资源简介

(共91张PPT)
§7.3　空间点、直线、平面
　　　之间的位置关系
第七章　立体几何与空间向量
1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、
直线、平面的位置关系的定义.
2.了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题.
考试要求
内容索引
第一部分
第二部分
第三部分
落实主干知识
探究核心题型
课时精练
落实主干知识
第
一
部
分
1.基本事实1：过_______________的三个点，有且只有一个平面.
基本事实2：如果一条直线上的_______在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有_____过该点的公共直线.
基本事实4：平行于同一条直线的两条直线______.
不在一条直线上
两个点
一条
平行
2.“三个”推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.
推论2：经过两条______直线，有且只有一个平面.
推论3：经过两条______直线，有且只有一个平面.
3.空间中直线与直线的位置关系
相交
平行
相交
共面直线
_____直线：在同一平面内，有且只有一个公共点；
_____直线：在同一平面内，没有公共点；
异面直线：不同在_____一个平面内，没有公共点.
平行
任何
图形语言 符号语言 公共点
直线与平面 相交 ________ ____个
平行 _______ ____个
在平面内 _______ ______个
4.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
a∩α＝A
1
a∥α
0
a α
无数
平面与平面 平行 _______ ____个
相交 ________ ______个
α∥β
0
α∩β＝l
无数
5.等角定理
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角___________.
6.异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
(2)范围：______.
相等或互补
1.过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线.
2.分别在两个平行平面内的直线平行或异面.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)没有公共点的两条直线是异面直线.(　 　)
(2)直线与平面的位置关系有平行、垂直两种.(　 　)
(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.(　 　)
(4)两两相交的三条直线共面.(　 　)
×
×
×
×
1.(多选)如图是某正方体的平面展开图，则在这个正方体中，下列说法正确的是
A.BM与ED平行
B.CN与BM成60°角
C.CN与BE是异面直线
D.DM与BN是异面直线
√
√
正方体的直观图如图所示.
很显然，BM与ED不平行，故A错误；
连接AN，AC，易知△ACN是等边三角形，CN与BM所成角即为∠ANC＝60°，故B正确；
连接BE，易知CN∥BE，故C错误；
连接BN，DM，易知DM与BN是异面直线，故D正确.
2.已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b
A.一定是异面直线
B.一定是相交直线
C.不可能是平行直线
D.不可能是相交直线
由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若b∥c，则a∥b，与已知a，b为异面直线相矛盾.
√
3.如图，在三棱锥A－BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则
(1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；
AC＝BD
∴四边形EFGH为平行四边形，
∵四边形EFGH为菱形，∴EF＝EH，∴AC＝BD.
(2)当AC，BD满足条件__________________时，四边形EFGH为正方形.
AC＝BD且AC⊥BD
∵四边形EFGH为正方形，∴EF＝EH且EF⊥EH，
∴AC＝BD且AC⊥BD.
探究核心题型
第
二部
分
例1　已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.
求证：(1)D，B，F，E四点共面；
题型一
基本事实的应用
如图所示，连接B1D1.
因为EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面.
(2)若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线；
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，连接A1C，设A1，C，C1确定的平面为α，又设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β，所以Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点.所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β.则R∈PQ，故P，Q，R三点共线.
(3)DE，BF，CC1三线交于一点.
因为EF∥BD且EF＜BD，所以DE与BF相交，设交点为M，则由M∈DE，DE 平面D1DCC1，得M∈平面D1DCC1，
同理，M∈平面B1BCC1.
又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1，所以M∈CC1.
所以DE，BF，CC1三线交于一点.
共面、共线、共点问题的证明
(1)共面：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内.
(2)共线：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上.
(3)共点：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.
思维升华
跟踪训练1　(1)如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且A，B，C l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必经过
A.点A
B.点B
C.点C但不过点M
D.点C和点M
√
因为AB γ，M∈AB，所以M∈γ.
又α∩β＝l，M∈l，所以M∈β.
根据基本事实3可知，M在γ与β的交线上.
同理可知，点C也在γ与β的交线上.
所以γ与β的交线必经过点C和点M.
①证明：四边形BCHG是平行四边形；
故GH∥BC且GH＝BC，
所以四边形BCHG是平行四边形.
②C，D，F，E四点是否共面？为什么？
C，D，F，E四点共面.理由如下：
由①知BG∥CH，所以EF∥CH.
故EC，FH共面.又点D在直线FH上，
所以C，D，F，E四点共面.
命题点1　空间位置关系的判断
例2　(1)(多选)下列推断中，正确的是
A.M∈α，M∈β，α∩β＝l M∈l
B.A∈α，A∈β，B∈α，B∈β α∩β＝AB
C.l α，A∈l A α
D.A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线 α，β重合
√
题型二
空间位置关系的判断
√
√
对于A，因为M∈α，M∈β，α∩β＝l，由基本事实3可知M∈l，A正确；
对于B，A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，故直线AB α，AB β，即α∩β＝AB，B正确；
对于C，若l∩α＝A，则有l α，A∈l，但A∈α，
C错误；
对于D，有三个不共线的点在平面α，β中，故α，β重合，D正确.
