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(共81张PPT)
§6.3　等比数列
第六章　数　列
1.理解等比数列的概念.
2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.
3.了解等比数列与指数函数的关系.
考试要求
内容索引
第一部分
第二部分
第三部分
落实主干知识
探究核心题型
课时精练
落实主干知识
第
一
部
分
1.等比数列有关的概念
(1)定义：如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的比都等于
常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的
，公比通常用字母q(q≠0)表示.
(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使 成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ .
2
同一个
公比
a，G，b
ab
2.等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝ .
(2)等比数列通项公式的推广：an＝amqn－m.
(3)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝________
a1qn－1
＝ .
3.等比数列性质
(1)若m＋n＝p＋q，则 ，其中m，n，p，q∈N*.特别地，若2w＝m＋n，则 ，其中m，n，w∈N*.
(2)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为 (k，m∈N*).
aman＝apaq
qm
(4)等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn， ， 仍成等比数列，其公比为qn.(n为偶数且q＝－1除外)
S2n－Sn
S3n－S2n
增
减
1.等比数列{an}的通项公式可以写成an＝cqn，这里c≠0，q≠0.
2.等比数列{an}的前n项和Sn可以写成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1,0).
3.数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.(　　)
(2)当公比q>1时，等比数列{an}为递增数列.(　　)
(3)等比数列中所有偶数项的符号相同.(　　)
(4)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列.(　　)
√
×
×
×
1.设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
√
若a，b，c，d成等比数列，则ad＝bc，
数列－1，－1,1,1.满足－1×1＝－1×1，
但数列－1，－1，1,1不是等比数列，
即“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要不充分条件.
2.设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3，S4＝15，则S6等于
A.31 B.32 C.63 D.64
根据题意知，等比数列{an}的公比不是－1.
由等比数列的性质，得(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，
即122＝3×(S6－15)，解得S6＝63.
√
3.已知三个数成等比数列，若它们的和等于13，积等于27，则这三个数为____________.
1,3,9或9,3,1
∴这三个数为1,3,9或9,3,1.
探究核心题型
第
二部
分
例1　(1)(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6等于
A.14 B.12 C.6 D.3
√
题型一
等比数列基本量的运算
方法一　设等比数列{an}的公比为q，易知q≠1.
所以a6＝a1q5＝3，故选D.
方法二　设等比数列{an}的公比为q，
所以a6＝a1q5＝3，故选D.
(2)(2023·桂林模拟)朱载堉(1536～1611)是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中阐述了最早的“十二平均律”.十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”.即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一
√
设第一个音的频率为a，相邻两个音之间的频率之比为q，
那么an＝aqn－1，
根据最后一个音的频率是最初那个音的2倍，得a13＝2a＝aq12，
即q＝ ，
等比数列基本量的运算的解题策略
(1)等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解.
(2)解方程组时常常利用“作商”消元法.
(3)运用等比数列的前n项和公式时，一定要讨论公比q＝1的情形，否则会漏解或增解.
思维升华
跟踪训练1　(1)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3等于
A.16 B.8 C.4 D.2
设等比数列{an}的公比为q(q>0)，
√
(2)在1和2之间插入11个数使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，记插入的11个数之和为M，插入11个数后这13个数之和为N，则依此规则，下列说法错误的是
A.插入的第8个数为
B.插入的第5个数是插入的第1个数的 倍
C.M>3
D.N<7
√
设该等比数列为{an}，公比为q，
则a1＝1，a13＝2，
插入的第5个数为a6＝a1q5，插入的第1个数为a2＝a1q，
要证M>3，即证－1－ >3，
即证 >4，
N＝M＋3.
所以 >5，
所以－1－ >4，即M>4，
所以N＝M＋3>7，故D错误.
例2　已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.
①数列{an}是等比数列；②数列{Sn＋a1}是等比数列；③a2＝2a1.
注：如果选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
题型二
等比数列的判定与证明
选①②作为条件证明③：
设Sn＋a1＝Aqn－1(A≠0)，则Sn＝Aqn－1－a1，
当n＝1时，a1＝S1＝A－a1，所以A＝2a1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝Aqn－2(q－1)，
解得q＝2，所以a2＝2a1.
