资源简介

(共76张PPT)
§3.1　导数的概念及其意义、
导数的运算
第三章　一元函数的导数及其应用
1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.
2.通过函数图象，理解导数的几何意义.
3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数
(形如f(ax＋b))的导数.
考试要求
内容索引
第一部分
第二部分
第三部分
落实主干知识
探究核心题型
课时精练
落实主干知识
第
一
部
分
1.导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作 或 .
f′(x0)
y′|
(2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数)
2.导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的 ，相应的切线方程为 .
斜率
y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)
3.基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝__
f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f′(x)＝______
f(x)＝sin x f′(x)＝_____
f(x)＝cos x f′(x)＝______
f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝______
f(x)＝ex f′(x)＝___
0
αxα－1
cos x
－sin x
axln a
ex
f(x)＝logax(a>0，且a≠1)
f′(x)＝_____
f(x)＝ln x
f′(x)＝___
4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有
[f(x)±g(x)]′＝ ；
[f(x)g(x)]′＝ ；
[cf(x)]′＝ .
f′(x)±g′(x)
f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
cf′(x)
5.复合函数的定义及其导数
复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝ ，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
yu′·ux′
1.区分在点处的切线与过点处的切线
(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条.
(2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率.(　　)
(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.(　　)
(3)f′(x0)＝[f(x0)]′.(　　)
(4)(cos 2x) ′＝－2sin 2x.(　　)
×
×
×
√
1.若函数f(x)＝3x＋sin 2x，则
√
因为函数f(x)＝3x＋sin 2x，
所以f′(x)＝3xln 3＋2cos 2x.
y＝(e－1)x＋2
又∵f(1)＝e＋1，
∴切点为(1，e＋1)，切线斜率k＝f′(1)＝e－1，
即切线方程为y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)，
即y＝(e－1)x＋2.
3.已知函数f(x)＝xln x＋ax2＋2，若f′(e)＝0，则a＝ .
由题意得f′(x)＝1＋ln x＋2ax，
探究核心题型
第
二部
分
题型一
导数的运算
√
√
√
对于A，[(3x＋5)3]′＝3(3x＋5)2(3x＋5)′＝9(3x＋5)2，故A正确；
对于B，(x3ln x)′＝(x3)′ln x＋x3(ln x)′＝3x2ln x＋x2，故B正确；
对于D，(2x＋cos x)′＝(2x)′＋(cos x)′＝2xln 2－sin x，故D正确.
(2)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝x3＋x2f′(1)＋2x－1，则f′(2)等于
A.1　　　B.－9　　　C.－6　　　D.4
√
因为f(x)＝x3＋x2f′(1)＋2x－1，
所以f′(x)＝3x2＋2xf′(1)＋2，
把x＝1代入f′(x)，
得f′(1)＝3×12＋2f′(1)＋2，解得f′(1)＝－5，
所以f′(x)＝3x2－10x＋2，所以f′(2)＝－6.
(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.
(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.
(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
思维升华
√
√
√
f(x)＝sin(2x＋3)，f′(x)＝cos(2x＋3)·(2x＋3)′＝2cos(2x＋3)，故A正确；
f(x)＝e－2x＋1，则f′(x)＝－2e－2x＋1，故B错误；
f(x)＝xln x，f′(x)＝(x)′ln x＋x(ln x)′＝ln x＋1，故D正确.
命题点1　求切线方程
例2　(1)(2023·大同模拟)已知函数f(x)＝2e2ln x＋x2，则曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为
A.4ex－y＋e2＝0 B.4ex－y－e2＝0
C.4ex＋y＋e2＝0 D.4ex＋y－e2＝0
题型二
导数的几何意义
√
所以f(e)＝2e2ln e＋e2＝3e2，f′(e)＝4e，
所以曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为y－3e2＝4e(x－e)，即4ex－y－e2＝0.
(2)过坐标原点作曲线y＝ln x的切线，则切点的纵坐标为
√
设切点为P(x0，ln x0)(x0>0)，切线为l，
所以切点为P(e,1)，纵坐标为1.
命题点2　求参数的值(范围)
例3　(1)若直线y1＝ax＋a与曲线y2＝ln x＋2相切，则a等于
A.4　　　B.3　　　C.2　　　D.1
√
(2)(2022·新高考全国Ⅰ)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 .
(－∞，－4)∪(0，＋∞)
因为y＝(x＋a)ex，所以y′＝(x＋a＋1)ex.
设切点为A(x0，(x0＋a) )，O为坐标原点，
因为曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，
所以Δ＝a2＋4a>0，解得a<－4或a>0，
所以a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞).
(1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.
(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P的切线”.
