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(共71张PPT)
§2.8　对数与
对数函数
第二章　函　数
1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用
对数.
2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调
性与特殊点.
3.了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数.
考试要求
内容索引
第一部分
第二部分
第三部分
落实主干知识
探究核心题型
课时精练
落实主干知识
第
一
部
分
1.对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作_________，其中 叫做对数的底数， 叫做真数.
以10为底的对数叫做常用对数，记作 .
以e为底的对数叫做自然对数，记作 .
x＝logaN
a
N
lg N
ln N
2.对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：loga1＝ ，logaa＝ ， ＝___(a>0，且a≠1，N>0).
(2)对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①loga(MN)＝_____________；
② ＝______________；
③logaMn＝________(n∈R).
(3)对数换底公式：logab＝ (a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1).
0
1
N
logaM＋logaN
logaM－logaN
nlogaM
a>1 0图象
定义域 __________
值域 ___
3.对数函数的图象与性质
(0，＋∞)
R
性 质 过定点 ，即x＝1时，y＝0
当x>1时， ； 当01时， ；
当0在(0，＋∞)上是_______ 在(0，＋∞)上是_______
(1,0)
y>0
y<0
y<0
y>0
增函数
减函数
4.反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数__________(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线 对称.
y＝ logax
y＝x
2.如图给出4个对数函数的图象
则b>a>1>d>c>0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若M＝N，则logaM＝logaN.(　　)
(2)函数y＝loga2x(a>0，且a≠1)是对数函数.(　　)
(3)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数.(　　)
(4)函数y＝log2x与y＝ 的图象重合.(　　)
×
×
√
×
1.若函数f(x)＝log2(x＋1)的定义域是[0,1]，则函数f(x)的值域为
A.[0,1] B.(0,1)
C.(－∞，1] D.[1，＋∞)
√
根据复合函数单调性同增异减可知f(x)在[0,1]上单调递增，
因为0≤x≤1，所以1≤x＋1≤2，则log21≤log2(x＋1)≤log22，
即f(x)∈[0,1].
2.函数y＝loga(x－2)＋2(a>0，且a≠1)的图象恒过点______.
∵loga1＝0，令x－2＝1，
∴x＝3，y＝2，
∴函数的图象过定点(3,2).
(3,2)
4
探究核心题型
第
二部
分
例1　(1)若2a＝5b＝10，则 的值是
由2a＝5b＝10，
∴a＝log210，b＝log510，
题型一
对数式的运算
√
(2)计算：log535＋ － －log514＝_____.
2
＝log5125－1＝log553－1＝3－1＝2.
解决对数运算问题的常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简.
(2)将同底对数的和、差、倍合并.
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用.
思维升华
跟踪训练1　(1)(2022·保定模拟)已知2a＝3，b＝log85，则4a－3b＝_______.
因为2a＝3，所以a＝log23，
又b＝log85，
－1
例2　(1)(多选)已知函数f(x)＝loga(x－b)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则以下说法正确的是
A.－1B.a＋b>0
C.0D.loga|b|<0
题型二
对数函数的图象及应用
√
√
√
由图象可知f(x)在定义域内单调递增，
所以a>1，故C错误；
令f(x)＝loga(x－b)＝0，即x＝b＋1，
所以函数f(x)的零点为b＋1，
结合函数图象可知0所以－1因此a＋b>0，故B正确；
因为0<|b|<1，
所以loga|b|即loga|b|<0，故D正确.
(2)(2023·佛山模拟)已知函数f(x)＝|ln x|，若0(3，＋∞)
f(x)＝|ln x|的图象如图，
因为f(a)＝f(b)，
所以|ln a|＝|ln b|，
因为0所以ln a<0，ln b>0，
所以01，
所以－ln a＝ln b，
所以ln a＋ln b＝ln(ab)＝0，
则g(x)在(0,1)上单调递减，
所以g(x)>g(1)＝1＋2＝3，
所以a＋2b>3，
所以a＋2b的取值范围为(3，＋∞).
对数函数图象的识别及应用方法
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.
