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§8.10　圆锥曲线中
的综合问题
第八章　直线和圆、圆锥曲线
1.圆锥曲线的综合问题是高考考查的重点内容，常见热点题型有求值、证明问题，
定点、定值问题，范围、最值问题，探索性问题.
2.以解答题的形式压轴出现，难度较大.
考试要求
题型一
求值与证明
例1　(12分)(2022·新高考全国Ⅰ)已知点A(2,1)在双曲线C： ＝1
(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线
AP，AQ的斜率之和为0.
(1)求l的斜率；[切入点：kAP＋kAQ＝0]
(2)若tan∠PAQ＝ ，求△PAQ的面积.
[关键点：利用tan∠PAQ求kAP，kAQ]
(1)求值问题即是根据条件列出对应的方程，通过解方程求解.
(2)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等).
思维升华
跟踪训练1　(2022·广东六校联考)已知点P(－2，－1)为椭圆C：
(a>b>0)上一点，且C的离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程；
由①②，解得a2＝8，b2＝2，
(2)若M为C上第二象限内一点，点M关于直线x＝－2的对称点为N，直线PN与C交于另一点Q，O为坐标原点，求证：MQ∥OP.
因为点M，N关于直线x＝－2对称，所以直线PM与PN关于直线x＝－2对称，
则kPM＋kPN＝0，易知直线PM的斜率存在且不为0，设直线PM的斜率为k，
则直线PN的斜率为－k，
又P(－2，－1)，所以直线PM的方程为y＋1＝k(x＋2)，即y＝k(x＋2)－1，
所以MQ∥OP.
题型二
定点与定值
因为△PAB为直角三角形，
(2)设直线l与椭圆C交于D，E两点，若 ＝0，求证：直线l过定点.
由题意，可设直线DE的方程为x＝ky＋m(m≠2)，
设D(x1，y1)，E(x2，y2)，
则(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝0，
将x1＝ky1＋m，x2＝ky2＋m代入上式得
(k2＋1)y1y2＋k(m－2)(y1＋y2)＋(m－2)2＝0，
(1)求解直线或曲线过定点问题的基本思路
①直线或曲线过定点问题，解法：引入参变量建立直线或曲线方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点.
②由直线方程确定其过定点时，若得到直线的点斜式方程y－y0＝
k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到直线的斜截式方程y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m).
(2)圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略
①求代数式为定值.依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值.
②求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得.
③求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.
跟踪训练2　(2023·郑州模拟)已知点F(0,1)，直线l：y＝4，P为曲线C上的任意一点，且|PF|是P到l的距离的
(1)求曲线C的方程；
(2)若经过点F且斜率为k(k≠0)的直线交曲线C于点M，N，线段MN的垂直平分线交y轴于点H，求证： 为定值.
设经过点F且斜率为k(k≠0)的直线的方程为y＝kx＋1，与曲线C的方程联立得
Δ＝36k2＋4×9×(4＋3k2)＝144(1＋k2)>0恒成立，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
设线段MN的中点为T(x0，y0)，
题型三
范围与最值
例3　(2022·济宁模拟)已知抛物线E：y2＝2px(p>0)上一点C(1，y0)到其焦点F的距离为2.
(1)求实数p的值；
因为点C(1，y0)到其焦点F的距离为2，
解得p＝2.
(2)若过焦点F的动直线l与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作抛物线的切线l1，l2，且l1，l2的交点为Q，l1，l2与y轴的交点分别为M，N.求△QMN面积的取值范围.
由(1)可知，抛物线E：y2＝4x，
判别式Δ＝16t2＋16>0，故t∈R，
y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，
∴△QMN面积的取值范围是[1，＋∞).
圆锥曲线中求解取值范围与最值问题的方法
(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决.
(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值(范围)，求函数最值(范围)的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等.
跟踪训练3　(2023·淄博模拟)已知椭圆E： ＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝4，点P( ，1)在椭圆E上.