跟踪训练2　(1)(2023·张家口模拟)已知函数f(x)＝ －2x＋ln x，则函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为
A.2x＋y－2＝0 B.2x－y－1＝0
C.2x＋y－1＝0 D.2x－y＋1＝0
√
所以f′(1)＝－2，
又f(1)＝－1，
故函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－(－1)＝－2(x－1)，化简得2x＋y－1＝0.
√
例4　(1)若存在过点(0，－2)的直线与曲线y＝x3和曲线y＝x2－x＋a都相切，则实数a的值是 .
题型三
两曲线的公切线
2
设切线为l，l与曲线y＝x3和曲线y＝x2－x＋a的切点分别为P(m，m3)，Q(n，n2－n＋a)，
令f(x)＝x3，则f′(x)＝3x2，f′(m)＝3m2，
则切线l的方程为y－m3＝3m2(x－m)，
又点(0，－2)在切线l上，则－2－m3＝3m2(0－m)，
解得m＝1，
则切线l的方程为y＝3x－2.
令h(x)＝x2－x＋a，则h′(x)＝2x－1，h′(n)＝2n－1，
则有2n－1＝3，即n＝2，
则切点Q(2，2＋a)，令H(0，－2)，
(2)(2022·海口模拟)已知存在a>0，使得两曲线f(x)＝aln x与g(x)＝x2－3x－b存在相同的切线，且切线的斜率为1，则b的最大值为 .
－3
令g′(x)＝2x－3＝1，得x＝2，∴切点为(2，－2－b).
代入切线方程y－aln a＝x－a，可得－2－b－aln a＝2－a，则b＝a－aln a－4，
令h(x)＝x－xln x－4，x>0，则h′(x)＝1－ln x－1＝－ln x，当00，当x>1时，h′(x)<0，
∴h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
∴h(x)max＝h(1)＝－3，即b的最大值为－3.
公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解.或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解.
跟踪训练3　(1)(2023·青岛模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)＝－2x2＋m，g(x)＝－3ln x－x，若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则m的值为
A.2 B.5
C.1 D.0
√
设两曲线y＝f(x)与y＝g(x)的公共点为(a，b)，其中a>0，
由f(x)＝－2x2＋m，可得f′(x)＝－4x，
则切线的斜率为k＝f′(a)＝－4a，
因为两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，
又由g(1)＝－1，
即公共点的坐标为(1，－1)，
将点(1，－1)代入f(x)＝－2x2＋m，可得m＝1.
(2)(2022·邢台市四校联考)若直线l与函数f(x)＝ex，g(x)＝ln x的图象分别相切于点A(x1，f(x1))，B(x2，g(x2))，则x1x2－x1＋x2等于
A.－2 B.－1
C.1 D.2
√
由f(x)＝ex，g(x)＝ln x，
曲线y＝f(x)在点A处的切线方程为y＝ x＋ (1－x1)，
所以 (1－x1)＝－1＋ln x2，
课时精练
第
三部
分
基础保分练
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1.(2023·广州模拟)曲线y＝x3＋1在点(－1，a)处的切线方程为
A.y＝3x＋3 B.y＝3x＋1
C.y＝－3x－1 D.y＝－3x－3
√
因为f′(x)＝3x2，所以f′(－1)＝3，
又当x＝－1时，a＝(－1)3＋1＝0，
所以y＝x3＋1在点(－1，a)处的切线方程为y＝3(x＋1)，
即y＝3x＋3.
2.记函数f(x)的导函数为f′(x).若f(x)＝exsin 2x，则f′(0)等于
A.2　　　B.1　　　C.0　　　D.－1
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√
因为f(x)＝exsin 2x，
则f′(x)＝ex(sin 2x＋2cos 2x)，
所以f′(0)＝e0(sin 0＋2cos 0)＝2.
3.(2022·广西三市联考)设函数f(x)在R上存在导函数f′(x)，f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程为y＝ ＋2，那么f(1)＋f′(1)等于
A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.4
√
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4.已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－e)，且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的斜率为
A.－2　　　B.2　　　C.－e　　　D.e
√
设切点坐标为(t，tln t)，∵f(x)＝xln x，∴f′(x)＝ln x＋1，直线l的斜率为f′(t)＝ln t＋1，
∴直线l的方程为y－tln t＝(ln t＋1)(x－t)，
将点(0，－e)的坐标代入直线l的方程得－e－tln t＝－t(ln t＋1)，解得t＝e，
∴直线l的斜率为f′(e)＝2.