选①③作为条件证明②：
因为a2＝2a1，{an}是等比数列，所以公比q＝2，
选②③作为条件证明①：
设Sn＋a1＝Aqn－1(A≠0)，则Sn＝Aqn－1－a1，
当n＝1时，a1＝S1＝A－a1，所以A＝2a1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝Aqn－2(q－1)，
因为a2＝2a1，所以A(q－1)＝A，解得q＝2，
所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝Aqn－2(q－1)＝A·2n－2＝a1·2n－1，
所以{an}为等比数列.
(3)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列.
跟踪训练2　在数列{an}中， ＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an＋2，且a1＝2，a2＝5.
(1)证明：数列{an＋1}是等比数列；
所以(an＋1＋1)2＝(an＋1)(an＋2＋1)，
因为a1＝2，a2＝5，所以a1＋1＝3，a2＋1＝6，
所以数列{an＋1}是以3为首项，2为公比的等比数列.
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
由(1)知，an＋1＝3·2n－1，
所以an＝3·2n－1－1，
题型三
等比数列的性质
√
∵a1，a13是方程x2－13x＋9＝0的两根，
∴a1＋a13＝13，a1·a13＝9，
又数列{an}为等比数列，等比数列奇数项符号相同，可得a7＝3，
(2)已知数列{an}是各项都为正数的等比数列，Sn为其前n项和，且S10＝10，S30＝70，那么S40等于
A.150 B.－200
C.150或－200 D.400
√
依题意，S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比数列，
因此(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，
即(S20－10)2＝10(70－S20)，
故S20＝－20或S20＝30.又因为数列{an}的各项都为正数，
即S20>0，因此S20＝30，S20－S10＝20，
S40＝S30＋(S40－S30)＝70＋80＝150.
(1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.
(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要.
跟踪训练3　(1)(2023·六安模拟)在等比数列{an}中，若a1＋a2＝16，a3＋a4＝24，则a7＋a8等于
A.40 B.36 C.54 D.81
在等比数列{an}中，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8成等比数列，
∵a1＋a2＝16，a3＋a4＝24，
√
(2)等比数列{an}共有奇数个项，所有奇数项和S奇＝255，所有偶数项和S偶＝－126，末项是192，则首项a1等于
A.1 B.2 C.3 D.4
∵an＝192，
√
√
∵a1a2…a8＝16，
∴a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝2，
课时精练
第
三部
分
基础保分练
1.(2023·岳阳模拟)已知等比数列{an}满足a5－a3＝8，a6－a4＝24，则a3等于
A.1 B.－1 C.3 D.－3
√
设an＝a1qn－1，∵a5－a3＝8，a6－a4＝24，
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2.已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则S12等于
A.40 B.60 C.32 D.50
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由等比数列的性质可知，
数列S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9是等比数列，
即数列4,8，S9－S6，S12－S9是等比数列，
因此S12＝4＋8＋16＋32＝60.
√
3.已知等比数列{an}中，a2a3a4＝1，a6a7a8＝64，则a4a5a6等于
A.±8 B.－8 C.8 D.16
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又等比数列奇数项符号相同，所以a5＝2，
4.(2022·日照模拟)河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟.现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1 016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{an}，则log2(a3·a5)的值为
A.16 B.12 C.10 D.8
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由题意，得{an}是以2为公比的等比数列，
∴log2(a3·a5)＝log2(8×22×8×24)＝12.
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5.(多选)设等比数列{an}的公比为q，则下列说法正确的是
A.数列{anan＋1}是公比为q2的等比数列
B.数列{an＋an＋1}是公比为q的等比数列
C.数列{an－an＋1}是公比为q的等比数列
√
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对于B，当q＝－1时，数列{an＋an＋1}的项中有0，不是等比数列；
对于C，当q＝1时，数列{an－an＋1}的项中有0，不是等比数列；
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7.已知Sn是等比数列{an}的前n项和，且an>0，S1＋a1＝2，S3＋a3＝22，则公比q＝____，S5＋a5＝______.
