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§6.2　等差数列
第六章　数　列
1.理解等差数列的概念.
2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.
3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.
4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系.
考试要求
内容索引
第一部分
第二部分
第三部分
落实主干知识
探究核心题型
课时精练
落实主干知识
第
一
部
分
1.等差数列的有关概念
(1)等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的差都等于____ ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 表示，定义表达式为_______________________
.
(2)等差中项
由三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有2A＝ .
同一个常数
2
d
an－an－1＝d(常数)(n≥2，
n∈N*)
a＋b
2.等差数列的有关公式
(1)通项公式：an＝ .
a1＋(n－1)d
(2)前n项和公式：Sn＝ 或Sn＝ .
3.等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋ (n，m∈N*).
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则 .
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为 的等差数列.
(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.
(5)S2n－1＝(2n－1)an.
(n－m)d
ak＋al＝am＋an
md
1.已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.
2.在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值.
3.等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列.
4.数列{an}是等差数列 Sn＝An2＋Bn(A，B为常数).这里公差d＝2A.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.(　　)
(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.
(　　)
(3)在等差数列{an}中，若am＋an＝ap＋aq，则m＋n＝p＋q.(　　)
(4)若无穷等差数列{an}的公差d>0，则其前n项和Sn不存在最大值.(　　)
√
×
×
√
1.在等差数列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，则a10等于
A.－2 B.－1 C.1 D.2
∴an＝－2n＋21.
∴a10＝－2×10＋21＝1.
√
2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则a9＋a10＋a11＋a12等于
A.12 B.8 C.20 D.16
等差数列{an}中，S4，S8－S4，S12－S8仍为等差数列，
即8,20－8，a9＋a10＋a11＋a12为等差数列，
所以a9＋a10＋a11＋a12＝16.
√
3.设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝10，S4＝28，则Sn的最大值为___.
30
由a1＝10，S4＝4a1＋6d＝28，解得d＝－2，
当n＝5或6时，Sn最大，最大值为30.
探究核心题型
第
二部
分
例1　(1)等差数列{an}的前n项和为Sn，且a8－a5＝9，S8－S5＝66，则a33等于
A.82 B.97 C.100 D.115
题型一
等差数列基本量的运算
设等差数列{an}的公差为d，又a8－a5＝9，∴3d＝9，∴d＝3，
√
∴a1＝4，
∴a33＝a1＋32d＝4＋32×3＝100.
(2)(2020·全国Ⅱ)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环
数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面
形石板(不含天心石)
A.3 699块 B.3 474块
C.3 402块 D.3 339块
√
设每一层有n环，由题意可知从内到外每环之间构成d＝9，a1＝9的等差数列.
由等差数列的性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，
且(S3n－S2n)－(S2n－Sn)＝n2d，
则9n2＝729，得n＝9，
(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”).
(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d.
思维升华
跟踪训练1　(1)《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影长之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为(一丈＝十尺＝一百寸)
A.一尺五寸 B.二尺五寸
C.三尺五寸 D.四尺五寸
√
由题意知，从冬至日起，依次为小寒、大寒等十二个节气日影长构成一个等差数列{an}，设公差为d，
∵冬至、立春、春分日影长之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，
∴芒种日影长为a12＝a1＋11d＝135－11×10＝25(寸)＝2尺5寸.
(2)(2022·岳阳模拟)已知等差数列{an}满足a2＝4，a3＋a5＝4(a4－1)，则数列{an}的前5项和为
A.10 B.15 C.20 D.30
√
因为等差数列{an}中，
a2＝4，a3＋a5＝2a4＝4(a4－1)，
则a4＝2，
设等差数列{an}的公差为d，
则数列{an}的前5项和为5＋4＋3＋2＋1＝15.
例2　(2021·全国甲卷)已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.
①数列{an}是等差数列；②数列{ }是等差数列；③a2＝3a1.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
题型二
等差数列的判定与证明
①③ ②.
已知{an}是等差数列，a2＝3a1.
设数列{an}的公差为d，
则a2＝3a1＝a1＋d，得d＝2a1，
因为数列{an}的各项均为正数，
①② ③.
设数列{an}的公差为d，
②③ ①.
所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1.
所以Sn＝n2d2，
所以an＝Sn－Sn－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2(n≥2)，是关于n的一次函数，且a1＝d2满足上式，
所以数列{an}是等差数列.
