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(共70张PPT)
§2.6　二次函数
与幂函数
第二章　函　数
1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.
2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等).
考试要求
内容索引
第一部分
第二部分
第三部分
落实主干知识
探究核心题型
课时精练
落实主干知识
第
一
部
分
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，函数______叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.
(2)常见的五种幂函数的图象
y＝xα
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点 和 ，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点 ，且在(0，＋∞)上单调递减；
④当α为奇数时，y＝xα为 ；当α为偶数时，y＝xα为 .
(1,1)
(0,0)
(1,1)
奇函数
偶函数
2.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝________________.
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为_______.
零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的 .
ax2＋bx＋c(a≠0)
(m，n)
零点
函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象(抛物线)
定义域 ____
(2)二次函数的图象和性质
R
值域 ________________
________________
对称轴 x＝_____
顶点坐标 _______________
奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性
减
增
增
减
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝ 是幂函数.(　　)
(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象恒在x轴下方，则a<0且Δ<0.(　　)
(3)二次函数y＝a(x－1)2＋2的单调递增区间是[1，＋∞).(　　)
(4)若幂函数y＝xα是偶函数，则α为偶数.(　　)
×
×
√
×
√
2.已知函数f(x)＝－x2－4x＋5，则函数y＝f(x)的单调递增区间为
A.(－∞，－2] B.(－∞，2]
C.[－2，＋∞) D.[2，＋∞)
√
f(x)＝－x2－4x＋5＝－(x＋2)2＋9，
故函数f(x)的对称轴为x＝－2，
又函数f(x)的图象开口向下，
故函数的单调递增区间为(－∞，－2].
3.函数f(x)＝－2x2＋4x，x∈[－1,2]的值域为
A.[－6,2] B.[－6,1]
C.[0,2] D.[0,1]
√
函数f(x)＝－2x2＋4x的对称轴为x＝1，
则f(x)在[－1,1]上单调递增，在[1,2]上单调递减，
∴f(x)max＝f(1)＝2，f(x)min＝f(－1)＝－2－4＝－6，
即f(x)的值域为[－6,2].
探究核心题型
第
二部
分
例1　(1)若幂函数y＝xm，y＝xn，y＝xp在第一象限内
的图象如图所示，则
A.m>n>p B.n>m>p
C.n>p>m D.p>n>m
√
因为在区间(0,1)上，幂函数的指数越大，图象越靠近x轴，所以n>m>p.
题型一
幂函数的图象与性质
(2)(2023·德州模拟)幂函数f(x)＝(m2＋m－5) 在区间(0，＋∞)上单调递增，则f(3)等于
√
由题意，得m2＋m－5＝1，
即m2＋m－6＝0，解得m＝2或m＝－3，
当m＝2时，可得函数f(x)＝x3，
此时函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，符合题意；
当m＝－3时，可得f(x)＝x－2，
此时函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意，
即幂函数f(x)＝x3，则f(3)＝27.
(1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域.根据α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.
(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.
思维升华
跟踪训练1　(1)已知幂函数 (p∈Z)的图象关于y轴对称，如图所
示，则
A.p为奇数，且p>0
B.p为奇数，且p<0
C.p为偶数，且p>0
D.p为偶数，且p<0
√
因为函数 的图象关于y轴对称，
所以函数 为偶函数，即p为偶数，
又函数 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
且在(0，＋∞)上单调递减，
即p<0.
(2)(2023·长沙质检)幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm的
图象关于y轴对称，则实数m＝____.
由幂函数定义，知m2－3m＋3＝1，
解得m＝1或m＝2，当m＝1时，f(x)＝x的图象不关于y轴对称，舍去，
当m＝2时，f(x)＝x2的图象关于y轴对称，
因此m＝2.
2
例2　已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式.
题型二
二次函数的解析式
方法一　(利用“一般式”解题)
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
所以所求二次函数的解析式为
f(x)＝－4x2＋4x＋7.
方法二　(利用“顶点式”解题)
设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0).
因为f(2)＝f(－1)，
又根据题意，函数有最大值8，
所以n＝8，
解得a＝－4，
方法三　(利用“零点式”解题)
由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
解得a＝－4.
