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(共81张PPT)
§6.1　数列的概念
第六章　数　列
1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).
2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.
考试要求
内容索引
第一部分
第二部分
第三部分
落实主干知识
探究核心题型
课时精练
落实主干知识
第
一
部
分
概念 含义
数列 按照___________排列的一列数
数列的项 数列中的__________
通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式
1.数列的有关概念
确定的顺序
每一个数
序号n
递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式
数列{an}的前n项和 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝________________
a1＋a2＋…＋an
2.数列的分类
分类标准 类型 满足条件
项数 有穷数列 项数______
无穷数列 项数______
项与项间的大小关系 递增数列 an＋1 an 其中n∈N*
递减数列 an＋1 an
常数列 an＋1＝an
摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
有限
无限
>
<
3.数列与函数的关系
数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是 ，对应的函数值是 ，记为an＝f(n).
序号n
数列的第n项an
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)数列的项与项数是同一个概念.(　　)
(2)数列1,2,3与3,2,1是两个不同的数列.(　　)
(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.(　　)
(4)若数列用图象表示，则从图象上看是一群孤立的点.(　　)
√
×
×
√
1.(多选)已知数列{an}的通项公式为an＝9＋12n，则在下列各数中，是{an}的项的是
A.21 B.33 C.152 D.153
√
由数列的通项公式得，a1＝21，a2＝33，a12＝153.
√
√
2.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2＋n，则a2的值是
A.2 B.4 C.5 D.6
由题意，S2＝22＋2＝6，S1＝1＋1＝2，所以a2＝S2－S1＝6－2＝4.
√
3.在数列1,1,2,3,5,8,13,21，x,55，…中，x＝____.
34
通过观察数列各项的规律，发现从第三项起，每项都等于它前两项之和，因此x＝13＋21＝34.
探究核心题型
第
二部
分
例1　(1)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，Sn＋1＝2Sn－1，则a10等于
A.128 B.256 C.512 D.1 024
√
题型一
由an与Sn的关系求通项公式
∵Sn＋1＝2Sn－1，
∴当n≥2时，Sn＝2Sn－1－1，
两式相减得an＋1＝2an.
当n＝1时，a1＋a2＝2a1－1，
又a1＝2，∴a2＝1.
∴数列{an}从第二项开始为等比数列，公比为2.
则a10＝a2×28＝1×28＝256.
(2)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2n＋2－3，则an＝____________.
根据题意，数列{an}满足Sn＝2n＋2－3，
当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝(2n＋2－3)－(2n＋1－3)＝2n＋1，
当n＝1时，有a1＝S1＝8－3＝5，不符合an＝2n＋1，
Sn与an的关系问题的求解思路
(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解.
(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解.
思维升华
√
∴an＝n2(n≥2)， ①
∴an＝n2，n∈N*.
a1＝S1＝2－3＝－1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，
由于a1也适合此等式，所以an＝4n－5，n∈N*.
(2)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，则an＝_______.
4n－5
题型二
由数列的递推关系求通项公式
命题点1　累加法
…
例3　在数列{an}中，a1＝1，an＝ (n≥2，n∈N*)，则数列{an}的
通项公式为________.
命题点2　累乘法
以上(n－1)个式子相乘得，
跟踪训练2　(1)设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数
列{an}的通项公式为___________.
由题意得a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)，
以上各式相加，得
log2an＝________.
当n＝1时，a1＝1适合此式，
例4　设数列{an}的前n项和为Sn，且 n∈N*，an＋1>an，Sn≥S6.请写出一个满足条件的数列{an}的通项公式an＝_________________________.
题型三
数列的性质
n－6，n∈N*(答案不唯一)
由 n∈N*，an＋1>an可知数列{an}是递增数列，
又Sn≥S6，故数列{an}从第7项开始为正.
而a6≤0，因此不妨设数列是等差数列，公差为1，a6＝0，
所以an＝n－6，n∈N*(答案不唯一).
命题点1　数列的单调性
命题点2　数列的周期性
√
因此数列{an}是周期为4的周期数列，
命题点3　数列的最值
√
(1)解决数列的单调性问题的方法
用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列.
(2)解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值.