思维升华
跟踪训练2　(1)已知lg a＋lg b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，则函数f(x)＝ax与g(x)＝ 的图象可能是
√
∵lg a＋lg b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，
∴g(x)＝ ＝logax，函数f(x)＝ax与函数g(x)＝ 互为反函数，
∴函数f(x)＝ax与g(x)＝ 的图象关于直线y＝x对称，且具有相同的单调性.
(2)(2023·濮阳模拟)已知a>0且a≠1，函数y＝ax的图象如图所示，则函数f(x)＝loga(－x＋1)的部分图象大致为
√
由函数y＝ax的图象可得a>1.
当a>1时，y＝logax经过定点(1,0)，为增函数.
因为y＝logax与y＝loga(－x)关于y轴对称，
所以y＝loga(－x)经过定点(－1,0)，为减函数.
而f(x)＝loga(－x＋1)可以看作y＝loga(－x)的图象向右
平移一个单位长度得到的，
所以f(x)＝loga(－x＋1)的图象经过定点(0,0)，为减函数.结合选项可知选D.
命题点1　比较对数式的大小
例3　(2023·武汉质检)已知a＝log30.5，b＝log3π，c＝log43，则a，b，c的大小关系是
A.a√
a＝log30.5b＝log3π>log33＝1，即b>1；
0＝log41∴a题型三
对数函数的性质及应用
命题点2　解对数方程、不等式
例4　(2022·重庆模拟)已知a>0，且a≠1， <1，则实数a的取值范围是
__________________.
当a>1时，y＝logax在(0，＋∞)上单调递增，
当0命题点3　对数函数的性质及应用
例5　(2023·郑州模拟)设函数f(x)＝ln|x＋3|＋ln|x－3|，则f(x)
A.是偶函数，且在(－∞，－3)上单调递减
B.是奇函数，且在(－3,3)上单调递减
C.是奇函数，且在(3，＋∞)上单调递增
D.是偶函数，且在(－3,3)上单调递增
√
函数f(x)的定义域为{x|x≠±3}，
f(x)＝ln|x＋3|＋ln|x－3|＝ln|x2－9|，
令g(x)＝|x2－9|，
则f(x)＝ln g(x)，
函数g(x)的单调区间由图象(图略)可知，
当x∈(－∞，－3)，x∈(0,3)时，g(x)单调递减，
当x∈(－3,0)，x∈(3，＋∞)时，g(x)单调递增，
由复合函数单调性同增异减得单调区间.
由f(－x)＝ln|(－x)2－9|＝ln|x2－9|＝f(x)得f(x)为偶函数.
求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成.
令t(x)＝6－ax，因为a>0，所以t(x)＝6－ax为减函数.
又由函数f(x)＝loga(6－ax)在(0,2)上单调递减，
可得函数t(x)＝6－ax>0在(0,2)上恒成立，且a>1，
跟踪训练3　(1)(2023·开封模拟)已知函数f(x)＝loga(6－ax)(a>0，且a≠1)在(0,2)上单调递减，则实数a的取值范围是
A.(1,3] B.(1,3)
C.(0,1) D.(1，＋∞)
√
(2)(2022·惠州模拟)若函数f(x)＝ (a>0，且a≠1)有最小值，
则实数a的取值范围是________.
课时精练
第
三部
分
√
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基础保分练
2.若函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)的反函数的图象过点(1,3)，则f(log28)等于
A.－1 B.1 C.2 D.3
√
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依题意，函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)的反函数，即函数y＝ax的图象过点(1,3)，
则a＝3，f(x)＝log3x，于是得f(log28)＝log3(log28)＝log33＝1，
所以f(log28)＝1.
函数f(x)＝log2(|x|－1)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，排除B，C；
由f(－x)＝log2(|－x|－1)＝log2(|x|－1)＝f(x)，
可知函数f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，排除D.