故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
求二次函数解析式的三个策略：
(1)已知三个点的坐标，宜选用一般式；
(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式；
(3)已知图象与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式.
思维升华
跟踪训练2　已知二次函数的图象过点(－3,0)，(1,0)，且顶点到x轴的距离等于2，则二次函数的解析式为_____________________________.
因为二次函数的图象过点(－3,0)，(1,0)，
所以可设二次函数为y＝a(x＋3)(x－1)(a≠0)，
展开得，y＝ax2＋2ax－3a，
由于二次函数图象的顶点到x轴的距离为2，
命题点1　二次函数的图象
例3　设abc>0，则二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是
题型三
二次函数的图象与性质
√
因为abc>0，
二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，那么可知，
在A中，a<0，b<0，c<0，不符合题意；
B中，a<0，b>0，c>0，不符合题意；
C中，a>0，b>0，c<0，不符合题意；
D中，a>0，b<0，c<0，符合题意.
命题点2　二次函数的单调性与最值
例4　(2023·福州模拟)已知二次函数f(x)＝ax2－x＋2a－1.
(1)若f(x)在区间[1,2]上单调递减，求a的取值范围；
当a>0时，
当a<0时，f(x)＝ax2－x＋2a－1的图象开口向下，
所以f(x)在区间[1,2]上单调递减需满足a<0，
(2)若a>0，设函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式.
f(x)在区间[1,2]上单调递增，
此时g(a)＝f(1)＝3a－2.
f(x)在区间[1,2]上单调递减，
此时g(a)＝f(2)＝6a－3，
二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论.
跟踪训练3　(1)(多选)(2022·茂名模拟)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列说法正确的是
A.2a＋b＝0
B.4a＋2b＋c<0
C.9a＋3b＋c<0
D.abc<0
√
√
√
由二次函数图象开口向下知，a<0，
又因为f(0)＝c>0，所以abc<0.
f(2)＝f(0)＝4a＋2b＋c>0，
f(3)＝f(－1)＝9a＋3b＋c<0.
(2)(2022·镇江模拟)函数f(x)＝x2－4x＋2在区间[a，b]上的值域为[－2,2]，则b－a的取值范围是_____.
[2,4]
解方程f(x)＝x2－4x＋2＝2，解得x＝0或x＝4，
解方程f(x)＝x2－4x＋2＝－2，解得x＝2，
由于函数f(x)在区间[a，b]上的值域为[－2,2].
若函数f(x)在区间[a，b]上单调，
则[a，b]＝[0,2]或[a，b]＝[2,4]，此时b－a取得最小值2；
若函数f(x)在区间[a，b]上不单调，
且当b－a取最大值时，[a，b]＝[0,4]，
所以b－a的最大值为4.
所以b－a的取值范围是[2,4].
课时精练
第
三部
分
1.已知p：f(x)是幂函数，q：f(x)的图象过点(0,0)，则p是q的
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
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√
基础保分练
f(x)＝x－2是幂函数，但其图象不过点(0,0)，故充分性不成立；
f(x)＝2x－1的图象过点(0,0)，但其不是幂函数，故必要性不成立.
所以p是q的既不充分也不必要条件.
2.(2023·保定检测)已知a＝ ，b＝ ，c＝ ，则
A.bC.b√
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由题意得b＝ ＝a，
a＝ ＝ <4<5＝ ＝c，
所以b3.(2023·厦门模拟)函数y＝ax＋b和y＝ax2＋bx＋c在同一平面直角坐标系内的图象可以是
√
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若a>0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A，D；
对于选项B，由直线可知a>0，b>0，从而 <0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故应排除B.
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4.已知函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋a，若对于区间[－1,2]上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有f(x1)≠f(x2)，则实数a的取值范围是
A.(－∞，0] B.[0,3]
C.(－∞，0]∪[3，＋∞) D.[3，＋∞)
√
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二次函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋a图象的对称轴为直线x＝a－1，
∵对于任意x1，x2∈[－1,2]且x1≠x2，都有f(x1)≠f(x2)，
即f(x)在区间[－1,2]上是单调函数，
∴a－1≤－1或a－1≥2，
∴a≤0或a≥3，即实数a的取值范围为(－∞，0]∪[3，＋∞).
