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第四章　三角函数与解三角形
§4.6　函数y＝Asin(ωx＋φ)
1.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，
A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响.
2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期
变化的数学模型.
考试要求
内容索引
第一部分
第二部分
第三部分
落实主干知识
探究核心题型
课时精练
落实主干知识
第
一
部
分
1.简谐运动的有关概念
已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x≥0
振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝___ ωx＋φ φ
2.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个特征点
ωx＋φ 0 π 2π
x _____ _____ _____ ______ ______
y＝Asin (ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径
|φ|
A
A
1.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”.
2.函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋ ，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其横坐标.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A.(　　)
(4)如果y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为 .(　　)
×
×
×
√
√
√
3.某港口在一天24小时内的潮水的高度近似满足关系式f(t)＝2sin ，其中f(t)的单位为m，t的单位是h，则12点时潮水的高度是____m.
1
即12点时潮水的高度是1 m.
探究核心题型
第
二部
分
题型一
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
√
√
因为函数g(x)的图象关于y轴对称，
思维升华
(1)由y＝sin ωx的图象到y＝sin(ωx＋φ)的图象的变换：向左平移 (ω>0，φ>0)个单位长度而非φ个单位长度.
(2)如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值.
√
√
题型二
由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
√
(2)(2021·全国甲卷)已知函数f(x)＝2cos (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则
＝______.
确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法
(3)求φ.常用方法如下：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.
√
所以1<|ω|<2.
因为1<|ω|<2，
1
所以g(x)＝2sin(2x＋φ)(|φ|<π)，
题型三
三角函数图象、性质的综合应用
命题点1　图象与性质的综合应用
√
√
√
命题点2　函数零点(方程根)问题
(－2，－1)
故m的取值范围是(－2，－1).
延伸探究　本例中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m的取值范围是_________.
[－2,1)
∴－2≤m<1，∴m的取值范围是[－2,1).
命题点3　三角函数模型
例5　(多选)(2023·石家庄模拟)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(图1)，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图2).一半径为2米的筒车水轮如图3所示，水轮圆心O距离水面1米，已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图3中点P0)开始计时，则下列结论正确的是
A.点P再次进入水中时用时30秒
B.当水轮转动50秒时，点P处于最低点
C.当水轮转动150秒时，点P距离水面
2米
D.点P第二次到达距水面(1＋ )米时用时25秒
√
√
√
又由水轮的半径为2米，且圆心O距离水面1米，
建立如图所示的平面直角坐标系，
设点P距离水面的高度H＝Asin(ωt＋φ)＋B(A>0，ω>0)，
即t＝60k＋15或t＝60k＋25(k∈N).
(1)研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题.
(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.
(3)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题.
√
由图知，A＝2，f(0)＝－1，则2sin φ＝－1，
则g(x)的图象不单调，所以D错误.
√
因为x∈(0,1)，
(3)(2022·南京模拟)时钟花是原产于南美热带雨林的藤蔓植物，其开放与闭合与体内的一种时钟酶有关.研究表明，当气温上升到20 ℃时，时钟酶活跃起来，花朵开始开放；当气温上升到28 ℃时，时钟酶的活性减弱，花朵开始闭合，且每天开闭一次.已知某景区一天内5～17时的气温T(单位： ℃)与时间t(单位：h)近似满足关系式T＝20－　　　 　　，则该景区这天时钟花从开始开放到开始闭合约经历
A.1.4 h　　　B.2.4 h　　　C.3.2 h　　　D.5.6 h
√
设t1时开始开放，t2时开始闭合，结合时钟花每天开闭一次，
课时精练
第
三部
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基础保分练
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3.(多选)血压(BP)是指血液在血管内流动时作用于单位面积血管壁的侧压力，它是推动血液在血管内流动的动力.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压.在未使用抗高血压药的前提下，18岁以上成人的收缩压≥140 mmHg或舒张压≥90 mmHg，则说明该成人有高血压.设从未使用抗高血压药的陈华今年45岁，从某天早晨6点开始计算(即早晨6点时，t＝0 h)，他的血压p(t)(mmHg)与经过的时间t(h)满足关系式p(t)＝115＋ ，则下列选项中正确的是
A.当天早晨6～7点，陈华的血压逐渐上升
B.当天早晨9点时陈华的血压为125 mmHg
C.当天陈华没有高血压
D.当天陈华的收缩压与舒张压之差为40 mmHg
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选项C，D，因为p(t)的最大值为115＋20＝135，最小值为115－20＝95≥90，所以陈华的收缩压为135 mmHg，舒张压为95 mmHg，因此陈华有高血压，故选项C错误；
他的收缩压与舒张压之差为40 mmHg，故选项D正确.