√
3.函数f(x)＝log2(|x|－1)的图象为
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4.按照“碳达峰”“碳中和”的实现路径，2030年为碳达峰时期，2060年实现碳中和，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口.Peukert于1898年提出蓄电池的容量C(单位：Ah)，放电时间t(单位：h)与放电电流I(单位：A)之间关系的经验公式：C＝In·t，其中n为Peukert常数，为了测算某蓄电池的Peukert常数n，在电池容量不变的条件下，当放电电流I＝20 A时，放电时间t＝20 h；当放电电流I＝30 A时，放电时间t＝10 h.则该蓄电池的Peukert常数n大约为
(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)
√
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根据题意可得C＝20n·20，C＝30n·10，
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5.已知函数f(x)＝log2(x＋1)－|x|，则不等式f(x)>0的解集是
A.(－1,1) B.(0,1)
C.(－1,0) D.
√
不等式f(x)>0 log2(x＋1)>|x|，
分别画出函数y＝log2(x＋1)和y＝|x|的图象，
由图象可知y＝log2(x＋1)和y＝|x|的图象有
两个交点，分别是(0,0)和(1,1)，
由图象可知log2(x＋1)>|x|的解集是(0,1)，
即不等式f(x)>0的解集是(0,1).
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6.(多选)已知函数f(x)＝|loga(x＋1)|(a>1)，下列说法正确的是
A.函数f(x)的图象恒过定点(0,0)
B.函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减
C.函数f(x)在区间 上的最小值为0
D.若对任意x∈[1,2]，f(x)≥1恒成立，则实数a的取值范围是(1,2]
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√
√
√
将(0,0)代入函数f(x)＝|loga(x＋1)|(a>1)，成立，故A正确；
当x∈(0，＋∞)时，x＋1∈(1，＋∞)，又a>1，所以f(x)＝|loga(x＋1)|＝loga(x＋1)，由复合函数单调性可知，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝|loga(x＋1)|＝loga(x＋1)单调递增，故B错误；
所以f(x)＝|loga(x＋1)|≥loga1＝0，故C正确；
当x∈[1,2]时，f(x)＝|loga(x＋1)|＝loga(x＋1)≥1恒成立，所以由函数为增函数知loga2≥1，解得11
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8.函数f(x)＝ 的最小值为______.
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9.已知f(x)＝
(1)若a＝2，求f(x)的值域；
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当a＝2时，f(x)＝
令t＝x2－2x＋10＝(x－1)2＋9，
∴t≥9，f(x)≤ ＝－2，
∴f(x)的值域为(－∞，－2].
(2)若f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围.
令u(x)＝x2－ax＋5a，
∵y＝ (x)为减函数，
∴u(x)＝x2－ax＋5a在(1，＋∞)上单调递增，
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因为当x>0时，
f(x)＝logax过点(3，－1)，
所以loga3＝－1，
10.(2023·兰州模拟)已知定义在R上的函数f(x)是奇函数.当x>0时，f(x)＝logax(a>0，且a≠1)过点(3，－1).
(1)求实数a的值；
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(2)求函数f(x)的解析式；
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由(1)得，当x>0时，f(x)＝
当x＝0时，易知f(x)＝0；
当x<0时，－x>0，
所以f(x)＝－f(－x)＝
综上，
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(3)求不等式f(x)<1的解集.
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当x＝0时，f(0)＝0<1显然成立；
当x<0时，f(x)＝
由f(x)<1得 <1，
解得x>－3，故－3当x>0时，f(x)＝
由f(x)<1得 <1，
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11.若非零实数a，b，c满足2a＝3b＝6c＝k，则
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综合提升练
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由已知，得2a＝3b＝6c＝k，
得a＝log2k，b＝log3k，c＝log6k，
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即为f(ln x)13.(多选)关于函数f(x)＝log2x＋log2(4－x)，下列说法正确的是
A.f(x)的最大值为1
B.f(x)在区间(0,2)上为增函数
C.f(x)的图象关于直线x＝2对称
D.f(x)的图象关于点(2,0)对称
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拓展冲刺练
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函数f(x)＝log2x＋log2(4－x)＝log2(4x－x2)(0当x＝2 时，4x－x2 取到最大值4，
故此时f(x)＝log2x＋log2(4－x)取到最大值log24＝2 ，A错误；
f(x)＝log2(4x－x2)(0u＝－x2＋4x(0故f(x)在区间(0,2)上为增函数，在(2,4)上为减函数，故B正确；
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因为函数f(4－x)＝log2(4－x)＋log2x＝f(x)，故f(x)的图象关于直线x＝2对称，C正确；
因为f(4－x)＝log2(4－x)＋log2x＝f(x)≠－f(x)，故f(x)的图象不关于点(2,0)对称，D错误.
