点为F(，0)，且离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2＋y2＝b2(x>0)相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是|MN|＝.
(1)解　由题意得，
椭圆半焦距c＝且e＝＝，
所以a＝，
又b2＝a2－c2＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明　由(1)得，曲线为x2＋y2＝1(x>0)，
当直线MN的斜率不存在时，直线MN：x＝1，不符合题意；
当直线MN的斜率存在时，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
必要性：
若M，N，F三点共线，
可设直线MN：y＝k(x－)，即kx－y－k＝0，
由直线MN与曲线x2＋y2＝1(x>0)相切可得＝1，解得k＝±1，
联立
可得4x2－6x＋3＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝，
所以|MN|＝·
＝，
所以必要性成立；
充分性：设直线MN：y＝kx＋m(km<0)，
即kx－y＋m＝0，
由直线MN与曲线x2＋y2＝1(x>0)相切可得＝1，所以m2＝k2＋1，
联立
可得(1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝，
所以|MN|＝·
＝
＝·＝，
化简得3(k2－1)2＝0，所以k＝±1，
所以或
所以直线MN：y＝x－或y＝－x＋，
所以直线MN过点F(，0)，M，N，F三点共线，充分性成立，所以M，N，F三点共线的充要条件是|MN|＝.
思维升华　(1)弦长公式不仅适用于圆锥曲线，任何两点的弦长都可以用弦长公式求．
(2)抛物线的焦点弦的弦长应选用更简捷的弦长公式|AB|＝x1＋x2＋p.
(3)设直线方程时应注意讨论是否存在斜率．
跟踪训练2　已知焦点在x轴上的椭圆C：＋＝1(a>b>0)，短轴长为2，椭圆左顶点A到左焦点F1的距离为1.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设椭圆的右顶点为B，过F1的直线l与椭圆C交于点M，N，且S△BMN＝，求直线l的方程．
解　(1)由得
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)由题意知，直线的斜率存在且不为0，F1(－1,0)，B(2,0)，
设直线l的方程为x＝my－1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由得(3m2＋4)y2－6my－9＝0，
即y1＋y2＝，y1y2＝.
又S△BMN＝|BF1|·|y1|＋|BF1|·|y2|
＝|BF1|·|y1－y2|
＝|BF1|·
＝＝，
解得m＝±1，
所以直线l的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.
题型三　中点弦问题
例3　(2023·衡水模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，短轴顶点分别为M，N，四边形MF1NF2的面积为32.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)直线l交椭圆C于A，B两点，若AB的中点坐标为(－2,1)，求直线l的方程．
解　(1)因为离心率e＝＝，所以a＝c，
因为a2＝b2＋c2，所以b＝c.
因为四边形MF1NF2的面积为32，所以2bc＝32，所以b＝c＝4，a＝4，
故椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)由题意得，直线l的斜率存在．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
两式相减得＋＝0，
所以＝－·.
因为AB的中点坐标为(－2,1)在椭圆内部，所以＝1，所以直线l的斜率为1，
故直线l的方程为y－1＝x＋2，即x－y＋3＝0.
思维升华　(1)解决圆锥曲线“中点弦”问题的思路
①根与系数的关系法：联立直线和圆锥曲线的方程得到方程组，消元得到一元二次方程后，由根与系数的关系及中点坐标公式求解．
②点差法：设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将这两点坐标分别代入圆锥曲线的方程，并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和直线AB斜率有关的式子，可以大大减少计算量．
(2)点差法常用结论
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)为圆锥曲线E上的两点，AB的中点为C(x0，y0)，直线AB的斜率为k.
若E的方程为＋＝1(a>b>0)，
则k＝－·；
若E的方程为－＝1(a>0，b>0)，
则k＝·；
若E的方程为y2＝2px(p>0)，则k＝.
跟踪训练3　(1)已知双曲线方程为x2－＝1，则以A(2,1)为中点的弦所在直线l的方程是(　　)
A．6x＋y－11＝0 B．6x－y－11＝0
C．x－6y－11＝0 D．x＋6y＋11＝0
答案　B
解析　设直线l交双曲线x2－＝1于点M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则
由已知得
两式作差得
x－x＝，
所以＝＝6，
即直线l的斜率为6，
故直线l的方程为y－1＝6(x－2)，即6x－y－11＝0.
经检验满足题意．
(2)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点到准线的距离为1，若抛物线C上存在关于直线l：x－y－2＝0对称的不同的两点P和Q，则线段PQ的中点坐标为(　　)
A．(1，－1) B．(2,0)
C. D．(1,1)
答案　A
解析　因为焦点到准线的距离为p，则p＝1，
所以y2＝2x.设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
则
则(y1－y2)(y1＋y2)＝2(x1－x2)，
∴kPQ＝，
又∵P，Q关于直线l对称，
∴kPQ＝－1，即y1＋y2＝－2，
∴PQ中点的纵坐标为＝－1，
又∵PQ的中点在直线l上，
∴PQ中点的横坐标为＝(－1)＋2＝1.
