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(共71张PPT)
第三章　一元函数的导数及其应用
§3.2　导数与函数的单调性
1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.
2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般
不超过三次).
3.会利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等简单应用.
考试要求
内容索引
第一部分
第二部分
第三部分
落实主干知识
探究核心题型
课时精练
落实主干知识
第
一
部
分
1.函数的单调性与导数的关系
条件 恒有 结论
函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f′(x)>0 f(x)在区间(a，b)上_________
f′(x)<0 f(x)在区间(a，b)上_________
f′(x)＝0 f(x)在区间(a，b)上是_________
单调递增
单调递减
常数函数
2.利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数的 ；
第2步，求出导数f′(x)的 ；
第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性.
定义域
零点
1.若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则当x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则当x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立.
2.若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)<0有解.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性.
(　　)
(2)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内单调递减.(　　)
(3)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则f(x)在定义域上一定单调递增.
(　　)
(4)函数f(x)＝x－sin x在R上是增函数.(　　)
√
√
×
√
1.f′(x)是f(x)的导函数，若f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是
√
由f′(x)的图象知，
当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0，∴f(x)单调递增；
当x∈(0，x1)时，f′(x)<0，∴f(x)单调递减；
当x∈(x1，＋∞)时，f′(x)>0，∴f(x)单调递增.
2.函数f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是
A.(0,1) B.(1，＋∞)
C.(－∞，1) D.(－1,1)
√
令f′(x)＝0，得x＝1(负值舍去)，
∴当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增.
探究核心题型
第
二部
分
题型一
不含参函数的单调性
f(x)的定义域为(0，＋∞)，
(0,1)
f(x)的定义域为(0，＋∞)，
φ(x)在(0，＋∞)上单调递减，且φ(1)＝0，
∴当x∈(0,1)时，φ(x)>0，
当x∈(1，＋∞)时，φ(x)<0，
∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减.
∴函数f(x)的单调递增区间为(0,1).
确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点，一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开.
思维升华
令g(x)＝x－ex，则g′(x)＝1－ex，
可得g(x)在(0，＋∞)上单调递减，
所以g(x)所以当x∈(0,1)时，f′(x)>0；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，
所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减.
例2　已知函数f(x)＝aex－x，a∈R.
(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
题型二
含参数的函数的单调性
因为a＝1，
所以f(x)＝ex－x，则f′(x)＝ex－1，
所以f′(1)＝e－1，f(1)＝e－1，
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是y－(e－1)＝(e－1)(x－1)，
即y＝(e－1)x.
(2)试讨论函数f(x)的单调性.
因为f(x)＝aex－x，a∈R，x∈R，所以f′(x)＝aex－1，
当a≤0时，f′(x)＝aex－1<0，则f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减；
当a>0时，令f′(x)＝0，得x＝－ln a，
当x<－ln a时，f′(x)<0，当x>－ln a时，f′(x)>0，
所以f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减，
在(－ln a，＋∞)上单调递增，
综上，当a≤0时，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减；
当a>0时， f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增.
(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.
(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点.
跟踪训练2　(2023·潍坊模拟)已知函数f(x)＝ex－ax－a，a∈R，讨论f(x)的单调区间.
函数f(x)＝ex－ax－a的定义域为R，
求导得f′(x)＝ex－a，
当a≤0时，f′(x)>0恒成立，即f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；
当a>0时，令f′(x)＝ex－a>0，解得x>ln a，令f′(x)＝ex－a<0，解得x即f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，
所以当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间；
当a>0时，f(x)的单调递减区间为(－∞，ln a)，单调递增区间为(ln a，＋∞).
命题点1　比较大小或解不等式
例3　(1)(多选)下列不等式成立的是
题型三
函数单调性的应用
√
√
所以当00，函数f(x)单调递增；
当x>e时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减.
因为e<4<5，
所以f(4)>f(5)，即5ln 4>4ln 5，
故选项C不正确；
因为e<π，
所以f(e)>f(π)，即π>eln π，故选项D正确.
(2)函数f(x)＝ex－e－x＋sin x，则不等式f(x)>0的解集是
A.(0，＋∞) B.(－∞，0)
C.(0，π) D.(－π，0)
√
对函数f(x)求导得f′(x)＝ex＋e－x＋cos x，
因为f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，所以f(x)在R上单调递增，
又因为f(0)＝e0－e－0＋sin 0＝0，所以f(x)>0的解集为(0，＋∞).