判断数列{an}是等差数列的常用方法
(1)定义法.
(2)等差中项法.
(3)通项公式法.
(4)前n项和公式法.
跟踪训练2　已知数列{an}的各项都是正数，n∈N*.
(1)若{an}是等差数列，公差为d，且bn是an和an＋1的等比中项，设cn＝
－ ，n∈N*，求证：数列{cn}是等差数列；
因此cn＋1－cn＝2d(an＋2－an＋1)＝2d2(常数)，
∴{cn}是等差数列.
∵an＋an－1>0，∴an－an－1＝1，
∴数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，可得an＝n.
例3　(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＋a5＋a8＝9，则S9等于
A.21 B.27 C.30 D.36
题型三
等差数列的性质
因为等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＋a5＋a8＝9＝3a5，
所以a5＝3，
命题点1　等差数列项的性质
√
(2)已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝2，b1＝－3，a7－b7＝17，则a2 024－b2 024的值为________.
令cn＝an－bn，因为{an}，{bn}都是等差数列，所以{cn}也是等差数列.
设数列{cn}的公差为d，由已知，得c1＝a1－b1＝5，c7＝17，
则5＋6d＝17，解得d＝2.
故a2 024－b2 024＝c2 024＝5＋2 023×2＝4 051.
4 051
等差数列项的性质的关注点
(1)在等差数列题目中，只要出现项的和问题，一般先考虑应用项的性质.
跟踪训练3　(1)若等差数列{an}的前15项和S15＝30，则2a5－a6－a10＋a14等于
A.2 B.3 C.4 D.5
∴a1＋a15＝4，∴2a8＝4，∴a8＝2.
∴2a5－a6－a10＋a14＝a4＋a6－a6－a10＋a14＝a4－a10＋a14
＝a10＋a8－a10＝a8＝2.
√
√
所以a6＝0，a3＋a9＝2a6＝0，
因为a5≠0，a6＝0，
命题点2　等差数列前n项和的性质
√
因为等差数列中，S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列，
所以x,2x，S12－3x，S16－S12成等差数列，
(2)已知等差数列{an}共有(2n＋1)项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则an＋1的值为
A.30 B.29 C.28 D.27
√
∴(n＋1)an＋1＝290.
∴an＋1＝290－261＝29.
等差数列前n项和的常用的性质是：
在等差数列{an}中，数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列，且有S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；S2n－1＝(2n－1)an.
跟踪训练4　(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S5＝7，S10＝21，则S15等于
A.35 B.42 C.49 D.63
在等差数列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10成等差数列，
即7,14，S15－21成等差数列，
所以7＋(S15－21)＝2×14，
解得S15＝42.
√
A.2 023 B.－2 023
C.4 046 D.－4 046
√
∴S2 023＝2 023×2＝4 046，故选C.
课时精练
第
三部
分
基础保分练
1.首项为－21的等差数列从第8项起为正数，则公差d的取值范围是
an＝－21＋(n－1)d，因为从第8项起为正数，
所以a7＝－21＋6d≤0，a8＝－21＋7d>0，
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2.(2023·江门模拟)已知等差数列{an}满足a5＋a7＋a9＝6，则a7等于
A.3 B.2 C. D.－2
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根据题意，由{an}是等差数列，得a5＋a7＋a9＝3a7＝6，得a7＝2.
√
3.一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则该数列的公差d为
A.10 B.5 C.4 D.8
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设等差数列的前12项中奇数项的和为S奇，偶数项的和为S偶，等差数列的公差为d.
4.中国古代数学名著《张邱建算经》中有如下问题：今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之(等差数列)，上三人先入，得金四斤，持出；下四人后入，得金三斤，持出；中间三人未到者，亦依等次更给.则第一等人(得金最多者)得金斤数是
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由题设知在等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝4，a7＋a8＋a9＋a10＝3.
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5.等差数列{an}中，已知|a6|＝|a11|，且公差d>0，则其前n项和取最小值时的n的值为
A.6 B.7 C.8 D.9
√
∵|a6|＝|a11|且公差d>0，∴a6＝－a11.
∴a6＋a11＝a8＋a9＝0，且a8<0，a9>0，
∴a1∴使Sn取最小值的n的值为8.
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整理得2b2＝a2＋c2，即a2，b2，c2依次成等差数列，
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这些数列都不一定是等差数列，除非a＝b＝c，
但题目中未说明△ABC是等边三角形.