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5.(多选)幂函数f(x)＝ 在(0，＋∞)上单调递增，则以下说法正确的是
A.m＝3
B.函数f(x)在(－∞，0)上单调递增
C.函数f(x)是偶函数
D.函数f(x)的图象关于原点对称
√
√
√
因为幂函数f(x)＝ 在(0，＋∞)上单调递增，
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所以f(x)＝x3，
所以f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，
故f(x)＝x3为奇函数，函数图象关于原点对称，
所以f(x)在(－∞，0)上单调递增.
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6.(多选)若二次函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－2,3]上的最大值为6，则
a等于
√
√
显然a≠0，有f(x)＝a(x＋1)2－a＋1，
当a>0时，f(x)在[－2,3]上的最大值为f(3)＝15a＋1，
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当a<0时，f(x)在[－2,3]上的最大值为f(－1)＝1－a，
由1－a＝6，解得a＝－5，符合题意，
7.二次函数f(x)的图象经过两点(0,3)，(2,3)，且函数的最大值是5，则函数f(x)的解析式是___________________.
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f(x)＝－2x2＋4x＋3
由于点(0,3)，(2,3)在y＝f(x)的图象上，
所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，
又f(x)的最大值为5，
设f(x)＝a(x－1)2＋5(a<0)，
由f(0)＝f(2)＝3，得3＝a＋5，
所以a＝－2，
因此f(x)＝－2(x－1)2＋5＝－2x2＋4x＋3.
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8.(2022·人大附中质检)已知二次函数f(x)＝ax2＋2x＋c(x∈R)的值域为
[1，＋∞)，则 的最小值为_____.
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因为二次函数f(x)＝ax2＋2x＋c(x∈R)的值域为[1，＋∞)，则a>0，
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当且仅当c＝2时，等号成立，
9.已知幂函数f(x)＝(2m2－m－2) (m∈R)为偶函数.
(1)求f(x)的解析式；
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当m＝－1时，f(x)＝x2，函数为偶函数，符合题意；
故f(x)的解析式为f(x)＝x2.
(2)若函数g(x)＝f(x)－2(a－1)x＋1在区间[0,4]上的最大值为9，求实数a的值.
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由(1)得，g(x)＝f(x)－2(a－1)x＋1＝x2－2(a－1)x＋1.
函数的对称轴为x＝a－1，开口向上，f(0)＝1，f(4)＝17－8(a－1)，
由题意得，在区间[0,4]上，f(x)max＝f(4)＝17－8(a－1)＝9，解得a＝2，经检验a＝2符合题意，
所以实数a的值为2.
由题意，设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
因为f(0)＝1，可得c＝1，即f(x)＝ax2＋bx＋1，
又因为f(x＋1)－f(x)＝2x，可得a(x＋1)2＋b(x＋1)－ax2－bx＝2x，
10.若二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
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所以f(x)＝x2－x＋1.
由(1)知函数f(x)＝x2－x＋1，
因为f(x)>2x＋m在[－1,1]上恒成立，即x2－3x＋1>m在[－1,1]上恒成立，
令g(x)＝x2－3x＋1，x∈[－1,1]，
根据二次函数的性质，可得函数g(x)在[－1,1]上单调递减，所以g(x)min＝g(1)＝－1，
所以m<－1，所以实数m的取值范围是(－∞，－1).
(2)若f(x)>2x＋m在[－1,1]上恒成立，求m的取值范围.
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11.已知幂函数y＝xa与y＝xb的部分图象如图所示，直线x＝m2，x＝m(01
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综合提升练
√
由题意，|AB|＝|(m2)a－(m2)b|，|CD|＝|ma－mb|，根据图象可知b>1>a>
0，当0(m2)b，ma>mb，因为|AB|＝|CD|，所以m2a－m2b＝(ma＋mb)(ma－mb)＝ma－mb，因为ma－mb>0，所以ma＋mb＝1.
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12.设关于x的方程x2－2mx＋2－m＝0(m∈R)的两个实数根分别是α，β，则α2＋β2＋5的最小值为_____.