由题意得2a1＝2，∴a1＝1.
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8.已知数列{an}为等比数列，若数列{3n－an}也是等比数列，则数列{an}的通项公式可以为 ____________________.(写出一个即可)
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an＝3n－1(答案不唯一)
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设等比数列{an}的公比为q，
令bn＝3n－an，则b1＝3－a1，b2＝32－a1q，b3＝33－a1q2，
∵{bn}是等比数列，
∴ ＝b1b3，即(32－a1q)2＝(3－a1)(33－a1q2)，
可化为q2－6q＋9＝0，解得q＝3，
取a1＝1，则an＝3n－1.
(注：a1的值可取任意非零实数).
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设数列{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.
由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.
故an＝(－2)n－1或an＝2n－1(n∈N*).
9.等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.
(1)求数列{an}的通项公式；
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由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解.
若an＝2n－1，则Sn＝2n－1.
由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.
综上，m＝6.
(2)记Sn为{an}的前n项和，若Sm＝63，求m.
10.Sn为等比数列{an}的前n项和，已知a4＝9a2，S3＝13，且公比q>0.
(1)求an及Sn；
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(2)是否存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.
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假设存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列.
因为S1＋λ＝λ＋1，S2＋λ＝λ＋4，S3＋λ＝λ＋13，
11.(多选)在数列{an}中，n∈N*，若＝ k(k为常数)，则称{an}为
“等差比数列”，下列关于“等差比数列”的判断正确的是
A.k不可能为0
B.等差数列一定是“等差比数列”
C.等比数列一定是“等差比数列”
D.“等差比数列”中可以有无数项为0
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综合提升练
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对于A，k不可能为0，正确；
对于B，当an＝1时，{an}为等差数列，但不是“等差比数列”，错误；
对于C，当等比数列的公比q＝1时，an＋1－an＝0，分式无意义，
所以{an}不是“等差比数列”，错误；
对于D，数列0,1,0,1,0,1，…，0,1是“等差比数列”，且有无数项为0，正确.
12.记Sn为等比数列{an}的前n项和，已知a1＝8，a4＝－1，则数列{Sn}
A.有最大项，有最小项
B.有最大项，无最小项
C.无最大项，有最小项
D.无最大项，无最小项
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根据题意，等比数列{an}中，a1＝8，a4＝－1，
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故S1最大，S2最小.
13.设{an}是公比为q的等比数列，|q|>1，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝_____.
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{bn}有连续四项在{－53，－23,19,37,82}中，bn＝an＋1，则an＝bn－1，
{an}有连续四项在{－54，－24,18,36,81}中.
又{an}是等比数列，等比数列中有负数项则q<0，且负数项为相隔两项，
等比数列各项的绝对值递增或递减，
按绝对值由小到大的顺序排列上述数值：18，－24,36，－54,81，
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很明显，－24,36，－54,81是{an}中连续的四项，
14.记Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝1－an，记Tn＝a1a3＋a3a5＋…＋a2n－1a2n＋1，
则an＝_____，Tn＝___________.
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15.将正整数按照如图所示方式排列：
试问2 024是表中第____行的第_______个数.
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拓展冲刺练
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1 001
由题意得第n行有2n－1个数，
前10行共有20＋2＋22＋23＋24＋25
前11行共有20＋2＋22＋23＋24＋25＋26＋27＋28＋29＋210
故2 024在表中第11行，又表中第11行有210＝1 024(个)数，
故2 024是表中第11行的第1 001个数.
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16.(2023·泰安模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，an>0,4S1＋S2＝S3.
(1)求数列{an}的公比q；
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由4S1＋S2＝S3，得4a1＋a1＋a2＝a1＋a2＋a3，
整理得4a1＝a3，
所以4a1＝a1q2.
因为a1≠0，所以q2＝4，
由题意得q>0，所以q＝2.
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7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
an＝a1·2n－1，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
当n≥3时，f(n)单调递增，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16§6.3　等比数列
考试要求　1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系．
知识梳理
1．等比数列有关的概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示.
(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab.
2．等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1.
(2)等比数列通项公式的推广：an＝amqn－m.
(3)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝.
