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(共107张PPT)
§7.6　空间向量的
　　　概念与运算
第七章　立体几何与空间向量
1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正
交分解及其坐标表示.
2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，
能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.
3.理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量方法证明立体几何中有关线面
位置关系的一些简单定理.
考试要求
内容索引
第一部分
第二部分
第三部分
落实主干知识
探究核心题型
课时精练
落实主干知识
第
一
部
分
名称 定义
空间向量 在空间中，具有______和_____的量
相等向量 方向_____且模_____的向量
相反向量 长度_____而方向_____的向量
共线向量(或平行向量) 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相_____或______的向量
共面向量 平行于___________的向量
1.空间向量的有关概念
大小
方向
相同
相等
相等
相反
平行
重合
同一个平面
2.空间向量的有关定理
(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使_______.
(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在______的有序实数对(x，y)，使p＝________.
(3)空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝__________，{a，b，c}叫做空间的一个基底.
a＝λb
唯一
xa＋yb
xa＋yb＋zc
3.空间向量的数量积及运算律
(1)数量积
非零向量a，b的数量积a·b＝_______________.
(2)空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
|a||b|cos〈a，b〉
向量表示 坐标表示
数量积 a·b _________________
共线 a＝λb(b≠0，λ∈R) ________________________
垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) __________________
模 |a| ____________
夹角余弦值 cos〈a，b〉＝ (a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝
________________________
a1b1＋a2b2＋a3b3
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
4.空间位置关系的向量表示
(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量.
(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a为平面α的法向量.
(3)空间位置关系的向量表示
位置关系 向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2 n1＝λn2(λ∈R)
l1⊥l2 n1⊥n2 n1·n2＝0
直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m，l α l∥α n⊥m n·m＝0
l⊥α n∥m n＝λm(λ∈R)
平面α，β的法向量分别为n，m α∥β n∥m n＝λm(λ∈R)
α⊥β n⊥m n·m＝0
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)空间中任意两个非零向量a，b共面.(　 　)
(2)空间中模相等的两个向量方向相同或相反.(　 　)
(3)若A，B，C，D是空间中任意四点，则有 ＝0.(　 　)
(4)若直线a的方向向量和平面α的法向量平行，则a∥α.(　 　)
×
×
√
√
√
A.相交 B.平行
C.垂直 D.不能确定
√
3.设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，则m＝____.
10
∵l1⊥l2，∴a⊥b，
∴a·b＝－6－4＋m＝0，∴m＝10.
探究核心题型
第
二部
分
题型一
空间向量的线性运算
A.(2,3,3) B.(－2，－3，－3)
C.(5，－2,1) D.(－5,2，－1)
√
因为点E，F分别为线段BC，AD的中点，设O为坐标原点，
√
用已知向量表示某一向量的三个关键点
(1)要结合图形，以图形为指导是解题的关键.
(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.
(3)在立体几何中，三角形法则、平行四边形法则仍然成立.
思维升华
A.(0,3，－6) B.(0,6，－20)
C.(0,6，－6) D.(6,6，－6)
√
(2)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点.
例2　(1)下列命题正确的是
A.若a与b共线，b与c共线，则a与c共线
B.向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面
C.若空间向量a，b，c不共面，则a，b，c都不为0
D.若a，b，c共面，则存在唯一的实数对(x，y)，使得a＝xb＋yc
题型二
空间向量基本定理及其应用
√
若b＝0，则满足a与b共线，b与c共线，但是a与c不一定共线，故A错误；
因为向量是可以移动的量，所以向量a，b，c共面，但它们所在的直线不一定共面，故B错误；
假设a，b，c至少有一个为0，则空间向量a，b，c共面，故假设不成立，故C正确；
假设b＝0，若a, c共线，则存在无数个实数对(x，y)，使得a＝xb＋yc，若a, c不共线，则不存在实数对(x，y)，使得a＝xb＋yc，故D错误.
(2)(多选)下列说法中正确的是
A.|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件
√
√
由|a|－|b|＝|a＋b|，可知向量a，b的方向相反，此时向量a，b共线，反之，当向量a，b同向时，不能得到|a|－|b|＝|a＋b|，所以A不正确；
可得P，A，B，C四点共面，所以C正确；
所以A，B，C三点共线，反之也成立，即λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件，所以D正确.
应用共线(面)向量定理、证明点共线(面)的方法比较
三点(P，A，B)共线 空间四点(M，P，A，B)共面
对空间任一点O， 对空间任一点O，
对空间任一点O， 对空间任一点O，
A.2 B.－2
C.1 D.－1
√
由A，B，C，D四点共面，且其中任意三点均不共线，
可得6－3＋λ＝1，解得λ＝－2.
√
例3　(1)(2022·长春模拟)已知a＝(－1,3,1)，b＝(2,0，－4)，c＝(3，－2,3)，则a·(b＋c)＝________.
题型三
空间向量数量积及其应用
－12
因为b＋c＝(5，－2，－1)，
所以a·(b＋c)＝－1×5＋3×(－2)＋1×(－1)＝－12.
(2)如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.
①求线段AC1的长；
则|a|＝|b|＝1，|c|＝2，a·b＝0，
c·a＝c·b＝2×1×cos 120°＝－1.
②求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值；
＝a·b－a·c＋b2－c2
＝0＋1＋1－4＝－2，
设异面直线AC1与A1D所成的角为θ，
③求证：AA1⊥BD.
