资源简介

(共70张PPT)
§2.11　函数的零点与
方程的解
第二章　函　数
1.理解函数的零点与方程的解的联系.
2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.
3.了解用二分法求方程的近似解.
考试要求
第一部分
第二部分
第三部分
落实主干知识
探究核心题型
课时精练
内容索引
落实主干知识
第
一
部
分
1.函数的零点与方程的解
(1)函数零点的概念
对于一般函数y＝f(x)，我们把使 的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.
(2)函数零点与方程实数解的关系
方程f(x)＝0有实数解 函数y＝f(x)有 函数y＝f(x)的图象与 有公共点.
f(x)＝0
零点
x轴
(3)函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有
，那么，函数y＝f(x)在区间 内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得 ，这个c也就是方程f(x)＝0的解.
2.二分法
对于在区间[a，b]上图象连续不断且 的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间 ，使所得区间的两个端点逐步逼近 ，
进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
f(a)f(b)<0
(a，b)
f(c)＝0
f(a)f(b)<0
一分为二
零点
1.若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点.
2.连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.(　　)
(2)连续函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)<0.(　　)
(3)函数y＝f(x)为R上的单调函数，则f(x)有且仅有一个零点.(　　)
(4)用二分法求函数零点的近似值适合于变号零点.(　　)
×
×
×
√
1.观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是
√
由图象可知，B，D选项中函数无零点，A，C选项中函数有零点，C选项中函数零点两侧函数值符号相同，A选项中函数零点两侧函数值符号相反，故A选项中函数零点可以用二分法求近似值，C选项不能用二分法求零点.
2.函数y＝ －ln x的零点所在区间是
A.(3,4) B.(2,3)
C.(1,2) D.(0,1)
√
当x＝3时，y＝1－ln 3<0，两函数值异号，
3.函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是
A.0　　　B.1　　　C.2　　　D.3
√
由f′(x)＝ex＋3>0，所以f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝　－3<0，f(0)＝1>0，因此函数f(x)有且只有一个零点.
探究核心题型
第
二部
分
例1　(1)函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点所在的区间是
A.(1,2) B.(2,3)
C.(3,4) D.(4,5)
√
题型一
函数零点所在区间的判定
由题意得，f(x)＝ln x＋2x－6，在定义域内单调递增，
f(2)＝ln 2＋4－6＝ln 2－2<0，
f(3)＝ln 3＋6－6＝ln 3>0，
则f(2)f(3)<0，
∴零点在区间(2,3)上.
延伸探究　用二分法求函数f(x)＝ln x＋2x－6在区间(2,3)内的零点近似值，至少经过________次二分后精确度达到0.1
A.2　　　B.3　　　C.4　　　D.5
√
∵开区间(2,3)的长度等于1，
每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，
∴至少需要操作4次.
(2)(2023·蚌埠模拟)已知x1＋ ＝0，x2＋log2x2＝0, －log2x3＝0，则
A.x1C.x1√
设函数f(x)＝x＋2x，易知f(x)在R上单调递增，
由函数零点存在定理可知，－1设函数g(x)＝x＋log2x，
因为h(1)>h(x3)，
由函数单调性可知，x3>1，
即－1确定函数零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
思维升华
跟踪训练1　(1)(多选)函数f(x)＝ex－x－2在下列哪个区间内必有零点
A.(－2，－1) B.(－1,0)
C.(0,1) D.(1,2)
√
√
f(0)＝－1<0，f(1)＝e－3<0，
f(2)＝e2－4>0，
因为f(－2)·f(－1)<0，f(1)·f(2)<0，
所以f(x)在(－2，－1)和(1,2)内存在零点.
(2)若aA.(a，b)和(b，c)内 B.(－∞，a)和(a，b)内
C.(b，c)和(c，＋∞)内 D.(－∞，a)和(c，＋∞)内
√
函数y＝f(x)是开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a0，f(b)＝(b－c)
(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0.
所以f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0，
即f(x)在区间(a，b)和区间(b，c)内各有一个零点.
