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(共86张PPT)
§4.8　正弦定理、余弦定理
第四章　三角函数与解三角形
1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.
2.理解三角形的面积公式并能应用.
3.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题.
考试要求
内容索引
第一部分
第二部分
第三部分
落实主干知识
探究核心题型
课时精练
落实主干知识
第
一
部
分
1.正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
内容 ＝ ＝ ＝2R a2＝ ；
b2＝ ；
c2＝_________________
b2＋c2－2bccos A
c2＋a2－2cacos B
a2＋b2－2abcos C
变形 (1)a＝2Rsin A， b＝ ， c＝ ； (2)sin A＝ ， sin B＝ ，sin C＝ ； (3)a∶b∶c＝__________________ cos A＝ ；
cos B＝ ；
cos C＝____________
2Rsin B
2Rsin C
sin A∶sin B∶sin C
2.三角形解的判断
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsin A bsin A< ab
解的个数 一解 两解 一解 一解
(2)S＝ ＝ ＝ ；
(3)S＝ (r为三角形的内切圆半径).
在△ABC中，常有以下结论：
(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.
(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.
(3)a>b A>B sin A>sin B，cos A(5)三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.(　　)
(2)在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B.(　　)
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.(　　)
(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形.(　　)
√
×
×
×
1.在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC等于
√
在△ABC中，
设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，
由余弦定理得
2.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为4，a＝2，B＝30°，则c等于
√
3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝30°，b＝ ，c＝2，则C＝ ________ .
45°或135°
因为c>b，B＝30°，
所以C＝45°或C＝135°.
探究核心题型
第
二部
分
例1　(1)在△ABC中，若 则AC等于
题型一
利用正弦定理解三角形
√
(2)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，a＝1，c＝ ，A＝45°，则C等于
A.30° B.60° C.120° D.60°或120°
√
又因为0a，A＝45°，所以C＝60°或120°.
延伸探究　若将本例(2)条件变为“a＝ ，A＝60°，c＝2”，求C.
因为c利用正弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边或角；二是已知两边和一边的对角，求其他边或角.
思维升华
跟踪训练1　(1)已知在△ABC中， A＝30°，则c等于
√
∵b>a，∴B＝60°或120°.
若B＝120°，则C＝30°，
(2)(2023·兰州模拟)在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，b
＝2，c＝ ，且 asin B＋bcos A＝b，则△ABC的面积为 .
例2　(1)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则A＋B的大小为
题型二
利用余弦定理解三角形
由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab得a2＋b2－c2＝－ab，
√
√
因为在△ABC中，A＋B＋C＝π，
解得c＝－4(舍去)或c＝3，
所以c＝3.
利用余弦定理可解决两类三角形问题：
一是已知两边和它们的夹角，求其他边或角；二是已知三边求角.由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的.
√
所以由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，
(2)(2022·攀枝花模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，若2S＝(a＋c)2－b2，则cos B的值是
√
因为2S＝(a＋c)2－b2，
所以acsin B＝a2＋c2－b2＋2ac，
即acsin B＝2accos B＋2ac，即sin B－2cos B＝2，
又sin2B＋cos2B＝1，
则(2cos B＋2)2＋cos2B＝1，(5cos B＋3)(cos B＋1)＝0，
例3　(1)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c＝2acos B，则△ABC的形状一定是
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形或直角三角形
D.等腰三角形
题型三
三角形的形状判断
√
即c2＝a2＋c2－b2，故a2＝b2，
则a＝b，
所以△ABC为等腰三角形.
(2)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边， ，则△ABC的形状为
A.直角三角形
B.等边三角形
C.等腰三角形或直角三角形
D.等腰直角三角形
√
即a2＋c2－b2＝2a2，
所以a2＋b2＝c2.
所以△ABC为直角三角形，无法判断两直角边是否相等.
又sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C，
所以cos Bsin C＝sin Bcos C＋cos Bsin C，
即sin Bcos C＝0，又sin B≠0，
所以cos C＝0，又角C为△ABC的内角，
又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，
所以b2＋c2－a2＝bc，
所以△ABC是等边三角形.
判断三角形形状的两种思路
(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.
