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(共60张PPT)
§2.2　函数的单调
性与最值
第二章　函　数
1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.
2.掌握函数单调性的简单应用.
考试要求
内容索引
第一部分
第二部分
第三部分
落实主干知识
探究核心题型
课时精练
落实主干知识
第
一
部
分
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I D，如果 x1，x2∈I
当x1f(x1)f(x1)>f(x2)
图象描述 自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间I上 或 ，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间.
单调递增
单调递减
2.函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足
条件 (1) x∈D，都有 ； (2) x0∈D，使得_________ (1) x∈D，都有 ；
(2) x0∈D，使得_________
结论 M为f(x)的最大值 M为f(x)的最小值
f(x)≤M
f(x0)＝M
f(x)≥M
f(x0)＝M
1. x1，x2∈I且x1≠x2，有 >0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0
(<0) f(x)在区间I上单调递增(减).
2.在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数.
3.函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝ 的单调性相反.
4.复合函数的单调性：同增异减.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)因为f(－3)(2)函数f(x)在(－2,3)上单调递增，则函数的单调递增区间为(－2,3).(　　)
(3)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数.(　　)
×
×
×
×
1.下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是
A.y＝x2－1 B.y＝x3
C.y＝2x D.y＝－x＋2
√
√
3.函数f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，则满足f(2x－1)>f 的x的取值范
围是________.
∵f(x)的定义域是[0，＋∞)，
又∵f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，
探究核心题型
第
二部
分
题型一
确定函数的单调性
命题点1　函数单调性的判断
例1　(多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是
A.y＝ex－e－x B.y＝|x2－2x|
√
√
∵y＝ex与y＝－e－x为R上的增函数，
∴y＝ex－e－x为R上的增函数，故A正确；
由y＝|x2－2x|的图象(图略)知，B不正确；
对于选项C，y′＝2－2sin x≥0，
∴y＝2x＋2cos x在(0，＋∞)上单调递增，故C正确；
任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1命题点2　利用定义证明函数的单调性
例2　证明函数g(x)＝ 在(1，＋∞)上单调递增.
由于10，
∴g(x1)－g(x2)<0，即g(x1)故g(x)在(1，＋∞)上单调递增.
确定函数单调性的四种方法
(1)定义法；
(2)导数法；
(3)图象法；
(4)性质法.
思维升华
跟踪训练1　(1)函数g(x)＝x·|x－1|＋1的单调递减区间为
√
(2)函数f(x)＝ 的单调递增区间是
A.[－1，＋∞) B.(－∞，－1)
C.(－∞，0) D.(0，＋∞)
√
f(x)＝ 分解为y＝2u和u＝－x2－2x两个函数，y＝2u在R上单调递增，
u＝－x2－2x＝－(x＋1)2＋1在(－∞，－1)上单调递增，在[－1，＋∞)上单调递减，
根据复合函数单调性得到函数f(x)＝ 在(－∞，－1)上单调递增.
题型二
函数单调性的应用
命题点1　比较函数值的大小
例3　若f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，对任意的x1，x2∈[0，＋∞)
且x1≠x2，有 <0，则
A.f(3)C.f(－2)√
∴当x≥0时，函数f(x)单调递减，
∴f(3)又f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，f(x)＝f(－x)，
∴f(3)命题点2　求函数的最值
例4　函数f(x)＝x－ (x∈[1,2])的最大值为
√
因为函数y＝x，y＝－ 在区间[1,2]上均单调递增，
故函数f(x)在[1,2]上单调递增，
当x∈[1,2]时，f(x)max＝f(2)＝2－1＝1.
命题点3　解函数不等式
例5　函数y＝f(x)是定义在[－2,2]上的减函数，且f(a＋1)[－1,1)
所以a的取值范围是[－1,1).
命题点4　求参数的取值范围
例6　已知函数f(x)＝ 是R上的增函数，则实数a的取值范
围是
√
(1)比较函数值的大小时，先转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.
(2)求解函数不等式时，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域.
(3)利用单调性求参数的取值(范围).根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值.