14.(多选)已知函数f(x)＝ 若f(x)＝a有四个解x1，x2，x3，
x4且满足x1A.0B.x1＋2x2∈(3，＋∞)
C.x1＋x2＋x3＋x4∈
D.x4∈[4，＋∞)
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√
√
f(x)＝a有四个解，即y＝a与y＝f(x)的图象有4个交点x1，x2，x3，x4且x1可得01
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∵x3＋x4＝8，
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14§2.8　对数与对数函数
考试要求　1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．
知识梳理
1．对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
以10为底的对数叫做常用对数，记作lg N.
以e为底的对数叫做自然对数，记作ln N.
2．对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：loga1＝0，logaa＝1，＝N(a>0，且a≠1，N>0)．
(2)对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM (n∈R)．
(3)对数换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)．
3．对数函数的图象与性质
a>1 0图象
定义域 (0，＋∞)
值域 R
性 质 过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
当x>1时，y>0； 当01时，y<0； 当00
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
4.反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
常用结论
1．logab·logba＝1，＝logab.
2．如图给出4个对数函数的图象
则b>a>1>d>c>0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大．
3．对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(1,0)，(a,1)，.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若M＝N，则logaM＝logaN.(　×　)
(2)函数y＝loga2x(a>0，且a≠1)是对数函数．(　×　)
(3)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(　×　)
(4)函数y＝log2x与y＝的图象重合．(　√　)
教材改编题
1．若函数f(x)＝log2(x＋1)的定义域是[0,1]，则函数f(x)的值域为(　　)
A．[0,1] B．(0,1)
C．(－∞，1] D．[1，＋∞)
答案　A
解析　根据复合函数单调性同增异减可知f(x)在[0,1]上单调递增，
因为0≤x≤1，所以1≤x＋1≤2，则log21≤log2(x＋1)≤log22，
即f(x)∈[0,1]．
2．函数y＝loga(x－2)＋2(a>0，且a≠1)的图象恒过点________．
答案　(3,2)
解析　∵loga1＝0，令x－2＝1，∴x＝3，y＝2，∴函数的图象过定点(3,2)．
3．eln 2＋＝________.
答案　4
解析　eln 2＋＝2＋log416＝2＋2＝4.
题型一　对数式的运算
例1　(1)若2a＝5b＝10，则＋的值是(　　)
A．－1 B. C. D．1
答案　D
解析　由2a＝5b＝10，
∴a＝log210，b＝log510，
∴＝lg 2，＝lg 5，
∴＋＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.
(2)计算：log535＋－log5－log514＝________.
答案　2
解析　原式＝log535－log5－log514＋
＝log5＋
＝log5125－1＝log553－1＝3－1＝2.
思维升华　解决对数运算问题的常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．
(2)将同底对数的和、差、倍合并．
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
跟踪训练1　(1)(2022·保定模拟)已知2a＝3，b＝log85，则4a－3b＝________.
答案　
解析　因为2a＝3，所以a＝log23，
又b＝log85，
所以b＝log25，
所以a－3b＝log2，4a－3b＝＝.
(2)(lg 5)2＋lg 2lg 5＋lg 4－log34×log23＝________.
答案　－1
解析　原式＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋－×＝lg 5＋lg 2－2＝1－2＝－1.