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且Δ＝4m2－4(2－m)≥0，
解得m≤－2或m≥1，
α2＋β2＋5＝(α＋β)2－2αβ＋5＝4m2＋2m＋1，
令f(m)＝4m2＋2m＋1，
且m≤－2或m≥1，
所以f(m)min＝f(1)＝7.
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13.已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在区间[t，t＋4]内的值域为[m，M]，对于任意实数t，都有M－m≥4，则实数a的取值范围是
A.a≥1 B.a≤1
C.a≥2 D.a≤2
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√
拓展冲刺练
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由题意可知，对于任意实数t，都有M－m≥4，则满足(M－m)min≥4，
根据二次函数的性质可得，当[t，t＋4]关于对称轴对称，即t＋2＝
时，M－m取得最小值，
根据题意，由二次函数的性质可得，将f(x)的顶点平移到原点可得g(x)＝ax2，且不影响M－m的变化，
此时要使M－m取得最小值，则t＋2＝0，即t＝－2，
则(M－m)min＝g(2)－g(0)＝4a≥4，解得a≥1.
14.已知函数f(x)＝x2－4x＋1，设1≤x1A.3 B.4 C.5 D.6
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√
函数f(x)＝x2－4x＋1在[1,2]上单调递减，在(2,4]上单调递增.
由绝对值的几何意义，
∴|f(x1)－f(x2)|＋|f(x2)－f(x3)|＋…＋|f(xn－1)－f(xn)|表示将函数f(x)在(x1，xn)上分成n－1段，取每段两端点函数值差的绝对值总和.
又根据f(x)的单调性知原式最大值为
|f(1)－f(2)|＋|f(2)－f(4)|＝f(1)－f(2)＋f(4)－f(2)＝5，
∴M≥5，则M的最小值为5.
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14§2.6　二次函数与幂函数
考试要求　1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)．
知识梳理
1．幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)常见的五种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减；
④当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数．
2．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．
零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．
(2)二次函数的图象和性质
函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象(抛物线)
定义域 R
值域
对称轴 x＝－
顶点坐标
奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性 在上单调递减； 在上单调递增 在上单调递增； 在上单调递减
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝是幂函数．(　×　)
(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象恒在x轴下方，则a<0且Δ<0.(　√　)
(3)二次函数y＝a(x－1)2＋2的单调递增区间是[1，＋∞)．(　×　)
(4)若幂函数y＝xα是偶函数，则α为偶数．(　×　)
教材改编题
1．已知幂函数f(x)的图象经过点，则f(8)的值等于(　　)
A. B．4 C．8 D.
答案　D
解析　设幂函数f(x)＝xα，因为幂函数f(x)的图象经过点，所以f(5)＝5α＝，
解得α＝－1，所以f(x)＝x－1，则f(8)＝8－1＝.
2．已知函数f(x)＝－x2－4x＋5，则函数y＝f(x)的单调递增区间为(　　)
A．(－∞，－2] B．(－∞，2]
C．[－2，＋∞) D．[2，＋∞)
答案　A
解析　f(x)＝－x2－4x＋5＝－(x＋2)2＋9，故函数f(x)的对称轴为x＝－2，
又函数f(x)的图象开口向下，故函数的单调递增区间为(－∞，－2]．
3．函数f(x)＝－2x2＋4x，x∈[－1,2]的值域为(　　)
A．[－6,2] B．[－6,1]
C．[0,2] D．[0,1]
答案　A
解析　函数f(x)＝－2x2＋4x的对称轴为x＝1，
则f(x)在[－1,1]上单调递增，在[1,2]上单调递减，
∴f(x)max＝f(1)＝2，f(x)min＝f(－1)＝－2－4＝－6，
即f(x)的值域为[－6,2].
题型一　幂函数的图象与性质
例1　(1)若幂函数y＝xm，y＝xn，y＝xp在第一象限内的图象如图所示，则(　　)
A．m>n>p
B．n>m>p
C．n>p>m
D．p>n>m
答案　B
解析　因为在区间(0,1)上，幂函数的指数越大，图象越靠近x轴，所以n>m>p.
(2)(2023·德州模拟)幂函数f(x)＝(m2＋m－5)在区间(0，＋∞)上单调递增，则f(3)等于(　　)
A．27 B．9 C. D.