跟踪训练3　(1)观察数列1，ln 2，sin 3,4，ln 5，sin 6,7，ln 8，sin 9，…，则该数列的第11项是
A.1 111 B.11 C.ln 11 D.sin 11
由数列得出规律，按照1，ln 2，sin 3，…，是按正整数的顺序排列，且以3为循环，
由11÷3＝3余2，所以该数列的第11项为ln 11.
√
3，－1
因此数列{an}前20项中的最大项与最小项分别为第11项，第10项.
a11＝3，a10＝－1.
课时精练
第
三部
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基础保分练
A.递减数列 B.递增数列
C.常数列 D.摆动数列
易知数列{an}是递增数列.
√
2.大衍数列来源于我国古代文献《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和.已知该数列前10项是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50，则大衍数列中奇数项的通项公式为
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取特殊值代入即可求解结论.
因为第一项为0，故D错；
第三项为4，故A，C错.
3.已知数列{an}的前n项和Sn满足SnS1＝Sn＋1(n∈N*)，且a1＝2，那么a7等于
A.128 B.16 C.32 D.64
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因为数列{an}的前n项和Sn满足SnS1＝Sn＋1(n∈N*)，a1＝2，
所以数列{Sn}是以2为公比，以2为首项的等比数列，
所以Sn＝2×2n－1＝2n.
所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1.
所以a7＝26＝64.
4.已知数列{an}满足a1＝1，an－an＋1＝nanan＋1(n∈N*)，则an等于
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5.设数列{an}满足：a1＝2，an＋1＝1－ ，记数列{an}的前n项之积为Pn，则P2 024等于
A.－2 B.－1 C.1 D.2
√
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所以数列{an}是周期为3的周期数列.
且P3＝－1,2 024＝3×674＋2，所以P2 024＝(－1)674×a1a2＝1.
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A.数列{an}的最小项是a1
B.数列{an}的最大项是a4
C.数列{an}的最大项是a5
D.当n≥5时，数列{an}递减
√
√
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又n∈N*，所以n＝4或n＝5，
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故数列{an}中a4与a5均为最大项，
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_________.
8.若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________，数列{nan}中数值最小的项是第_____项.
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2n－11
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∵Sn＝n2－10n，∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－11；
当n＝1时，a1＝S1＝－9也适合上式.∴an＝2n－11(n∈N*).
记f(n)＝nan＝n(2n－11)＝2n2－11n，
∴当n＝3时，f(n)取最小值.
∴数列{nan}中数值最小的项是第3项.
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9.在①nan＋1－(n＋1)an＝n(n＋1)；②Sn＝2n2－1这两个条件中任选一个补充在下面的横线上，并解答.
若数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且数列{an}满足________.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
(1)求a2，a3；
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选择①：a2－2a1＝1×2，则a2＝4.
2a3－3a2＝2×3，则a3＝9.
选择②：a2＝S2－S1＝2×22－1－1＝6.
a3＝S3－S2＝2×32－1－2×22＋1＝10.
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(2)求数列{an}的通项公式.
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选择①：由nan＋1－(n＋1)an＝n(n＋1)，
所以an＝n2.
选择②：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－1－[2(n－1)2－1]＝4n－2；
当n＝1时，a1＝S1＝1，不符合上式，
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所以cn≠1，cn≠0，
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(2)求证：Sn<1.
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所以Sn＝c1＋c2＋…＋cn
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11.在数列{an}中，a1＝1，a＝(n，an)，b＝(an＋1，n＋1)，且a⊥b，则a100等于
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综合提升练
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因为a＝(n，an)，b＝(an＋1，n＋1)，且a⊥b，
所以nan＋1＋(n＋1)an＝0，
因为a1＝1，所以a100＝－100.
12.(2022·全国乙卷)嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星.为研究嫦娥二号绕日周期与地
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方法一　当n取奇数时，
同理可得b3>b5，b5>b7，…，于是可得b1>b3>b5>b7>…，故A不正确；
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同理可得b41
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同理可得b3>b4，b5>b6，b7>b8，
又b3>b7，所以b3>b8，故B不正确；故选D.
方法二　(特殊值法)
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逐一判断选项可知选D.
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14.已知[x]表示不超过x的最大整数，例如：[2.3]＝2，[－1.7]＝－2.在数列{an}中，an＝[lg n]，记Sn为数列{an}的前n项和，则a2 024＝____；S2 024＝________.
