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(共64张PPT)
§2.7　指数与
指数函数
第二章　函　数
1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.
2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.
3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用.
考试要求
内容索引
第一部分
第二部分
第三部分
落实主干知识
探究核心题型
课时精练
落实主干知识
第
一
部
分
x
根式
a
a
2.分数指数幂
正数的正分数指数幂： ＝______ (a>0，m，n∈N*，n>1).
正数的负分数指数幂： ＝____＝ (a>0，m，n∈N*，n>1).
0的正分数指数幂等于 ，0的负分数指数幂没有意义.
0
3.指数幂的运算性质
aras＝ ；(ar)s＝ ；(ab)r＝ (a>0，b>0，r，s∈Q).
4.指数函数及其性质
(1)概念：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是___.
ar＋s
ars
arbr
R
a>1 0图象
定义域 ___
值域 __________
(2)指数函数的图象与性质
R
(0，＋∞)
性质 过定点 ，即x＝0时，y＝1
当x>0时， ； 当x<0时，_______ 当x<0时， ；
当x>0时，_______
在(－∞，＋∞)上是_______ 在(－∞，＋∞)上是_______
(0,1)
y>1
0y>1
0增函数
减函数
1.指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a)，
2.如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则c>d>1>a>b>0，即在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1) ＝－4.(　　)
(2)2a·2b＝2ab.(　　)
(3)函数y＝ 的值域是(0，＋∞).(　　)
(4)若am0，且a≠1)，则m×
×
×
×
1.已知函数y＝a·2x和y＝2x＋b都是指数函数，则a＋b等于
A.不确定 B.0 C.1 D.2
√
由函数y＝a·2x是指数函数，得a＝1，
由y＝2x＋b是指数函数，得b＝0，所以a＋b＝1.
2.计算： ＝_____.
原式＝ ＋1－3－2＝3－2＋1－3－2＝1.
1
3.若指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在[－1,1]上的最大值为2，则a＝________.
若a>1，则f (x)max＝f(1)＝a＝2；
探究核心题型
第
二部
分
例1　计算：
题型一
指数幂的运算
＝1＋
＝1＋1－10＋27＝19.
(2) (a>0，b>0).
(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加.
②运算的先后顺序.
(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
思维升华
跟踪训练1　计算：
(1) ；
(2)
原式＝ ＝10－1＋8＋23·32＝89.
例2　(1)(多选)已知非零实数a，b满足3a＝2b，则下列不等关系中正确的是
A.aB.若a<0，则bC.|a|<|b|
D.若0题型二
指数函数的图象及应用
√
√
√
如图，由指数函数的图象可知，0D选项中，0(2)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是_______.
(0,2)
在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示.
∴当0∴b的取值范围是(0,2).
对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.
思维升华
跟踪训练2　(多选)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是
A.a>1
B.0C.b>0
D.b<0
√
√
由函数f(x)＝ax－b的图象可知，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，
∴0分析可知，
函数f(x)＝ax－b的图象是由y＝ax的图象向左平移所得，如图，
∴－b>0，∴b<0，故D正确.
命题点1　比较指数式大小
例3　设a＝30.7，b＝2－0.4，c＝90.4，则
A.bC.a题型三
指数函数的性质及应用
√
b＝2－0.4<20＝1，c＝90.4＝30.8>30.7＝a>30＝1，
所以b命题点2　解简单的指数方程或不等式
例4　(2023·青岛模拟)已知y＝4x－3·2x＋3的值域为[1,7]，则x的取值范围是
A.[2,4] B.(－∞，0)
C.(0,1)∪[2,4] D.(－∞，0]∪[1,2]
√
∵y＝4x－3·2x＋3的值域为[1,7]，
∴1≤4x－3·2x＋3≤7.
∴－1≤2x≤1或2≤2x≤4.
∴x≤0或1≤x≤2.