(2)(2023·龙岩模拟)若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是
A.异面或平行 B.异面或相交
C.异面 D.相交、平行或异面
√
如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，
①若直线AA1记为直线a，直线BC记为
直线b，直线B1A1记为直线c，
此时a和c相交；
②若直线AA1记为直线a，直线BC记为直线b，直线DD1记为直线c，
此时a和c平行；
③若直线AA1记为直线a，直线BC记为直线b，直线C1D1记为直线c，
此时a和c异面.
命题点2　异面直线所成的角
例3　(1)如图，圆柱的轴截面ABCD为正方形，E为弧BC的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为
√
如图，过点E作圆柱的母线交下底面于点F，
(2)(2022·长春模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分别为BC，A1B1的中点，则异面直线PQ与A1C1所成角的正弦值为
√
如图，取AB的中点M，连接QM，MP，AC，
设正方体的棱长为2，
由于M，P分别为AB，BC的中点，
则MP∥AC，
又在正方体中，AC∥A1C1，
因此可得A1C1∥MP，
故∠QPM(或其补角)即为异面直线PQ与A1C1所成角，
因为QM∥AA1，
所以QM⊥平面ABCD，
因为MP 平面ABCD，
所以QM⊥MP，
在Rt△QMP中，
(1)点、直线、平面位置关系的判定，注意构造几何体(长方体、正方体)模型来判断，常借助正方体为模型.
(2)求异面直线所成角的方法
方法 解读
平移法 将异面直线中的某一条平移，使其与另一条相交，一般采用图中已有的平行线或者作平行线， 形成三角形求解
补形法 在该几何体的某侧补接上同样一个几何体，在这两个几何体中找异面直线相应的位置，形成三角形求解
跟踪训练2　(1)(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，以下四个选项正确的是
A.直线AM与CC1是相交直线
B.直线AM与BN是平行直线
C.直线BN与MB1是异面直线
D.直线AM与DD1是异面直线
√
√
因为点A在平面CDD1C1外，点M在平面CDD1C1内，
直线CC1在平面CDD1C1内，CC1不过点M，所以
直线AM与CC1是异面直线，故A错；
取DD1的中点E，连接AE(图略)，则BN∥AE，但
AE与AM相交，故B错；
因为点B1与直线BN都在平面BCC1B1内，点M在平面BCC1B1外，BN不过点B1，所以BN与MB1是异面直线，故C正确；同理D正确.
由题意，EF∥E1F1，则∠AE1F1即为所求.
√
(3)平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为
√
例4　(1)正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q，E，F分别是AB，AD，B1C1，C1D1的中点，则正方体过P，Q，E，F的截面图形的形状是
A.正方形 B.平行四边形
C.正五边形 D.正六边形
题型三
空间几何体的切割(截面)问题
√
如图所示，由EF∥PQ，可以确定一个平面，
这个平面与正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，DD1分别交于M，N，连接FN，NQ，PM，ME，
由正方体的性质得FN∥MP，NQ∥ME，
且EF＝FN＝NQ＝QP＝PM＝ME，
∴正方体过P，Q，E，F的截面图形的形状是正六边形.
(2)如图，圆锥VO的母线长为l，轴截面VAB的顶角∠AVB＝150°，则过
此圆锥的顶点作该圆锥的任意截面VCD，则△VCD面积的最大值是_____，此时∠VCD＝_____.
45°
(1)作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线.
(2)作交线的方法有如下两种：①利用基本事实3作交线；
②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线.
跟踪训练3　(1)(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和C1C上(异于端点)，则过三点A，F，E的平面被正方体截得的图形(截面)可能是
A.矩形 B.菱形
C.正方形 D.梯形
√
√
√
当BE＝CF时，截面是矩形；当2BE＝CF时，截面是菱形；
当BE>CF时，截面是梯形；截面不可能是正方形.
(2)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中点，平面α经过直线BD且与直线C1E平行，若正方体的棱长为2，则平面α截正方体所得的多边形的面
积为_____.
如图，过点B作BM∥C1E交B1C1于点M，过点M作BD的平行线，交C1D1于点N，连接DN，则平面BDNM即为符合条件的平面α，
由图可知M，N分别为B1C1，C1D1的中点，
设等腰梯形MNDB的高为h，
∴梯形MNDB的面积为
课时精练
第
三部
分
1.若直线上有两个点在平面外，则
A.直线上至少有一个点在平面内
B.直线上有无穷多个点在平面内
C.直线上所有点都在平面外
D.直线上至多有一个点在平面内
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
基础保分练
根据题意，两点确定一条直线，那么由于直线上有两个点在平面外，则直线在平面外，只能是直线与平面相交，或者直线与平面平行，那么可知直线上至多有一个点在平面内.
