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(共59张PPT)
§2.1　函数的概念及其表示
第二章　函　数
1.了解函数的含义.
2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)
表示函数.
3.了解简单的分段函数，并会简单的应用.
考试要求
内容索引
第一部分
第二部分
第三部分
落实主干知识
探究核心题型
课时精练
落实主干知识
第
一
部
分
1.函数的概念
一般地，设A，B是 ，如果对于集合A中的 一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有 的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2.函数的三要素
(1)函数的三要素： 、 、 .
(2)如果两个函数的 相同，并且 完全一致，则这两个函数为同一个函数.
非空的实数集
任意
唯一确定
定义域
对应关系
值域
定义域
对应关系
3.函数的表示法
表示函数的常用方法有 、图象法和 .
4.分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.
解析法
列表法
1.直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点.
2.在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集.
3.分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数.
(　　)
(2)函数y＝f(x)的图象可以是一条封闭曲线.(　　)
(3)y＝x0与y＝1是同一个函数.(　　)
√
×
×
×
1.(多选)下列所给图象是函数图象的是
A中，当x>0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象；
B中，当x＝x0时，y的值有两个，因此不是函数图象；
CD中，每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象.
√
√
√
y＝x－1的定义域为R，y＝ 的定义域为{x|x≠－1}，定义域不同，不是同一个函数，故选项A不正确；
√
探究核心题型
第
二部
分
例1　(1)函数y＝ 的定义域为
A.(－4，－1) B.(－4,1)
C.(－1,1) D.(－1,1]
题型一
函数的定义域
√
(2)已知矩形的周长为定值a，设它的一条边长为x，则矩形面积的函数S＝f(x)的定义域为
A.(0，＋∞) B.(0，a)
√
(1)求函数定义域，即求使解析式有意义的自变量x的取值集合；
(2)若函数是由几个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成的，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集；
(3)具体求解时一般是列出自变量满足的不等式(组)，得出不等式(组)的解集即可；
(4)注意不要轻易对解析式化简变形，否则易出现定义域错误.
思维升华
A.(1,3] B.(1,2)∪(2,3]
C.(1,3)∪(3，＋∞) D.(－∞，3)
所以1所以函数的定义域为(1,2)∪(2,3].
√
跟踪训练1　函数f(x)＝
例2　(1)已知f(1－sin x)＝cos2x，求f(x)的解析式；
题型二
函数的解析式
(换元法)设1－sin x＝t，t∈[0,2]，
则sin x＝1－t，∵f(1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x，
∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0,2].
即f(x)＝2x－x2，x∈[0,2].
∴f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞).
(待定系数法)∵f(x)是一次函数，可设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17.
即ax＋(5a＋b)＝2x＋17，
(3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式.
∴f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7.
函数解析式的求法
(1)配凑法；
(2)待定系数法；
(3)换元法.
跟踪训练2　(1)已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的解析式是
A.f(x)＝x2＋6x B.f(x)＝x2＋8x＋7
C.f(x)＝x2＋2x－3 D.f(x)＝x2＋6x－10
√
f(x－1)＝x2＋4x－5，设x－1＝t，x＝t＋1，
则f(t)＝(t＋1)2＋4(t＋1)－5＝t2＋6t，
故f(x)＝x2＋6x.
题型三
分段函数
由题意得当x>0时，f(x)＝f(x－4)，
所以f(10)＝f(6)＝f(2)＝f(－2)＝log24＝2.
√
例3　(1)(2023·成都模拟)已知函数f(x)＝ 则f(10)等于
－2或5
[－3，－1)∪[4，＋∞)
若f(a)＝4，
解得a＝－2或a＝5.
若f(a)≥2，
解得－3≤a<－1或a≥4，
∴a的取值范围是[－3，－1)∪[4，＋∞).
分段函数求值问题的解题思路
(1)求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值.
(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验.