命题点3　指数函数性质的综合应用
例5　已知函数f(x)＝ (a为常数，且a≠0，a∈R)，且f(x)是奇函数.
(1)求a的值；
因为f(x)是奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，
(2)若 x∈[1,2], 都有f(2x)－mf(x)≥0成立，求实数m的取值范围.
令t＝2x，t∈[2,4]，
(1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量.
(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断.
跟踪训练3　(1)(多选)(2023·杭州模拟)已知函数f(x)＝ ，下列说法正
确的有
A.f(x)的图象关于原点对称
B.f(x)的图象关于y轴对称
C.f(x)的值域为(－1,1)
D. x1，x2∈R，且x1≠x2， <0
√
√
可得函数f(x)为奇函数，函数f(x)的图象关于原点对称，故选项A正确，选项B错误；
(2)已知函数f(x)＝ ，若f(x)有最大值3，则a的值为_____.
1
∵f(x)有最大值3，∴g(x)有最小值－1，
课时精练
第
三部
分
A.－7 B.－1 C.1 D.7
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√
基础保分练
m＋n＝π－3＋|π－4|＝π－3＋4－π＝1.
2.已知指数函数f(x)＝(2a2－5a＋3)ax在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的值为
√
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当a＝2时，f(x)＝2x在(0，＋∞)上单调递增，符合题意；
∴a＝2.
√
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因为 ＝5，所以 ＝52，即x＋x－1＋2＝25，所以x＋
x－1＝23，
4.已知 ＝5，则 的值为
A.5 B.23 C.25 D.27
√
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令g(x)＝|2x－a|，
由题意得g(x)的值域为[0，＋∞)，
又y＝2x的值域为(0，＋∞)，
所以－a<0，解得a>0，
所以a的取值范围为(0，＋∞).
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5.若函数f(x)＝|2x－a|－1的值域为[－1，＋∞)，则实数a的取值范围为
A.(－∞，0) B.(0，＋∞)
C.(0,1] D.(1，＋∞)
√
6.(2023·枣庄模拟)对任意实数a>1，函数y＝(a－1)x－1＋1的图象必过定点A(m，n)，f(x)＝ 的定义域为[0,2]，g(x)＝f(2x)＋f(x)，则g(x)的值域为
A.(0,6] B.(0,20]
C.[2,6] D.[2,20]
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√
令x－1＝0得x＝1，y＝2，即函数图象必过定点(1,2)，
所以m＝1，n＝2，
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解得x∈[0,1]，
g(x)＝f(2x)＋f(x)＝22x＋2x，令t＝2x，
则y＝t2＋t，t∈[1,2]，
所以g(x)的值域为[2,6].
7.计算化简：
(1) ＝________；
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0.09
(2) ＝________.
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8.若不等式 成立，则实数a的取值范围是__________.
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原不等式可化为2－2a－1<22(a－1)，
9.已知定义域为R的函数f(x)＝ax－(k－1)a－x(a>0，且a≠1)是奇函数.
(1)求实数k的值；
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∵f(x)是定义域为R的奇函数，
∴f(0)＝a0－(k－1)a0＝1－(k－1)＝0，
∴k＝2，
经检验k＝2符合题意，∴k＝2.
(2)若f(1)<0，判断函数f(x)的单调性，若f(m2－2)＋f(m)>0，求实数m的取值范围.
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f(x)＝ax－a－x(a>0，且a≠1)，
∵f(1)<0，
∴0从而y＝ax在R上单调递减，y＝a－x在R上单调递增，
故由单调性的性质可判断f(x)＝ax－a－x在R上单调递减，
不等式f(m2－2)＋f(m)>0
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可化为f(m2－2)>f(－m)，
∴m2－2<－m，即m2＋m－2<0，
解得－2∴实数m的取值范围是(－2,1).