命题点2　根据函数的单调性求参数
例4　已知函数f(x)＝ln x－ ax2－2x(a≠0).
(1)若f(x)在[1,4]上单调递减，求实数a的取值范围；
因为f(x)在[1,4]上单调递减，
(2)若f(x)在[1,4]上存在单调递减区间，求实数a的取值范围.
因为f(x)在[1,4]上存在单调递减区间，
所以a>－1，又因为a≠0，所以实数a的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞).
由函数的单调性求参数的取值范围的方法
(1)函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立.
(2)函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)>0 (或f′(x)<0)在该区间上存在解集.
跟踪训练3　(1)设函数f(x)是定义域为R的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－cos x，则不等式f(2x－1)＋f(x－2)>0的解集为
√
根据题意，当x≥0时，f(x)＝ex－cos x，
此时有f′(x)＝ex＋sin x>0，则f(x)在[0，＋∞)上为增函数，
又f(x)为R上的奇函数，故f(x)在R上为增函数.
f(2x－1)＋f(x－2)>0 f(2x－1)>－f(x－2) f(2x－1)>f(2－x) 2x－1>2－x，解得x>1，即不等式的解集为(1，＋∞).
(2)已知函数f(x)＝－ x2－3x＋4ln x在(t，t＋2)上不单调，则实数t的取值范围是______.
[0,1)
当f′(x)＝0时，有x2＋3x－4＝0，得x＝－4或x＝1，
∵f(x)在(t，t＋2)上不单调，且(t，t＋2) (0，＋∞)，
课时精练
第
三部
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基础保分练
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1.函数f(x)＝xln x＋1的单调递减区间是
√
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f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝1＋ln x，
2.已知f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，且y＝f′(x)的图象如图所示， 则y＝f(x)函数的图象可能是
√
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根据导函数的图象可得，当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0，则f(x)单调递减；
当x∈(0,2)时，f′(x)>0，则f(x)单调递增；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)<0，则f(x)单调递减，
所以只有D选项符合.
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当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
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4.若函数f(x)＝x2－ax＋ln x在区间(1，e)上单调递增，则a的取值范围是
A.[3，＋∞) B.(－∞，3]
C.[3，e2＋1] D.(－∞，e2＋1]
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所以g(x)在(1，e)上单调递增，又g(1)＝3，所以a≤3.
即a的取值范围是(－∞，3].
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5.(多选)已知定义域为R的连续函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足
<0，当m<0时，下列关系中一定成立的是
A.f(2)>f(3)
B.f(4)C.f(2)＋f(4)<2f(3)
D.f(2)＋f(4)>2f(3)
√
√
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又m<0，则(x－3)f′(x)>0，
当x>3时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x<3时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
所以f(2)>f(3)，f(4)>f(3)，
所以f(2)＋f(4)>2f(3).
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6.(多选)如果函数f(x)对定义域内的任意两实数x1，x2(x1≠x2)都有
>0，则称函数y＝f(x)为“F函数”.下列函数不是“F
函数”的是
A.f(x)＝ex B.f(x)＝x2
C.f(x)＝ln x D.f(x)＝sin x
√
√
√
依题意，函数g(x)＝xf(x)为定义域上的增函数.
对于A，g(x)＝xex，g′(x)＝(x＋1)ex，
当x∈(－∞，－1)时，g′(x)<0，
∴g(x)在(－∞，－1)上单调递减，故A中函数不是“F函数”；
对于B，g(x)＝x3在R上单调递增，故B中函数为“F函数”；
对于C，g(x)＝xln x，g′(x)＝1＋ln x，x>0，
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故C中函数不是“F函数”；
对于D，g(x)＝xsin x，g′(x)＝sin x＋xcos x，
故D中函数不是“F函数”.
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7.函数f(x)＝e－xcos x(x∈(0，π))的单调递增区间为________.
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(－∞，0)∪(4，＋∞)
由函数f(x)存在三个单调区间，可得f′(x)有两个不相等的实数根，
则满足Δ＝a2－4a>0，解得a<0或a>4，
即实数a的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞).
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9.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋1，a∈R.