跟踪训练2　(1)已知函数f(x)＝ 则不等式f(x＋2)的解集是
A.(－2,1) B.(0,1)
C.(－∞，－2)∪(1，＋∞) D.(1，＋∞)
√
则不等式f(x＋2)即x2＋x－2>0，
解得x>1或x<－2，
则原不等式的解集为(－∞，－2)∪(1，＋∞).
[1,2)
∵f(x)在(a，＋∞)上单调递增，
课时精练
第
三部
分
1.下列函数在R上为增函数的是
A.y＝x2 B.y＝x
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基础保分练
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y＝x2在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故选项A错误；
y＝x在R上为增函数，故选项B正确；
2.函数f(x)＝－|x－2|的单调递减区间为
A.(－∞，2] B.[2，＋∞)
C.[0,2] D.[0，＋∞)
∴函数y＝|x－2|的单调递减区间是(－∞，2]，单调递增区间为[2，＋∞)，
∴f(x)＝－|x－2|的单调递减区间是[2，＋∞).
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A.(－∞，3] B.(2,3)
C.(2,3] D.[3，＋∞)
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∵x2≥0，∴x2＋1≥1，
∴f(x)∈(2,3].
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A.f(a)>f(b)>f(c) B.f(b)>f(a)>f(c)
C.f(a)>f(c)>f(b) D.f(c)>f(a)>f(b)
√
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因为y＝ex是增函数，y＝e－x是减函数，
所以f(x)＝ex－e－x在(0，＋∞)上单调递增，且f(x)>0.
又f(x)＝－x2在(－∞，0]上单调递增，且f(x)≤0，
所以f(x)在R上单调递增.
又c＝log20.9<0,01，
即a>b>c，所以f(a)>f(b)>f(c).
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A.f(x)的单调递增区间是[－1,1]
B.f(x)的单调递减区间是[1，＋∞)
C.f(x)的最大值为2
D.f(x)没有最小值
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要使函数有意义，有－x2＋2x＋3≥0，解得－1≤x≤3，可知选项B错误；
当x＝－1或x＝3时，－x2＋2x＋3＝0，此时函数有最小值0，可知选项D错误；
令y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，根据复合函数的单调性可知选项A正确；
根据函数的单调性及定义域，可知f(x)max＝f(1)＝2，从而选项C正确.
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6.(多选)已知函数f(x)＝x－ (a≠0)，下列说法正确的是
A.当a>0时，f(x)在定义域上单调递增
B.当a＝－4时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)
C.当a＝－4时，f(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)
D.当a>0时，f(x)的值域为R
√
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定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).
∵f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，故A错误；
又当x→－∞时，f(x)→－∞，
当x→0－时，f(x)→＋∞，
∴f(x)的值域为R，故D正确；
由其图象(图略)可知，B，C正确.
7.函数f(x)＝x2－6|x|＋8的单调递减区间是__________________.
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(－∞，－3]，[0,3]
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当x≥0时，函数f(x)＝x2－6x＋8的单调递减区间为[0,3]，
当x<0时，函数f(x)＝x2＋6x＋8的单调递减区间为(－∞，－3]，
8.已知命题p：“若f(x)1
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f(x)＝(x－1)2，x∈(0,4)
_____________________________________________________.
由题意知，
f(x)＝(x－1)2，x∈(0,4)，
则函数f(x)的图象在(0,4)上先单调递减再单调递增，
当x＝1时，函数值最小，且f(x)所以函数f(x)＝(x－1)2，x∈(0,4)可以说明命题p为假命题.
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9.已知函数f(x)＝x|x－4|.
(1)把f(x)写成分段函数，并在直角坐标系内画出函数f(x)的大致图象；
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函数图象如图所示.
(2)写出函数f(x)的单调递减区间.
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由(1)中函数的图象可知，函数f(x)的单调递减区间为(2,4).
10.已知函数f(x)＝a－ .
(1)求f(0)的值；
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(2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论.
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f(x)在R上单调递增.证明如下：
∵f(x)的定义域为R，
∴任取x1，x2∈R且x1则f(x1)－f(x2)＝ ，
∵y＝2x在R上单调递增且x1∴ ，
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∴ <0, ＋1>0, ＋1>0.