例2　(1)若函数f(x)＝|x|，则函数y＝f(x)－　 |x|的零点个数是
A.5　　　B.4　　　C.3　　　D.2
题型二
函数零点个数的判定
√
在同一平面直角坐标系中作出f(x)＝|x|，g(x)＝ |x|
的图象如图所示，则y＝f(x)－ |x|的零点个数，
即f(x)与g(x)图象的交点个数，由图可知选D.
(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(4＋x)＝f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－2，则f(x)在区间(0,8)上零点的个数为
A.2　　　B.3　　　C.4　　　D.5
√
因为f(4＋x)＝f(x)，所以函数的周期为4，
当x∈[0,2]时，令f(x)＝2x－2＝0，得x＝1，即f(1)＝0，
因为函数是偶函数且周期为4，
所以有f(1)＝f(－1)＝f(3)＝f(7)＝f(－3)＝f(5)＝0，
所以f(x)在区间(0,8)上零点的个数为4.
求解函数零点个数的基本方法
(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个解，则f(x)有多少个零点；
(2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等；
(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数.
跟踪训练2　(1)(2022·泉州模拟)设定义域为R的函数f(x)＝
则关于x的函数y＝2f 2(x)－3f(x)＋1的零点的个数为
A.3　　　B.7　　　C.5　　　D.6
√
根据题意，令2f 2(x)－3f(x)＋1＝0，
作出f(x)的简图如图所示，
故关于x的函数y＝2f 2(x)－3f(x)＋1的零点的个数为7.
6
令36－x2≥0，解得－6≤x≤6，
∴f(x)的定义域为[－6,6].
令f(x)＝0得36－x2＝0或cos x＝0，
由36－x2＝0得x＝±6，
故f(x)共有6个零点.
题型三
函数零点的应用
√
设与y＝4－x2相切的直线为l，
因为y′＝－2x，所以切线的斜率为k＝－2x0，
因为g(x)＝kx－3k过定点(3,0)，且在切线l上，
因为函数f(x)与g(x)的图象有三个交点，
命题点2　根据函数零点的范围求参数
√
根据函数零点的情况求参数的三种常用方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围.
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决.
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解.
跟踪训练3　(1)函数f(x)＝2x－ －a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是
A.0√
√
令h′(x)>0，得0令h′(x)<0，得x>e，
所以函数h(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减.
因为函数g(x)＝f(x)－a有3个零点，
所以方程f(x)＝a有3个解.
作出函数y＝f(x)和y＝a的图象如图所示，
课时精练
第
三部
分
基础保分练
1.(2022·焦作模拟)设函数f(x)＝2x＋ 的零点为x0，则x0所在的区间是
A.(－4，－2) B.(－2，－1)
C.(1,2) D.(2,4)
√
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2.用二分法研究函数f(x)＝x5＋8x3－1的零点时，第一次经过计算得f(0)<0，f(0.5)>0，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为
A.(0,0.5)，f(0.125) B.(0,0.5)，f(0.375)
C.(0.5,1)，f(0.75) D.(0,0.5)，f(0.25)
√
因为f(0)f(0.5)<0，
由函数零点存在定理知，零点x0∈(0,0.5)，
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√
当x≤0时，令f(x)＝x2－2x－3＝0，
得x＝－1(x＝3舍去)，
当x>0时，令f(x)＝0，得log2x＝3x－4，
作出y＝log2x与y＝3x－4的图象，如图所示，
由图可知，y＝log2x与y＝3x－4有两个交点，
所以当x>0时，f(x)＝0有两个零点，
综上，f(x)有3个零点.
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所以函数f(x)在(1,3]上单调递增，
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5.已知函数f(x)＝x2－2|x|－m的零点有两个，则实数m的取值范围为
A.(－1,0) B.{－1}∪(0，＋∞)
C.[－1,0)∪(0，＋∞) D.(0,1)
√
在同一平面直角坐标系内作出函数y＝x2－2|x|的图象和直线y＝m，可知当m>0或m＝－1时，直线y＝m与函数y＝x2－2|x|的图象有两个交点，即函数f(x)＝x2－2|x|－m有两个零点.
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6.已知函数f(x)＝x－ (x>0)，g(x)＝x＋ex，h(x)＝x＋ln x(x>0)的零点分别为x1，x2，x3，则
A.x1C.x2√
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可知x27.(多选)函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k的交点个数可能是
A.1　　　B.2　　　C.4　　　D.6
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√
√
√
由题意知，
f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]，
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在坐标系中画出函数f(x)的图象如图所示.
