资源简介

(共87张PPT)
§3.3　导数与函数的
极值、最值
第三章　一元函数的导数及其应用
1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.
2.会用导数求函数的极大值、极小值.
3.掌握利用导数研究函数最值的方法.
4.会用导数研究生活中的最优化问题.
考试要求
内容索引
第一部分
第二部分
第三部分
落实主干知识
探究核心题型
课时精练
落实主干知识
第
一
部
分
1.函数的极值
(1)函数的极小值
函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧 ，右侧 ，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.
f′(x)<0
f′(x)>0
(2)函数的极大值
函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧 ，右侧 ，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.
(3)极小值点、极大值点统称为 ，极小值和极大值统称为 .
f′(x)>0
f′(x)<0
极值点
极值
2.函数的最大(小)值
(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条 的曲线，那么它必有最大值和最小值.
(2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的 ；
②将函数y＝f(x)的各极值与 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
连续不断
极值
端点处的函数值f(a)，f(b)
对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的极值可能不止一个，也可能没有.(　　)
(2)函数的极小值一定小于函数的极大值.(　　)
(3)函数的极小值一定是函数的最小值.(　　)
(4)函数的极大值一定不是函数的最小值.(　　)
√
×
×
√
1.如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为
A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.4
√
由题意知，只有在x＝－1处，f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正，故f(x)的极小值点只有1个.
2.函数f(x)＝x3－ax2＋2x－1有极值，则实数a的取值范围是_____________
_____________.
f′(x)＝3x2－2ax＋2，由题意知f′(x)有变号零点，∴Δ＝(－2a)2－4×3×2>0，
3.若函数f(x)＝ x3－4x＋m在[0,3]上的最大值为4，则m＝____.
4
f′(x)＝x2－4，x∈[0,3]，当x∈[0,2)时，f′(x)<0，当x∈(2,3]时，f′(x)>0，所以f(x)在[0,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增.
又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m，
所以在[0,3]上，f(x)max＝f(0)＝4，所以m＝4.
探究核心题型
第
二部
分
题型一
利用导数求解函数的极值问题
命题点1　根据函数图象判断极值
例1　(多选)(2023·华南师大附中模拟)如图是y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是
A.当x＝－1时，f(x)取得极小值
B. f(x)在[－2,1]上单调递增
C.当x＝2时，f(x)取得极大值
D. f(x)在[－1,2]上不具备单调性
√
√
由导函数f′(x)的图象可知，
当－2当x＝－1时，f′(x) ＝0；
当－10，则f(x)单调递增；
当x＝2时，f′(x)＝0；
当2当x＝4时，f′(x)＝0，
所以当x＝－1时，f(x)取得极小值，故选项A正确；
f(x)在[－2,1]上有减有增，故选项B错误；
当x＝2时，f(x)取得极大值，故选项C正确；
f(x)在[－1,2]上单调递增，故选项D错误.
命题点2　求已知函数的极值
例2　已知函数f(x)＝e2x－ax(a∈R)，e为自然对数的底数，求函数f(x)的极值.
因为f(x)＝e2x－ax，所以f′(x)＝2e2x－a，
当a≤0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，函数f(x)无极值.
综上，当a≤0时，f(x)无极值；
命题点3　已知极值(点)求参数
例3　(1)(2023·福州质检)已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则c的值为
A.2 B.4
C.6 D.2或6
√
由题意，f′(x)＝(x－c)2＋2x(x－c)＝(x－c)·(3x－c)，则f′(2)＝(2－c)(6－c)＝0，所以c＝2或c＝6.
若c＝2，则f′(x)＝(x－2)(3x－2)，
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，函数f(x)在x＝2处有极小值，满足题意；
若c＝6，则f′(x)＝(x－6)(3x－6)，当x∈(－∞，2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈(2,6)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(6，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，函数f(x)在x＝2处有极大值，不符合题意.
综上，c＝2.
(2)(2023·芜湖模拟)函数f(x)＝ln x＋ x2－ax(x>0)有极值，则实数a的取值范围是___________.
(2，＋∞)
∴y＝f′(x)有变号零点.
在(1，＋∞)上单调递增，
∴g(x)min＝g(1)＝2，
∴a>2，即实数a的取值范围是(2，＋∞).
根据函数的极值(点)求参数的两个要领
(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；
(2)验证：求解后验证根的合理性.