(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状.此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论.
跟踪训练3　(1)(多选)(2023·合肥模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中正确的是
A.若acos A＝bcos B，则△ABC一定是等腰三角形
B.若bcos C＋ccos B＝b，则△ABC是等腰三角形
√
√
对于A，若acos A＝bcos B，则由正弦定理得sin Acos A＝sin Bcos B，∴sin 2A＝sin 2B，
则2A＝2B或2A＋2B＝180°，即A＝B或A＋B＝90°，
则△ABC为等腰三角形或直角三角形，故A错误；
对于B，若bcos C＋ccos B＝b，
则由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin(B＋C)＝sin A＝sin B，
即A＝B，则△ABC是等腰三角形，故B正确；
则tan A＝tan B＝tan C，
即A＝B＝C，即△ABC是等边三角形，故C正确；
对于D，由于B＝60°，b2＝ac，
由余弦定理可得b2＝ac＝a2＋c2－ac，
可得(a－c)2＝0，解得a＝c，
可得A＝C＝B，故△ABC是等边三角形，故D错误.
(2)在△ABC中，已知a2＋b2－c2＝ab，且2cos Asin B＝sin C，则该三角形的形状是
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等边三角形 D.钝角三角形
√
∵a2＋b2－c2＝ab，
又C∈(0，π)，
由2cos Asin B＝sin C及正弦定理得，
∴b2＝a2，即b＝a，
课时精练
第
三部
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因为sin A＝6sin B，
则由正弦定理得a＝6b，
又a＋2b＝8，所以a＝6，b＝1，
因为C＝60°，
所以由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，
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所以由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A＝16－12＝4，解得a＝2.
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而0°显然0°1
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6.(2023·衡阳模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2cos B(acos C＋ccos A)＝b，lg sin C＝ lg 3－lg 2，则△ABC的形状为
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
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∵2cos B(acos C＋ccos A)＝b，
∴根据正弦定理得，2cos B(sin Acos C＋cos Asin C)＝sin B，
∴2cos Bsin(A＋C)＝sin B，
∴2cos Bsin(π－B)＝sin B，
即2cos Bsin B＝sin B，
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7.(2021·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为 ，B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝ ____ .
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所以a2＋c2＝3ac＝3×4＝12，
8.(2023·宜春模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsin C
＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为 __ .
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∵bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，sin Bsin C>0，
结合正弦定理可得sin Bsin C＋sin Csin B＝4sin Asin Bsin C，
结合余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，可得2bccos A＝8，
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9.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcos C＝(2a－c)
cos B.
(1)求B；
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由正弦定理，得sin Bcos C＝2sin Acos B－cos Bsin C，
即sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Acos B，
∴sin(B＋C)＝2sin Acos B，
∴sin A＝2sin Acos B，
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(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求△ABC的面积.
∵sin C＝2sin A，∴由正弦定理得c＝2a，
∴由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋4a2－2a2＝9，即3a2＝9，
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(2)若b，a，c成等比数列，判断△ABC的形状.
∵b，a，c成等比数列，∴a2＝bc，
即b2＋c2－bc＝bc，∴(b－c)2＝0，∴b＝c，
11.(多选)对于△ABC，有如下判断，其中正确的是
A.若cos A＝cos B，则△ABC为等腰三角形
B.若A>B，则sin A>sin B
C.若a＝8，c＝10，B＝60°，则符合条件的△ABC有两个
D.若sin2A＋sin2B1
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综合提升练
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对于A，若cos A＝cos B，则A＝B，
所以△ABC为等腰三角形，故A正确；
得2Rsin A>2Rsin B，即sin A>sin B成立，故B正确；
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所以C为钝角，所以△ABC是钝角三角形，故D正确.
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因为sin A>0，sin B>0，
所以(sin A＋sin B)2≥4sin Asin B，
13.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝2,2sin A＝a( －
cos B)，则B＝ .
