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(共67张PPT)
§5.2　平面向量基本定理
及坐标表示
第五章　平面向量与复数
1.了解平面向量基本定理及其意义.
2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.
4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
考试要求
内容索引
第一部分
第二部分
第三部分
落实主干知识
探究核心题型
课时精练
落实主干知识
第
一
部
分
1.平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任一向量a， 一对实数λ1，λ2，使a＝ .
若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个 .
2.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量作正交分解.
不共线
有且只有
λ1e1＋λ2e2
基底
互相垂直
3.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝ ，a－b＝ ，λa＝ ，
|a|＝ .
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则 坐标即为向量的坐标.
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ＝ ，
＝ .
(x1＋x2，y1＋y2)
(x1－x2，y1－y2)
(λx1，λy1)
终点
(x2－x1，y2－y1)
4.平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b .
x1y2－x2y1＝0
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内的任意两个向量都可以作为一个基底.(　　)
(2)设{a，b}是平面内的一个基底，若λ1a＋λ2b＝0，则λ1＝λ2＝0.(　　)
×
(4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变.(　　)
√
×
√
1.下列各组向量中，可以作为基底的是
A.e1＝(0,0)，e2＝(1,2)
C.e1＝(3,5)，e2＝(6,10)
D.e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)
√
由于选项A，B，C中的向量e1，e2都共线，故不能作为基底.
而选项D中的向量e1，e2不共线，故可作为基底.
2.若P1(1,3)，P2(4,0)，且P是线段P1P2的一个三等分点(靠近点P1)，则点P的坐标为
A.(2,2) B.(3，－1)
C.(2,2)或(3，－1) D.(2,2)或(3,1)
√
3.若a＝(6,6)，b＝(5,7)，c＝(2,4)，则下列结论成立的是
A.a－c与b共线 B.b＋c与a共线
C.a与b－c共线 D.a＋b与c共线
a－c＝(4,2)，因为4×7－5×2＝18≠0，所以a－c与b不共线；
b＋c＝(7,11)，因为7×6－6×11＝－24≠0，所以b＋c与a不共线；
b－c＝(3,3)，因为3×6－6×3＝0，所以a与b－c共线；
a＋b＝(11,13)，因为11×4－2×13＝18≠0，所以a＋b与c不共线.
√
探究核心题型
第
二部
分
例1　(1)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则 等于
题型一
平面向量基本定理的应用
√
√
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
思维升华
跟踪训练1　(1)(多选)下列命题中正确的是
A.若p＝xa＋yb，则p与a，b共面
B.若p与a，b共面，则存在实数x，y使得p＝xa＋yb
√
√
对于B，若a，b共线，p与a，b不共线，则不存在实数x，y使得p＝xa＋yb，故B错误；
由平面向量基本定理知AC正确.
√
例2　(1) 则点D的坐标为
A.(－2,3) B.(2，－3) C.(－2,1) D.(2，－1)
题型二
平面向量的坐标运算
√
所以点D的坐标为(2，－1).
√
建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0,0).
不妨设AB＝1，则CD＝AD＝2，
∴C(2,0)，A(0,2)，B(1,2)，E(0,1)，
∴(－2,2)＝λ(－2,1)＋μ(1,2)，
(1)利用向量的坐标运算解题，主要是利用加法、减法、数乘运算法则，然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则，化归为方程(组)进行求解.
(2)向量的坐标表示使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算.
跟踪训练2　(1)已知M(－2,7)，N(10，－2)，点P是线段MN上的点，且
，则P点的坐标为
A.(2,4) B.(－14,16) C.(6,1) D.(22，－11)
√
(2)已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，用基底{a，b}表示c，则
A.c＝2a－3b B.c＝－2a－3b
C.c＝－3a＋2b D.c＝3a－2b
√
如图，建立平面直角坐标系，设正方形网格的边长为1，
则A(1,0)，B(2,1)，C(0,4)，D(7,1)，
所以a＝(1,1)，b＝(－2,3)，c＝(7，－3)，
设向量c＝ma＋nb，
则c＝ma＋nb＝(m－2n，m＋3n)＝(7，－3)，
所以c＝3a－2b.
例3　(2023·临汾模拟)已知向量a＝(3,1)，b＝(1,1)，c＝a＋kb.若a∥c，则k等于
A.－1 B.0 C.1 D.2
题型三
向量共线的坐标表示
因为c＝a＋kb＝(3,1)＋(k，k)＝(k＋3，k＋1)，而a∥c，
所以3×(k＋1)－1×(k＋3)＝0，解得k＝0.