思维升华
跟踪训练1　(1)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则a＋b的值为
A.－1或3 B.1或－3
C.3 D.－1
√
因为f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a，所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b，因为函数f(x)在x＝1处取得极大值10，所以f′(1)＝3＋2a＋b＝0， ①
f(1)＝1＋a＋b－a2－7a＝10， ②
联立①②，解得a＝－2，b＝1或a＝－6，b＝9.
当a＝－6，b＝9时，f′(x)＝3x2－12x＋9＝(x－1)(3x－9)，f(x)在(－∞，1)和(3，＋∞)上单调递增，在(1,3)上单调递减，故f(x)在x＝1处取得极大值10，符合题意.
综上可得，a＝－6，b＝9.
则a＋b＝3.
(2)(2023·肇庆质检)已知x＝1是函数f(x)＝[x2－(a＋3)x＋2a＋3]ex的极小值点，则实数a的取值范围是
A.(1，＋∞) B.(－1，＋∞)
C.(－∞，－1) D.(－∞，1)
√
依题意f′(x)＝(x－a)(x－1)ex，它的两个零点为x＝1，x＝a，若x＝1是函数f(x)的极小值点，则需a<1，此时函数f(x)在(a,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，在x＝1处取得极小值.
命题点1　不含参函数的最值
例4　(2022·全国乙卷)函数f(x)＝cos x＋(x＋1)sin x＋1在区间[0,2π]的最小值、最大值分别为
题型二
利用导数求函数最值
√
f(x)＝cos x＋(x＋1)sin x＋1，x∈[0,2π]，则f′(x)＝－sin x＋sin x＋(x＋1)·cos x＝(x＋1)cos x，x∈[0,2π].
又f(0)＝cos 0＋(0＋1)sin 0＋1＝2，
f(2π)＝cos 2π＋(2π＋1)sin 2π＋1＝2，
命题点2　含参函数的最值
例5　已知函数f(x)＝x3－3ax.
(1)讨论函数f(x)的极值情况；
f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，
当a≤0时，f′(x)≥0，函数f(x)在R上单调递增，无极值；
(2)求函数f(x)在区间[0,2]上的最大值.
由(1)知，当a≤0时，函数f(x)在[0,2]上单调递增，
故f(x)max＝f(2)＝8－6a，
又f(0)＝0，f(2)＝8－6a，
当a≥4时，函数f(x)在[0,2]上单调递减，
故f(x)max＝f(0)＝0.
求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值.
跟踪训练2　(1)(2021·新高考全国Ⅰ)函数f(x)＝|2x－1|－2ln x的最小值为_____.
1
函数f(x)＝|2x－1|－2ln x的定义域为(0，＋∞).
当x>1时，f′(x)>0，
所以f(x)min＝f(1)＝2－1－2ln 1＝1；
综上，f(x)min＝1.
(2)已知函数f(x)＝aln x＋x－3的最小值为－2，求a的值.
①若a≥0，f′(x)≥0恒成立，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，此时f(x)无最值.
②若a<0，令f′(x)＝0，得x＝－a，
当x∈(0，－a)时，f′(x)<0；当x∈(－a，＋∞)时，f′(x)>0，
所以f(x)在(0，－a)上单调递减，在(－a，＋∞)上单调递增.
所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
因为g(1)＝0，所以方程g(x)＝0只有一个根x＝1，所以－a＝1，即a＝－1，
故a的值为－1.
课时精练
第
三部
分
基础保分练
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1.(多选)已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列结论中正确的是
A.f(x)在区间(－2,3)上有2个极值点
B.f′(x)在x＝－1处取得极小值
C.f(x)在区间(－2,3)上单调递减
D.f(x)在x＝0处的切线斜率小于0
√
√
√
根据f′(x)的图象可得，在(－2,3)上，f′(x)≤0，∴f(x)在(－2,3)上单调递减，
∴f(x)在区间(－2,3)上没有极值点，故A错误，C正确；
由f′(x)的图象易知B正确；
根据f′(x)的图象可得f′(0)<0，即f(x)在x＝0处的切线斜率小于0，故D正确.
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√
由函数f(x)＝2ln x＋ax2－3x，
因为x＝2是f(x)的极值点，
可得f′(2)＝1＋4a－3＝0，
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当1当20，函数f(x)单调递增，
所以f(1)1
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因为函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
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因此函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
当x＝1时取最大值，满足题意.