7.(2022·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若2S3＝3S2＋6，则公差d＝______.
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由2S3＝3S2＋6，
可得2(a1＋a2＋a3)＝3(a1＋a2)＋6，
化简得2a3＝a1＋a2＋6，
即2(a1＋2d)＝2a1＋d＋6，
解得d＝2.
2
8.设Sn是等差数列{an}的前n项和，S10＝16，S100－S90＝24，则S100＝_____.
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200
依题意，S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90依次成等差数列，
设该等差数列的公差为d.
又S10＝16，S100－S90＝24，
因此S100－S90＝24＝16＋(10－1)d＝16＋9d，
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9.已知{an}是公差为d的等差数列，其前n项和为Sn，且a5＝1，________.若存在正整数n，使得Sn有最小值.
从①a3＝－1，②d＝2，③d＝－2这三个条件中选择符合题意的一个条件，补充在上面的问题中并作答.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
(1)求{an}的通项公式；
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选择①作为补充条件：因为a5＝1，a3＝－1，
所以d＝1，
所以an＝1＋(n－5)×1＝n－4(n∈N*).
选择②作为补充条件：因为a5＝1，d＝2，
所以an＝1＋(n－5)×2＝2n－9(n∈N*).
不可以选择③作为补充条件.
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(2)求Sn的最小值.
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选择①作为补充条件：由(1)可知a1＝－3，
因为n∈N*，所以当n＝3或4时，Sn取得最小值，且最小值为－6.
故存在正整数n＝3或4，使得Sn有最小值，且最小值为－6.
选择②作为补充条件：由(1)可知a1＝－7，
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所以当n＝4时，Sn取得最小值，且最小值为－16.
故存在正整数n＝4，使得Sn有最小值，最小值为－16.
不可以选择③作为补充条件.
10.在数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式；
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∵an＋2－2an＋1＋an＝0，
∴an＋2－an＋1＝an＋1－an，
∴数列{an}是等差数列，设其公差为d，
∵a1＝8，a4＝2，
∴an＝a1＋(n－1)d＝10－2n，n∈N*.
(2)设Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.
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设数列{an}的前n项和为Sn，则由(1)可得，
由(1)知an＝10－2n，令an＝0，得n＝5，
∴当n>5时，an<0，
则Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an)
＝S5－(Sn－S5)＝2S5－Sn
＝2×(9×5－25)－(9n－n2)＝n2－9n＋40；
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当n≤5时，an≥0，
则Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝9n－n2，
11.(多选)已知数列{an}是公差不为0的等差数列，前n项和为Sn，满足a1＋5a3＝S8，下列选项正确的有
A.a10＝0 B.S10最小
C.S7＝S12 D.S20＝0
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综合提升练
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根据题意，数列{an}是等差数列，若a1＋5a3＝S8，
即a1＋5a1＋10d＝8a1＋28d，变形可得a1＝－9d.
又由an＝a1＋(n－1)d＝(n－10)d，
得a10＝0，故A正确；
不能确定a1和d的符号，不能确定S10最小，故B不正确；
得S7＝S12，故C正确；
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因为d≠0，
所以S20≠0，故D不正确.
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13.将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________.
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3n2－2n
将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，
则{an}是以1为首项，以6为公差的等差数列，
14.(2023·开封模拟)在等差数列{an}中， <－1，且它的前n项和Sn有最小
值，则当Sn<0时，n的最大值为______.
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11
12
13
14
15
16
因为等差数列{an}的前n项和Sn有最小值，则d>0，
所以当Sn<0时，n的最大值为13.
15.将正奇数排成一个三角形阵，按照如图排列的规律，则第15行第3个数为
A.213 B.215
C.217 D.219
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
拓展冲刺练
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
则第15行第3个数是数阵的第108个数，
即所求数字是首项为1，公差为2的等差
数列的第108项，
则a108＝1＋(108－1)×2＝215.
16.在等差数列{an}中，a1＝－9，a5＝－1.记Tn＝a1a2…an(n＝1,2，…)，则数列{Tn}
A.有最大项，有最小项 B.有最大项，无最小项
C.无最大项，有最小项 D.无最大项，无最小项
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
设等差数列{an}的公差为d，
∴an＝－9＋2(n－1)＝2n－11.