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因为直线y＝2x－1的斜率等于2，
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6.(多选)定义方程f(x)＝f′(x)的实数根x0叫做函数f(x)的“新不动点”，则下列函数中只有一个“新不动点”的是
A.g(x)＝x·2x
B.g(x)＝－ex－2x
C.g(x)＝ln x
D.g(x)＝sin x＋2cos x
√
√
√
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对于A，g′(x)＝2x＋x·2x·ln 2，
由x·2x＝2x＋x·2x·ln 2，
∴g(x)只有一个“新不动点”，故A正确；
对于B，g′(x)＝－ex－2，
由－ex－2＝－ex－2x，得x＝1，
∴g(x)只有一个“新不动点”，故B正确；
∴g(x)只有一个“新不动点”，故C正确；
对于D，g′(x)＝cos x－2sin x，
由sin x＋2cos x＝cos x－2sin x，
得3sin x＝－cos x，
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∴g(x)有无数个“新不动点”，故D错误.
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7.写出一个同时具有性质：①f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，②当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0的函数f(x)＝ 　　　　　　 .
ln x(答案不唯一)
若函数f(x)＝ln x，则f(x1x2)＝ln(x1x2)＝ln x1＋ln x2＝f(x1)＋f(x2)，满足①；
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8.(2023·龙岩质检)函数f(x)＝x3＋ln x在点(1，f(1))处的切线l与两坐标轴
围成的三角形面积为 .
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所以f(1)＝1，f′(1)＝3＋1＝4，
所以函数f(x)在点(1，f(1))处的切线l：y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3.
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9.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln x.
(1)求f′(e)及f(e)的值；
∵f(x)＝2xf′(e)＋ln x，
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(2)求f(x)在点(e2，f(e2))处的切线方程.
即(2e－1)x＋e2y－e2＝0.
10.(2022·全国甲卷)已知函数f(x)＝x3－x，g(x)＝x2＋a，曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))处的切线也是曲线y＝g(x)的切线.
(1)若x1＝－1，求a；
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当x1＝－1时，f(－1)＝0，
所以切点坐标为(－1,0).
由f(x)＝x3－x，得f′(x)＝3x2－1，
所以切线斜率k＝f′(－1)＝2，
所以切线方程为y＝2(x＋1)，
即y＝2x＋2.
将y＝2x＋2代入y＝x2＋a，
得x2－2x＋a－2＝0.
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由切线与曲线y＝g(x)也相切，
得Δ＝(－2)2－4(a－2)＝0，
解得a＝3.
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(2)求a的取值范围.
令h(x)＝9x4－8x3－6x2＋1.
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则h′(x)＝36x3－24x2－12x＝12x(3x＋1)(x－1).
当x变化时，h′(x)，h(x)的变化如表所示，
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当x＝1时，h(x)取得极小值h(1)＝－4，
易知当x→－∞时，h(x)→＋∞，
当x→＋∞时，h(x)→＋∞，
所以函数h(x)的值域为[－4，＋∞)，
所以由4a∈[－4，＋∞)，得a∈[－1，＋∞)，
故实数a的取值范围为[－1，＋∞).
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11.若过点P(a,0)与曲线y＝xex相切的直线有且仅有两条，则实数a的取值范围是
A.a≥0 B.a<－2
C.a>2或a<－2 D.a>0或a<－4
综合提升练
√
设切点为(x0，x0 )，则y′| ＝(x0＋1) ，所以切线方程为y－x0 ＝(x0＋1) (x－x0)，切线过点P(a,0)，代入得－x0 ＝(x0＋1) (a－x0)，即方程 －ax0－a＝0有两个解，则有Δ＝a2＋4a>0，解得a>0或a<－4.
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拓展冲刺练
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√
因为a，b为正实数，所以a∈(0,2)，
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则函数g(a)在(0,2)上单调递增，所以0＝g(0)即g(a)∈(0,1)，
14.(2023·重庆模拟)设三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d，若曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线与曲线g(x)＝xf(x)在点(1,2)处的切线重合，则g′(2)＝ .
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－32
由题意知，f(0)＝0，
∴d＝0，f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
f(x)在(0,0)处的切线为y－0＝f′(0)(x－0)，
即y＝f′(0)x，
∵g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(1)＝f(1)＋f′(1)，
∴g(x)在(1,2)处的切线方程为y＝g′(1)x－g′(1)＋2，
又∵两条切线重合，
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∴f′(0)＝g′(1)＝2，
又∵g(1)＝f(1)＝2，g′(1)＝f(1)＋f′(1)，
∴f′(1)＝0，
∴f(x)＝－2x3＋2x2＋2x，f′(x)＝－6x2＋4x＋2，
∴g′(2)＝f(2)＋2f′(2)＝－32.
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14§3.1　导数的概念及其意义、导数的运算
考试要求　1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如f(ax＋b))的导数．
知识梳理
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作f′(x0)或y′|.
f′(x0)＝ ＝ .
(2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数)
f′(x)＝y′＝ .