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观察图象得A＝1，令函数f(x)的周期为T，
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若将其图象沿x轴向右平移a(a>0)个单位长度，
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(2)说明f(x)的图象是由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到的？
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综合提升练
11.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b 的图象如图，则f(x)的解析式和S＝f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)＋f(2 023)的值分别为
√
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又2 024＝4×506，∴S＝4×506＝2 024.
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由题意可知，
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然后再向左平移φ(φ>0)个单位长度，
因为所得的图象关于y轴对称，为偶函数，
无论k取任何整数，无法得到B，C，D的值.
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由三角函数的最大值可知A＝2，
由三角函数的性质可知，
则f(x1＋x2)＝2sin[2(x1＋x2)＋φ]
＝2sin(2×2m＋φ)
＝2sin[2×(2m＋φ)－φ]
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14.风车发电是指把风的动能转化为电能.如图，风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为120°.现有一座风车，塔高60米，叶片长度为30米.叶片按照逆时针方向匀速转动，并且6秒旋转一圈，风车开始旋转时，某叶片的一个端点P在风车的最低点(P离地面30米)，设点
P离地面的距离为S(米)，转动时间为t(秒)，则S与t之间的函数解析式为
____________________，一圈内点P离地面的高度不低于45米的时长为
____秒.
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故一圈内点P离地面的高度不低于45米的时长为4秒.
拓展冲刺练
15.信息传递多数是以波的形式进行传递，其中必然会存在干扰信号，如y
＝Asin(ωx＋φ) ，某种“信号净化器”可产生形如y＝
A0sin(ω0x＋φ0)的波，只需要调整参数(A0，ω0，φ0)，就可以产生特定的波(与干扰波波峰相同，方向相反的波)来“对抗”
干扰.现有波形信号的部分图象，想要通过
“信号净化器”过滤得到标准的正弦波(标准
正弦函数图象)，应将波形净化器的参数分别
调整为
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又由f(x)在(0，α)上恰有2个零点，
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16§4.6　函数y＝Asin(ωx＋φ)
考试要求　1.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响.2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．
知识梳理
1．简谐运动的有关概念
已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x≥0
振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ
2.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个特征点
ωx＋φ 0 π 2π
x
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径
常用结论
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其横坐标．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A.(　×　)
(2)函数f(x)＝sin 2x向右平移个单位长度后对应的函数g(x)＝sin.(　×　)
(3)把y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的，所得函数解析式为y＝sin x.(　×　)
(4)如果y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为.(　√　)
教材改编题
1．函数y＝2sin的振幅、频率和初相分别为(　　)
A．2，， B．2，，
C．2，， D．2，，－
答案　A
解析　由振幅、频率和初相的定义可知，函数y＝2sin的振幅为2，频率为，初相为.
2．(2022·浙江)为了得到函数y＝2sin 3x的图象，只要把函数y＝2sin图象上所有的点(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
答案　D
解析　因为y＝2sin＝2sin 3，所以要得到函数y＝sin 3x的图象，只要把函数y＝2sin图象上所有的点向右平移个单位长度即可，故选D.
3．某港口在一天24小时内的潮水的高度近似满足关系式f(t)＝2sin，其中f(t)的单位为m，t的单位是h，则12点时潮水的高度是________m.
答案　1
解析　当t＝12时，f(12)＝2sin＝2sin ＝1，
即12点时潮水的高度是1 m.
题型一　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
例1　(1)(2021·全国乙卷)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，则f(x)等于(　　)
A．sin B．sin
C．sin D．sin
答案　B
解析　依题意，将y＝sin的图象向左平移个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到f(x)的图象，
所以y＝siny＝sin的图象
f(x)＝sin的图象．
(2)(2022·全国甲卷)将函数f(x)＝sin(ω＞0)的图象向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　记曲线C的函数解析式为g(x)，则g(x)＝sin＝sin.因为函数g(x)的图象关于y轴对称，所以ω＋＝kπ＋(k∈Z)，得ω＝2k＋(k∈Z)．因为ω＞0，所以ωmin＝.故选C.