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∵an＝[lg n]，
∴当1≤n≤9时，an＝[lg n]＝0；
当10≤n≤99时，an＝[lg n]＝1；
当100≤n≤999时，an＝[lg n]＝2；
当1 000≤n≤9 999时，an＝[lg n]＝3.
∴a2 024＝[lg 2 024]＝3，S2 024＝9×0＋90×1＋900×2＋1 025×3＝4 965.
15.(2023·郑州模拟)已知数列{an}满足a2＝2，a2n＝a2n－1＋2n(n∈N*)，a2n＋1＝a2n＋(－1)n(n∈N*)，则数列{an}第2 024项为
A.21 012－2 B.21 013－3
C.21 011－2 D.21 011－3
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拓展冲刺练
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由a2n＋1＝a2n＋(－1)n得a2n－1＝a2n－2＋(－1)n－1(n∈N*，n≥2)，
又由a2n＝a2n－1＋2n得a2n＝a2n－2＋2n＋(－1)n－1(n∈N*，n≥2)，
所以a4＝a2＋22＋(－1)，a6＝a4＋23＋(－1)2，
a8＝a6＋24＋(－1)3，…，a2 024＝a2 022＋21 012＋(－1)1 011，
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16.在数列{an}中，已知a1＝1，n2an－Sn＝n2an－1－Sn－1(n≥2，n∈N*)，记
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由n2an－Sn＝n2an－1－Sn－1(n≥2，n∈N*)，
得n2an－(Sn－Sn－1)＝n2an－1，
所以(n2－1)an＝n2an－1，
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又c1＝a1＝1，§6.1　数列的概念
考试要求　1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．
知识梳理
1．数列的有关概念
概念 含义
数列 按照确定的顺序排列的一列数
数列的项 数列中的每一个数
通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式
递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式
数列{an}的前n项和 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an
2.数列的分类
分类标准 类型 满足条件
项数 有穷数列 项数有限
无穷数列 项数无限
项与项间的大小关系 递增数列 an＋1>an 其中n∈N*
递减数列 an＋1常数列 an＋1＝an
摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
3.数列与函数的关系
数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)．
常用结论
1．已知数列{an}的前n项和Sn，则an＝
2．在数列{an}中，若an最大，则(n≥2，n∈N*)；若an最小，则(n≥2，n∈N*)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)数列的项与项数是同一个概念．(　×　)
(2)数列1,2,3与3,2,1是两个不同的数列．(　√　)
(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．(　×　)
(4)若数列用图象表示，则从图象上看是一群孤立的点．(　√　)
教材改编题
1．(多选)已知数列{an}的通项公式为an＝9＋12n，则在下列各数中，是{an}的项的是(　　)
A．21 B．33 C．152 D．153
答案　ABD
解析　由数列的通项公式得，a1＝21，a2＝33，a12＝153.
2．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2＋n，则a2的值是(　　)
A．2 B．4 C．5 D．6
答案　B
解析　由题意，S2＝22＋2＝6，S1＝1＋1＝2，所以a2＝S2－S1＝6－2＝4.
3．在数列1,1,2,3,5,8,13,21，x,55，…中，x＝________.
答案　34
解析　通过观察数列各项的规律，发现从第三项起，每项都等于它前两项之和，因此x＝13＋21＝34.
题型一　由an与Sn的关系求通项公式
例1　(1)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，Sn＋1＝2Sn－1，则a10等于(　　)
A．128 B．256 C．512 D．1 024
答案　B
解析　∵Sn＋1＝2Sn－1，∴当n≥2时，Sn＝2Sn－1－1，两式相减得an＋1＝2an.当n＝1时，a1＋a2＝2a1－1，又a1＝2，∴a2＝1.∴数列{an}从第二项开始为等比数列，公比为2.则a10＝a2×28＝1×28＝256.
(2)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2n＋2－3，则an＝________.
