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第四章　三角函数与解三角形
§4.7　三角函数中有关ω的
范围问题[培优课]
在三角函数的图象与性质中，ω的求解是近几年高考的一个热点内容，但因其求法复杂，涉及的知识点多，历来是我们复习中的难点.
题型一
三角函数的单调性与ω的关系
√
思维升华
确定函数的单调区间，根据区间之间的包含关系，建立不等式，即可求ω的取值范围.
√
∴n＝1,2,3,4,5，
即周期T有5个不同取值，
∴ω的取值共有5个.
题型二
三角函数的对称性与ω的关系
√
√
又因为ω>0，所以ω的最小值为1，故ω可取的值为1,4.
三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为
，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为 ，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于ω的不等式组，进而可以研究“ω”的取值范围.
√
因为f(x)的图象的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标均不属于区间(3π，4π)，
题型三
三角函数的最值与ω的关系
例3　将函数f(x)＝sin(2ωx＋φ)(ω>0，φ∈[0,2π])图象上每点的横坐标变为原来的2倍，得到函数g(x)，函数g(x)的部分图象如图所示，且g(x)在[0,2π]上恰有一个最大值和一个最小值(其中最大值为1，最小值为－1)，则ω的取值范围是
√
由g(x)在[0,2π]上恰有一个最大值和一个最小值，
利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于ω的不等式(组)，进而求出ω的值或取值范围.
√
①
②
由①②，得ω＝2(k1－k2)＋1，k1，k2∈Z，
综上，先检验ω＝15，
故ω的最大值为15.
题型四
三角函数的零点与ω的关系
√
三角函数两个零点之间的“水平间隔”为 ，根据三角函数的零点个数，可以研究“ω”的取值.
√
根据函数f(x)在区间(0，π)上恰有三个极值点，
根据函数f(x)在区间(0，π)上恰有两个零点，
课时精练
A.最小值2 B.最大值2
C.最小值1 D.最大值1
√
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又∵ω>0，∴k0＝0,1,2,3，
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又g(x)的图象关于坐标原点对称，
∴ω＝12k＋2(k∈Z)，ω>0，∴当k＝0时，ωmin＝2.
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因为原方程在区间(0,2π)上恰有5个实根，
√
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解得ω＝－1－3k(k∈Z)，故对任意整数k，ω (0,2)，所以B错误；
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A，B，C为连续三个交点，不妨设B在x轴下方，D为AC的中点.
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要使△ABC为钝角三角形，
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解得ω＝9k＋3(k∈Z).
又ω>0，所以当k＝0时，ω取得最小值，
且最小值为3.
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11.(2023·黄冈模拟)已知函数y＝f(x)的图象是由函数y＝cos ωx(ω>0)的图象向左平移 个单位长度所得，若函数y＝f(x)在区间(π，2π)上单调，
则ω的取值范围是________________.
∵当x∈(π，2π)，
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令t＝ωx，则函数y＝sin t在区间[ωπ，2ωπ]上存在两个极大值点，
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12　　　§4.7　三角函数中有关ω的范围问题
在三角函数的图象与性质中，ω的求解是近几年高考的一个热点内容，但因其求法复杂，涉及的知识点多，历来是我们复习中的难点．
题型一　三角函数的单调性与ω的关系
例1　已知函数f(x)＝sin(ω>0)在区间上单调递增，则ω的取值范围为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　方法一　由题意得
则又ω>0，所以
所以k＝0，则0<ω≤.
方法二　取ω＝1，则f(x)＝sin，令＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，当k＝0时，函数f(x)在区间上单调递减，与函数f(x)在区间上单调递增矛盾，故ω≠1，结合四个选项可知选B.
思维升华　确定函数的单调区间，根据区间之间的包含关系，建立不等式，即可求ω的取值范围．
跟踪训练1　(2023·宜昌模拟)已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)，ω>0，若f ＝3，f(π)＝0，f(x)在上单调递减，那么ω的取值共有(　　)
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
答案　D
解析　∵f ＝3，f(π)＝0，
∴π－＝·T(n∈N*)，
T＝，
∵f(x)在上单调递减，
∴≥－＝，∴T≥，
即≥，∴2n－1≤10，
∴n＝1,2,3,4,5，
即周期T有5个不同取值，
∴ω的取值共有5个．
题型二　三角函数的对称性与ω的关系
例2　(多选)(2023·大同质检)将函数f(x)＝sin(ω>0)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，若F(x)＝f(x)g(x)的图象关于点对称，则ω可取的值为(　　)
A. B. C．1 D．4
答案　CD
解析　将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)＝sin
＝sin＝cos，
又因为F(x)＝f(x)g(x)的图象关于点对称，
所以F(x)＝sincos
＝sin的图象关于点对称，
则2ω·＋＝kπ，k∈Z，所以ω＝，k∈Z，
又因为ω>0，所以ω的最小值为1，故ω可取的值为1,4.