所以AA1⊥BD.
空间向量的数量积运算有两条途径，一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算.
√
∵P－ABC为正三棱锥，O为△ABC的中心，
∴PO⊥平面ABC，
(2)(2022·营口模拟)已知A(－1,2,1)，B(－1,5,4)，C(1,3,4).
因为A(－1,2,1)，B(－1,5,4)，C(1,3,4)，
例4　如图所示，在长方体ABCD －A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点.
题型四
向量法证明平行、垂直
(1)求证：B1E⊥AD1；
(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由.
存在满足要求的点P，
假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)，
设平面B1AE的法向量为n＝(x，y，z).
(1)利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及到直线、平面的要素).
(2)向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理.
跟踪训练4　如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点.
(1)求证：平面A1B1D⊥平面ABD；
以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,0,0)，D(0,2,2)，B1(0,0,4)，E(0,0,3)，F(0,1,4).
即B1D⊥BA，B1D⊥BD.
又BA∩BD＝B，BA，BD 平面ABD，所以B1D⊥平面ABD.
因为B1D 平面A1B1D，所以平面A1B1D⊥平面ABD.
(2)求证：平面EGF∥平面ABD.
所以B1D⊥EG，B1D⊥EF.
因为EG∩EF＝E，EG，EF 平面EGF，所以B1D⊥平面EGF.
又由(1)知B1D⊥平面ABD，
所以平面EGF∥平面ABD.
又GF 平面ABD，AB 平面ABD，
所以GF∥平面ABD，同理EF∥平面ABD，
又GF∩EF＝F，GF，EF 平面EGF，
所以平面EGF∥平面ABD.
课时精练
第
三部
分
1.已知直线l的一个方向向量为m＝(x,2，－5)，平面α的一个法向量为n＝(3，－1,2)，若l∥α，则x等于
A.－6 B.6
C.－4 D.4
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√
基础保分练
若l∥α，则m⊥n，从而m·n＝0，
即3x－2－10＝0，解得x＝4.
2.(多选)下列关于空间向量的命题中，正确的有
A.若向量a，b与空间任意向量都不能构成基底，则a∥b
B.若非零向量a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则有a∥c
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对于A，若向量a，b与空间任意向量都不能构成基底，则a，b为共线向量，即a∥b，故A正确；
对于B，若非零向量a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则a与c不一定共线，故B错误；
可得A，B，C，D四点共面，故C正确；
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对于D，若向量a＋b，b＋c，c＋a是空间的一组基底，
则空间任意一个向量d存在唯一实数组(x，y，z),
使d＝x(a＋b)＋y(b＋c)＋z(c＋a)＝(x＋z)a＋(x＋y)b＋(y＋z)c，
则a，b，c也是空间的一组基底.
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由长方体的性质可知AD⊥AB，AD⊥BB1，AD∥BC，AD＝BC＝1，
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4.已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是
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同理可排除C，D；
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D.向量a在向量b上的投影向量为(6,0,8)
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6.(多选)(2023·浙江省文成中学模拟)已知空间向量a＝(2，－2,1)，b＝(3,0,4)，则下列说法正确的是
A.向量c＝(－8,5,6)与a，b垂直
B.向量d＝(1，－4，－2)与a，b共面
√
√
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对于A，a·c＝－16－10＋6≠0，b·c＝－24＋24＝0，
故a，c不垂直，故A错；
对于B，设d＝ma＋nb，
则m(2，－2,1)＋n(3,0,4)＝(1，－4，－2)，
即2a－b＝d，故B对；
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7.已知直线l的方向向量是m＝(1，a＋2b，a－1)(a，b∈R)，平面α的一个法向量是n＝(2,3,3).若l⊥α，则a＋b＝____.
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∵m＝(1，a＋2b，a－1)(a，b∈R)是直线l的方向向量，
n＝(2,3,3)是平面α的一个法向量，l⊥α，∴m∥n，
∴a＋b＝2.
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VA∥平面PMN
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又∵VA 平面PMN，∴VA∥平面PMN.
9.已知a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2).
(1)求|2a＋b|；
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2a＋b＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，
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10.如图，四棱锥P －ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点.求证：
(1)PB∥平面EFH；
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∵E，H分别是线段AP，AB的中点，∴PB∥EH.
∵PB 平面EFH，且EH 平面EFH，∴PB∥平面EFH.
(2)PD⊥平面AHF.
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建立如图所示的空间直角坐标系.
则A(0,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，F(0,1,1)，H(1,0,0).
∴PD⊥AF，PD⊥AH.
∵AH∩AF＝A，且AH，AF 平面AHF，∴PD⊥平面AHF.
11.(2022·全国乙卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则
A.平面B1EF⊥平面BDD1
B.平面B1EF⊥平面A1BD
C.平面B1EF∥平面A1AC
D.平面B1EF∥平面A1C1D
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综合提升练
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在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
AC⊥BD且DD1⊥平面ABCD，
又EF 平面ABCD，所以EF⊥DD1，
因为E，F分别为AB，BC的中点，
所以EF∥AC，所以EF⊥BD，
又BD∩DD1＝D，BD，DD1 平面BDD1，
所以EF⊥平面BDD1，
又EF 平面B1EF，
所以平面B1EF⊥平面BDD1，故A正确；
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如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，
设AB＝2，
则D(0,0,0)，B1(2,2,2)，
E(2,1,0)，F(1,2,0)，
B(2,2,0)，A1(2,0,2)，
A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，
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设平面B1EF的法向量为m＝(x1，y1，z1)，
可取m＝(2,2，－1)，
同理可得平面A1BD的一个法向量为n1＝(1，－1，－1)，
平面A1AC的一个法向量为n2＝(1,1,0)，
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平面A1C1D的一个法向量为n3＝(1,1，－1)，
则m·n1＝2－2＋1＝1≠0，
所以平面B1EF与平面A1BD不垂直，故B错误；
因为m与n2不平行，
所以平面B1EF与平面A1AC不平行，故C错误；
因为m与n3不平行，
所以平面B1EF与平面A1C1D不平行，故D错误.