因为x∈[0,3]，f(x)＝(2x)2－4·2x＋a＝(2x－2)2＋a－4，
当2x＝2，即当x＝1时，函数f(x)取得最小值，
即f(x)min＝f(1)＝a－4＝1，解得a＝5.
10.已知函数f(x)＝4x－2·2x＋1＋a，其中x∈[0,3].
(1)若f(x)的最小值为1，求a的值；
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令t＝2x∈[1,8]，则f(x)＝t2－4t＋a，
由f(x)≥33可得a≥－t2＋4t＋33，
令g(t)＝－t2＋4t＋33，函数g(t)在[1,2)上单调递增，在(2,8]上单调递减，
因为g(1)＝36，g(8)＝1，
所以g(t)min＝g(8)＝1，
所以a≥1.
(2)若存在x∈[0,3]，使f(x)≥33成立，求a的取值范围.
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11.(多选)(2022·泰安模拟)已知函数f(x)＝|2x－1|，实数a，b满足f(a)＝f(b)(aA.2a＋2b>2
B. a，b∈R，使得0C.2a＋2b＝2
D.a＋b<0
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综合提升练
√
√
画出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图所示.
由图知1－2a＝2b－1，则2a＋2b＝2，故A错，C对；
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所以2a＋b<1，则a＋b<0，故B错，D对.
12.(2022·长沙模拟)若ex－ey＝e，x，y∈R，则2x－y的最小值为________.
1＋2ln 2
依题意，ex＝ey＋e，ey>0，
此时，(2x－y)min＝1＋2ln 2，
所以当x＝1＋ln 2，y＝1时，2x－y取最小值1＋2ln 2.
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13.(2023·龙岩模拟)已知函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(0)＝3，则f(bx)与f(cx)的大小关系为
A.f(cx)≥f(bx) B.f(cx)≤f(bx)
C.f(cx)>f(bx) D.f(cx)＝f(bx)
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拓展冲刺练
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根据题意，函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(x＋1)＝f(1－x)，
又由f(0)＝3，得c＝3，
所以bx＝2x，cx＝3x，
若x<0，则有cx而f(x)在(－∞，1)上单调递减，
此时有f(bx)1
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若x＝0，则有cx＝bx＝1，
此时有f(bx)＝f(cx)，
若x>0，则有1而f(x)在(1，＋∞)上单调递增，
此时有f(bx)综上可得f(bx)≤f(cx).
14.(2023·宁波模拟)对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x0满足f(－x0)＝－f(x0)，则称函数f(x)为“倒戈函数”.设f(x)＝3x＋m－1(m∈R，m≠0)是
定义在[－1,1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是__________.
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∵f(x)＝3x＋m－1是定义在[－1,1]上的“倒戈函数”，
∴存在x0∈[－1,1]满足f(－x0)＝－f(x0)，
∴ ＋m－1＝－ －m＋1，
∴2m＝－ － ＋2，
构造函数y＝－ － ＋2，
x0∈[－1,1]，
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在(1,3]上单调递减，
∴当t＝1时，函数取得最大值0，
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14§2.7　指数与指数函数
考试要求　1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.
2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．
知识梳理
1．根式
(1)一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
(2)式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
(3)()n＝a.
当n为奇数时，＝a，
当n为偶数时，＝|a|＝
2．分数指数幂
正数的正分数指数幂：＝(a>0，m，n∈N*，n>1)．
正数的负分数指数幂：＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1)．
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．
3．指数幂的运算性质
aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈Q)．
4．指数函数及其性质
(1)概念：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.
(2)指数函数的图象与性质
a>1 0图象
定义域 R
值域 (0，＋∞)
性质 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，y>1； 当x<0时，01； 当x>0时，0在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数
常用结论
1．指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a)，.