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5.已知函数f(x)＝ax2－2x＋ln x有两个不同的极值点x1，x2，则实数a的取值范围为
√
由f(x)＝ax2－2x＋ln x(x>0)，
若函数f(x)＝ax2－2x＋ln x有两个不同的极值点x1，x2，
则方程2ax2－2x＋1＝0有两个不相等的正实根，
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6.(多选)(2022·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)＝x3－x＋1，则
A.f(x)有两个极值点
B.f(x)有三个零点
C.点(0,1)是曲线y＝f(x)的对称中心
D.直线y＝2x是曲线y＝f(x)的切线
√
√
因为f(x)＝x3－x＋1，所以f′(x)＝3x2－1.
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因为函数g(x)＝x3－x的图象向上平移一个单位长度得函数f(x)＝x3－x＋1的图象，函数g(x)＝x3－x的图象关于原点(0,0)中心对称且g(0)＝0，所以点(0,1)是曲线f(x)＝x3－x＋1的对称中心，故C正确；
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若x0＝1，则切点坐标为(1,1)，但点(1,1)不在直线y＝2x上；
若x0＝－1，则切点坐标为(－1,1)，但点(－1,1)不在直线y＝2x上，所以假设不成立，故D错误.故选AC.
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7.(2023·潍坊模拟)写出一个存在极值的奇函数f(x)＝_________________.
sin x(答案不唯一)
正弦函数f(x)＝sin x为奇函数，且存在极值.
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8.甲、乙两地相距240 km，汽车从甲地以速度v(km/h)匀速行驶到乙地.已知汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为
160元，可变成本为 元.为使全程运输成本最小，汽车应以____km/h
的速度行驶.
80
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设全程运输成本为y元，
令y′＝0，得v＝80.
当v>80时，y′>0；
当01
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所以当v＝80时，全程运输成本最小.
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9.设函数f(x)＝aln x＋ ＋2a2x－4a，其中a>0.
(1)讨论f(x)的单调性；
∵a>0，
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(2)若y＝f(x)的图象与x轴没有公共点，求a的取值范围.
∵y＝f(x)的图象与x轴没有公共点，
∴1－ln a>0，∴0∴a的取值范围为(0，e).
10.(2023·张家口质检)已知函数f(x)＝ex＋e－x－ax2－2.
(1)当a＝1时，证明：函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增；
当a＝1时，f(x)＝ex＋e－x－x2－2，f′(x)＝ex－e－x－2x.
令φ(x)＝ex－e－x－2x，
当x>0时，φ′(x)＝ex＋e－x－2>0，
所以函数f′(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，
故f′(x)>f′(0)＝0，
故函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增.
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(2)若g(x)＝f(x)－e－x，讨论函数g(x)的极值点的个数.
由题意知，g(x)＝ex－ax2－2，
当a＝0时，g(x)＝ex－2单调递增，无极值点，
当a≠0时，g′(x)＝ex－2ax，
由g′(0)＝1，得x＝0不是极值点.
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当x<0时，h(x)<0，且h′(x)<0，
故函数g(x)存在一个极值点；
当0当x>1时，h′(x)>0，
故函数h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，h(1)＝e为函数h(x)的极小值，
故函数g(x)无极值点.
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综上，当a<0时，函数g(x)存在一个极值点，
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11.(2021·全国乙卷)设a≠0，若x＝a为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则
A.ab
C.aba2
综合提升练
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当a>0时，根据题意画出函数f(x)的大致图象，如图1所示，观察可知b>a.
当a<0时，根据题意画出函数f(x)的大致图象，如图2所示，观察可知a>b.
综上，可知必有ab>a2成立.
图2
图1
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√
√
函数f(x)＝xln x＋x2(x>0)，
∴f′(x)＝ln x＋1＋2x，
∵x0是函数f(x)的极值点，
∴f′(x0)＝0，即ln x0＋1＋2x0＝0，
又函数f′(x)＝ln x＋1＋2x在(0，＋∞)上单调递增，
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拓展冲刺练
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当t∈(0,1)时，f′(t)<0，f(t)单调递减；
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当t∈(1，＋∞)时，f′(t)>0，f(t)单调递增，
因此b－a的最小值为2.
14.设函数f(x)＝mx2ex＋1，若对任意a，b，c∈[－3,1]，f(a)，f(b)，f(c)
都可以作为一个三角形的三边长，则m的取值范围为__________.
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设函数g(x)＝x2ex，x∈[－3,1]，则g′(x)＝x(x＋2)ex.