思维升华　三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于ω的不等式组，进而可以研究“ω”的取值范围．
跟踪训练2　已知函数f(x)＝2sin，若f(x)的图象的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标均不属于区间(3π，4π)，则ω的取值范围是(　　)
A.∪ B.∪
C.∪ D.∪
答案　C
解析　因为f(x)的图象的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标均不属于区间(3π，4π)，所以×≥4π－3π，所以<ω≤1，故排除A，B；
又kπ＋≤3ωπ－，且kπ＋π＋≥4ωπ－，解得≤ω≤，k∈Z，
当k＝0时，≤ω≤，不满足<ω≤1，
当k＝1时，≤ω≤，符合题意，
当k＝2时，≤ω≤，符合题意，
当k＝3时，≤ω≤，此时ω不存在，故C正确，D不正确．
题型三　三角函数的最值与ω的关系
例3　将函数f(x)＝sin(2ωx＋φ)(ω>0，φ∈[0,2π])图象上每点的横坐标变为原来的2倍，得到函数g(x)，函数g(x)的部分图象如图所示，且g(x)在[0,2π]上恰有一个最大值和一个最小值(其中最大值为1，最小值为－1)，则ω的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由已知得函数g(x)＝sin(ωx＋φ)，由g(x)图象过点以及点在图象上的位置，
知sin φ＝，φ＝，∵0≤x≤2π，
∴≤ωx＋≤2πω＋，
由g(x)在[0,2π]上恰有一个最大值和一个最小值，
∴≤2πω＋<，
∴≤ω<.
思维升华　利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于ω的不等式(组)，进而求出ω的值或取值范围．
跟踪训练3　(2023·青岛质检)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，其中ω>0，|φ|≤，－为f(x)的零点，且f(x)≤恒成立，f(x)在区间上有最小值无最大值，则ω的最大值是(　　)
A．11 B．13 C．15 D．17
答案　C
解析　由题意，直线x＝是f(x)的一条对称轴，
所以f ＝±1，即ω＋φ＝k1π＋，k1∈Z，①
又f ＝0，所以－ω＋φ＝k2π，k2∈Z，②
由①②，得ω＝2(k1－k2)＋1，k1，k2∈Z，
又f(x)在区间上有最小值无最大值，
所以T≥－＝，
即≥，解得ω≤16.
综上，先检验ω＝15，
当ω＝15时，由①得×15＋φ＝k1π＋，k1∈Z，即φ＝k1π－，k1∈Z，又|φ|≤，
所以φ＝－，此时f(x)＝sin，当x∈时，15x－∈，
当15x－＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值，无最大值，满足题意．
故ω的最大值为15.
题型四　三角函数的零点与ω的关系
例4　将函数f(x)＝cos x的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的(ω>0)倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在上没有零点，则ω的取值范围是(　　)
A.∪ B.
C.∪ D．(0,1]
答案　A
解析　将函数f(x)＝cos x的图象先向右平移个单位长度，得到y＝cos的图象，
再把所得函数图象的横坐标变为原来的(ω>0)倍，纵坐标不变，得到函数g(x)＝cos(ω>0)的图象，周期T＝，
因为函数g(x)在上没有零点，所以－≤，得T≥2π，即≥2π，得0<ω≤1，
假设函数g(x)在上有零点，
令g(x)＝0，得ωx－＝kπ＋，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，
则<＋<，得＋<ω<＋2k，k∈Z，
又0<ω≤1，所以<ω<或<ω≤1，
又函数g(x)在上没有零点，且0<ω≤1，
所以0<ω≤或≤ω≤.
思维升华　三角函数两个零点之间的“水平间隔”为，根据三角函数的零点个数，可以研究“ω”的取值．
跟踪训练4　(2022·全国甲卷)设函数f(x)＝sin在区间(0，π)上恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　由题意可得ω>0，故由x∈(0，π)，得ωx＋∈.
根据函数f(x)在区间(0，π)上恰有三个极值点，知<πω＋≤，得<ω≤.
根据函数f(x)在区间(0，π)上恰有两个零点，知2π<πω＋≤3π，得<ω≤.
综上，ω的取值范围为.
课时精练
1．已知函数f(x)＝cos(ω>0)的一条对称轴为直线x＝，一个对称中心为点，则ω有(　　)
A．最小值2 B．最大值2
C．最小值1 D．最大值1
答案　A
解析　∵函数的对称中心到对称轴的最短距离是，两条对称轴间的最短距离是，∴对称中心点到对称轴x＝间的距离用周期可表示为－≥，
又∵T＝，∴≤，∴ω≥2，∴ω有最小值2.