(1)求椭圆E的标准方程；
因为|F1F2|＝2c＝4，所以c＝2，
即F1(－2,0)，F2(2,0)，
(2)设过点F2且倾斜角不为0的直线l与椭圆E的交点为A，B，当△F1AB的面积最大时，求直线l的方程.
由题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
设直线l的方程为x＝my＋2，
消去x可得(m2＋3)y2＋4my－2＝0，
Δ＝16m2＋8(m2＋3)＝24(m2＋1)>0，
此时直线l的方程为x－y－2＝0或x＋y－2＝0.
课时精练
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基础保分练
y2＝4x的焦点F2(1,0)，
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A(x1，y1)，B(x2，y2)，
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(1)求双曲线C的方程；
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(2)设点A，B的中点为M，求点M到y轴的距离的最小值.
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设点M的横坐标为xM>0，
当直线l的斜率不存在时，则直线l：x＝2，
易知点M到y轴的距离为xM＝2﹔
当直线l的斜率存在时，
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Δ＝64k2m2－16(4k2－1)(m2＋1)＝0，
整理得4k2＝m2＋1，
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即km<0，
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即xM>2，
此时点M到y轴的距离大于2.
综上所述，点M到y轴的最小距离为2.
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3.斜率为 的直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且交C于A，B两点(A在第一象限)，l交C的准线于D点，且|BD|＝8.
(1)求抛物线方程；
与抛物线y2＝2px联立，
可得12x2－20px＋3p2＝0，
由|BD|＝8，且直线l的倾斜角为60°，
可得点B到准线的距离为8cos 60°＝4，
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则抛物线的方程为y2＝12x.
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(2)设点T(9,0)，斜率为k的直线m过点T交y轴于S，抛物线C上是否存在不同两点M，N，使∠MST＝∠NST，且MN⊥m，若存在，求斜率k的取值范围，若不存在，请说明理由.
与抛物线的方程y2＝12x联立，
可得x2－(2tk＋12k2)x＋k2t2＝0，
Δ＝(2tk＋12k2)2－4k2t2>0，则tk＋3k2>0，
设M，N的横坐标分别为x1，x2，
则x1＋x2＝2tk＋12k2，
可得MN的中点坐标为(tk＋6k2，－6k)，k≠0，
又直线m的方程为y＝k(x－9)，
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由题意可得直线m经过线段MN的中点，
可得－6k＝k(tk＋6k2－9)，
化简为tk＋6k2＝3，
即有3－6k2＋3k2>0，
解得－1所以k的取值范围是(－1,0)∪(0,1).
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(1)求椭圆的方程；
综合提升练
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(2)设点M，N在椭圆上，以线段MN为直径的圆过原点O，试问是否存在定点P，使得P到直线MN的距离为定值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
①若直线MN与x轴垂直，由对称性可知|x1|＝|y1|，
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②若直线MN不与x轴垂直，设直线MN的方程为y＝kx＋m，
故存在定点P(0,0)，使得P到直线MN的距离为定值.
整理得45k2＋45＝14m2，
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①求C2的渐近线方程；
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拓展冲刺练
解得a2＝4，又a>0，所以a＝2，
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②过点G(4,0)的直线l交C2的右支于A，B两点，直线MA，MB与直线x＝
1相交于A1，B1两点，记A，B，A1，B1的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，求证：
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设直线AB的方程为x＝ty＋4，
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(2)从C2上的动点P(x0，y0)(x0≠±a)引C1的两条切线，经过两个切点的直线与C2的两条渐近线围成三角形的面积为S，试判断S是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
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设两个切点P1(x5，y5)，P2(x6，y6)，由题意知PP1，PP2斜率存在，
设直线PP1的方程为l1：y＝k1(x－x5)＋y5，
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5§8.10　圆锥曲线中的综合问题
考试要求　1.圆锥曲线的综合问题是高考考查的重点内容，常见热点题型有求值、证明问题，定点、定值问题，范围、最值问题，探索性问题.2.以解答题的形式压轴出现，难度较大．
题型一　求值与证明
例1　(12分)(2022·新高考全国Ⅰ)已知点A(2,1)在双曲线C：－＝1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0.