(1)讨论函数f(x)的单调区间；
当a＝0时，f′(x)＝3x2≥0恒成立，所以f(x)的单调递增区间是(－∞，＋∞)，没有单调递减区间；
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解得a＝1.
10.已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex，x∈R.
(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；
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当a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)ex，f′(x)＝－(x2－2)ex，
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(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求实数a的取值范围.
f′(x)＝[－x2＋(a－2)x＋a]ex，若f(x)在(－1,1)上单调递增，
即当－1即－x2＋(a－2)x＋a≥0对x∈(－1,1)恒成立，
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11.(多选)已知函数f(x)＝ln(e2x＋1)－x，则下列说法正确的是
A.f(ln 2)＝
B.f(x)是奇函数
C.f(x)在(0，＋∞)上单调递增
D.f(x)的最小值为ln 2
综合提升练
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f(x)＝ln(e2x＋1)－x＝ln(ex＋e－x)定义域为R，其中f(－x)＝ln(e－x＋ex)＝f(x)，故f(x)是偶函数，B错误；
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根据f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(x)是偶函数，可得f(x)在(－∞，0)
上单调递减，故f(x)的最小值为f(0)＝ln 2，D正确.
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12.已知函数f(x)＝ －2x2＋ln x(a>0)，若函数f(x)在[1,2]上不单调，则
实数a的取值范围是________.
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拓展冲刺练
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13.已知函数f(x)＝ex－e－x＋ ＋1，实数a，b满足不等式f(3a＋b)
＋f(a－1)<2，则下列不等式成立的是
A.2a＋b<－1 B.2a＋b>－1
C.4a＋b<1 D.4a＋b>1
√
f(3a＋b)＋f(a－1)<2，即g(3a＋b)＋g(a－1)<0，
∴g(x)是增函数，
∵g(3a＋b)＋g(a－1)<0，∴g(3a＋b)<－g(a－1)＝g(1－a)，
则3a＋b<1－a，即4a＋b<1.
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14.(2023·蚌埠模拟)若x1· ＝x2·log2x2＝2 024，则x1x2的值为________.
2 024
因为x1· ＝x2·log2x2＝2 024，
所以 log2 ＝x2·log2x2＝2 024，
则 >1，x1>0，x2>1，
即f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以 ＝x2，
所以x1x2＝x1· ＝2 024.§3.2　导数与函数的单调性
考试要求　1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).3.会利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等简单应用．
知识梳理
1．函数的单调性与导数的关系
条件 恒有 结论
函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f′(x)>0 f(x)在区间(a，b)上单调递增
f′(x)<0 f(x)在区间(a，b)上单调递减
f′(x)＝0 f(x)在区间(a，b)上是常数函数
2.利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导数f′(x)的零点；
第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．
常用结论
1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则当x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则当x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立．
2．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)<0有解．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．(　√　)
(2)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内单调递减．(　√　)
(3)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则f(x)在定义域上一定单调递增．(　×　)
(4)函数f(x)＝x－sin x在R上是增函数．(　√　)
教材改编题
1．f′(x)是f(x)的导函数，若f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是(　　)
答案　C
解析　由f′(x)的图象知，
当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0，∴f(x)单调递增；
当x∈(0，x1)时，f′(x)<0，∴f(x)单调递减；
当x∈(x1，＋∞)时，f′(x)>0，∴f(x)单调递增．
2．函数f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是(　　)
A．(0,1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－1,1)
答案　A
解析　∵f′(x)＝2x－
＝(x>0)，
令f′(x)＝0，得x＝1(负值舍去)，
∴当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
3．已知函数f(x)＝xsin x，x∈R，则f ，f(1)，f 的大小关系为________________．(用“<”连接)
答案　f 解析　因为f(x)＝xsin x，当x∈时，f′(x)＝sin x＋xcos x>0，所以函数f(x)在上单调递增，又因为0<<1<<，所以f 题型一　不含参函数的单调性
例1　(1)函数f(x)＝＋＋x的单调递减区间为________．
答案　
解析　f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－＋1＝，
当x∈时，f′(x)<0，
当x∈时，f′(x)>0，
∴f(x)的单调递减区间为.
