资源简介

(共100张PPT)
§7.7　向量法求空
　　　间角(一)
第七章　立体几何与空间向量
能用向量法解决异面直线、直线与平面所成角的问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量法在研究空间角问题中的作用.
考试要求
内容索引
第一部分
第二部分
第三部分
落实主干知识
探究核心题型
课时精练
落实主干知识
第
一
部
分
1.异面直线所成的角
若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝
|cos〈u，v〉|＝_______.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.(　 　)
(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.(　 　)
×
×
√
(4)直线的方向向量为u，平面的法向量为n，则线面角θ满足sin θ＝cos〈u，n〉.(　 　)
×
A.30° B.60°
C.120° D.150°
√
2.已知直线l1的方向向量s1＝(1,0,1)与直线l2的方向向量s2＝(－1,2，－2)，则直线l1和l2所成角的余弦值为
√
因为s1＝(1,0,1)，s2＝(－1,2，－2)，
3.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为
√
探究核心题型
第
二部
分
题型一
异面直线所成的角
√
√
因为∠AOD＝2∠BOD，
且∠AOD＋∠BOD＝π，
连接CO，则CO⊥平面ABD，以点O为坐标原点，OB，OC所在直线分别为y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设异面直线AD与BC所成的角为θ，
用向量法求异面直线所成的角的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系.
(2)用坐标表示两异面直线的方向向量.
(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值.
思维升华
跟踪训练1　(1)有公共边的△ABC和△BCD均为等边三角形，且所在平
面互相垂直，则异面直线AB和CD所成角的余弦值为_____.
设等边三角形的边长为2.取BC的中点O，连接OA，OD.因为△ABC和△BCD所在平面互相垂直，所以OA，OC，OD两两垂直，以O为坐标原点，OD，OC，OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
设异面直线AB和CD所成的角为θ，
以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(图略)，正方体的棱长为2，
则A1(2,0,2)，D1(0,0,2)，E(0,2,1)，A(2,0,0)，
题型二
直线与平面所成的角
(1)证明：BD⊥PA；[切入点：由等腰梯形ABCD的性质求BD长]
(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值.[关键点：建立空间直角坐标系求法向量]
利用空间向量求线面角的解题步骤
(1)若G是DP的中点，求证：AG⊥BD；
设圆柱OQ的底面半径为r，高为h.
在底面圆O中，∠APB＝90°，∠ABP＝60°，所以AP＝BP·tan 60°＝3.
因为圆柱OQ的母线DA⊥底面APB，所以DA⊥BP，DA⊥AP.
因为∠APB＝90°，所以PA⊥BP，又PA∩AD＝A，所以BP⊥平面APD.
因为AG 平面APD，所以BP⊥AG.
在△DAP 中，AD＝AP＝3，G是DP的中点，
所以DP⊥AG.
又BP∩DP＝P，所以AG⊥平面BPD.
因为BD 平面PBD，所以AG⊥BD.
显然，向量n＝(1,0,0) 是平面ABCD的一个法向量.
设GB与平面ABCD所成的角为θ，
课时精练
第
三部
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由题意可知，AB，AC，AA1两两相互垂直，以A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
2.在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1，则AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为
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建立如图所示的坐标系，设AB＝2，
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如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则C1(0,3,1)，D1(0,0,1)，E(1,1,0)，C(0,3,0)，
设平面D1EC的法向量为n＝(x，y，z)，
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4.(2023·沧州模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是C1D1的中点，则异面直线AP与BA1所成角的余弦值为
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方法一　设正方体的棱长为2，取CC1的中点Q，连接PQ，AD1，AC，AQ，
∵P是C1D1的中点，
∴PQ∥CD1∥A1B，
故∠APQ就是AP与BA1所成的角或其补角，
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方法二　设正方体的棱长为2，以DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则A(2,0,0)，P(0,1,2)，A1(2,0,2)，B(2,2,0)，
5.(2023·招远市第二中学模拟)若正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为
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取AC的中点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设n＝(x，y，z)为平面B1DC的法向量，
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令z＝1，得n＝(0,2,1)，
设直线AD与平面B1DC所成的角为α，则
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∵AB是圆柱底面圆的一条直径，∴∠AOB＝90°，
∵AC∥OB，∴∠OAC＝90°；
∵AB是圆柱的底面圆的直径，
∴∠ACB＝90°，
又∠OAB＝45°，∴四边形OACB为正方形，设AB＝2，
建立如图所示的空间直角坐标系，
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设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，
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设直线PC与平面PAB所成的角为θ，
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解得a＝1，所以棱AB的长度是1.
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以A为原点，在平面ABC内作垂直于AC的射线为x轴，以射线AC为y轴，射线AP为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由x轴⊥平面PAC得平面PAC的一个法向量为n＝(1,0,0)，
设直线PB与平面PAC所成的角为α，
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9.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.
