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§6.5　数列求和(一)
第六章　数　列
1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式.
2.掌握分组求和、并项求和、与奇偶项有关的求和等几种常见的求和方法.
考试要求
内容索引
第一部分
第二部分
第三部分
落实主干知识
探究核心题型
课时精练
落实主干知识
第
一
部
分
数列求和的几种常用方法
(1)公式法
直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和.
①等差数列的前n项和公式：
Sn＝ ＝ .
②等比数列的前n项和公式：
Sn＝
na1，q＝1，
________________________.
(2)分组求和法
若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减.
(3)并项求和法
一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(3)1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1).
(　　)
(4)sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝44.5.(　　)
√
√
√
√
1.数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(2n－1)，则该数列的前100项之和为
A.－200 B.－100 C.200 D.100
√
S100＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－197＋199)＝2×50＝100.
A.0 B.100 C.－100 D.10 200
√
由题意，得a1＋a2＋a3＋…＋a100
＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012
＝－(1＋2)＋(3＋2)－(4＋3)＋…－(99＋100)＋(101＋100)
＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101)
＝－50×101＋50×103＝100.
3.若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和Sn＝_____________.
2n＋1－2＋n2
探究核心题型
第
二部
分
例1　从①(3n－1)an＋1＝(3n＋2)an，②a2＝5,2an＋1＝an＋an＋2这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答.已知数列{an}满足a1＝2，________.
注：若选两个条件分别作答，则按第一个解答计分.
(1)求{an}的通项公式；
题型一
分组求和
选①，由(3n－1)an＋1＝(3n＋2)an及a1＝2，可知an≠0，
当n＝1时，a1＝2适合上式，
故an＝3n－1.
选②，由2an＋1＝an＋an＋2，
得an＋2－an＋1＝an＋1－an，
所以{an}为等差数列，
由a1＝2，a2＝5，得该数列的公差d＝a2－a1＝5－2＝3，
所以an＝a1＋(n－1)d＝2＋3(n－1)＝3n－1.
(2)设bn＝ ，求数列{an＋bn}的前n项和Tn.
(1)若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和.
(2)若数列{cn}的通项公式为cn＝ 其中数列{an}，{bn}是
等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{cn}的前n项和.
思维升华
跟踪训练1　(2023·太原模拟)已知各项都不相等的等差数列{an}中，a6＝11，且a1，a2，a5成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式；
设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，
由a6＝11，知a1＋5d＝11， ①
因为a1，a2，a5成等比数列，
所以 ＝a1a5，即(a1＋d)2＝a1(a1＋4d)， ②
由①②解得d＝2，a1＝1，
故{an}的通项公式为an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.
(2)设bn＝ ＋an，求数列{bn}的前n项和Sn.
例2　记数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝2an－2n＋1.
(1)求数列{an}的通项公式；
题型二
并项求和
当n＝1时，由Sn＝2an－2n＋1，可得a1＝S1＝2a1－2＋1，即有a1＝1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2n＋1－2an－1＋2(n－1)－1，
即an＝2an－1＋2，可得an＋2＝2(an－1＋2)，显然an－1＋2≠0.
所以数列{an＋2}是首项为3，公比为2的等比数列，
则an＋2＝3·2n－1，即有an＝3·2n－1－2.
所以T100＝－1＋2－3＋4－…－99＋100
＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋(－99＋100)＝50.
并项求和法的常见题型
(1)数列{an}的通项公式为an＝(－1)nf(n)，求数列{an}的前n项和.
(2)数列{an}是周期数列或ak＋ak＋1(k∈N*)为定值，求数列{an}的前n项和.
跟踪训练2　(2022·安庆模拟)已知等差数列{an}满足an＋an＋1＝4n.
(1)求{an}的通项公式；
设等差数列{an}的公差为d，所以an＝a1＋(n－1)d＝nd＋a1－d，
所以an＋an＋1＝2dn＋2a1－d＝4n，
则an＝2n－1.