答案　
解析　根据题意，数列{an}满足Sn＝2n＋2－3，
当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝(2n＋2－3)－(2n＋1－3)＝2n＋1，
当n＝1时，有a1＝S1＝8－3＝5，不符合an＝2n＋1，故an＝
思维升华　Sn与an的关系问题的求解思路
(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．
(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．
跟踪训练1　(1)已知正项数列{an}中，＋＋…＋＝，则数列{an}的通项公式为(　　)
A．an＝n B．an＝n2
C．an＝ D．an＝
答案　B
解析　∵＋＋…＋＝，
∴＋＋…＋＝(n≥2)，
两式相减得＝－＝n(n≥2)，
∴an＝n2(n≥2)，①
又当n＝1时，＝＝1，a1＝1，适合①式，
∴an＝n2，n∈N*.
(2)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，则an＝________.
答案　4n－5
解析　a1＝S1＝2－3＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，由于a1也适合此等式，所以an＝4n－5，n∈N*.
题型二　由数列的递推关系求通项公式
命题点1　累加法
例2　在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋，则通项公式an＝________.
答案　4－
解析　∵an＋1－an＝＝－，
∴当n≥2时，an－an－1＝－，
an－1－an－2＝－，
…
a2－a1＝1－，
以上各式相加得，an－a1＝1－，
∴an＝4－，当n＝1时，a1＝3适合上式，
∴an＝4－.
命题点2　累乘法
例3　在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2，n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________．
答案　an＝
解析　∵an＝an－1(n≥2)，
∴an－1＝an－2，an－2＝an－3，…，a2＝a1.
以上(n－1)个式子相乘得，
an＝a1···…·＝＝.
当n＝1时，a1＝1，符合上式，∴an＝.
思维升华　(1)形如an＋1－an＝f(n)的数列，利用累加法．
(2)形如＝f(n)的数列，利用an＝a1···…·(n≥2)即可求数列{an}的通项公式．
跟踪训练2　(1)设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________．
答案　an＝
解析　由题意得a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)，
以上各式相加，得
an－a1＝2＋3＋…＋n＝＝.
∵a1＝1，∴an＝(n≥2)．
∵当n＝1时，a1＝1也满足此式，∴an＝.
(2)已知数列a1，，…，，…是首项为1，公比为2的等比数列，则log2an＝________.
答案　
解析　由题意知，a1＝1，＝1×2n－1＝2n－1(n≥2)，
所以an＝××…××a1＝2n－1×2n－2×…×1＝(n≥2)，当n＝1时，a1＝1适合此式，
所以log2an＝.
题型三　数列的性质
命题点1　数列的单调性
例4　设数列{an}的前n项和为Sn，且 n∈N*，an＋1>an，Sn≥S6.请写出一个满足条件的数列{an}的通项公式an＝________.
答案　n－6，n∈N*(答案不唯一)
解析　由 n∈N*，an＋1>an可知数列{an}是递增数列，又Sn≥S6，故数列{an}从第7项开始为正．而a6≤0，因此不妨设数列是等差数列，公差为1，a6＝0，所以an＝n－6，n∈N*(答案不唯一)．
命题点2　数列的周期性
例5　若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，则a2 024的值为(　　)
A．2 B．－3 C．－ D.
答案　D
解析　由题意知，a1＝2，a2＝＝－3，a3＝＝－，a4＝＝，a5＝＝2，a6＝＝－3，…，因此数列{an}是周期为4的周期数列，所以a2 024＝a505×4＋4＝a4＝.
命题点3　数列的最值
例6　已知数列{an}的通项公式为an＝，其最大项和最小项的值分别为(　　)
A．1，－ B．0，－ C.，－ D．1，－
答案　A
解析　因为n∈N*，所以当1≤n≤3时，an＝<0，且单调递减；当n≥4时，an＝>0，且单调递减，所以最小项为a3＝＝－，最大项为a4＝＝1.
思维升华　(1)解决数列的单调性问题的方法
用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列．
(2)解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．
跟踪训练3　(1)观察数列1，ln 2，sin 3,4，ln 5，sin 6,7，ln 8，sin 9，…，则该数列的第11项是(　　)
A．1 111 B．11 C．ln 11 D．sin 11
答案　C
解析　由数列得出规律，按照1，ln 2，sin 3，…，是按正整数的顺序排列，且以3为循环，由11÷3＝3余2，所以该数列的第11项为ln 11.
(2)已知数列{an}的通项an＝，n∈N*，则数列{an}前20项中的最大项与最小项分别为________．
答案　3，－1
解析　an＝＝＝1＋，当n≥11时，>0，且单调递减；当1≤n≤10时，<0，且单调递减．因此数列{an}前20项中的最大项与最小项分别为第11项，第10项．a11＝3，a10＝－1.