12.(多选)(2023·梅州模拟)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝3，点M，N分别在棱AB和BB1上运动(不含端点).若D1M⊥MN，则下列命题正确的是
A.MN⊥A1M
B.MN⊥平面D1MC
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在正方体ABCD－A1B1C1D1中，以点D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，
则A1(3,0,3)，D1(0,0,3)，C(0,3,0)，B(3,3,0)，
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对于D选项，连接D1M，A1C1，MC1，不论点M如何移动，点M到平面A1D1C1的距离均为3，而 ，所以三棱锥C1－A1D1M体积为定值，即D正确.
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如图所示，取B1C1的中点P，连接MP，
因为底面边长为1，侧棱长为2，
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又因为AB1⊥MN，
解得λ＝15.
14.(2022·杭州模拟)在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别
为A1D1，BB1的中点，则cos∠EAF＝_____，EF＝_____.
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如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
∵正方体的棱长为1，
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拓展冲刺练
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由题意，以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则D(0,4,0)，E(4,0,2)，C(4,4,0)，P(0,0,4)，A(0,0,0)，B(4,0,0)，
则(t,0,0)＝(4λ，0,0)，∴t＝4λ，∴F(4λ，0,0)，
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设平面DEF的法向量为n＝(x，y，z)，
取x＝1，得n＝(1，λ，2λ－2)，
设平面PCE的法向量为m＝(a，b，c)，
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∵平面DEF⊥平面PCE，
16.如图，在三棱锥P－ABC 中，AB＝AC，D 为BC 的中点，PO⊥ 平面ABC，垂足O 落在线段AD 上.已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.
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(1)证明：AP⊥BC；
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以O 为坐标原点，OD，OP 所在直线分别为y 轴、z 轴，过点O 且垂直于平面DOP 的直线为x 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.
则O(0,0,0)，A(0，－3,0)，B(4,2,0)，C(－4,2,0)，P(0,0,4).
(2)若点M 是线段AP 上一点，且AM＝3.证明：平面AMC⊥ 平面BMC.
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又AM＝3，且点M 在线段AP 上，
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又根据(1)的结论知AP⊥BC，且BC∩BM＝B，
所以AP⊥平面BMC，
所以AM⊥平面BMC.
又AM 平面AMC，
故平面AMC⊥平面BMC.§7.6　空间向量的概念与运算
考试要求　1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.3.理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理．
知识梳理
1．空间向量的有关概念
名称 定义
空间向量 在空间中，具有大小和方向的量
相等向量 方向相同且模相等的向量
相反向量 长度相等而方向相反的向量
共线向量(或平行向量) 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量
共面向量 平行于同一个平面的向量
2.空间向量的有关定理
(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
(3)空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底．
3．空间向量的数量积及运算律
(1)数量积
非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
向量表示 坐标表示
数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3
共线 a＝λb(b≠0，λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模 |a|
夹角余弦值 cos〈a，b〉＝(a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝
4.空间位置关系的向量表示
(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量．
(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a为平面α的法向量．
(3)空间位置关系的向量表示
位置关系 向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2 n1＝λn2(λ∈R)
l1⊥l2 n1⊥n2 n1·n2＝0
直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m，l α l∥α n⊥m n·m＝0
l⊥α n∥m n＝λm(λ∈R)
平面α，β的法向量分别为n，m α∥β n∥m n＝λm(λ∈R)
α⊥β n⊥m n·m＝0
常用结论
1．三点共线：在平面中A，B，C三点共线 ＝x＋y(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点．
2．四点共面：在空间中P，A，B，C四点共面 ＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中任意一点．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)空间中任意两个非零向量a，b共面．(　√　)
(2)空间中模相等的两个向量方向相同或相反．(　×　)
(3)若A，B，C，D是空间中任意四点，则有＋＋＋＝0.(　√　)
(4)若直线a的方向向量和平面α的法向量平行，则a∥α.(　×　)
教材改编题
1. 如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AC与BD的交点为点M，设＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　)
A．－a＋b＋c B.a＋b＋c
C．－a－b－c D．－a－b＋c
答案　C
解析　＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝－a－b－c.
2. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　)
A．相交 B．平行
C．垂直 D．不能确定
答案　B
解析　分别以C1B1，C1D1，C1C所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．因为A1M＝AN＝，所以M，N，所以＝，
又C1(0,0,0)，D1(0，a,0)，所以＝(0，a,0)，所以·＝0，所以⊥.
因为是平面BB1C1C的一个法向量，且MN 平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C.
3．设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，则m＝________.
答案　10
解析　∵l1⊥l2，∴a⊥b，
∴a·b＝－6－4＋m＝0，∴m＝10.