由其图象知，直线y＝k与y＝f(x)的图象交点个数可能为0,1,2,3,4.
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8.(多选)(2023·南京模拟)在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单地讲，就是对于满足一定条件的连续函数f(x)，存在一个点x0，使得f(x0)＝x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列函数是“不动点”函数的是
A.f(x)＝2x＋x B.f(x)＝x2－x－3
C.f(x)＝　＋1 D.f(x)＝|log2x|－1
√
√
√
选项A，若f(x0)＝x0，则 ＝0，该方程无解，
故该函数不是“不动点”函数；
解得x0＝3或x0＝－1，故该函数是“不动点”函数；
选项C，若f(x0)＝x0，则 ＋1＝x0，
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选项D，若f(x0)＝x0，则|log2x0|－1＝x0，
即|log2x0|＝x0＋1，
作出y＝|log2x|与y＝x＋1的函数图象，如图，
由图可知，方程|log2x|＝x＋1有实数根x0，
即存在x0，使|log2x0|－1＝x0，
故该函数是“不动点”函数.
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9.已知指数函数为f(x)＝4x，则函数y＝f(x)－2x＋1的零点为_____.
1
由f(x)－2x＋1＝4x－2x＋1＝0，得2x(2x－2)＝0，x＝1.
10.(2023·苏州质检)函数f(x)满足以下条件：①f(x)的定义域为R，其图象是一条连续不断的曲线；② x∈R，f(x)＝f(－x)；③当x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2时， >0；④f(x)恰有两个零点，请写出函数f(x)的一个
解析式________________________.
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f(x)＝x2－1 (答案不唯一)
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因为 x∈R，f(x)＝f(－x)，所以f(x)是偶函数，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
因为f(x)恰有两个零点，
所以f(x)图象与x轴只有2个交点，
所以函数f(x)的一个解析式可以为f(x)＝x2－1(答案不唯一).
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(1，＋∞)
方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，即f(x)＝－x＋a有且只有一个实根，
即函数y＝f(x)的图象与直线y＝－x＋a有且只有一个交点.
如图，在同一直角坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线y＝－x＋a在y轴上的截距.
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由图可知，当a≤1时，直线y＝－x＋a与y＝f(x)有两个交点，
当a>1时，直线y＝－x＋a与y＝f(x)只有一个交点.
故实数a的取值范围是(1，＋∞).
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y＝f(x)－a有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，
即方程f(x)＝a有四个不同的解，
即y＝f(x)的图象与直线y＝a有四个交点.
在同一平面直角坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝a的图象，如图所示，
由二次函数的对称性可得，x3＋x4＝4.
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13.已知函数f(x)＝|ex－1|＋1，若函数g(x)＝[f(x)]2＋(a－2)f(x)－2a有三个零点，则实数a的取值范围是
A.(－2，－1) B.(－1,0)
C.(0,1) D.(1,2)
综合提升练
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√
令t＝f(x)，则函数g(t)＝t2＋(a－2)t－2a，由t2＋(a－2)t－2a＝0得，
t＝2或t＝－a.
作出函数f(x)的图象，如图所示，
由图可知，当t＝2时，方程f(x)＝|ex－1|＋1＝2有且仅有一个根，
则方程f(x)＝|ex－1|＋1＝－a必有两个不同的实数根，
此时由图可知，1<－a<2，即－21
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0
所以f(x)的对称中心是(0,0)，
由图象知，两个函数图象有8个交点，即函数f(x)有8个零点，
由对称性可知，零点之和为0.
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由题设知f(x)关于y轴对称，即f(x)为偶函数，
又f(x－3)＝f(x＋1)，则f(x)＝f(x＋4)，
即f(x)是周期为4的函数，
若x∈[－2,0]，则－x∈[0,2]，
又y＝k(x＋4)，k>0过定点(－4,0)，
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所以y＝f(x)与y＝k(x＋4)，k>0的部分图象如图所示，
16.已知M＝{α|f(α)＝0}，N＝{β|g(β)＝0}，若存在α∈M，β∈N，使得|α－β|＝x2－aex互为“1度零点函数”，则实数a的取值范围为________.