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(1)求证：BD⊥平面PAC；
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因为四边形ABCD是菱形，
所以AC⊥BD.
因为PA⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，
所以PA⊥BD.
又因为AC∩PA＝A，AC，PA 平面PAC，所以BD⊥平面PAC.
(2)若PA＝AB，求PB与AC所成角的余弦值.
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设AC∩BD＝O.
因为∠BAD＝60°，PA＝AB＝2，
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设PB与AC所成的角为θ，则
10.如图，在三棱柱ABC －A1B1C1中，各棱长均相等.D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点.
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(1)证明：EF∥平面A1CD；
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在三棱柱ABC －A1B1C1中，AC∥A1C1，且AC＝A1C1，
所以A1F∥DE，且A1F＝DE，
因此四边形A1FED为平行四边形，所以EF∥A1D，
又EF 平面A1CD，A1D 平面A1CD，
所以EF∥平面A1CD.
(2)若三棱柱ABC－A1B1C1为直棱柱，求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值.
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方法一　设A1B1的中点为O，连接OC1，OD，因为三棱柱ABC－A1B1C1为直棱柱，所以OD⊥平面A1B1C1，所以OD⊥OC1，OD⊥OA1.
又△A1B1C1为等边三角形，所以OC1⊥A1B1.
以O为坐标原点，OA1，OD，OC1所在直线分
别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直
角坐标系.
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设平面A1CD的法向量为n＝(x，y，z)，
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令x＝2，得n＝(2,1,0).
设直线BC与平面A1CD所成的角为θ，
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方法二　因为底面ABC是正三角形，D为AB的中点，所以CD⊥AB，
又AA1⊥CD，AA1∩AB＝A，AA1，AB 平面A1ABB1，所以CD⊥平面A1ABB1.
如图，在平面A1ABB1内，过点B作BG⊥A1D，交A1D
的延长线于点G，连接CG，则BG⊥平面A1CD，
所以∠BCG为直线BC与
平面A1CD所成的角.
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11.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是棱B1C1的中点，点F是线段CD1上的一个动点.有以下三个命题：
①异面直线AC1与B1F所成的角是定值；
②三棱锥B－A1EF的体积是定值；
③直线A1F与平面B1CD1所成的角是定值.
其中真命题的个数是
A.3 B.2 C.1 D.0
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以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，设正方体的棱长为1，可得A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，C1(1,1,1)，D1(0,1,1)，
设F(t,1,1－t)(0≤t≤1)，
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三棱锥B－A1EF的底面A1BE的面积为定值，且CD1∥BA1，BA1 平面A1BE，CD1 平面A1BE，所以CD1∥平面A1BE，点F是线段CD1上的一个动点，可得点F到底面A1BE的距离为定值，故三棱锥B－A1EF的体积是定值，故②正确；
12.(多选)关于正方体ABCD－A1B1C1D1，下列说法正确的是
A.直线AC1⊥平面A1BD
B.若平面A1BD与平面AB1D1的交线为l，则l与AD所成的角为45°
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如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，
则A1(2,0,2)，B(2,2,0)，D(0,0,0)，
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，
令x＝－1，则y＝z＝1，
即n＝(－1,1,1)，
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∵A(2,0,0)，C1(0,2,2)，
则直线AC1⊥平面A1BD，故A正确；
结合图形可知，平面A1BD与平面AB1D1的交线l即为直线MN，M(1,0,1)，N(2,1,1)，
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∴l与AD所成的角为45°，故B正确；
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如图，取棱CC1的中点E，连接PC1，QC1，PE，BE，
∵P，E分别为棱DD1，CC1的中点，
则PE∥DC且PE＝DC，
又∵AB∥DC且AB＝DC，
则PE∥AB且PE＝AB，
∴四边形ABEP为平行四边形，则AP∥BE，
∵Q，E分别为棱BB1，CC1的中点，
则C1E∥BQ且C1E＝BQ，
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∴四边形BEC1Q为平行四边形，
则BE∥C1Q，
∴AP∥C1Q，
同理可证，AQ∥C1P，
∴经过点A，P，Q的平面截此正方体所得截面图形为平行四边形AQC1P，
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13.若在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠A1AC＝∠BAC＝60°，平面A1ACC1⊥
平面ABC，AA1＝AC＝AB，则异面直线AC1与A1B所成角的余弦值为____.
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方法一　令M为AC的中点，连接MB，MA1，由题意知△ABC是等边三角形，
所以BM⊥AC，同理，A1M⊥AC.
因为平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，BM 平面ABC，所以BM⊥平面A1ACC1.