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴f(x)在R上单调递增.
11.已知函数f(x)＝e|x－a|(a为常数)，若f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是___________.
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综合提升练
(－∞，1]
当x≥a时，f(x)单调递增，当x又f(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以a≤1.
12.设函数f(x)＝x2 022－ ＋5，则f(x)的单调递增区间为__________，不等
式f(x－1)<5的解集为____________.
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(0,1)∪(1,2)
(0，＋∞)
由题意得f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).
因为f(x)＝f(－x)，所以f(x)是偶函数.
当x>0时，f(x)＝x2 022－ ＋5，f(x)单调递增，
因此当x<0时，f(x)单调递减.
又因为f(1)＝f(－1)＝5，
所以由f(x－1)<5可得－11
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13.已知函数y＝f(x)的定义域为R，对任意x1，x2且x1≠x2，都有
>－1，则下列说法正确的是
A.y＝f(x)＋x是增函数
B.y＝f(x)＋x是减函数
C.y＝f(x)是增函数
D.y＝f(x)是减函数
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拓展冲刺练
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不妨令x1令g(x)＝f(x)＋x，∴g(x1)又x114.(2022·贵阳模拟)若a＝ln 3，b＝lg 5，c＝log126，则
A.a>b>c B.b>c>a
C.c>b>a D.a>c>b
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∵a＝ln 3>ln e＝1，b＝lg 5∴a>b，a>c，
显然函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又∵0∴f(log25)∴a>c>b.§2.2　函数的单调性与最值
考试要求　1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.
2.掌握函数单调性的简单应用．
知识梳理
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I D，如果 x1，x2∈I
当x1f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减
图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足
条件 (1) x∈D，都有f(x)≤M； (2) x0∈D，使得f(x0)＝M (1) x∈D，都有f(x)≥M； (2) x0∈D，使得f(x0)＝M
结论 M为f(x)的最大值 M为f(x)的最小值
常用结论
1． x1，x2∈I且x1≠x2，有>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0) f(x)在区间I上单调递增(减)．
2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数．
3．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反．
4．复合函数的单调性：同增异减．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)因为f(－3)(2)函数f(x)在(－2,3)上单调递增，则函数的单调递增区间为(－2,3)．(　×　)
(3)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数．(　×　)
(4)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(　×　)
教材改编题
1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是(　　)
A．y＝x2－1 B．y＝x3
C．y＝2x D．y＝－x＋2
答案　D
2．y＝＋1在[3,4]上的最大值为(　　)
A．2 B. C. D．4
答案　A
解析　因为y＝＋1在[3,4]上单调递减，
所以当x＝3时，y取得最大值为＋1＝2.
3．函数f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，则满足f(2x－1)>f 的x的取值范围是________．
答案　
解析　∵f(x)的定义域是[0，＋∞)，
∴2x－1≥0，即x≥，
又∵f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，
∴2x－1<，即x<，
则x的取值范围为.
题型一　确定函数的单调性
命题点1　函数单调性的判断
例1　(多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是(　　)
A．y＝ex－e－x B．y＝|x2－2x|
C．y＝2x＋2cos x D．y＝
答案　AC
解析　∵y＝ex与y＝－e－x为R上的增函数，
∴y＝ex－e－x为R上的增函数，故A正确；
由y＝|x2－2x|的图象(图略)知，B不正确；
对于选项C，y′＝2－2sin x≥0，
∴y＝2x＋2cos x在(0，＋∞)上单调递增，故C正确；
y＝的定义域为(－∞，－2]∪[1，＋∞)，故D不正确．
命题点2　利用定义证明函数的单调性
例2　证明函数g(x)＝在(1，＋∞)上单调递增．
证明　任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1则g(x1)－g(x2)＝－＝，
由于10，
∴g(x1)－g(x2)<0，即g(x1)故g(x)在(1，＋∞)上单调递增．
思维升华　确定函数单调性的四种方法
(1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法．
跟踪训练1　(1)函数g(x)＝x·|x－1|＋1的单调递减区间为(　　)
A. B.
C．[1，＋∞) D.∪[1，＋∞)
答案　B
解析　g(x)＝x·|x－1|＋1＝画出函数图象，如图所示，
根据图象知，函数的单调递减区间为.