题型一　空间向量的线性运算
例1　(1)在空间四边形ABCD中，＝(－3,5,2)，＝(－7，－1，－4)，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为(　　)
A．(2,3,3) B．(－2，－3，－3)
C．(5，－2,1) D．(－5,2，－1)
答案　B
解析　因为点E，F分别为线段BC，AD的中点，设O为坐标原点，
所以＝－，＝(＋)，＝(＋)．
所以＝(＋)－(＋)＝(＋)＝×[(3，－5，－2)＋(－7，－1，－4)]
＝×(－4，－6，－6)＝(－2，－3，－3)．
(2)(2023·北京日坛中学模拟)在三棱柱A1B1C1－ABC中，D是四边形BB1C1C的中心，且＝a，＝b，＝c，则等于(　　)
A.a＋b＋c
B.a－b＋c
C.a＋b－c
D．－a＋b＋c
答案　D
解析　＝＋＋
＝－＋＋(＋)
＝－＋＋＋(－)
＝－＋＋
＝－a＋b＋c.
思维升华　用已知向量表示某一向量的三个关键点
(1)要结合图形，以图形为指导是解题的关键．
(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．
(3)在立体几何中，三角形法则、平行四边形法则仍然成立．
跟踪训练1　(1)已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝x－2a，则x等于(　　)
A．(0,3，－6) B．(0,6，－20)
C．(0,6，－6) D．(6,6，－6)
答案　B
解析　由b＝x－2a，得x＝4a＋2b＝(8,12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0,6，－20)．
(2)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．
①化简－－＝________；
②用，，表示，则＝________.
答案　①　②＋＋
解析　①－－＝－(＋)＝－＝＋＝.
②因为＝＝(＋)．
所以＝＋＝(＋)＋＝＋＋.
题型二　空间向量基本定理及其应用
例2　(1)下列命题正确的是(　　)
A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线
B．向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面
C．若空间向量a，b，c不共面，则a，b，c都不为0
D．若a，b，c共面，则存在唯一的实数对(x，y)，使得a＝xb＋yc
答案　C
解析　若b＝0，则满足a与b共线，b与c共线，但是a与c不一定共线，故A错误；
因为向量是可以移动的量，所以向量a，b，c共面，但它们所在的直线不一定共面，故B错误；
假设a，b，c至少有一个为0，则空间向量a，b，c共面，故假设不成立，故C正确；
假设b＝0，若a, c共线，则存在无数个实数对(x，y)，使得a＝xb＋yc，若a, c不共线，则不存在实数对(x，y)，使得a＝xb＋yc，故D错误．
(2)(多选)下列说法中正确的是(　　)
A．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件
B．若，共线，则AB∥CD
C．A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若＝＋＋，则P，A，B，C四点共面
D．若P，A，B，C为空间四点，且有＝λ＋μ(，不共线)，则λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件
答案　CD
解析　由|a|－|b|＝|a＋b|，可知向量a，b的方向相反，此时向量a，b共线，反之，当向量a，b同向时，不能得到|a|－|b|＝|a＋b|，所以A不正确；
若，共线，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，所以B不正确；
由A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若＝＋＋，因为＋＋＝1，
可得P，A，B，C四点共面，所以C正确；
若P，A，B，C为空间四点，且有＝λ＋μ(，不共线)，
当λ＋μ＝1时，即μ＝1－λ，可得－＝λ(－)，即＝λ，
所以A，B，C三点共线，反之也成立，即λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件，所以D正确．
思维升华 应用共线(面)向量定理、证明点共线(面)的方法比较
三点(P，A，B)共线 空间四点(M，P，A，B)共面
＝λ ＝x＋y
对空间任一点O，＝＋t 对空间任一点O，＝＋x＋y
对空间任一点O，＝x＋(1－x) 对空间任一点O，＝x＋y＋(1－x－y)
跟踪训练2 (1)已知空间中A，B，C，D四点共面，且其中任意三点均不共线，设P为空间中任意一点，若＝6－4＋λ，则λ等于(　　)
A．2 B．－2 C．1 D．－1
答案　B
解析　＝6－4＋λ，即－＝6－4＋λ，
整理得＝6－3＋λ，
由A，B，C，D四点共面，且其中任意三点均不共线，
可得6－3＋λ＝1，解得λ＝－2.
(2)(2023·金华模拟)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，且满足＝x＋y＋(1－x－y)，则||的最小值是(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　因为＝x＋y＋(1－x－y)，由空间向量的共面定理可知，点E，A，C，D1四点共面，即点E在平面ACD1上，所以||的最小值即为点D到平面ACD1的距离d，由正方体的棱长为1，可得△ACD1是边长为的等边三角形，则＝×()2×sin ＝，S△ACD＝×1×1＝，由等体积法得，所以××d＝××1，解得d＝，所以||的最小值为.
题型三　空间向量数量积及其应用
例3　(1)(2022·长春模拟)已知a＝(－1,3,1)，b＝(2,0，－4)，c＝(3，－2,3)，则a·(b＋c)＝________.
答案　－12
解析　因为b＋c＝(5，－2，－1)，
所以a·(b＋c)＝－1×5＋3×(－2)＋1×(－1)＝－12.
(2)如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.
①求线段AC1的长；
②求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值；
③求证：AA1⊥BD.
①解　设＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|b|＝1，|c|＝2，a·b＝0，
c·a＝c·b＝2×1×cos 120°＝－1.