2.如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则c>d>1>a>b>0，即在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)＝－4.(　×　)
(2)2a·2b＝2ab.(　×　)
(3)函数y＝x－1的值域是(0，＋∞)．(　×　)
(4)若am0，且a≠1)，则m教材改编题
1．已知函数y＝a·2x和y＝2x＋b都是指数函数，则a＋b等于(　　)
A．不确定 B．0 C．1 D．2
答案　C
解析　由函数y＝a·2x是指数函数，得a＝1，
由y＝2x＋b是指数函数，得b＝0，所以a＋b＝1.
2．计算：＝________.
答案　1
解析　原式＝＋1－3－2＝3－2＋1－3－2＝1.
3．若指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在[－1,1]上的最大值为2，则a＝________.
答案　2或
解析　若a>1，则f (x)max＝f(1)＝a＝2；若0题型一　指数幂的运算
例1　计算：
(1)(－1.8)0＋－2·－＋；
(2)(a>0，b>0)．
解　(1)(－1.8)0＋－2·－＋
＝1＋
＝1＋2·2－10＋33
＝1＋1－10＋27＝19.
(2)
＝
＝2××8＝.
思维升华　(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加．
②运算的先后顺序．
(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
跟踪训练1　计算：
(1) ；
(2).
解　(1)因为有意义，所以a>0，
所以原式＝＝÷＝a÷a＝1.
(2)原式＝＝10－1＋8＋23·32＝89.
题型二　指数函数的图象及应用
例2　(1)(多选)已知非零实数a，b满足3a＝2b，则下列不等关系中正确的是(　　)
A．aB．若a<0，则bC．|a|<|b|
D．若0答案　BCD
解析　如图，
由指数函数的图象可知，0D选项中，0(2)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．
答案　(0,2)
解析　在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示．
∴当0∴b的取值范围是(0,2)．
思维升华　对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
跟踪训练2　(多选)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)
A．a>1
B．0C．b>0
D．b<0
答案　BD
解析　由函数f(x)＝ax－b的图象可知，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，
∴0分析可知，
函数f(x)＝ax－b的图象是由y＝ax的图象向左平移所得，如图，
∴－b>0，∴b<0，故D正确．
题型三　指数函数的性质及应用
命题点1　比较指数式大小
例3　设a＝30.7，b＝2－0.4，c＝90.4，则(　　)
A．bC．a答案　D
解析　b＝2－0.4<20＝1，c＝90.4＝30.8>30.7＝a>30＝1，
所以b命题点2　解简单的指数方程或不等式
例4　(2023·青岛模拟)已知y＝4x－3·2x＋3的值域为[1,7]，则x的取值范围是(　　)
A．[2,4] B．(－∞，0)
C．(0,1)∪[2,4] D．(－∞，0]∪[1,2]
答案　D
解析　∵y＝4x－3·2x＋3的值域为[1,7]，
∴1≤4x－3·2x＋3≤7.
∴－1≤2x≤1或2≤2x≤4.
∴x≤0或1≤x≤2.
命题点3　指数函数性质的综合应用
例5 已知函数f(x)＝(a为常数，且a≠0，a∈R)，且f(x)是奇函数．
(1)求a的值；
(2)若 x∈[1,2], 都有f(2x)－mf(x)≥0成立，求实数m的取值范围．
解　(1)f(x)＝×2x＋，
因为f(x)是奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，
所以×＋2x＝－，
所以＝0，
即＋1＝0，解得a＝－1.
(2)因为f(x)＝－2x，x∈[1,2]，
所以－22x≥m，
所以m≥＋2x，x∈[1,2]，
令t＝2x，t∈[2,4]，
由于y＝t＋在[2,4]上单调递增，
所以m≥4＋＝.