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因为sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，
因为sin B≠0，
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即2b2－5bc＋2c2＝0，
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因为a2＋b2－c2＝absin C，
因为acos B＋bsin A＝c，
所以sin Acos B＋sin Bsin A＝sin C，
因为C＝π－(A＋B)，
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所以sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)，
所以sin Acos B＋sin Bsin A＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，
即sin Bsin A＝cos Asin B，
因为B∈(0，π)，
所以sin B≠0，所以tan A＝1，
又A∈(0，π)，
因为tan C＝2，C∈(0，π)，
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16.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin A＋sin B
＝ sin C，且△ABC的周长为9，△ABC的面积为3sin C，则c＝ ，
cos C＝ .
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因为△ABC的周长为9，
因为△ABC的面积为3sin C，
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16§4.8　正弦定理、余弦定理
考试要求　1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.2.理解三角形的面积公式并能应用.3.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．
知识梳理
1．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
内容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C
变形 (1)a＝2Rsin A， b＝2Rsin B， c＝2Rsin C； (2)sin A＝， sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C cos A＝； cos B＝； cos C＝
2.三角形解的判断
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsin A bsin A< ab
解的个数 一解 两解 一解 一解
3.三角形中常用的面积公式
(1)S＝aha(ha表示边a上的高)；
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．
常用结论
在△ABC中，常有以下结论：
(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.
(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
(3)a>b A>B sin A>sin B，cos A(4)sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C；tan(A＋B)＝－tan C；sin ＝cos ；cos ＝sin .
(5)三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B.
(6)三角形中的面积S＝.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．(　×　)
(2)在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B.(　√　)
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．(　×　)
(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形．(　×　)
教材改编题
1．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC等于(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　在△ABC中，
设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，
由余弦定理得
cos∠BAC＝＝＝－，
因为∠BAC为△ABC的内角，所以∠BAC＝.
2．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为4，a＝2，B＝30°，则c等于(　　)
A．8 B．4
C. D.
答案　A
解析　由S△ABC＝acsin B＝×2c×＝4，得c＝8.
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝30°，b＝，c＝2，则C＝ .
答案　45°或135°
解析　由正弦定理得sin C＝＝＝，
因为c>b，B＝30°，
所以C＝45°或C＝135°.
题型一　利用正弦定理解三角形
例1　(1)在△ABC中，若AB＝，B＝，C＝，则AC等于(　　)
A. B．3 C．2 D．3
答案　A
解析　由正弦定理可得＝，即＝，解得AC＝.
(2)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，a＝1，c＝，A＝45°，则C等于(　　)
A．30° B．60° C．120° D．60°或120°
答案　D
解析　因为a＝1，c＝，A＝45°，
所以由正弦定理可得sin C＝＝＝，
又因为0a，A＝45°，所以C＝60°或120°.
延伸探究　若将本例(2)条件变为“a＝，A＝60°，c＝2”，求C.
解　在△ABC中，a＝，A＝60°，c＝2，
由正弦定理得sin C＝＝＝，
因为c思维升华　利用正弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边或角；二是已知两边和一边的对角，求其他边或角.
跟踪训练1　(1)已知在△ABC中，a＝，b＝，A＝30°，则c等于(　　)
A．2 B.
C．2或 D．均不正确
答案　C
解析　∵＝，∴sin B＝＝·sin 30°＝.∵b>a，∴B＝60°或120°.若B＝60°，则C＝90°，∴c＝＝2.若B＝120°，则C＝30°，
∴c＝a＝.
(2)(2023·兰州模拟)在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，b＝2，c＝，且asin B＋bcos A＝b，则△ABC的面积为 ．
答案　
解析　∵asin B＋bcos A＝b，
∴由正弦定理得sin Asin B＋sin Bcos A＝sin B，
∵0即sin＝，
∵0∴S△ABC＝bcsin A＝×2××＝.
题型二　利用余弦定理解三角形
例2　(1)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则A＋B的大小为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab得a2＋b2－c2＝－ab，所以由余弦定理得cos C＝＝－，
又0(2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cos(B＋C)＝，a＝4，b＝2则c等于(　　)
A．3 B．2 C. D．4
答案　A
解析　因为在△ABC中，A＋B＋C＝π，
所以cos(B＋C)＝cos(π－A)＝－cos A＝，即cos A＝－，
由余弦定理可知cos A＝，即－＝，解得c＝－4(舍去)或c＝3，
所以c＝3.