命题点1　利用向量共线求参数
√
例4　已知平行四边形ABCD的三个顶点A(－2,1)，B(3,4)，C(－1,3)，则第四个顶点D的坐标为
A.(2,2) B.(－6,0) C.(4,6) D.(－2,4)
命题点2　利用向量共线求向量或点的坐标
√
平面向量共线的坐标表示问题的解题策略
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1.
(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R).
跟踪训练3　(1)已知向量a＝(－3,2)，b＝(4，－2λ)，若(a＋2b)∥(a－b)，则实数λ的值为
由已知得a＋2b＝(5,2－4λ)，a－b＝(－7,2＋2λ)，
∵(a＋2b)∥(a－b)，
√
√
课时精练
第
三部
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基础保分练
1.如果e1，e2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一个基底的是
A.e1与e1＋e2
B.e1－2e2与e1＋2e2
C.e1＋e2与e1－e2
D.e1－2e2与－e1＋2e2
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故e1与e1＋e2不共线，可以作为平面内所有向量的一个基底；
故e1－2e2与e1＋2e2不共线，可以作为平面内所有向量的一个基底；
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故e1＋e2与e1－e2不共线，可以作为平面内所有向量的一个基底；
对D项，e1－2e2＝－(－e1＋2e2)，
所以e1－2e2与－e1＋2e2为共线向量，不能作为平面内所有向量的一个基底.
2.(2022·全国乙卷)已知向量a＝(2,1)，b＝(－2,4)，则|a－b|等于
A.2 B.3 C.4 D.5
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由题意知a－b＝(2,1)－(－2,4)＝(4，－3)，
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4.(2023·南京模拟)设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于
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由于a∥b，所以1×y＝2×(－2)，解得y＝－4，
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画出图象如图所示，
由于C，D是半圆弧 上的两个三等分点，
所以△AOC，△COD，△DOB是等边三角形，
所以OA＝OB＝OC＝OD＝AC＝CD＝BD，
所以四边形OACD和四边形OBDC是菱形，
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6.(多选)若k1a＋k2b＝0，则k1＝k2＝0，那么下列对a，b的判断不正确的是
A.a与b一定共线 B.a与b一定不共线
C.a与b一定垂直 D.a与b中至少有一个为0
√
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由平面向量基本定理知，当a，b不共线时，若k1a＋k2b＝0，则k1＝k2＝0，
当a与b共线时，k1＝k2＝0只是其中一组解，此时解不唯一，所以A错误，B正确；
而当a，b不共线时，不一定有a与b垂直，所以C错误；
当a与b中至少有一个为0时，k1，k2中至少有一个可以不为零，所以D错误.
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分别以AB，AD为x，y轴建立平面直角坐标系(图略)，不妨设正方形ABCD边长为2，则A(0,0)，B(2,0)，P(2,1)，Q(1,2)，C(2,2)，
则有2＝2x－y且1＝2x＋2y，
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各选项代入验证，若A，B，C三点不共线即可构成三角形.
假设A，B，C三点共线，则1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1.
所以只要m≠1，A，B，C三点就可构成三角形.
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所以b＝(－2，－1)，
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2μ＝_____.
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综合提升练
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如图所示，
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依题意作图，如图所示，
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所以1＝x2＋y2，
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15.(多选)(2023·潮汕模拟)已知集合E是由平面向量组成的集合，若对任意a，b∈E，t∈(0,1)，均有ta＋(1－t)b∈E，则称集合E是“凸”的，则下列集合中是“凸”的有
A.{(x，y)|y≥ex} B.{(x，y)|y≥ln x}
C.{(x，y)|x＋2y－1≥0} D.{(x，y)|x2＋y2≤1}
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拓展冲刺练
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因此一个集合E是“凸”的就是E表示的平面区域上任意两点的连线上的点仍在该区域内，
四个选项所表示的平面区域如图中阴影所示，
观察选项A，B，C，D所对图形知，B不符合题意，A，C，D符合题意.
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16.根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和.现在对Rt△CDE按上述操作作图后，得到如图所示
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设正方形ABCD的边长为2a，
正方形EFGC的边长为a，
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16§5.2　平面向量基本定理及坐标表示
考试要求　1.了解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
知识梳理
1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
2．平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．
3．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
4．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b x1y2－x2y1＝0.