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
3．基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axln a
f(x)＝ex f′(x)＝ex
f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝
f(x)＝ln x f′(x)＝
4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
′＝(g(x)≠0)；
[cf(x)]′＝cf′(x)．
5．复合函数的定义及其导数
复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
常用结论
1．区分在点处的切线与过点处的切线
(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条．
(2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条．
2.′＝(f(x)≠0)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(　×　)
(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(　×　)
(3)f′(x0)＝[f(x0)]′.(　×　)
(4)(cos 2x) ′＝－2sin 2x.(　√　)
教材改编题
1．若函数f(x)＝3x＋sin 2x，则(　　)
A．f′(x)＝3xln 3＋2cos 2x
B．f′(x)＝3x＋2cos 2x
C．f′(x)＝＋cos 2x
D．f′(x)＝－2cos 2x
答案　A
解析　因为函数f(x)＝3x＋sin 2x，
所以f′(x)＝3xln 3＋2cos 2x.
2．函数f(x)＝ex＋在x＝1处的切线方程为 ．
答案　y＝(e－1)x＋2
解析　由题意得，f′(x)＝ex－，∴f′(1)＝e－1，
又∵f(1)＝e＋1，
∴切点为(1，e＋1)，切线斜率k＝f′(1)＝e－1，
即切线方程为y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)，
即y＝(e－1)x＋2.
3．已知函数f(x)＝xln x＋ax2＋2，若f′(e)＝0，则a＝ .
答案　－
解析　由题意得f′(x)＝1＋ln x＋2ax，
∴f′(e)＝2ae＋2＝0，解得a＝－.
题型一　导数的运算
例1　(1)(多选)下列求导正确的是(　　)
A．[(3x＋5)3]′＝9(3x＋5)2
B．(x3ln x)′＝3x2ln x＋x2
C.′＝
D．(2x＋cos x)′＝2xln 2－sin x
答案　ABD
解析　对于A，[(3x＋5)3]′＝3(3x＋5)2(3x＋5)′＝9(3x＋5)2，故A正确；
对于B，(x3ln x)′＝(x3)′ln x＋x3(ln x)′＝3x2ln x＋x2，故B正确；
对于C，′＝＝，故C错误；
对于D，(2x＋cos x)′＝(2x)′＋(cos x)′＝2xln 2－sin x，故D正确．
(2)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝x3＋x2f′(1)＋2x－1，则f′(2)等于(　　)
A．1 B．－9 C．－6 D．4
答案　C
解析　因为f(x)＝x3＋x2f′(1)＋2x－1，
所以f′(x)＝3x2＋2xf′(1)＋2，
把x＝1代入f′(x)，
得f′(1)＝3×12＋2f′(1)＋2，解得f′(1)＝－5，
所以f′(x)＝3x2－10x＋2，所以f′(2)＝－6.
思维升华　(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导．
(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解．
(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元．
跟踪训练1　(1)(多选)下列求导运算正确的是(　　)
A．若f(x)＝sin(2x＋3)，则f′(x)＝2cos(2x＋3)
B．若f(x)＝e－2x＋1，则f′(x)＝e－2x＋1
C．若f(x)＝，则f′(x)＝
D．若f(x)＝xln x，则f′(x)＝ln x＋1
答案　ACD
解析　f(x)＝sin(2x＋3)，f′(x)＝cos(2x＋3)·(2x＋3)′＝2cos(2x＋3)，故A正确；
f(x)＝e－2x＋1，则f′(x)＝－2e－2x＋1，故B错误；
f(x)＝，f′(x)＝＝，故C正确；
f(x)＝xln x，f′(x)＝(x)′ln x＋x(ln x)′＝ln x＋1，故D正确．
(2)函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)＝x2＋f′sin x，则f ＝ .
答案　＋
解析　∵f′(x)＝2x＋f′cos x，
∴f′＝＋f′，
∴f′＝，∴f(x)＝x2＋sin x，
∴f ＝＋.
题型二　导数的几何意义
命题点1　求切线方程
例2　(1)(2023·大同模拟)已知函数f(x)＝2e2ln x＋x2，则曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为(　　)
A．4ex－y＋e2＝0 B．4ex－y－e2＝0
C．4ex＋y＋e2＝0 D．4ex＋y－e2＝0
答案　B
解析　因为f(x)＝2e2ln x＋x2，所以f′(x)＝＋2x，
所以f(e)＝2e2ln e＋e2＝3e2，f′(e)＝4e，
所以曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为y－3e2＝4e(x－e)，即4ex－y－e2＝0.
(2)过坐标原点作曲线y＝ln x的切线，则切点的纵坐标为(　　)
A．e B．1 C. D.
答案　B
解析　设切点为P(x0，ln x0)(x0>0)，切线为l，
由y＝ln x，得y′＝，所以y′|＝，
所以曲线在点P处的切线l的方程为y－ln x0＝(x－x0)，
又l过点(0,0)，所以－ln x0＝(－x0)，解得x0＝e，
所以切点为P(e,1)，纵坐标为1.