3．等比数列性质
(1)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*.特别地，若2w＝m＋n，则aman＝a，其中m，n，w∈N*.
(2)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)．
(3)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{an·bn}，{pan·qbn}和也是等比数列(b，p，q≠0)．
(4)等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.(n为偶数且q＝－1除外)
(5)若或则等比数列{an}递增．
若或则等比数列{an}递减．
常用结论
1．等比数列{an}的通项公式可以写成an＝cqn，这里c≠0，q≠0.
2．等比数列{an}的前n项和Sn可以写成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1,0)．
3．数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和．
(1)若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列．
(2)若数列{an}的项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q，或＝q.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.(　×　)
(2)当公比q>1时，等比数列{an}为递增数列．(　×　)
(3)等比数列中所有偶数项的符号相同．(　√　)
(4)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．(　×　)
教材改编题
1．设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　若a，b，c，d成等比数列，则ad＝bc，
数列－1，－1,1,1.满足－1×1＝－1×1，但数列－1，－1，1,1不是等比数列，
即“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要不充分条件．
2．设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3，S4＝15，则S6等于(　　)
A．31 B．32 C．63 D．64
答案　C
解析　根据题意知，等比数列{an}的公比不是－1.由等比数列的性质，得(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，即122＝3×(S6－15)，解得S6＝63.
3．已知三个数成等比数列，若它们的和等于13，积等于27，则这三个数为________________．
答案　1,3,9或9,3,1
解析　设这三个数为，a，aq，
则解得或
∴这三个数为1,3,9或9,3,1.
题型一　等比数列基本量的运算
例1　(1)(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6等于(　　)
A．14 B．12 C．6 D．3
答案　D
解析　方法一　设等比数列{an}的公比为q，易知q≠1.
由题意可得
即解得
所以a6＝a1q5＝3，故选D.
方法二　设等比数列{an}的公比为q，
易知q≠1.由题意可得
即解得
所以a6＝a1q5＝3，故选D.
(2)(2023·桂林模拟)朱载堉(1536～1611)是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中阐述了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”．即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音的频率是最初那个音的2倍．设第二个音的频率为f1，第八个音的频率为f2.则等于(　　)
A. B. C. D．4
答案　A
解析　设第一个音的频率为a，相邻两个音之间的频率之比为q，那么an＝aqn－1，
根据最后一个音的频率是最初那个音的2倍，得a13＝2a＝aq12，即q＝，
所以＝＝q6＝.
思维升华　等比数列基本量的运算的解题策略
(1)等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．
(2)解方程组时常常利用“作商”消元法．
(3)运用等比数列的前n项和公式时，一定要讨论公比q＝1的情形，否则会漏解或增解．
跟踪训练1　(1)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3等于(　　)
A．16 B．8 C．4 D．2
答案　C
解析　设等比数列{an}的公比为q(q>0)，由题意，有∴∴a3＝22＝4.
(2)在1和2之间插入11个数使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，记插入的11个数之和为M，插入11个数后这13个数之和为N，则依此规则，下列说法错误的是(　　)
A．插入的第8个数为
B．插入的第5个数是插入的第1个数的倍
C．M>3
D．N<7
答案　D
解析　设该等比数列为{an}，公比为q，
则a1＝1，a13＝2，
故q12＝＝2.
插入的第8个数为a9＝a1q8＝，故A正确；
插入的第5个数为a6＝a1q5，插入的第1个数为a2＝a1q，所以＝＝q4＝，故B正确；
M＝＝＝－1－，
要证M>3，即证－1－>3，
即证>4，
即证>，
即证12>2，
而12>6>2成立，故C正确；
N＝M＋3.
因为12>(1.4)6>(1.9)3>2，
所以>，
所以>5，
所以－1－>4，即M>4，
所以N＝M＋3>7，故D错误．
题型二　等比数列的判定与证明
例2　已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列{an}是等比数列；②数列{Sn＋a1}是等比数列；③a2＝2a1.