因为A1M 平面A1ACC1，
所以BM⊥A1M，
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所以AC，BM，A1M两两垂直，以M为原点，MA，MB，MA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
设AA1＝AC＝AB＝2，
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设异面直线AC1与A1B所成的角为θ，
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方法二　如图所示，在平面ABC，平面A1B1C1中分别取点D，D1，连接BD，CD，B1D1，C1D1，使得四边形ABDC，A1B1D1C1为平行四边形，连接DD1，BD1，则AB＝C1D1，且AB∥C1D1，所以AC1∥BD1，故∠A1BD1或其补角为异面直线AC1与A1B所成的角.连接A1D1，过点A1作A1M⊥AC于点M，连接BM，
设AA1＝2，由∠A1AM＝∠BAC＝60°，
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因为平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，A1M 平面A1ACC1，
所以A1M⊥平面ABC.
又BM 平面ABC，
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取AD的中点O，连接A1O，
因为AA1＝A1D，O为AD的中点，则A1O⊥AD，
因为平面AA1D1D⊥平面ABCD，平面AA1D1D∩
平面ABCD＝AD，A1O 平面AA1D1D，
所以A1O⊥平面ABCD，
以O为坐标原点，过点O作AB的平行线为x轴，OD，OA1所在直线分别为y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设A1O＝a，其中a＞0，
则A(0，－1,0)，B(2，－1,0)，A1(0,0，a)，C1(2,2，a)，D(0,1,0)，
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取x＝a，则m＝(a，－a，－1)，
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拓展冲刺练
15.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H，K，L分别是棱AB，BB1，B1C1，C1D1，D1D，DA的中点，则直线A1C与平面EFGHKL所成角的大小为_____；若P，Q是六边形EFGHKL边上两个不同的动点，设直
线D1B与直线PQ所成的最小角为θ，则sin θ的值为_____.
90°
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则A1(2,0,2)，E(2,1,0)，C(0,2,0)，F(2,2,1)，G(1,2,2)，
∴A1C⊥EF，A1C⊥EG，∵EG∩EF＝E，EG，EF 平面EFGHKL，
∴A1C⊥平面EFGHKL，
∴直线A1C与平面EFGHKL所成角的大小为90°.
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设直线D1B与平面EFGHKL所成的角为α，则
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∵直线PQ 平面EFGHKL，
∴直线D1B与直线PQ所成的角最小时即为直线D1B与平面EFGHKL所成的角，
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(1)求点C到平面C1MN的距离；
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∴AB⊥AC，
∵平面ABC⊥平面ACC1A1，平面ABC∩平面ACC1A1＝AC，AB 平面ABC，
∴AB⊥平面ACC1A1，又CM 平面ACC1A1，
∴AB⊥CM，
∵M，N分别为AA1，BB1的中点，∴MN∥AB.
∴CM⊥MN，
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在Rt△AMC和Rt△MA1C1中，∵AM＝A1M＝4，AC＝A1C1＝4，
∵MN∩C1M＝M，MN，C1M 平面MNC1，∴CM⊥平面C1MN，
(2)试确定动点P的位置，使直线MP与平面BB1C1C所成角的正弦值最大.
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∵AA1⊥平面ABC，由(1)得AB，AC，AA1两两垂直，
以A为原点，以AB，AC，AA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，
则A(0,0,0)，B(3,0,0)，C(0,4,0)，C1(0,4,8)，M(0,0,4)，B1(3,0,8)，
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设平面BB1C1C的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
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设直线MP与平面BB1C1C所成的角为θ，
若m＝0，sin θ＝0，此时，点P与点A重合；
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∴当P为AC1的中点时，直线MP与平面BB1C1C所成角的正弦值最大.§7.7　向量法求空间角(一)
考试要求　能用向量法解决异面直线、直线与平面所成角的问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量法在研究空间角问题中的作用．
知识梳理
1．异面直线所成的角
若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝.
2．直线与平面所成的角
如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos〈u，n〉|＝＝.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．(　×　)
(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．(　×　)
(3)两异面直线所成角的范围是，直线与平面所成角的范围是.(　√　)
(4)直线的方向向量为u，平面的法向量为n，则线面角θ满足sin θ＝cos〈u，n〉．(　×　)
教材改编题
1．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－，则直线l与平面α所成的角为(　　)
A．30° B．60° C．120° D．150°
答案　A
解析　由于cos〈m，n〉＝－，所以〈m，n〉＝120°，所以直线l与平面α所成的角为30°.
2．已知直线l1的方向向量s1＝(1,0,1)与直线l2的方向向量s2＝(－1,2，－2)，则直线l1和l2所成角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　因为s1＝(1,0,1)，s2＝(－1,2，－2)，
所以cos〈s1，s2〉＝＝＝－.
所以直线l1和l2所成角的余弦值为.
3．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　建立如图所示的空间直角坐标系．设BC＝CA＝CC1＝2，则A(2,0,0)，B(0,2,0)，M(1,1,2)，N(1,0,2)，所以＝(1，－1,2)，＝(－1,0,2)．
设BM与AN所成的角为θ，则cos θ＝|cos〈，〉|＝＝＝＝.
