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(共79张PPT)
第四章　三角函数与解三角形
§4.4　简单的三角恒等
变换
能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆).
考试要求
内容索引
第一部分
第二部分
第三部分
落实主干知识
探究核心题型
课时精练
落实主干知识
第
一
部
分
1.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α：sin 2α＝ .
(2)公式C2α：cos 2α＝ ＝ ＝ .
(3)公式T2α：tan 2α＝ .
2sin αcos α
cos2α－sin2α
2cos2α－1
1－2sin2α
2.常用的部分三角公式
(1)1－cos α＝ ，1＋cos α＝ .(升幂公式)
(2)1±sin α＝ .(升幂公式)
(3)sin2α＝ ，cos2α＝ ，tan2α＝ .(降幂公式)
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的.
(　　)
(2)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(　　)
√
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2.若角α满足sin α＋2cos α＝0，则tan 2α等于
√
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探究核心题型
第
二部
分
题型一
三角函数式的化简
√
思维升华
(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：
一看角，二看名，三看式子结构与特征.
(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的联系点.
√
－cos θ
所以原式＝－cos θ.
题型二
三角函数式的求值
命题点1　给角求值
例2　计算：(1)sin 10°·sin 30°·sin 50°·sin 70°；
命题点2　给值求值
√
命题点3　给值求角
(1)给值(角)求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法.
(2)给值(角)求值问题的一般步骤
①化简条件式子或待求式子；
②观察条件与所求式子之间的联系，从函数名称及角入手；
③将已知条件代入所求式子，化简求值.
跟踪训练2　(1)已知α∈(0，π)，sin 2α＋cos 2α＝cos α－1，则sin 2α等于
√
∵sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝2cos2α－1，
∴2sin αcos α＋2cos2α＝cos α，
当cos α＝0 时，等式成立，此时sin 2α＝0；
√
∴sin(60°＋α)＝sin[90°－(30°－α)]
题型三
三角恒等变换的综合应用
(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用.
(2)形如y＝asin x＋bcos x化为y＝ sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性.
因为2tan2β－tan β－1＝(2tan β＋1)(tan β－1)＝0，
课时精练
第
三部
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基础保分练
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4.公元前六世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin 18°，
若4m2＋n＝16，则 的值为
A.1　　　B.2　　　C.4　　　D.8
√
因为m＝2sin 18°，
所以由4m2＋n＝16，可得n＝16－4(2sin 18°)2＝16cos218°，
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对于A，cos(－15°)＝cos 15°＝cos(45°－30°)
对于C, cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝ ，所以C错误；
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6.(2022·石家庄模拟)黄金分割比例广泛存在于许多艺术作品中.在三角形中，底与腰之比为黄金分割比的三角形被称作黄金三角形，被认为是最美的三角形，它是两底角为72°的等腰三角形.达·芬奇的名作《蒙娜丽莎》中，
在整个画面里形成了一个黄金三角形.如图，在黄金△ABC中， ，
根据这些信息，可得sin 54°等于
√
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又因为cos236°＋sin236°＝1，
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9.化简并求值.
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又cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]
＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β)
综合提升练
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拓展冲刺练
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16§4.4　简单的三角恒等变换
考试要求　能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆)．
知识梳理
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α：sin 2α＝2sin αcos α.
(2)公式C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
(3)公式T2α：tan 2α＝.
2．常用的部分三角公式
(1)1－cos α＝2sin2,1＋cos α＝2cos2.(升幂公式)
(2)1±sin α＝2.(升幂公式)
(3)sin2α＝，cos2α＝，tan2α＝.(降幂公式)
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的．(　√　)
(2)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(　√　)
(3)cos2＝.(　√　)
(4)tan ＝＝.(　√　)
教材改编题
1．(2021·全国乙卷)cos2－cos2等于(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　方法一　(公式法)因为cos ＝sin＝sin ，所以cos2－cos2＝cos2－sin2＝cos＝cos ＝.