命题点2　求参数的值(范围)
例3　(1)若直线y1＝ax＋a与曲线y2＝ln x＋2相切，则a等于(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
答案　D
解析　由题设，y2′＝，根据＝a知x＝，
所以当x＝时，y1＝1＋a，即切点为，
则1＋a＝ln ＋2，解得a＝1.
(2)(2022·新高考全国Ⅰ)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ．
答案　(－∞，－4)∪(0，＋∞)
解析　因为y＝(x＋a)ex，所以y′＝(x＋a＋1)ex.设切点为A(x0，(x0＋a))，O为坐标原点，依题意得，切线斜率kOA＝y′|＝(x0＋a＋1)＝，化简，得x＋ax0－a＝0.因为曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，所以关于x0的方程x＋ax0－a＝0有两个不同的根，所以Δ＝a2＋4a>0，解得a<－4或a>0，所以a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)．
思维升华　(1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．
(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P的切线”．
跟踪训练2　(1)(2023·张家口模拟)已知函数f(x)＝－2x＋ln x，则函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为(　　)
A．2x＋y－2＝0 B．2x－y－1＝0
C．2x＋y－1＝0 D．2x－y＋1＝0
答案　C
解析　因为f′(x)＝－－2＋，
所以f′(1)＝－2，
又f(1)＝－1，
故函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－(－1)＝－2(x－1)，化简得2x＋y－1＝0.
(2)(2023·泸州模拟)已知曲线y＝在点处的切线方程为y＝x＋b，则a的值是(　　)
A. B．－2 C．－ D．2
答案　D
解析　令y＝f(x)＝，则f′(x)＝，
曲线在点处的切线的斜率为f′(π)＝＝，解得a＝2.
题型三　两曲线的公切线
例4　(1)若存在过点(0，－2)的直线与曲线y＝x3和曲线y＝x2－x＋a都相切，则实数a的值是 ．
答案　2
解析　设切线为l，l与曲线y＝x3和曲线y＝x2－x＋a的切点分别为P(m，m3)，Q(n，n2－n＋a)，
令f(x)＝x3，则f′(x)＝3x2，f′(m)＝3m2，
则切线l的方程为y－m3＝3m2(x－m)，
又点(0，－2)在切线l上，则－2－m3＝3m2(0－m)，
解得m＝1，
则切线l的方程为y＝3x－2.
令h(x)＝x2－x＋a，则h′(x)＝2x－1，h′(n)＝2n－1，
则有2n－1＝3，即n＝2，
则切点Q(2,2＋a)，令H(0，－2)，
由kHQ＝＝3，可得a＝2.
(2)(2022·海口模拟)已知存在a>0，使得两曲线f(x)＝aln x与g(x)＝x2－3x－b存在相同的切线，且切线的斜率为1，则b的最大值为 ．
答案　－3
解析　f′(x)＝，g′(x)＝2x－3，
令f′(x)＝＝1，得x＝a，∴切点为(a，aln a)，
令g′(x)＝2x－3＝1，得x＝2，∴切点为(2，－2－b)．
代入切线方程y－aln a＝x－a，可得－2－b－aln a＝2－a，则b＝a－aln a－4，
令h(x)＝x－xln x－4，x>0，则h′(x)＝1－ln x－1＝－ln x，当00，当x>1时，h′(x)<0，
∴h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
∴h(x)max＝h(1)＝－3，即b的最大值为－3.
思维升华　公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解．
跟踪训练3　(1)(2023·青岛模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)＝－2x2＋m，g(x)＝－3ln x－x，若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则m的值为(　　)
A．2 B．5 C．1 D．0
答案　C
解析　设两曲线y＝f(x)与y＝g(x)的公共点为(a，b)，其中a>0，
由f(x)＝－2x2＋m，可得f′(x)＝－4x，
则切线的斜率为k＝f′(a)＝－4a，
由g(x)＝－3ln x－x，可得g′(x)＝－－1，
则切线的斜率为k＝g′(a)＝－－1，
因为两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，
所以－4a＝－－1，
解得a＝1或a＝－(舍去)，
又由g(1)＝－1，
即公共点的坐标为(1，－1)，
将点(1，－1)代入f(x)＝－2x2＋m，可得m＝1.
(2)(2022·邢台市四校联考)若直线l与函数f(x)＝ex，g(x)＝ln x的图象分别相切于点A(x1，f(x1))，B(x2，g(x2))，则x1x2－x1＋x2等于(　　)
A．－2 B．－1 C．1 D．2
答案　B
解析　由f(x)＝ex，g(x)＝ln x，
得f′(x)＝ex，g′(x)＝，
则＝，ln ＝ln ，即x1＝－ln x2.