跟踪训练3　(1)已知f(x)＝
√
_____________.
当x≤0时，x＋1≤1，
当01，
此时f(x)＝x2－1≤0，f(x＋1)＝log2(x＋1)>0，
∴当0当x>1时，x＋1>2，
f(x)课时精练
第
三部
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基础保分练
A.(2，＋∞) B.(2,3) C.(3，＋∞) D.(2,3)∪(3，＋∞)
∴函数f(x)的定义域为(2,3)∪(3，＋∞).
√
2.(2023·三明模拟)已知集合A＝{x|－2A.f：x→y＝x＋1 B.f：x→y＝ex
C.f：x→y＝x2 D.f：x→y＝|x|
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对于A，当x＝－1时，由f：x→y＝x＋1得y＝0，但0 B，故A错误；
对于B，因为从A＝{x|－2对于C，当x＝0时，由f：x→y＝x2得y＝0，但0 B，故C错误；
对于D，当x＝0时，由f：x→y＝|x|得y＝0，但0 B，故D错误.
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令x3＝10，则x＝ ，
∴f(10)＝lg ＝ .
4.图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿，其身流线自若、纹理分明，展现了古代中国精湛的制造技术.科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时30秒注满，设注水过程中，壶中水面高度为h，注水时间为t，则下面选项中最符合h关于t的函数图象的是
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水壶的结构：底端与上端细、中间粗，
所以在注水恒定的情况下，开始水的高度增加的快，中间增加的慢，最后又变快，
由图可知选项A符合.
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A.0或1 B.－1或1
C.0或－2 D.－2或－1
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令f(a)＝t，则f(t)＝2，可得t＝0或t＝1，
当t＝0时，即f(a)＝0，显然a≤0，
因此a＋2＝0 a＝－2，
当t＝1时，即f(a)＝1，显然a≤0，
因此a＋2＝1 a＝－1，
综上所述，a＝－2或－1.
7.(多选)下列四个函数，定义域和值域相同的是
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A.y＝－x＋1 B.
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对A，函数的定义域和值域都是R；
对B，根据分段函数和幂函数的性质，可知函数的定义域和值域都是R；
对C，函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为R；
所以ABD是定义域和值域相同的函数.
8.(多选)函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的，后又经历了贝努利、欧拉等人的改译.1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则称最初的变数叫自变量，其他的变数叫做函数.德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨.后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数”，则下列对应法则f满足函数定义的有
A.f(x2)＝|x| B.f(x2)＝x
C.f(cos x)＝x D.f(ex)＝x
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令t＝ex(t>0)，f(t)＝ln t，故D符合函数定义.
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所以f(f(－3))＝f(27)＝log327－2＝3－2＝1.
1
10.已知f( )＝x－1，则f(x)＝___________.
x2－1(x≥0)
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所以f(t)＝t2－1(t≥0)，即f(x)＝x2－1(x≥0).
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(0,1)∪(1,2]
要使函数f(x)有意义，
故f(x)的定义域为(0,1)∪(1,2].
12.(2023·广州质检)已知函数f(x)＝ 的值域为R，则实
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数a的取值范围是________.
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∵当x≥1时，f(x)＝ln x≥ln 1＝0，
又f(x)的值域为R，
故当x<1时，f(x)的值域包含(－∞，0).
13.(2022·广州模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足，f(1－x)＋2f(x)＝x2＋1，则f(1)等于
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综合提升练
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∵定义在R上的函数f(x)满足，f(1－x)＋2f(x)＝x2＋1，
∴当x＝0时，f(1)＋2f(0)＝1， ①
当x＝1时，f(0)＋2f(1)＝2， ②
②×2－①，得3f(1)＝3，解得f(1)＝1.
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作出函数f(x)的图象，如图所示.
因为f(a－3)＝f(a＋2)，且a－315.高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数.例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3，
已知函数f(x)＝ ，则函数y＝[f(x)]的值域为
A.{0,1,2,3} B.{0,1,2}
C.{1,2,3} D.{1,2}
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拓展冲刺练
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当1当2≤f(x)<3时，[f(x)]＝2.