因为＝＋＋＝a＋b＋c，
所以||＝|a＋b＋c|＝
＝
＝＝，
所以线段AC1的长为.
②解　因为＝a＋b＋c，＝b－c，
所以·＝(a＋b＋c)·(b－c)
＝a·b－a·c＋b2－c2
＝0＋1＋1－4＝－2，
||＝|b－c|＝
＝
＝＝，
设异面直线AC1与A1D所成的角为θ，
则cos θ＝|cos〈，〉|＝
＝＝，
即异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为.
③证明　由①知＝c，＝b－a，
所以·＝c·(b－a)＝c·b－c·a＝－1＋1＝0，
即·＝0，
所以AA1⊥BD.
思维升华　空间向量的数量积运算有两条途径，一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算．
跟踪训练3　(1)(2023·益阳模拟)在正三棱锥P－ABC中，O是△ABC的中心，PA＝AB＝2，则·等于(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　∵P－ABC为正三棱锥，O为△ABC的中心，
∴PO⊥平面ABC，
∴PO⊥AO，∴·＝0，
||＝·||·sin 60°＝，
故·＝·(＋)＝||2＝||2－||2＝4－＝.
(2)(2022·营口模拟)已知A(－1,2,1)，B(－1,5,4)，C(1,3,4)．
①求〈，〉；
②求在上的投影向量．
解　①因为A(－1,2,1)，B(－1,5,4)，C(1,3,4)，
所以＝(0,3,3)，＝(2，－2,0)．
因为·＝0×2＋3×(－2)＋3×0＝－6，
||＝3，||＝2，
所以cos〈，〉＝＝＝－，
故〈，〉＝.
②因为＝(2,1,3)，＝(0,3,3)，
所以·＝0＋1×3＋3×3＝12.
因为||＝3，||＝，
所以cos〈，〉＝＝＝，
所以在上的投影向量为||cos〈，〉＝××＝＝(0,2,2)．
题型四　向量法证明平行、垂直
例4 如图所示，在长方体ABCD －A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点．
(1)求证：B1E⊥AD1；
(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．
(1)证明　以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．设AB＝a，
则A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E，B1(a,0,1)．
故＝(0,1,1)，＝.
因为·＝－×0＋1×1＋(－1)×1＝0，
所以⊥，即B1E⊥AD1.
(2)解　存在满足要求的点P，
假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)，
使得DP∥平面B1AE，此时＝(0，－1，z0)，
设平面B1AE的法向量为n＝(x，y，z)．
＝(a,0,1)，＝.
因为n⊥平面B1AE，所以n⊥，n⊥，
得
取x＝1，则y＝－，z＝－a，
故n＝.
要使DP∥平面B1AE，只需n⊥，
则－az0＝0，解得z0＝.
所以存在点P，满足DP∥平面B1AE，此时AP＝.
思维升华　(1)利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及到直线、平面的要素)．
(2)向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理．
跟踪训练4　如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点．
(1)求证：平面A1B1D⊥平面ABD；
(2)求证：平面EGF∥平面ABD.
证明　以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,0,0)，D(0,2,2)，B1(0,0,4)，E(0,0,3)，F(0,1,4)．
设BA＝a，则A(a,0,0)，G.
(1)因为＝(a,0,0)，＝(0,2,2)，＝(0,2，－2)，
所以·＝0，·＝0.
所以⊥，⊥，
即B1D⊥BA，B1D⊥BD.
又BA∩BD＝B，BA，BD 平面ABD，所以B1D⊥平面ABD.
因为B1D 平面A1B1D，所以平面A1B1D⊥平面ABD.
(2)方法一　因为＝，＝(0,1,1)，＝(0,2，－2)，
所以·＝0，·＝0.
所以B1D⊥EG，B1D⊥EF.
因为EG∩EF＝E，EG，EF 平面EGF，所以B1D⊥平面EGF.
又由(1)知B1D⊥平面ABD，
所以平面EGF∥平面ABD.
方法二　因为＝，
所以＝－，∴GF∥BA，
又GF 平面ABD，AB 平面ABD，
所以GF∥平面ABD，同理EF∥平面ABD，
又GF∩EF＝F，GF，EF 平面EGF，
所以平面EGF∥平面ABD.
课时精练
1．已知直线l的一个方向向量为m＝(x,2，－5)，平面α的一个法向量为n＝(3，－1,2)，若l∥α，则x等于(　　)
A．－6 B．6 C．－4 D．4
答案　D
解析　若l∥α，则m⊥n，从而m·n＝0，
即3x－2－10＝0，解得x＝4.
2．(多选)下列关于空间向量的命题中，正确的有(　　)
A．若向量a，b与空间任意向量都不能构成基底，则a∥b
B．若非零向量a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则有a∥c
C．若，，是空间的一组基底，且＝＋＋，则A，B，C，D四点共面
D．若向量a＋b，b＋c，c＋a是空间的一组基底，则a，b，c也是空间的一组基底
答案　ACD
解析　对于A，若向量a，b与空间任意向量都不能构成基底，则a，b为共线向量，即a∥b，故A正确；
对于B，若非零向量a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则a与c不一定共线，故B错误；
对于C，若，，是空间的一组基底，且＝＋＋，
则－＝(－)＋(－)，即＝＋，
可得A，B，C，D四点共面，故C正确；
对于D，若向量a＋b，b＋c，c＋a是空间的一组基底，
则空间任意一个向量d存在唯一实数组(x，y，z),
使d＝x(a＋b)＋y(b＋c)＋z(c＋a)＝(x＋z)a＋(x＋y)b＋(y＋z)c，
则a，b，c也是空间的一组基底．
3. 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，设AD＝1，则·等于(　　)
A．1 B．2
C．3 D.