(2)若bn＝ancos nπ，记{bn}的前n项和为Sn，求S2n.
因为an＝2n－1且bn＝ancos nπ，
所以b2k－1＋b2k＝－(4k－3)＋(4k－1)＝2，
所以S2n＝(b1＋b2)＋(b3＋b4)＋…＋(b2n－1＋b2n)＝2n.
例3　已知数列{an}是正项等比数列，满足a3是2a1,3a2的等差中项，a4＝16.
(1)求数列{an}的通项公式；
题型三
与奇偶项有关的求和问题
设等比数列{an}的公比为q，
因为a3是2a1,3a2的等差中项，
所以2a3＝2a1＋3a2，
即2a1q2＝2a1＋3a1q.
因为a1≠0，
所以2q2－3q－2＝0，
因为数列{an}是正项等比数列，
所以q＝2.
因为a4＝16，即a4＝a1q3＝8a1＝16，
解得a1＝2，所以an＝2×2n－1＝2n.
(2)若bn＝(－1)nlog2a2n＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.
由(1)可知，a2n＋1＝22n＋1，
所以bn＝(－1)n·log2a2n＋1＝(－1)n·log222n＋1＝(－1)n·(2n＋1).
①若n为偶数，
则Tn＝－3＋5－7＋9－…－(2n－1)＋(2n＋1)
＝(－3＋5)＋(－7＋9)＋…＋[－(2n－1)＋(2n＋1)]
②若n为奇数，
当n≥3时，Tn＝Tn－1＋bn＝n－1－(2n＋1)＝－n－2，
当n＝1时，T1＝－3适合上式.
分奇偶的数列求和的一般思路
当n为偶数时，并项求其前n项和；当n为奇数时，则n－1为偶数，故代入先求出前n－1项的和再加第n项，即前n项的和.用式子表示为Sn
跟踪训练3　已知等差数列{an}中，a2＝5，a3＋a5＝18.
(1)求数列{an}的通项公式；
设等差数列{an}的公差为d，
因此an＝a1＋(n－1)d＝3＋2(n－1)＝2n＋1.
(2)若数列{bn}满足bn＝an＋ncos(nπ)，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn.
因为bn＝an＋ncos nπ＝2n＋1＋(－1)nn，
所以当n为偶数时，
Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝[3＋5＋7＋…＋(2n＋1)]＋[－1＋2－3＋4－…－(n－1)＋n]
当n为奇数时，
课时精练
第
三部
分
1
2
3
4
5
6
基础保分练
1.(2023·杭州模拟)已知单调递增的等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝20，a2，a4，a8成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式；
1
2
3
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5
6
设数列{an}的公差为d(d>0)，
所以an＝2＋(n－1)·2＝2n.
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(2)bn＝2an＋1－3n＋2，求数列{bn}的前n项和Tn.
由(1)得，an＝2n，
所以bn＝4(n＋1)－3n＋2，
所以Tn＝4×2－33＋4×3－34＋…＋4(n＋1)－3n＋2
＝4[2＋3＋…＋(n＋1)]－(33＋34＋…＋3n＋2)
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，S3＋S4＝S5.
(1)求数列{an}的通项公式；
1
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5
6
设等差数列{an}的公差为d，
由S3＋S4＝S5可得a1＋a2＋a3＝a5，即3a2＝a5，
∴3(1＋d)＝1＋4d，解得d＝2.
∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.
(2)令bn＝(－1)n－1an，求数列{bn}的前n项和Tn.
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6
由(1)可得bn＝(－1)n－1·(2n－1).
当n为偶数时，Tn＝1－3＋5－7＋…＋(2n－3)－(2n－1)＝－n.
当n为奇数时，Tn＝Tn－1＋bn＝－(n－1)＋(－1)n－1(2n－1)＝－(n－1)＋(2n－1)＝n.
综上，Tn＝(－1)n＋1n.