当－3≤x<－2或00，g(x)单调递增；
当－2所以g(x)的值域为[0，e].
1
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3
4
5
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12
13
14§3.3　导数与函数的极值、最值
考试要求　1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.掌握利用导数研究函数最值的方法.4.会用导数研究生活中的最优化问题．
知识梳理
1．函数的极值
(1)函数的极小值
函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值
函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．
2．函数的最大(小)值
(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
常用结论
对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的极值可能不止一个，也可能没有．(　√　)
(2)函数的极小值一定小于函数的极大值．(　×　)
(3)函数的极小值一定是函数的最小值．(　×　)
(4)函数的极大值一定不是函数的最小值．(　√　)
教材改编题
1．如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　A
解析　由题意知，只有在x＝－1处，f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正，故f(x)的极小值点只有1个．
2．函数f(x)＝x3－ax2＋2x－1有极值，则实数a的取值范围是________________．
答案　(－∞，－)∪(，＋∞)
解析　f′(x)＝3x2－2ax＋2，由题意知f′(x)有变号零点，∴Δ＝(－2a)2－4×3×2>0，
解得a>或a<－.
3．若函数f(x)＝x3－4x＋m在[0,3]上的最大值为4，则m＝________.
答案　4
解析　f′(x)＝x2－4，x∈[0,3]，当x∈[0,2)时，f′(x)<0，当x∈(2,3]时，f′(x)>0，所以f(x)在[0,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增．又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m，所以在[0,3]上，f(x)max＝f(0)＝4，所以m＝4.
题型一　利用导数求解函数的极值问题
命题点1　根据函数图象判断极值
例1　(多选)(2023·华南师大附中模拟)如图是y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是(　　)
A．当x＝－1时，f(x)取得极小值
B. f(x)在[－2,1]上单调递增
C．当x＝2时，f(x)取得极大值
D. f(x)在[－1,2]上不具备单调性
答案　AC
解析　由导函数f′(x)的图象可知，
当－2当x＝－1时，f′(x) ＝0；
当－10，则f(x)单调递增；
当x＝2时，f′(x)＝0；
当2当x＝4时，f′(x)＝0，
所以当x＝－1时，f(x)取得极小值，故选项A正确；
f(x)在[－2,1]上有减有增，故选项B错误；
当x＝2时，f(x)取得极大值，故选项C正确；
f(x)在[－1,2]上单调递增，故选项D错误．
命题点2　求已知函数的极值
例2　已知函数f(x)＝e2x－ax(a∈R)，e为自然对数的底数，求函数f(x)的极值．
解　因为f(x)＝e2x－ax，所以f′(x)＝2e2x－a，
当a≤0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，函数f(x)无极值．
当a>0时，令f′(x)＝0，得2e2x－a＝0，解得x＝ln ；易知若x∈，则f′(x)<0，f(x)单调递减；
若x∈，则f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以f(x)的极小值为f ＝－a×ln ＝－ln ，无极大值．
综上，当a≤0时，f(x)无极值；当a>0时，f(x)的极小值为－ln ，无极大值．
命题点3　已知极值(点)求参数
例3　(1)(2023·福州质检)已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则c的值为(　　)
A．2 B．4 C．6 D．2或6
答案　A
解析　由题意，f′(x)＝(x－c)2＋2x(x－c)＝(x－c)·(3x－c)，则f′(2)＝(2－c)(6－c)＝0，所以c＝2或c＝6.
若c＝2，则f′(x)＝(x－2)(3x－2)，当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，函数f(x)在x＝2处有极小值，满足题意；
若c＝6，则f′(x)＝(x－6)(3x－6)，当x∈(－∞，2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(2,6)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(6，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，函数f(x)在x＝2处有极大值，不符合题意．
综上，c＝2.
(2)(2023·芜湖模拟)函数f(x)＝ln x＋x2－ax(x>0)有极值，则实数a的取值范围是________．
答案　(2，＋∞)
解析　∵f(x)＝ln x＋x2－ax(x>0)，∴f′(x)＝＋x－a，
∵函数f(x)＝ln x＋x2－ax(x>0)有极值，
∴y＝f′(x)有变号零点．
令f′(x)＝＋x－a＝0，得a＝＋x.