方法二　(代值法)因为cos ＝，cos ＝，
所以cos2－cos2＝2－2＝.
2．若角α满足sin α＋2cos α＝0，则tan 2α等于(　　)
A．－ B. C．－ D.
答案　D
解析　由题意知，tan α＝－2，所以tan 2α＝＝.
3．若α为第二象限角，sin α＝，则sin 2α等于(　　)
A．－ B．－ C. D.
答案　A
解析　因为α为第二象限角，sin α＝，
所以cos α＝－＝－＝－，
所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－.
题型一　三角函数式的化简
例1　(1)(2021·全国甲卷)若α∈，tan 2α＝，则tan α等于(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　方法一　因为tan 2α＝＝，
且tan 2α＝，
所以＝，解得sin α＝.
因为α∈，
所以cos α＝，tan α＝＝.
方法二　因为tan 2α＝＝＝＝，且tan 2α＝，所以＝，解得sin α＝.
因为α∈，
所以cos α＝，tan α＝＝.
(2)已知sin 2α＝，则cos2＝ .
答案　
解析　cos2＝＝＝＝.
思维升华　(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：
一看角，二看名，三看式子结构与特征．
(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的联系点．
跟踪训练1　(1)(2022·锦州质检)若＝，则sin 2α＋cos 2α的值为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　＝＝tan α＝，从而sin 2α＋cos 2α＝2sin αcos α＋cos2α－sin2α＝＝＝＝.
(2)已知0<θ<π，则＝ .
答案　－cos θ
解析　原式＝
＝cos ·
＝.
因为0<θ<π，所以0<<，所以cos >0.
所以原式＝－cos θ.
题型二　三角函数式的求值
命题点1　给角求值
例2　计算：(1)sin 10°·sin 30°·sin 50°·sin 70°；
(2)－；
(3).
解　(1)原式＝cos 20°·cos 40°·cos 80°
＝＝＝.
(2)原式＝＝＝＝2.
(3)原式＝＝＝＝＝＝－2.
命题点2　给值求值
例3　(2022·长沙模拟)已知sin＝，则sin的值为(　　)
A. B．－ C. D．－
答案　A
解析　sin＝sin
＝－cos 2＝2sin2－1＝2×－1＝.
命题点3　给值求角
例4　已知 sin α＝，cos β＝，且α，β为锐角，则α＋2β＝ .
答案　
解析　因为sin α＝，且α为锐角，所以cos α＝＝＝，
因为cos β＝，且β为锐角，所以sin β＝＝＝，
那么sin 2β＝2sin βcos β＝2××＝，
cos 2β＝1－2sin2β＝1－2×2＝，
所以cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β＝×－×＝，
因为α∈，β∈，所以2β∈(0，π)．
所以α＋2β∈，故α＋2β＝.
思维升华　(1)给值(角)求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法．
(2)给值(角)求值问题的一般步骤
①化简条件式子或待求式子；
②观察条件与所求式子之间的联系，从函数名称及角入手；
③将已知条件代入所求式子，化简求值．
跟踪训练2　(1)已知α∈(0，π)，sin 2α＋cos 2α＝cos α－1，则sin 2α等于(　　)
A. B．－
C．－ 或0 D.
答案　C
解析　∵sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝2cos2α－1，
∴2sin αcos α＋2cos2α＝cos α，
当cos α＝0 时，等式成立，此时sin 2α＝0；
当cos α≠0 时，sin α＋cos α＝，
两边平方得sin 2α＝－.
综上可得，sin 2α＝－或0.
(2)(2023·南京模拟)已知sin＝tan 210°，则sin(60°＋α)的值为(　　)
A. B．－ C. D．－
答案　A
解析　∵sin＝tan 210°，
∴sin＝tan 210°＝tan(180°＋30°)＝tan 30°＝，
则cos2＝1－sin2＝，
cos(30°－α)＝cos2－sin2＝，
∴sin(60°＋α)＝sin[90°－(30°－α)]
＝cos(30°－α)＝.