3.(2023·开封模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，且nan＋1＋Sn＋1＝1(n∈N*).
(1)证明：数列{nSn}为等差数列；
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∵数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，且nan＋1＋Sn＋1＝1(n∈N*)，
∴n(Sn＋1－Sn)＋Sn＋1＝1，即(n＋1)Sn＋1－nSn＝1，
∴数列{nSn}为等差数列.
(2)选取数列{Sn}的第2n(n∈N*)项构造一个新的数列{bn}，求{bn}的前n项和Tn.
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6
由(1)知，nSn＝2＋1×(n－1)＝n＋1，
(1)证明：数列{bn＋2}为等比数列，并求出{bn}的通项公式；
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2
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6
由题意知，bn＋1＝a2n＋1＝2a2n＝2(a2n－1＋1)＝2bn＋2，
所以{bn＋2}是首项为4，公比为2的等比数列，
则bn＋2＝4·2n－1＝2n＋1，
所以bn＝2n＋1－2.
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数列{an}的前2n项和为S2n＝a1＋a2＋a3＋…＋a2n
＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)
＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＋(a1＋a3＋…＋a2n－1＋n)
＝2(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＋n
＝2(b1＋b2＋…＋bn)＋n
＝2×(22＋23＋…＋2n＋1－2n)＋n
(2)求数列{an}的前2n项和.
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5.(2022·渭南模拟)在①数列{an}是各项均为正数的递增数列， ＝an·an＋2，a3＝8且a2，a3，a4－4成等差数列；②Sn＝2an－2；③Sn＝2n＋1－2这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.
问题：设数列{an}的前n项和为Sn，________.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
(1)求数列{an}的通项公式；
综合提升练
1
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3
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5
6
则数列{an}是等比数列，
因为a2，a3，a4－4成等差数列，
所以a4－4＋a2＝2a3，又a3＝8，
所以an＝a3qn－3＝8×2n－3＝2n.
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5
6
若选②，Sn＝2an－2，当n＝1时S1＝a1＝2a1－2，
解得a1＝2，当n≥2时Sn－1＝2an－1－2，
则an＝Sn－Sn－1＝2an－2－2an－1＋2，即an＝2an－1，
所以{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an＝2n.
若选③，Sn＝2n＋1－2，当n＝1时a1＝S1＝22－2＝2，
当n≥2时Sn－1＝2n－2，
所以an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2－2n＋2＝2n，
当n＝1时an＝2n也成立，所以an＝2n.
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(2)设bn＝log2an，求数列{a2n＋1＋bn}的前n项和Tn.
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因为an＝2n，
所以bn＝log2an＝log22n＝n，
所以a2n＋1＋bn＝22n＋1＋n，
所以Tn＝23＋1＋25＋2＋27＋3＋…＋22n＋1＋n
＝(23＋25＋27＋…＋22n＋1)＋(1＋2＋3＋…＋n)
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拓展冲刺练
6.(2023·周口模拟)设正项数列{an}的前n项和为Sn，已知2Sn＝ ＋an.
(1)求数列{an}的通项公式；
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4
5
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整理可得(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0，
因为an>0，所以an－an－1－1＝0，即an－an－1＝1(n≥2)，
所以数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，故an＝n.
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所以T3n＝c1＋c2＋c3＋…＋cn§6.5　数列求和(一)
考试要求　1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式.2.掌握分组求和、并项求和、与奇偶项有关的求和等几种常见的求和方法．
知识梳理
数列求和的几种常用方法
(1)公式法
直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和．
①等差数列的前n项和公式：
Sn＝＝na1＋d.
②等比数列的前n项和公式：
Sn＝
(2)分组求和法
若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．
(3)并项求和法
一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
常用结论
常用求和公式
(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝.
(2)1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2.
(3)12＋22＋32＋…＋n2＝.