思维升华　(1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量．
(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断．
跟踪训练3　(1)(多选)(2023·杭州模拟)已知函数f(x)＝，下列说法正确的有(　　)
A．f(x)的图象关于原点对称
B．f(x)的图象关于y轴对称
C．f(x)的值域为(－1,1)
D． x1，x2∈R，且x1≠x2，<0
答案　AC
解析　对于A中，由f(－x)＝＝－＝－f(x)，可得函数f(x)为奇函数，函数f(x)的图象关于原点对称，故选项A正确，选项B错误；
对于C中，设y＝，可得3x＝，所以>0，即<0，解得－1对于D中，对 x1，x2∈R，且x1≠x2，<0，可得函数f(x)为减函数，
而f(x)＝＝1－为增函数，所以D错误．
(2)已知函数f(x)＝，若f(x)有最大值3，则a的值为________．
答案　1
解析　令g(x)＝ax2－4x＋3，则f(x)＝g(x)，
∵f(x)有最大值3，∴g(x)有最小值－1，
则解得a＝1.
课时精练
1．若m＝，n＝，则m＋n的值为(　　)
A．－7 B．－1 C．1 D．7
答案　C
解析　m＋n＝π－3＋|π－4|＝π－3＋4－π＝1.
2．已知指数函数f(x)＝(2a2－5a＋3)ax在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的值为(　　)
A. B．1 C. D．2
答案　D
解析　由题意得2a2－5a＋3＝1，∴2a2－5a＋2＝0，∴a＝2或a＝.
当a＝2时，f(x)＝2x在(0，＋∞)上单调递增，符合题意；
当a＝时，f(x)＝x在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意．
∴a＝2.
3．函数y＝ax－(a>0，且a≠1)的图象可能是(　　)
答案　D
解析　当a>1时，0<<1，函数y＝ax的图象为过点(0,1)的上升的曲线，函数y＝ax－的图象由函数y＝ax的图象向下平移个单位长度可得，故A，B错误；
当01，函数y＝ax的图象为过点(0,1)的下降的曲线，函数y＝ax－的图象由函数y＝ax的图象向下平移个单位长度可得，故D正确，C错误．
4．已知＝5，则的值为(　　)
A．5 B．23 C．25 D．27
答案　B
解析　因为＝5，所以＝52，即x＋x－1＋2＝25，所以x＋x－1＝23，
所以＝x＋＝x＋x－1＝23.
5．若函数f(x)＝|2x－a|－1的值域为[－1，＋∞)，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－∞，0) B．(0，＋∞)
C．(0,1] D．(1，＋∞)
答案　B
解析　令g(x)＝|2x－a|，
由题意得g(x)的值域为[0，＋∞)，
又y＝2x的值域为(0，＋∞)，
所以－a<0，解得a>0，
所以a的取值范围为(0，＋∞)．
6．(2023·枣庄模拟)对任意实数a>1，函数y＝(a－1)x－1＋1的图象必过定点A(m，n)，f(x)＝
x的定义域为[0,2]，g(x)＝f(2x)＋f(x)，则g(x)的值域为(　　)
A．(0,6] B．(0,20]
C．[2,6] D．[2,20]
答案　C
解析　令x－1＝0得x＝1，y＝2，即函数图象必过定点(1,2)，
所以m＝1，n＝2，
f(x)＝x＝2x，由
解得x∈[0,1]，
g(x)＝f(2x)＋f(x)＝22x＋2x，令t＝2x，
则y＝t2＋t，t∈[1,2]，
所以g(x)的值域为[2,6]．
7．计算化简：
(1)＝________；
(2)＝________.
答案　(1)0.09　(2)
解析　(1)＝()2＋－＝0.09＋－＝0.09.
(2)
＝
＝
＝
8．若不等式2a＋1<4a－1成立，则实数a的取值范围是________．
答案　
解析　原不等式可化为2－2a－1<22(a－1)，
即－2a－1<2(a－1)，解得a>.
9．已知定义域为R的函数f(x)＝ax－(k－1)a－x(a>0，且a≠1)是奇函数．
(1)求实数k的值；
(2)若f(1)<0，判断函数f(x)的单调性，若f(m2－2)＋f(m)>0，求实数m的取值范围．
解　(1)∵f(x)是定义域为R的奇函数，
∴f(0)＝a0－(k－1)a0＝1－(k－1)＝0，
∴k＝2，
经检验k＝2符合题意，∴k＝2.