设g(x)＝＋x，则g(x)在(0,1)上单调递减，
在(1，＋∞)上单调递增，
∴g(x)min＝g(1)＝2，
∴a>2，即实数a的取值范围是(2，＋∞)．
思维升华　根据函数的极值(点)求参数的两个要领
(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；
(2)验证：求解后验证根的合理性．
跟踪训练1　(1)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则a＋b的值为(　　)
A．－1或3 B．1或－3
C．3 D．－1
答案　C
解析　因为f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a，所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b，因为函数f(x)在x＝1处取得极大值10，所以f′(1)＝3＋2a＋b＝0，①
f(1)＝1＋a＋b－a2－7a＝10，②
联立①②，解得a＝－2，b＝1或a＝－6，b＝9.
当a＝－2，b＝1时，f′(x)＝3x2－4x＋1＝(x－1)(3x－1)，f(x)在和(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减，故f(x)在x＝1处取得极小值10，不符合题意；
当a＝－6，b＝9时，f′(x)＝3x2－12x＋9＝(x－1)(3x－9)，f(x)在(－∞，1)和(3，＋∞)上单调递增，在(1,3)上单调递减，故f(x)在x＝1处取得极大值10，符合题意．
综上可得，a＝－6，b＝9.
则a＋b＝3.
(2)(2023·肇庆质检)已知x＝1是函数f(x)＝[x2－(a＋3)x＋2a＋3]ex的极小值点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，1)
答案　D
解析　依题意f′(x)＝(x－a)(x－1)ex，它的两个零点为x＝1，x＝a，若x＝1是函数f(x)的极小值点，则需a<1，此时函数f(x)在(a,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，在x＝1处取得极小值．
题型二　利用导数求函数最值
命题点1　不含参函数的最值
例4　(2022·全国乙卷)函数f(x)＝cos x＋(x＋1)sin x＋1在区间[0,2π]的最小值、最大值分别为(　　)
A．－， B．－，
C．－，＋2 D．－，＋2
答案　D
解析　f(x)＝cos x＋(x＋1)sin x＋1，x∈[0,2π]，则f′(x)＝－sin x＋sin x＋(x＋1)·cos x＝(x＋1)cos x，x∈[0,2π]．
令f′(x)＝0，解得x＝－1(舍去)，x＝或x＝.
因为f ＝cos ＋sin ＋1
＝2＋，
f ＝cos ＋sin ＋1＝－，
又f(0)＝cos 0＋(0＋1)sin 0＋1＝2，
f(2π)＝cos 2π＋(2π＋1)sin 2π＋1＝2，
所以f(x)max＝f ＝2＋，
f(x)min＝f ＝－.故选D.
命题点2　含参函数的最值
例5　已知函数f(x)＝x3－3ax.
(1)讨论函数f(x)的极值情况；
(2)求函数f(x)在区间[0,2]上的最大值．
解　(1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，
当a≤0时，f′(x)≥0，函数f(x)在R上单调递增，无极值；
当a>0时，令f′(x)>0，解得x<－或x>；
令f′(x)<0，解得－∴函数f(x)在(－∞，－)，(，＋∞)上单调递增，在(－，)上单调递减，
∴函数f(x)在x＝－处取得极大值 f(－)＝2a，在x＝处取得极小值f()＝－2a.
(2)由(1)知，当a≤0时，函数f(x)在[0,2]上单调递增，
故f(x)max＝f(2)＝8－6a，
当0又 f(0)＝0，f(2)＝8－6a，
∴若0当a≥4时，函数f(x)在[0,2]上单调递减，
故f(x)max＝f(0)＝0.
综上，当a≤时，函数f(x)在[0,2]上的最大值为8－6a；当a>时，函数f(x)在[0,2]上的最大值为0.
思维升华　求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值．
跟踪训练2　(1)(2021·新高考全国Ⅰ)函数f(x)＝|2x－1|－2ln x的最小值为________．
答案　1
解析　函数f(x)＝|2x－1|－2ln x的定义域为(0，＋∞)．
①当x>时，f(x)＝2x－1－2ln x，
所以f′(x)＝2－＝，
当当x>1时，f′(x)>0，
所以f(x)min＝f(1)＝2－1－2ln 1＝1；
②当0所以f(x)min＝f ＝－2ln ＝2ln 2
＝ln 4>ln e＝1.
综上，f(x)min＝1.