题型三　三角恒等变换的综合应用
例5　已知f(x)＝sin＋2sin·cos.
(1)求f 的值；
(2)若锐角α满足f(α)＝，求sin 2α的值．
解　(1)由题意得
f(x)＝sin＋2sincos
＝sin－2sincos
＝sin－2sincos
＝sin－sin
＝sin 2xcos －cos 2xsin ＋cos 2x
＝sin 2x＋cos 2x
＝sin，
故f ＝sin＝0.
(2)∵α∈，∴2α＋∈，又∵f(α)＝，
∴f(α)＝sin＝，
又∵sin＝<，
∴2α＋∈，
∴cos＝－＝－，
∴sin 2α＝sin＝sincos －cossin ＝×＋×＝.
思维升华　(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．
(2)形如y＝asin x＋bcos x化为y＝sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性．
跟踪训练3　已知3sin α＝2sin2－1.
(1)求sin 2α＋cos 2α的值；
(2)已知α∈(0，π)，β∈，2tan2β－tan β－1＝0，求α＋β的值．
解　(1)因为3sin α＝2sin2－1，
所以3sin α＝－cos α，所以tan α＝－，
又因为sin 2α＋cos 2α＝＝，
所以sin 2α＋cos 2α＝＝.
(2)因为β∈，所以tan β<0，
因为2tan2β－tan β－1＝(2tan β＋1)(tan β－1)＝0，
所以tan β＝－，
又因为α∈(0，π)，tan α＝－，所以<α<π.
所以tan(α＋β)＝＝＝－1，
由得π<α＋β<2π，所以α＋β＝.
课时精练
1．已知x∈，cos(π－x)＝－，则tan 2x等于(　　)
A. B．－ C. D．－
答案　D
解析　因为x∈，cos(π－x)＝－，
所以cos x＝，sin x＝－＝－，
由同角三角函数的关系，
得tan x＝＝－.
因此tan 2x＝
＝＝－.
2．(2023·保定模拟)已知sin＝，则sin 2θ的值为(　　)
A. B．－ C. D．－
答案　B
解析　由sin＝，
得sin＝sin θcos －cos θsin ＝(sin θ－cos θ)＝，
即sin θ－cos θ＝，
等式两边同时平方，得1－sin 2θ＝，
所以sin 2θ＝－.
3．(2023·枣庄模拟)已知sin＝，则cos等于(　　)
A．－ B. C．－ D.
答案　A
解析　cos＝cos
＝－cos＝－cos
＝－
＝－＝－.
4．公元前六世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin 18°，若4m2＋n＝16，则的值为(　　)
A．1 B．2 C．4 D．8
答案　C
解析　因为m＝2sin 18°，
所以由4m2＋n＝16，可得n＝16－4(2sin 18°)2＝16cos218°，
因此＝＝＝＝4.
5．(多选)(2023·合肥模拟)下列计算结果正确的是(　　)
A．cos(－15°)＝
B．sin 15°sin 30°sin 75°＝
C．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝－
D．2sin 18°cos 36°＝
答案　BD
解析　对于A，cos(－15°)＝cos 15°＝cos(45°－30°)
＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝，所以A错误；
对于B，sin 15°sin 30°sin 75°＝sin 15°sin 30°cos 15°＝sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，所以B正确；
对于C, cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝，所以C错误；
对于D,2sin 18°cos 36°＝2cos 72°cos 36°＝2××＝＝，所以D正确．
6.(2022·石家庄模拟)黄金分割比例广泛存在于许多艺术作品中．在三角形中，底与腰之比为黄金分割比的三角形被称作黄金三角形，被认为是最美的三角形，它是两底角为72°的等腰三角形．达·芬奇的名作《蒙娜丽莎》中，在整个画面里形成了一个黄金三角形．如图，在黄金△ABC中，＝，根据这些信息，可得sin 54°等于(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　由题设，可得cos 72°＝1－2sin236°＝，又因为cos236°＋sin236°＝1，
所以cos236°＝，又cos 36°∈，
所以cos 36°＝cos(90°－54°)＝sin 54°＝.