(2)若函数f(x)＝，则函数f(x)的单调递增区间为________．
答案　(0,1)
解析　f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝，
令φ(x)＝－ln x－1(x>0)，
φ′(x)＝－－<0，
φ(x)在(0，＋∞)上单调递减，且φ(1)＝0，
∴当x∈(0,1)时，φ(x)>0，
当x∈(1，＋∞)时，φ(x)<0，
∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．
∴函数f(x)的单调递增区间为(0,1)．
思维升华　确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点，一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．
跟踪训练1　已知函数f(x)＝x－ln x－.判断函数f(x)的单调性．
解　因为f(x)＝x－ln x－，
所以f′(x)＝1－－＝(x>0)．
令g(x)＝x－ex，则g′(x)＝1－ex，
可得g(x)在(0，＋∞)上单调递减，
所以g(x)所以当x∈(0,1)时，f′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，
所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．
题型二　含参数的函数的单调性
例2　已知函数f(x)＝aex－x，a∈R.
(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)试讨论函数f(x)的单调性．
解　(1)因为a＝1，
所以f(x)＝ex－x，则f′(x)＝ex－1，
所以f′(1)＝e－1，f(1)＝e－1，
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是y－(e－1)＝(e－1)(x－1)，
即y＝(e－1)x.
(2)因为f(x)＝aex－x，a∈R，x∈R，
所以f′(x)＝aex－1，
当a≤0时，f′(x)＝aex－1<0，则f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减；
当a>0时，令f′(x)＝0，得x＝－ln a，
当x<－ln a时，f′(x)<0，当x>－ln a时，f′(x)>0，
所以f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减，
在(－ln a，＋∞)上单调递增，
综上，当a≤0时，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减；
当a>0时， f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增．
思维升华　(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．
(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．
跟踪训练2　(2023·潍坊模拟)已知函数f(x)＝ex－ax－a，a∈R，讨论f(x)的单调区间．
解　函数f(x)＝ex－ax－a的定义域为R，
求导得f′(x)＝ex－a，
当a≤0时，f′(x)>0恒成立，即f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；
当a>0时，令f′(x)＝ex－a>0，解得x>ln a，令f′(x)＝ex－a<0，解得x即f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，
所以当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间；
当a>0时，f(x)的单调递减区间为(－∞，ln a)，单调递增区间为(ln a，＋∞)．
题型三　函数单调性的应用
命题点1　比较大小或解不等式
例3　(1)(多选)下列不等式成立的是(　　)
A．2ln C．5ln 4<4ln 5 D．π>eln π
答案　AD
解析　设f(x)＝(x>0)，
则f′(x)＝，
所以当00，函数f(x)单调递增；
当x>e时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减．
因为<2所以f 即2ln 因为<所以f()即ln >ln ，故选项B不正确；
因为e<4<5，
所以f(4)>f(5)，即5ln 4>4ln 5，
故选项C不正确；
因为e<π，
所以f(e)>f(π)，即π>eln π，故选项D正确．
(2)函数f(x)＝ex－e－x＋sin x，则不等式f(x)>0的解集是(　　)
A．(0，＋∞) B．(－∞，0)
C．(0，π) D．(－π，0)
答案　A
解析　对函数f(x)求导得f′(x)＝ex＋e－x＋cos x，
因为ex＋≥2，当且仅当x＝0时等号成立，－1≤cos x≤1，所以f′(x)>0，
因为f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，所以f(x)在R上单调递增，
又因为f(0)＝e0－e－0＋sin 0＝0，所以f(x)>0的解集为(0，＋∞)．
命题点2　根据函数的单调性求参数
例4　已知函数f(x)＝ln x－ax2－2x(a≠0)．
(1)若f(x)在[1,4]上单调递减，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)在[1,4]上存在单调递减区间，求实数a的取值范围．
解　(1)因为f(x)在[1,4]上单调递减，所以当x∈[1,4]时，f′(x)＝－ax－2≤0恒成立，即a≥－恒成立．设G(x)＝－，x∈[1,4]，所以a≥G(x)max，而G(x)＝2－1，
因为x∈[1,4]，所以∈，所以G(x)max＝－(此时x＝4)，所以a≥－，
又因为a≠0，所以实数a的取值范围是∪(0，＋∞)．
(2)因为f(x)在[1,4]上存在单调递减区间，
则f′(x)<0在[1,4]上有解，所以当x∈[1,4]时，a>－有解，
又当x∈[1,4]时，min＝－1(此时x＝1)，
所以a>－1，又因为a≠0，所以实数a的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．
思维升华　由函数的单调性求参数的取值范围的方法
(1)函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立．
(2)函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)>0 (或f′(x)<0)在该区间上存在解集．
跟踪训练3　(1)设函数f(x)是定义域为R的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－cos x，则不等式f(2x－1)＋f(x－2)>0的解集为(　　)
A．(－∞，1) B.