所以BM与AN所成角的余弦值为.
题型一　异面直线所成的角
例1　(1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D1(0,0，)，A(1,0,0)，D(0,0,0)，B1(1,1，)，所以＝(－1,0，)，＝(1,1，)．设异面直线AD1与DB1所成的角为θ，所以cos θ＝＝＝，所以异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为.
(2)(2022·杭州模拟)如图，已知圆锥CO的截面△ABC是正三角形，AB是底面圆O的直径，点D在上，且∠AOD＝2∠BOD，则异面直线AD与BC所成角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　因为∠AOD＝2∠BOD，
且∠AOD＋∠BOD＝π，
所以∠BOD＝，
连接CO，则CO⊥平面ABD，以点O为坐标原点，OB，OC所在直线分别为y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设圆O的半径为2，则A(0，－2,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2)，D(，1,0)，
＝(，3,0)，＝(0，－2,2)，
设异面直线AD与BC所成的角为θ，
则cos θ＝|cos〈，〉|＝＝＝，所以异面直线AD与BC所成角的余弦值为.
思维升华　用向量法求异面直线所成的角的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系．
(2)用坐标表示两异面直线的方向向量．
(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值．
(4)注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值．
跟踪训练1　(1)有公共边的△ABC和△BCD均为等边三角形，且所在平面互相垂直，则异面直线AB和CD所成角的余弦值为________．
答案　
解析　设等边三角形的边长为2.取BC的中点O，连接OA，OD.因为△ABC和△BCD所在平面互相垂直，所以OA，OC，OD两两垂直，以O为坐标原点，OD，OC，OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则A(0,0，)，B(0，－1,0)，C(0,1,0)，D(，0,0)，
所以＝(0，－1，－)，＝(，－1,0)，
设异面直线AB和CD所成的角为θ，
则cos θ＝|cos〈，〉|＝＝＝，
所以异面直线AB和CD所成角的余弦值为.
(2)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，＝λ(0<λ<1)，若异面直线D1E和A1F所成角的余弦值为，则λ的值为______．
答案　
解析　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(图略)，正方体的棱长为2，
则A1(2,0,2)，D1(0,0,2)，E(0,2,1)，A(2,0,0)，
∴＝(0,2，－1)，
＝＋＝＋λ＝(－2λ，0，－2)．
∴|cos〈，〉|＝
＝＝，
解得λ＝.
题型二　直线与平面所成的角
例2　(12分)(2022·全国甲卷)在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP＝.
(1)证明：BD⊥PA；[切入点：由等腰梯形ABCD的性质求BD长]
(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值．[关键点：建立空间直角坐标系求法向量]
思维升华　利用空间向量求线面角的解题步骤
跟踪训练2　(2023·开封模拟)如图，四边形ABCD是圆柱OQ的轴截面，圆柱OQ的侧面积为6π，点P在圆柱OQ的底面圆周上，且△OPB是边长为的等边三角形．
(1)若G是DP的中点，求证：AG⊥BD；
(2)若＝2，求GB与平面ABCD所成角的正弦值．
(1)证明　设圆柱OQ的底面半径为r，高为h.
因为△OPB是边长为的等边三角形，所以∠ABP＝60°，r＝.
因为圆柱OQ的侧面积为6π，所以2πrh＝6π，解得h＝3.
在底面圆O中，∠APB＝90°，∠ABP＝60°，所以 AP＝BP·tan 60°＝3.
因为圆柱 OQ 的母线 DA⊥底面 APB，所以 DA⊥BP，DA⊥AP.
因为∠APB＝90°，所以PA⊥BP，又PA∩AD＝A，所以BP⊥平面APD.
因为AG 平面APD，所以BP⊥AG.
在△DAP 中，AD＝AP＝3，G是DP的中点，所以DP⊥AG.
又BP∩DP＝P，所以AG⊥平面BPD.
因为BD 平面 PBD，所以AG⊥BD.
(2)解　在底面圆O内过O作Ox⊥AB，连接OQ.以O为原点，，，分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系．
则B(0，，0)，D(0，－，3)，P，
因为＝2，所以G(1,0,1)，所以＝(－1，，－1)．
显然，向量n＝(1,0,0) 是平面ABCD的一个法向量．
设GB与平面ABCD所成的角为θ，
所以sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝.
所以GB与平面ABCD所成角的正弦值为.
课时精练
1. 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝，BC＝2，点D为BC的中点，则异面直线AD与A1C所成的角为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　由题意可知，AB，AC，AA1两两相互垂直，以A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，A1(0,0，)，C(0，，0)，D，∴＝，＝(0，，－)，
∴cos〈，〉＝＝，∴异面直线AD与A1C所成的角为.