思维升华　(1)由y＝sin ωx的图象到y＝sin(ωx＋φ)的图象的变换：向左平移(ω>0，φ>0)个单位长度而非φ个单位长度．
(2)如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值．
跟踪训练1　(1)(2023·金华模拟)已知函数f(x)＝sin，若将f(x)的图象向右平移个单位长度后，再把所得曲线上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，则(　　)
A．g(x)＝sin B．g(x)＝sin 4x
C．g(x)＝sin x D．g(x)＝sin
答案　D
解析　将函数f(x)＝sin的图象向右平移个单位长度，可得函数y＝sin＝sin的图象；
再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到函数g(x)＝sin的图象．
(2)(2023·宁波模拟)将函数y＝tan(ω>0)的图象分别向左、向右各平移个单位长度后，所得的两个图象对称中心重合，则ω的最小值为(　　)
A. B．2 C．3 D．6
答案　A
解析　将函数y＝tan的图象向左平移个单位长度后，
可得f(x)＝tan＝tan，
将函数y＝tan的图象向右平移个单位长度后，
可得g(x)＝tan＝tan，
因为函数f(x)与g(x)的对称中心重合，所以－＝，k∈Z，
即ω＝，k∈Z，解得ω＝，k∈Z，
又因为ω>0，所以ω的最小值为.
题型二　由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
例2　(1)(2023·济南调研)函数f(x)＝2sin(2x＋φ)的图象如图所示，现将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为(　　)
A．y＝2sin B．y＝2sin
C．y＝2cos 2x D．y＝2sin 2x
答案　D
解析　由图可知，y＝f(x)过点，解得φ＝，
将f(x)＝2sin的图象向右平移个单位长度后得到y＝2sin＝2sin 2x.
(2)(2021·全国甲卷)已知函数f(x)＝2cos (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f ＝______.
答案　－
解析　由题意可得，T＝－＝，
∴T＝π，ω＝＝2，
当x＝时，ωx＋φ＝2×＋φ＝2kπ，k∈Z，
∴φ＝2kπ－π(k∈Z)．
令k＝1可得φ＝－，
据此有f(x)＝2cos，
f ＝2cos＝2cos ＝－.
思维升华　确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法
(1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝.
(2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝.
(3)求φ.常用方法如下：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．
跟踪训练2　(1)(2020·全国Ⅰ改编)设函数f(x)＝cos在[－π，π]上的图象大致如图，则f(x)的解析式为(　　)
A．f(x)＝cos B．f(x)＝cos
C．f(x)＝cos D．f(x)＝cos
答案　B
解析　由图象知π所以1<|ω|<2.
因为图象过点，
所以cos＝0，
所以－ω＋＝kπ＋，k∈Z，
所以ω＝－k－，k∈Z.
因为1<|ω|<2，
故k＝－1，得ω＝，
所以f(x)＝cos.
(2)(2023·潍坊模拟)已知函数g(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，将函数g(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数f(x)的图象，则f ＝________.
答案　1
解析　由题图可知，周期T＝π，ω＝＝2，
所以g(x)＝2sin(2x＋φ)(|φ|<π)，
因为点在g(x)的图象上，
所以2sin＝－2，所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
得φ＝＋2kπ，k∈Z，
因为|φ|<π，所以φ＝，
所以g(x)＝2sin，
所以f(x)＝g＝2sin
＝2sin，
故f ＝2sin＝2sin＝1.
题型三　三角函数图象、性质的综合应用
命题点1　图象与性质的综合应用
例3　(多选)(2023·长沙模拟)若将函数f(x)＝cos的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是(　　)
A．g(x)的最小正周期为π
B．g(x)在区间上单调递减
C．x＝－是函数g(x)图象的一个对称轴
D．g(x)的图象关于点对称
答案　ACD
解析　将函数f(x)＝cos的图象向左平移个单位长度，
得到函数g(x)＝cos＝cos的图象．
对于A，g(x)的最小正周期为T＝＝＝π，故A正确；
对于B，由0≤x≤，得≤2x＋≤，当≤2x＋≤π，即0≤x≤时，g(x)单调递减，故B不正确；
对于C，g＝cos＝cos 0＝1，
所以x＝－是函数g(x)图象的一个对称轴，故C正确；
对于D，g＝cos＝cos＝cos ＝0，
所以g(x)的图象关于点对称，故D正确．
命题点2　函数零点(方程根)问题
例4　已知关于x的方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是____________．
答案　(－2，－1)
解析　方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0可转化为
m＝1－2sin2x＋sin 2x＝cos 2x＋sin 2x
＝2sin，x∈.