答案　A
解析　由长方体的性质可知AD⊥AB，AD⊥BB1，AD∥BC，AD＝BC＝1，
＝＋＋，所以·＝(＋＋)·＝·＋·＋·＝0＋2＋0＝1.
4．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是(　　)
A．(1，－1,1) B.
C. D.
答案　B
解析　对于选项A，＝(1,0,1)，·n ＝5，所以与n不垂直，排除A；同理可排除C，D；对于选项B，有＝，所以·n＝0，因此B项正确．
5. 如图在一个120°的二面角的棱上有两点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱AB垂直，若AB＝，AC＝1，BD＝2，则CD的长为(　　)
A．2 B．3 C．2 D．4
答案　B
解析　∵＝＋＋，
∴2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·，
∵⊥，⊥，∴·＝0，·＝0，
·＝||||cos(180°－120°)＝×1×2＝1.
∴2＝1＋2＋4＋2×1＝9，∴||＝3.
6．(多选)(2023·浙江省文成中学模拟)已知空间向量a＝(2，－2,1)，b＝(3,0,4)，则下列说法正确的是(　　)
A．向量c＝(－8,5,6)与a，b垂直
B．向量d＝(1，－4，－2)与a，b共面
C．若a与b分别是异面直线l1与l2的方向向量，则其所成角的余弦值为
D．向量a在向量b上的投影向量为(6,0,8)
答案　BC
解析　对于A，a·c＝－16－10＋6≠0，b·c＝－24＋24＝0，
故a，c不垂直，故A错；
对于B，设d＝ma＋nb，
则m(2，－2,1)＋n(3,0,4)＝(1，－4，－2)，
所以解得
即2a－b＝d，故B对；
对于C，因为cos〈a，b〉＝＝＝，
所以异面直线l1与l2所成角的余弦值为，故C对；
对于D，向量a在向量b上的投影向量为|a|cos〈a，b〉·＝3×××(3,0,4)＝，故D错．
7．已知直线l的方向向量是m＝(1，a＋2b，a－1)(a，b∈R)，平面α的一个法向量是n＝(2,3,3)．若l⊥α，则a＋b＝________.
答案　2
解析　∵m＝(1，a＋2b，a－1)(a，b∈R)是直线l的方向向量，
n＝(2,3,3)是平面α的一个法向量，l⊥α，∴m∥n，
∴＝＝，解得a＝，b＝－，
∴a＋b＝2.
8．已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA＝VB＝VC＝VD，＝，＝， ＝.则VA与平面PMN的位置关系是________．
答案　VA∥平面PMN
解析　如图，设＝a，＝b，＝c，则＝a＋c－b，
由题意知＝b－c，＝－＝a－b＋c.
因此＝＋，∴，，共面．
又∵VA 平面PMN，∴VA∥平面PMN.
9．已知a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)．
(1)求|2a＋b|；
(2)在直线AB上是否存在一点E，使得⊥b？(O为原点)
解　(1)2a＋b＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，
故|2a＋b|＝＝5.
(2)令＝t (t∈R)，＝(1，－1，－2)，
所以＝＋＝＋t＝(－3，－1,4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t,4－2t)，
若⊥b，则·b＝0，
所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝.
因此存在点E，使得⊥b，此时点E的坐标为.
10. 如图，四棱锥P －ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点．求证：
(1)PB∥平面EFH；
(2)PD⊥平面AHF.
证明　(1)∵E，H分别是线段AP，AB的中点，∴PB∥EH.
∵PB 平面EFH，且EH 平面EFH，∴PB∥平面EFH.
(2)建立如图所示的空间直角坐标系．
则A(0,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，F(0,1,1)，H(1,0,0)．
＝(0,2，－2)，＝(1,0,0)，＝(0,1,1)，
∴·＝0×0＋2×1＋(－2)×1＝0，
·＝0×1＋2×0＋(－2)×0＝0.
∴⊥，⊥，
∴PD⊥AF，PD⊥AH.
∵AH∩AF＝A，且AH，AF 平面AHF，∴PD⊥平面AHF.