2.(多选)如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点共面的图形是
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
在A中分别连接PS，QR，易证PS∥QR，所以P，Q，R，S四点共面；在B中过点P，Q，R，S可作一正六边形，故四点共面；在C中分别连接PQ，RS，易证PQ∥RS，所以P，Q，R，S共面；在D中PS与QR为异面直线，所以四点不共面.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3.已知α，β，γ是平面，a，b，c是直线，α∩β＝a，β∩γ＝b，γ∩α＝c，若a∩b＝P，则
A.P∈c B.P c
C.c∩a＝ D.c∩β＝
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
如图，因为a∩b＝P，所以P∈a，P∈b，
因为α∩β＝a，β∩γ＝b，所以P∈α，P∈γ，而γ∩α＝c，
所以P∈c.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4.在底面半径为1的圆柱OO1中，过旋转轴OO1作圆柱的轴截面ABCD，其中母线AB＝2，E是 的中点，F是AB的中点，则
A.AE＝CF，AC与EF是共面直线
B.AE≠CF，AC与EF是共面直线
C.AE＝CF，AC与EF是异面直线
D.AE≠CF，AC与EF是异面直线
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
如图，由题意知，圆柱的轴截面ABCD为边长为2的正方形，E是 的中点，F是AB的中点，
AC 平面ABC，EF与平面ABC相交，且与AC无交点，
所以AC与EF是异面直线，故A，B错误；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5.(多选)用一个平面截正方体，截面可能出现的形状是
A.等边三角形 B.直角梯形
C.菱形 D.五边形
√
√
√
如图，用一个平面截正方体，结合选项知截面可能出现的形状是等边三角形，菱形，五边形.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6.(2021·全国乙卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
方法一　如图，连接C1P，因为ABCD－A1B1C1D1是正方体，且P为B1D1的中点，所以C1P⊥B1D1，又C1P⊥BB1，所以C1P⊥平面B1BP.又BP 平面B1BP，所以C1P⊥BP.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
方法二　以B1为坐标原点，B1C1，B1A1，B1B所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
方法三　如图所示，连接BC1，A1B，A1P，PC1，则易知AD1∥BC1，所以直线PB与AD1所成的角等于直线PB与BC1所成的角.根据P为正方形A1B1C1D1的对角线B1D1的中点，易知A1，P，C1三点共线，且P为A1C1的中点.
7.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的有____对.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3
画出该正方体的直观图如图所示，易知异面直线有(AB，GH)，(AB，CD)，(GH，EF).故共有3对.
8.如图是某机械零件的几何结构，该几何体是由两个相同的直四棱柱组合而成的，且前后、左右、上下均对称，每个四棱柱的底面都是边长为2的正方形，高为4，且两个四棱柱的侧棱互相垂直.则这两个四棱柱的表面相交的交线段总长度为______.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
由题可知，这两个四棱柱的表面相交的交线段由8条长度相等的线段构成，
如图所示，选取一个侧面进行分析，其中AC，AB均为交线段，且AC＝AB，BC为底面的对角线长，D为BC的中点，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(1)求证：E，F，G，H四点共面；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
因为E，F分别为AB，AD的中点，
所以EF∥BD.
所以GH∥BD，
所以EF∥GH.
所以E，F，G，H四点共面.
(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
因为EG∩FH＝P，P∈EG，EG 平面ABC，
所以P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.
所以P为平面ABC与平面ADC的公共点.
又平面ABC∩平面ADC＝AC，
所以P∈AC，
所以P，A，C三点共线.
(1)三棱锥P－ABC的体积；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
如图，取PB的中点E，连接DE，AE，
则ED∥BC，
所以∠ADE是异面直线BC与AD所成的角(或其补角).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
综合提升练
√
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
将三棱锥补形为长方体，如图所示.
其中BE＝BN＝1，BF＝2，
连接MF，则AM∥BF，AM＝BF，
所以四边形AMFB为平行四边形，
所以AB∥MF，
又四边形MCFD为正方形，所以MF⊥CD，
所以AB⊥CD，故A正确；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
长方体的体积V1＝1×1×2＝2，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
长方体的外接球也是三棱锥A－BCD的外接球，
连接MN，交AD于点O，
因为MN∥BC，
所以∠AOM(或其补角)为异面直线AD与BC所成的角，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
12.如图，E，F分别为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1，C1D1的中点，若AB＝6，则过A，E，F三点的截面的面积为
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
连接EF，作直线EF分别与直线DC，DD1的延长线相交于点P，Q，
连接AP交BC于点M，连接AQ交A1D1于点N，连接NF，ME.
则五边形AMEFN即为过A，E，F三点的截面，如图所示.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
60°
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
在平面ABD中，过E作EG∥AB，交DB于点G，连接GF，如图，
则GF∥CD，
∴∠EGF(或其补角)即为AB与CD所成角，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
∴∠EGF＝120°，
∴AB与CD所成角的大小为60°.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
52π
(1)球O的表面积为_____；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4π
(2)若D是BC的中点，过点D作球O的截面，则截面面积的最小值是_____.
由题意，得△ABC为直角三角形，所以D为底面ABC的外接圆圆心，当DO⊥截面时，截面面积最小，即截面为平面ABC的外接圆，半径为2，故截面面积的最小值为π×22＝4π.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
拓展冲刺练
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
如图，连接BD，A1D，过点P作BD，A1D的平行线，分别交棱AB，AA1于点Q，R，连接QR，因为BD∥B1D1，所以PQ∥B1D1，因为B1D1 平面B1D1C，PQ 平面B1D1C，所以PQ∥平面B1D1C，
因为A1D∥B1C，所以PR∥B1C，因为B1C 平面B1D1C，PR 平面B1D1C，所以PR∥平面B1D1C，
又PQ∩PR＝P，PQ，PR 平面PQR，所以平面PQR∥平面B1D1C，则△PQR为截面，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16.如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AD⊥DC，AB∥DC，AB＝2AD＝2CD＝2，点E是PB的中点.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(1)线段PA上是否存在一点G，使得点D，C，E，G共面？若存在，请证明，若不存在，请说明理由；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
存在.当G为PA的中点时满足条件.