2．函数f(x)＝cos(ω>0)在区间内单调递减，则ω的最大值为(　　)
A. B. C. D．6
答案　B
解析　∵x∈，则－≤ωx－≤－，
因为函数f(x)在区间内单调递减，则 [2kπ，2kπ＋π](k∈Z)，
所以(k∈Z)，解得6k＋≤ω≤3k＋(k∈Z)，
由6k＋≤3k＋(k∈Z)，可得k≤，
因为k∈Z且ω>0，则k＝0，≤ω≤.
因此，正数ω的最大值为.
3．(2023·芜湖模拟)已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ∈(0,2π)) 的一条对称轴为直线x＝－，且f(x)在上单调，则ω的最大值为(　　)
A. B．3 C. D.
答案　D
解析　函数y＝sin(ωx＋φ)的对称轴可表示为x＝－(k∈Z)，
由f(x)在上单调，可得 k0∈Z，使得
解得k0≤ω≤(k0＋1)，
又∵ω>0，∴k0＝0,1,2,3，
∴当k0＝3时，ω可取最大值为.
4．已知函数f(x)＝2sin cos ＋2sin2－1(ω>0)的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象关于坐标原点对称，则ω的最小值为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　B
解析　∵f(x)＝2sin cos ＋2sin2－1
＝sin ωx－cos ωx＝2sin，
∴g(x)＝2sin＝2sin.
又g(x)的图象关于坐标原点对称，
∴－＝kπ，k∈Z，
∴ω＝12k＋2(k∈Z)，ω>0，
∴当k＝0时，ωmin＝2.
5．函数f(x)＝sin(ω>0)在区间上单调递增，且存在唯一x0∈，使得f(x0)＝1，则ω的取值范围为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　由正弦函数性质，得2kπ－≤ωx＋≤2kπ＋，k∈Z，即－≤x≤＋(k∈Z)，
∵f(x)在上单调递增，
∴(k∈Z)，则(k∈Z)，
又ω>0，则0<ω≤，
又存在唯一x0∈，使得f(x0)＝1，而此时ωx0＋∈，
∴≤＋<，得≤ω<，
综上，有≤ω≤.
6．(2022·焦作模拟)已知函数f(x)＝2sin(ω>0)，若方程|f(x)|＝1在区间(0,2π)上恰有5个实根，则ω的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　由方程|f(x)|＝＝1，
可得sin＝±，
所以ωx＋＝kπ±(k∈Z)，
当x∈(0,2π)时，ωx＋∈，
所以ωx＋的可能取值为，，，，，，…，
因为原方程在区间(0,2π)上恰有5个实根，
所以<2ωπ＋≤，
解得<ω≤，即ω的取值范围是.
7．(多选)(2023·郑州模拟)已知f(x)＝1－2cos2(ω>0)．则下列判断正确的是(　　)
A．若f(x1)＝1，f(x2)＝－1，且|x1－x2|min＝π，则ω＝2
B．存在ω∈(0,2)，使得f(x)的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称
C．若f(x)在[0,2π]上恰有7个零点，则ω的取值范围为
D．若f(x)在上单调递增，则ω的取值范围为
答案　CD
解析　因为f(x)＝1－2cos2
＝－cos＝sin，
所以周期T＝＝.对于A，由条件知，周期为2π，所以ω＝，故A错误；
对于B，函数图象向右平移个单位长度后得到的函数为y＝sin，
其图象关于y轴对称，则－＋＝＋kπ(k∈Z)，解得ω＝－1－3k(k∈Z)，
故对任意整数k，ω (0,2)，所以B错误；
对于C，由条件得7π≤2ω·2π＋<8π，
解得≤ω<，故C正确；
对于D，由条件得解得ω≤，又ω>0，所以0<ω≤，故D正确．
8．(2023·衡水调研)已知函数f(x)＝sin(ω>0)，将f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象，点A，B，C是f(x)与g(x)图象的连续相邻的三个交点，若△ABC是钝角三角形，则ω的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　由条件可得，g(x)＝cos，又f(x)＝sin＝cos ωx，作出两个函数图象，如图，
A，B，C为连续三个交点，不妨设B在x轴下方，D为AC的中点．
由对称性可得△ABC是以∠B为顶角的等腰三角形，AC＝T＝＝2CD，
由cos ωx＝cos，整理得cos ωx＝sin ωx，得cos ωx＝±，
则yC＝－yB＝，所以BD＝2|yB|＝，
要使△ABC为钝角三角形，只需∠ACB<即可，
由tan∠ACB＝＝<1，所以0<ω<.
9．函数y＝sin(ω>0)在[0，π]上有且仅有3个零点，则实数ω的取值范围是________．
答案　
解析　令ωx－＝kπ，k∈Z，
则函数的零点为x＝，k∈Z，
所以函数在y轴右侧的四个零点分别是，，，，
函数y＝sin(ω>0)在[0，π]上有且仅有3个零点，
所以解得ω∈.