(2)函数f(x)＝的单调递增区间是(　　)
A．[－1，＋∞) B．(－∞，－1)
C．(－∞，0) D．(0，＋∞)
答案　B
解析　f(x)＝分解为y＝2u和u＝－x2－2x两个函数，y＝2u在R上单调递增，
u＝－x2－2x＝－(x＋1)2＋1在(－∞，－1)上单调递增，在[－1，＋∞)上单调递减，
根据复合函数单调性得到函数f(x)＝在(－∞，－1)上单调递增．
题型二　函数单调性的应用
命题点1　比较函数值的大小
例3　若f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，对任意的x1，x2∈[0，＋∞)且x1≠x2，有<0，则(　　)
A．f(3)B．f(3)C．f(－2)D．f(1)答案　B
解析　∵对任意的x1，x2∈[0，＋∞)且x1≠x2，有<0，∴当x≥0时，函数f(x)单调递减，∴f(3)命题点2　求函数的最值
例4　函数f(x)＝x－(x∈[1,2])的最大值为(　　)
A．－1 B．1 C. D．2
答案　B
解析　因为函数y＝x，y＝－在区间[1,2]上均单调递增，故函数f(x)在[1,2]上单调递增，
当x∈[1,2]时，f(x)max＝f(2)＝2－1＝1.
命题点3　解函数不等式
例5　函数y＝f(x)是定义在[－2,2]上的减函数，且f(a＋1)答案　[－1,1)
解析　依题意 －1≤a<1.
所以a的取值范围是[－1,1)．
命题点4　求参数的取值范围
例6　已知函数f(x)＝是R上的增函数，则实数a的取值范围是(　　)
A. B. C．(0,1) D．(0,1]
答案　B
解析　因为函数f(x)＝是定义在R上的增函数，
所以解得0所以实数a的取值范围为.
思维升华　(1)比较函数值的大小时，先转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．
(2)求解函数不等式时，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域．
(3)利用单调性求参数的取值(范围)．根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值．
跟踪训练2　(1)已知函数f(x)＝则不等式f(x＋2)A．(－2,1) B．(0,1)
C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(1，＋∞)
答案　C
解析　由函数f(x)＝的图象(图略)可得f(x)在R上单调递增，
则不等式f(x＋2)即x2＋x－2>0，
解得x>1或x<－2，
则原不等式的解集为(－∞，－2)∪(1，＋∞)．
(2)若函数f(x)＝在(a，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________．
答案　[1,2)
解析　f(x)＝＝＝1＋，
∵f(x)在(a，＋∞)上单调递增，
∴ 1≤a<2.
课时精练
1．下列函数在R上为增函数的是(　　)
A．y＝x2 B．y＝x
C．y＝－ D．y＝
答案　B
解析　y＝x2在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故选项A错误；
y＝x在R上为增函数，故选项B正确；
y＝－在[0，＋∞)上单调递减，故选项C错误；
y＝在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减，故选项D错误．
2．函数f(x)＝－|x－2|的单调递减区间为(　　)
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[0,2] D．[0，＋∞)
答案　B
解析　∵y＝|x－2|＝
∴函数y＝|x－2|的单调递减区间是(－∞，2]，单调递增区间为[2，＋∞)，
∴f(x)＝－|x－2|的单调递减区间是[2，＋∞)．
3．若函数f(x)＝，则f(x)的值域为(　　)
A．(－∞，3] B．(2,3)
C．(2,3] D．[3，＋∞)
答案　C
解析　f(x)＝＝2＋，
∵x2≥0，∴x2＋1≥1，∴0<≤1，
∴f(x)∈(2,3]．
4．(2023·南通模拟)已知函数f(x)＝若a＝50.01，b＝log32，c＝log20.9，则有(　　)
A．f(a)>f(b)>f(c)
B．f(b)>f(a)>f(c)
C．f(a)>f(c)>f(b)
D．f(c)>f(a)>f(b)
答案　A
解析　因为y＝ex是增函数，y＝e－x是减函数，
所以f(x)＝ex－e－x在(0，＋∞)上单调递增，且f(x)>0.