思维升华　利用余弦定理可解决两类三角形问题：
一是已知两边和它们的夹角，求其他边或角；二是已知三边求角．由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的．
跟踪训练2　(1)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝，a＝3，b＝，则c等于(　　)
A. B．3－ C．3 D．2
答案　D
解析　在△ABC中，因为A＝，a＝3，b＝，
所以由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，
得9＝3＋c2－2c×cos ＝3＋c2－c，
即c2－c－6＝0，解得c＝2或c＝－(舍去)．
(2)(2022·攀枝花模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，若2S＝(a＋c)2－b2，则cos B的值是(　　)
A．－ B．－ C. D.
答案　B
解析　因为2S＝(a＋c)2－b2，
所以acsin B＝a2＋c2－b2＋2ac，
即acsin B＝2accos B＋2ac，即sin B－2cos B＝2，
又sin2B＋cos2B＝1，
则(2cos B＋2)2＋cos2B＝1，
(5cos B＋3)(cos B＋1)＝0，
解得cos B＝－1(舍)或cos B＝－.
题型三　三角形的形状判断
例3　(1)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c＝2acos B，则△ABC的形状一定是(　　)
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰三角形
答案　D
解析　由余弦定理可得cos B＝，
故c＝2acos B＝2a×＝，
即c2＝a2＋c2－b2，故a2＝b2，
则a＝b，
所以△ABC为等腰三角形．
(2)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，＝sin2，则△ABC的形状为(　　)
A．直角三角形
B．等边三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
答案　A
解析　由cos B＝1－2sin2，
得sin2＝，所以＝，
即cos B＝.
方法一　由余弦定理得＝，
即a2＋c2－b2＝2a2，
所以a2＋b2＝c2.所以△ABC为直角三角形，无法判断两直角边是否相等．
方法二　由正弦定理得cos B＝，
又sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C，
所以cos Bsin C＝sin Bcos C＋cos Bsin C，
即sin Bcos C＝0，又sin B≠0，
所以cos C＝0，又角C为△ABC的内角，
所以C＝，所以△ABC为直角三角形，无法判断两直角边是否相等．
延伸探究　将本例(2)中的条件“＝sin2”改为“＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc”，试判断△ABC的形状．
解　因为＝，所以由正弦定理得＝，所以b＝c.
又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，
所以b2＋c2－a2＝bc，
所以由余弦定理得cos A＝＝＝.
因为A∈(0，π)，所以A＝，
所以△ABC是等边三角形．
思维升华　判断三角形形状的两种思路
(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．
跟踪训练3　(1)(多选)(2023·合肥模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中正确的是(　　)
A．若acos A＝bcos B，则△ABC一定是等腰三角形
B．若bcos C＋ccos B＝b，则△ABC是等腰三角形
C．若＝＝，则△ABC一定是等边三角形
D．若B＝60°，b2＝ac，则△ABC是直角三角形
答案　BC
解析　对于A，若acos A＝bcos B，则由正弦定理得sin Acos A＝sin Bcos B，
∴sin 2A＝sin 2B，则2A＝2B或2A＋2B＝180°，即A＝B或A＋B＝90°，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，故A错误；
对于B，若bcos C＋ccos B＝b，则由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin(B＋C)＝sin A＝sin B，即A＝B，则△ABC是等腰三角形，故B正确；
对于C，若＝＝，则由正弦定理得＝＝，则tan A＝tan B＝tan C，即A＝B＝C，即△ABC是等边三角形，故C正确；
对于D，由于B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得b2＝ac＝a2＋c2－ac，可得(a－c)2＝0，解得a＝c，可得A＝C＝B，故△ABC是等边三角形，故D错误．
(2)在△ABC中，已知a2＋b2－c2＝ab，且2cos Asin B＝sin C，则该三角形的形状是(　　)
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．钝角三角形
答案　C
解析　∵a2＋b2－c2＝ab，
∴由余弦定理得cos C＝＝，
又C∈(0，π)，
∴C＝，
由2cos Asin B＝sin C及正弦定理得，
cos A＝＝＝，
∴b2＝a2，即b＝a，又C＝，
故该三角形为等边三角形．
课时精练
1．在△ABC中，C＝60°，a＋2b＝8，sin A＝6sin B，则c等于(　　)
A. B. C．6 D．5
答案　B
解析　因为sin A＝6sin B，
则由正弦定理得a＝6b，
又a＋2b＝8，所以a＝6，b＝1，
因为C＝60°，
所以由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，
即c2＝62＋12－2×6×1×，
解得c＝.