答案　A
解析　由题意，得m2＋m－5＝1，
即m2＋m－6＝0，解得m＝2或m＝－3，
当m＝2时，可得函数f(x)＝x3，
此时函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，符合题意；
当m＝－3时，可得f(x)＝x－2，
此时函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意，
即幂函数f(x)＝x3，则f(3)＝27.
思维升华　(1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．
(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．
跟踪训练1　(1)已知幂函数(p∈Z)的图象关于y轴对称，如图所示，则(　　)
A．p为奇数，且p>0
B．p为奇数，且p<0
C．p为偶数，且p>0
D．p为偶数，且p<0
答案　D
解析　因为函数的图象关于y轴对称，
所以函数为偶函数，即p为偶数，
又函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
且在(0，＋∞)上单调递减，
所以<0，
即p<0.
(2)(2023·长沙质检)幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm的图象关于y轴对称，则实数m＝________.
答案　2
解析　由幂函数定义，知m2－3m＋3＝1，
解得m＝1或m＝2，当m＝1时，f(x)＝x的图象不关于y轴对称，舍去，
当m＝2时，f(x)＝x2的图象关于y轴对称，
因此m＝2.
题型二　二次函数的解析式
例2　已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式．
解　方法一　(利用“一般式”解题)
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由题意得解得
所以所求二次函数的解析式为
f(x)＝－4x2＋4x＋7.
方法二　(利用“顶点式”解题)
设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
因为f(2)＝f(－1)，
所以抛物线的对称轴为x＝＝，
所以m＝.
又根据题意，函数有最大值8，
所以n＝8，
所以f(x)＝a2＋8.
因为f(2)＝－1，所以a2＋8＝－1，
解得a＝－4，
所以f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.
方法三　(利用“零点式”解题)
由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又函数有最大值8，即＝8.
解得a＝－4.
故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
思维升华　求二次函数解析式的三个策略：
(1)已知三个点的坐标，宜选用一般式；
(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式；
(3)已知图象与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式．
跟踪训练2　已知二次函数的图象过点(－3,0)，(1,0)，且顶点到x轴的距离等于2，则二次函数的解析式为________．
答案　y＝x2＋x－或y＝－x2－x＋
解析　因为二次函数的图象过点(－3,0)，(1,0)，
所以可设二次函数为y＝a(x＋3)(x－1)(a≠0)，
展开得，y＝ax2＋2ax－3a，
顶点的纵坐标为＝－4a，
由于二次函数图象的顶点到x轴的距离为2，
所以|－4a|＝2，即a＝±，
所以二次函数的解析式为y＝x2＋x－或y＝－x2－x＋.
题型三　二次函数的图象与性质
命题点1　二次函数的图象
例3　设abc>0，则二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　)
答案　D
解析　因为abc>0，
二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，那么可知，
在A中，a<0，b<0，c<0，不符合题意；
B中，a<0，b>0，c>0，不符合题意；
C中，a>0，b>0，c<0，不符合题意；
D中，a>0，b<0，c<0，符合题意．
命题点2　二次函数的单调性与最值
例4　(2023·福州模拟)已知二次函数f(x)＝ax2－x＋2a－1.
(1)若f(x)在区间[1,2]上单调递减，求a的取值范围；
(2)若a>0，设函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式．
解　(1)当a>0时，
f(x)＝ax2－x＋2a－1的图象开口向上，对称轴方程为x＝，
所以f(x)在区间[1,2]上单调递减需满足≥2，a>0，
解得0当a<0时，f(x)＝ax2－x＋2a－1的图象开口向下，对称轴方程为x＝<0，
所以f(x)在区间[1,2]上单调递减需满足a<0，
综上，a的取值范围是(－∞，0)∪.
(2)①当0<<1，即a>时，
f(x)在区间[1,2]上单调递增，
此时g(a)＝f(1)＝3a－2.
②当1≤≤2，即≤a≤时，
f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增，
此时g(a)＝f ＝2a－－1.