C. D．(1，＋∞)
答案　D
解析　根据题意，当x≥0时，f(x)＝ex－cos x，此时有f′(x)＝ex＋sin x>0，则f(x)在[0，＋∞)上为增函数，又f(x)为R上的奇函数，故f(x)在R上为增函数．f(2x－1)＋f(x－2)>0 f(2x－1)>－f(x－2) f(2x－1)>f(2－x) 2x－1>2－x，解得x>1，即不等式的解集为(1，＋∞)．
(2)已知函数f(x)＝－x2－3x＋4ln x在(t，t＋2)上不单调，则实数t的取值范围是________．
答案　[0,1)
解析　由题意，f′(x)＝－x－3＋＝－，x∈(0，＋∞)，
当f′(x)＝0时，有x2＋3x－4＝0，得x＝－4或x＝1，
∵f(x)在(t，t＋2)上不单调，且(t，t＋2) (0，＋∞)，
∴解得t∈[0,1)．
课时精练
1．函数f(x)＝xln x＋1的单调递减区间是(　　)
A. B.
C. D．(e，＋∞)
答案　C
解析　f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝1＋ln x，
令f′(x)<0，得0所以f(x)的单调递减区间为.
2．已知f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，且y＝f′(x)的图象如图所示， 则y＝f(x)函数的图象可能是(　　)
答案　D
解析　根据导函数的图象可得，当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0，则f(x)单调递减；
当x∈(0,2)时，f′(x)>0，则f(x)单调递增；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)<0，则f(x)单调递减，
所以只有D选项符合．
3．(2023·邯郸模拟)已知函数f(x)＝ln x，且a＝f ，b＝f ，c＝，则(　　)
A．a>b>c B．c>a>b
C．a>c>b D．c>b>a
答案　B
解析　由f(x)＝ln x，
得f′(x)＝ln x＋，
当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
因为c＝f ，
0<<<<1，
所以f >f >f ，故c>a>b.
4．若函数f(x)＝x2－ax＋ln x在区间(1，e)上单调递增，则a的取值范围是(　　)
A．[3，＋∞) B．(－∞，3]
C．[3，e2＋1] D．(－∞，e2＋1]
答案　B
解析　依题意f′(x)＝2x－a＋≥0在区间(1，e)上恒成立，即a≤2x＋在区间(1，e)上恒成立，
令g(x)＝2x＋(1则g′(x)＝2－＝>0，
所以g(x)在(1，e)上单调递增，
又g(1)＝3，所以a≤3.
即a的取值范围是(－∞，3]．
5．(多选)已知定义域为R的连续函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足<0，当m<0时，下列关系中一定成立的是(　　)
A．f(2)>f(3)
B．f(4)C．f(2)＋f(4)<2f(3)
D．f(2)＋f(4)>2f(3)
答案　AD
解析　由<0，得m(x－3)f′(x)<0，
又m<0，则(x－3)f′(x)>0，
当x>3时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x<3时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
所以f(2)>f(3)，f(4)>f(3)，
所以f(2)＋f(4)>2f(3)．
6．(多选)如果函数f(x)对定义域内的任意两实数x1，x2(x1≠x2)都有>0，则称函数y＝f(x)为“F函数”．下列函数不是“F函数”的是(　　)
A．f(x)＝ex B．f(x)＝x2
C．f(x)＝ln x D．f(x)＝sin x
答案　ACD
解析　依题意，函数g(x)＝xf(x)为定义域上的增函数．
对于A，g(x)＝xex，g′(x)＝(x＋1)ex，
当x∈(－∞，－1)时，g′(x)<0，
∴g(x)在(－∞，－1)上单调递减，故A中函数不是“F函数”；
对于B，g(x)＝x3在R上单调递增，故B中函数为“F函数”；
对于C，g(x)＝xln x，g′(x)＝1＋ln x，x>0，
当x∈时，g′(x)<0，
∴g(x)在上单调递减，
故C中函数不是“F函数”；
对于D，g(x)＝xsin x，g′(x)＝sin x＋xcos x，
当x∈时，g′(x)<0，
∴g(x)在上单调递减，
故D中函数不是“F函数”．
7．函数f(x)＝e－xcos x(x∈(0，π))的单调递增区间为________．
答案　
解析　f′(x)＝－e－xcos x－e－xsin x＝－e－x(cos x＋sin x)＝－e－xsin，
当x∈时，e－x>0，sin>0，则f′(x)<0；
当x∈时，e－x>0，sin<0，则f′(x)>0，
∴f(x)在(0，π)上的单调递增区间为.