7．(2023·淄博模拟)＝ .
答案　
解析　因为＝＝＝.
8．(2023·青岛模拟)若α∈(0，π)，cos 2α＝sin2－cos2，则α＝ .
答案　
解析　因为cos 2α＝2cos2α－1＝sin2－cos2＝－cos α，
所以cos α＝－1或cos α＝，
又α∈(0，π)，所以cos α＝，即α＝.
9．化简并求值．
(1)；
(2)·.
解　(1)原式＝＝
＝＝＝＝＝.
(2)原式＝
＝
＝＝
＝＝32.
10．(2023·长春质检)(1)已知tan(α＋β)＝，tan＝，求tan；
(2)已知cos 2θ＝－，<θ<，求sin 4θ，cos 4θ.
(3)已知sin(α－2β)＝，cos(2α－β)＝－，且0<β<<α<，求α＋β的值．
解　(1)因为tan(α＋β)＝，tan＝，
所以tan＝tan＝＝＝.
(2)由<θ<，得<2θ<π，∴sin 2θ＝＝，
sin 4θ＝2sin 2θcos 2θ＝2××＝－，
cos 4θ＝2cos22θ－1＝2×2－1＝－1＝.
(3)由0<β<<α<，得0<2β<，－<－2β<0，则－<α－2β<.
因为sin(α－2β)＝>0，所以cos(α－2β)＝＝＝.
由0<β<<α<，得<2α<π，－<－β<0，
则<2α－β<π，
因为cos(2α－β)＝－，所以sin(2α－β)＝.
因为<α＋β<，
又cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]
＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β)
＝－×＋×＝，所以α＋β＝.
11．已知α∈，β∈，tan α＝，则(　　)
A．α＋β＝ B．α－β＝
C．α＋β＝ D．α＋2β＝
答案　B
解析　tan α＝＝
＝＝＝tan.
∵α∈，β∈，
∴α＝＋β，即α－β＝.
12. 魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术以正24 576边形，求出圆周率π约等于，和真正的值相比，其误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才被打破．若已知π的近似值还可以表示成4sin 52°，则的值为(　　)
A．－ B．－8 C．8 D.
答案　A
解析　将π＝4sin 52°代入，
可得＝＝＝－
＝－＝－＝－.
13．(多选)(2023·长沙模拟)若sin ＝，α∈(0，π)，则(　　)
A．cos α＝
B．sin α＝
C．sin＝
D．sin＝
答案　AC
解析　∵sin ＝，α∈(0，π)，
∴∈，cos ＝＝.
∴cos α＝1－2sin2＝1－2×2＝，故A正确；
sin α＝2sin cos ＝2××＝，故B错误；
sin＝sin cos ＋cos sin
＝×＋×＝，故C正确；
sin＝sin cos －cos sin
＝×－×＝，故D错误．
14．(2022·邢台模拟)已知α，β均为锐角，sin＝－，sin＝，则sin(α＋β)＝ ，cos(2α－β)＝ .
答案　　
解析　因为sin＝cos＝－，
sin＝，
所以α＋为第二象限角，β－为第一象限角，
所以sin＝＝，
cos＝＝，
所以sin(α＋β)＝sin
＝sincos＋cos·sin＝.
cos(2α－β)＝－cos(2α－β＋π)
＝－cos
＝－
＝－cos 2－sin 2
＝－－·sin·cos＝.