可知数列{an}是单调递增数列，且前5项为负值，自第6项开始为正值.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
可知T1＝－9<0，T2＝63>0，T3＝－315<0，T4＝945>0为最大项，
自T5起均小于0，且逐渐减小.
∴数列{Tn}有最大项，无最小项.§6.2　等差数列
考试要求　1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系．
知识梳理
1．等差数列的有关概念
(1)等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，定义表达式为an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)．
(2)等差中项
由三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有2A＝a＋b.
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋d或Sn＝.
3．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．
(5)S2n－1＝(2n－1)an.
(6)等差数列{an}的前n项和为Sn，为等差数列．
常用结论
1．已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.
2．在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值．
3．等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列．
4．数列{an}是等差数列 Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．这里公差d＝2A.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　×　)
(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　√　)
(3)在等差数列{an}中，若am＋an＝ap＋aq，则m＋n＝p＋q.(　×　)
(4)若无穷等差数列{an}的公差d>0，则其前n项和Sn不存在最大值．(　√　)
教材改编题
1．在等差数列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，则a10等于(　　)
A．－2 B．－1 C．1 D．2
答案　C
解析　设等差数列{an}的公差为d，由题意得解得
∴an＝－2n＋21.∴a10＝－2×10＋21＝1.
2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则a9＋a10＋a11＋a12等于(　　)
A．12 B．8 C．20 D．16
答案　D
解析　等差数列{an}中，S4，S8－S4，S12－S8仍为等差数列，即8,20－8，a9＋a10＋a11＋a12为等差数列，所以a9＋a10＋a11＋a12＝16.
3．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝10，S4＝28，则Sn的最大值为________．
答案　30
解析　由a1＝10，S4＝4a1＋6d＝28，解得d＝－2，所以Sn＝na1＋d＝－n2＋11n.当n＝5或6时，Sn最大，最大值为30.
题型一　等差数列基本量的运算
例1　(1)等差数列{an}的前n项和为Sn，且a8－a5＝9，S8－S5＝66，则a33等于(　　)
A．82 B．97 C．100 D．115
答案　C
解析　设等差数列{an}的公差为d，又a8－a5＝9，∴3d＝9，∴d＝3，
∵S8－S5＝66，∴8a1＋×3－5a1－×3＝66，
∴a1＝4，
∴a33＝a1＋32d＝4＋32×3＝100.
(2)(2020·全国Ⅱ)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)(　　)
A．3 699块 B．3 474块
C．3 402块 D．3 339块
答案　C
解析　设每一层有n环，由题意可知从内到外每环之间构成d＝9，a1＝9的等差数列．由等差数列的性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，且(S3n－S2n)－(S2n－Sn)＝n2d，则9n2＝729，得n＝9，
则三层共有扇面形石板S3n＝S27＝27×9＋×9＝3 402(块)．
思维升华　(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”)．
(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d.
跟踪训练1　(1)《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影长之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为(一丈＝十尺＝一百寸)(　　)
A．一尺五寸 B．二尺五寸
C．三尺五寸 D．四尺五寸
答案　B
解析　由题意知，从冬至日起，依次为小寒、大寒等十二个节气日影长构成一个等差数列{an}，设公差为d，
∵冬至、立春、春分日影长之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，
∴
解得
∴芒种日影长为a12＝a1＋11d＝135－11×10＝25(寸)＝2尺5寸．
(2)(2022·岳阳模拟)已知等差数列{an}满足a2＝4，a3＋a5＝4(a4－1)，则数列{an}的前5项和为(　　)
A．10 B．15 C．20 D．30
答案　B
解析　因为等差数列{an}中，
a2＝4，a3＋a5＝2a4＝4(a4－1)，
则a4＝2，
设等差数列{an}的公差为d，
所以解得
则数列{an}的前5项和为5＋4＋3＋2＋1＝15.
题型二　等差数列的判定与证明
例2　(2021·全国甲卷)已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列{an}是等差数列；②数列{}是等差数列；③a2＝3a1.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
解　①③ ②.
已知{an}是等差数列，a2＝3a1.
设数列{an}的公差为d，
则a2＝3a1＝a1＋d，得d＝2a1，
所以Sn＝na1＋d＝n2a1.
因为数列{an}的各项均为正数，
所以＝n，
所以－＝(n＋1)－n＝(常数)，所以数列{}是等差数列．
①② ③.