2．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1，则AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　建立如图所示的坐标系，设AB＝2，
则C1(，1,0)，A(0,0,2)，＝(，1，－2)，易知平面BB1C1C的一个法向量为n＝(1,0,0)．设AC1与平面BB1C1C所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝＝.所以AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为.
3. 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝3，E为线段AB上一点，且AE＝AB，则DC1与平面D1EC所成角的正弦值为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则C1(0,3,1)，D1(0,0,1)，E(1,1,0)，C(0,3,0)，
所以＝(0,3,1)，＝(1,1，－1)，＝(0,3，－1)．
设平面D1EC的法向量为n＝(x，y，z)，
则即取y＝1，得n＝(2,1,3)．
所以cos〈，n〉＝＝，
所以DC1与平面D1EC所成角的正弦值为.
4．(2023·沧州模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是C1D1的中点，则异面直线AP与BA1所成角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　方法一　设正方体的棱长为2，取CC1的中点Q，连接PQ，AD1，AC，AQ，
∵P是C1D1的中点，
∴PQ∥CD1∥A1B，
故∠APQ就是AP与BA1所成的角或其补角，
由勾股定理得AP＝AQ＝＝3，PQ＝，
由余弦定理得cos∠APQ＝＝＝，
故异面直线AP与BA1所成角的余弦值为.
方法二　设正方体的棱长为2，以DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则A(2,0,0)，P(0,1,2)，A1(2,0,2)，B(2,2,0)，
＝(－2,1,2)，＝(0，－2,2)，
|cos〈，〉|＝＝＝，
故异面直线AP与BA1所成角的余弦值为.
5．(2023·招远市第二中学模拟)若正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　取AC的中点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设三棱柱的棱长为2，则A(0，－1,0)，D(0,0,2)，C(0,1,0)，B1(，0,2)，
所以＝(0,1,2)，＝(0，－1,2)，＝(，－1,2)，
设n＝(x，y，z)为平面B1DC的法向量，
由得
令z＝1，得n＝(0,2,1)，
设直线AD与平面B1DC所成的角为α，则
sin α＝|cos〈，n〉|＝＝＝，
所以直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为.
6. (2022·郑州模拟)如图，已知AB是圆柱底面圆的一条直径，OP是圆柱的一条母线，C为底面圆上一点，且AC∥OB，OP＝AB＝OA，则直线PC与平面PAB所成角的正弦值为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　∵AB是圆柱底面圆的一条直径，∴∠AOB＝90°，
∵OP＝AB＝OA，∴∠BAO＝45°，
∵AC∥OB，∴∠OAC＝90°；
∵AB是圆柱的底面圆的直径，
∴∠ACB＝90°，
又∠OAB＝45°，∴四边形OACB为正方形，设AB＝2，
建立如图所示的空间直角坐标系，
可知A(，0,0)，B(0，，0)，P(0,0,2)，C(，，0)，
＝(－，，0)，＝(－，0,2)，
设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
取x＝，则n＝(，，1)，
又＝(，，－2)，
设直线PC与平面PAB所成的角为θ，
∴sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝，
∴直线PC与平面PAB所成角的正弦值为.
7．在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，AC＝1，AA1＝2，∠BAC＝90°，若直线AB1与直线A1C所成角的余弦值是，则棱AB的长度是________．
答案　1
解析　建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝a(a>0)，则A(0,0,0)，B1(a,0,2)，A1(0,0,2)，C(0,1,0)，所以＝(a,0,2)，＝(0,1，－2)，
所以|cos〈，〉|＝＝＝，
解得a＝1，所以棱AB的长度是1.
8．(2022·廊坊模拟)在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝1，AB＝BC＝3，AC＝4，则PB与平面PAC所成角的正切值为 ________.
答案　
解析　以A为原点，在平面ABC内作垂直于AC的射线为x轴，以射线AC为y轴，射线AP为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则P(0,0,1)，B(1,2，0)，C(0，4，0)，
所以＝(1,2，－1)，
由x轴⊥平面PAC得平面PAC的一个法向量为n＝(1,0,0)，
设直线PB与平面PAC所成的角为α，
则sin α＝|cos〈n，〉|＝＝＝.
因为α∈，所以cos α＝＝，
所以PB与平面PAC所成角的正切值为tan α＝＝.
9. 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.
(1)求证：BD⊥平面PAC；
(2)若PA＝AB，求PB与AC所成角的余弦值．
(1)证明　因为四边形ABCD是菱形，
所以AC⊥BD.
因为PA⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，
所以PA⊥BD.
又因为AC∩PA＝A，AC，PA 平面PAC，所以BD⊥平面PAC.
(2)解　设AC∩BD＝O.
因为∠BAD＝60°，PA＝AB＝2，
所以BO＝1，AO＝CO＝.