综上，函数y＝[f(x)]的值域为{1,2}.
16. x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中最大者，M(x)＝{|x|－1,1－x2}，若M(n)<1，则实数n的取值范围是
A.(－2,2) B.(－2,0)∪(0,2)
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当x≥0时，若x－1≥1－x2，则x≥1，
当x<0时，若－x－1≥1－x2，则x≤－1，
若M(n)<1，则当－1当n≥1或n≤－1时，|n|－1<1，解得－2综上，－2考试要求　1.了解函数的含义.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用．
知识梳理
1．函数的概念
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2．函数的三要素
(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域．
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数．
3．函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
4．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
常用结论
1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点．
2．在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集．
3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数．(　×　)
(2)函数y＝f(x)的图象可以是一条封闭曲线．(　×　)
(3)y＝x0与y＝1是同一个函数．(　×　)
(4)函数f(x)＝的定义域为R.(　√　)
教材改编题
1．(多选)下列所给图象是函数图象的是(　　)
答案　CD
解析　A中，当x>0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象；B中，当x＝x0时，y的值有两个，因此不是函数图象；CD中，每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象．
2．下列各组函数表示同一个函数的是(　　)
A．y＝x－1与y＝
B．y＝x－1与y＝－
C．y＝2与y＝2x
D．y＝与v＝
答案　D
解析　y＝x－1的定义域为R，y＝的定义域为{x|x≠－1}，定义域不同，不是同一个函数，故选项A不正确；
y＝x－1＝与y＝－的对应关系不同，不是同一个函数，故选项B不正确；
y＝2＝2|x|与y＝2x的对应关系不同，不是同一个函数，故选项C不正确；
y＝与v＝的定义域都是(－∞，1)∪(1，＋∞)，对应关系也相同，所以是同一个函数，故选项D正确．
3．已知函数f(x)＝则函数f 等于(　　)
A．3 B．－3 C. D．－
答案　C
解析　由题意可知，f ＝ln ＝－ln 3，所以f ＝f(－ln 3)＝e－ln 3＝.
题型一　函数的定义域
例1　(1)函数y＝的定义域为(　　)
A．(－4，－1) B．(－4,1)
C．(－1,1) D．(－1,1]
答案　C
解析　由题意得解得－1(2)已知矩形的周长为定值a，设它的一条边长为x，则矩形面积的函数S＝f(x)的定义域为(　　)
A．(0，＋∞) B．(0，a)
C．[0，＋∞) D.
答案　D
解析　边长为x>0，另一条边长为>0，
得x<，所以0故f(x)的定义域为.
思维升华　(1)求函数定义域，即求使解析式有意义的自变量x的取值集合；(2)若函数是由几个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成的，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集；(3)具体求解时一般是列出自变量满足的不等式(组)，得出不等式(组)的解集即可；(4)注意不要轻易对解析式化简变形，否则易出现定义域错误．
跟踪训练1　函数f(x)＝＋的定义域为(　　)
A．(1,3] B．(1,2)∪(2,3]
C．(1,3)∪(3，＋∞) D．(－∞，3)
答案　B
解析　由题意知
所以1所以函数的定义域为(1,2)∪(2,3]．
题型二　函数的解析式
例2　(1)已知f(1－sin x)＝cos2x，求f(x)的解析式；
(2)已知f ＝x2＋，求f(x)的解析式；
(3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式．
解　(1)(换元法)设1－sin x＝t，t∈[0,2]，
则sin x＝1－t，∵f(1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x，
∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0,2]．
即f(x)＝2x－x2，x∈[0,2]．
(2)(配凑法)∵f ＝x2＋＝2－2，
∴f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
(3)(待定系数法)∵f(x)是一次函数，可设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17.
即ax＋(5a＋b)＝2x＋17，
∴解得
∴f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7.