常用结论
已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点P的坐标为；已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内的任意两个向量都可以作为一个基底．(　×　)
(2)设{a，b}是平面内的一个基底，若λ1a＋λ2b＝0，则λ1＝λ2＝0.(　√　)
(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以表示成＝.(　×　)
(4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．(　√　)
教材改编题
1．下列各组向量中，可以作为基底的是(　　)
A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)
B．e1＝(2，－3)，e2＝
C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)
D．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)
答案　D
解析　由于选项A，B，C中的向量e1，e2都共线，故不能作为基底．而选项D中的向量e1，e2不共线，故可作为基底．
2．若P1(1,3)，P2(4,0)，且P是线段P1P2的一个三等分点(靠近点P1)，则点P的坐标为(　　)
A．(2,2) B．(3，－1)
C．(2,2)或(3，－1) D．(2,2)或(3,1)
答案　A
解析　设P(x，y)，由题意知＝，
∴(x－1，y－3)＝(4－1,0－3)＝(1，－1)，
即∴
3．若a＝(6,6)，b＝(5,7)，c＝(2,4)，则下列结论成立的是(　　)
A．a－c与b共线 B．b＋c与a共线
C．a与b－c共线 D．a＋b与c共线
答案　C
解析　a－c＝(4,2)，因为4×7－5×2＝18≠0，所以a－c与b不共线；
b＋c＝(7,11)，因为7×6－6×11＝－24≠0，所以b＋c与a不共线；
b－c＝(3,3)，因为3×6－6×3＝0，所以a与b－c共线；
a＋b＝(11,13)，因为11×4－2×13＝18≠0，所以a＋b与c不共线.
题型一　平面向量基本定理的应用
例1　(1)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则等于(　　)
A.－ B.－
C.＋ D.＋
答案　A
(2)(2022·昆明模拟)如图，在△ABM中，BM＝3CM，＝，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于(　　)
A．－ B. C．－ D.
答案　D
解析　＝＝(＋)＝＋＝＋×＝＋(＋)＝－＋，
所以λ＝－，μ＝，λ＋μ＝－＋＝.
思维升华　(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
跟踪训练1　(1)(多选)下列命题中正确的是(　　)
A．若p＝xa＋yb，则p与a，b共面
B．若p与a，b共面，则存在实数x，y使得p＝xa＋yb
C．若＝x＋y，则P，M，A，B共面
D．若P，M，A，B共面，则存在实数x，y使得＝x＋y
答案　AC
解析　对于B，若a，b共线，p与a，b不共线，则不存在实数x，y使得p＝xa＋yb，故B错误；对于D，若M，A，B共线，P在直线AB外，则不存在实数x，y使得＝x＋y，故D错误；由平面向量基本定理知AC正确．
(2)(2023·开封模拟)如图，在△ABC中，点M是AB上的点且满足＝3，P是CM上的点，且＝，设＝a，＝b，则等于(　　)
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
答案　B
解析　＝3 ＝，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.
题型二　平面向量的坐标运算
例2　(1)已知＝(1，－1)，C(0,1)，若＝2，则点D的坐标为(　　)
A．(－2,3) B．(2，－3)
C．(－2,1) D．(2，－1)
答案　D
解析　设D(x，y)，则＝(x，y－1)，
2＝(2，－2)，
根据＝2，得(x，y－1)＝(2，－2)，
即解得
所以点D的坐标为(2，－1)．
(2)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为(　　)
A. B.
C．2 D.
答案　B
解析　建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0,0)．
不妨设AB＝1，则CD＝AD＝2，
∴C(2,0)，A(0,2)，B(1,2)，E(0,1)，
∴＝(－2,2)，＝(－2,1)，＝(1,2)，
∵＝λ＋μ，
∴(－2,2)＝λ(－2,1)＋μ(1,2)，
∴解得
故λ＋μ＝.
思维升华　(1)利用向量的坐标运算解题，主要是利用加法、减法、数乘运算法则，然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则，化归为方程(组)进行求解．
(2)向量的坐标表示使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算．
跟踪训练2　(1)已知M(－2,7)，N(10，－2)，点P是线段MN上的点，且＝－2，则P点的坐标为(　　)
A．(2,4) B．(－14,16)
C．(6,1) D．(22，－11)
答案　A
解析　设P(x，y)，则＝(10－x，－2－y)，
＝(－2－x,7－y)，
由＝－2
(2)已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，用基底表示c，则(　　)
A．c＝2a－3b B．c＝－2a－3b
C．c＝－3a＋2b D．c＝3a－2b
答案　D
解析　如图，建立平面直角坐标系，设正方形网格的边长为1，
则A(1,0)，B(2,1)，C(0,4)，D(7,1)，
所以a＝(1,1)，b＝(－2,3)，c＝(7，－3)，
设向量c＝ma＋nb，
则c＝ma＋nb＝(m－2n，m＋3n)＝(7，－3)，
则
所以c＝3a－2b.