以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，－，2)，A(0，－，0)，B(1,0,0)，C(0，，0)．
所以＝(1，，－2)，＝(0,2，0)．
设PB与AC所成的角为θ，则
cos θ＝＝＝，
即PB与AC所成角的余弦值为.
10. 如图，在三棱柱ABC －A1B1C1中，各棱长均相等．D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．
(1)证明：EF∥平面A1CD；
(2)若三棱柱ABC －A1B1C1为直棱柱，求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．
(1)证明　在三棱柱ABC －A1B1C1中，AC∥A1C1，且AC＝A1C1，
连接ED(图略)，在△ABC中，因为D，E分别为棱AB，BC的中点，所以DE∥AC，且DE＝AC.
又F为A1C1的中点，可得A1F＝A1C1，
所以A1F∥DE，且A1F＝DE，
因此四边形A1FED为平行四边形，所以EF∥A1D，
又EF 平面A1CD，A1D 平面A1CD，
所以EF∥平面A1CD.
(2)解　方法一　设A1B1的中点为O，连接OC1，OD，因为三棱柱ABC －A1B1C1为直棱柱，所以OD⊥平面A1B1C1，所以OD⊥OC1，OD⊥OA1.
又△A1B1C1为等边三角形，所以OC1⊥A1B1.
以O为坐标原点，OA1，OD，OC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
设三棱柱的棱长为a(a>0)，则O(0,0,0)，B，
C，A1，D(0，a,0)，
所以＝，＝，＝.
设平面A1CD的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令x＝2，得n＝(2,1,0)．
设直线BC与平面A1CD所成的角为θ，
则sin θ＝＝，
所以直线BC与平面A1CD所成角的正弦值为.
方法二　因为底面ABC是正三角形，D为AB的中点，所以CD⊥AB，
又AA1⊥CD，AA1∩AB＝A，AA1，AB 平面A1ABB1，所以CD⊥平面A1ABB1.
如图，在平面A1ABB1内，过点B作BG⊥A1D，交A1D的延长线于点G，连接CG，则BG⊥平面A1CD，所以∠BCG为直线BC与平面A1CD所成的角．
设三棱柱的棱长为a，则A1D＝，
由△A1AD∽△BGD，可得BG＝，
在Rt△BCG中，sin∠BCG＝＝.
所以直线BC与平面A1CD所成角的正弦值为.
11. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是棱B1C1的中点，点F是线段CD1上的一个动点．有以下三个命题：
①异面直线AC1与B1F所成的角是定值；
②三棱锥B－A1EF的体积是定值；
③直线A1F与平面B1CD1所成的角是定值．
其中真命题的个数是(　　)
A．3 B．2 C．1 D．0
答案　B
解析　以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，设正方体的棱长为1，可得A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，C1(1,1,1)，D1(0,1,1)，
设F(t,1,1－t)(0≤t≤1)，
则＝(1,1,1)，＝(t－1,1，－t)，可得·＝0，故异面直线AC1与B1F所成的角是定值，故①正确；
三棱锥B－A1EF的底面A1BE的面积为定值，且CD1∥BA1，BA1 平面A1BE，CD1 平面A1BE，所以CD1∥平面A1BE，点F是线段CD1上的一个动点，可得点F到底面A1BE的距离为定值，故三棱锥B－A1EF的体积是定值，故②正确；
＝(t,1，－t)，＝(0,1，－1)，＝(－1,1,0)，可得平面B1CD1的一个法向量为n＝(1,1,1)，可得cos〈，n〉不为定值，故③错误．
12．(多选)关于正方体ABCD－A1B1C1D1，下列说法正确的是(　　)
A．直线AC1⊥平面A1BD
B．若平面A1BD与平面AB1D1的交线为l，则l与AD所成的角为45°
C．直线CC1与平面A1BD所成角的正切值为
D．若正方体的棱长为2，P，Q分别为棱DD1，BB1的中点，则经过点A，P，Q的平面截此正方体所得截面图形的周长为4
答案　ABD
解析　如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，
则A1(2,0,2)，B(2,2,0)，D(0,0,0)，
＝(2,0,2)，＝(2,2,0)，
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，
则有
令x＝－1，则y＝z＝1，
即n＝(－1,1,1)，
∵A(2,0,0)，C1(0,2,2)，
则＝(－2,2,2)，
即＝2n，
∴∥n，
则直线AC1⊥平面A1BD，故A正确；
结合图形可知，平面A1BD与平面AB1D1的交线l即为直线MN，M(1,0,1)，N(2,1,1)，
则＝(1,1,0)，＝(2,0,0)，
cos〈，〉＝＝，
∴l与AD所成的角为45°，故B正确；
∵＝＝(0,0,2)，
则cos〈，n〉＝＝，
∴直线CC1与平面A1BD所成角的正切值为，故C不正确；
如图，取棱CC1的中点E，连接PC1，QC1，PE，BE，
∵P，E分别为棱DD1，CC1的中点，
则PE∥DC且PE＝DC，
又∵AB∥DC且AB＝DC，
则PE∥AB且PE＝AB，
∴四边形ABEP为平行四边形，则AP∥BE，
∵Q，E分别为棱BB1，CC1的中点，
则C1E∥BQ且C1E＝BQ，
∴四边形BEC1Q为平行四边形，
则BE∥C1Q，
∴AP∥C1Q，
同理可证，AQ∥C1P，
∴经过点A，P，Q的平面截此正方体所得截面图形为平行四边形AQC1P，
∵AP＝AQ＝，
则其周长为4，故D正确．
13．若在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠A1AC＝∠BAC＝60°，平面A1ACC1⊥平面ABC，AA1＝AC＝AB，则异面直线AC1与A1B所成角的余弦值为________．
答案　
解析　方法一　令M为AC的中点，连接MB，MA1，由题意知△ABC是等边三角形，
所以BM⊥AC，同理，A1M⊥AC.