8．已知函数f(x)＝＋＋ax＋1存在三个单调区间，则实数a的取值范围是________．
答案　(－∞，0)∪(4，＋∞)
解析　由函数f(x)＝＋＋ax＋1，可得f′(x)＝x2＋ax＋a，
由函数f(x)存在三个单调区间，可得f′(x)有两个不相等的实数根，
则满足Δ＝a2－4a>0，解得a<0或a>4，
即实数a的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)．
9．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋1，a∈R.
(1)讨论函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)的单调递减区间是，求a的值．
解　(1)由题意知，f′(x)＝3x2＋2ax＝3x，
当a＝0时，f′(x)＝3x2≥0恒成立，所以f(x)的单调递增区间是(－∞，＋∞)，没有单调递减区间；
当a>0时，令f′(x)>0可得x∈∪(0，＋∞)，令f′(x)<0可得x∈，
所以f(x)的单调递增区间为，(0，＋∞)，单调递减区间为；
当a<0时，令f′(x)>0，可得x∈(－∞，0)∪，令f′(x)<0，可得x∈，
所以f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，，单调递减区间为.
(2)由题意知，a>0，由(1)知，当a>0时，有＝，所以－＝－，
解得a＝1.
10．已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex，x∈R.
(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求实数a的取值范围．
解　(1)当a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)ex，f′(x)＝－(x2－2)ex，
令f′(x)>0，即x2－2<0，解得－∴f(x)的单调递增区间是(－，)．
(2)f′(x)＝[－x2＋(a－2)x＋a]ex，若f(x)在(－1,1)上单调递增，
即当－1即－x2＋(a－2)x＋a≥0对x∈(－1,1)恒成立，
即a≥x＋1－对x∈(－1,1)恒成立，
令y＝x＋1－，则y′＝1＋>0，
∴y＝x＋1－在(－1,1)上单调递增，
∴y<1＋1－＝，
∴a≥，
∴a的取值范围是.
11．(多选)已知函数f(x)＝ln(e2x＋1)－x，则下列说法正确的是(　　)
A．f(ln 2)＝ln B．f(x)是奇函数
C．f(x)在(0，＋∞)上单调递增 D．f(x)的最小值为ln 2
答案　ACD
解析　f(ln 2)＝ln(e2ln 2＋1)－ln 2＝ln 5－ln 2＝ln ，A正确；
f(x)＝ln(e2x＋1)－x＝ln(ex＋e－x)定义域为R，其中f(－x)＝ln(e－x＋ex)＝f(x)，故f(x)是偶函数，B错误；
f′(x)＝，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＝>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增，C正确；
根据f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(x)是偶函数，可得f(x)在(－∞，0)上单调递减，故f(x)的最小值为f(0)＝ln 2，D正确．
12．已知函数f(x)＝－2x2＋ln x(a>0)，若函数f(x)在[1,2]上不单调，则实数a的取值范围是________．
答案　解析　f′(x)＝－4x＋，若函数f(x)在[1,2]上为单调函数，
即f′(x)＝－4x＋≥0或f′(x)＝－4x＋≤0在[1,2]上恒成立，
即≥4x－或≤4x－在[1,2]上恒成立．
令h(x)＝4x－，则h(x)在[1,2]上单调递增，
所以≥h(2)或≤h(1)，
即≥或≤3，
又a>0，所以0因为f(x)在[1,2]上不单调，故13．已知函数f(x)＝ex－e－x＋sin x＋1，实数a，b满足不等式f(3a＋b)＋f(a－1)<2，则下列不等式成立的是(　　)
A．2a＋b<－1 B．2a＋b>－1
C．4a＋b<1 D．4a＋b>1
答案　C
解析　设g(x)＝ex－e－x＋sin x，则g(x)＝f(x)－1，
f(3a＋b)＋f(a－1)<2，即g(3a＋b)＋g(a－1)<0，
∵g(－x)＝e－x－ex－sin x＝－g(x)，∴函数g(x)是奇函数，
∵g′(x)＝ex＋e－x＋cos x≥2＋cos x＝2＋cos x>0，
∴g(x)是增函数，
∵g(3a＋b)＋g(a－1)<0，∴g(3a＋b)<－g(a－1)＝g(1－a)，
则3a＋b<1－a，即4a＋b<1.