(4)13＋23＋33＋…＋n3＝2.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)如果数列{an}为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn＝.(　√　)
(2)求数列的前n项和可用分组转化法求和．(　√　)
(3)1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1).(　√　)
(4)sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝44.5.(　√　)
教材改编题
1．数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(2n－1)，则该数列的前100项之和为(　　)
A．－200 B．－100 C．200 D．100
答案　D
解析　S100＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－197＋199)＝2×50＝100.
2．已知函数f(n)＝且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100等于(　　)
A．0 B．100 C．－100 D．10 200
答案　B
解析　由题意，得a1＋a2＋a3＋…＋a100
＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012
＝－(1＋2)＋(3＋2)－(4＋3)＋…－(99＋100)＋(101＋100)
＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101)
＝－50×101＋50×103＝100.
3．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和Sn＝________.
答案　2n＋1－2＋n2
解析　Sn＝＋＝2n＋1－2＋n2.
题型一　分组求和
例1　从①(3n－1)an＋1＝(3n＋2)an，②a2＝5,2an＋1＝an＋an＋2这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答．已知数列{an}满足a1＝2，________.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{an＋bn}的前n项和Tn.
注：若选两个条件分别作答，则按第一个解答计分.
解　(1)选①，由(3n－1)an＋1＝(3n＋2)an及a1＝2，可知an≠0，
所以＝，
当n≥2时，有an＝××…××××a1
＝××…××××2＝3n－1.
当n＝1时，a1＝2适合上式，
故an＝3n－1.
选②，由2an＋1＝an＋an＋2，
得an＋2－an＋1＝an＋1－an，
所以{an}为等差数列，
由a1＝2，a2＝5，得该数列的公差d＝a2－a1＝5－2＝3，
所以an＝a1＋(n－1)d＝2＋3(n－1)＝3n－1.
(2)由(1)知bn＝3n－1，
∴an＋bn＝3n－1＋3n－1，
则Tn＝[2＋5＋8＋…＋(3n－1)]＋，
∴Tn＝＋＝＋.
思维升华　(1)若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和．
(2)若数列{cn}的通项公式为cn＝其中数列{an}，{bn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{cn}的前n项和．
跟踪训练1　(2023·太原模拟)已知各项都不相等的等差数列{an}中，a6＝11，且a1，a2，a5成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝＋an，求数列{bn}的前n项和Sn.
解　(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，
由a6＝11，知a1＋5d＝11，①
因为a1，a2，a5成等比数列，所以a＝a1a5，即(a1＋d)2＝a1(a1＋4d)，②
由①②解得d＝2，a1＝1，
故{an}的通项公式为an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.
(2)bn＝＋an＝22n－1＋2n－1＝×4n＋2n－1，
所以Sn＝(41＋42＋43＋…＋4n)＋(1＋3＋5＋…＋2n－1)＝×＋＝×(4n－1)＋n2.
题型二　并项求和
例2　记数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝2an－2n＋1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记bn＝(－1)n·log2，数列{bn}的前n项和为Tn，求T100.
解　(1)当n＝1时，由Sn＝2an－2n＋1，可得a1＝S1＝2a1－2＋1，即有a1＝1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2n＋1－2an－1＋2(n－1)－1，
即an＝2an－1＋2，可得an＋2＝2(an－1＋2)，显然an－1＋2≠0.
所以数列{an＋2}是首项为3，公比为2的等比数列，则an＋2＝3·2n－1，即有an＝3·2n－1－2.
(2)bn＝(－1)n·log2＝(－1)n·log22n＝(－1)n·n.
所以T100＝－1＋2－3＋4－…－99＋100＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋(－99＋100)＝50.
思维升华　并项求和法的常见题型
(1)数列{an}的通项公式为an＝(－1)nf(n)，求数列{an}的前n项和．
(2)数列{an}是周期数列或ak＋ak＋1(k∈N*)为定值，求数列{an}的前n项和．
跟踪训练2　(2022·安庆模拟)已知等差数列{an}满足an＋an＋1＝4n.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若bn＝ancos nπ，记{bn}的前n项和为Sn，求S2n.