注：如果选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
解　选①②作为条件证明③：
设Sn＋a1＝Aqn－1(A≠0)，则Sn＝Aqn－1－a1，
当n＝1时，a1＝S1＝A－a1，所以A＝2a1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝Aqn－2(q－1)，
因为{an}是等比数列，所以＝，解得q＝2，所以a2＝2a1.
选①③作为条件证明②：
因为a2＝2a1，{an}是等比数列，所以公比q＝2，
所以Sn＝＝a1(2n－1)，即Sn＋a1＝a12n，
因为＝2，所以{Sn＋a1}是等比数列．
选②③作为条件证明①：
设Sn＋a1＝Aqn－1(A≠0)，则Sn＝Aqn－1－a1，
当n＝1时，a1＝S1＝A－a1，所以A＝2a1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝Aqn－2(q－1)，
因为a2＝2a1，所以A(q－1)＝A，解得q＝2，
所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝Aqn－2(q－1)＝A·2n－2＝a1·2n－1，
又因为＝2(n≥2)，且a2＝2a1，
所以{an}为等比数列．
思维升华　等比数列的三种常用判定方法
(1)定义法：若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列．
(2)等比中项法：若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列．
(3)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列．
跟踪训练2　在数列{an}中，a＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an＋2，且a1＝2，a2＝5.
(1)证明：数列{an＋1}是等比数列；
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
(1)证明　因为a＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an＋2，
所以(an＋1＋1)2＝(an＋1)(an＋2＋1)，
即＝.
因为a1＝2，a2＝5，所以a1＋1＝3，a2＋1＝6，
所以＝2，
所以数列{an＋1}是以3为首项，2为公比的等比数列．
(2)解　由(1)知，an＋1＝3·2n－1，所以an＝3·2n－1－1，
所以Sn＝－n＝3·2n－n－3.
题型三　等比数列的性质
例3　(1)(2023·黄山模拟)在等比数列{an}中，a1，a13是方程x2－13x＋9＝0的两根，则的值为(　　)
A. B．3 C．± D．±3
答案　B
解析　∵a1，a13是方程x2－13x＋9＝0的两根，∴a1＋a13＝13，a1·a13＝9，
∴a1>0，a13>0，a1·a13＝a2·a12＝a＝9，
又数列{an}为等比数列，等比数列奇数项符号相同，可得a7＝3，
∴＝＝3.
(2)已知数列{an}是各项都为正数的等比数列，Sn为其前n项和，且S10＝10，S30＝70，那么S40等于(　　)
A．150 B．－200
C．150或－200 D．400
答案　A
解析　依题意，S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比数列，因此(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，即(S20－10)2＝10(70－S20)，故S20＝－20或S20＝30.又因为数列{an}的各项都为正数，即S20>0，因此S20＝30，S20－S10＝20，所以S40－S30＝S10×3＝80，S40＝S30＋(S40－S30)＝70＋80＝150.
思维升华　(1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．
(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．
跟踪训练3　(1)(2023·六安模拟)在等比数列{an}中，若a1＋a2＝16，a3＋a4＝24，则a7＋a8等于(　　)
A．40 B．36 C．54 D．81
答案　C
解析　在等比数列{an}中，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8成等比数列，
∵a1＋a2＝16，a3＋a4＝24，∴a7＋a8＝(a3＋a4)·2＝24×2＝54.
(2)等比数列{an}共有奇数个项，所有奇数项和S奇＝255，所有偶数项和S偶＝－126，末项是192，则首项a1等于(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　C
解析　∵an＝192，
∴q＝＝＝＝－2，
又Sn＝＝S奇＋S偶，
即＝255＋(－126)，
解得a1＝3.
(3)在等比数列{an}中，an>0，a1＋a2＋a3＋…＋a8＝4，a1a2·…·a8＝16，则＋＋…＋的值为(　　)
A．2 B．4 C．8 D．16
答案　A
解析　∵a1a2…a8＝16，
∴a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝2，
∴＋＋…＋＝＋＋＋
＝(a1＋a8)＋(a2＋a7)＋(a3＋a6)＋(a4＋a5)
＝(a1＋a2＋…＋a8)＝2.
