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(共77张PPT)
§4.2　同角三角函数基本
关系式及诱导公式
第四章　三角函数与解三角形
考试要求
2.掌握诱导公式，并会简单应用.
内容索引
第一部分
第二部分
第三部分
落实主干知识
探究核心题型
课时精练
落实主干知识
第
一
部
分
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系： .
(2)商数关系： .
sin2α＋cos2α＝1
2.三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α
正弦 sin α ______ ______ _____ _____ _____
余弦 cos α ______ _____ _______ _____ ______
正切 tan α _____ _______ －tan α
口诀 奇变偶不变，符号看象限
－sin α
－sin α
sin α
cos α
cos α
－cos α
cos α
－cos α
sin α
－sin α
tan α
－tan α
同角三角函数的基本关系式的常见变形
sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；
cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)使sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.(　　)
(3)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(　　)
×
×
×
×
√
√
sin α
探究核心题型
第
二部
分
题型一
同角三角函数基本关系
√
√
①
因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，cos θ<0，
②
故D正确；
0
∴α是第二或第三象限角.
①若α是第二象限角，
②若α是第三象限角，
综上，13sin α＋5tan α＝0.
因为tan α＝2，
思维升华
(1)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.
(2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
√
方法一　因为tan θ＝－2，所以角θ的终边在第二或第四象限，
方法二　(弦化切法)因为tan θ＝－2，
方法三　(正弦化余弦法)因为tan θ＝－2，所以sin θ＝－2cos θ.
√
所以sin θ>0，cos θ<0，所以sin θ－cos θ>0.
题型二
诱导公式
√
sin(3π－x)＝sin(π－x)＝sin x，故A错误；
tan(x－π)＝tan[－(π－x)]＝－tan(π－x) ＝tan x，故C错误；
cos(－x)＝cos x，故D错误.
诱导公式的两个应用
(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了；
(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.
√
√
题型三
同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用
由－π所以cos x>0，所以sin x－cos x<0，
(1)利用同角三角函数基本关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.
(2)注意角的范围对三角函数值符号的影响.
√
以下同方法一.
课时精练
第
三部
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基础保分练
1.sin 1 620°等于
A.0 B.
C.1 D.－1
√
由诱导公式，sin 1 620°＝sin(180°＋4×360°)＝sin 180°＝0.
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3.已知角α的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与直线2x＋y＋3＝0平行，则　　　　　 的值为
A.－2　　　B.　　　　C.2　　　D.3
√
因为角α的终边与直线2x＋y＋3＝0平行，即角α的终边在直线y＝－2x上，
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在△ABC中，有A＋B＋C＝π，
则sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，A正确；
cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C，D错误.
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√
因为tan2α－3tan αsin α－4sin2α＝0，
所以(tan α－4sin α)(tan α＋sin α)＝0，
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(1)求实数b的值；
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∴sin θ>cos θ，
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综合提升练
A.－2　　　B.－1　　　C.2　　　D.1
√
√
所以原表达式的取值为－2或2.
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12.黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来，数字中也有类似的“黑洞”，任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字，我们称它为“数字黑洞”，如果把这
个数字设为a，则　　　 等于
√
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根据“数字黑洞”的定义，任取数字2 021，经过第一步之后变为314，经过第二步之后变为123，再变为123，再变为123，
所以数字黑洞为123，即a＝123，
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拓展冲刺练
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16.cos 1°＋cos 2°＋cos 3°＋…＋cos 177°＋cos 178°＋cos 179°＝ .
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0
因为cos(180°－α)＝－cos α，所以cos 1°＋cos 2°＋cos 3°＋…＋cos 89°＋cos 90°＋cos 91°＋…＋cos 177°＋cos 178°＋cos 179°
＝cos 1°＋cos 2°＋cos 3°＋…＋cos 89°＋cos 90°－cos 89°－…－cos 3°－cos 2°－cos 1°
＝cos 90°＝0.§4.2　同角三角函数基本关系式及诱导公式
考试要求　1.理解同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.
2.掌握诱导公式，并会简单应用．
知识梳理
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：＝tan α.
2．三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α
余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α
正切 tan α tan α －tan α －tan α
口诀 奇变偶不变，符号看象限
常用结论
同角三角函数的基本关系式的常见变形
sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；
cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)使sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．(　×　)
(2)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝.(　×　)
(3)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(　×　)
(4)若α∈R，则tan α＝恒成立．(　×　)
教材改编题
1．若cos α＝，α∈，则tan α等于(　　)
A．－ B. C．－2 D．2
答案　C
解析　由已知得，sin α＝－＝－＝－，所以tan α＝＝－2.