曲线y＝f(x)在点A处的切线方程为y＝x＋(1－x1)，
曲线y＝g(x)在点B处的切线方程为y＝x－1＋ln x2，
所以(1－x1)＝－1＋ln x2，
可得(1－x1)＝－1－x1，
整理得x1x2－x1＋x2＝－1.
课时精练
1．(2023·广州模拟)曲线y＝x3＋1在点(－1，a)处的切线方程为(　　)
A．y＝3x＋3 B．y＝3x＋1
C．y＝－3x－1 D．y＝－3x－3
答案　A
解析　因为f′(x)＝3x2，所以f′(－1)＝3，
又当x＝－1时，a＝(－1)3＋1＝0，
所以y＝x3＋1在点(－1，a)处的切线方程为y＝3(x＋1)，
即y＝3x＋3.
2．记函数f(x)的导函数为f′(x)．若f(x)＝exsin 2x，则f′(0)等于(　　)
A．2 B．1 C．0 D．－1
答案　A
解析　因为f(x)＝exsin 2x，
则f′(x)＝ex(sin 2x＋2cos 2x)，
所以f′(0)＝e0(sin 0＋2cos 0)＝2.
3．(2022·广西三市联考)设函数f(x)在R上存在导函数f′(x)，f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程为y＝x＋2，那么f(1)＋f′(1)等于(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　C
解析　由题意得f(1)＝×1＋2＝，
f′(1)＝，
所以f(1)＋f′(1)＝＋＝3.
4．已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－e)，且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的斜率为(　　)
A．－2 B．2 C．－e D．e
答案　B
解析　设切点坐标为(t，tln t)，∵f(x)＝xln x，∴f′(x)＝ln x＋1，直线l的斜率为f′(t)＝ln t＋1，
∴直线l的方程为y－tln t＝(ln t＋1)(x－t)，
将点(0，－e)的坐标代入直线l的方程得－e－tln t＝－t(ln t＋1)，解得t＝e，
∴直线l的斜率为f′(e)＝2.
5．(2023·衡水模拟)动直线l分别与直线y＝2x－1，曲线y＝x2－ln x相交于A，B两点，则|AB|的最小值为(　　)
A. B. C．1 D.
答案　A
解析　设点A是直线y＝2x－1上任意一点，点B是曲线y＝x2－ln x上任意一点，当点B处的切线和直线y＝2x－1平行时，这两条平行线间的距离|AB|的值最小，
因为直线y＝2x－1的斜率等于2，
曲线y＝x2－ln x的导数y′＝3x－，令y′＝2，
可得x＝1或x＝－(舍去)，
故此时点B的坐标为，|AB|min＝＝.
6．(多选)定义方程f(x)＝f′(x)的实数根x0叫做函数f(x)的“新不动点”，则下列函数中只有一个“新不动点”的是(　　)
A．g(x)＝x·2x
B．g(x)＝－ex－2x
C．g(x)＝ln x
D．g(x)＝sin x＋2cos x
答案　ABC
解析　对于A，g′(x)＝2x＋x·2x·ln 2，
由x·2x＝2x＋x·2x·ln 2，
解得x＝，
∴g(x)只有一个“新不动点”，故A正确；
对于B，g′(x)＝－ex－2，
由－ex－2＝－ex－2x，得x＝1，
∴g(x)只有一个“新不动点”，故B正确；
对于C，g′(x)＝，
根据y＝ln x和y＝的图象可看出ln x＝只有一个实数根，
∴g(x)只有一个“新不动点”，故C正确；
对于D，g′(x)＝cos x－2sin x，
由sin x＋2cos x＝cos x－2sin x，
得3sin x＝－cos x，
∴tan x＝－，
根据y＝tan x和y＝－的图象可看出方程tan x＝－有无数个解，
∴g(x)有无数个“新不动点”，故D错误．
7．写出一个同时具有性质：①f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，②当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0的函数f(x)＝ .
答案　ln x(答案不唯一)
解析　若函数f(x)＝ln x，则f(x1x2)＝ln(x1x2)＝ln x1＋ln x2＝f(x1)＋f(x2)，满足①；f(x)＝ln x的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝>0，满足②，故f(x)＝ln x符合题意．
8．(2023·龙岩质检)函数f(x)＝x3＋ln x在点(1，f(1))处的切线l与两坐标轴围成的三角形面积为 ．
答案　
解析　f(x)＝x3＋ln x的导数为f′(x)＝3x2＋，
所以f(1)＝1，f′(1)＝3＋1＝4，
所以函数f(x)在点(1，f(1))处的切线l：y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3.
所以l与坐标轴的交点为(0，－3)和，
所以切线l与两坐标轴围成的三角形面积为×3×＝.
9．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln x.