又f(x)＝－x2在(－∞，0]上单调递增，且f(x)≤0，
所以f(x)在R上单调递增．
又c＝log20.9<0,01，
即a>b>c，所以f(a)>f(b)>f(c)．
5．(多选)关于函数f(x)＝的结论，下列说法正确的是(　　)
A．f(x)的单调递增区间是[－1,1]
B．f(x)的单调递减区间是[1，＋∞)
C．f(x)的最大值为2
D．f(x)没有最小值
答案　AC
解析　要使函数有意义，有－x2＋2x＋3≥0，解得－1≤x≤3，可知选项B错误；
当x＝－1或x＝3时，－x2＋2x＋3＝0，此时函数有最小值0，可知选项D错误；
令y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，根据复合函数的单调性可知选项A正确；
根据函数的单调性及定义域，可知f(x)max＝f(1)＝2，从而选项C正确．
6．(多选)已知函数f(x)＝x－(a≠0)，下列说法正确的是(　　)
A．当a>0时，f(x)在定义域上单调递增
B．当a＝－4时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)
C．当a＝－4时，f(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)
D．当a>0时，f(x)的值域为R
答案　BCD
解析　当a>0时，f(x)＝x－，
定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
∵f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，故A错误；
又当x→－∞时，f(x)→－∞，
当x→0－时，f(x)→＋∞，
∴f(x)的值域为R，故D正确；
当a＝－4时，f(x)＝x＋，
由其图象(图略)可知，B，C正确．
7．函数f(x)＝x2－6|x|＋8的单调递减区间是________．
答案　(－∞，－3]，[0,3]
解析　由题意得函数f(x)＝
当x≥0时，函数f(x)＝x2－6x＋8的单调递减区间为[0,3]，
当x<0时，函数f(x)＝x2＋6x＋8的单调递减区间为(－∞，－3]，
综上，函数f(x)＝的单调递减区间为(－∞，－3]，[0,3]．
8．已知命题p：“若f(x)答案　f(x)＝(x－1)2，x∈(0,4)(答案不唯一，如f(x)＝只要满足题意即可)
解析　由题意知，
f(x)＝(x－1)2，x∈(0,4)，
则函数f(x)的图象在(0,4)上先单调递减再单调递增，
当x＝1时，函数值最小，且f(x)所以函数f(x)＝(x－1)2，x∈(0,4)可以说明命题p为假命题．
9．已知函数f(x)＝x|x－4|.
(1)把f(x)写成分段函数，并在直角坐标系内画出函数f(x)的大致图象；
(2)写出函数f(x)的单调递减区间．
解　(1)f(x)＝x|x－4|
＝
函数图象如图所示．
(2)由(1)中函数的图象可知，函数f(x)的单调递减区间为(2,4)．
10．已知函数f(x)＝a－.
(1)求f(0)的值；
(2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论．
解　(1)f(0)＝a－＝a－1.
(2)f(x)在R上单调递增．证明如下：
∵f(x)的定义域为R，
∴任取x1，x2∈R且x1则f(x1)－f(x2)＝，
∵y＝2x在R上单调递增且x1∴，
∴－<0,＋1>0,＋1>0.
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴f(x)在R上单调递增．
11．已知函数f(x)＝e|x－a|(a为常数)，若f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是________．
答案　(－∞，1]
解析　f(x)＝
当x≥a时，f(x)单调递增，当x又f(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以a≤1.