③当>2，即0f(x)在区间[1,2]上单调递减，
此时g(a)＝f(2)＝6a－3，
综上所述，g(a)＝
思维升华　二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．
跟踪训练3　(1)(多选)(2022·茂名模拟)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A．2a＋b＝0
B．4a＋2b＋c<0
C．9a＋3b＋c<0
D．abc<0
答案　ACD
解析　由二次函数图象开口向下知，a<0，
对称轴为x＝－＝1，即2a＋b＝0，故b>0.
又因为f(0)＝c>0，所以abc<0.
f(2)＝f(0)＝4a＋2b＋c>0，
f(3)＝f(－1)＝9a＋3b＋c<0.
(2)(2022·镇江模拟)函数f(x)＝x2－4x＋2在区间[a，b]上的值域为[－2,2]，则b－a的取值范围是____．
答案　[2,4]
解析　解方程f(x)＝x2－4x＋2＝2，解得x＝0或x＝4，
解方程f(x)＝x2－4x＋2＝－2，解得x＝2，
由于函数f(x)在区间[a，b]上的值域为[－2,2]．
若函数f(x)在区间[a，b]上单调，
则[a，b]＝[0,2]或[a，b]＝[2,4]，此时b－a取得最小值2；
若函数f(x)在区间[a，b]上不单调，
且当b－a取最大值时，[a，b]＝[0,4]，
所以b－a的最大值为4.
所以b－a的取值范围是[2,4]．
课时精练
1．已知p：f(x)是幂函数，q：f(x)的图象过点(0,0)，则p是q的(　　)
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
答案　D
解析　f(x)＝x－2是幂函数，但其图象不过点(0,0)，故充分性不成立；
f(x)＝2x－1的图象过点(0,0)，但其不是幂函数，故必要性不成立．
所以p是q的既不充分也不必要条件．
2．(2023·保定检测)已知a＝，b＝，c＝，则(　　)
A．bC．b答案　A
解析　由题意得b＝＝a，
a＝＝<4<5＝＝c，
所以b3．(2023·厦门模拟)函数y＝ax＋b和y＝ax2＋bx＋c在同一平面直角坐标系内的图象可以是(　　)
答案　C
解析　若a>0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A，D；
对于选项B，由直线可知a>0，b>0，从而－<0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故应排除B.
4．已知函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋a，若对于区间[－1,2]上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有f(x1)≠f(x2)，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，0] B．[0,3]
C．(－∞，0]∪[3，＋∞) D．[3，＋∞)
答案　C
解析　二次函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋a图象的对称轴为直线x＝a－1，
∵对于任意x1，x2∈[－1,2]且x1≠x2，都有f(x1)≠f(x2)，
即f(x)在区间[－1,2]上是单调函数，
∴a－1≤－1或a－1≥2，
∴a≤0或a≥3，即实数a的取值范围为(－∞，0]∪[3，＋∞)．
5．(多选)幂函数f(x)＝在(0，＋∞)上单调递增，则以下说法正确的是(　　)
A．m＝3
B．函数f(x)在(－∞，0)上单调递增
C．函数f(x)是偶函数
D．函数f(x)的图象关于原点对称
答案　ABD
解析　因为幂函数f(x)＝在(0，＋∞)上单调递增，
所以解得m＝3，
所以f(x)＝x3，
所以f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，
故f(x)＝x3为奇函数，函数图象关于原点对称，
所以f(x)在(－∞，0)上单调递增．
6．(多选)若二次函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－2,3]上的最大值为6，则a等于(　　)
A．－ B. C．－5 D．5
答案　BC
解析　显然a≠0，有f(x)＝a(x＋1)2－a＋1，
当a>0时，f(x)在[－2,3]上的最大值为f(3)＝15a＋1，
由15a＋1＝6，解得a＝，符合题意；
当a<0时，f(x)在[－2,3]上的最大值为f(－1)＝1－a，
由1－a＝6，解得a＝－5，符合题意，
所以a的值为或－5.
7．二次函数f(x)的图象经过两点(0,3)，(2,3)，且函数的最大值是5，则函数f(x)的解析式是________．
答案　f(x)＝－2x2＋4x＋3
解析　由于点(0,3)，(2,3)在y＝f(x)的图象上，
所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，
又f(x)的最大值为5，
设f(x)＝a(x－1)2＋5(a<0)，
由f(0)＝f(2)＝3，得3＝a＋5，
所以a＝－2，
因此f(x)＝－2(x－1)2＋5＝－2x2＋4x＋3.