设2x＋＝t，则t∈，
∴题目条件可转化为＝sin t，t∈有两个不同的实数根．
即直线y＝和函数y＝sin t，t∈的图象有两个不同交点，作出y＝，y＝sin t的图象，如图中实线部分所示．
由图象观察知，的取值范围是，
故m的取值范围是(－2，－1)．
延伸探究　本例中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m的取值范围是________．
答案　[－2,1)
解析　同例题知，的取值范围是，
∴－2≤m<1，∴m的取值范围是[－2,1)．
命题点3　三角函数模型
例5　(多选)(2023·石家庄模拟)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(图1)，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图2)．一半径为2米的筒车水轮如图3所示，水轮圆心O距离水面1米，已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图3中点P0)开始计时，则下列结论正确的是(　　)
A．点P再次进入水中时用时30秒
B．当水轮转动50秒时，点P处于最低点
C．当水轮转动150秒时，点P距离水面2米
D．点P第二次到达距水面(1＋)米时用时25秒
答案　BCD
解析　由题意，角速度ω＝＝(弧度/秒)，
又由水轮的半径为2米，且圆心O距离水面1米，可知半径OP0与水面所成角为，点P再次进入水中用时为＝40(秒)，故A错误；
当水轮转动50秒时，半径OP0转动了50×＝(弧度)，而－＝，点P正好处于最低点，故B正确；
建立如图所示的平面直角坐标系，
设点P距离水面的高度H＝Asin(ωt＋φ)＋B(A>0，ω>0)，
由
所以
又角速度ω＝＝(弧度/秒)，当t＝0时，∠tOP0＝，所以ω＝，φ＝－，
所以点P距离水面的高度H＝2sin＋1，当水轮转动150秒时，将t＝150代入，得H＝2，所以此时点P距离水面2米，故C正确；
将H＝1＋代入H＝2sin＋1中，得t－＝2kπ＋或t－＝2kπ＋，即t＝60k＋15或t＝60k＋25(k∈N)．
所以点P第二次到达距水面(1＋)米时用时25秒，故D正确．
思维升华　(1)研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．
(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．
(3)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．
跟踪训练3　(1)(2022·长沙模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，把函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，得到函数y＝g(x)的图象，则下列说法正确的是(　　)
A．g为偶函数
B．g(x)的最小正周期是π
C．g(x)的图象关于直线x＝对称
D．g(x)在区间上单调递减
答案　B
解析　由图知，A＝2，f(0)＝－1，则2sin φ＝－1，
即sin φ＝－，因为－π<φ<－，所以φ＝－.
因为x＝为f(x)的零点，则－＝kπ(k∈Z)，得ω＝1＋(k∈Z)．
由图知，则1<ω<，所以k＝1，ω＝，
从而f(x)＝2sin.
由题设，g(x)＝2sin＝2sin，
则g＝2sin＝2sin为非奇非偶函数，所以A错误；
g(x)的最小正周期T＝＝π，所以B正确；
当x＝时， 2x－＝≠，则g(x)的图象不关于直线x＝对称，所以C错误；
当x∈时， 2x－∈，则g(x)的图象不单调，所以D错误．
(2)(2023·六安模拟)已知函数f(x)＝sin πωx－cos πωx(ω>0)在(0,1)内恰有3个极值点和4个零点，则实数ω的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　f(x)＝sin πωx－cos πωx＝2sin，
因为x∈(0,1)，
所以πωx－∈，
又因为函数f(x)＝sin πωx－cos πωx(ω>0)在(0,1)内恰有3个极值点和4个零点，
由图象得3π<ωπ－≤，解得<ω≤，所以实数ω的取值范围是.