题型三　向量共线的坐标表示
命题点1　利用向量共线求参数
例3　(2023·临汾模拟)已知向量a＝(3,1)，b＝(1,1)，c＝a＋kb.若a∥c，则k等于(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
答案　B
解析　因为c＝a＋kb＝(3,1)＋(k，k)＝(k＋3，k＋1)，而a∥c，所以3×(k＋1)－1×(k＋3)＝0，解得k＝0.
命题点2　利用向量共线求向量或点的坐标
例4　已知平行四边形ABCD的三个顶点A(－2,1)，B(3,4)，C(－1,3)，则第四个顶点D的坐标为(　　)
A．(2,2) B．(－6,0)
C．(4,6) D．(－2,4)
答案　B
解析　设D(x，y)，由平行四边形ABCD可知＝，
又A(－2,1)，B(3,4)，C(－1,3)，＝(5,3)，＝(－1－x,3－y)，
∴解得即D的坐标为(－6,0)．
思维升华　平面向量共线的坐标表示问题的解题策略
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1.
(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)．
跟踪训练3　(1)已知向量a＝(－3,2)，b＝(4，－2λ)，若(a＋2b)∥(a－b)，则实数λ的值为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　由已知得a＋2b＝(5,2－4λ)，a－b＝(－7,2＋2λ)，
∵(a＋2b)∥(a－b)，
∴5×(2＋2λ)－(－7)×(2－4λ)＝0，解得λ＝.
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C＝，若m＝(c－，a－b)，n＝(a－b，c＋)，且m∥n，则△ABC的面积为(　　)
A．3 B. C. D．3
答案　C
解析　∵m＝(c－，a－b)，n＝(a－b，c＋)，
且m∥n，
∴(a－b)2＝(c－)(c＋)，化为a2＋b2－c2＝2ab－6.
∴cos ＝＝＝，解得ab＝6.
∴S△ABC＝absin C＝×6×＝.
课时精练
1．如果e1，e2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一个基底的是(　　)
A．e1与e1＋e2
B．e1－2e2与e1＋2e2
C．e1＋e2与e1－e2
D．e1－2e2与－e1＋2e2
答案　D
解析　对A项，设e1＋e2＝λe1，则无解，故e1与e1＋e2不共线，可以作为平面内所有向量的一个基底；
对B项，设e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，则无解，故e1－2e2与e1＋2e2不共线，可以作为平面内所有向量的一个基底；
对C项，设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则无解，故e1＋e2与e1－e2不共线，可以作为平面内所有向量的一个基底；
对D项，e1－2e2＝－(－e1＋2e2)，所以e1－2e2与－e1＋2e2为共线向量，不能作为平面内所有向量的一个基底．
2．(2022·全国乙卷)已知向量a＝(2,1)，b＝(－2,4)，则|a－b|等于(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
答案　D
解析　由题意知a－b＝(2,1)－(－2,4)＝(4，－3)，所以|a－b|＝＝5，故选D.
3．已知点P是△ABC所在平面内一点，且＋＋＝0，则(　　)
A.＝－＋
B.＝＋
C.＝－－
D.＝－
答案　D
解析　由题意得，＋＋＝0，所以＋(－)＋(－)＝0，
∴＋(－)＋(－－)＝0，
∴3＋－2＝0，
∴3＝2－，
∴＝－.
4．(2023·南京模拟)设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　由于a∥b，所以1×y＝2×(－2)，解得y＝－4，
所以b＝(－2，－4)，
3a＋b＝(3,6)＋(－2，－4)＝(1,2)，|3a＋b|＝＝.
5.(2022·忻州模拟)如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆弧上的两个三等分点，＝a，＝b，则等于(　　)
A.a－b B．a－b
C．－a＋b D．－a＋b
答案　C
解析　画出图象如图所示，
由于C，D是半圆弧上的两个三等分点，
所以△AOC，△COD，△DOB是等边三角形，
所以OA＝OB＝OC＝OD＝AC＝CD＝BD，
所以四边形OACD和四边形OBDC是菱形，
所以＝＝－＝－＝－a＋b.