8．(2022·人大附中质检)已知二次函数f(x)＝ax2＋2x＋c(x∈R)的值域为[1，＋∞)，则＋的最小值为________．
答案　3
解析　因为二次函数f(x)＝ax2＋2x＋c(x∈R)的值域为[1，＋∞)，则a>0，
所以f(x)min＝＝＝1，
即ac－1＝a，可得a＝>0，则c>1，
所以＋＝c＋－1≥2－1＝3，
当且仅当c＝2时，等号成立，
因此＋的最小值为3.
9．已知幂函数f(x)＝(2m2－m－2)(m∈R)为偶函数．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若函数g(x)＝f(x)－2(a－1)x＋1在区间[0,4]上的最大值为9，求实数a的值．
解　(1)由幂函数可知2m2－m－2＝1，解得m＝－1或m＝，
当m＝－1时，f(x)＝x2，函数为偶函数，符合题意；
当m＝时，f(x)＝x7，函数为奇函数，不符合题意，
故f(x)的解析式为f(x)＝x2.
(2)由(1)得，g(x)＝f(x)－2(a－1)x＋1＝x2－2(a－1)x＋1.
函数的对称轴为x＝a－1，开口向上，f(0)＝1，f(4)＝17－8(a－1)，
由题意得，在区间[0,4]上，f(x)max＝f(4)＝17－8(a－1)＝9，解得a＝2，经检验a＝2符合题意，
所以实数a的值为2.
10．若二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若f(x)>2x＋m在[－1,1]上恒成立，求m的取值范围．
解　(1)由题意，设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
因为f(0)＝1，可得c＝1，即f(x)＝ax2＋bx＋1，
又因为f(x＋1)－f(x)＝2x，可得a(x＋1)2＋b(x＋1)－ax2－bx＝2x，
即2ax＋b＋a＝2x，可得解得a＝1，b＝－1，
所以f(x)＝x2－x＋1.
(2)由(1)知函数f(x)＝x2－x＋1，
因为f(x)>2x＋m在[－1,1]上恒成立，即x2－3x＋1>m在[－1,1]上恒成立，
令g(x)＝x2－3x＋1，x∈[－1,1]，
根据二次函数的性质，可得函数g(x)在[－1,1]上单调递减，所以g(x)min＝g(1)＝－1，
所以m<－1，所以实数m的取值范围是(－∞，－1)．
11.已知幂函数y＝xa与y＝xb的部分图象如图所示，直线x＝m2，x＝m(0A. B．1
C. D．2
答案　B
解析　由题意，|AB|＝|(m2)a－(m2)b|，|CD|＝|ma－mb|，根据图象可知b>1>a>0，当0(m2)b，ma>mb，因为|AB|＝|CD|，所以m2a－m2b＝(ma＋mb)(ma－mb)＝ma－mb，因为ma－mb>0，所以ma＋mb＝1.
12．设关于x的方程x2－2mx＋2－m＝0(m∈R)的两个实数根分别是α，β，则α2＋β2＋5的最小值为________．
答案　7
解析　由题意有
且Δ＝4m2－4(2－m)≥0，
解得m≤－2或m≥1，
α2＋β2＋5＝(α＋β)2－2αβ＋5＝4m2＋2m＋1，
令f(m)＝4m2＋2m＋1，
而f(m)图象的对称轴为m＝－，
且m≤－2或m≥1，
所以f(m)min＝f(1)＝7.
13．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在区间[t，t＋4]内的值域为[m，M]，对于任意实数t，都有M－m≥4，则实数a的取值范围是 (　　)
A．a≥1 B．a≤1
C．a≥2 D．a≤2
答案　A
解析　由题意可知，对于任意实数t，都有M－m≥4，则满足(M－m)min≥4，
根据二次函数的性质可得，当[t，t＋4]关于对称轴对称，即t＋2＝－时，M－m取得最小值，
根据题意，由二次函数的性质可得，将f(x)的顶点平移到原点可得g(x)＝ax2，且不影响M－m的变化，
此时要使M－m取得最小值，则t＋2＝0，即t＝－2，
则(M－m)min＝g(2)－g(0)＝4a≥4，解得a≥1.