题型二　对数函数的图象及应用
例2　(1)(多选)已知函数f(x)＝loga(x－b)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则以下说法正确的是(　　)
A．－1B．a＋b>0
C．0D．loga|b|<0
答案　ABD
解析　由图象可知f(x)在定义域内单调递增，
所以a>1，故C错误；
令f(x)＝loga(x－b)＝0，即x＝b＋1，
所以函数f(x)的零点为b＋1，
结合函数图象可知0所以－1因此a＋b>0，故B正确；
因为0<|b|<1，
所以loga|b|即loga|b|<0，故D正确．
(2)(2023·佛山模拟)已知函数f(x)＝|ln x|，若0答案　(3，＋∞)
解析　f(x)＝|ln x|的图象如图，
因为f(a)＝f(b)，
所以|ln a|＝|ln b|，
因为0所以ln a<0，ln b>0，
所以01，
所以－ln a＝ln b，
所以ln a＋ln b＝ln(ab)＝0，
所以ab＝1，则b＝，
所以a＋2b＝a＋，
令g(x)＝x＋(0则g(x)在(0,1)上单调递减，
所以g(x)>g(1)＝1＋2＝3，
所以a＋2b>3，
所以a＋2b的取值范围为(3，＋∞)．
思维升华　对数函数图象的识别及应用方法
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
跟踪训练2　(1)已知lg a＋lg b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，则函数f(x)＝ax与g(x)＝的图象可能是(　　)
答案　B
解析　∵lg a＋lg b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，
∴ab＝1，∴a＝，
∴g(x)＝＝logax，函数f(x)＝ax与函数g(x)＝互为反函数，
∴函数f(x)＝ax与g(x)＝的图象关于直线y＝x对称，且具有相同的单调性．
(2)(2023·濮阳模拟)已知a>0且a≠1，函数y＝ax的图象如图所示，则函数f(x)＝loga(－x＋1)的部分图象大致为(　　)
答案　D
解析　由函数y＝ax的图象可得a>1.
当a>1时，y＝logax经过定点(1,0)，为增函数．
因为y＝logax与y＝loga(－x)关于y轴对称，所以y＝loga(－x)经过定点(－1,0)，为减函数．
而f(x)＝loga(－x＋1)可以看作y＝loga(－x)的图象向右平移一个单位长度得到的，
所以f(x)＝loga(－x＋1)的图象经过定点(0,0)，为减函数．结合选项可知选D.
题型三　对数函数的性质及应用
命题点1　比较对数式的大小
例3　(2023·武汉质检)已知a＝log30.5，b＝log3π，c＝log43，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．aC．a答案　C
解析　a＝log30.5b＝log3π>log33＝1，即b>1；
0＝log41∴a命题点2　解对数方程、不等式
例4　(2022·重庆模拟)已知a>0，且a≠1，loga<1，则实数a的取值范围是________．
答案　∪(1，＋∞)
解析　当a>1时，y＝logax在(0，＋∞)上单调递增，
则loga<0<1恒成立，
当0由loga<1，
可得loga解得0综上，使loga<1成立的a的取值范围是∪(1，＋∞)．
命题点3　对数函数的性质及应用
例5 (2023·郑州模拟)设函数f(x)＝ln|x＋3|＋ln|x－3|，则f(x)(　　)
A．是偶函数，且在(－∞，－3)上单调递减
B．是奇函数，且在(－3,3)上单调递减
C．是奇函数，且在(3，＋∞)上单调递增
D．是偶函数，且在(－3,3)上单调递增
答案　A
解析　函数f(x)的定义域为{x|x≠±3}，
f(x)＝ln|x＋3|＋ln|x－3|＝ln|x2－9|，
令g(x)＝|x2－9|，
则f(x)＝ln g(x)，
函数g(x)的单调区间由图象(图略)可知，
当x∈(－∞，－3)，x∈(0,3)时，g(x)单调递减，
当x∈(－3,0)，x∈(3，＋∞)时，g(x)单调递增，
由复合函数单调性同增异减得单调区间．
由f(－x)＝ln|(－x)2－9|＝ln|x2－9|＝f(x)得f(x)为偶函数．
思维升华　求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．
跟踪训练3　(1)(2023·开封模拟)已知函数f(x)＝loga(6－ax)(a>0，且a≠1)在(0,2)上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)
A．(1,3] B．(1,3)
C．(0,1) D．(1，＋∞)
答案　A
解析　令t(x)＝6－ax，因为a>0，所以t(x)＝6－ax为减函数．
又由函数f(x)＝loga(6－ax)在(0,2)上单调递减，
可得函数t(x)＝6－ax>0在(0,2)上恒成立，且a>1，
故有解得1(2)(2022·惠州模拟)若函数f(x)＝loga(a>0，且a≠1)有最小值，则实数a的取值范围是________．
答案　(1，)
解析　令u(x)＝x2－ax＋＝2＋－，
则u(x)有最小值－，
欲使函数f(x)＝loga有最小值，
则有
解得1课时精练
1．函数f(x)＝的定义域为(　　)