如图，连接GE，GD，则GE是△PAB的中位线，
所以GE∥AB.
又AB∥DC，
所以GE∥DC，
所以G，E，C，D四点共面.
(2)若PC＝2，求三棱锥P－ACE的体积.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
因为E是PB的中点，
因为AD⊥DC，AB∥DC，
故由题易知AC⊥BC，§7.3　空间点、直线、平面之间的位置关系
考试要求　1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.2.了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题．
知识梳理
1．基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．
基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行．
2．“三个”推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
3．空间中直线与直线的位置关系
4．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
图形语言 符号语言 公共点
直线与平面 相交 a∩α＝A 1个
平行 a∥α 0个
在平面内 a α 无数个
平面与平面 平行 α∥β 0个
相交 α∩β＝l 无数个
5.等角定理
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
6．异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
(2)范围：.
常用结论
1．过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．
2．分别在两个平行平面内的直线平行或异面．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)没有公共点的两条直线是异面直线．(　×　)
(2)直线与平面的位置关系有平行、垂直两种．(　×　)
(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．(　×　)
(4)两两相交的三条直线共面．(　×　)
教材改编题
1．(多选)如图是某正方体的平面展开图，则在这个正方体中，下列说法正确的是(　　)
A．BM与ED平行
B．CN与BM成60°角
C．CN与BE是异面直线
D．DM与BN是异面直线
答案　BD
解析　正方体的直观图如图所示．
很显然，BM与ED不平行，故A错误；
连接AN，AC，易知△ACN是等边三角形，CN与BM所成角即为∠ANC＝60°，故B正确；
连接BE，易知CN∥BE，故C错误；
连接BN，DM，易知DM与BN是异面直线，故D正确．
2．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b(　　)
A．一定是异面直线
B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线
D．不可能是相交直线
答案　C
解析　由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若b∥c，则a∥b，与已知a，b为异面直线相矛盾．
3. 如图，在三棱锥A－BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则
(1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；
(2)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为正方形．
答案　(1)AC＝BD　(2)AC＝BD且AC⊥BD
解析　(1)由题意知，EF∥AC，EH∥BD，且EF＝AC，EH＝BD，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∵四边形EFGH为菱形，∴EF＝EH，∴AC＝BD.
(2)∵四边形EFGH为正方形，∴EF＝EH且EF⊥EH，
∴AC＝BD且AC⊥BD.
题型一　基本事实的应用
例1　已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.
求证：(1)D，B，F，E四点共面；
(2)若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线；
(3)DE，BF，CC1三线交于一点．
证明　(1)如图所示，连接B1D1.
因为EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．
(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，连接A1C，设A1，C，C1确定的平面为α，又设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β，所以Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点．所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β.则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．
(3)因为EF∥BD且EF＜BD，所以DE与BF相交，设交点为M，则由M∈DE，DE 平面D1DCC1，得M∈平面D1DCC1，
同理，M∈平面B1BCC1.
又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1，所以M∈CC1.
所以DE，BF，CC1三线交于一点．
思维升华　共面、共线、共点问题的证明
(1)共面：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．
(2)共线：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．
(3)共点：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
跟踪训练1　(1)如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且A，B，C l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必经过(　　)
A．点A
B．点B
C．点C但不过点M
D．点C和点M
答案　D
解析　因为AB γ，M∈AB，所以M∈γ.
又α∩β＝l，M∈l，所以M∈β.
根据基本事实3可知，M在γ与β的交线上．
同理可知，点C也在γ与β的交线上．
所以γ与β的交线必经过点C和点M.
(2)如图所示，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD且BC＝AD，BE∥AF且BE＝AF，G，H分别为FA，FD的中点．
①证明：四边形BCHG是平行四边形；
②C，D，F，E四点是否共面？为什么？
①证明　由题设知，因为G，H分别为FA，FD的中点，所以GH∥AD且GH＝AD，
又BC∥AD且BC＝AD，
故GH∥BC且GH＝BC，
所以四边形BCHG是平行四边形．
②解　C，D，F，E四点共面．理由如下：
由BE∥AF且BE＝AF，G是FA的中点知BE∥GF且BE＝GF，所以四边形EFGB是平行四边形，所以EF∥BG.
由①知BG∥CH，所以EF∥CH.
故EC，FH共面．又点D在直线FH上，
所以C，D，F，E四点共面．
题型二　空间位置关系的判断
命题点1　空间位置关系的判断
例2　(1)(多选)下列推断中，正确的是(　　)
A．M∈α，M∈β，α∩β＝l M∈l
B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β α∩β＝AB
C．l α，A∈l A α
D．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线 α，β重合
答案　ABD
解析　对于A，因为M∈α，M∈β，α∩β＝l，由基本事实3可知M∈l，A正确；
对于B，A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，故直线AB α，AB β，即α∩β＝AB，B正确；
对于C，若l∩α＝A，则有l α，A∈l，但A∈α，
C错误；
对于D，有三个不共线的点在平面α，β中，故α，β重合，D正确．
(2)(2023·龙岩模拟)若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是(　　)
A．异面或平行 B．异面或相交
C．异面 D．相交、平行或异面
答案　D
解析　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，
①若直线AA1记为直线a，直线BC记为直线b，直线B1A1记为直线c，
此时a和c相交；
②若直线AA1记为直线a，直线BC记为直线b，直线DD1记为直线c，
此时a和c平行；
③若直线AA1记为直线a，直线BC记为直线b，直线C1D1记为直线c，
此时a和c异面．
命题点2　异面直线所成的角
例3　(1)如图，圆柱的轴截面ABCD为正方形，E为弧BC的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　如图，过点E作圆柱的母线交下底面于点F，
连接AF，易知F为的中点，设四边形ABCD的边长为2，则EF＝2，AF＝，所以AE＝＝.连接ED，则ED＝.因为BC∥AD，所以异面直线AE与BC所成角即为∠EAD(或其补角)．在△EAD中，cos∠EAD＝＝.