(2)已知函数f(x)＝aln x＋x－3的最小值为－2，求a的值．
解　f′(x)＝＋1＝(x>0)．
①若a≥0，f′(x)≥0恒成立，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，此时f(x)无最值．
②若a<0，令f′(x)＝0，得x＝－a，
当x∈(0，－a)时，f′(x)<0；当x∈(－a，＋∞)时，f′(x)>0，
所以f(x)在(0，－a)上单调递减，在(－a，＋∞)上单调递增．
所以f(x)的最小值是f(－a)＝aln(－a)－a－3＝－2，则ln(－a)－－1＝0.
令g(x)＝ln x＋－1，则g′(x)＝，所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
因为g(1)＝0，所以方程g(x)＝0只有一个根x＝1，所以－a＝1，即a＝－1，
故a的值为－1.
课时精练
1．(多选)已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列结论中正确的是(　　)
A．f(x)在区间(－2,3)上有2个极值点
B．f′(x)在x＝－1处取得极小值
C．f(x)在区间(－2,3)上单调递减
D．f(x)在x＝0处的切线斜率小于0
答案　BCD
解析　根据f′(x)的图象可得，在(－2,3)上，f′(x)≤0，∴f(x)在(－2,3)上单调递减，
∴f(x)在区间(－2,3)上没有极值点，故A错误，C正确；
由f′(x)的图象易知B正确；
根据f′(x)的图象可得f′(0)<0，即f(x)在x＝0处的切线斜率小于0，故D正确．
2．函数f(x)＝x－sin x在上的极小值为(　　)
A.－ B.－
C.－ D.－
答案　D
解析　由f(x)＝x－sin x，得f′(x)＝－cos x，
当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以是函数f(x)的极小值点，且极小值为f ＝－ .
3．已知x＝2是f(x)＝2ln x＋ax2－3x的极值点，则f(x)在上的最大值是(　　)
A．2ln 3－ B．－
C．－2ln 3－ D．2ln 2－4
答案　A
解析　由函数f(x)＝2ln x＋ax2－3x，
可得f′(x)＝＋2ax－3，
因为x＝2是f(x)的极值点，
可得f′(2)＝1＋4a－3＝0，
解得a＝，
所以f′(x)＝＋x－3＝，x>0，
当≤x<1时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；
当1当20，函数f(x)单调递增，
由f(1)＝－，f(3)＝2ln 3－，
又由f(3)－f(1)＝2ln 3－＋＝2ln 3－2>2ln e－2＝0，
所以f(1)所以当x＝3时，函数f(x)取得最大值，最大值为2ln 3－.
4．(2022·全国甲卷)当x＝1时，函数f(x)＝aln x＋取得最大值－2，则f′(2)等于(　　)
A．－1 B．－ C. D．1
答案　B
解析　因为函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
所以依题意可知
而f′(x)＝－，
所以即
所以f′(x)＝－＋，
因此函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
当x＝1时取最大值，满足题意．
所以f′(2)＝－1＋＝－.故选B.
5．已知函数f(x)＝ax2－2x＋ln x有两个不同的极值点x1，x2，则实数a的取值范围为(　　)
A. B.
C. D．(0,2)
答案　C
解析　由f(x)＝ax2－2x＋ln x(x>0)，
得f′(x)＝2ax－2＋＝(x>0)，
若函数f(x)＝ax2－2x＋ln x有两个不同的极值点x1，x2，
则方程2ax2－2x＋1＝0有两个不相等的正实根，
所以
解得06．(多选)(2022·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)＝x3－x＋1，则(　　)
A．f(x)有两个极值点
B．f(x)有三个零点
C．点(0,1)是曲线y＝f(x)的对称中心
D．直线y＝2x是曲线y＝f(x)的切线
答案　AC
解析　因为f(x)＝x3－x＋1，所以f′(x)＝3x2－1.令f′(x)＝3x2－1＝0，得x＝±.由f′(x)＝3x2－1>0得x>或x<－；由f′(x)＝3x2－1<0得－因为f(x)的极小值f ＝3－＋1＝1－>0，f(－2)＝(－2)3－(－2)＋1＝－5<0，所以函数f(x)在R上有且只有一个零点，故B错误；
因为函数g(x)＝x3－x的图象向上平移一个单位长度得函数f(x)＝x3－x＋1的图象，函数g(x)＝x3－x的图象关于原点(0,0)中心对称且g(0)＝0，所以点(0,1)是曲线f(x)＝x3－x＋1的对称中心，故C正确；
假设直线y＝2x是曲线y＝f(x)的切线，切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝3x－1＝2，解得x0＝±1；若x0＝1，则切点坐标为(1,1)，但点(1,1)不在直线y＝2x上；若x0＝－1，则切点坐标为(－1,1)，但点(－1,1)不在直线y＝2x上，所以假设不成立，故D错误．故选AC.