14．(2023·蚌埠模拟)若x1·＝x2·log2x2＝2 024，则x1x2的值为________．
答案　2 024
解析　因为x1·＝x2·log2x2＝2 024，
所以log2＝x2·log2x2＝2 024，
则>1，x1>0，x2>1，
设f(x)＝xlog2x(x>1)，则f′(x)＝log2x＋>0，
即f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以＝x2，
所以x1x2＝x1·＝2 024.§3.2　导数与函数的单调性
考试要求　1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).3.会利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等简单应用．
知识梳理
1．函数的单调性与导数的关系
条件 恒有 结论
函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f′(x)>0 f(x)在区间(a，b)上____________
f′(x)<0 f(x)在区间(a，b)上____________
f′(x)＝0 f(x)在区间(a，b)上是____________
2.利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数的____________；
第2步，求出导数f′(x)的________；
第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．
常用结论
1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则当x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则当x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立．
2．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)<0有解．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．(　　)
(2)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内单调递减．(　　)
(3)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则f(x)在定义域上一定单调递增．(　　)
(4)函数f(x)＝x－sin x在R上是增函数．(　　)
教材改编题
1．f′(x)是f(x)的导函数，若f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是(　　)
2．函数f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是(　　)
A．(0,1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－1,1)
3．已知函数f(x)＝xsin x，x∈R，则f ，f(1)，f 的大小关系为________．(用“<”连接)
题型一　不含参函数的单调性
例1 (1)函数f(x)＝＋＋x的单调递减区间为________________．
(2)若函数f(x)＝，则函数f(x)的单调递增区间为________________．
听课记录： ______________________________________________________________
________________________________________________________________________
思维升华 确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点，一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．
跟踪训练1 已知函数f(x)＝x－ln x－.判断函数f(x)的单调性．
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
题型二　含参数的函数的单调性
例2 已知函数f(x)＝aex－x，a∈R.
(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)试讨论函数f(x)的单调性．
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
思维升华 (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．
(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．
跟踪训练2 (2023·潍坊模拟)已知函数f(x)＝ex－ax－a，a∈R，讨论f(x)的单调区间．
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
题型三　函数单调性的应用
命题点1　比较大小或解不等式
例3 (1)(多选)下列不等式成立的是(　　)
A．2ln C．5ln 4<4ln 5 D．π>eln π
(2)函数f(x)＝ex－e－x＋sin x，则不等式f(x)>0的解集是(　　)
A．(0，＋∞) B．(－∞，0)
C．(0，π) D．(－π，0)
听课记录： ______________________________________________________________
________________________________________________________________________
命题点2　根据函数的单调性求参数
例4 已知函数f(x)＝ln x－ax2－2x(a≠0)．
(1)若f(x)在[1,4]上单调递减，求实数a的取值范围；
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
(2)若f(x)在[1,4]上存在单调递减区间，求实数a的取值范围．
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
思维升华 由函数的单调性求参数的取值范围的方法
(1)函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立．
(2)函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)>0 (或f′(x)<0)在该区间上存在解集．
跟踪训练3 (1)设函数f(x)是定义域为R的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－cos x，则不等式f(2x－1)＋f(x－2)>0的解集为(　　)
A．(－∞，1) B.
C. D．(1，＋∞)
(2)已知函数f(x)＝－x2－3x＋4ln x在(t，t＋2)上不单调，则实数t的取值范围是____________．

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