课时精练
1．(2023·岳阳模拟)已知等比数列{an}满足a5－a3＝8，a6－a4＝24，则a3等于(　　)
A．1 B．－1 C．3 D．－3
答案　A
解析　设an＝a1qn－1，∵a5－a3＝8，a6－a4＝24，
∴
解得∴a3＝a1q2＝×32＝1.
2．已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则S12等于(　　)
A．40 B．60 C．32 D．50
答案　B
解析　由等比数列的性质可知，数列S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9是等比数列，即数列4,8，S9－S6，S12－S9是等比数列，因此S12＝4＋8＋16＋32＝60.
3．已知等比数列{an}中，a2a3a4＝1，a6a7a8＝64，则a4a5a6等于(　　)
A．±8 B．－8 C．8 D．16
答案　C
解析　依题意，a2a3a4＝a＝1，即a3＝1，
同理a6a7a8＝a＝64，即a7＝4，
所以a3·a7＝4＝a，又等比数列奇数项符号相同，所以a5＝2，
所以a4a5a6＝a＝8.
4．(2022·日照模拟)河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1 016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{an}，则log2(a3·a5)的值为(　　)
A．16 B．12 C．10 D．8
答案　B
解析　由题意，得{an}是以2为公比的等比数列，
∴S7＝＝1 016,127a1＝1 016，解得a1＝8，
∴log2(a3·a5)＝log2(8×22×8×24)＝12.
5．(多选)设等比数列{an}的公比为q，则下列说法正确的是(　　)
A．数列{anan＋1}是公比为q2的等比数列
B．数列{an＋an＋1}是公比为q的等比数列
C．数列{an－an＋1}是公比为q的等比数列
D．数列是公比为的等比数列
答案　AD
解析　对于A，由＝q2(n≥2)知数列{anan＋1}是公比为q2的等比数列；对于B，当q＝－1时，数列{an＋an＋1}的项中有0，不是等比数列；对于C，当q＝1时，数列{an－an＋1}的项中有0，不是等比数列；对于D，＝＝，所以数列是公比为的等比数列，故D正确．
6．已知数列{an}是等比数列，若a2＝1，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1(n∈N*)的最小值为(　　)
A. B．1 C．2 D．3
答案　C
解析　由已知得数列{an}的公比满足q3＝＝，
解得q＝，∴a1＝2，a3＝，故数列{anan＋1}是首项为2，公比为＝的等比数列，
∴a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝
＝∈，故选C.
7．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，且an>0，S1＋a1＝2，S3＋a3＝22，则公比q＝________，S5＋a5＝________.
答案　3　202
解析　由题意得2a1＝2，∴a1＝1.由a1＋a1q＋2a1q2＝22，得q＝3或q＝－，∵an>0，∴q＝－不符合题意，故q＝3，∴S5＋a5＝＋1×34＝202.
8．已知数列{an}为等比数列，若数列{3n－an}也是等比数列，则数列{an}的通项公式可以为 __________.(写出一个即可)
答案　an＝3n－1(答案不唯一)
解析　设等比数列{an}的公比为q，令bn＝3n－an，则b1＝3－a1，b2＝32－a1q，b3＝33－a1q2，∵{bn}是等比数列，∴b＝b1b3，即(32－a1q)2＝(3－a1)(33－a1q2)，可化为q2－6q＋9＝0，解得q＝3，取a1＝1，则an＝3n－1.(注：a1的值可取任意非零实数)．
9．等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记Sn为{an}的前n项和，若Sm＝63，求m.
解　(1)设数列{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.
由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.
故an＝(－2)n－1或an＝2n－1(n∈N*)．
(2)若an＝(－2)n－1，则Sn＝.
由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．
若an＝2n－1，则Sn＝2n－1.
由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.综上，m＝6.
10．Sn为等比数列{an}的前n项和，已知a4＝9a2，S3＝13，且公比q>0.
(1)求an及Sn；
(2)是否存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
解　(1)由题意可得解得a1＝1，q＝3，
所以an＝3n－1，Sn＝＝.
(2)假设存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列．
因为S1＋λ＝λ＋1，S2＋λ＝λ＋4，S3＋λ＝λ＋13，
所以(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)，解得λ＝，此时Sn＋＝×3n，则＝3.