A. B.
C. D．[1，＋∞)
答案　A
解析　由题意，要使函数f(x)＝有意义，则满足log0.5(2x－1)≥0，
所以0<2x－1≤1，解得2．若函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)的反函数的图象过点(1,3)，则f(log28)等于(　　)
A．－1 B．1 C．2 D．3
答案　B
解析　依题意，函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)的反函数，即函数y＝ax的图象过点(1,3)，
则a＝3，f(x)＝log3x，于是得f(log28)＝log3(log28)＝log33＝1，
所以f(log28)＝1.
3．函数f(x)＝log2(|x|－1)的图象为(　　)
答案　A
解析　函数f(x)＝log2(|x|－1)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，排除B，C；
由f(－x)＝log2(|－x|－1)＝log2(|x|－1)＝f(x)，
可知函数f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，排除D.
4．按照“碳达峰”“碳中和”的实现路径，2030年为碳达峰时期，2060年实现碳中和，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口．Peukert于1898年提出蓄电池的容量C(单位：Ah)，放电时间t(单位：h)与放电电流I(单位：A)之间关系的经验公式：C＝In·t，其中n为Peukert常数，为了测算某蓄电池的Peukert常数n，在电池容量不变的条件下，当放电电流I＝20 A时，放电时间t＝20 h；当放电电流I＝30 A时，放电时间t＝10 h．则该蓄电池的Peukert常数n大约为(　　)
(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)
A. B. C. D．2
答案　B
解析　根据题意可得C＝20n·20，C＝30n·10，
两式相比得＝1，即n＝，
所以n＝ ＝＝≈＝.
5．已知函数f(x)＝log2(x＋1)－|x|，则不等式f(x)>0的解集是(　　)
A．(－1,1) B．(0,1)
C．(－1,0) D．
答案　B
解析　不等式f(x)>0 log2(x＋1)>|x|，
分别画出函数y＝log2(x＋1)和y＝|x|的图象，
由图象可知y＝log2(x＋1)和y＝|x|的图象有两个交点，分别是(0,0)和(1,1)，
由图象可知log2(x＋1)>|x|的解集是(0,1)，
即不等式f(x)>0的解集是(0,1)．
6．(多选)已知函数f(x)＝|loga(x＋1)|(a>1)，下列说法正确的是(　　)
A．函数f(x)的图象恒过定点(0,0)
B．函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减
C．函数f(x)在区间上的最小值为0
D．若对任意x∈[1,2]，f(x)≥1恒成立，则实数a的取值范围是(1,2]
答案　ACD
解析　将(0,0)代入函数f(x)＝|loga(x＋1)|(a>1)，成立，故A正确；
当x∈(0，＋∞)时，x＋1∈(1，＋∞)，又a>1，所以f(x)＝|loga(x＋1)|＝loga(x＋1)，由复合函数单调性可知，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝|loga(x＋1)|＝loga(x＋1)单调递增，故B错误；
当x∈时，x＋1∈，所以f(x)＝|loga(x＋1)|≥loga1＝0，故C正确；
当x∈[1,2]时，f(x)＝|loga(x＋1)|＝loga(x＋1)≥1恒成立，所以由函数为增函数知loga2≥1，解得17．(2023·淮北模拟)计算：－2＋＝______.
答案　10
解析　－2＋＝4＋2＋4＝10.
8．函数f(x)＝的最小值为________．
答案　－
解析　依题意得f(x)＝log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝2－≥－，当且仅当log2x＝－，即x＝时等号成立，所以函数f(x)的最小值为－.