所以异面直线AE与BC所成角的余弦值为.
(2)(2022·长春模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分别为BC，A1B1的中点，则异面直线PQ与A1C1所成角的正弦值为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　如图，取AB的中点M，连接QM，MP，AC，
设正方体的棱长为2，
由于M，P分别为AB，BC的中点，
则MP∥AC，
又在正方体中，AC∥A1C1，
因此可得A1C1∥MP，
故∠QPM(或其补角)即为异面直线PQ与A1C1所成角，
因为QM∥AA1，
所以QM⊥平面ABCD，
因为MP 平面ABCD，
所以QM⊥MP，
在Rt△QMP中，
sin∠QPM＝＝＝.
所以异面直线PQ与A1C1所成角的正弦值为.
思维升华　(1)点、直线、平面位置关系的判定，注意构造几何体(长方体、正方体)模型来判断，常借助正方体为模型．
(2)求异面直线所成角的方法
方法 解读
平移法 将异面直线中的某一条平移，使其与另一条相交，一般采用图中已有的平行线或者作平行线， 形成三角形求解
补形法 在该几何体的某侧补接上同样一个几何体，在这两个几何体中找异面直线相应的位置，形成三角形求解
跟踪训练2　(1)(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，以下四个选项正确的是(　　)
A．直线AM与CC1是相交直线
B．直线AM与BN是平行直线
C．直线BN与MB1是异面直线
D．直线AM与DD1是异面直线
答案　CD
解析　因为点A在平面CDD1C1外，点M在平面CDD1C1内，直线CC1在平面CDD1C1内，CC1不过点M，所以直线AM与CC1是异面直线，故A错；取DD1的中点E，连接AE(图略)，则BN∥AE，但AE与AM相交，故B错；因为点B1与直线BN都在平面BCC1B1内，点M在平面BCC1B1外，BN不过点B1，所以BN与MB1是异面直线，故C正确；同理D正确．
(2)(2023·莆田模拟)若正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1底面边长为1，高为，则直线AE1和EF所成的角大小为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由题意，EF∥E1F1，则∠AE1F1即为所求．
由于 AE1＝3，E1F1＝1，AF1＝，
∴cos∠AE1F1＝＝＝，
∴∠AE1F1＝，即直线AE1和EF所成的角大小为.
(3)平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　如图所示，过点A补作一个与正方体ABCD－A1B1C1D1相同棱长的正方体，易知平面α为平面AF1E，则m，n所成的角为∠EAF1.∵△AF1E为正三角形，∴sin∠EAF1＝sin 60°＝.
题型三　空间几何体的切割(截面)问题
例4　(1)正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q，E，F分别是AB，AD，B1C1，C1D1的中点，则正方体过P，Q，E，F的截面图形的形状是(　　)
A．正方形 B．平行四边形
C．正五边形 D．正六边形
答案　D
解析　如图所示，由EF∥PQ，可以确定一个平面，
这个平面与正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，DD1分别交于M，N，连接FN，NQ，PM，ME，
由正方体的性质得FN∥MP，NQ∥ME，
且EF＝FN＝NQ＝QP＝PM＝ME，
∴正方体过P，Q，E，F的截面图形的形状是正六边形．
(2)如图，圆锥VO的母线长为l，轴截面VAB的顶角∠AVB＝150°，则过此圆锥的顶点作该圆锥的任意截面VCD，则△VCD面积的最大值是________，此时∠VCD＝________.
答案　l2　45°
解析　过此圆锥的顶点作该圆锥的任意截面VCD，则△VCD面积取最大值时是等腰直角三角形，此时S△VCD＝·l2·sin 90°＝l2，此时∠VCD＝45°.
思维升华　(1)作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线．
(2)作交线的方法有如下两种：①利用基本事实3作交线；
②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线．
跟踪训练3　(1)(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和C1C上(异于端点)，则过三点A，F，E的平面被正方体截得的图形(截面)可能是(　　)
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形
答案　ABD
解析　当BE＝CF时，截面是矩形；当2BE＝CF时，截面是菱形；
当BE>CF时，截面是梯形；截面不可能是正方形．
(2)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中点，平面α经过直线BD且与直线C1E平行，若正方体的棱长为2，则平面α截正方体所得的多边形的面积为________．
答案　
解析　如图，过点B作BM∥C1E交B1C1于点M，过点M作BD的平行线，交C1D1于点N，连接DN，则平面BDNM即为符合条件的平面α，
由图可知M，N分别为B1C1，C1D1的中点，
故BD＝2，MN＝，
且BM＝DN＝，
设等腰梯形MNDB的高为h，
则h＝＝，
∴梯形MNDB的面积为
×(＋2)×＝.