2．(2023·济南质检)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝4，cos 2A＝－，则△ABC外接圆的半径为(　　)
A．5 B．3 C. D.
答案　C
解析　因为cos 2A＝－，
所以1－2sin2A＝－，
解得sin A＝±，
因为A∈(0，π)，
所以sin A＝，
又a＝4，所以2R＝＝＝5，
所以R＝.
3．(2022·北京模拟)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若asin B＝bcos A，且b＝2，c＝2，则a的值为(　　)
A．2 B．2 C．2－2 D．1
答案　B
解析　由已知及正弦定理得，sin Asin B＝sin Bcos A且sin B≠0，可得tan A＝，又0所以A＝，又b＝2，c＝2，
所以由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A＝16－12＝4，解得a＝2.
4．(2023·枣庄模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则等于(　　)
A. B. C. D．2
答案　A
解析　由三角形的面积公式可得S△ABC＝bcsin A＝c＝，解得c＝4，
由余弦定理可得a＝＝，
设△ABC的外接圆半径为r，由正弦定理得＝＝＝2r，
所以＝＝2r＝＝＝.
5．(2022·马鞍山模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sin B＋sin C)2＝sin2A＋(2－)sin Bsin C，sin A－2sin B＝0，则sin C等于 (　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　在△ABC中，由(sin B＋sin C)2＝sin2A＋(2－)sin Bsin C及正弦定理得(b＋c)2＝a2＋(2－)bc，
即b2＋c2－a2＝－bc，由余弦定理得cos A＝＝－，而0°由sin A－2sin B＝0得sin B＝sin A＝，显然0°所以sin C＝sin(60°－45°)＝sin 60°cos 45°－cos 60°sin 45°＝.
6．(2023·衡阳模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2cos B(acos C＋ccos A)＝b，lg sin C＝lg 3－lg 2，则△ABC的形状为(　　)
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
答案　C
解析　∵2cos B(acos C＋ccos A)＝b，
∴根据正弦定理得，2cos B(sin Acos C＋cos Asin C)＝sin B，
∴2cos Bsin(A＋C)＝sin B，
∴2cos Bsin(π－B)＝sin B，
即2cos Bsin B＝sin B，
∵B∈(0，π)，∴sin B≠0，∴cos B＝，∴B＝.
∵lg sin C＝lg 3－lg 2，
∴lg sin C＝lg ，∴sin C＝，
∵C∈(0，π)，∴C＝或，
∵B＝，∴C≠，∴C＝，
∴A＝B＝C＝，即△ABC为等边三角形．
7．(2021·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝ .
答案　2
解析　由题意得S△ABC＝acsin B＝ac＝，则ac＝4，所以a2＋c2＝3ac＝3×4＝12，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B＝12－2×4×＝8，得b＝2.
8．(2023·宜春模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为 ．
答案　
解析　∵bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，sin Bsin C>0，
结合正弦定理可得sin Bsin C＋sin Csin B＝4sin Asin Bsin C，
∴sin A＝，∵b2＋c2－a2＝8，
结合余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，可得2bccos A＝8，
∴A为锐角，且cos A＝，从而求得bc＝，
∴△ABC的面积为S＝bcsin A＝××＝.
9．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcos C＝(2a－c)cos B.
(1)求B；
(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求△ABC的面积．
解　(1)由正弦定理，得sin Bcos C＝2sin Acos B－cos Bsin C，
即sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Acos B，
∴sin(B＋C)＝2sin Acos B，
∴sin A＝2sin Acos B，
又∵sin A≠0，∴cos B＝，
∵B为三角形内角，∴B＝.
(2)∵sin C＝2sin A，∴由正弦定理得c＝2a，
∴由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋4a2－2a2＝9，即3a2＝9，
∴a＝，c＝2，
∴△ABC的面积为S＝acsin B＝××2×＝.