(1)求l的斜率；[切入点：kAP＋kAQ＝0]
(2)若tan∠PAQ＝2，求△PAQ的面积．[关键点：利用tan∠PAQ求kAP，kAQ]
思维升华　(1)求值问题即是根据条件列出对应的方程，通过解方程求解．
(2)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)．
跟踪训练1　(2022·广东六校联考)已知点P(－2，－1)为椭圆C：＋＝1(a>b>0)上一点，且C的离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若M为C上第二象限内一点，点M关于直线x＝－2的对称点为N，直线PN与C交于另一点Q，O为坐标原点，求证：MQ∥OP.
(1)解　由点P(－2，－1)在椭圆C上可得，＋＝1，①
由椭圆C的离心率为，得＝＝2，②
由①②，解得a2＝8，b2＝2，
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)证明　因为点M，N关于直线x＝－2对称，所以直线PM与PN关于直线x＝－2对称，
则kPM＋kPN＝0，易知直线PM的斜率存在且不为0，设直线PM的斜率为k，
则直线PN的斜率为－k，
又P(－2，－1)，所以直线PM的方程为y＋1＝k(x＋2)，即y＝k(x＋2)－1，
与椭圆方程联立，得消去y，并整理得x2＋x＋16k2－16k－4＝0，
设M，
则－2x1＝，x1＝，
设Q，
同理可得x2＝，
所以直线MQ的斜率kMQ＝＝
＝＝＝＝.
又直线OP的斜率为＝，且直线OP与MQ不重合，
所以MQ∥OP.
题型二　定点与定值
例2　(2022·济南模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，点P(0,2)，连接PA，PB交椭圆C于点M，N，△PAB为直角三角形，且|MN|＝|AB|.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线l与椭圆C交于D，E两点，若·＝0，求证：直线l过定点．
(1)解　因为△PAB为直角三角形，
所以由椭圆的对称性知|OP|＝|AB|，
即2＝×2a，所以a＝2，|MN|＝|AB|＝，
则N，
代入＋＝1得＋＝1，解得b＝1，
所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)证明　由题意，可设直线DE的方程为x＝ky＋m(m≠2)，
联立
消去x得(k2＋4)y2＋2kmy＋m2－4＝0，
设D(x1，y1)，E(x2，y2)，
则y1＋y2＝，y1·y2＝，①
因为·＝0，由(1)知B(2,0)，
所以＝(x1－2，y1)，＝(x2－2，y2)，
则(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝0，
将x1＝ky1＋m，x2＝ky2＋m代入上式得
(k2＋1)y1y2＋k(m－2)(y1＋y2)＋(m－2)2＝0，
将①代入上式得(k2＋1)＋k(m－2)＋(m－2)2＝0 5m2－16m＋12＝0，
解得m＝或m＝2(舍)，故直线l恒过定点.
思维升华　(1)求解直线或曲线过定点问题的基本思路
①直线或曲线过定点问题，解法：引入参变量建立直线或曲线方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．
②由直线方程确定其过定点时，若得到直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到直线的斜截式方程y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m)．
(2)圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略
①求代数式为定值．依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值．
②求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得．
③求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．
跟踪训练2　(2023·郑州模拟)已知点F(0,1)，直线l：y＝4，P为曲线C上的任意一点，且|PF|是P到l的距离的.
(1)求曲线C的方程；
(2)若经过点F且斜率为k(k≠0)的直线交曲线C于点M，N，线段MN的垂直平分线交y轴于点H，求证：为定值．
(1)解　设P(x，y)，由已知得＝|y－4|，整理得＋＝1，即为曲线C的方程．
(2)证明　设经过点F且斜率为k(k≠0)的直线的方程为y＝kx＋1，与曲线C的方程联立得
消去y整理得(4＋3k2)x2＋6kx－9＝0，
Δ＝36k2＋4×9×(4＋3k2)＝144(1＋k2)>0恒成立，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则|MN|＝|x1－x2|＝×＝，
x1＋x2＝－，
设线段MN的中点为T(x0，y0)，
则x0＝＝－，y0＝kx0＋1＝，
线段MN的垂直平分线的斜率为－，方程为y－＝－，
令x＝0，解得y＝，即为点H的纵坐标，
∴|FH|＝1－＝，
∴＝＝(为定值)．
题型三　范围与最值
例3　(2022·济宁模拟)已知抛物线E：y2＝2px(p>0)上一点C(1，y0)到其焦点F的距离为2.