12．设函数f(x)＝x2 022－＋5，则f(x)的单调递增区间为________，不等式f(x－1)<5的解集为________．
答案　(0，＋∞)　(0,1)∪(1,2)
解析　由题意得f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．因为f(x)＝f(－x)，所以f(x)是偶函数．当x>0时，f(x)＝x2 022－＋5，f(x)单调递增，因此当x<0时，f(x)单调递减．又因为f(1)＝f(－1)＝5，所以由f(x－1)<5可得－113．已知函数y＝f(x)的定义域为R，对任意x1，x2且x1≠x2，都有>－1，则下列说法正确的是(　　)
A．y＝f(x)＋x是增函数
B．y＝f(x)＋x是减函数
C．y＝f(x)是增函数
D．y＝f(x)是减函数
答案　A
解析　不妨令x1∵>－1 f(x1)－f(x2)<－(x1－x2) f(x1)＋x1令g(x)＝f(x)＋x，∴g(x1)又x114．(2022·贵阳模拟)若a＝ln 3，b＝lg 5，c＝log126，则(　　)
A．a>b>c B．b>c>a
C．c>b>a D．a>c>b
答案　D
解析　∵a＝ln 3>ln e＝1，b＝lg 5∴a>b，a>c，
∵lg 5＝＝，log126＝＝，
∴构造函数f(x)＝＝1－(x>0)，
显然函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又∵0∴f(log25)∴a>c>b.§2.2　函数的单调性与最值
考试要求　1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.
2.掌握函数单调性的简单应用．
知识梳理
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I D，如果 x1，x2∈I
当x1图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间I上____________或________________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足
条件 (1) x∈D，都有________； (2) x0∈D，使得________ (1) x∈D，都有________； (2) x0∈D，使得________
结论 M为f(x)的最大值 M为f(x)的最小值
常用结论
1． x1，x2∈I且x1≠x2，有>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0) f(x)在区间I上单调递增(减)．
2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数．
3．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反．
4．复合函数的单调性：同增异减．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)因为f(－3)(2)函数f(x)在(－2,3)上单调递增，则函数的单调递增区间为(－2,3)．(　　)
(3)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数．(　　)
(4)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(　　)
教材改编题
1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是(　　)
A．y＝x2－1 B．y＝x3
C．y＝2x D．y＝－x＋2
2．y＝＋1在[3,4]上的最大值为(　　)
A．2 B. C. D．4
3．函数f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，则满足f(2x－1)>f 的x的取值范围是________.
题型一　确定函数的单调性
命题点1　函数单调性的判断
例1 (多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是(　　)
A．y＝ex－e－x B．y＝|x2－2x|
C．y＝2x＋2cos x D．y＝
听课记录： ______________________________________________________________
________________________________________________________________________
命题点2　利用定义证明函数的单调性
例2 证明函数g(x)＝在(1，＋∞)上单调递增．
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
思维升华 确定函数单调性的四种方法
(1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法．
跟踪训练1 (1)函数g(x)＝x·|x－1|＋1的单调递减区间为(　　)
A. B.
C．[1，＋∞) D.∪[1，＋∞)
(2)函数f(x)＝的单调递增区间是(　　)
A．[－1，＋∞) B．(－∞，－1)
C．(－∞，0) D．(0，＋∞)
题型二　函数单调性的应用
命题点1　比较函数值的大小
例3 若f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，对任意的x1，x2∈[0，＋∞)且x1≠x2，有<0，则(　　)
A．f(3)B．f(3)C．f(－2)D．f(1)听课记录：______________________________________________________________
________________________________________________________________________
命题点2　求函数的最值
例4 函数f(x)＝x－(x∈[1,2])的最大值为(　　)
A．－1 B．1 C. D．2
听课记录：______________________________________________________________
________________________________________________________________________
命题点3　解函数不等式
例5 函数y＝f(x)是定义在[－2,2]上的减函数，且f(a＋1)听课记录：______________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
命题点4　求参数的取值范围
例6 已知函数f(x)＝是R上的增函数，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C．(0,1) D．(0,1]
听课记录：______________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
思维升华 (1)比较函数值的大小时，先转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．
(2)求解函数不等式时，由条件脱去“f ”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域．
(3)利用单调性求参数的取值(范围)．根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值．
跟踪训练2 (1)已知函数f(x)＝则不等式f(x＋2)A．(－2,1)
B．(0,1)
C．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
D．(1，＋∞)
(2)若函数f(x)＝在(a，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________________．

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