思维升华　函数解析式的求法
(1)配凑法；(2)待定系数法；(3)换元法．
跟踪训练2　(1)已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的解析式是(　　)
A．f(x)＝x2＋6x B．f(x)＝x2＋8x＋7
C．f(x)＝x2＋2x－3 D．f(x)＝x2＋6x－10
答案　A
解析　f(x－1)＝x2＋4x－5，设x－1＝t，x＝t＋1，
则f(t)＝(t＋1)2＋4(t＋1)－5＝t2＋6t，
故f(x)＝x2＋6x.
(2)若f ＝，则f(x)＝________.
答案　(x≠0且x≠1)
解析　f(x)＝＝(x≠0且x≠1)．
题型三　分段函数
例3　(1)(2023·成都模拟)已知函数f(x)＝则f(10)等于(　　)
A．0 B. C．1 D．2
答案　D
解析　由题意得当x>0时，f(x)＝f(x－4)，
所以f(10)＝f(6)＝f(2)＝f(－2)＝log24＝2.
(2)已知函数f(x)＝若f(a)＝4，则实数a的值是________；若f(a)≥2，则实数a的取值范围是________．
答案　－2或5　[－3，－1)∪[4，＋∞)
解析　若f(a)＝4，
则或
解得a＝－2或a＝5.
若f(a)≥2，
则或
解得－3≤a<－1或a≥4，
∴a的取值范围是[－3，－1)∪[4，＋∞)．
思维升华　分段函数求值问题的解题思路
(1)求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．
跟踪训练3　(1)已知f(x)＝则f ＋f 的值为(　　)
A. B．－ C．－1 D．1
答案　D
解析　f ＝f ＋1＝f ＋1
＝cos ＋1＝，
f ＝cos＝cos ＝－，
∴f ＋f ＝－＝1.
(2)(2023·重庆质检)已知函数f(x)＝则f(x)答案　
解析　当x≤0时，x＋1≤1，
f(x)解得－当01，
此时f(x)＝x2－1≤0，f(x＋1)＝log2(x＋1)>0，
∴当0当x>1时，x＋1>2，
f(x)综上，不等式f(x)课时精练
1．函数f(x)＝lg(x－2)＋的定义域是(　　)
A．(2，＋∞) B．(2,3)
C．(3，＋∞) D．(2,3)∪(3，＋∞)
答案　D
解析　∵f(x)＝lg(x－2)＋，
∴解得x>2，且x≠3，
∴函数f(x)的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)．
2．(2023·三明模拟)已知集合A＝{x|－2A．f：x→y＝x＋1 B．f：x→y＝ex
C．f：x→y＝x2 D．f：x→y＝|x|
答案　B
解析　对于A，当x＝－1时，由f：x→y＝x＋1得y＝0，但0 B，故A错误；
对于B，因为从A＝{x|－2对于C，当x＝0时，由f：x→y＝x2得y＝0，但0 B，故C错误；
对于D，当x＝0时，由f：x→y＝|x|得y＝0，但0 B，故D错误．
3．已知f(x3)＝lg x，则f(10)的值为(　　)
A．1 B. C. D.
答案　C
解析　令x3＝10，则x＝，
∴f(10)＝lg ＝.
4.图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿，其身流线自若、纹理分明，展现了古代中国精湛的制造技术．科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时30秒注满，设注水过程中，壶中水面高度为h，注水时间为t，则下面选项中最符合h关于t的函数图象的是(　　)
答案　A
解析　水壶的结构：底端与上端细、中间粗，
所以在注水恒定的情况下，开始水的高度增加的快，中间增加的慢，最后又变快，
由图可知选项A符合．
5．函数y＝1＋x－的值域为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　设＝t，则t≥0，x＝，所以y＝1＋－t＝(－t2－2t＋3)＝－(t＋1)2＋2，因为t≥0，所以y≤.所以函数y＝1＋x－的值域为.