11．(2022·全国乙卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则(　　)
A．平面B1EF⊥平面BDD1
B．平面B1EF⊥平面A1BD
C．平面B1EF∥平面A1AC
D．平面B1EF∥平面A1C1D
答案　A
解析　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
AC⊥BD且DD1⊥平面ABCD，
又EF 平面ABCD，
所以EF⊥DD1，
因为E，F分别为AB，BC的中点，
所以EF∥AC，所以EF⊥BD，
又BD∩DD1＝D，BD，DD1 平面BDD1，
所以EF⊥平面BDD1，
又EF 平面B1EF，
所以平面B1EF⊥平面BDD1，故A正确；
如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，
设AB＝2，
则D(0,0,0)，
B1(2,2,2)，
E(2,1,0)，F(1,2,0)，
B(2,2,0)，A1(2,0,2)，
A(2,0,0)，C(0,2,0)，
C1(0,2,2)，
则＝(－1,1,0)，＝(0,1,2)，
＝(2,2,0)，＝(2,0,2)，
＝(0,0,2)，＝(－2,2,0)，
＝(－2,2,0)．
设平面B1EF的法向量为m＝(x1，y1，z1)，
则有
可取m＝(2,2，－1)，
同理可得平面A1BD的一个法向量为n1＝(1，－1，－1)，
平面A1AC的一个法向量为n2＝(1,1,0)，
平面A1C1D的一个法向量为n3＝(1,1，－1)，
则m·n1＝2－2＋1＝1≠0，
所以平面B1EF与平面A1BD不垂直，故B错误；
因为m与n2不平行，
所以平面B1EF与平面A1AC不平行，故C错误；
因为m与n3不平行，
所以平面B1EF与平面A1C1D不平行，故D错误．
12．(多选)(2023·梅州模拟)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝3，点M，N分别在棱AB和BB1上运动(不含端点)．若D1M⊥MN，则下列命题正确的是(　　)
A．MN⊥A1M
B．MN⊥平面D1MC
C．线段BN长度的最大值为
D．三棱锥C1－A1D1M体积不变
答案　ACD
解析　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，以点D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，
则A1(3,0,3)，D1(0,0,3)，C(0,3,0)，B(3,3,0)，
设M(3，y,0)，N(3,3，z)，y，z∈(0,3)，＝(3，y，－3)，＝(0,3－y，z)，而D1M⊥MN，
则·＝y(3－y)－3z＝0，
即z＝y(3－y)．
对于A选项，连接A1M，＝(0，y，－3)，则·＝y(3－y)－3z＝0，则⊥，MN⊥A1M，A正确；
对于B选项，＝(3，y－3,0)，·＝(y－3)(3－y)＝－(3－y)2<0，即CM与MN不垂直，从而MN与平面D1MC不垂直，B不正确；
对于C选项，＝(0,0，z)，则线段BN长度||＝z＝≤，当且仅当y＝时等号成立，C正确；
对于D选项，连接D1M，A1C1，MC1，不论点M如何移动，点M到平面A1D1C1的距离均为3，而＝，所以三棱锥C1－A1D1M体积为定值，即D正确．
13．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱长为2，底面边长为1，M为BC的中点，＝λ，且AB1⊥MN，则λ的值为________．
答案　15
解析　如图所示，取B1C1的中点P，连接MP，
以，，的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，
因为底面边长为1，侧棱长为2，
则A，B1，C，C1，M(0,0,0)，
设N，
因为＝λ，
所以N，
所以＝，＝.
又因为AB1⊥MN，
所以·＝0，
所以－＋＝0，
解得λ＝15.
14．(2022·杭州模拟)在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为A1D1，BB1的中点，则cos∠EAF＝________，EF＝________.
答案　　
解析　如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
∵正方体的棱长为1，
则E，F，
∴＝，＝，
＝，
cos〈，〉＝＝＝，
∴cos∠EAF＝，
EF＝||＝＝.
15．已知梯形CEPD如图(1)所示，其中PD＝8，CE＝6，A为线段PD的中点，四边形ABCD为正方形，现沿AB进行折叠，使得平面PABE⊥平面ABCD，得到如图(2)所示的几何体．已知当点F满足＝λ(0＜λ＜1)时，平面DEF⊥平面PCE，则λ的值为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由题意，以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则D(0,4,0)，E(4,0,2)，C(4,4,0)，P(0,0,4)，A(0,0,0)，B(4,0,0)，
设F(t,0,0)，0则(t,0,0)＝(4λ，0,0)，∴t＝4λ，∴F(4λ，0,0)，
＝(4，－4,2)，＝(4λ，－4,0)，＝(4,4，－4)，＝(4,0，－2)，
设平面DEF的法向量为n＝(x，y，z)，
则
取x＝1，得n＝(1，λ，2λ－2)，
设平面PCE的法向量为m＝(a，b，c)，
则取a＝1，得m＝(1,1,2)，
∵平面DEF⊥平面PCE，
∴m·n＝1＋λ＋2(2λ－2)＝0，解得λ＝.
16. 如图，在三棱锥P－ABC 中，AB＝AC，D 为BC 的中点，PO⊥ 平面ABC，垂足O 落在线段AD 上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.
(1) 证明：AP⊥BC；
(2) 若点M 是线段AP 上一点，且AM＝3.证明：平面AMC⊥ 平面BMC.
证明　(1)以O 为坐标原点，OD，OP 所在直线分别为y 轴、z 轴，过点O 且垂直于平面DOP 的直线为x 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.
则O(0,0,0)，A(0，－3,0)，B(4,2,0)，C(－4,2,0)，P(0,0,4)．
于是＝(0,3,4)，＝(－8,0,0)，
所以·＝(0,3,4)·(－8,0,0)＝0，
所以⊥，
即AP⊥BC.
(2)由(1)知AP＝＝5，
又AM＝3，且点M 在线段AP 上，
所以＝＝，
又＝(－4，－5,0)，
所以＝＋＝，
则·＝(0,3,4)·＝0，
所以⊥，即AP⊥BM，
又根据(1)的结论知AP⊥BC，且BC∩BM＝B，
所以AP⊥平面BMC，
所以AM⊥平面BMC.
又AM 平面AMC，
故平面AMC⊥平面BMC.§7.6　空间向量的概念与运算
考试要求　1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.3.理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理．
知识梳理
1．空间向量的有关概念
名称 定义
空间向量 在空间中，具有__________和________的量
相等向量 方向________且模________的向量
相反向量 长度________而方向________的向量
共线向量 (或平行向量) 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相________或______的向量
共面向量 平行于________________的向量
2．空间向量的有关定理
(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使________________．
(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在______的有序实数对(x，y)，使p＝______.