∴线段PQ的中点坐标为(1，－1)．
课时精练
1．已知直线l：kx＋y＋1＝0，椭圆C：＋＝1，则直线l与椭圆C的位置关系是(　　)
A．相离 B．相切
C．相交 D．无法确定
答案　C
解析　由直线l：kx＋y＋1＝0，得直线l过定点(0，－1)，
因为＋<1，所以该点在椭圆C：＋＝1内部．
所以直线l与椭圆C相交．
2．(2023·长春模拟)直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于A，B两点，若使|AB|＝2的直线l有且仅有1条，则p等于(　　)
A. B. C．1 D．2
答案　C
解析　由抛物线的对称性知，要使|AB|＝2的直线l有且仅有1条，
则AB必须垂直于x轴，故A，B两点坐标为，
代入抛物线方程可解得p＝1.
3．“直线与双曲线有且仅有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　充分性：因为“直线与双曲线有且仅有一个公共点”，所以直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行．故充分性不满足．
必要性：因为“直线与双曲线相切”，所以“直线与双曲线有且仅有一个公共点”．故必要性满足．
所以“直线与双曲线有且仅有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的必要不充分条件．
4．已知双曲线C：－y2＝1的右焦点为F，点P在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点．若|PO|＝|PF|，则△OPF的面积为(　　)
A. B. C．1 D.
答案　B
解析　因为双曲线C：－y2＝1，
可知右焦点为F(，0)，
又|PO|＝|PF|，
所以点P在线段OF的中垂线上，
所以点P的横坐标为，
又双曲线C：－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，
所以点P的纵坐标为±，
即△OPF的高为，
所以△OPF的面积为××＝.
5．(多选)已知椭圆＋y2＝1与直线y＝x＋m交于A，B两点，且|AB|＝，则实数m的值为(　　)
A．2 B．1
C．－1 D．－2
答案　BC
解析　由消去y并整理，
得3x2＋4mx＋2m2－2＝0.
Δ＝16m2－12(2m2－2)＝－8m2＋24>0，即m2<3，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝.
由题意，得|AB|＝＝，
解得m＝±1，满足题意．
6．(多选)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，其中|F1F2|＝2c.直线l：y＝k(x＋c)(k∈R)与椭圆交于A，B两点，则下列说法中正确的是(　　)
A．△ABF2的周长为4a
B．若AB的中点为M，则kOM·k＝
C．若·＝3c2，则椭圆的离心率的取值范围是
D．若|AB|的最小值为3c，则椭圆的离心率e＝
答案　AC
解析　由直线l：y＝k(x＋c)过点(－c,0)，知弦AB过椭圆的左焦点F1.
所以△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a，
所以A正确；
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则M，
kOM＝，k＝，
所以kOM·k＝·＝，
由
①－②得＋＝0，
所以＝－，
则kOM·k＝＝－，所以B错误；
＝(－c－x1，－y1)，＝(c－x1，－y1)，
所以·＝x－c2＋y＝x＋a2－2c2∈[a2－2c2，a2－c2]，
则a2－2c2≤3c2≤a2－c2，
可得e＝∈，
所以C正确；
因为过焦点的弦中通径最短，则|AB|的最小值为通径，则有＝3c，即2a2－3ac－2c2＝0，解得a＝2c，
所以e＝＝，所以D错误．
7．(2022·金华模拟)已知椭圆C：＋＝1与动直线l：y＝x＋m相交于A，B两点，则实数m的取值范围为________．
答案　(－3，3)
解析　联立消去y，
整理可得9x2＋6mx＋2m2－18＝0，
由已知可得Δ＝36m2－36(2m2－18)＝36(18－m2)>0，解得－38．已知斜率为2的直线l与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)交于A，B两点，若点P(2,1)是线段AB的中点，则C的离心率等于________．
答案　
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
得－＝0，
即－＝0，
因为点P(2,1)是线段AB的中点，
所以－＝0，
得－＝0，
又因为直线l的斜率为2，
所以－2×＝0，
得a2＝b2，
即a2＝c2－a2，
所以C的离心率e＝＝.
9．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，长轴长为4.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知直线l过定点E，若椭圆C上存在两点A，B关于直线l对称，求直线l的斜率k的取值范围．
(1)解　因为椭圆的离心率为e＝＝，长轴长为2a＝4，
解得a＝2，c＝1，则b2＝3，
所以椭圆C的标准方程是＋＝1.