已知{an}是等差数列，{}是等差数列．
设数列{an}的公差为d，
则Sn＝na1＋d＝n2d＋n.
因为数列{}是等差数列，所以数列{}的通项公式是关于n的一次函数，则a1－＝0，即d＝2a1，所以a2＝a1＋d＝3a1.
②③ ①.
已知数列{}是等差数列，a2＝3a1，
所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1.
设数列{}的公差为d，d>0，
则－＝－＝d，得a1＝d2，
所以＝＋(n－1)d＝nd，
所以Sn＝n2d2，
所以an＝Sn－Sn－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2(n≥2)，是关于n的一次函数，且a1＝d2满足上式，所以数列{an}是等差数列．
思维升华　判断数列{an}是等差数列的常用方法
(1)定义法．
(2)等差中项法．
(3)通项公式法．
(4)前n项和公式法．
跟踪训练2　已知数列{an}的各项都是正数，n∈N*.
(1)若{an}是等差数列，公差为d，且bn是an和an＋1的等比中项，设cn＝b－b，n∈N*，求证：数列{cn}是等差数列；
(2)若a＋a＋a＋…＋a＝S，Sn为数列{an}的前n项和，求数列{an}的通项公式．
(1)证明　由题意得b＝anan＋1，
则cn＝b－b＝an＋1an＋2－anan＋1＝2dan＋1，
因此cn＋1－cn＝2d(an＋2－an＋1)＝2d2(常数)，
∴{cn}是等差数列．
(2)解　当n＝1时，a＝a，∵a1>0，∴a1＝1.
a＋a＋a＋…＋a＝S，①
当n≥2时，a＋a＋a＋…＋a＝S，②
①－②得，a＝S－S＝(Sn－Sn－1)(Sn＋Sn－1)．
∵an>0，∴a＝Sn＋Sn－1＝2Sn－an，③
∵a1＝1也符合上式，∴当n≥2时，a＝2Sn－1－an－1，④
③－④得a－a＝2(Sn－Sn－1)－an＋an－1＝2an－an＋an－1＝an＋an－1，
∵an＋an－1>0，∴an－an－1＝1，
∴数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，可得an＝n.
题型三　等差数列的性质
命题点1　等差数列项的性质
例3　(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＋a5＋a8＝9，则S9等于(　　)
A．21 B．27 C．30 D．36
答案　B
解析　因为等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＋a5＋a8＝9＝3a5，所以a5＝3，
则S9＝＝9a5＝27.
(2)已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝2，b1＝－3，a7－b7＝17，则a2 024－b2 024的值为________．
答案　4 051
解析　令cn＝an－bn，因为{an}，{bn}都是等差数列，所以{cn}也是等差数列．设数列{cn}的公差为d，由已知，得c1＝a1－b1＝5，c7＝17，则5＋6d＝17，解得d＝2.故a2 024－b2 024＝c2 024＝5＋2 023×2＝4 051.
思维升华　等差数列项的性质的关注点
(1)在等差数列题目中，只要出现项的和问题，一般先考虑应用项的性质．
(2)项的性质常与等差数列的前n项和公式Sn＝相结合．
跟踪训练3　(1)若等差数列{an}的前15项和S15＝30，则2a5－a6－a10＋a14等于(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
答案　A
解析　∵S15＝30，∴(a1＋a15)＝30，
∴a1＋a15＝4，∴2a8＝4，∴a8＝2.
∴2a5－a6－a10＋a14＝a4＋a6－a6－a10＋a14＝a4－a10＋a14＝a10＋a8－a10＝a8＝2.
(2)(2023·保定模拟)已知等差数列{an}满足＝－2，则下列结论一定成立的是(　　)
A.＝－1 B.＝－1
C.＝－1 D.＝－1
答案　C
解析　由＝－2得a5≠0,2a5＋a8＝a4＋a6＋a8＝3a6＝0，
所以a6＝0，a3＋a9＝2a6＝0，
因为a5≠0，a6＝0，
所以a3≠0，＝－1.
命题点2　等差数列前n项和的性质
例4　(1)(2022·咸阳模拟)在等差数列{an}中，Sn是其前n项的和，若＝，则等于(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　因为等差数列中，S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列，
设S4＝x，因为＝，故S8＝3x，所以x,2x，S12－3x，S16－S12成等差数列，
所以S16＝10x，则＝.