(1)求实数p的值；
(2)若过焦点F的动直线l与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作抛物线的切线l1，l2，且l1，l2的交点为Q，l1，l2与y轴的交点分别为M，N.求△QMN面积的取值范围．
解　(1)因为点C(1，y0)到其焦点F的距离为2，
由抛物线的定义知1＋＝2，
解得p＝2.
(2)由(1)可知，抛物线E：y2＝4x，
设A，B(y1≠0，y2≠0)，
设l：x＝ty＋1，联立得y2－4ty－4＝0，
判别式Δ＝16t2＋16>0，故t∈R，
y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，
设l1：y－y1＝k，
联立方程组
消去x，整理得ky2－4y＋4y1－ky＝0，
所以Δ＝16－4k(4y1－ky)＝4(4－4ky1＋k2y)＝0，
所以k＝，
则l1：y－y1＝，
即y＝x＋，
令x＝0，得M，
同理l2：y＝x＋，N，
联立
得交点Q的横坐标为xQ＝＝－1，
∴S△QMN＝|MN|·|xQ|＝×1＝＝≥1，
∴△QMN面积的取值范围是[1，＋∞)．
思维升华　圆锥曲线中求解取值范围与最值问题的方法
(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决．
(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值(范围)，求函数最值(范围)的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等.
跟踪训练3　(2023·淄博模拟)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝4，点P(，1)在椭圆E上．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设过点F2且倾斜角不为0的直线l与椭圆E的交点为A，B，当△F1AB的面积最大时，求直线l的方程．
解　(1)因为|F1F2|＝2c＝4，所以c＝2，
即F1(－2,0)，F2(2,0)，
由椭圆的定义可得2a＝|PF1|＋|PF2|＝＋＝2，
解得a＝，
所以b＝＝，
因此，椭圆E的标准方程为＋＝1.
(2)由题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
设直线l的方程为x＝my＋2，
联立
消去x可得(m2＋3)y2＋4my－2＝0，
Δ＝16m2＋8(m2＋3)＝24(m2＋1)>0，
由根与系数的关系可得y1＋y2＝－，y1y2＝－，
所以，＝|F1F2|·|y1－y2|
＝2
＝2
＝，
令t＝>1，
则＝＝≤＝2，
当且仅当t＝，即m＝±1时，等号成立，
此时直线l的方程为x－y－2＝0或x＋y－2＝0.
课时精练
1．(2022·岳阳质检)在平面直角坐标系Oxy中，椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，F2也是抛物线C2：y2＝4x的焦点，点M为C1与C2在第一象限的交点，且|MF2|＝.
(1)求C1的方程；
(2)平面上的点N满足＝＋，直线l∥MN，且与C1交于A，B两点，若·＝0，求直线l的方程．
解　(1)y2＝4x的焦点F2(1,0)，
∴c＝1，|MF2|＝，
∴xM＋1＝，xM＝，
代入抛物线方程，有M，
又∵2a＝|MF1|＋|MF2|＝＋＝4，∴a＝2，
∴椭圆C1的方程为＋＝1.
(2)点N满足＝＋，所以易知N与M关于原点对称，所以kMN＝kOM＝＝kl，
设直线l的方程为y＝x＋m,
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立
得27x2＋8mx＋4(m2－3)＝0，
x1＋x2＝－，x1x2＝，y1y2＝6x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝，
∵·＝0，∴x1x2＋y1y2＝0，
代入根与系数的关系得m2＝12，m＝±2，满足Δ>0，
∴直线l的方程为y＝x±2.