15．(2023·武汉模拟)f(x)满足： x1，x2∈(0,1)且x1≠x2，都有<0.a＝sin 7°sin 83°，b＝，c＝cos2－，则，，的大小顺序为(　　)
A.<< B.<<
C.<< D.<<
答案　C
解析　a＝sin 7°sin 83°＝sin 7°cos 7°＝sin 14°，b＝＝＝sin 16°，c＝cos ＝sin ＝sin 15°，∴a由题意得， x1，x2∈(0,1)且x1≠x2，都有<0，即<0，
∴y＝在(0,1)上单调递减，∴<<.
16．设α，β为锐角，且2α－β＝，＝1，则x＝ .
答案　1
解析　∵α，β为锐角，且2α－β＝，＝1，
∴x＝tan αcos β－sin β＝tan·cos β－sin β＝·cos β－sin β
＝·cos β－sin β＝·cos β－sin β＝·cos β－sin β＝1.§4.4　简单的三角恒等变换
考试要求　能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆)．
知识梳理
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α：sin 2α＝________________.
(2)公式C2α：cos 2α＝________＝________＝________.
(3)公式T2α：tan 2α＝________.
2．常用的部分三角公式
(1)1－cos α＝________，1＋cos α＝________.(升幂公式)
(2)1±sin α＝________________.(升幂公式)
(3)sin2α＝________，cos2α＝________，tan2α＝________.(降幂公式)
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的．(　　)
(2)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(　　)
(3)cos2＝.(　　)
(4)tan ＝＝.(　　)
教材改编题
1．(2021·全国乙卷)cos2－cos2等于(　　)
A. B. C. D.
2．若角α满足sin α＋2cos α＝0，则tan 2α等于(　　)
A．－ B. C．－ D.
3．若α为第二象限角，sin α＝，则sin 2α等于(　　)
A．－ B．－ C. D.
题型一　三角函数式的化简
例1 (1)(2021·全国甲卷)若α∈，tan 2α＝，则tan α等于(　　)
A. B. C. D.
(2)已知sin 2α＝，则cos2＝______.
听课记录： ______________________________________________________________
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思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：
一看角，二看名，三看式子结构与特征．
(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的联系点．
跟踪训练1 (1)(2022·锦州质检)若＝，则sin 2α＋cos 2α的值为(　　)
A. B. C. D.
(2)已知0<θ<π，则＝________.
题型二　三角函数式的求值
命题点1　给角求值
例2 计算：(1)sin 10°·sin 30°·sin 50°·sin 70°；
(2)－；
(3).
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________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
命题点2　给值求值
例3 (2022·长沙模拟)已知sin＝，则sin的值为(　　)
A. B．－ C. D．－
听课记录： ______________________________________________________________
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命题点3　给值求角
例4 已知 sin α＝，cos β＝，且α，β为锐角，则α＋2β＝________.
听课记录： ______________________________________________________________
________________________________________________________________________
思维升华 (1)给值(角)求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法．
(2)给值(角)求值问题的一般步骤
①化简条件式子或待求式子；
②观察条件与所求式子之间的联系，从函数名称及角入手；
③将已知条件代入所求式子，化简求值．
跟踪训练2 (1)已知α∈(0，π)，sin 2α＋cos 2α＝cos α－1，则sin 2α等于(　　)
A. B．－
C．－ 或0 D.
(2)(2023·南京模拟)已知sin＝tan 210°，则sin(60°＋α)的值为(　　)
A. B．－ C. D．－
题型三　三角恒等变换的综合应用
例5 已知f(x)＝sin＋2sin·cos.
(1)求f 的值；
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(2)若锐角α满足f(α)＝，求sin 2α的值．
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思维升华 (1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．
(2)形如y＝asin x＋bcos x化为y＝sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性．
跟踪训练3 已知3sin α＝2sin2－1.
(1)求sin 2α＋cos 2α的值；
(2)已知α∈(0，π)，β∈，2tan2β－tan β－1＝0，求α＋β的值．
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