(2)已知等差数列{an}共有(2n＋1)项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则an＋1的值为(　　)
A．30 B．29 C．28 D．27
答案　B
解析　奇数项共有(n＋1)项，其和为·(n＋1)＝·(n＋1)＝290，
∴(n＋1)an＋1＝290.
偶数项共有n项，其和为·n＝·n＝nan＋1＝261，
∴an＋1＝290－261＝29.
思维升华　等差数列前n项和的常用的性质是：
在等差数列{an}中，数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列，且有S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；S2n－1＝(2n－1)an.
跟踪训练4　(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S5＝7，S10＝21，则S15等于(　　)
A．35 B．42 C．49 D．63
答案　B
解析　在等差数列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10成等差数列，
即7,14，S15－21成等差数列，所以7＋(S15－21)＝2×14，解得S15＝42.
(2)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 020，－＝6，则S2 023等于(　　)
A．2 023 B．－2 023
C．4 046 D．－4 046
答案　C
解析　∵为等差数列，设公差为d′，
则－＝6d′＝6，∴d′＝1，
首项为＝－2 020，
∴＝－2 020＋(2 023－1)×1＝2，
∴S2 023＝2 023×2＝4 046，故选C.
课时精练
1．首项为－21的等差数列从第8项起为正数，则公差d的取值范围是(　　)
A．(3，＋∞) B.
C. D.
答案　D
解析　an＝－21＋(n－1)d，因为从第8项起为正数，所以a7＝－21＋6d≤0，a8＝－21＋7d>0，解得32．(2023·江门模拟)已知等差数列{an}满足a5＋a7＋a9＝6，则a7等于(　　)
A．3 B．2 C. D．－2
答案　B
解析　根据题意，由{an}是等差数列，得a5＋a7＋a9＝3a7＝6，得a7＝2.
3．一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则该数列的公差d为(　　)
A．10 B．5 C．4 D．8
答案　B
解析　设等差数列的前12项中奇数项的和为S奇，偶数项的和为S偶，等差数列的公差为d.由已知条件，得解得又S偶－S奇＝6d，所以d＝＝5.
4．中国古代数学名著《张邱建算经》中有如下问题：今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之(等差数列)，上三人先入，得金四斤，持出；下四人后入，得金三斤，持出；中间三人未到者，亦依等次更给．则第一等人(得金最多者)得金斤数是(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　由题设知在等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝4，a7＋a8＋a9＋a10＝3.
所以3a1＋3d＝4,4a1＋30d＝3，解得a1＝.
5．等差数列{an}中，已知|a6|＝|a11|，且公差d>0，则其前n项和取最小值时的n的值为(　　)
A．6 B．7 C．8 D．9
答案　C
解析　∵|a6|＝|a11|且公差d>0，∴a6＝－a11.∴a6＋a11＝a8＋a9＝0，且a8<0，a9>0，
∴a16．(多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，依次成等差数列，则下列结论中不一定成立的是(　　)
A．a，b，c依次成等差数列
B.，，依次成等差数列
C．a2，b2，c2依次成等差数列
D．a3，b3，c3依次成等差数列
答案　ABD
解析　在△ABC中，若，，依次成等差数列，则＝＋，整理得＝＋，利用正弦定理和余弦定理得2·＝＋，整理得2b2＝a2＋c2，即a2，b2，c2依次成等差数列，此时对等差数列a2，b2，c2的每一项取相同的运算得到数列a，b，c或，，或a3，b3，c3，这些数列都不一定是等差数列，除非a＝b＝c，但题目中未说明△ABC是等边三角形．
7．(2022·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若2S3＝3S2＋6，则公差d＝________.
答案　2
解析　由2S3＝3S2＋6，
可得2(a1＋a2＋a3)＝3(a1＋a2)＋6，
化简得2a3＝a1＋a2＋6，
即2(a1＋2d)＝2a1＋d＋6，
解得d＝2.
8．设Sn是等差数列{an}的前n项和，S10＝16，S100－S90＝24，则S100＝________.
答案　200
解析　依题意，S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d.又S10＝16，S100－S90＝24，因此S100－S90＝24＝16＋(10－1)d＝16＋9d，解得d＝，因此S100＝10S10＋d＝10×16＋×＝200.