(3)(2022·南京模拟)时钟花是原产于南美热带雨林的藤蔓植物，其开放与闭合与体内的一种时钟酶有关．研究表明，当气温上升到20 ℃时，时钟酶活跃起来，花朵开始开放；当气温上升到28 ℃时，时钟酶的活性减弱，花朵开始闭合，且每天开闭一次．已知某景区一天内5～17时的气温T(单位： ℃)与时间t(单位：h)近似满足关系式T＝20－10sin，则该景区这天时钟花从开始开放到开始闭合约经历(　　)
A．1.4 h B．2.4 h C．3.2 h D．5.6 h
答案　B
解析　设t1时开始开放，t2时开始闭合，结合时钟花每天开闭一次，
可得20－10sin＝20，t1∈[5,17]，
解得t1＝9，
20－10sin＝28，t2∈[5,17]，
∴sin＝－，
由sin ≈0.8得sin ≈－，
由t2－＝得t2＝∈[5,17]，
∴t2－t1＝＝2.4(h)．
课时精练
1．(2023·武汉模拟)为了得到y＝sin的图象，只需将y＝sin x图象上每一点的纵坐标不变(　　)
A．每一点的横坐标变为原来的，再向右平移个单位长度
B．每一点的横坐标变为原来的4倍，再向右平移个单位长度
C．先向右平移个单位长度，再把每一点的横坐标变为原来的4倍
D．先向右平移个单位长度，再把每一点的横坐标变为原来的
答案　C
解析　y＝sin x图象上每一点的横坐标变为原来的4倍得到y＝sin 的图象，再向右平移个单位长度得到y＝sin的图象，故A，B错误；y＝sin x的图象先向右平移个单位长度得到y＝sin的图象，再把每一点的横坐标变为原来的4倍得到y＝sin的图象，故C正确，D错误．
2．(2023·烟台模拟)函数f(x)＝sin的图象是由函数g(x)的图象向左平移φ个单位长度得到的，若g＝－f ，则φ的值为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　因为函数f(x)＝sin的图象是由函数g(x)的图象向左平移φ个单位长度得到，
所以g(x)＝sin＝sin.
因为g＝－f ，所以sin＝－.
故可得－2φ＝2kπ－，k∈Z或－2φ＝2kπ－，k∈Z，
又0<φ<，所以φ＝.
3．(多选)血压(BP)是指血液在血管内流动时作用于单位面积血管壁的侧压力，它是推动血液在血管内流动的动力．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压．在未使用抗高血压药的前提下，18岁以上成人的收缩压≥140 mmHg或舒张压≥90 mmHg，则说明该成人有高血压．设从未使用抗高血压药的陈华今年45岁，从某天早晨6点开始计算(即早晨6点时，t＝0 h)，他的血压p(t)(mmHg)与经过的时间t(h)满足关系式p(t)＝115＋20sin，则下列选项中正确的是(　　)
A．当天早晨6～7点，陈华的血压逐渐上升
B．当天早晨9点时陈华的血压为125 mmHg
C．当天陈华没有高血压
D．当天陈华的收缩压与舒张压之差为40 mmHg
答案　ABD
解析　由已知，选项A，当天早晨6～7点，则t∈[0,1]，t＋∈，所以函数p(t)在[0,1]上单调递增，陈华的血压逐渐上升，故该选项正确；
选项B，当t＝3时，p(t)＝115＋20sin ＝125，所以当天早晨9点时陈华的血压为125 mmHg，故该选项正确；
选项C，D，因为p(t)的最大值为115＋20＝135，最小值为115－20＝95≥90，所以陈华的收缩压为135 mmHg，舒张压为95 mmHg，因此陈华有高血压，故选项C错误；他的收缩压与舒张压之差为40 mmHg，故选项D正确．
4．(2023·湘潭模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则将y＝f(x)的图象向左平移个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为(　　)
A．y＝－cos 2x B．y＝cos 2x
C．y＝sin D．y＝sin
答案　C
解析　观察图象得A＝1，令函数f(x)的周期为T，则有＝－＝，解得T＝π，则ω＝＝2，
而当x＝时，f(x)max＝1，则有2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，又|φ|<，则φ＝，
因此，f(x)＝sin，将y＝f(x)的图象向左平移个单位长度得f ＝sin，
所以将y＝f(x)的图象向左平移个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为y＝sin.