7．(2023·潍坊模拟)写出一个存在极值的奇函数f(x)＝________.
答案　sin x(答案不唯一)
解析　正弦函数f(x)＝sin x为奇函数，且存在极值．
8．甲、乙两地相距240 km，汽车从甲地以速度v(km/h)匀速行驶到乙地．已知汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为160元，可变成本为元．为使全程运输成本最小，汽车应以________km/h的速度行驶．
答案　80
解析　设全程运输成本为y元，
由题意，得y＝＝240，v>0，
y′＝240.
令y′＝0，得v＝80.
当v>80时，y′>0；当0所以函数y＝在(0,80)上单调递减，在(80，＋∞)上单调递增，
所以当v＝80时，全程运输成本最小．
9．设函数f(x)＝aln x＋＋2a2x－4a，其中a>0.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若y＝f(x)的图象与x轴没有公共点，求a的取值范围．
解　(1)f′(x)＝－＋2a2
＝
＝，x>0，
∵a>0，
∴－<0<.
∴在上，f′(x)<0，f(x)单调递减；
在上，f′(x)>0，f(x)单调递增．
综上所述，f(x)在上单调递减，在上单调递增．
(2)由(1)可知，f(x)min＝f
＝aln ＋3a＋2a－4a
＝aln ＋a＝a(1－ln a)，
∵y＝f(x)的图象与x轴没有公共点，
∴1－ln a>0，∴0∴a的取值范围为(0，e)．
10．(2023·张家口质检)已知函数f(x)＝ex＋e－x－ax2－2.
(1)当a＝1时，证明：函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增；
(2)若g(x)＝f(x)－e－x，讨论函数g(x)的极值点的个数．
(1)证明　当a＝1时，f(x)＝ex＋e－x－x2－2，
f′(x)＝ex－e－x－2x.
令φ(x)＝ex－e－x－2x，
当x>0时，φ′(x)＝ex＋e－x－2>0，
所以函数f′(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，
故f′(x)>f′(0)＝0，
故函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．
(2)解　由题意知，g(x)＝ex－ax2－2，
当a＝0时，g(x)＝ex－2单调递增，无极值点，
当a≠0时，g′(x)＝ex－2ax，
由g′(0)＝1，得x＝0不是极值点．
令ex－2ax＝0(x≠0)，得2a＝，
令h(x)＝，
则h′(x)＝，
当x<0时，h(x)<0，且h′(x)<0，
当a<0时，方程2a＝有唯一小于零的解，
故函数g(x)存在一个极值点；
当0当x>1时，h′(x)>0，
故函数h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，h(1)＝e为函数h(x)的极小值，
所以当0当a＝时，方程2a＝有一个解，
但当02a，g′(x)＝ex－2ax>0，
当x>1时，>2a，g′(x)＝ex－2ax>0，
故函数g(x)无极值点．
当a>时，方程2a＝有两解，函数g(x)存在一个极大值点和一个极小值点．
综上，当a<0时，函数g(x)存在一个极值点，
当0≤a≤时，函数g(x)无极值点，
当a>时，函数g(x)存在一个极大值点和一个极小值点．
11．(2021·全国乙卷)设a≠0，若x＝a为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则(　　)
A．ab
C．aba2
答案　D
解析　当a>0时，根据题意画出函数f(x)的大致图象，如图1所示，观察可知b>a.
当a<0时，根据题意画出函数f(x)的大致图象，如图2所示，观察可知a>b.
　　
图1　　　　　　　图2
综上，可知必有ab>a2成立．
12．(多选)已知函数f(x)＝xln x＋x2，x0是函数f(x)的极值点，以下几个结论中正确的是(　　)
A．0
C．f(x0)＋2x0<0 D．f(x0)＋2x0>0
答案　AD
解析　函数f(x)＝xln x＋x2(x>0)，
∴f′(x)＝ln x＋1＋2x，
∵x0是函数f(x)的极值点，
∴f′(x0)＝0，即ln x0＋1＋2x0＝0，
又函数f′(x)＝ln x＋1＋2x在(0，＋∞)上单调递增，
∴f′＝>0＝f′(x0)，
∴0f(x0)＋2x0＝x0ln x0＋x＋2x0＝x0(ln x0＋x0＋2)＝x0(1－x0)>0，即D正确，C不正确．
13．已知函数f(x)＝若aA．1 B. C．e－1 D．2
答案　D
解析　令f(a)＝f(b)＝t(t>0)，因为f(x)＝且a所以a＝－，b＝et－1，因此b－a＝et－1＋，
令f(t)＝et－1＋(t>0)，则f′(t)＝et－1－，
当t∈(0,1)时，f′(t)<0，f(t)单调递减；当t∈(1，＋∞)时，f′(t)>0，f(t)单调递增，
所以f(t)在t＝1处取得极小值，也是最小值，f(1)＝e1－1＋＝2，因此b－a的最小值为2.