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由题意可知f(2)＝0，且f(x)在R上单调递减，
所以函数f(x)只有一个零点2，
由|2－β|<1，得1<β<3，
所以函数g(x)＝x2－aex在区间(1,3)上存在零点.
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所以h(x)在区间(1,2)上单调递增，在区间(2,3)上单调递减，
要使函数g(x)在区间(1,3)上存在零点，
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16§2.11　函数的零点与方程的解
考试要求　1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.
3.了解用二分法求方程的近似解．
知识梳理
1．函数的零点与方程的解
(1)函数零点的概念
对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)函数零点与方程实数解的关系
方程f(x)＝0有实数解 函数y＝f(x)有零点 函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．
(3)函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
2．二分法
对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
常用结论
1．若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点．
2．连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(　×　)
(2)连续函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)<0.(　×　)
(3)函数y＝f(x)为R上的单调函数，则f(x)有且仅有一个零点．(　×　)
(4)用二分法求函数零点的近似值适合于变号零点．(　√　)
教材改编题
1．观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是(　　)
答案　A
解析　由图象可知，B，D选项中函数无零点，A，C选项中函数有零点，C选项中函数零点两侧函数值符号相同，A选项中函数零点两侧函数值符号相反，故A选项中函数零点可以用二分法求近似值，C选项不能用二分法求零点．
2．函数y＝－ln x的零点所在区间是(　　)
A．(3,4) B．(2,3) C．(1,2) D．(0,1)
答案　B
解析　因为函数的定义域为(0，＋∞)，且函数y＝在(0，＋∞)上单调递减；y＝－ln x在(0，＋∞)上单调递减，
所以函数y＝－ln x为定义在(0，＋∞)上的连续减函数，
又当x＝2时，y＝－ln 2>0；
当x＝3时，y＝1－ln 3<0，
两函数值异号，
所以函数y＝－ln x的零点所在区间是(2,3)．
3．函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
答案　B
解析　由f′(x)＝ex＋3>0，所以f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝－3<0，f(0)＝1>0，因此函数f(x)有且只有一个零点．
题型一　函数零点所在区间的判定
例1　(1)函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点所在的区间是(　　)
A．(1,2) B．(2,3)
C．(3,4) D．(4,5)
答案　B
解析　由题意得，f(x)＝ln x＋2x－6，在定义域内单调递增，
f(2)＝ln 2＋4－6＝ln 2－2<0，
f(3)＝ln 3＋6－6＝ln 3>0，
则f(2)f(3)<0，
∴零点在区间(2,3)上．
延伸探究　用二分法求函数f(x)＝ln x＋2x－6在区间(2,3)内的零点近似值，至少经过________次二分后精确度达到0.1(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
答案　C
解析　∵开区间(2,3)的长度等于1，
每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，
经过n次操作后，区间长度变为，
故有≤0.1，解得n≥4，
∴至少需要操作4次．
(2)(2023·蚌埠模拟)已知x1＋＝0，x2＋log2x2＝0,－log2x3＝0，则(　　)
A．x1C．x1答案　A
解析　设函数f(x)＝x＋2x，易知f(x)在R上单调递增，
f(－1)＝－，f(0)＝1，即f(－1)f(0)<0，
由函数零点存在定理可知，－1设函数g(x)＝x＋log2x，
易知g(x)在(0，＋∞)上单调递增，g＝－，g(1)＝1，
即gg(1)<0，
由函数零点存在定理可知，设函数h(x)＝x－log2x，
易知h(x)在(0，＋∞)上单调递减，h(1)＝，h(x3)＝0，
因为h(1)>h(x3)，
由函数单调性可知，x3>1，
即－1思维升华　确定函数零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
跟踪训练1　(1)(多选)函数f(x)＝ex－x－2在下列哪个区间内必有零点(　　)
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
答案　AD
解析　f(－2)＝>0，f(－1)＝－1<0，
f(0)＝－1<0，f(1)＝e－3<0，
f(2)＝e2－4>0，
因为f(－2)·f(－1)<0，f(1)·f(2)<0，
所以f(x)在(－2，－1)和(1,2)内存在零点．
(2)若aA．(a，b)和(b，c)内
B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内
D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
答案　A
解析　函数y＝f(x)是开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0.