(2)易知直线的斜率存在，设直线l的方程为
y＝k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
当直线l的斜率k＝0时，易得在椭圆C上有无数对A，B关于直线y＝0对称；
当k≠0时，有kAB＝＝－，
AB中点的坐标为(x0，y0)，
则
两式相减得3(x1＋x2)(x1－x2)＝－4(y1＋y2)(y1－y2)，
即3kx0＝4y0，
又y0＝k，
解得x0＝1，y0＝，
因为线段AB的中点在椭圆内部，
所以＋<1，
即＋<1，
解得－2综上，直线l的斜率k的取值范围为(－2,2)．
10．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F1(－2,0)，F2(2,0)，点P(5，)在双曲线C上．
(1)求双曲线C的方程；
(2)记O为坐标原点，过点Q(0,2)的直线l与双曲线C交于不同的两点A，B，若△OAB的面积为2，求直线l的方程．
解　(1)依题意，c＝2，所以a2＋b2＝4，
则双曲线C的方程为－＝1(0将点P(5，)代入上式，得－＝1，
解得a2＝50(舍去)或a2＝2，
故所求双曲线的方程为－＝1.
(2)依题意，可设直线l的方程为y＝kx＋2，
代入双曲线C的方程并整理，得(1－k2)x2－4kx－6＝0.
因为直线l与双曲线C交于不同的两点A，B，
所以
解得(*)
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝－，
所以|AB|＝·＝·.
又原点O到直线l的距离d＝，
所以S△OAB＝d·|AB|＝××·＝.
又S△OAB＝2，
即＝1，
所以k4－k2－2＝0，解得k＝±，满足(*)．
故满足条件的直线l有两条，
其方程分别为y＝x＋2和y＝－x＋2.
11．在平面直角坐标系Oxy中，过点(0，－4)的直线l交抛物线C：y＝x2于不同的两点A，B，则·等于(　　)
A．16 B．32 C．64 D．56
答案　B
解析　易知直线l的斜率存在，设l：y＝kx－4，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
联立方程
整理得x2－4kx＋16＝0，
所以
所以k>2或k<－2，·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1x2)2＝32.
12．(2022·六安模拟)已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，则在椭圆上一点A(x0，y0)处的切线方程为＋＝1，试运用该性质解决以下问题：椭圆C1：＋y2＝1，O为坐标原点，点B为C1在第一象限中的任意一点，过B作C1的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，则△OCD面积的最小值为(　　)
A．1 B. C. D．2
答案　C
解析　设B(x1，y1)，(x1>0，y1>0)，由题意得，过点B的切线l的方程为＋y1y＝1，
令y＝0，可得C，
令x＝0，可得D，
所以△OCD面积S＝××＝，
又点B在椭圆上，所以＋y＝1，
所以S＝＝＝＋≥2＝，
当且仅当＝，
即x1＝1，y1＝时等号成立，
所以△OCD面积的最小值为.
13．(2022·济南模拟)已知抛物线C：y2＝4x，圆F：(x－1)2＋y2＝1，直线l：y＝k(x－1)(k≠0)自上而下顺次与上述两曲线交于M1，M2，M3，M4四点，则下列各式结果为定值的是(　　)
A．|M1M2|·|M3M4| B．|FM1|·|FM4|
C．|M1M3|·|M2M4| D．|FM1|·|M1M2|
答案　A
解析　如图，
分别设M1，M2，M3，M4四点的横坐标为x1，x2，x3，x4，
由y2＝4x得焦点F(1,0)，准线l0：x＝－1，
由定义得，|M1F|＝x1＋1，
又|M1F|＝|M1M2|＋1，
所以|M1M2|＝x1，
同理|M3M4|＝x4，
由消去y，
整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0(k≠0)，
设M1(x1，y1)，M4(x4，y4)，
则x1x4＝1，即|M1M2|·|M3M4|＝1.
14．(2022·新高考全国Ⅰ)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|＝6，则△ADE的周长是________．
答案　13
解析　如图，连接AF1，DF2，EF2，
因为C的离心率为，
所以＝，
所以a＝2c，
所以b2＝a2－c2＝3c2.