6．已知函数f(x)＝若f(f(a))＝2，则a等于(　　)
A．0或1 B．－1或1
C．0或－2 D．－2或－1
答案　D
解析　令f(a)＝t，则f(t)＝2，可得t＝0或t＝1，
当t＝0时，即f(a)＝0，显然a≤0，
因此a＋2＝0 a＝－2，
当t＝1时，即f(a)＝1，显然a≤0，
因此a＋2＝1 a＝－1，
综上所述，a＝－2或－1.
7．(多选)下列四个函数，定义域和值域相同的是(　　)
A．y＝－x＋1 B．
C．y＝ln|x| D．y＝
答案　ABD
解析　对A，函数的定义域和值域都是R；
对B，根据分段函数和幂函数的性质，可知函数的定义域和值域都是R；
对C，函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为R；
对D，因为函数y＝＝2＋，所以函数的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
所以ABD是定义域和值域相同的函数．
8．(多选)函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的，后又经历了贝努利、欧拉等人的改译.1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则称最初的变数叫自变量，其他的变数叫做函数．德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨．后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数”，则下列对应法则f满足函数定义的有(　　)
A．f(x2)＝|x| B．f(x2)＝x
C．f(cos x)＝x D．f(ex)＝x
答案　AD
解析　令t＝x2(t≥0)，f(t)＝|±|＝，故A符合函数定义；
令t＝x2(t≥0)，f(t)＝±，设t＝4，f(t)＝±2，一个自变量对应两个函数值，故B不符合函数定义；
设t＝cos x，当t＝时，x可以取±等无数多个值，故C不符合函数定义；
令t＝ex(t>0)，f(t)＝ln t，故D符合函数定义．
9．已知函数f(x)＝则f(f(－3))＝________.
答案　1
解析　因为f(x)＝所以f(－3)＝－3＝27，所以f(f(－3))＝f(27)＝log327－2＝3－2＝1.
10．已知f()＝x－1，则f(x)＝________.
答案　x2－1(x≥0)
解析　令t＝，则t≥0，x＝t2，
所以f(t)＝t2－1(t≥0)，即f(x)＝x2－1(x≥0)．
11．函数f(x)＝的定义域为________．
答案　(0,1)∪(1,2]
解析　要使函数f(x)有意义，
则解得0故f(x)的定义域为(0,1)∪(1,2]．
12．(2023·广州质检)已知函数f(x)＝的值域为R，则实数a的取值范围是________．
答案　
解析　∵当x≥1时，f(x)＝ln x≥ln 1＝0，
又f(x)的值域为R，
故当x<1时，f(x)的值域包含(－∞，0)．
故
解得－1≤a<.
13．(2022·广州模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足，f(1－x)＋2f(x)＝x2＋1，则f(1)等于(　　)
A．－1 B．1 C．－ D.
答案　B
解析　∵定义在R上的函数f(x)满足，f(1－x)＋2f(x)＝x2＋1，
∴当x＝0时，f(1)＋2f(0)＝1，①
当x＝1时，f(0)＋2f(1)＝2，②
②×2－①，得3f(1)＝3，解得f(1)＝1.
14．(2023·南昌模拟)已知函数f(x)＝若f(a－3)＝f(a＋2)，则f(a)等于(　　)
A．2 B. C．1 D．0
答案　B
解析　作出函数f(x)的图象，如图所示．
因为f(a－3)＝f(a＋2)，且a－3所以即－2此时f(a－3)＝a－3＋3＝a，f(a＋2)＝，
所以a＝，即a2＝a＋2，
解得a＝2或a＝－1(不满足a＝，舍去)，
则f(a)＝.
15．高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数．例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3，已知函数f(x)＝，则函数y＝[f(x)]的值域为(　　)
A．{0,1,2,3} B．{0,1,2}
C．{1,2,3} D．{1,2}
答案　D
解析　f(x)＝＝＝1＋，
∵2x>0，∴1＋2x>1,0<<1，
则0<<2,1<1＋<3，即1当1当2≤f(x)<3时，[f(x)]＝2.