所以f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0，
即f(x)在区间(a，b)和区间(b，c)内各有一个零点．
题型二　函数零点个数的判定
例2　(1)若函数f(x)＝|x|，则函数y＝f(x)－|x|的零点个数是(　　)
A．5 B．4 C．3 D．2
答案　D
解析　在同一平面直角坐标系中作出f(x)＝|x|，g(x)＝|x|的图象如图所示，则y＝f(x)－|x|的零点个数，即f(x)与g(x)图象的交点个数，由图可知选D.
(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(4＋x)＝f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－2，则f(x)在区间(0,8)上零点的个数为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
答案　C
解析　因为f(4＋x)＝f(x)，所以函数的周期为4，
当x∈[0,2]时，令f(x)＝2x－2＝0，得x＝1，即f(1)＝0，
因为函数是偶函数且周期为4，
所以有f(1)＝f(－1)＝f(3)＝f(7)＝f(－3)＝f(5)＝0，
所以f(x)在区间(0,8)上零点的个数为4.
思维升华　求解函数零点个数的基本方法
(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个解，则f(x)有多少个零点；
(2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等；
(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．
跟踪训练2　(1)(2022·泉州模拟)设定义域为R的函数f(x)＝则关于x的函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点的个数为(　　)
A．3 B．7 C．5 D．6
答案　B
解析　根据题意，令2f2(x)－3f(x)＋1＝0，
得f(x)＝1或f(x)＝.
作出f(x)的简图如图所示，
由图象可得当f(x)＝1和f(x)＝时，
分别有3个和4个交点，
故关于x的函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点的个数为 7.
(2)函数f(x)＝·cos x的零点个数为______．
答案　6
解析　令36－x2≥0，解得－6≤x≤6，
∴f(x)的定义域为[－6,6]．
令f(x)＝0得36－x2＝0或cos x＝0，
由36－x2＝0得x＝±6，
由cos x＝0得x＝＋kπ，k∈Z，
又x∈[－6,6]，∴x的取值为－，－，，.
故f(x)共有6个零点．
题型三　函数零点的应用
命题点1　根据零点个数求参数
例3　(2023·黄冈模拟)函数f(x)＝g(x)＝kx－3k，若函数f(x)与g(x)的图象有三个交点，则实数k的取值范围为(　　)
A．(2－6,0) B．(2－6,0)
C．(－2,0) D．(2－6,0)
答案　D
解析　作出函数f(x)＝的图象，如图所示，
设与y＝4－x2相切的直线为l，
且切点为P(x0,4－x)，
因为y′＝－2x，所以切线的斜率为k＝－2x0，
则切线方程为y－4＋x＝－2x0(x－x0)，
因为g(x)＝kx－3k过定点(3,0)，且在切线l上，
代入切线方程求得x0＝3－或x0＝3＋(舍去)，
所以切线的斜率为k＝2－6，
因为函数f(x)与g(x)的图象有三个交点，
由图象知，实数k的取值范围为(2－6,0)．
命题点2　根据函数零点的范围求参数
例4　函数f(x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)
C. D.
答案　D
解析　由题意知，方程ax＝x2＋1在上有解，即a＝x＋在上有解，设t＝x＋，x∈，则t的取值范围是.所以实数a的取值范围是.
思维升华　根据函数零点的情况求参数的三种常用方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解.
跟踪训练3　(1)函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是(　　)
A．0C．1答案　A
解析　因为函数y＝2x，y＝－在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)＝2x－－a在(0，＋∞)上单调递增，
由函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内得，f(1)×f(2)＝(2－2－a)(4－1－a)＝(－a) ×(3－a)<0，解得0(2)(2023·唐山模拟)已知函数f(x)＝若g(x)＝f(x)－a有3个零点，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－1,0) B.
C. D.∪{－1}
答案　B
解析　设h(x)＝(x>0)，
则h′(x)＝，
令h′(x)>0，得0令h′(x)<0，得x>e，
所以函数h(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减．
所以h(x)max＝h(e)＝.