课时精练
1．已知an＝，那么数列{an}是(　　)
A．递减数列 B．递增数列
C．常数列 D．摆动数列
答案　B
解析　an＝1－，将an看作关于n的函数，n∈N*，易知数列{an}是递增数列．
2．大衍数列来源于我国古代文献《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和．已知该数列前10项是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50，则大衍数列中奇数项的通项公式为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　取特殊值代入即可求解结论．因为第一项为0，故D错；第三项为4，故A，C错．
3．已知数列{an}的前n项和Sn满足SnS1＝Sn＋1(n∈N*)，且a1＝2，那么a7等于(　　)
A．128 B．16 C．32 D．64
答案　D
解析　因为数列{an}的前n项和Sn满足SnS1＝Sn＋1(n∈N*)，a1＝2，
所以Sn＋1＝2Sn，即＝2，所以数列{Sn}是以2为公比，以2为首项的等比数列，所以Sn＝2×2n－1＝2n.所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1.所以a7＝26＝64.
4．已知数列{an}满足a1＝1，an－an＋1＝nanan＋1(n∈N*)，则an等于(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　由题意，得－＝n，则当n≥2时，－＝n－1，－＝n－2，…，－＝1，所以－＝1＋2＋…＋(n－1)＝(n≥2)，所以＝＋1＝，即an＝(n≥2)，当n＝1时，a1＝1适合此式，所以an＝.
5．设数列{an}满足：a1＝2，an＋1＝1－，记数列{an}的前n项之积为Pn，则P2 024等于(　　)
A．－2 B．－1 C．1 D．2
答案　C
解析　a1＝2，an＋1＝1－，得a2＝，a3＝－1，a4＝2，a5＝，…，所以数列{an}是周期为3的周期数列．且P3＝－1,2 024＝3×674＋2，所以P2 024＝(－1)674×a1a2＝1.
6．(多选)已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋2)·n，则下列说法正确的是(　　)
A．数列{an}的最小项是a1
B．数列{an}的最大项是a4
C．数列{an}的最大项是a5
D．当n≥5时，数列{an}递减
答案　BCD
解析　假设第n项为{an}的最大项，则即所以又n∈N*，所以n＝4或n＝5，故数列{an}中a4与a5均为最大项，且a4＝a5＝，当n≥5时，数列{an}递减．
7．若数列{an}的前n项和Sn＝n2－n，则数列{an}的通项公式an＝________.
答案　n－1
解析　当n＝1时，a1＝S1＝，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－n
－＝n－1.
又a1＝适合上式，则an＝n－1.
8．若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________，数列{nan}中数值最小的项是第________项．
答案　2n－11　3
解析　∵Sn＝n2－10n，∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－11；
当n＝1时，a1＝S1＝－9也适合上式．∴an＝2n－11(n∈N*)．
记f(n)＝nan＝n(2n－11)＝2n2－11n，此函数图象的对称轴为直线n＝，但n∈N*，
∴当n＝3时，f(n)取最小值．∴数列{nan}中数值最小的项是第3项．
9．在①nan＋1－(n＋1)an＝n(n＋1)；②Sn＝2n2－1这两个条件中任选一个补充在下面的横线上，并解答．
若数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且数列{an}满足________．
(1)求a2，a3；
(2)求数列{an}的通项公式．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
解　(1)选择①：a2－2a1＝1×2，则a2＝4.
2a3－3a2＝2×3，则a3＝9.
选择②：a2＝S2－S1＝2×22－1－1＝6.
a3＝S3－S2＝2×32－1－2×22＋1＝10.
(2)选择①：由nan＋1－(n＋1)an＝n(n＋1)，
得－＝1，
所以＝－＋－＋…＋－a1＋a1＝n－1＋1＝n，
所以an＝n2.
选择②：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－1－[2(n－1)2－1]＝4n－2；
当n＝1时，a1＝S1＝1，不符合上式，
故{an}的通项公式为an＝
10．(2023·长沙模拟)已知数列{cn}满足c1＝，＝，n∈N*，Sn为该数列的前n项和．
(1)求证：数列为递增数列；
(2)求证：Sn<1.