10．(2023·湖州模拟)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知bsin＝asin B.
(1)求角A的大小；
(2)若b，a，c成等比数列，判断△ABC的形状．
解　(1)∵bsin＝asin B，由诱导公式得bcos A＝asin B，
由正弦定理得sin Bcos A＝sin Asin B，
∵sin B≠0，∴cos A＝sin A，即tan A＝，
∵A∈(0，π)，∴A＝.
(2)∵b，a，c成等比数列，∴a2＝bc，
由余弦定理得cos A＝＝＝，
即b2＋c2－bc＝bc，∴(b－c)2＝0，∴b＝c，
又由(1)知A＝，∴△ABC为等边三角形．
11．(多选)对于△ABC，有如下判断，其中正确的是(　　)
A．若cos A＝cos B，则△ABC为等腰三角形
B．若A>B，则sin A>sin B
C．若a＝8，c＝10，B＝60°，则符合条件的△ABC有两个
D．若sin2A＋sin2B答案　ABD
解析　对于A，若cos A＝cos B，则A＝B，所以△ABC为等腰三角形，故A正确；
对于B，若A>B，则a>b，由正弦定理＝＝2R，得2Rsin A>2Rsin B，即sin A>sin B成立，故B正确；
对于C，由余弦定理可得b＝＝，只有一解，故C错误；
对于D，若sin2A＋sin2B12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin Asin Bsin C＝，△ABC的面积为2，则下列选项错误的是(　　)
A．abc＝16
B．若a＝，则A＝
C．△ABC外接圆的半径R＝2
D.2≥32sin C
答案　B
解析　由题可得absin C＝2，则sin C＝，
代入sin Asin Bsin C＝，得＝，
即R2＝8，即R＝2，C正确；
abc＝8R3sin Asin Bsin C＝128×＝16，A正确；
若a＝，则sin A＝＝＝，此时A≠，B错误；
因为sin A>0，sin B>0，
所以(sin A＋sin B)2≥4sin Asin B，
所以≥，
由sin Asin Bsin C＝，得＝32sin C，
所以≥32sin C，即2≥32sin C，D正确．
13．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝2,2sin A＝a(－cos B)，则B＝ .
答案　
解析　由正弦定理知sin A＝，所以a(－cos B)＝2sin A＝＝asin B，
整理得sin＝1，
因为B∈(0，π)，所以B＋∈，
所以B＋＝，即B＝.
14．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acos B－c－＝0，a2＝bc，b>c，则＝ .
答案　2
解析　由acos B－c－＝0及正弦定理可得sin Acos B－sin C－＝0.
因为sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，
所以－－cos Asin B＝0.
因为sin B≠0，
所以cos A＝－，即A＝.
由余弦定理得a2＝bc＝b2＋c2＋bc，
即2b2－5bc＋2c2＝0，
又b>c，所以＝2.
15．(多选)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝，a2＋b2－c2＝absin C，acos B＋bsin A＝c，则(　　)
A．tan C＝2 B．A＝
C．b＝ D．△ABC的面积为6
答案　ABD
解析　因为a2＋b2－c2＝absin C，
所以cos C＝＝＝，
所以tan C＝＝2，故A正确；
因为acos B＋bsin A＝c，
所以sin Acos B＋sin Bsin A＝sin C，
因为C＝π－(A＋B)，
所以sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)，
所以sin Acos B＋sin Bsin A＝sin(A＋B)
＝sin Acos B＋cos Asin B，
即sin Bsin A＝cos Asin B，
因为B∈(0，π)，
所以sin B≠0，所以tan A＝1，
又A∈(0，π)，
所以A＝，故B正确；
因为tan C＝2，C∈(0，π)，
所以sin C＝，cos C＝，
所以sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝，
因为＝，
所以b＝＝＝3，故C错误；
S△ABC＝absin C＝××3×＝6，故D正确．
16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin A＋sin B＝sin C，且△ABC的周长为9，△ABC的面积为3sin C，则c＝ ，cos C＝ .