因为函数g(x)＝f(x)－a有3个零点，
所以方程f(x)＝a有3个解．
作出函数y＝f(x)和y＝a的图象如图所示，
所以a的取值范围为.
课时精练
1．(2022·焦作模拟)设函数f(x)＝2x＋的零点为x0，则x0所在的区间是(　　)
A．(－4，－2) B．(－2，－1)
C．(1,2) D．(2,4)
答案　B
解析　易知f(x)在R上单调递增且连续，f(－2)＝－<0，f(－1)＝－>0，所以x0∈(－2，－1)．
2．用二分法研究函数f(x)＝x5＋8x3－1的零点时，第一次经过计算得f(0)<0，f(0.5)>0，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为(　　)
A．(0,0.5)，f(0.125) B．(0,0.5)，f(0.375)
C．(0.5,1)，f(0.75) D．(0,0.5)，f(0.25)
答案　D
解析　因为f(0)f(0.5)<0，
由函数零点存在定理知，零点x0∈(0,0.5)，
根据二分法，第二次应计算f ，即f(0.25)．
3．函数f(x)＝的零点个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　C
解析　当x≤0时，令f(x)＝x2－2x－3＝0，
得x＝－1(x＝3舍去)，
当x>0时，令f(x)＝0，得log2x＝3x－4，
作出y＝log2x与y＝3x－4的图象，如图所示，
由图可知，y＝log2x与y＝3x－4有两个交点，
所以当x>0时，f(x)＝0有两个零点，
综上，f(x)有3个零点．
4．已知函数f(x)＝log2(x＋1)－＋m在区间(1,3]上有零点，则实数m的取值范围为(　　)
A.
B.∪(0，＋∞)
C.∪(0，＋∞)
D.
答案　D
解析　由于函数y＝log2(x＋1)，y＝m－在区间(1,3]上单调递增，
所以函数f(x)在(1,3]上单调递增，
由于函数f(x)＝log2(x＋1)－＋m在区间(1,3]上有零点，
则即
解得－≤m<0.
因此，实数m的取值范围是.
5．已知函数f(x)＝x2－2|x|－m的零点有两个，则实数m的取值范围为(　　)
A．(－1,0) B．{－1}∪(0，＋∞)
C．[－1,0)∪(0，＋∞) D．(0,1)
答案　B
解析　在同一平面直角坐标系内作出函数y＝x2－2|x|的图象和直线y＝m，可知当m>0或m＝－1时，直线y＝m与函数y＝x2－2|x|的图象有两个交点，即函数f(x)＝x2－2|x|－m有两个零点．
6．已知函数f(x)＝x－(x>0)，g(x)＝x＋ex，h(x)＝x＋ln x(x>0)的零点分别为x1，x2，x3，则(　　)
A．x1C．x2答案　C
解析　函数f(x)＝x－(x>0)，g(x)＝x＋ex，h(x)＝x＋ln x(x>0)的零点，即为y＝x与y＝(x>0)，y＝－ex，y＝－ln x(x>0)的交点的横坐标，
作出y＝x与y＝(x>0)，y＝－ex，y＝－ln x(x>0)的图象，如图所示．
可知x27．(多选)函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k的交点个数可能是(　　)
A．1 B．2 C．4 D．6
答案　ABC
解析　由题意知，
f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]，
f(x)＝
在坐标系中画出函数f(x)的图象如图所示．
由其图象知，直线y＝k与y＝f(x)的图象交点个数可能为0,1,2,3,4.