2．若sin α＋cos α＝，则sin αcos α等于(　　)
A．－ B．－ C. D．2
答案　B
解析　因为sin α＋cos α＝，所以(sin α＋cos α)2＝，
即sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝，
即1＋2sin αcos α＝，
所以sin αcos α＝－.
3．化简·cos(2π－α)的结果为 ．
答案　sin α
解析　原式＝·cos α＝sin α.
题型一　同角三角函数基本关系
例1　(1)(多选)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝，则下列结论正确的是(　　)
A．θ∈ B．cos θ＝－
C．tan θ＝－ D．sin θ－cos θ＝
答案　AD
解析　因为sin θ＋cos θ＝，①
所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝，则2sin θcos θ＝－，
因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，cos θ<0，
所以θ∈，故A正确；
所以(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，
所以sin θ－cos θ＝，②
故D正确；
由①②联立可得，sin θ＝，cos θ＝－，故B错误；
所以tan θ＝＝－，故C错误．
(2)已知cos α＝－，则13sin α＋5tan α＝ .
答案　0
解析　∵cos α＝－<0且cos α≠－1，
∴α是第二或第三象限角．
①若α是第二象限角，
则sin α＝＝＝，
∴tan α＝＝＝－.
此时13sin α＋5tan α＝13×＋5×＝0.
②若α是第三象限角，
则sin α＝－＝－
＝－，
∴tan α＝＝＝，
此时，13sin α＋5tan α＝13×＋5×＝0.
综上，13sin α＋5tan α＝0.
(3)已知tan α＝2，则＝ ；sin2α＋cos2α＝ .
答案　　
解析　因为tan α＝2，
所以＝＝＝.
sin2α＋cos2α＝·＋·
＝·＋·
＝×＋×＝.
思维升华　(1)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．
(2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
跟踪训练1　(1)(2021·新高考全国Ⅰ)若tan θ＝－2，则等于(　　)
A．－ B．－ C. D.
答案　C
解析　方法一　因为tan θ＝－2，所以角θ的终边在第二或第四象限，
所以或
所以＝＝sin θ(sin θ＋cos θ)
＝sin2 θ＋sin θcos θ＝－＝.
方法二　(弦化切法)因为tan θ＝－2，所以＝＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝＝＝＝.
方法三　(正弦化余弦法)因为tan θ＝－2，所以sin θ＝－2cos θ.则＝
＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝
＝＝.
(2)若θ为△ABC的一个内角，且sin θ·cos θ＝－，则sin θ－cos θ等于(　　)
A．± B. C．－ D.
答案　D
解析　θ∈(0，π)，因为sin θ·cos θ＝－<0，
所以θ∈，
所以sin θ>0，cos θ<0，所以sin θ－cos θ>0.
又(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1＋＝，
所以sin θ－cos θ＝.
题型二　诱导公式
例2　(1)已知x∈R，则下列等式恒成立的是(　　)
A．sin(3π－x)＝－sin x B．sin ＝cos
C．tan(x－π)＝－tan x D．cos(－x)＝－cos x
答案　B
解析　sin(3π－x)＝sin(π－x)＝sin x，故A错误；
sin＝cos ，故B正确；
tan(x－π)＝tan[－(π－x)]＝－tan(π－x) ＝tan x，故C错误；
cos(－x)＝cos x，故D错误．
(2)已知sin＝，且0答案　
解析　∵0∴cos＝＝.
∴sin＝sin＝cos＝，
cos＝cos＝－cos＝－.
∴sin－cos＝.
思维升华　诱导公式的两个应用
(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了；
(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了．
跟踪训练2　(1)若＝，则tan α等于(　　)
A. B．－ C．－ D.
答案　D
解析　因为＝，所以＝，所以＝，解得tan α＝.
(2)已知cos＝，则sin的值为(　　)
A. B．－ C. D．－
答案　C
解析　由cos＝，得sin
＝sin＝cos＝.
题型三　同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用
例3　(1)(2023·长沙模拟)已知sin＝，且－α为第二象限角，则sin＋sin＝ .
答案　
解析　∵sin＝，且－α为第二象限角，
∴cos＝－，
∴sin＋sin
＝sin＋sin
＝sin－cos
＝－
＝.
(2)已知－π答案　－
解析　由已知得，sin x＋cos x＝，
两边平方得sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝，
整理得2sin xcos x＝－.
因为(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝，
由－π又2sin xcos x＝－<0，
所以cos x>0，所以sin x－cos x<0，
故sin x－cos x＝－.
所以＝
＝
＝＝－.
思维升华　(1)利用同角三角函数基本关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．
(2)注意角的范围对三角函数值符号的影响．
跟踪训练3　(1)(2023·衡水模拟)已知sin＋cos(π－α)＝sin α，则2sin2α－sin αcos α等于(　　)
A. B. C. D．2
答案　D
解析　由诱导公式可得，sin α＝sin＋cos(π－α)＝－2cos α，所以tan α＝－2.