(2)f(x)＝ax－a－x(a>0，且a≠1)，
∵f(1)<0，
∴a－<0，又a>0，且a≠1，
∴0从而y＝ax在R上单调递减，y＝a－x在R上单调递增，
故由单调性的性质可判断f(x)＝ax－a－x在R上单调递减，
不等式f(m2－2)＋f(m)>0
可化为f(m2－2)>f(－m)，
∴m2－2<－m，即m2＋m－2<0，
解得－2∴实数m的取值范围是(－2,1)．
10．已知函数f(x)＝4x－2·2x＋1＋a，其中x∈[0,3]．
(1)若f(x)的最小值为1，求a的值；
(2)若存在x∈[0,3]，使f(x)≥33成立，求a的取值范围．
解　(1)因为x∈[0,3]，f(x)＝(2x)2－4·2x＋a＝(2x－2)2＋a－4，
当2x＝2，即当x＝1时，函数f(x)取得最小值，
即f(x)min＝f(1)＝a－4＝1，解得a＝5.
(2)令t＝2x∈[1,8]，则f(x)＝t2－4t＋a，
由f(x)≥33可得a≥－t2＋4t＋33，
令g(t)＝－t2＋4t＋33，函数g(t)在[1,2)上单调递增，在(2,8]上单调递减，
因为g(1)＝36，g(8)＝1，
所以g(t)min＝g(8)＝1，
所以a≥1.
11．(多选)(2022·泰安模拟)已知函数f(x)＝|2x－1|，实数a，b满足f(a)＝f(b)(aA．2a＋2b>2
B． a，b∈R，使得0C．2a＋2b＝2
D．a＋b<0
答案　CD
解析　画出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图所示．
由图知1－2a＝2b－1，则2a＋2b＝2，故A错，C对；
由基本不等式可得2＝2a＋2b>2＝2，
所以2a＋b<1，则a＋b<0，故B错，D对．
12．(2022·长沙模拟)若ex－ey＝e，x，y∈R，则2x－y的最小值为________．
答案　1＋2ln 2
解析　依题意，ex＝ey＋e，ey>0，
则e2x－y＝＝＝ey＋＋2e≥2＋2e＝4e，
当且仅当ey＝，即y＝1时取“＝”，
此时，(2x－y)min＝1＋2ln 2，
所以当x＝1＋ln 2，y＝1时，2x－y取最小值1＋2ln 2.
13．(2023·龙岩模拟)已知函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(0)＝3，则f(bx)与f(cx)的大小关系为(　　)
A．f(cx)≥f(bx) B．f(cx)≤f(bx)
C．f(cx)>f(bx) D．f(cx)＝f(bx)
答案　A
解析　根据题意，函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(x＋1)＝f(1－x)，
则有＝1，即b＝2，
又由f(0)＝3，得c＝3，
所以bx＝2x，cx＝3x，
若x<0，则有cx而f(x)在(－∞，1)上单调递减，
此时有f(bx)若x＝0，则有cx＝bx＝1，
此时有f(bx)＝f(cx)，
若x>0，则有1而f(x)在(1，＋∞)上单调递增，
此时有f(bx)综上可得f(bx)≤f(cx)．
14．(2023·宁波模拟)对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x0满足f(－x0)＝－f(x0)，则称函数f(x)为“倒戈函数”．设f(x)＝3x＋m－1(m∈R，m≠0)是定义在[－1,1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是________．
答案　
解析　∵f(x)＝3x＋m－1是定义在[－1,1]上的“倒戈函数”，
∴存在x0∈[－1,1]满足f(－x0)＝－f(x0)，
∴＋m－1＝－－m＋1，
∴2m＝－－＋2，
构造函数y＝－－＋2，
x0∈[－1,1]，
令t＝，t∈，
则y＝－－t＋2＝2－在上单调递增，
在(1,3]上单调递减，
∴当t＝1时，函数取得最大值0，
当t＝或t＝3时，
函数取得最小值－，
∴y∈，
又∵m≠0，∴－≤2m<0，
∴－≤m<0.§2.7　指数与指数函数
考试要求　1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．
知识梳理
1．根式
(1)一般地，如果xn＝a，那么________叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
(2)式子叫做________，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
(3)()n＝________.