9．已知f(x)＝
(1)若a＝2，求f(x)的值域；
(2)若f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．
解　(1)当a＝2时，f(x)＝，
令t＝x2－2x＋10＝(x－1)2＋9，
∴t≥9，f(x)≤＝－2，
∴f(x)的值域为(－∞，－2]．
(2)令u(x)＝x2－ax＋5a，
∵y＝(x)为减函数，
∴u(x)＝x2－ax＋5a在(1，＋∞)上单调递增，
∴
解得－∴a的取值范围是.
10．(2023·兰州模拟)已知定义在R上的函数f(x)是奇函数．当x>0时，f(x)＝logax(a>0，且a≠1)过点(3，－1)．
(1)求实数a的值；
(2)求函数f(x)的解析式；
(3)求不等式f(x)<1的解集．
解　(1)因为当x>0时，
f(x)＝logax过点(3，－1)，
所以loga3＝－1，
解得a＝.
(2)由(1)得，当x>0时，
f(x)＝；
当x＝0时，易知f(x)＝0；
当x<0时，－x>0，
所以f(x)＝－f(－x)
＝，
综上，
(3)当x>0时，f(x)＝，
由f(x)<1得<1，
解得x>，故x>，
当x＝0时，f(0)＝0<1显然成立；
当x<0时，f(x)＝，
由f(x)<1得<1，
解得x>－3，故－3综上，f(x)<1的解集为
.
11．若非零实数a，b，c满足2a＝3b＝6c＝k，则(　　)
A.＋＝ B.＋＝
C.＋＝ D.＋＝
答案　A
解析　由已知，得2a＝3b＝6c＝k，
得a＝log2k，b＝log3k，c＝log6k，
所以＝logk2，＝logk3，＝logk6，
而2×3＝6，所以＋＝.
12．(2023·长春模拟)已知函数f(x)＝，则不等式f(ln x)＋f <2f(1)的解集为(　　)
A．(e，＋∞) B．(0，e)
C.∪(1，e) D.
答案　D
解析　由题知，函数f(x)＝的定义域为R，且为偶函数，
当x>0时，f(x)＝＝＝1－单调递增，
当x<0时，f(x)＝＝＝1－单调递减，
因为f(ln x)＋f ＝f(ln x)＋f(ln x－1)＝f(ln x)＋f(－ln x)＝2f(ln x)，
所以f(ln x)＋f <2f(1)，
即为f(ln x)所以－1所以x∈.
13．(多选)关于函数f(x)＝log2x＋log2(4－x)，下列说法正确的是(　　)
A．f(x)的最大值为1
B．f(x)在区间(0,2)上为增函数
C．f(x)的图象关于直线x＝2对称
D．f(x)的图象关于点(2,0)对称
答案　BC
解析　函数f(x)＝log2x＋log2(4－x)＝log2(4x－x2)(0当x＝2 时，4x－x2 取到最大值4，
故此时f(x)＝log2x＋log2(4－x)取到最大值log24＝2 ，A错误；
f(x)＝log2(4x－x2)(0u＝－x2＋4x(0故f(x)在区间(0,2)上为增函数，在(2,4)上为减函数，故B正确；
因为函数f(4－x)＝log2(4－x)＋log2x＝f(x)，故f(x)的图象关于直线x＝2对称，C正确；
因为f(4－x)＝log2(4－x)＋log2x＝f(x)≠－f(x)，故f(x)的图象不关于点(2,0)对称，D错误．
14．(多选)已知函数f(x)＝若f(x)＝a有四个解x1，x2，x3，x4且满足x1A．0B．x1＋2x2∈(3，＋∞)
C．x1＋x2＋x3＋x4∈
D．x4∈[4，＋∞)
答案　AC
解析　作函数f(x)＝的图象如图所示，
f(x)＝a有四个解，即y＝a与y＝f(x)的图象有4个交点x1，x2，x3，x4且x1可得0由图象可得x1·x2＝1，则＝x2，
∴x1＋2x2＝x1＋，
∵x1＋x2＝＋x1，∵∵x3＋x4＝8，
∴x1＋x2＋x3＋x4∈，故选项C正确；
令x2－8x＋13＝0，解得x＝4±，
由图象可知x4∈(4＋，6)，故选项D错误．§2.8　对数与对数函数
考试要求　1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．
知识梳理
1．对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作________，其中________叫做对数的底数，________叫做真数．
以10为底的对数叫做常用对数，记作______．
以e为底的对数叫做自然对数，记作________．
2．对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：loga1＝______，logaa＝______，＝________(a>0，且a≠1，N>0)．
(2)对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①loga(MN)＝________________；
②loga＝________________；
③logaMn＝________ (n∈R)．
(3)对数换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)．
3．对数函数的图象与性质
a>1 0图象
定义域
值域
性质 过定点________，即x＝1时，y＝0
当x>1时，______； 当01时，______； 当0在(0，＋∞)上是________ 在(0，＋∞)上是________
4.反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数________(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线________对称．
常用结论
1．logab·logba＝1，＝logab.