(1)求f′(e)及f(e)的值；
(2)求f(x)在点(e2，f(e2))处的切线方程．
解　(1)∵f(x)＝2xf′(e)＋ln x，
∴f′(x)＝2f′(e)＋，f′(e)＝2f′(e)＋，
∴f′(e)＝－，f(x)＝－＋ln x，
∴f(e)＝－＋ln e＝－1.
(2)∵f(x)＝－＋ln x，f′(x)＝－＋，
∴f(e2)＝－＋ln e2＝2－2e，f′(e2)＝－＋，
∴f(x)在点(e2，f(e2))处的切线方程为y－(2－2e)＝(x－e2)，
即(2e－1)x＋e2y－e2＝0.
10．(2022·全国甲卷)已知函数f(x)＝x3－x，g(x)＝x2＋a，曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))处的切线也是曲线y＝g(x)的切线．
(1)若x1＝－1，求a；
(2)求a的取值范围．
解　(1)当x1＝－1时，f(－1)＝0，
所以切点坐标为(－1,0)．
由f(x)＝x3－x，得f′(x)＝3x2－1，
所以切线斜率k＝f′(－1)＝2，
所以切线方程为y＝2(x＋1)，
即y＝2x＋2.
将y＝2x＋2代入y＝x2＋a，
得x2－2x＋a－2＝0.
由切线与曲线y＝g(x)也相切，
得Δ＝(－2)2－4(a－2)＝0，
解得a＝3.
(2)由(1)知，y＝f(x)在点(x1，f(x1))处的切线斜率k＝f′(x1)＝3x－1，
又f(x1)＝x－x1，所以切线方程为
y－(x－x1)＝(3x－1)(x－x1)，
即y＝(3x－1)x－2x.
将y＝(3x－1)x－2x代入y＝x2＋a，
得x2－(3x－1)x＋a＋2x＝0.
由切线与曲线y＝g(x)也相切，得
Δ＝(3x－1)2－4(a＋2x)＝0，
整理，得4a＝9x－8x－6x＋1.
令h(x)＝9x4－8x3－6x2＋1.
则h′(x)＝36x3－24x2－12x＝12x(3x＋1)(x－1)．
由h′(x)＝0，得x＝－，0,1，
当x变化时，h′(x)，h(x)的变化如表所示，
x (－∞，－) － (－，0) 0 (0,1) 1 (1，＋∞)
h′(x) － 0 ＋ 0 － 0 ＋
h(x) ??↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
由表知，当x＝－时，h(x)取得极小值h＝，
当x＝1时，h(x)取得极小值h(1)＝－4，
易知当x→－∞时，h(x)→＋∞，
当x→＋∞时，h(x)→＋∞，
所以函数h(x)的值域为[－4，＋∞)，
所以由4a∈[－4，＋∞)，得a∈[－1，＋∞)，
故实数a的取值范围为[－1，＋∞)．
11．若过点P(a,0)与曲线y＝xex相切的直线有且仅有两条，则实数a的取值范围是(　　)
A．a≥0 B．a<－2
C．a>2或a<－2 D．a>0或a<－4
答案　D
解析　设切点为(x0，x0)，则y′|＝(x0＋1)，所以切线方程为y－x0＝(x0＋1)(x－x0)，切线过点P(a,0)，代入得－x0＝(x0＋1)(a－x0)，即方程x－ax0－a＝0有两个解，则有Δ＝a2＋4a>0，解得a>0或a<－4.
12．我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型分式，比如：当x→0时，的极限即为型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在．为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如： ＝ ＝ ＝ex＝e0＝1，则 ＝ .
答案　
解析　 ＝ ＝ ＝＝ln 1＋＝.
13．已知a，b为正实数，直线y＝x－与曲线y＝ln相切，则的取值范围是(　　)
A．(－∞，0) B.
C．[1，＋∞) D．(0,1)
答案　D
解析　函数y＝ln的导函数为y′＝，令y′＝＝1，解得x＝1－，所以切点为，
代入y＝x－，得a＋b＝2，
因为a，b为正实数，所以a∈(0,2)，
则＝，
令g(a)＝，a∈(0,2)，则g′(a)＝>0，
则函数g(a)在(0,2)上单调递增，所以0＝g(0)所以∈(0,1)．
14．(2023·重庆模拟)设三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d，若曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线与曲线g(x)＝xf(x)在点(1,2)处的切线重合，则g′(2)＝ .
答案　－32
解析　由题意知，f(0)＝0，
∴d＝0，f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
f(x)在(0,0)处的切线为y－0＝f′(0)(x－0)，
即y＝f′(0)x，
∵g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(1)＝f(1)＋f′(1)，
∴g(x)在(1,2)处的切线方程为y＝g′(1)x－g′(1)＋2，
又∵两条切线重合，
∴
∴f′(0)＝g′(1)＝2，
又∵g(1)＝f(1)＝2，g′(1)＝f(1)＋f′(1)，
∴f′(1)＝0，
∴
解得
∴f(x)＝－2x3＋2x2＋2x，f′(x)＝－6x2＋4x＋2，
∴g′(2)＝f(2)＋2f′(2)＝－32.§3.1　导数的概念及其意义、导数的运算
考试要求　1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如f(ax＋b))的导数．
知识梳理
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作________或________．
f′(x0)＝ ＝________________.