当n为奇数时，＝________，
当n为偶数时，＝|a|＝
2．分数指数幂
正数的正分数指数幂：＝________(a>0，m，n∈N*，n>1)．
正数的负分数指数幂：＝________＝(a>0，m，n∈N*，n>1)．
0的正分数指数幂等于________，0的负分数指数幂没有意义．
3．指数幂的运算性质
aras＝________；(ar)s＝________；(ab)r＝________(a>0，b>0，r，s∈Q)．
4．指数函数及其性质
(1)概念：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是________．
(2)指数函数的图象与性质
a>1 0图象
定义域
值域
性质 过定点________，即x＝0时，y＝1
当x>0时，______； 当x<0时，________ 当x<0时，______； 当x>0时，________
在(－∞，＋∞)上是________ 在(－∞，＋∞)上是________
常用结论
1．指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a)，.
2.如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则c>d>1>a>b>0，即在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)＝－4.(　　)
(2)2a·2b＝2ab.(　　)
(3)函数y＝x－1的值域是(0，＋∞)．(　　)
(4)若am0，且a≠1)，则m教材改编题
1．已知函数y＝a·2x和y＝2x＋b都是指数函数，则a＋b等于(　　)
A．不确定 B．0 C．1 D．2
2．计算：＋(π－1)0－ ＝________.
3．若指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在[－1,1]上的最大值为2，则a＝________.
题型一　指数幂的运算
例1 计算：
(1)(－1.8)0＋－2·－＋；
(2)(a>0，b>0)．
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加．
②运算的先后顺序．
(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
跟踪训练1 计算：
(1) ；
(2).
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
题型二　指数函数的图象及应用
例2 (1)(多选)已知非零实数a，b满足3a＝2b，则下列不等关系中正确的是(　　)
A．aB．若a<0，则bC．|a|<|b|
D．若0(2)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________________．
听课记录：______________________________________________________________
________________________________________________________________________
思维升华 对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
跟踪训练2 (多选)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)
A．a>1 B．0C．b>0 D．b<0
题型三　指数函数的性质及应用
命题点1　比较指数式大小
例3 设a＝30.7，b＝2－0.4，c＝90.4，则(　　)
A．bC．a听课记录：______________________________________________________________
________________________________________________________________________
命题点2　解简单的指数方程或不等式
例4 (2023·青岛模拟)已知y＝4x－3·2x＋3的值域为[1,7]，则x的取值范围是(　　)
A．[2,4] B．(－∞，0)
C．(0,1)∪[2,4] D．(－∞，0]∪[1,2]
听课记录：______________________________________________________________
________________________________________________________________________
命题点3　指数函数性质的综合应用
例5 已知函数f(x)＝(a为常数，且a≠0，a∈R)，且f(x)是奇函数．
(1)求a的值；
(2)若 x∈[1,2], 都有f(2x)－mf(x)≥0成立，求实数m的取值范围．
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
思维升华 (1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量．
(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断．
跟踪训练3 (1)(多选)(2023·杭州模拟)已知函数f(x)＝，下列说法正确的有(　　)
A．f(x)的图象关于原点对称
B．f(x)的图象关于y轴对称
C．f(x)的值域为(－1,1)
D． x1，x2∈R，且x1≠x2，<0
(2)已知函数f(x)＝，若f(x)有最大值3，则a的值为________．

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