答案　4　－
解析　因为sin A＋sin B＝sin C，
所以由正弦定理得a＋b＝.
因为△ABC的周长为9，
所以a＋b＋c＝c＋＝9，解得c＝4.
因为△ABC的面积为3sin C，
所以absin C＝3sin C，整理得ab＝6.
由于a＋b＝＝5，
故解得或所以cos C＝＝－.§4.8　正弦定理、余弦定理
考试要求　1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.2.理解三角形的面积公式并能应用.3.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．
知识梳理
1．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
内容 ＝________＝________＝2R a2＝________； b2＝________； c2＝________
变形 (1)a＝2Rsin A，b＝________，c＝________； (2)sin A＝，sin B＝________，sin C＝________； (3)a∶b∶c＝______ cos A＝________； cos B＝________； cos C＝________
2.三角形解的判断
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsin A bsin A< ab
解的个数 一解 两解 一解 一解
3.三角形中常用的面积公式
(1)S＝aha(ha表示边a上的高)；
(2)S＝____________＝____________＝____________；
(3)S＝__________(r为三角形的内切圆半径)．
常用结论
在△ABC中，常有以下结论：
(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.
(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
(3)a>b A>B sin A>sin B，cos A(4)sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C；tan(A＋B)＝－tan C；sin ＝cos ；cos ＝sin .
(5)三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B.
(6)三角形中的面积S＝.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．(　　)
(2)在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B.(　　)
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．(　　)
(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形．(　　)
教材改编题
1．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC等于(　　)
A. B. C. D.
2．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为4，a＝2，B＝30°，则c等于(　　)
A．8 B．4 C. D.
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝30°，b＝，c＝2，则C＝________.
题型一　利用正弦定理解三角形
例1 (1)在△ABC中，若AB＝，B＝，C＝，则AC等于(　　)
A. B．3
C．2 D．3
(2)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，a＝1，c＝，A＝45°，则C等于(　　)
A．30° B．60°
C．120° D．60°或120°
听课记录：______________________________________________________________
________________________________________________________________________
延伸探究 若将本例(2)条件变为“a＝，A＝60°，c＝2”，求C.
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
思维升华 利用正弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边或角；二是已知两边和一边的对角，求其他边或角.
跟踪训练1 (1)已知在△ABC中，a＝，b＝，A＝30°，则c等于(　　)
A．2 B.
C．2或 D．均不正确
(2)(2023·兰州模拟)在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，b＝2，c＝，且asin B＋bcos A＝b，则△ABC的面积为________．
题型二　利用余弦定理解三角形
例2 (1)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则A＋B的大小为(　　)
A. B. C. D.
(2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cos(B＋C)＝，a＝4，b＝2则c等于(　　)
A．3 B．2 C. D．4
听课记录： ______________________________________________________________
________________________________________________________________________
思维升华 利用余弦定理可解决两类三角形问题：
一是已知两边和它们的夹角，求其他边或角；二是已知三边求角．由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的．
跟踪训练2 (1)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝，a＝3，b＝，则c等于(　　)
A. B．3－ C．3 D．2
(2)(2022·攀枝花模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，若2S＝(a＋c)2－b2，则cos B的值是(　　)
A．－ B．－ C. D.
题型三　三角形的形状判断
例3 (1)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c＝2acos B，则△ABC的形状一定是(　　)
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰三角形
(2)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，＝sin2，则△ABC的形状为(　　)
A．直角三角形
B．等边三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
听课记录： ______________________________________________________________
________________________________________________________________________
延伸探究 将本例(2)中的条件“＝sin2”改为“＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc”，试判断△ABC的形状．
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思维升华 判断三角形形状的两种思路
(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．
跟踪训练3 (1)(多选)(2023·合肥模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中正确的是(　　)
A．若acos A＝bcos B，则△ABC一定是等腰三角形
B．若bcos C＋ccos B＝b，则△ABC是等腰三角形
C．若＝＝，则△ABC一定是等边三角形
D．若B＝60°，b2＝ac，则△ABC是直角三角形
(2)在△ABC中，已知a2＋b2－c2＝ab，且2cos A·sin B＝sin C，则该三角形的形状是(　　)
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．钝角三角形

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