因为平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，BM 平面ABC，所以BM⊥平面A1ACC1.
因为A1M 平面A1ACC1，
所以BM⊥A1M，
所以AC，BM，A1M两两垂直，以M为原点，MA，MB，MA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
设AA1＝AC＝AB＝2，
则A(1,0,0)，B(0，，0)，A1(0,0，)，C1(－2,0，)，
所以＝(－3,0，)，＝(0，，－)，
设异面直线AC1与A1B所成的角为θ，
则cos θ＝|cos 〈，〉|＝＝，
故异面直线AC1与A1B所成角的余弦值为.
方法二　如图所示，在平面ABC，平面A1B1C1中分别取点D，D1，连接BD，CD，B1D1，C1D1，使得四边形ABDC，A1B1D1C1为平行四边形，连接DD1，BD1，则AB＝C1D1，且AB∥C1D1，所以AC1∥BD1，故∠A1BD1或其补角为异面直线AC1与A1B所成的角．连接A1D1，过点A1作A1M⊥AC于点M，连接BM，
设AA1＝2，由∠A1AM＝∠BAC＝60°，
得AM＝1，BM＝，A1M＝，
因为平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，A1M 平面A1ACC1，
所以A1M⊥平面ABC.
又BM 平面ABC，
所以A1M⊥BM，所以A1B＝.
在菱形A1ACC1中，可求得AC1＝2＝BD1，
同理，在菱形A1B1D1C1中，可求得A1D1＝2，
所以cos∠A1BD1＝
＝＝，
所以异面直线AC1与A1B所成角的余弦值为.
14. 如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，平面A1ADD1⊥平面ABCD，AD＝2，AA1＝A1D.若直线AB与平面A1DC1所成角的正弦值为，则AA1的长度为________．
答案　2
解析　取AD的中点O，连接A1O，
因为AA1＝A1D，O为AD的中点，则A1O⊥AD，
因为平面AA1D1D⊥平面ABCD，平面AA1D1D∩平面ABCD＝AD，A1O 平面AA1D1D，
所以A1O⊥平面ABCD，
以O为坐标原点，过点O作AB的平行线为x轴，OD，OA1所在直线分别为y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设A1O＝a，其中a＞0，
则A(0，－1,0)，B(2，－1,0)，A1(0,0，a)，C1(2,2，a)，D(0,1,0)，
＝(2,0,0)，＝(2,2,0)，＝(0,1，－a)，
设平面A1DC1的法向量为m＝(x，y，z)，则
取x＝a，则m＝(a，－a，－1)，
由题意可得|cos〈，m〉|＝＝＝＝，
因为a＞0，则a＝，所以||＝＝2.
15. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H，K，L分别是棱AB，BB1，B1C1，C1D1，D1D，DA的中点，则直线A1C与平面EFGHKL所成角的大小为________；若P，Q是六边形EFGHKL边上两个不同的动点，设直线D1B与直线PQ所成的最小角为θ，则sin θ的值为________．
答案　90°　
解析　如图，以，，DD1分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，
则A1(2,0,2)，E(2,1,0)，C(0,2,0)，F(2,2,1)，G(1,2,2)，
∴＝(－2,2，－2)，＝(0,1,1)，＝(－1,1,2)，
∴·＝0＋2－2＝0，·＝2＋2－4＝0，
∴A1C⊥EF，A1C⊥EG，∵EG∩EF＝E，EG，EF 平面EFGHKL，
∴A1C⊥平面EFGHKL，
∴直线A1C与平面EFGHKL所成角的大小为90°.
又D1(0,0,2)，B(2,2,0)，＝(2,2，－2)，
由题意知＝(－2,2，－2)为平面EFGHKL的一个法向量，
设直线D1B与平面EFGHKL所成的角为α，则
sin α＝|cos〈，〉|＝＝＝，
∵直线PQ 平面EFGHKL，
∴直线D1B与直线PQ所成的角最小时即为直线D1B与平面EFGHKL所成的角，
∴sin θ＝.