解　(1)设等差数列{an}的公差为d，所以an＝a1＋(n－1)d＝nd＋a1－d，
所以an＋an＋1＝2dn＋2a1－d＝4n，
所以解得
则an＝2n－1.
(2)因为an＝2n－1且bn＝ancos nπ，
所以bn＝(2n－1)·cos nπ＝
所以b2k－1＋b2k＝－(4k－3)＋(4k－1)＝2，
所以S2n＝(b1＋b2)＋(b3＋b4)＋…＋(b2n－1＋b2n)＝2n.
题型三　与奇偶项有关的求和问题
例3　已知数列{an}是正项等比数列，满足a3是2a1,3a2的等差中项，a4＝16.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝(－1)nlog2a2n＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.
解　(1)设等比数列{an}的公比为q，
因为a3是2a1,3a2的等差中项，
所以2a3＝2a1＋3a2，
即2a1q2＝2a1＋3a1q.
因为a1≠0，
所以2q2－3q－2＝0，
解得q＝2或q＝－.
因为数列{an}是正项等比数列，
所以q＝2.
因为a4＝16，即a4＝a1q3＝8a1＝16，
解得a1＝2，所以an＝2×2n－1＝2n.
(2)由(1)可知，a2n＋1＝22n＋1，
所以bn＝(－1)n·log2a2n＋1＝(－1)n·log222n＋1＝(－1)n·(2n＋1)．
①若n为偶数，
则Tn＝－3＋5－7＋9－…－(2n－1)＋(2n＋1)
＝(－3＋5)＋(－7＋9)＋…＋[－(2n－1)＋(2n＋1)]
＝2×＝n；
②若n为奇数，
当n≥3时，Tn＝Tn－1＋bn＝n－1－(2n＋1)＝－n－2，
当n＝1时，T1＝－3适合上式．
综上得Tn＝(或Tn＝(n＋1)·(－1)n－1，n∈N*)．
思维升华　分奇偶的数列求和的一般思路
当n为偶数时，并项求其前n项和；当n为奇数时，则n－1为偶数，故代入先求出前n－1项的和再加第n项，即前n项的和．用式子表示为Sn＝
跟踪训练3　已知等差数列{an}中，a2＝5，a3＋a5＝18.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足bn＝an＋ncos(nπ)，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn.
解　(1)设等差数列{an}的公差为d，
则解得
因此an＝a1＋(n－1)d＝3＋2(n－1)＝2n＋1.
(2)因为bn＝an＋ncos nπ＝2n＋1＋(－1)nn，
所以当n为偶数时，
Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝[3＋5＋7＋…＋(2n＋1)]＋[－1＋2－3＋4－…－(n－1)＋n]
＝＋
＝n2＋2n＋＝n2＋n.
当n为奇数时，
Tn＝Tn＋1－bn＋1＝(n＋1)2＋(n＋1)－[2(n＋1)＋1＋n＋1]＝n2＋n－.
综上，Tn＝
课时精练　　　　　　　　　　　　　　　　
1．(2023·杭州模拟)已知单调递增的等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝20，a2，a4，a8成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)bn＝2an＋1－3n＋2，求数列{bn}的前n项和Tn.
解　(1)设数列{an}的公差为d(d>0)，
由题意得
即
解得或(舍)，
所以an＝2＋(n－1)·2＝2n.
(2)由(1)得，an＝2n，
所以bn＝4(n＋1)－3n＋2，
所以Tn＝4×2－33＋4×3－34＋…＋4(n＋1)－3n＋2＝4[2＋3＋…＋(n＋1)]－(33＋34＋…＋3n＋2)＝4n·－＝2n2＋6n＋－.
2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，S3＋S4＝S5.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝(－1)n－1an，求数列{bn}的前n项和Tn.