14．已知函数f(x)＝x2－4x＋1，设1≤x1A．3 B．4 C．5 D．6
答案　C
解析　函数f(x)＝x2－4x＋1在[1,2]上单调递减，在(2,4]上单调递增．
由绝对值的几何意义，
∴|f(x1)－f(x2)|＋|f(x2)－f(x3)|＋…＋|f(xn－1)－f(xn)|表示将函数f(x)在(x1，xn)上分成n－1段，取每段两端点函数值差的绝对值总和．
又根据f(x)的单调性知原式最大值为
|f(1)－f(2)|＋|f(2)－f(4)|＝f(1)－f(2)＋f(4)－f(2)＝5，
∴M≥5，则M的最小值为5.§2.6　二次函数与幂函数
考试要求　1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)．
知识梳理
1．幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，函数________叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)常见的五种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点________和________，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点________，且在(0，＋∞)上单调递减；
④当α为奇数时，y＝xα为____________；当α为偶数时，y＝xα为____________．
2．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝________________.
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为________．
零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的________．
(2)二次函数的图象和性质
函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象(抛物线)
定义域
值域
对称轴 x＝________
顶点坐标
奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性 在上单调递________； 在上单调递________ 在上单调递______； 在上单调递______
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝是幂函数．(　　)
(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象恒在x轴下方，则a<0且Δ<0.(　　)
(3)二次函数y＝a(x－1)2＋2的单调递增区间是[1，＋∞)．(　　)
(4)若幂函数y＝xα是偶函数，则α为偶数．(　　)
教材改编题
1．已知幂函数f(x)的图象经过点，则f(8)的值等于(　　)
A. B．4 C．8 D.
2．已知函数f(x)＝－x2－4x＋5，则函数y＝f(x)的单调递增区间为(　　)
A．(－∞，－2] B．(－∞，2]
C．[－2，＋∞) D．[2，＋∞)
3．函数f(x)＝－2x2＋4x，x∈[－1,2]的值域为(　　)
A．[－6,2] B．[－6,1]
C．[0,2] D．[0,1]
题型一　幂函数的图象与性质
例1 (1)若幂函数y＝xm，y＝xn，y＝xp在第一象限内的图象如图所示，则(　　)
A．m>n>p
B．n>m>p
C．n>p>m
D．p>n>m
(2)(2023·德州模拟)幂函数f(x)＝在区间(0，＋∞)上单调递增，则f(3)等于(　　)
A．27 B．9
C. D.
听课记录：______________________________________________________________
________________________________________________________________________
思维升华 (1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．
(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．
跟踪训练1 (1)已知幂函数y＝(p∈Z)的图象关于y轴对称，如图所示，则(　　)
A．p为奇数，且p>0
B．p为奇数，且p<0
C．p为偶数，且p>0
D．p为偶数，且p<0
(2)(2023·长沙质检)幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm的图象关于y轴对称，则实数m＝________.
题型二　二次函数的解析式
例2 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式．
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
思维升华 求二次函数解析式的三个策略：
(1)已知三个点的坐标，宜选用一般式；
(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式；
(3)已知图象与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式．
跟踪训练2 已知二次函数的图象过点(－3,0)，(1,0)，且顶点到x轴的距离等于2，则二次函数的解析式为________________________．
题型三　二次函数的图象与性质
命题点1　二次函数的图象
例3 设abc>0，则二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　)
听课记录：______________________________________________________________
________________________________________________________________________
命题点2　二次函数的单调性与最值
例4 (2023·福州模拟)已知二次函数f(x)＝ax2－x＋2a－1.
(1)若f(x)在区间[1,2]上单调递减，求a的取值范围；
(2)若a>0，设函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式．
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
思维升华 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．
跟踪训练3 (1)(多选)(2022·茂名模拟)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A．2a＋b＝0
B．4a＋2b＋c<0
C．9a＋3b＋c<0
D．abc<0
(2)(2022·镇江模拟)函数f(x)＝x2－4x＋2在区间[a，b]上的值域为[－2,2]，则b－a的取值范围是____________．

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