9．已知{an}是公差为d的等差数列，其前n项和为Sn，且a5＝1，________.若存在正整数n，使得Sn有最小值．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求Sn的最小值．
从①a3＝－1，②d＝2，③d＝－2这三个条件中选择符合题意的一个条件，补充在上面的问题中并作答．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
解　选择①作为补充条件：(1)因为a5＝1，a3＝－1，所以d＝1，所以an＝1＋(n－5)×1＝n－4(n∈N*)．
(2)由(1)可知a1＝－3，所以Sn＝＝n(n－7)．
因为n∈N*，所以当n＝3或4时，Sn取得最小值，且最小值为－6.故存在正整数n＝3或4，使得Sn有最小值，且最小值为－6.
选择②作为补充条件：(1)因为a5＝1，d＝2，所以an＝1＋(n－5)×2＝2n－9(n∈N*)．
(2)由(1)可知a1＝－7，所以Sn＝＝n2－8n.
所以当n＝4时，Sn取得最小值，且最小值为－16.
故存在正整数n＝4，使得Sn有最小值，最小值为－16.
不可以选择③作为补充条件．
10．在数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.
解　(1)∵an＋2－2an＋1＋an＝0，
∴an＋2－an＋1＝an＋1－an，
∴数列{an}是等差数列，设其公差为d，
∵a1＝8，a4＝2，
∴d＝＝－2，
∴an＝a1＋(n－1)d＝10－2n，n∈N*.
(2)设数列{an}的前n项和为Sn，则由(1)可得，
Sn＝8n＋×(－2)＝9n－n2，n∈N*.
由(1)知an＝10－2n，令an＝0，得n＝5，
∴当n>5时，an<0，
则Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an)
＝S5－(Sn－S5)＝2S5－Sn
＝2×(9×5－25)－(9n－n2)＝n2－9n＋40；
当n≤5时，an≥0，
则Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋an＝9n－n2，
∴Tn＝
11．(多选)已知数列{an}是公差不为0的等差数列，前n项和为Sn，满足a1＋5a3＝S8，下列选项正确的有(　　)
A．a10＝0 B．S10最小
C．S7＝S12 D．S20＝0
答案　AC
解析　根据题意，数列{an}是等差数列，若a1＋5a3＝S8，
即a1＋5a1＋10d＝8a1＋28d，变形可得a1＝－9d.
又由an＝a1＋(n－1)d＝(n－10)d，
得a10＝0，故A正确；
不能确定a1和d的符号，不能确定S10最小，故B不正确；
又由Sn＝na1＋＝－9nd＋＝×(n2－19n)，
得S7＝S12，故C正确；
S20＝20a1＋d＝－180d＋190d＝10d.
因为d≠0，
所以S20≠0，故D不正确．
12．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且＝，则等于(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　＝＝＝，所以＝，
所以＝＝＝.
13．将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．
答案　3n2－2n
解析　将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}是以1为首项，以6为公差的等差数列，故它的前n项和为Sn＝n×1＋×6＝3n2－2n.
14．(2023·开封模拟)在等差数列{an}中，<－1，且它的前n项和Sn有最小值，则当Sn<0时，n的最大值为________．
答案　13
解析　因为等差数列{an}的前n项和Sn有最小值，则d>0，
又<－1，所以a7<0，a8>0，所以a7＋a8>0，
又S13＝＝13a7<0，S14＝＝7(a7＋a8)>0，
所以当Sn<0时，n的最大值为13.
15．将正奇数排成一个三角形阵，按照如图排列的规律，则第15行第3个数为(　　)
A．213 B．215 C．217 D．219
答案　B
解析　由题意知，在三角形数阵中，前14行共排了1＋2＋3＋…＋14＝＝105个数，则第15行第3个数是数阵的第108个数，即所求数字是首项为1，公差为2的等差数列的第108项，则a108＝1＋(108－1)×2＝215.
16．在等差数列{an}中，a1＝－9，a5＝－1.记Tn＝a1a2…an(n＝1,2，…)，则数列{Tn}(　　)
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
答案　B
解析　设等差数列{an}的公差为d，由a1＝－9，a5＝－1，得d＝＝＝2，
∴an＝－9＋2(n－1)＝2n－11.