解　(1)设等差数列{an}的公差为d，由S3＋S4＝S5可得a1＋a2＋a3＝a5，即3a2＝a5，
∴3(1＋d)＝1＋4d，解得d＝2.
∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.
(2)由(1)可得bn＝(－1)n－1·(2n－1)．当n为偶数时，Tn＝1－3＋5－7＋…＋(2n－3)－(2n－1)＝－n.
当n为奇数时，Tn＝Tn－1＋bn＝－(n－1)＋(－1)n－1(2n－1)＝－(n－1)＋(2n－1)＝n.
综上，Tn＝(－1)n＋1n.
3．(2023·开封模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，且nan＋1＋Sn＋1＝1(n∈N*)．
(1)证明：数列{nSn}为等差数列；
(2)选取数列{Sn}的第2n(n∈N*)项构造一个新的数列{bn}，求{bn}的前n项和Tn.
(1)证明　∵数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，且nan＋1＋Sn＋1＝1(n∈N*)，
∴n(Sn＋1－Sn)＋Sn＋1＝1，即(n＋1)Sn＋1－nSn＝1，
∴数列{nSn}为等差数列．
(2)解　由(1)知，nSn＝2＋1×(n－1)＝n＋1，
∴Sn＝1＋，即bn＝S2n＝1＋，
Tn＝1＋＋1＋＋1＋＋…＋1＋
＝n＋＋＋＋…＋
＝n＋
＝n－＋1.
4．(2022·淄博模拟)已知数列{an}满足a1＝2，且an＋1＝(n∈N*)，设bn＝a2n－1.
(1)证明：数列{bn＋2}为等比数列，并求出{bn}的通项公式；
(2)求数列{an}的前2n项和．
解　(1)由题意知，bn＋1＝a2n＋1＝2a2n＝2(a2n－1＋1)＝2bn＋2，
所以＝2，又b1＋2＝a1＋2＝4，
所以{bn＋2}是首项为4，公比为2的等比数列，
则bn＋2＝4·2n－1＝2n＋1，
所以bn＝2n＋1－2.
(2)数列{an}的前2n项和为S2n＝a1＋a2＋a3＋…＋a2n
＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)
＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＋(a1＋a3＋…＋a2n－1＋n)
＝2(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＋n
＝2(b1＋b2＋…＋bn)＋n
＝2×(22＋23＋…＋2n＋1－2n)＋n
＝2×－3n＝2n＋3－3n－8.
5．(2022·渭南模拟)在①数列{an}是各项均为正数的递增数列，a＝an·an＋2，a3＝8且a2，a3，a4－4成等差数列；②Sn＝2an－2；③Sn＝2n＋1－2这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．
问题：设数列{an}的前n项和为Sn，________.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝log2an，求数列{a2n＋1＋bn}的前n项和Tn.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解　(1)若选①，数列{an}是各项均为正数的递增数列，a＝an·an＋2，
则数列{an}是等比数列，
因为a2，a3，a4－4成等差数列，
所以a4－4＋a2＝2a3，又a3＝8，所以8q－4＋＝2×8，
解得q＝2或q＝(舍去)，
所以an＝a3qn－3＝8×2n－3＝2n.
若选②，Sn＝2an－2，当n＝1时S1＝a1＝2a1－2，
解得a1＝2，当n≥2时Sn－1＝2an－1－2，则an＝Sn－Sn－1＝2an－2－2an－1＋2，
即an＝2an－1，所以{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an＝2n.
若选③，Sn＝2n＋1－2，当n＝1时a1＝S1＝22－2＝2，
当n≥2时Sn－1＝2n－2，
所以an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2－2n＋2＝2n，
当n＝1时an＝2n也成立，所以an＝2n.
(2)因为an＝2n，
所以bn＝log2an＝log22n＝n，
所以a2n＋1＋bn＝22n＋1＋n，
所以Tn＝23＋1＋25＋2＋27＋3＋…＋22n＋1＋n＝(23＋25＋27＋…＋22n＋1)＋(1＋2＋3＋…＋n)＝＋＝＋.