2．如图给出4个对数函数的图象
则b>a>1>d>c>0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大．
3．对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(1,0)，(a,1)，.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若M＝N，则logaM＝logaN.(　　)
(2)函数y＝loga2x(a>0，且a≠1)是对数函数．(　　)
(3)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(　　)
(4)函数y＝log2x与y＝的图象重合．(　　)
教材改编题
1．若函数f(x)＝log2(x＋1)的定义域是[0,1]，则函数f(x)的值域为(　　)
A．[0,1] B．(0,1)
C．(－∞，1] D．[1，＋∞)
2．函数y＝loga(x－2)＋2(a>0，且a≠1)的图象恒过点________．
3．eln 2＋＝________.
题型一　对数式的运算
例1 (1)若2a＝5b＝10，则＋的值是(　　)
A．－1 B. C. D．1
(2)计算：log535＋－log5－log514＝________.
听课记录： ______________________________________________________________
________________________________________________________________________
思维升华 解决对数运算问题的常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．
(2)将同底对数的和、差、倍合并．
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
跟踪训练1 (1)(2022·保定模拟)已知2a＝3，b＝log85，则4a－3b＝________.
(2)(lg 5)2＋lg 2lg 5＋lg 4－log34×log23＝________.
题型二　对数函数的图象及应用
例2 (1)(多选)已知函数f(x)＝loga(x－b)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则以下说法正确的是(　　)
A．－10
C．0(2)(2023·佛山模拟)已知函数f(x)＝|ln x|，若0听课记录：______________________________________________________________
________________________________________________________________________
思维升华 对数函数图象的识别及应用方法
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
跟踪训练2 (1)已知lg a＋lg b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，则函数f(x)＝ax与g(x)＝ 的图象可能是(　　)
(2)(2023·濮阳模拟)已知a>0且a≠1，函数y＝ax的图象如图所示，则函数f(x)＝loga(－x＋1)的部分图象大致为(　　)
题型三　对数函数的性质及应用
命题点1　比较对数式的大小
例3 (2023·武汉质检)已知a＝log30.5，b＝log3π，c＝log43，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．aC．a听课记录： ______________________________________________________________
________________________________________________________________________
命题点2　解对数方程、不等式
例4 (2022·重庆模拟)已知a>0，且a≠1，loga<1，则实数a的取值范围是________．
听课记录：______________________________________________________________
________________________________________________________________________
命题点3　对数函数的性质及应用
例5 (2023·郑州模拟)设函数f(x)＝ln|x＋3|＋ln|x－3|，则f(x)(　　)
A．是偶函数，且在(－∞，－3)上单调递减
B．是奇函数，且在(－3,3)上单调递减
C．是奇函数，且在(3，＋∞)上单调递增
D．是偶函数，且在(－3,3)上单调递增
听课记录：______________________________________________________________
________________________________________________________________________
思维升华 求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．
跟踪训练3 (1)(2023·开封模拟)已知函数f(x)＝loga(6－ax)(a>0，且a≠1)在(0,2)上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)
A．(1,3] B．(1,3)
C．(0,1) D．(1，＋∞)
(2)(2022·惠州模拟)若函数f(x)＝loga(a>0，且a≠1)有最小值，则实数a的取值范围是________．

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