2．(2023·苏州模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)过点(2，1)，渐近线方程为y＝
±x，直线l是双曲线C右支的一条切线，且与C的渐近线交于A，B两点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)设点A，B的中点为M，求点M到y轴的距离的最小值．
解　(1)由题设可知
解得
则C：－y2＝1.
(2)设点M的横坐标为xM>0，
当直线l的斜率不存在时，则直线l：x＝2，
易知点M到y轴的距离为xM＝2﹔
当直线l的斜率存在时，
设l：y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立整理得(4k2－1)x2＋8kmx＋4m2＋4＝0，
Δ＝64k2m2－16(4k2－1)(m2＋1)＝0，
整理得4k2＝m2＋1，
联立整理得(4k2－1)x2＋8kmx＋4m2＝0，
则x1＋x2＝－＝－＝－，则xM＝＝－>0，
即km<0，
则x＝＝4＋>4，
即xM>2，
此时点M到y轴的距离大于2.
综上所述，点M到y轴的最小距离为2.
3．斜率为的直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且交C于A，B两点(A在第一象限)，l交C的准线于D点，且|BD|＝8.
(1)求抛物线方程；
(2)设点T(9,0)，斜率为k的直线m过点T交y轴于S，抛物线C上是否存在不同两点M，N，使∠MST＝∠NST，且MN⊥m，若存在，求斜率k的取值范围，若不存在，请说明理由．
解　(1)抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为，
可得直线l的方程为y＝，
与抛物线y2＝2px联立，
可得12x2－20px＋3p2＝0，
解得xA＝p，xB＝，
由|BD|＝8，且直线l的倾斜角为60°，
可得点B到准线的距离为8cos 60°＝4，
即有xB＋＝4，
即＋＝4，解得p＝6，
则抛物线的方程为y2＝12x.
(2)设直线MN的方程为y＝－x＋t，
与抛物线的方程y2＝12x联立，
可得x2－(2tk＋12k2)x＋k2t2＝0，
Δ＝(2tk＋12k2)2－4k2t2>0，则tk＋3k2>0，
设M，N的横坐标分别为x1，x2，
则x1＋x2＝2tk＋12k2，
可得MN的中点坐标为(tk＋6k2，－6k)，k≠0，
又直线m的方程为y＝k(x－9)，
由题意可得直线m经过线段MN的中点，
可得－6k＝k(tk＋6k2－9)，
化简为tk＋6k2＝3，
即有3－6k2＋3k2>0，
解得－1所以k的取值范围是(－1,0)∪(0,1)．
4．(2022·南昌模拟)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，且其左顶点到右焦点的距离为5.
(1)求椭圆的方程；
(2)设点M，N在椭圆上，以线段MN为直径的圆过原点O，试问是否存在定点P，使得P到直线MN的距离为定值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解　(1)由题设可知解得a＝3，c＝2，则b2＝a2－c2＝5，
所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
①若直线MN与x轴垂直，由对称性可知|x1|＝|y1|，
将点M(x1，y1)代入椭圆方程，解得|x1|＝，
故原点到该直线的距离d＝.
②若直线MN不与x轴垂直，设直线MN的方程为y＝kx＋m，
由消去y得(9k2＋5)x2＋18kmx＋9m2－45＝0，
由根与系数的关系得
则由条件·＝0，即x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝0，
得(k2＋1)＋km＋m2＝0，
整理得45k2＋45＝14m2，则原点到该直线的距离d＝＝＝，
故存在定点P(0,0)，使得P到直线MN的距离为定值．
5．(2022·潍坊模拟)已知M，N为椭圆C1：＋y2＝1(a>0)和双曲线C2：－y2＝1的公共顶点，e1，e2分别为C1和C2的离心率．
(1)若e1e2＝.