8．(多选)(2023·南京模拟)在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单地讲，就是对于满足一定条件的连续函数f(x)，存在一个点x0，使得f(x0)＝x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列函数是“不动点”函数的是(　　)
A．f(x)＝2x＋x B．f(x)＝x2－x－3
C．f(x)＝＋1 D．f(x)＝|log2x|－1
答案　BCD
解析　选项A，若f(x0)＝x0，则＝0，该方程无解，
故该函数不是“不动点”函数；
选项B，若f(x0)＝x0，则x－2x0－3＝0，
解得x0＝3或x0＝－1，故该函数是“不动点”函数；
选项C，若f(x0)＝x0，则＋1＝x0，
可得x－3x0＋1＝0，且x0≥1，
解得x0＝，故该函数是“不动点”函数；
选项D，若f(x0)＝x0，则|log2x0|－1＝x0，
即|log2x0|＝x0＋1，
作出y＝|log2x|与y＝x＋1的函数图象，如图，
由图可知，方程|log2x|＝x＋1有实数根x0，
即存在x0，使|log2x0|－1＝x0，
故该函数是“不动点”函数．
9．已知指数函数为f(x)＝4x，则函数y＝f(x)－2x＋1的零点为________．
答案　1
解析　由f(x)－2x＋1＝4x－2x＋1＝0，得2x(2x－2)＝0，x＝1.
10．(2023·苏州质检)函数f(x)满足以下条件：①f(x)的定义域为R，其图象是一条连续不断的曲线；② x∈R，f(x)＝f(－x)；③当x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2时，>0；④f(x)恰有两个零点，请写出函数f(x)的一个解析式________．
答案　f(x)＝x2－1 (答案不唯一)
解析　因为 x∈R，f(x)＝f(－x)，所以f(x)是偶函数，
因为当x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2时，>0，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
因为f(x)恰有两个零点，
所以f(x)图象与x轴只有2个交点，
所以函数f(x)的一个解析式可以为f(x)＝x2－1(答案不唯一)．
11．已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．
答案　(1，＋∞)
解析　方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，即f(x)＝－x＋a有且只有一个实根，
即函数y＝f(x)的图象与直线y＝－x＋a有且只有一个交点．
如图，在同一直角坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线y＝－x＋a在y轴上的截距．
由图可知，当a≤1时，直线y＝－x＋a与y＝f(x)有两个交点，
当a>1时，直线y＝－x＋a与y＝f(x)只有一个交点．
故实数a的取值范围是(1，＋∞)．
12．已知函数f(x)＝函数y＝f(x)－a有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，且x1答案　
解析　y＝f(x)－a有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，
即方程f(x)＝a有四个不同的解，
即y＝f(x)的图象与直线y＝a有四个交点．
在同一平面直角坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝a的图象，如图所示，
由二次函数的对称性可得，x3＋x4＝4.因为1－＝－1，
所以＋＝2，故＝.
13．已知函数f(x)＝|ex－1|＋1，若函数g(x)＝[f(x)]2＋(a－2)f(x)－2a有三个零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
答案　A
解析　令t＝f(x)，则函数g(t)＝t2＋(a－2)t－2a，由t2＋(a－2)t－2a＝0得，t＝2或t＝－a.
f(x)＝|ex－1|＋1＝作出函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，当t＝2时，方程f(x)＝|ex－1|＋1＝2有且仅有一个根，则方程f(x)＝|ex－1|＋1＝－a必有两个不同的实数根，此时由图可知，1<－a<2，即－214．已知函数f(x)＝－sin x－1，x∈[－4π，0)∪(0,4π]，则函数f(x)的所有零点之和为________．
答案　0
解析　因为函数f(x)＝－sin x－1＝－sin x，
所以f(x)的对称中心是(0,0)，
令f(x)＝0，得＝sin x，
在同一平面直角坐标系中作出函数y＝，y＝sin x的图象，如图所示，
由图象知，两个函数图象有8个交点，即函数f(x)有8个零点，
由对称性可知，零点之和为0.
15．已知函数f(x＋1)的图象关于直线x＝－1对称，对 x∈R，都有f(x－3)＝f(x＋1)恒成立，当x∈[0,2]时，f(x)＝x2，若函数f(x)的图象和直线y＝k(x＋4)，k>0有5个交点，则k的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　由题设知f(x)关于y轴对称，即f(x)为偶函数，
又f(x－3)＝f(x＋1)，则f(x)＝f(x＋4)，
即f(x)是周期为4的函数，
若x∈[－2,0]，则－x∈[0,2]，
故f(x)＝(－x)2＝，
所以当x∈[－2,2]时，f(x)＝，
又y＝k(x＋4)，k>0过定点(－4,0)，
所以y＝f(x)与y＝k(x＋4)，k>0的部分图象如图所示，
当y＝k(x＋4)，k>0过A(2,2)时，k＝；
当y＝k(x＋4)，k>0过B(6,2)时，k＝；
由图可知，当0有5个交点．
16．已知M＝{α|f(α)＝0}，N＝{β|g(β)＝0}，若存在α∈M，β∈N，使得|α－β|答案　
解析　由题意可知f(2)＝0，且f(x)在R上单调递减，
所以函数f(x)只有一个零点2，
由|2－β|<1，得1<β<3，
所以函数g(x)＝x2－aex在区间(1,3)上存在零点．
由g(x)＝x2－aex＝0，得a＝.