6．(2023·周口模拟)设正项数列{an}的前n项和为Sn，已知2Sn＝a＋an.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记bn＝acos ，Tn是数列{bn}的前n项和，求T3n.
解　(1)由2Sn＝a＋an，当n≥2时，2Sn－1＝a＋an－1，
两式相减得，2an＝a－a＋an－an－1，
整理可得(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0，
因为an>0，所以an－an－1－1＝0，即an－an－1＝1(n≥2)，
在2Sn＝a＋an中，令n＝1，则a1＝1，
所以数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，故an＝n.
(2)bn＝acos ＝n2cos ，
设ck＝b3k－2＋b3k－1＋b3k＝(3k－2)2cos＋(3k－1)2cos＋(3k)2cos 2kπ＝－(3k－2)2＋(3k－1)2＋(3k)2＝9k－，
所以T3n＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝＋＋＋…＋
＝9(1＋2＋3＋…＋n)－n＝9×－n＝.§6.5　数列求和(一)
考试要求　1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式.2.掌握分组求和、并项求和、与奇偶项有关的求和等几种常见的求和方法．
知识梳理
数列求和的几种常用方法
(1)公式法
直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和．
①等差数列的前n项和公式：
Sn＝________________＝________________.
②等比数列的前n项和公式：
Sn＝
(2)分组求和法
若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．
(3)并项求和法
一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
常用结论
常用求和公式
(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝.
(2)1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2.
(3)12＋22＋32＋…＋n2＝.
(4)13＋23＋33＋…＋n3＝2.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)如果数列{an}为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn＝.(　　)
(2)求数列的前n项和可用分组转化法求和．(　　)
(3) 1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1). (　　)
(4)sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝44.5.(　　)
教材改编题
1．数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(2n－1)，则该数列的前100项之和为(　　)
A．－200 B．－100
C．200 D．100
2．已知函数f(n)＝且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100等于(　　)
A．0 B．100
C．－100 D．10 200
3．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和Sn＝________.
题型一　分组求和
例1 从①(3n－1)an＋1＝(3n＋2)an，②a2＝5,2an＋1＝an＋an＋2这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答．已知数列{an}满足a1＝2，________.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{an＋bn}的前n项和Tn.
注：若选两个条件分别作答，则按第一个解答计分.
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思维升华 (1)若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和．
(2)若数列{cn}的通项公式为cn＝其中数列{an}，{bn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{cn}的前n项和．
跟踪训练1 (2023·太原模拟)已知各项都不相等的等差数列{an}中，a6＝11，且a1，a2，a5成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝＋an，求数列{bn}的前n项和Sn.
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题型二　并项求和
例2 记数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝2an－2n＋1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记bn＝(－1)n·log2，数列{bn}的前n项和为Tn，求T100.
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思维升华 并项求和法的常见题型
(1)数列{an}的通项公式为an＝(－1)nf(n)，求数列{an}的前n项和．
(2)数列{an}是周期数列或ak＋ak＋1(k∈N*)为定值，求数列{an}的前n项和．
跟踪训练2 (2022·安庆模拟)已知等差数列{an}满足an＋an＋1＝4n.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若bn＝ancos nπ，记{bn}的前n项和为Sn，求S2n.
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题型三　与奇偶项有关的求和问题
例3 已知数列{an}是正项等比数列，满足a3是2a1,3a2的等差中项，a4＝16.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝(－1)nlog2a2n＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.
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思维升华 分奇偶的数列求和的一般思路
当n为偶数时，并项求其前n项和；当n为奇数时，则n－1为偶数，故代入先求出前n－1项的和再加第n项，即前n项的和．用式子表示为Sn＝
跟踪训练3 已知等差数列{an}中，a2＝5，a3＋a5＝18.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足bn＝an＋ncos(nπ)，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn.
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