10．(2022·全国乙卷)记函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T.若f(T)＝，x＝为f(x)的零点，则ω的最小值为________．
答案　3
解析　因为T＝，f ＝，
所以cos(2π＋φ)＝，
即cos φ＝.
又0<φ<π，所以φ＝.
所以f(x)＝cos.
因为x＝为f(x)的零点，
所以ω＋＝＋kπ(k∈Z)，
解得ω＝9k＋3(k∈Z)．
又ω>0，所以当k＝0时，ω取得最小值，
且最小值为3.
11．(2023·黄冈模拟)已知函数y＝f(x)的图象是由函数y＝cos ωx(ω>0)的图象向左平移个单位长度所得，若函数y＝f(x)在区间(π，2π)上单调，则ω的取值范围是________________．
答案　∪
解析　y＝f(x)的图象是由y＝cos ωx(ω>0)的图象向左平移个单位长度所得，故f(x)＝cos，
∵当x∈(π，2π)，
即ωx＋∈时，函数y＝f(x)单调，
∴kπ≤ωπ＋<2ωπ＋≤kπ＋π，k∈Z，
∴
∴
由＋>k－，得k<，
又k∈Z，得k＝0或k＝1，
∴0<ω≤或≤ω≤，
综上，ω的取值范围为∪.
12．若函数y＝f(x)的定义域存在x1，x2(x1≠x2)，使＝1成立，则称该函数为“互补函数”．函数f(x)＝cos－sin(ω>0)，则当ω＝3时，f ＝________；若f(x)在[π，2π]上为“互补函数”，则ω的取值范围为________．
答案　0　∪
解析　由函数f(x)＝cos－sin＝cos＝sin ωx，
当ω＝3时，f(x)＝sin 3x，可得f ＝sin π＝0；
令t＝ωx，则函数y＝sin t在区间[ωπ，2ωπ]上存在两个极大值点，则≤π，可得ω≥2，
当2T＝2×≤π时，即ω≥4，显然符合题意；
当ωπ≤时，即ω≤时，2ωπ≥，即ω≥，所以≤ω≤；
当4π>ωπ>，即<ω<4时，2ωπ≥，即ω≥，所以≤ω<4，
综上，ω的取值范围是∪.§4.7　三角函数中有关ω的范围问题
在三角函数的图象与性质中，ω的求解是近几年高考的一个热点内容，但因其求法复杂，涉及的知识点多，历来是我们复习中的难点．
题型一　三角函数的单调性与ω的关系
例1 已知函数f(x)＝sin(ω>0)在区间上单调递增，则ω的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
听课记录： ______________________________________________________________
________________________________________________________________________
思维升华 确定函数的单调区间，根据区间之间的包含关系，建立不等式，即可求ω的取值范围．
跟踪训练1 (2023·宜昌模拟)已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)，ω>0，若f ＝3，f(π)＝0，f(x)在上单调递减，那么ω的取值共有(　　)
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
题型二　三角函数的对称性与ω的关系
例2 (多选)(2023·大同质检)将函数f(x)＝sin(ω>0)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，若F(x)＝f(x)·g(x)的图象关于点对称，则ω可取的值为(　　)
A. B. C．1 D．4
听课记录： ______________________________________________________________
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思维升华 三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于ω的不等式组，进而可以研究“ω”的取值范围．
跟踪训练2 已知函数f(x)＝2sin，若f(x)的图象的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标均不属于区间(3π，4π)，则ω的取值范围是(　　)
A.∪ B.∪
C.∪ D.∪
题型三　三角函数的最值与ω的关系
例3 将函数f(x)＝sin(2ωx＋φ)(ω>0，φ∈[0,2π])图象上每点的横坐标变为原来的2倍，得到函数g(x)，函数g(x)的部分图象如图所示，且g(x)在[0,2π]上恰有一个最大值和一个最小值(其中最大值为1，最小值为－1)，则ω的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
听课记录： ______________________________________________________________
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思维升华 利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于ω的不等式(组)，进而求出ω的值或取值范围．
跟踪训练3 (2023·青岛质检)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，其中ω>0，|φ|≤，－为f(x)的零点，且f(x)≤恒成立，f(x)在区间上有最小值无最大值，则ω的最大值是(　　)
A．11 B．13 C．15 D．17
题型四　三角函数的零点与ω的关系
例4 将函数f(x)＝cos x的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的(ω>0)倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在上没有零点，则ω的取值范围是(　　)
A.∪ B.
C.∪ D．(0,1]
听课记录： ______________________________________________________________
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思维升华 三角函数两个零点之间的“水平间隔”为，根据三角函数的零点个数，可以研究“ω”的取值．
跟踪训练4 (2022·全国甲卷)设函数f(x)＝sin在区间(0，π)上恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是(　　)
A. B. C. D.

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