5．(2023·九江模拟)已知函数f(x)＝cos，先将其图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变)，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则(　　)
A．g(x)的最小正周期是2π
B．g(x)的最小值为－2
C．g(x)在(0，π)上单调递增
D．g(x)的图象关于点对称
答案　C
解析　由题先将其图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变)得y＝cos；
再将所得图象向右平移个单位长度得
y＝cos＝cos，
所以g(x)＝cos，其最小正周期为4π，最小值为－1.排除A，B；
其单调递增区间为－π＋2kπ≤x－≤2kπ(k∈Z)，解得x∈(k∈Z)，C正确；
对称中心为x－＝－＋kπ(k∈Z)，解得x＝＋2kπ(k∈Z)，所以其图象关于点(k∈Z)对称，排除D.
6．已知函数f(x)＝－sin2ωx(ω>0)的最小正周期为π，若将其图象沿x轴向右平移a(a>0)个单位长度，所得图象关于直线x＝对称，则实数a的最小值为(　　)
A．π B. C. D.
答案　B
解析　函数f(x)＝－sin2ωx＝(ω>0)的最小正周期为＝π，所以ω＝1，
所以f(x)＝，
若将其图象沿x轴向右平移a(a>0)个单位长度，可得y＝的图象，
再根据所得图象关于直线x＝对称，可得2×－2a＝kπ，k∈Z，
令k＝0，可得实数a的最小值为.
7．(2022·镇江模拟)已知函数f(x)＝2sin，将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)在[0,2π]上的单调递减区间为________．
答案　
解析　将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，得f ＝2sin，即g(x)＝2sin，由≤x＋≤，x∈[0,2π]，得≤x≤.
8．(2023·芜湖模拟)函数y＝sin(2x＋φ)的图象向右平移个单位长度后所得函数图象关于y轴对称，则φ＝________.
答案　－
解析　由y＝sin(2x＋φ)的图象向右平移个单位长度后，可得f(x)＝sin＝sin的图象，
因为f(x)＝sin的图象关于y轴对称，
所以－＋φ＝kπ＋，k∈Z，解得φ＝kπ＋，k∈Z.
因为|φ|<，所以φ＝－.
9．(2022·杭州模拟)求范围和图象：
(1)y＝sin x的函数图象先向左平移个单位长度，然后横坐标变为原来的，得到f(x)的图象，求f(x)在上的取值范围；
(2)如图所示， 请用“五点法”列表，并画出函数y＝2sin在一个周期内的图象．
2x＋
x
y
解　(1)由题设，可得f(x)＝sin，当x∈时，2x＋∈，
所以f(x)∈.
(2)
2x＋ 0 π 2π
x －
y 0 2 0 －2 0
所以y＝2sin的图象如图．
10．(2023·大同模拟)已知函数f(x)＝2sin.
(1)当x∈时，求f(x)的最大值和最小值；
(2)说明f(x)的图象是由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到的？
解　(1)当x∈时，有－≤x－<，可得－≤sin≤1，
故－≤2sin≤2，则f(x)的最大值为2，最小值为－.
(2)先将函数y＝sin x的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象；然后所得图象上各点的纵坐标不变，将横坐标变为原来的2倍，得到函数y＝sin的图象；最后所得图象上各点的横坐标不变，将纵坐标伸长为原来的2倍，得到函数y＝2sin的图象．
11.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象如图，则f(x)的解析式和S＝f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)＋f(2 023)的值分别为(　　)
A．f(x)＝sin 2πx＋1，S＝2 023
B．f(x)＝sin 2πx＋1，S＝2 023
C．f(x)＝sin x＋1，S＝2 024
D．f(x)＝sin x＋1，S＝2 024
答案　D
解析　由图象知
∴ω＝，b＝1，A＝，
∴f(x)＝sin＋1.
由f(x)的图象过点得
sin＋1＝，
∴φ＝2kπ，k∈Z，又|φ|<，则φ＝0.
∴f(x)＝sin x＋1，
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)
＝＋＋＋＝4.
又2 024＝4×506，∴S＝4×506＝2 024.
12．(2023·福州模拟)已知函数f(x)＝2sinsin＋sin x，将函数f(x)的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，然后再向左平移φ(φ>0)个单位长度，所得的图象关于y轴对称，则φ的值为(　　)
A. B．－ C. D.
答案　A
解析　由题意可知，
f(x)＝2sinsin＋sin x
＝2sincos＋sin x
＝sin＋sin x＝cos x＋sin x＝2sin，
将函数f(x)的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，可得y＝2sin的图象，
然后再向左平移φ(φ>0)个单位长度，
可得y＝2sin的图象，
因为所得的图象关于y轴对称，为偶函数，
所以4φ＋＝kπ＋(k∈Z)，解得φ＝＋(k∈Z)，
取k＝0，得φ＝.无论k取任何整数，无法得到B，C，D的值．
13．(2023·大连模拟)如图为函数f(x)＝Asin(2x＋φ)的部分图象，对于任意的x1，x2∈[a，b]，且x1≠x2，若f(x1)＝f(x2)，都有f(x1＋x2)＝，则φ＝________.