课时精练
1．若直线上有两个点在平面外，则(　　)
A．直线上至少有一个点在平面内
B．直线上有无穷多个点在平面内
C．直线上所有点都在平面外
D．直线上至多有一个点在平面内
答案　D
解析　根据题意，两点确定一条直线，那么由于直线上有两个点在平面外，则直线在平面外，只能是直线与平面相交，或者直线与平面平行，那么可知直线上至多有一个点在平面内．
2．(多选)如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点共面的图形是(　　)
答案　ABC
解析　在A中分别连接PS，QR，易证PS∥QR，所以P，Q，R，S四点共面；在B中过点P，Q，R，S可作一正六边形，故四点共面；在C中分别连接PQ，RS，易证PQ∥RS，所以P，Q，R，S共面；在D中PS与QR为异面直线，所以四点不共面．
3．已知α，β，γ是平面，a，b，c是直线，α∩β＝a，β∩γ＝b，γ∩α＝c，若a∩b＝P，则(　　)
A．P∈c B．P c
C．c∩a＝ D．c∩β＝
答案　A
解析　如图，因为a∩b＝P，所以P∈a，P∈b，
因为α∩β＝a，β∩γ＝b，所以P∈α，P∈γ，而γ∩α＝c，
所以P∈c.
4．在底面半径为1的圆柱OO1中，过旋转轴OO1作圆柱的轴截面ABCD，其中母线AB＝2，E是的中点，F是AB的中点，则(　　)
A．AE＝CF，AC与EF是共面直线
B．AE≠CF，AC与EF是共面直线
C．AE＝CF，AC与EF是异面直线
D．AE≠CF，AC与EF是异面直线
答案　D
解析　如图，由题意知，圆柱的轴截面ABCD为边长为2的正方形，E是的中点，F是AB的中点，
AC 平面ABC，EF与平面ABC相交，且与AC无交点，
所以AC与EF是异面直线，故A，B错误；
又CF＝＝，AE＝＝，所以AE≠CF，故C错误．
5．(多选)用一个平面截正方体，截面可能出现的形状是(　　)
A．等边三角形 B．直角梯形
C．菱形 D．五边形
答案　ACD
解析　如图，用一个平面截正方体，结合选项知截面可能出现的形状是等边三角形，菱形，五边形．
6．(2021·全国乙卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　方法一　如图，连接C1P，因为ABCD－A1B1C1D1是正方体，且P为B1D1的中点，所以C1P⊥B1D1，又C1P⊥BB1，所以C1P⊥平面B1BP.又BP 平面B1BP，所以C1P⊥BP.连接BC1，则AD1∥BC1，所以∠PBC1为直线PB与AD1所成的角．设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则在Rt△C1PB中，C1P＝B1D1＝，BC1＝2，sin∠PBC1＝＝，所以∠PBC1＝.
方法二　以B1为坐标原点，B1C1，B1A1，B1B所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则B(0,0,2)，P(1,1,0)，D1(2,2,0)，A(0,2,2)，＝(－1，－1,2)，＝(2,0，－2)．设直线PB与AD1所成的角为θ，则cos θ＝＝＝.因为θ∈，所以θ＝.
方法三　如图所示，连接BC1，A1B，A1P，PC1，则易知AD1∥BC1，所以直线PB与AD1所成的角等于直线PB与BC1所成的角．根据P为正方形A1B1C1D1的对角线B1D1的中点，易知A1，P，C1三点共线，且P为A1C1的中点．易知A1B＝BC1＝A1C1，所以△A1BC1为等边三角形，所以∠A1BC1＝，又P为A1C1的中点，所以可得∠PBC1＝∠A1BC1＝.
7. 如图为正方体表面的一种展开图，则图中的AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的有________对．
答案　3
解析　画出该正方体的直观图如图所示，易知异面直线有(AB，GH)，(AB，CD)，(GH，EF)．故共有3对．
8. 如图是某机械零件的几何结构，该几何体是由两个相同的直四棱柱组合而成的，且前后、左右、上下均对称，每个四棱柱的底面都是边长为2的正方形，高为4，且两个四棱柱的侧棱互相垂直．则这两个四棱柱的表面相交的交线段总长度为________．
答案　8
解析　由题可知，这两个四棱柱的表面相交的交线段由8条长度相等的线段构成，
如图所示，选取一个侧面进行分析，其中AC，AB均为交线段，且AC＝AB，BC为底面的对角线长，D为BC的中点，
∴AD＝2，CD＝BC＝×2＝，
∴AC＝＝＝，
∴所求的交线段总长度为8×＝8.
9. 如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.
(1)求证：E，F，G，H四点共面；
(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线．
证明　(1)因为E，F分别为AB，AD的中点，
所以EF∥BD.
在△BCD中，＝＝，
所以GH∥BD，
所以EF∥GH.
所以E，F，G，H四点共面．
(2)因为EG∩FH＝P，P∈EG，EG 平面ABC，
所以P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.
所以P为平面ABC与平面ADC的公共点．
又平面ABC∩平面ADC＝AC，
所以P∈AC，
所以P，A，C三点共线．
10. 如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已知∠BAC＝，AB＝2，AC＝2，PA＝2.求：
(1)三棱锥P－ABC的体积；
(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值．
解　(1)S△ABC＝×2×2＝2，
三棱锥P－ABC的体积V＝S△ABC·PA＝×2×2＝.