16. 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，O，M，N分别为线段BC，AA1，BB1的中点，P为线段AC1上的动点(含端点)，AO＝BC，AB＝3，AC＝4，AA1＝8.
(1)求点C到平面C1MN的距离；
(2)试确定动点P的位置，使直线MP与平面BB1C1C所成角的正弦值最大．
解　(1)在△ABC中，∵O为BC中点且AO＝BC，
∴AB⊥AC，
∵平面ABC⊥平面ACC1A1，平面ABC∩平面ACC1A1＝AC，AB 平面ABC，
∴AB⊥平面ACC1A1，又CM 平面ACC1A1，
∴AB⊥CM，
∵M，N分别为AA1，BB1的中点，∴MN∥AB.
∴CM⊥MN，
在Rt△AMC和Rt△MA1C1中，∵AM＝A1M＝4，AC＝A1C1＝4，
∴△AMC≌△A1MC1，∴CM＝C1M＝＝4，
∴CM2＋C1M2＝32＋32＝64＝CC，∴CM⊥C1M，
∵MN∩C1M＝M，MN，C1M 平面MNC1，∴CM⊥平面C1MN，
∴点C到平面C1MN的距离为CM＝4.
(2)∵AA1⊥平面ABC，由(1)得AB，AC，AA1两两垂直，
以A为原点，以AB，AC，AA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，
则A(0,0,0)，B(3,0,0)，C(0,4,0)，C1(0,4,8)，M(0,0,4)，B1(3,0,8)，
∴＝(－3,4,0)，＝(0,0,8)，
设平面BB1C1C的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则令x1＝4得y1＝3，n1＝(4,3,0)，
设P(x0，y0，z0)，＝m(0≤m≤1)，则(x0，y0，z0)＝m(0,4,8)，
∴P(0,4m,8m)，＝(0,4m,8m－4)，
设直线MP与平面BB1C1C所成的角为θ，
则sin θ＝|cos〈n1，〉|＝＝＝，
若m＝0，sin θ＝0，此时，点P与点A重合；
若m≠0，令t＝(t≥1)，则sin θ＝＝≤，
当t＝2，即m＝时，P为AC1的中点，
此时sin θ取得最大值.
∴当P为AC1的中点时，直线MP与平面BB1C1C所成角的正弦值最大．§7.7　向量法求空间角(一)
考试要求　能用向量法解决异面直线、直线与平面所成角的问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量法在研究空间角问题中的作用．
知识梳理
1．异面直线所成的角
若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝________.
2．直线与平面所成的角
如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos〈u，n〉|＝＝____________.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．(　　)
(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．(　　)
(3)两异面直线所成角的范围是，直线与平面所成角的范围是.(　　)
(4)直线的方向向量为u，平面的法向量为n，则线面角θ满足sin θ＝cos〈u，n〉．(　　)
教材改编题
1．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－，则直线l与平面α所成的角为(　　)
A．30° B．60° C．120° D．150°
2．已知直线l1的方向向量s1＝(1,0,1)与直线l2的方向向量s2＝(－1,2，－2)，则直线l1和l2所成角的余弦值为(　　)
A. B.
C. D.
3．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为(　　)
A. B.
C. D.
题型一　异面直线所成的角
例1 (1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
(2)(2022·杭州模拟)如图，已知圆锥CO的截面△ABC是正三角形，AB是底面圆O的直径，点D在上，且∠AOD＝2∠BOD，则异面直线AD与BC所成角的余弦值为(　　)
A. B.
C. D.
听课记录：______________________________________________________________
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思维升华 用向量法求异面直线所成的角的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系．
(2)用坐标表示两异面直线的方向向量．
(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值．
(4)注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值．
跟踪训练1 (1)有公共边的△ABC和△BCD均为等边三角形，且所在平面互相垂直，则异面直线AB和CD所成角的余弦值为________．
(2)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，＝λ(0<λ<1)，若异面直线D1E和A1F所成角的余弦值为，则λ的值为______．
题型二　直线与平面所成的角
例2 (12分)(2022·全国甲卷)在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP＝.
(1)证明：BD⊥PA；[切入点：由等腰梯形ABCD的性质求BD长]
(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值．[关键点：建立空间直角坐标系求法向量]
思维升华 利用空间向量求线面角的解题步骤
跟踪训练2 (2023·开封模拟)如图，四边形ABCD是圆柱OQ的轴截面，圆柱OQ的侧面积为6π，点P在圆柱OQ的底面圆周上，且△OPB是边长为的等边三角形．
(1)若G是DP的中点，求证：AG⊥BD；
(2)若＝2，求GB与平面ABCD所成角的正弦值．
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