由an＝2n－11＝0，得n＝，而n∈N*，
可知数列{an}是单调递增数列，且前5项为负值，自第6项开始为正值．
可知T1＝－9<0，T2＝63>0，T3＝－315<0，T4＝945>0为最大项，
自T5起均小于0，且逐渐减小．∴数列{Tn}有最大项，无最小项．§6.2　等差数列
考试要求　1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系．
知识梳理
1．等差数列的有关概念
(1)等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第________项起，每一项与它的前一项的差都等于______________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母________表示，定义表达式为________________________．
(2)等差中项
由三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有2A＝________.
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：an＝________________.
(2)前n项和公式：Sn＝____________或Sn＝____________.
3．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋________(n，m∈N*)．
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则________________．
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为________的等差数列．
(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．
(5)S2n－1＝(2n－1)an.
(6)等差数列{an}的前n项和为Sn，为等差数列．
常用结论
1．已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.
2．在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值．
3．等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列．
4．数列{an}是等差数列 Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．这里公差d＝2A.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　　)
(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　　)
(3)在等差数列{an}中，若am＋an＝ap＋aq，则m＋n＝p＋q.(　　)
(4)若无穷等差数列{an}的公差d>0，则其前n项和Sn不存在最大值．(　　)
教材改编题
1．在等差数列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，则a10等于(　　)
A．－2 B．－1 C．1 D．2
2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则a9＋a10＋a11＋a12等于(　　)
A．12 B．8 C．20 D．16
3．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝10，S4＝28，则Sn的最大值为________.
题型一　等差数列基本量的运算
例1 (1)等差数列{an}的前n项和为Sn，且a8－a5＝9，S8－S5＝66，则a33等于(　　)
A．82 B．97
C．100 D．115
(2)(2020·全国Ⅱ)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)(　　)
A．3 699块 B．3 474块
C．3 402块 D．3 339块
听课记录： ______________________________________________________________
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思维升华 (1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”)．
(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d.
跟踪训练1 (1)《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影长之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为(一丈＝十尺＝一百寸)(　　)
A．一尺五寸 B．二尺五寸
C．三尺五寸 D．四尺五寸
(2)(2022·岳阳模拟)已知等差数列{an}满足a2＝4，a3＋a5＝4(a4－1)，则数列{an}的前5项和为(　　)
A．10 B．15
C．20 D．30
题型二　等差数列的判定与证明
例2 (2021·全国甲卷)已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列{an}是等差数列；②数列{}是等差数列；③a2＝3a1.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
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思维升华 判断数列{an}是等差数列的常用方法
(1)定义法．
(2)等差中项法．
(3)通项公式法．
(4)前n项和公式法．
跟踪训练2 已知数列{an}的各项都是正数，n∈N*.
(1)若{an}是等差数列，公差为d，且bn是an和an＋1的等比中项，设cn＝b－b，n∈N*，求证：数列{cn}是等差数列；
(2)若a＋a＋a＋…＋a＝S，Sn为数列{an}的前n项和，求数列{an}的通项公式．
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题型三　等差数列的性质
命题点1　等差数列项的性质
例3 (1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＋a5＋a8＝9，则S9等于(　　)
A．21 B．27 C．30 D．36
(2)已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝2，b1＝－3，a7－b7＝17，则a2 024－b2 024的值为________．
听课记录： ______________________________________________________________
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思维升华 等差数列项的性质的关注点
(1)在等差数列题目中，只要出现项的和问题，一般先考虑应用项的性质．
(2)项的性质常与等差数列的前n项和公式Sn＝相结合．
跟踪训练3 (1)若等差数列{an}的前15项和S15＝30，则2a5－a6－a10＋a14等于(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
(2)(2023·保定模拟)已知等差数列{an}满足＝－2，则下列结论一定成立的是(　　)
A.＝－1 B.＝－1
C.＝－1 D.＝－1
命题点2　等差数列前n项和的性质
例4 (1)(2022·咸阳模拟)在等差数列{an}中，Sn是其前n项的和，若＝，则等于(　　)
A. B. C. D.
(2)已知等差数列{an}共有(2n＋1)项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则an＋1的值为(　　)
A．30 B．29 C．28 D．27
听课记录： ______________________________________________________________
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思维升华 等差数列前n项和的常用的性质是：
在等差数列{an}中，数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列，且有S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；S2n－1＝(2n－1)an.
跟踪训练4 (1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S5＝7，S10＝21，则S15等于(　　)
A．35 B．42 C．49 D．63
(2)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 020，－＝6，则S2 023等于(　　)
A．2 023 B．－2 023
C．4 046 D．－4 046

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