综上，函数y＝[f(x)]的值域为{1,2}．
16． x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中最大者，M(x)＝{|x|－1,1－x2}，若M(n)<1，则实数n的取值范围是(　　)
A．(－2,2) B．(－2,0)∪(0,2)
C．[－2,2] D．(－，)
答案　B
解析　当x≥0时，若x－1≥1－x2，则x≥1，
当x<0时，若－x－1≥1－x2，则x≤－1，
所以M(x)＝
若M(n)<1，则当－1当n≥1或n≤－1时，|n|－1<1，
解得－2综上，－2考试要求　1.了解函数的含义.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用．
知识梳理
1．函数的概念
一般地，设A，B是________________，如果对于集合A中的________一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有________________的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2．函数的三要素
(1)函数的三要素：__________、____________、________.
(2)如果两个函数的____________相同，并且________________完全一致，则这两个函数为同一个函数．
3．函数的表示法
表示函数的常用方法有____________、图象法和____________．
4．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
常用结论
1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点．
2．在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集．
3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数．(　　)
(2)函数y＝f(x)的图象可以是一条封闭曲线．(　　)
(3)y＝x0与y＝1是同一个函数．(　　)
(4)函数f(x)＝的定义域为R.(　　)
教材改编题
1．(多选)下列所给图象是函数图象的是(　　)
2．下列各组函数表示同一个函数的是(　　)
A．y＝x－1与y＝
B．y＝x－1与y＝－
C．y＝2与y＝2x
D．y＝与v＝
3．已知函数f(x)＝则函数f 等于(　　)
A．3 B．－3
C. D．－
题型一　函数的定义域
例1 (1)函数y＝的定义域为(　　)
A．(－4，－1) B．(－4,1)
C．(－1,1) D．(－1,1]
(2)已知矩形的周长为定值a，设它的一条边长为x，则矩形面积的函数S＝f(x)的定义域为(　　)
A．(0，＋∞) B．(0，a)
C．[0，＋∞) D.
听课记录：______________________________________________________________
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思维升华 (1)求函数定义域，即求使解析式有意义的自变量x的取值集合；(2)若函数是由几个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成的，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集；(3)具体求解时一般是列出自变量满足的不等式(组)，得出不等式(组)的解集即可；(4)注意不要轻易对解析式化简变形，否则易出现定义域错误．
跟踪训练1 函数f(x)＝＋的定义域为(　　)
A．(1,3] B．(1,2)∪(2,3]
C．(1,3)∪(3，＋∞) D．(－∞，3)
题型二　函数的解析式
例2 (1)已知f(1－sin x)＝cos2x，求f(x)的解析式；
(2)已知f ＝x2＋，求f(x)的解析式；
(3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式．
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________________________________________________________________________
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思维升华 函数解析式的求法
(1)配凑法；(2)待定系数法；(3)换元法．
跟踪训练2 (1)已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的解析式是(　　)
A．f(x)＝x2＋6x B．f(x)＝x2＋8x＋7
C．f(x)＝x2＋2x－3 D．f(x)＝x2＋6x－10
(2)若f ＝，则f(x)＝________.
题型三　分段函数
例3 (1)(2023·成都模拟)已知函数f(x)＝则f(10)等于(　　)
A．0 B. C．1 D．2
(2)已知函数f(x)＝若f(a)＝4，则实数a的值是________；若f(a)≥2，则实数a的取值范围是________________．
听课记录：______________________________________________________________
________________________________________________________________________
思维升华 分段函数求值问题的解题思路
(1)求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．
跟踪训练3 (1)已知f(x)＝则f ＋f 的值为(　　)
A. B．－
C．－1 D．1
(2)(2023·重庆质检)已知函数f(x)＝则f(x)

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