答案　
解析　由三角函数的最大值可知A＝2，
不妨设＝m，则x1＋x2＝2m，
由三角函数的性质可知，
2m＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，
则f(x1＋x2)＝2sin[2(x1＋x2)＋φ]
＝2sin(2×2m＋φ)
＝2sin[2×(2m＋φ)－φ]
＝2sin
＝2sin(4kπ＋π－φ)＝2sin φ＝，
则sin φ＝，结合|φ|≤，得φ＝.
14．风车发电是指把风的动能转化为电能．如图，风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为120°.现有一座风车，塔高60米，叶片长度为30米．叶片按照逆时针方向匀速转动，并且6秒旋转一圈，风车开始旋转时，某叶片的一个端点P在风车的最低点(P离地面30米)，设点P离地面的距离为S(米)，转动时间为t(秒)，则S与t之间的函数解析式为________，一圈内点P离地面的高度不低于45米的时长为________秒．
答案　S＝60－30cos t(t>0)　4
解析　因为风车6秒旋转一圈，则其转动的角速度为rad/s，经过t秒时，叶片转过的圆心角为t，此时离地面的高度为30＋30，故S＝60－30cos t(t>0)．
由S＝60－30cos t≥45，得cos t≤，
因为0≤t≤6，cos t≤，所以≤t≤，解得1≤t≤5，
故一圈内点P离地面的高度不低于45米的时长为4秒．
15．信息传递多数是以波的形式进行传递，其中必然会存在干扰信号，如y＝Asin(ωx＋φ) ，某种“信号净化器”可产生形如y＝A0sin(ω0x＋φ0)的波，只需要调整参数(A0，ω0，φ0)，就可以产生特定的波(与干扰波波峰相同，方向相反的波)来“对抗”干扰．现有波形信号的部分图象，想要通过“信号净化器”过滤得到标准的正弦波(标准正弦函数图象)，应将波形净化器的参数分别调整为(　　)
A．A0＝，ω0＝4，φ0＝
B．A0＝－，ω0＝4，φ0＝
C．A0＝1，ω0＝1，φ0＝0
D．A0＝－1，ω0＝1，φ0＝0
答案　B
解析　设干扰信号对应的函数解析式为y＝Asin(ωx＋φ).
由题图得，－＝T(T为干扰信号的周期)，
解得T＝，
∴ω＝＝＝4.
∵函数的最大值为，∴A＝.
将代入y＝sin(4x＋φ)，
解得φ＝＋2kπ，k∈Z，
∵|φ|<，∴φ＝.∴y＝sin.
∴欲消除y＝sin的波需要选择相反的波，即y＝－sin，
∴A0＝－，ω0＝4，φ0＝.
16．(2023·湘潭模拟)若函数f(x)＝cos 2x＋sin在(0，α)上恰有2个零点，则α的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　由题意得，函数f(x)＝cos 2x＋sin＝sin，
因为0又由f(x)在(0，α)上恰有2个零点，所以2π<2α＋≤3π，解得<α≤，
所以α的取值范围为.§4.6　函数y＝Asin(ωx＋φ)
考试要求　1.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响.2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．
知识梳理
1．简谐运动的有关概念
已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x≥0
振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝______ f＝＝ ωx＋φ φ
2.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个特征点
ωx＋φ 0 π 2π
x
y＝Asin (ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径
常用结论
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其横坐标．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A.(　　)
(2)函数f(x)＝sin 2x向右平移个单位长度后对应的函数g(x)＝sin.(　　)
(3)把y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的，所得函数解析式为y＝sin x.(　　)
(4)如果y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为.(　　)
教材改编题
1．函数y＝2sin的振幅、频率和初相分别为(　　)
A．2，， B．2，，
C．2，， D．2，，－
2．(2022·浙江)为了得到函数y＝2sin 3x的图象，只要把函数y＝2sin图象上所有的点(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
3．某港口在一天24小时内的潮水的高度近似满足关系式f(t)＝2sin，其中f(t)的单位为m，t的单位是h，则12点时潮水的高度是________m.