(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，
则ED∥BC，
所以∠ADE是异面直线BC与AD所成的角(或其补角)．
在△ADE中，DE＝2，AE＝，AD＝2，
cos∠ADE＝＝＝.
故异面直线BC与AD所成角的余弦值为.
11．(多选)(2023·朝阳模拟)在三棱锥A－BCD中，AB＝CD＝，AD＝BC＝AC＝BD＝，则(　　)
A．AB⊥CD
B．三棱锥A－BCD的体积为
C．三棱锥A－BCD外接球半径为
D．异面直线AD与BC所成角的余弦值为
答案　ABD
解析　将三棱锥补形为长方体，如图所示．
其中BE＝BN＝1，BF＝2，
所以AB＝CD＝，AD＝BC＝AC＝BD＝，
连接MF，
则AM∥BF，AM＝BF，
所以四边形AMFB为平行四边形，
所以AB∥MF，
又四边形MCFD为正方形，
所以MF⊥CD，
所以AB⊥CD，故A正确；
长方体的体积V1＝1×1×2＝2，
三棱锥E－ABC的体积V2＝V三棱锥A－BEC＝××1×2×1＝，
同理，三棱锥N－ABD，三棱锥F－BCD，三棱锥M－ACD的体积也为，
所以三棱锥A－BCD的体积V＝2－4×＝，故B正确；
长方体的外接球的直径为＝，
所以长方体的外接球的半径为，
长方体的外接球也是三棱锥A－BCD的外接球，
所以三棱锥A－BCD外接球的半径为，故C错误；
连接MN，交AD于点O，
因为MN∥BC，
所以∠AOM(或其补角)为异面直线AD与BC所成的角，
由已知OA＝AD＝，
OM＝MN＝，AM＝2，
所以cos∠AOM＝＝－，
所以异面直线AD与BC所成角的余弦值为，故D正确．
12. 如图，E，F分别为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1，C1D1的中点，若AB＝6，则过A，E，F三点的截面的面积为(　　)
A．9
B．18
C.
D.
答案　C
解析　连接EF，作直线EF分别与直线DC，DD1的延长线相交于点P，Q，
连接AP交BC于点M，连接AQ交A1D1于点N，连接NF，ME.
则五边形AMEFN即为过A，E，F三点的截面，如图所示．
由题意知AP＝AQ＝3，PQ＝9，
∴S△APQ＝，
又ME∥AQ，且＝，
∴S△MPE＝S△QNF＝S△APQ，
∴S五边形AMEFN＝S△APQ＝.
13．(2022·南阳模拟)如图，AB和CD是异面直线，AB＝CD＝3，E，F分别为线段AD，BC上的点，且＝＝，EF＝，则AB与CD所成角的大小为________．
答案　60°
解析　在平面ABD中，过E作EG∥AB，交DB于点G，连接GF，如图，
∵＝，∴＝，
又＝，∴＝，
则GF∥CD，
∴∠EGF(或其补角)即为AB与CD所成角，
在△EGF中，EG＝AB＝2，GF＝CD＝1，EF＝，
∴cos∠EGF＝＝－，
∴∠EGF＝120°，
∴AB与CD所成角的大小为60°.
14．已知三棱锥P－ABC的四个顶点都在球O的表面上，PA⊥平面ABC，PA＝6，AB＝2，AC＝2，BC＝4，则：
(1)球O的表面积为________；
(2)若D是BC的中点，过点D作球O的截面，则截面面积的最小值是________．
答案　(1)52π　(2)4π
解析　(1)由题意，根据勾股定理可得AC⊥AB，则可将三棱锥P－ABC放入以AP，AC，AB为长方体的长，宽，高的长方体中，则体对角线为外接球直径，设外接球半径为r，即2r＝＝2，则r＝，所以球O的表面积为4πr2＝4π×()2＝52π.
(2)由题意，得△ABC为直角三角形，所以D为底面ABC的外接圆圆心，当DO⊥截面时，截面面积最小，即截面为平面ABC的外接圆，半径为2，故截面面积的最小值为π×22＝4π.
15．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3，点P在棱AD上，过点P作该正方体的截面，当截面平行于平面B1D1C且该截面的面积为时，线段AP的长度为(　　)
A. B．1 C. D.
答案　D
解析　如图，连接BD，A1D，过点P作BD，A1D的平行线，分别交棱AB，AA1于点Q，R，连接QR，因为BD∥B1D1，所以PQ∥B1D1，因为B1D1 平面B1D1C，PQ 平面B1D1C，所以PQ∥平面B1D1C，
因为A1D∥B1C，所以PR∥B1C，因为B1C 平面B1D1C，PR 平面B1D1C，所以PR∥平面B1D1C，
又PQ∩PR＝P，PQ，PR 平面PQR，所以平面 PQR∥平面B1D1C，则△PQR为截面，
易知△PQR是等边三角形，则S△PQR＝PQ2·＝，解得PQ＝2，所以AP＝PQ＝.
16. 如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AD⊥DC，AB∥DC，AB＝2AD＝2CD＝2，点E是PB的中点．
(1)线段PA上是否存在一点G，使得点D，C，E，G共面？若存在，请证明，若不存在，请说明理由；
(2)若PC＝2，求三棱锥P－ACE的体积．
解　(1)存在．当G为PA的中点时满足条件．
如图，连接GE，GD，则GE是△PAB的中位线，
所以GE∥AB.