14．设函数f(x)＝mx2ex＋1，若对任意a，b，c∈[－3,1]，f(a)，f(b)，f(c)都可以作为一个三角形的三边长，则m的取值范围为________．
答案　
解析　设函数g(x)＝x2ex，x∈[－3,1]，则g′(x)＝x(x＋2)ex.
当－3≤x<－2或00，g(x)单调递增；
当－2又g(－3)＝，g(0)＝0，g(－2)＝，g(1)＝e，
所以g(x)的值域为[0，e]．
当m≥0时，2×1>me＋1，解得0≤m<；
当m<0时，2(me＋1)>1，解得－综上可得，－考试要求　1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.掌握利用导数研究函数最值的方法.4.会用导数研究生活中的最优化问题．
知识梳理
1．函数的极值
(1)函数的极小值
函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧______，右侧________，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值
函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧______，右侧________，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
(3)极小值点、极大值点统称为____________，极小值和极大值统称为________．
2．函数的最大(小)值
(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条________________的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的______；
②将函数y＝f(x)的各极值与________________________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
常用结论
对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的极值可能不止一个，也可能没有．(　　)
(2)函数的极小值一定小于函数的极大值．(　　)
(3)函数的极小值一定是函数的最小值．(　　)
(4)函数的极大值一定不是函数的最小值．(　　)
教材改编题
1．如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
2．函数f(x)＝x3－ax2＋2x－1有极值，则实数a的取值范围是________________．
3．若函数f(x)＝x3－4x＋m在[0,3]上的最大值为4，则m＝________.
题型一　利用导数求解函数的极值问题
命题点1　根据函数图象判断极值
例1 (多选)(2023·华南师大附中模拟)如图是y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是(　　)
A．当x＝－1时，f(x)取得极小值
B. f(x)在[－2,1]上单调递增
C．当x＝2时，f(x)取得极大值
D. f(x)在[－1,2]上不具备单调性
听课记录： ______________________________________________________________
________________________________________________________________________
命题点2　求已知函数的极值
例2 已知函数f(x)＝e2x－ax(a∈R)，e为自然对数的底数，求函数f(x)的极值．
________________________________________________________________________
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________________________________________________________________________
命题点3　已知极值(点)求参数
例3 (1)(2023·福州质检)已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则c的值为(　　)
A．2 B．4 C．6 D．2或6
(2)(2023·芜湖模拟)函数f(x)＝ln x＋x2－ax(x>0)有极值，则实数a的取值范围是_________．
听课记录： ______________________________________________________________
________________________________________________________________________
思维升华 根据函数的极值(点)求参数的两个要领
(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；
(2)验证：求解后验证根的合理性．
跟踪训练1 (1)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则a＋b的值为(　　)
A．－1或3 B．1或－3
C．3 D．－1
(2)(2023·肇庆质检)已知x＝1是函数f(x)＝[x2－(a＋3)x＋2a＋3]ex的极小值点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，1)
题型二　利用导数求函数最值
命题点1　不含参函数的最值
例4 (2022·全国乙卷)函数f(x)＝cos x＋(x＋1)sin x＋1在区间[0,2π]的最小值、最大值分别为(　　)
A．－， B．－，
C．－，＋2 D．－，＋2
听课记录： ______________________________________________________________
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命题点2　含参函数的最值
例5 已知函数f(x)＝x3－3ax.
(1)讨论函数f(x)的极值情况；
(2)求函数f(x)在区间[0,2]上的最大值．
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________________________________________________________________________
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思维升华 求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值．
跟踪训练2 (1)(2021·新高考全国Ⅰ)函数f(x)＝|2x－1|－2ln x的最小值为________．
(2)已知函数f(x)＝aln x＋x－3的最小值为－2，求a的值．
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