因此，2sin2α－sin αcos α＝
＝＝＝2.
(2)已知sin＝，其中α∈，则cos＝ ，sin＝ .
答案　－　－
解析　方法一　令t＝α－，
所以sin t＝，
α＝t＋，
所以cos＝cos
＝cos＝－sin t＝－.
因为α∈，
所以α－∈，所以sin＝，
所以sin＝sin 2
＝2sincos
＝2××＝－.
方法二　因为sin＝，
所以cos＝cos＝sin
＝sin＝sin
＝sin＝－sin＝－.
以下同方法一．
课时精练
1．sin 1 620°等于(　　)
A．0 B.
C．1 D．－1
答案　A
解析　由诱导公式，sin 1 620°＝sin(180°＋4×360°)＝sin 180°＝0.
2．(2023·济南模拟)已知α∈，cos＝，则tan α等于(　　)
A．－ B. C．－ D.
答案　A
解析　由已知条件得cos＝－sin α＝，
即sin α＝－，
∵α∈，
∴cos α＝＝＝，
∴tan α＝＝＝－.
3．已知角α的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与直线2x＋y＋3＝0平行，则的值为(　　)
A．－2 B．－ C．2 D．3
答案　D
解析　因为角α的终边与直线2x＋y＋3＝0平行，即角α的终边在直线y＝－2x上，
所以tan α＝－2，＝＝3.
4．若sin(π＋α)－cos(π－α)＝，则sincos等于(　　)
A. B．－ C. D．－
答案　A
解析　由sin(π＋α)－cos(π－α)＝，可得－sin α＋cos α＝，平方可得1－2sin αcos α＝，
所以sin αcos α＝，
所以sincos＝cos αsin α＝.
5．(多选)在△ABC中，下列结论正确的是(　　)
A．sin(A＋B)＝sin C
B．sin ＝cos
C．tan(A＋B)＝－tan C
D．cos(A＋B)＝cos C
答案　ABC
解析　在△ABC中，有A＋B＋C＝π，
则sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，A正确；
sin ＝sin＝cos ，B正确；
tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C，C正确；
cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C，D错误.
6．(2022·郑州模拟)已知角α∈，且tan2α－3tan αsin α－4sin2α＝0，则sin(α＋2 023π)等于(　　)
A. B. C．－ D．－
答案　A
解析　因为tan2α－3tan αsin α－4sin2α＝0，所以(tan α－4sin α)(tan α＋sin α)＝0，因为α∈，所以tan α<0且sin α<0，所以tan α－4sin α＝0，即＝4sin α，所以cos α＝，所以sin α＝－＝－，所以sin(α＋2 023π)＝－sin α＝.
7．已知sin θ＝，则＝ .
答案　
解析　原式＝＝＝＝＝.
8．已知cos＝，则cos－sin的值为 ．
答案　0
解析　因为cos＝，
所以cos＝cos
＝－cos＝－，
sin＝－sin＝－sin＝－cos＝－，
所以cos－sin＝－－＝0.
9．(2023·长沙模拟)(1)若α是第二象限角，且cos＝－，求tan α的值；
(2)已知f(α)＝，化简f(α)，在(1)的条件下，求f(α)的值．
解　(1)∵cos＝－sin α＝－，∴sin α＝，又α是第二象限角，
∴cos α＝－＝－，则tan α＝＝－.
(2)f(α)＝＝＝cos α，由(1)知，cos α＝－，
则f(α)＝cos α＝－.
10．已知关于x的方程2x2－bx＋＝0的两根为sin θ和cos θ，θ∈.
(1)求实数b的值；
(2)求的值．
解　(1)∵sin θ，cos θ为关于x的方程2x2－bx＋＝0的两根，
∴
∴(sin θ＋cos θ)2＝＝1＋2sin θcos θ＝1＋＝，即＝，
解得b＝±，此时Δ＝5－2>0，
又θ∈，∴sin θ＋cos θ>0，∴b＝.
(2)∵θ∈，
∴sin θ>cos θ，
∴sin θ－cos θ＝＝＝，
∴＝＝－.
11．(多选)已知角α满足sin α·cos α≠0，则表达式＋(k∈Z)的取值为(　　)
A．－2 B．－1 C．2 D．1
答案　AC
解析　当k为奇数时，原式＝＋＝(－1)＋(－1)＝－2；
当k为偶数时，原式＝＋＝1＋1＝2.
所以原表达式的取值为－2或2.