故存在常数λ＝，使得数列是等比数列．
11．(多选)在数列{an}中，n∈N*，若＝k(k为常数)，则称{an}为“等差比数列”，下列关于“等差比数列”的判断正确的是(　　)
A．k不可能为0
B．等差数列一定是“等差比数列”
C．等比数列一定是“等差比数列”
D．“等差比数列”中可以有无数项为0
答案　AD
解析　对于A，k不可能为0，正确；
对于B，当an＝1时，{an}为等差数列，但不是“等差比数列”，错误；
对于C，当等比数列的公比q＝1时，an＋1－an＝0，分式无意义，所以{an}不是“等差比数列”，错误；
对于D，数列0,1,0,1,0,1，…，0,1是“等差比数列”，且有无数项为0，正确．
12．记Sn为等比数列{an}的前n项和，已知a1＝8，a4＝－1，则数列{Sn}(　　)
A．有最大项，有最小项
B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项
D．无最大项，无最小项
答案　A
解析　根据题意，等比数列{an}中，a1＝8，a4＝－1，则q3＝＝－，则q＝－，
则Sn＝＝＝，
若n为奇数，则Sn＝，此时有S1>S3>…>Sn>；
若n为偶数，则Sn＝，此时有S2故S1最大，S2最小．
13．设{an}是公比为q的等比数列，|q|>1，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________.
答案　－9
解析　{bn}有连续四项在{－53，－23,19,37,82}中，bn＝an＋1，则an＝bn－1，{an}有连续四项在{－54，－24,18,36,81}中．又{an}是等比数列，等比数列中有负数项则q<0，且负数项为相隔两项，
等比数列各项的绝对值递增或递减，按绝对值由小到大的顺序排列上述数值：18，－24,36，－54,81，
相邻两项相除＝－，＝－，＝－，＝－，
很明显，－24,36，－54,81是{an}中连续的四项，
q＝－或q＝－(|q|>1，∴此种情况应舍)，
∴q＝－，∴6q＝－9.
14．记Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝1－an，记Tn＝a1a3＋a3a5＋…＋a2n－1a2n＋1，则an＝________，Tn＝________.
答案　　
解析　由题意得a1＝1－a1，故a1＝.当n≥2时，由得an＝－an＋an－1，则＝，故数列{an}是以为首项，为公比的等比数列，故数列{an}的通项公式为an＝.由等比数列的性质可得a1a3＝a，a3a5＝a，…，a2n－1a2n＋1＝a，所以数列{a2n－1a2n＋1}是以a＝为首项，为公比的等比数列，则Tn＝a＋a＋…＋a＝＝.
15．将正整数按照如图所示方式排列：
试问2 024是表中第________行的第________个数．
答案　11　1 001
解析　由题意得第n行有2n－1个数，前10行共有20＋2＋22＋23＋24＋25＋26＋27＋28＋29＝＝1 023(个)数，前11行共有20＋2＋22＋23＋24＋25＋26＋27＋28＋29＋210＝＝2 047(个)数，故2 024在表中第11行，又表中第11行有210＝1 024(个)数，故2 024是表中第11行的第1 001个数．
16．(2023·泰安模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，an>0,4S1＋S2＝S3.
(1)求数列{an}的公比q；
(2)对于 n∈N*，不等式＋n2＋≥6n＋t恒成立，求实数t的最大值．
解　(1)由4S1＋S2＝S3，
得4a1＋a1＋a2＝a1＋a2＋a3，
整理得4a1＝a3，
所以4a1＝a1q2.
因为a1≠0，所以q2＝4，
由题意得q>0，所以q＝2.
(2)由(1)得Sn＝＝a1(2n－1)，
an＝a1·2n－1，
所以＝.
所以不等式＋n2＋≥6n＋t恒成立，等价于＋n2＋≥6n＋t恒成立，
所以t≤＋n2－6n＋.
令f(n)＝＋n2－6n＋＝(n－3)2－.
当n＝1时，f(1)＝4－＝；
当n＝2时，f(2)＝1－＝；
当n≥3时，f(n)单调递增，
所以f(n)≥f(3)＝－.