(2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数)
f′(x)＝y′＝ .
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的________，相应的切线方程为________________．
3．基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝________
f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f′(x)＝________
f(x)＝sin x f′(x)＝________
f(x)＝cos x f′(x)＝________
f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝________
f(x)＝ex f′(x)＝________
f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝________
f(x)＝ln x f′(x)＝________
4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有
[f(x)±g(x)]′＝________________；
[f(x)g(x)]′＝________________________；
′＝(g(x)≠0)；
[cf(x)]′＝________.
5．复合函数的定义及其导数
复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝____________，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
常用结论
1．区分在点处的切线与过点处的切线
(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条．
(2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条．
2.′＝(f(x)≠0)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(　　)
(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(　　)
(3)f′(x0)＝[f(x0)]′.(　　)
(4)(cos 2x) ′＝－2sin 2x.(　　)
教材改编题
1．若函数f(x)＝3x＋sin 2x，则(　　)
A．f′(x)＝3xln 3＋2cos 2x
B．f′(x)＝3x＋2cos 2x
C．f′(x)＝＋cos 2x
D．f′(x)＝－2cos 2x
2．函数f(x)＝ex＋在x＝1处的切线方程为________________．
3．已知函数f(x)＝xln x＋ax2＋2，若f′(e)＝0，则a＝________.
题型一　导数的运算
例1 (1)(多选)下列求导正确的是(　　)
A．[(3x＋5)3]′＝9(3x＋5)2
B．(x3ln x)′＝3x2ln x＋x2
C.′＝
D．(2x＋cos x)′＝2xln 2－sin x
(2)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝x3＋x2f′(1)＋2x－1，则f′(2)等于(　　)
A．1 B．－9 C．－6 D．4
听课记录： ______________________________________________________________
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思维升华 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导．
(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解．
(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元．
跟踪训练1 (1)(多选)下列求导运算正确的是(　　)
A．若f(x)＝sin(2x＋3)，则f′(x)＝2cos(2x＋3)
B．若f(x)＝e－2x＋1，则f′(x)＝e－2x＋1
C．若f(x)＝，则f′(x)＝
D．若f(x)＝xln x，则f′(x)＝ln x＋1
(2)函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)＝x2＋f′sin x，则f ＝________.
题型二　导数的几何意义
命题点1　求切线方程
例2 (1)(2023·大同模拟)已知函数f(x)＝2e2·ln x＋x2，则曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为(　　)
A．4ex－y＋e2＝0 B．4ex－y－e2＝0
C．4ex＋y＋e2＝0 D．4ex＋y－e2＝0
(2)过坐标原点作曲线y＝ln x的切线，则切点的纵坐标为(　　)
A．e B．1 C. D.
听课记录： ______________________________________________________________
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命题点2　求参数的值(范围)
例3 (1)若直线y1＝ax＋a与曲线y2＝ln x＋2相切，则a等于(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
(2)(2022·新高考全国Ⅰ)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．
听课记录： ______________________________________________________________
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思维升华 (1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．
(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P的切线”．
跟踪训练2 (1)(2023·张家口模拟)已知函数f(x)＝－2x＋ln x，则函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为(　　)
A．2x＋y－2＝0 B．2x－y－1＝0
C．2x＋y－1＝0 D．2x－y＋1＝0
(2)(2023·泸州模拟)已知曲线y＝在点处的切线方程为y＝x＋b，则a的值是(　　)
A. B．－2 C．－ D．2
题型三　两曲线的公切线
例4 (1)若存在过点(0，－2)的直线与曲线y＝x3和曲线y＝x2－x＋a都相切，则实数a的值是________．
(2)(2022·海口模拟)已知存在a>0，使得两曲线f(x)＝aln x与g(x)＝x2－3x－b存在相同的切线，且切线的斜率为1，则b的最大值为________．
听课记录： ______________________________________________________________
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思维升华 公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解．
跟踪训练3 (1)(2023·青岛模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)＝－2x2＋m，g(x)＝－3ln x－x，若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则m的值为(　　)
A．2 B．5 C．1 D．0
(2)(2022·邢台市四校联考)若直线l与函数f(x)＝ex，g(x)＝ln x的图象分别相切于点A(x1，f(x1))，B(x2，g(x2))，则x1x2－x1＋x2等于(　　)
A．－2 B．－1 C．1 D．2

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