(3)空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝________________，{a，b，c}叫做空间的一个基底．
3．空间向量的数量积及运算律
(1)数量积
非零向量a，b的数量积a·b＝____________.
(2)空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
向量表示 坐标表示
数量积 a·b
共线 a＝λb(b≠0，λ∈R)
垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0)
模 |a|
夹角余弦值 cos〈a，b〉＝(a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝________
4．空间位置关系的向量表示
(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量．
(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a为平面α的法向量．
(3)空间位置关系的向量表示
位置关系 向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2 n1＝λn2(λ∈R)
l1⊥l2 n1⊥n2 n1·n2＝0
直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m，l α l∥α n⊥m n·m＝0
l⊥α n∥m n＝λm(λ∈R)
平面α，β的法向量分别为n，m α∥β n∥m n＝λm(λ∈R)
α⊥β n⊥m n·m＝0
常用结论
1．三点共线：在平面中A，B，C三点共线 ＝x＋y(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点．
2．四点共面：在空间中P，A，B，C四点共面 ＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中任意一点．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)空间中任意两个非零向量a，b共面．(　　)
(2)空间中模相等的两个向量方向相同或相反．(　　)
(3)若A，B，C，D是空间中任意四点，则有＋＋＋＝0．(　　)
(4)若直线a的方向向量和平面α的法向量平行，则a∥α.(　　)
教材改编题
1.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AC与BD的交点为点M，设＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　)
A．－a＋b＋c B．a＋b＋c
C．－a－b－c D．－a－b＋c
2.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　)
A．相交 B．平行 C．垂直 D．不能确定
3．设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，则m＝________.
题型一　空间向量的线性运算
例1 (1)在空间四边形ABCD中，＝(－3,5,2)，＝(－7，－1，－4)，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为(　　)
A．(2,3,3) B．(－2，－3，－3)
C．(5，－2,1) D．(－5,2，－1)
(2)(2023·北京日坛中学模拟)在三棱柱A1B1C1－ABC中，D是四边形BB1C1C的中心，且＝a，＝b，＝c，则等于(　　)
A．a＋b＋c B．a－b＋c
C．a＋b－c D．－a＋b＋c
听课记录：______________________________________________________________
________________________________________________________________________
思维升华 用已知向量表示某一向量的三个关键点
(1)要结合图形，以图形为指导是解题的关键．
(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．
(3)在立体几何中，三角形法则、平行四边形法则仍然成立．
跟踪训练1 (1)已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝x－2a，则x等于(　　)
A．(0,3，－6) B．(0,6，－20)
C．(0,6，－6) D．(6,6，－6)
(2)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．
①化简－－＝________；
②用，，表示，则＝________________.
题型二　空间向量基本定理及其应用
例2 (1)下列命题正确的是(　　)
A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线
B．向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面
C．若空间向量a，b，c不共面，则a，b，c都不为0
D．若a，b，c共面，则存在唯一的实数对(x，y)，使得a＝xb＋yc
(2)(多选)下列说法中正确的是(　　)
A．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件
B．若，共线，则AB∥CD
C．A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若＝＋＋，则P，A，B，C四点共面
D．若P，A，B，C为空间四点，且有＝λ＋μ(，不共线)，则λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件
听课记录：______________________________________________________________
________________________________________________________________________
思维升华 应用共线(面)向量定理、证明点共线(面)的方法比较
三点(P，A，B)共线 空间四点(M，P，A，B)共面
＝λ ＝x＋y
对空间任一点O，＝＋t 对空间任一点O，＝＋x＋y
对空间任一点O，＝x＋(1－x) 对空间任一点O，＝x＋y＋(1－x－y)
跟踪训练2 (1)已知空间中A，B，C，D四点共面，且其中任意三点均不共线，设P为空间中任意一点，若＝6－4＋λ，则λ等于(　　)
A．2 B．－2 C．1 D．－1
(2)(2023·金华模拟)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，且满足＝x＋y＋(1－x－y)，则||的最小值是(　　)
A. B. C. D.
题型三　空间向量数量积及其应用
例3 (1)(2022·长春模拟)已知a＝(－1,3,1)，b＝(2,0，－4)，c＝(3，－2,3)，则a·(b＋c)＝________.
听课记录：______________________________________________________________
________________________________________________________________________
(2)如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.
①求线段AC1的长；
②求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值；
③求证：AA1⊥BD.
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
思维升华 空间向量的数量积运算有两条途径，一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算．
跟踪训练3 (1)(2023·益阳模拟)在正三棱锥P－ABC中，O是△ABC的中心，PA＝AB＝2，则·等于(　　)
A. B. C. D.
(2)(2022·营口模拟)已知A(－1,2,1)，B(－1,5,4)，C(1,3,4)．
①求〈，〉；
②求在上的投影向量．
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
题型四　向量法证明平行、垂直
例4 如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点．
(1)求证：B1E⊥AD1；
(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．
________________________________________________________________________
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________________________________________________________________________
思维升华 (1)利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及到直线、平面的要素)．
(2)向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理．
跟踪训练4 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点．
(1)求证：平面A1B1D⊥平面ABD；
(2)求证：平面EGF∥平面ABD.
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