因为|AF1|＝|AF2|＝a＝2c＝|F1F2|，
所以△AF1F2为等边三角形，
又DE⊥AF2，
所以直线DE为线段AF2的垂直平分线，所以|AD|＝|DF2|，|AE|＝|EF2|，且∠EF1F2＝30°，所以直线DE的方程为y＝(x＋c)，代入椭圆C的方程＋＝1，得13x2＋8cx－32c2＝0.设D(x1，y1)，E(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝－，
所以|DE|＝
＝＝＝6，
解得c＝，所以a＝2c＝，
所以△ADE的周长为|AD|＋|AE|＋|DE|＝|DF2|＋|EF2|＋|DE|＝4a＝13.§8.8　直线与圆锥曲线的位置关系
考试要求　1.了解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法.2.掌握直线被圆锥曲线所截的弦长公式.3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、中点弦问题．
知识梳理
1．直线与圆锥曲线的位置判断
将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与圆锥曲线相交 Δ________0；直线与圆锥曲线相切 Δ________0；直线与圆锥曲线相离 Δ________0.
特别地，①与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交，有且只有一个交点．
②与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交，有且只有一个交点．
2．弦长公式
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)，
则|AB|＝
＝|x1－x2|
＝________________
或|AB|＝|y1－y2|
＝________________.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)过点的直线一定与椭圆＋y2＝1相交．(　　)
(2)直线与抛物线只有一个公共点，则该直线与抛物线相切．(　　)
(3)与双曲线渐近线平行的直线一定与双曲线有公共点．(　　)
(4)圆锥曲线的通径是所有的焦点弦中最短的弦．(　　)
教材改编题
1．直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1有且只有一个交点，则k的值是(　　)
A. B．－
C．± D．±
2．已知直线l：y＝x－1与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的长是(　　)
A．2 B．4 C．8 D．16
3．已知点A，B是双曲线C：－＝1上的两点，线段AB的中点是M(3,2)，则直线AB的斜率为(　　)
A. B. C. D.
题型一　直线与圆锥曲线的位置关系
例1 (1)(多选)直线y＝kx－k＋与椭圆＋＝1的位置关系可能为(　　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．有3个公共点
(2)(多选)已知直线y＝x与双曲线－＝1(a>0，b>0)无公共点，则双曲线的离心率可能为(　　)
A．1 B.
C. D.
听课记录：______________________________________________________________
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思维升华 (1)直线与双曲线只有一个交点，包含直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行．
(2)直线与抛物线只有一个交点包含直线与抛物线相切、直线与抛物线的对称轴平行(或重合)．
跟踪训练1 (1)(2023·梅州模拟)抛物线C：y2＝4x的准线为l，l与x轴交于点A，过点A作抛物线的一条切线，切点为B，则△OAB的面积为(　　)
A．1 B．2
C．4 D．8
(2)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，经过双曲线C的右焦点F，且倾斜角为60°的直线l与双曲线右支有两个交点，则双曲线离心率的取值范围为________．
题型二　弦长问题
例2 (2021·新高考全国Ⅱ)已知椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，右焦点为F(，0)，且离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2＋y2＝b2(x>0)相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是|MN|＝.
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思维升华 (1)弦长公式不仅适用于圆锥曲线，任何两点的弦长都可以用弦长公式求．
(2)抛物线的焦点弦的弦长应选用更简捷的弦长公式|AB|＝x1＋x2＋p.
(3)设直线方程时应注意讨论是否存在斜率．
跟踪训练2 已知焦点在x轴上的椭圆C：＋＝1(a>b>0)，短轴长为2，椭圆左顶点A到左焦点F1的距离为1.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设椭圆的右顶点为B，过F1的直线l与椭圆C交于点M，N，且S△BMN＝，求直线l的方程．
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题型三　中点弦问题
例3 (2023·衡水模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，短轴顶点分别为M，N，四边形MF1NF2的面积为32.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)直线l交椭圆C于A，B两点，若AB的中点坐标为(－2,1)，求直线l的方程．
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思维升华 (1)解决圆锥曲线“中点弦”问题的思路
①根与系数的关系法：联立直线和圆锥曲线的方程得到方程组，消元得到一元二次方程后，由根与系数的关系及中点坐标公式求解．
②点差法：设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将这两点坐标分别代入圆锥曲线的方程，并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和直线AB斜率有关的式子，可以大大减少计算量．
(2)点差法常用结论
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)为圆锥曲线E上的两点，AB的中点为C(x0，y0)，直线AB的斜率为k.
若E的方程为＋＝1(a>b>0)，
则k＝－·；
若E的方程为－＝1(a>0，b>0)，
则k＝·；
若E的方程为y2＝2px(p>0)，则k＝.
跟踪训练3 (1)已知双曲线方程为x2－＝1，则以A(2,1)为中点的弦所在直线l的方程是(　　)
A．6x＋y－11＝0 B．6x－y－11＝0
C．x－6y－11＝0 D．x＋6y＋11＝0
(2)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点到准线的距离为1，若抛物线C上存在关于直线l：x－y－2＝0对称的不同的两点P和Q，则线段PQ的中点坐标为(　　)
A．(1，－1) B．(2,0)
C. D．(1,1)

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