令h(x)＝，
则h′(x)＝＝，
所以h(x)在区间(1,2)上单调递增，在区间(2,3)上单调递减，
且h(1)＝，h(2)＝，
h(3)＝>，
要使函数g(x)在区间(1,3)上存在零点，
只需a∈.§2.11　函数的零点与方程的解
考试要求　1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解．
知识梳理
1．函数的零点与方程的解
(1)函数零点的概念
对于一般函数y＝f(x)，我们把使________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)函数零点与方程实数解的关系
方程f(x)＝0有实数解 函数y＝f(x)有________ 函数y＝f(x)的图象与________有公共点．
(3)函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有________，那么，函数y＝f(x)在区间________内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得________，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
2．二分法
对于在区间[a，b]上图象连续不断且________的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间________________，使所得区间的两个端点逐步逼近________，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
常用结论
1．若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点．
2．连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(　　)
(2)连续函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)<0.(　　)
(3)函数y＝f(x)为R上的单调函数，则f(x)有且仅有一个零点．(　　)
(4)用二分法求函数零点的近似值适合于变号零点．(　　)
教材改编题
1．观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是(　　)
2．函数y＝－ln x的零点所在区间是(　　)
A．(3,4) B．(2,3)
C．(1,2) D．(0,1)
3．函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
题型一　函数零点所在区间的判定
例1 (1)函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点所在的区间是(　　)
A．(1,2) B．(2,3)
C．(3,4) D．(4,5)
延伸探究 用二分法求函数f(x)＝ln x＋2x－6在区间(2,3)内的零点近似值，至少经过________次二分后精确度达到0.1(　　)
A．2　　　 B．3　　　 C．4　　　 D．5
(2)(2023·蚌埠模拟)已知x1＋＝0，x2＋log2x2＝0，－log2x3＝0，则(　　)
A．x1C．x1听课记录：______________________________________________________________
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思维升华 确定函数零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
跟踪训练1 (1)(多选)函数f(x)＝ex－x－2在下列哪个区间内必有零点(　　)
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
(2)若aA．(a，b)和(b，c)内
B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内
D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
题型二　函数零点个数的判定
例2 (1)若函数f(x)＝|x|，则函数y＝f(x)－的零点个数是(　　)
A．5 B．4 C．3 D．2
(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(4＋x)＝f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－2，则f(x)在区间(0,8)上零点的个数为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
听课记录： ______________________________________________________________
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思维升华 求解函数零点个数的基本方法
(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个解，则f(x)有多少个零点；
(2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等；
(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．
跟踪训练2 (1)(2022·泉州模拟)设定义域为R的函数f(x)＝则关于x的函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点的个数为(　　)
A．3 B．7 C．5 D．6
(2)函数f(x)＝·cos x的零点个数为________．
题型三　函数零点的应用
命题点1　根据零点个数求参数
例3 (2023·黄冈模拟)函数f(x)＝g(x)＝kx－3k，若函数f(x)与g(x)的图象有三个交点，则实数k的取值范围为(　　)
A．(2－6,0) B．(2－6,0)
C．(－2,0) D．(2－6,0)
听课记录： ______________________________________________________________
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命题点2　根据函数零点的范围求参数
例4 函数f(x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)
C. D.
听课记录： ______________________________________________________________
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思维升华 根据函数零点的情况求参数的三种常用方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解.
跟踪训练3 (1)函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是(　　)
A．0C．1(2)(2023·唐山模拟)已知函数f(x)＝若g(x)＝f(x)－a有3个零点，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－1,0) B.
C. D.∪{－1}

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