题型一　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
例1 (1)(2021·全国乙卷)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，则f(x)等于(　　)
A．sin B．sin
C．sin D．sin
(2)(2022·全国甲卷)将函数f(x)＝sin(ω＞0)的图象向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是(　　)
A. B. C. D.
听课记录： ______________________________________________________________
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思维升华 (1)由y＝sin ωx的图象到y＝sin(ωx＋φ)的图象的变换：向左平移(ω>0，φ>0)个单位长度而非φ个单位长度．
(2)如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值．
跟踪训练1 (1)(2023·金华模拟)已知函数f(x)＝sin，若将f(x)的图象向右平移个单位长度后，再把所得曲线上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，则(　　)
A．g(x)＝sin
B．g(x)＝sin 4x
C．g(x)＝sin x
D．g(x)＝sin
(2)(2023·宁波模拟)将函数y＝tan
(ω>0)的图象分别向左、向右各平移个单位长度后，所得的两个图象对称中心重合，则ω的最小值为(　　)
A. B．2 C．3 D．6
题型二　由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
例2 (1)(2023·济南调研)函数f(x)＝2sin(2x＋φ)的图象如图所示，现将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为(　　)
A．y＝2sin B．y＝2sin
C．y＝2cos 2x D．y＝2sin 2x
(2)(2021·全国甲卷)已知函数f(x)＝2cos (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f ＝______.
听课记录： ______________________________________________________________
________________________________________________________________________
思维升华 确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法
(1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝.
(2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝.
(3)求φ.常用方法如下：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．
跟踪训练2 (1)(2020·全国Ⅰ改编)设函数f(x)＝cos在[－π，π]上的图象大致如图，则f(x)的解析式为(　　)
A．f(x)＝cos
B．f(x)＝cos
C．f(x)＝cos
D．f(x)＝cos
(2)(2023·潍坊模拟)已知函数g(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，将函数g(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数f(x)的图象，则f ＝________.
题型三　三角函数图象、性质的综合应用
命题点1　图象与性质的综合应用
例3 (多选)(2023·长沙模拟)若将函数f(x)＝cos的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是(　　)
A．g(x)的最小正周期为π
B．g(x)在区间上单调递减
C．x＝－是函数g(x)图象的一个对称轴
D．g(x)的图象关于点对称
听课记录： _____________________________________________________________
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命题点2　函数零点(方程根)问题
例4 已知关于x的方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是____________．
延伸探究 本例中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m的取值范围是________．
听课记录： _____________________________________________________________
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命题点3　三角函数模型
例5 (多选)(2023·石家庄模拟)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(图1)，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图2)．一半径为2米的筒车水轮如图3所示，水轮圆心O距离水面1米，已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图3中点P0)开始计时，则下列结论正确的是(　　)
A．点P再次进入水中时用时30秒
B．当水轮转动50秒时，点P处于最低点
C．当水轮转动150秒时，点P距离水面2米
D．点P第二次到达距水面(1＋)米时用时25秒
听课记录： ______________________________________________________________
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思维升华 (1)研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．
(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．
(3)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．
跟踪训练3 (1)(2022·长沙模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，把函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，得到函数y＝g(x)的图象，则下列说法正确的是(　　)
A．g为偶函数
B．g(x)的最小正周期是π
C．g(x)的图象关于直线x＝对称
D．g(x)在区间上单调递减
(2)(2023·六安模拟)已知函数f(x)＝sin πωx－cos πωx(ω>0)在(0,1)内恰有3个极值点和4个零点，则实数ω的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
(3)(2022·南京模拟)时钟花是原产于南美热带雨林的藤蔓植物，其开放与闭合与体内的一种时钟酶有关．研究表明，当气温上升到20 ℃时，时钟酶活跃起来，花朵开始开放；当气温上升到28 ℃时，时钟酶的活性减弱，花朵开始闭合，且每天开闭一次．已知某景区一天内5～17时的气温T(单位： ℃)与时间t(单位：h)近似满足关系式T＝20－10sin，则该景区这天时钟花从开始开放到开始闭合约经历(　　)
A．1.4 h B．2.4 h C．3.2 h D．5.6 h

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