所以t≤－，
故实数t的最大值为－.§6.3　等比数列
考试要求　1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系．
知识梳理
1．等比数列有关的概念
(1)定义：如果一个数列从第________项起，每一项与它的前一项的比都等于________常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的________，公比通常用字母q(q≠0)表示.
(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使________成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝________.
2．等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝________.
(2)等比数列通项公式的推广：an＝amqn－m.
(3)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝________＝________.
3．等比数列性质
(1)若m＋n＝p＋q，则________________，其中m，n，p，q∈N*.特别地，若2w＝m＋n，则____________，其中m，n，w∈N*.
(2)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为________(k，m∈N*)．
(3)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{an·bn}，{pan·qbn}和也是等比数列(b，p，q≠0)．
(4)等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，________，________仍成等比数列，其公比为qn.(n为偶数且q＝－1除外)
(5)若或则等比数列{an}递________．
若或则等比数列{an}递________．
常用结论
1．等比数列{an}的通项公式可以写成an＝cqn，这里c≠0，q≠0.
2．等比数列{an}的前n项和Sn可以写成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1,0)．
3．数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和．
(1)若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列．
(2)若数列{an}的项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q，或＝q.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.(　　)
(2)当公比q>1时，等比数列{an}为递增数列．(　　)
(3)等比数列中所有偶数项的符号相同．(　　)
(4)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．(　　)
教材改编题
1．设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3，S4＝15，则S6等于(　　)
A．31 B．32 C．63 D．64
3．已知三个数成等比数列，若它们的和等于13，积等于27，则这三个数为________________.
题型一　等比数列基本量的运算
例1 (1) (2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6等于(　　)
A．14 B．12
C．6 D．3
(2)(2023·桂林模拟)朱载堉(1536～1611)是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中阐述了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”．即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音的频率是最初那个音的2倍．设第二个音的频率为f1，第八个音的频率为f2.则等于(　　)
A. B.
C. D．4
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思维升华 等比数列基本量的运算的解题策略
(1)等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．
(2)解方程组时常常利用“作商”消元法．
(3)运用等比数列的前n项和公式时，一定要讨论公比q＝1的情形，否则会漏解或增解．
跟踪训练1 (1)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3等于(　　)
A．16 B．8 C．4 D．2
(2)在1和2之间插入11个数使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，记插入的11个数之和为M，插入11个数后这13个数之和为N，则依此规则，下列说法错误的是(　　)
A．插入的第8个数为
B．插入的第5个数是插入的第1个数的 倍
C．M>3
D．N<7
题型二　等比数列的判定与证明
例2 已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列{an}是等比数列；②数列{Sn＋a1}是等比数列；③a2＝2a1.
注：如果选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
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思维升华 等比数列的三种常用判定方法
(1)定义法：若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列．
(2)等比中项法：若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列．
(3)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列．
跟踪训练2 在数列{an}中，a＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an＋2，且a1＝2，a2＝5.
(1)证明：数列{an＋1}是等比数列；
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
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题型三　等比数列的性质
例3 (1)(2023·黄山模拟)在等比数列{an}中，a1，a13是方程x2－13x＋9＝0的两根，则的值为(　　)
A. B．3 C．± D．±3
(2)已知数列{an}是各项都为正数的等比数列，Sn为其前n项和，且S10＝10，S30＝70，那么S40等于(　　)
A．150 B．－200
C．150或－200 D．400
听课记录： ______________________________________________________________
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思维升华 (1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．
(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．
跟踪训练3 (1)(2023·六安模拟)在等比数列{an}中，若a1＋a2＝16，a3＋a4＝24，则a7＋a8等于(　　)
A．40 B．36
C．54 D．81
(2)等比数列{an}共有奇数个项，所有奇数项和S奇＝255，所有偶数项和S偶＝－126，末项是192，则首项a1等于(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
(3)在等比数列{an}中，an>0，a1＋a2＋a3＋…＋a8＝4，a1a2·…·a8＝16，则＋＋…＋的值为(　　)
A．2 B．4 C．8 D．16

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