又AB∥DC，
所以GE∥DC，
所以G，E，C，D四点共面．
(2)因为E是PB的中点，
所以VP－ACE＝VB－ACE＝VP－ACB.
因为AD⊥DC，AB∥DC，
所以AC＝，CB＝，
故由题易知AC⊥BC，
所以S△ABC＝AC·BC＝××＝1，
VP－ACB＝PC·S△ABC＝，
所以VP－ACE＝.§7.3　空间点、直线、平面之间的位置关系
考试要求　1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.2.了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题．
知识梳理
1．基本事实1：过________________的三个点，有且只有一个平面．
基本事实2：如果一条直线上的____________在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有________过该点的公共直线．
基本事实4：平行于同一条直线的两条直线________．
2．“三个”推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条________直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条________直线，有且只有一个平面．
3．空间中直线与直线的位置关系
4．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
图形语言 符号语言 公共点
直线与平面 相交 ____个
平行 ____个
在平面内 ____个
平面与平面 平行 ____个
相交 ____个
5.等角定理
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角________________．
6．异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
(2)范围：________.
常用结论
1．过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．
2．分别在两个平行平面内的直线平行或异面．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)没有公共点的两条直线是异面直线．(　　)
(2)直线与平面的位置关系有平行、垂直两种．(　　)
(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．(　　)
(4)两两相交的三条直线共面．(　　)
教材改编题
1．(多选)如图是某正方体的平面展开图，则在这个正方体中，下列说法正确的是(　　)
A．BM与ED平行
B．CN与BM成60°角
C．CN与BE是异面直线
D．DM与BN是异面直线
2．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b(　　)
A．一定是异面直线
B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线
D．不可能是相交直线
3.如图，在三棱锥A－BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则
(1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；
(2)当AC，BD满足条件________________时，四边形EFGH为正方形．
题型一　基本事实的应用
例1 已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.
求证：(1)D，B，F，E四点共面；
(2)若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线；
(3)DE，BF，CC1三线交于一点．
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
思维升华 共面、共线、共点问题的证明
(1)共面：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．
(2)共线：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．
(3)共点：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
跟踪训练1 (1)如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且A，B，C l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必经过(　　)
A．点A
B．点B
C．点C但不过点M
D．点C和点M
(2)如图所示，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD且BC＝AD，BE∥AF且BE＝AF，G，H分别为FA，FD的中点．
①证明：四边形BCHG是平行四边形；
②C，D，F，E四点是否共面？为什么？
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
题型二　空间位置关系的判断
命题点1　空间位置关系的判断
例2 (1)(多选)下列推断中，正确的是(　　)
A．M∈α，M∈β，α∩β＝l M∈l
B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β α∩β＝AB
C．l α，A∈l A α
D．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线 α，β重合
(2)(2023·龙岩模拟)若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是(　　)
A．异面或平行 B．异面或相交
C．异面 D．相交、平行或异面
听课记录：______________________________________________________________
________________________________________________________________________
命题点2　异面直线所成的角
例3 (1)如图，圆柱的轴截面ABCD为正方形，E为弧BC的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为(　　)
A. B.
C. D.
(2)(2022·长春模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分别为BC，A1B1的中点，则异面直线PQ与A1C1所成角的正弦值为(　　)
A. B. C. D.
听课记录：______________________________________________________________
________________________________________________________________________
思维升华 (1)点、直线、平面位置关系的判定，注意构造几何体(长方体、正方体)模型来判断，常借助正方体为模型．
(2)求异面直线所成角的方法
方法 解读
平移法 将异面直线中的某一条平移，使其与另一条相交，一般采用图中已有的平行线或者作平行线， 形成三角形求解
补形法 在该几何体的某侧补接上同样一个几何体，在这两个几何体中找异面直线相应的位置，形成三角形求解
跟踪训练2 (1)(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，以下四个选项正确的是(　　)
A．直线AM与CC1是相交直线
B．直线AM与BN是平行直线
C．直线BN与MB1是异面直线
D．直线AM与DD1是异面直线
(2)(2023·莆田模拟)若正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1底面边长为1，高为，则直线AE1和EF所成的角大小为(　　)
A. B. C. D.
(3)平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为(　　)
A. B. C. D.
题型三　空间几何体的切割(截面)问题
例4 (1)正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q，E，F分别是AB，AD，B1C1，C1D1的中点，则正方体过P，Q，E，F的截面图形的形状是(　　)
A．正方形 B．平行四边形
C．正五边形 D．正六边形
(2)如图，圆锥VO的母线长为l，轴截面VAB的顶角∠AVB＝150°，则过此圆锥的顶点作该圆锥的任意截面VCD，则△VCD面积的最大值是________，此时∠VCD＝________.
听课记录：______________________________________________________________
________________________________________________________________________
思维升华 (1)作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线．
(2)作交线的方法有如下两种：①利用基本事实3作交线；
②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线．
跟踪训练3 (1)(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和C1C上(异于端点)，则过三点A，F，E的平面被正方体截得的图形(截面)可能是(　　)
A．矩形 B．菱形
C．正方形 D．梯形
(2)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中点，平面α经过直线BD且与直线C1E平行，若正方体的棱长为2，则平面α截正方体所得的多边形的面积为________．

展开更多......

收起↑