12．黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来，数字中也有类似的“黑洞”，任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字设为a，则sin等于(　　)
A. B．－ C. D．－
答案　D
解析　根据“数字黑洞”的定义，任取数字2 021，经过第一步之后变为314，经过第二步之后变为123，再变为123，再变为123，
所以数字黑洞为123，即a＝123，
所以sin＝sin＝sin＝－cos ＝－.
13．sin ·cos ·tan的值是 ．
答案　－
解析　原式＝sin·cos·tan
＝··
＝××(－)＝－.
14．已知sin(3π＋θ)＝，则＋＝ .
答案　18
解析　由sin(3π＋θ)＝，可得sin θ＝－，
∴＋
＝＋
＝＋＝
＝＝＝18.
15．(多选)已知角θ和φ都是任意角，若满足θ＋φ＝＋2kπ，k∈Z，则称θ与φ广义互余．若sin(π＋α)＝－，则下列角β中，可能与角α广义互余的有(　　)
A．sin β＝ B．cos(π＋β)＝
C．tan β＝ D．tan β＝
答案　AC
解析　若α与β广义互余，则α＋β＝＋2kπ(k∈Z)，即β＝＋2kπ－α(k∈Z)．
又由sin(π＋α)＝－，可得sin α＝.
若α与β广义互余，则sin β＝sin＝cos α＝±＝±，故A正确；
若α与β广义互余，则cos β＝cos＝sin α＝，而由cos(π＋β)＝，可得cos β＝－，故B错误；
由A，B可知sin β＝±，cos β＝，所以tan β＝＝±，故C正确，D错误．
16．cos 1°＋cos 2°＋cos 3°＋…＋cos 177°＋cos 178°＋cos 179°＝ .
答案　0
解析　因为cos(180°－α)＝－cos α，所以cos 1°＋cos 2°＋cos 3°＋…＋cos 89°＋cos 90°＋cos 91°＋…＋cos 177°＋cos 178°＋cos 179°
＝cos 1°＋cos 2°＋cos 3°＋…＋cos 89°＋cos 90°－cos 89°－…－cos 3°－cos 2°－cos 1°
＝cos 90°＝0.§4.2　同角三角函数基本关系式及诱导公式
考试要求　1.理解同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.
2.掌握诱导公式，并会简单应用．
知识梳理
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：________________.
(2)商数关系：___________________________________________________________________.
2．三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α
余弦 cos α
正切 tan α －tan α
口诀 奇变偶不变，符号看象限
常用结论
同角三角函数的基本关系式的常见变形
sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；
cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)使sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．(　　)
(2)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝.(　　)
(3)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(　　)
(4)若α∈R，则tan α＝恒成立．(　　)
教材改编题
1．若cos α＝，α∈，则tan α等于(　　)
A．－ B. C．－2 D．2
2．若sin α＋cos α＝，则sin αcos α等于(　　)
A．－ B．－ C. D．2
3．化简·cos(2π－α)的结果为______.
题型一　同角三角函数基本关系
例1 (1)(多选)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝，则下列结论正确的是(　　)
A．θ∈ B．cos θ＝－
C．tan θ＝－ D．sin θ－cos θ＝
(2)已知cos α＝－，则13sin α＋5tan α＝______.
(3)已知tan α＝2，则＝______；sin2α＋cos2α＝________.
听课记录： ______________________________________________________________
________________________________________________________________________
思维升华 (1)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．
(2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
跟踪训练1 (1)(2021·新高考全国Ⅰ)若tan θ＝－2，则等于(　　)
A．－ B．－
C. D.
(2)若θ为△ABC的一个内角，且sin θ·cos θ＝－，则sin θ－cos θ等于(　　)
A．± B.
C．－ D.
题型二　诱导公式
例2 (1)已知x∈R，则下列等式恒成立的是(　　)
A．sin(3π－x)＝－sin x
B．sin＝cos
C．tan(x－π)＝－tan x
D．cos(－x)＝－cos x
(2)已知sin＝，且0听课记录：______________________________________________________________
________________________________________________________________________
思维升华 诱导公式的两个应用
(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了；
(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了．
跟踪训练2 (1)若＝，则tan α等于(　　)
A. B．－ C．－ D.
(2)已知cos＝，则sin的值为(　　)
A. B．－ C. D．－
题型三　同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用
例3 (1)(2023·长沙模拟)已知sin＝，且－α为第二象限角，则sin＋sin＝________.
(2)已知－π听课记录： ______________________________________________________________
________________________________________________________________________
思维升华 (1)利用同角三角函数基本关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．
(2)注意角的范围对三角函数值符号的影响．
跟踪训练3 (1)(2023·衡水模拟)已知sin＋cos(π－α)＝sin α，则2sin2α－sin α·cos α等于(　　)
A. B. C. D．2
(2)已知sin＝，其中α∈，则cos＝________，sin＝________.

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