证明　(1)因为c1＝，＝，
所以cn≠1，cn≠0，
两边分别取倒数可得1－＝－，
整理可得－＝2>0，
所以数列为递增数列．
(2)由＝可得＝，即＝cn＋，
所以cn＝－，
所以Sn＝c1＋c2＋…＋cn
＝－＋－＋…＋－
＝－＝＋2，
又≥＝2，所以cn＋1∈，
所以<－1，即Sn<1.
11．在数列{an}中，a1＝1，a＝(n，an)，b＝(an＋1，n＋1)，且a⊥b，则a100等于(　　)
A. B．－ C．100 D．－100
答案　D
解析　因为a＝(n，an)，b＝(an＋1，n＋1)，且a⊥b，所以nan＋1＋(n＋1)an＝0，所以＝－，所以＝－，＝－，…，＝－.以上各式左右分别相乘，得＝－100，因为a1＝1，所以a100＝－100.
12．(2022·全国乙卷)嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星．为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{bn}：b1＝1＋，b2＝1＋，b3＝1＋，…，依此类推，其中αk∈N*(k＝1,2，…)．则(　　)
A．b1C．b6答案　D
解析　方法一　当n取奇数时，
由已知b1＝1＋，b3＝1＋，
因为>，所以b1>b3，
同理可得b3>b5，b5>b7，…，于是可得b1>b3>b5>b7>…，故A不正确；
当n取偶数时，由已知b2＝1＋，
b4＝1＋，
因为>，所以b2同理可得b4因为>，所以b1>b2，
同理可得b3>b4，b5>b6，b7>b8，
又b3>b7，所以b3>b8，故B不正确；故选D.
方法二　(特殊值法)
不妨取αk＝1(k＝1,2，…)，则b1＝1＋＝2，
b2＝1＋＝1＋＝1＋＝，
b3＝1＋＝1＋＝1＋＝，
所以b4＝1＋＝1＋＝，
b5＝1＋＝1＋＝，
b6＝1＋＝1＋＝，
b7＝1＋＝1＋＝，
b8＝1＋＝1＋＝.
逐一判断选项可知选D.
13．已知数列{an}中，前n项和为Sn，且Sn＝an，则的最大值为________．
答案　3
解析　∵Sn＝an，∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，可化为＝＝1＋，由函数y＝在区间(1，＋∞)上单调递减，可得当n＝2时，取得最大值2.∴的最大值为3.
14．已知[x]表示不超过x的最大整数，例如：[2.3]＝2，[－1.7]＝－2.在数列{an}中，an＝[lg n]，记Sn为数列{an}的前n项和，则a2 024＝________；S2 024＝________.
答案　3　4 965
解析　∵an＝[lg n]，
∴当1≤n≤9时，an＝[lg n]＝0；
当10≤n≤99时，an＝[lg n]＝1；
当100≤n≤999时，an＝[lg n]＝2；
当1 000≤n≤9 999时，an＝[lg n]＝3.
∴a2 024＝[lg 2 024]＝3，S2 024＝9×0＋90×1＋900×2＋1 025×3＝4 965.
15．(2023·郑州模拟)已知数列{an}满足a2＝2，a2n＝a2n－1＋2n(n∈N*)，a2n＋1＝a2n＋(－1)n(n∈N*)，则数列{an}第2 024项为(　　)
A．21 012－2 B．21 013－3
C．21 011－2 D．21 011－3
答案　B
解析　由a2n＋1＝a2n＋(－1)n得a2n－1＝a2n－2＋(－1)n－1(n∈N*，n≥2)，又由a2n＝a2n－1＋2n得a2n＝a2n－2＋2n＋(－1)n－1(n∈N*，n≥2)，
所以a4＝a2＋22＋(－1)，a6＝a4＋23＋(－1)2，a8＝a6＋24＋(－1)3，…，a2 024＝a2 022＋21 012＋(－1)1 011，将上式相加得a2 024＝a2＋(－1)1＋(－1)2＋…＋(－1)1 011＋22＋23＋…＋21 012＝2＋－1＝21 013－3.
16．在数列{an}中，已知a1＝1，n2an－Sn＝n2an－1－Sn－1(n≥2，n∈N*)，记bn＝，Tn为数列{bn}的前n项和，则T2 025＝________.