①求C2的渐近线方程；
②过点G(4,0)的直线l交C2的右支于A，B两点，直线MA，MB与直线x＝1相交于A1，B1两点，记A，B，A1，B1的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，求证：＋＝＋；
(2)从C2上的动点P(x0，y0)(x0≠±a)引C1的两条切线，经过两个切点的直线与C2的两条渐近线围成三角形的面积为S，试判断S是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
(1)证明　由题意得e1＝，e2＝，
所以e1e2＝＝，
解得a2＝4，又a>0，所以a＝2，
①故双曲线C2的渐近线方程为y＝±x，
②设直线AB的方程为x＝ty＋4，
则消元得(t2－4)y2＋8ty＋12＝0，Δ>0，
且t≠±2，所以
故＋＝＝－，
又直线AA1的方程为y＝(x＋2)，
所以y3＝，同理y4＝，
所以＋＝
＝
＝
＝t＋
＝t＋2＝t－t＝－t，
故＋＝＋.
(2)解　设两个切点P1(x5，y5)，P2(x6，y6)，由题意知PP1，PP2斜率存在，
设直线PP1的方程为l1：y＝k1(x－x5)＋y5，
联立由Δ＝0得k1＝－，
所以l1：＋y5y＝1，
同理直线PP2方程为l2：＋y6y＝1，
由l1，l2过P点可得
可得直线P1P2的方程为＋y0y＝1，
不妨设，直线P1P2与双曲线两渐近线y＝±x交于两点P1′，P2′，
则围成三角形的面积
S＝
＝，
因为P在双曲线C2上，则x－a2y＝a2，
则S＝＝a为定值．§8.10　圆锥曲线中的综合问题
考试要求　1.圆锥曲线的综合问题是高考考查的重点内容，常见热点题型有求值、证明问题，定点、定值问题，范围、最值问题，探索性问题.2.以解答题的形式压轴出现，难度较大．
题型一　求值与证明
例1 (12分)(2022·新高考全国Ⅰ)已知点A(2,1)在双曲线C：－＝1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0.
(1)求l的斜率；[切入点：kAP＋kAQ＝0]
(2)若tan∠PAQ＝2，求△PAQ的面积．[关键点：利用tan∠PAQ求kAP，kAQ]
思维升华 (1)求值问题即是根据条件列出对应的方程，通过解方程求解．
(2)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)．
跟踪训练1 (2022·广东六校联考)已知点P(－2，－1)为椭圆C：＋＝1(a>b>0)上一点，且C的离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程；
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(2)若M为C上第二象限内一点，点M关于直线x＝－2的对称点为N，直线PN与C交于另一点Q，O为坐标原点，求证：MQ∥OP.
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题型二　定点与定值
例2 (2022·济南模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，点P(0,2)，连接PA，PB交椭圆C于点M，N，△PAB为直角三角形，且|MN|＝|AB|.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线l与椭圆C交于D，E两点，若·＝0，求证：直线l过定点．
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思维升华 (1)求解直线或曲线过定点问题的基本思路
①直线或曲线过定点问题，解法：引入参变量建立直线或曲线方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．
②由直线方程确定其过定点时，若得到直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到直线的斜截式方程y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m)．
(2)圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略
①求代数式为定值．依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值．
②求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得．
③求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．
跟踪训练2 (2023·郑州模拟)已知点F(0,1)，直线l：y＝4，P为曲线C上的任意一点，且|PF|是P到l的距离的.
(1)求曲线C的方程；
(2)若经过点F且斜率为k(k≠0)的直线交曲线C于点M，N，线段MN的垂直平分线交y轴于点H，求证：为定值．
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题型三　范围与最值
例3 (2022·济宁模拟)已知抛物线E：y2＝2px(p>0)上一点C(1，y0)到其焦点F的距离为2.
(1)求实数p的值；
(2)若过焦点F的动直线l与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作抛物线的切线l1，l2，且l1，l2的交点为Q，l1，l2与y轴的交点分别为M，N.求△QMN面积的取值范围．
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思维升华 圆锥曲线中求解取值范围与最值问题的方法
(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决．
(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值(范围)，求函数最值(范围)的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等.
跟踪训练3 (2023·淄博模拟)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝4，点P(，1)在椭圆E上．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设过点F2且倾斜角不为0的直线l与椭圆E的交点为A，B，当△F1AB的面积最大时，求直线l的方程．
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