答案　
解析　由n2an－Sn＝n2an－1－Sn－1(n≥2，n∈N*)，
得n2an－(Sn－Sn－1)＝n2an－1，
所以(n2－1)an＝n2an－1，
所以＝×.
令cn＝，则cn＝cn－1×，
所以＝.
由累乘法得＝，
又c1＝a1＝1，
所以cn＝，所以＝，
所以an＝，
所以bn＝＝＝2×，
所以T2 025＝2×＝2×＝.§6.1　数列的概念
考试要求　1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．
知识梳理
1．数列的有关概念
概念 含义
数列 按照____________排列的一列数
数列的项 数列中的____________
通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的________之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式
递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式
数列{an}的前n项和 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝____________
2.数列的分类
分类标准 类型 满足条件
项数 有穷数列 项数________
无穷数列 项数________
项与项间的大小关系 递增数列 an＋1________an 其中n∈N*
递减数列 an＋1________an
常数列 an＋1＝an
摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
3.数列与函数的关系
数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是________，对应的函数值是________________，记为an＝f(n)．
常用结论
1．已知数列{an}的前n项和Sn，则an＝
2．在数列{an}中，若an最大，则(n≥2，n∈N*)；若an最小，则(n≥2，n∈N*)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)数列的项与项数是同一个概念．(　　)
(2)数列1,2,3与3,2,1是两个不同的数列．(　　)
(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．(　　)
(4)若数列用图象表示，则从图象上看是一群孤立的点．(　　)
教材改编题
1．(多选)已知数列{an}的通项公式为an＝9＋12n，则在下列各数中，是{an}的项的是(　　)
A．21 B．33
C．152 D．153
2．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2＋n，则a2的值是(　　)
A．2 B．4
C．5 D．6
3．在数列1,1,2,3,5,8,13,21,x,55，…中，x＝________.
题型一　由an与Sn的关系求通项公式
例1 (1)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，Sn＋1＝2Sn－1，则a10等于(　　)
A．128 B．256 C．512 D．1 024
(2)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2n＋2－3，则an＝________________.
听课记录： ______________________________________________________________
________________________________________________________________________
思维升华 Sn与an的关系问题的求解思路
(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．
(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．
跟踪训练1 (1)已知正项数列{an}中，＋＋…＋＝，则数列{an}的通项公式为(　　)
A．an＝n B．an＝n2
C．an＝ D．an＝
(2)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，则an＝________.
题型二　由数列的递推关系求通项公式
命题点1　累加法
例2 在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋，则通项公式an＝________.
听课记录： ______________________________________________________________
________________________________________________________________________
命题点2　累乘法
例3 在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2，n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________．
听课记录： ______________________________________________________________
________________________________________________________________________
思维升华 (1)形如an＋1－an＝f(n)的数列，利用累加法．
(2)形如＝f(n)的数列，利用an＝a1···…·(n≥2)即可求数列{an}的通项公式．
跟踪训练2 (1)设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为______．
(2)已知数列a1，，…，，…是首项为1，公比为2的等比数列，则log2an＝________.
题型三　数列的性质
命题点1　数列的单调性
例4 设数列{an}的前n项和为Sn，且 n∈N*，an＋1>an，Sn≥S6.请写出一个满足条件的数列{an}的通项公式an＝________________.
听课记录：______________________________________________________________
________________________________________________________________________
命题点2　数列的周期性
例5 若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，则a2 024的值为(　　)
A．2 B．－3 C．－ D.
听课记录： ______________________________________________________________
________________________________________________________________________
命题点3　数列的最值
例6 已知数列{an}的通项公式为an＝，其最大项和最小项的值分别为(　　)
A．1，－ B．0，－
C.，－ D．1，－
听课记录： ______________________________________________________________
________________________________________________________________________
思维升华 (1)解决数列的单调性问题的方法
用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列．
(2)解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．
跟踪训练3 (1)观察数列1，ln 2，sin 3,4，ln 5，sin 6,7，ln 8，sin 9，…，则该数列的第11项是(　　)
A．1 111 B．11 C．ln 11 D．sin 11
(2)已知数列{an}的通项an＝，n∈N*，则数列{an}前20项中的最大项与最小项分别为________．

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