6．(多选)若k1a＋k2b＝0，则k1＝k2＝0，那么下列对a，b的判断不正确的是(　　)
A．a与b一定共线 B．a与b一定不共线
C．a与b一定垂直 D．a与b中至少有一个为0
答案　ACD
解析　由平面向量基本定理知，当a，b不共线时，若k1a＋k2b＝0，则k1＝k2＝0，
当a与b共线时，k1＝k2＝0只是其中一组解，此时解不唯一，所以A错误，B正确；
而当a，b不共线时，不一定有a与b垂直，所以C错误；
当a与b中至少有一个为0时，k1，k2中至少有一个可以不为零，所以D错误．
7.如图，在正方形ABCD中，P，Q分别是边BC，CD的中点，＝x＋y，则x等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　分别以AB，AD为x，y轴建立平面直角坐标系(图略)，不妨设正方形ABCD边长为2，则A(0,0)，B(2,0)，P(2,1)，Q(1,2)，C(2,2)，
则＝(2,1)，＝(2,2)，＝(－1,2)，又＝x＋y，则有2＝2x－y且1＝2x＋2y，解得x＝.
8．已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m不可能是(　　)
A．－2 B. C．1 D．－1
答案　C
解析　各选项代入验证，若A，B，C三点不共线即可构成三角形．因为＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，＝－＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1)．假设A，B，C三点共线，则1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1.所以只要m≠1，A，B，C三点就可构成三角形．
9．已知向量a＝，b＝(－2，m)，若a与b共线，则|b|＝________.
答案　
解析　因为向量a＝，b＝(－2，m),a与b共线，
所以×m＝×(－2)，解得m＝－1，
所以b＝(－2，－1)，
所以|b|＝＝.
10．若在△ABC中，AB＝，∠ABC＝，BC＝3，AD为BC边上的高，O为AD上靠近点A的三等分点，且＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ－2μ＝________.
答案　0
解析　由题意可知，在Rt△ABD中，AB＝，∠ABC＝，
所以BD＝1，所以BD＝BC，
所以＝＝(＋)＝＝＋(＋)＝＋，
又因为＝λ＋μ，
所以λ＝，μ＝，所以λ－2μ＝－＝0.
11．在平行四边形ABCD中，M，N分别是AD，CD的中点，＝a，＝b，则等于(　　)
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
答案　B
解析　如图所示，
设＝m，＝n，且＝xa＋yb，
则＝xa＋yb＝x·＋y·＝n－m，
又因为＝n－m，
所以
解得
所以＝a＋b.
12．(2023·大理模拟)在△ABC中，D是直线AB上的点．若2＝＋λ，记△ACB的面积为S1，△ACD的面积为S2，则等于(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　依题意作图，如图所示，
设＝μ＝μ(－)＝－μ＋μ，
由条件＝＋,
得μ＝－，＝μ＝－，＝－，
∴点D在AB的延长线上，并且AD＝AB，
∴＝＝.
13．已知0<θ<π，向量a＝，b＝(1，sin θ)，且a∥b，则θ＝________.
答案　
解析　因为a∥b，所以sin2θ＝2cos2，
所以4sin2cos2＝2cos2，
因为0<θ<π，cos ≠0，
所以sin2＝，所以sin ＝，
因为0<θ<π，所以＝，即θ＝.
14．如图，扇形的半径为1，且⊥，点C在弧AB上运动，若＝x＋y，则2x＋y的最小值是________．
答案　1
解析　由题意得，·＝0，||＝||＝1，
所以||＝1，
由＝x＋y，等式两边同时平方，
得||2＝x2||2＋y2||2＋2xy·，
所以1＝x2＋y2，
令∠AOC＝α，则x＝cos α，y＝sin α，α∈，
则2x＋y＝2cos α＋sin α＝sin(α＋θ)，其中sin θ＝，cos θ＝，θ∈，
因为θ≤α＋θ≤＋θ，所以≤sin(α＋θ)≤1，
所以1≤sin(α＋θ)≤，即2x＋y的最小值为1.
15．(多选)(2023·潮汕模拟)已知集合E是由平面向量组成的集合，若对任意a，b∈E，t∈(0,1)，均有ta＋(1－t)b∈E，则称集合E是“凸”的，则下列集合中是“凸”的有(　　)
A．{(x，y)|y≥ex} B．{(x，y)|y≥ln x}
C．{(x，y)|x＋2y－1≥0} D．{(x，y)|x2＋y2≤1}
答案　ACD
解析　设＝a，＝b，＝ta＋(1－t)b，
则C为线段AB上一点，
因此一个集合E是“凸”的就是E表示的平面区域上任意两点的连线上的点仍在该区域内，
四个选项所表示的平面区域如图中阴影所示，
观察选项A，B，C，D所对图形知，B不符合题意，A，C，D符合题意．
16.根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和．现在对Rt△CDE按上述操作作图后，得到如图所示的图形，若＝x＋y，则x－y＝________.
答案　－
解析　如图，以A为原点，分别以，为x，y轴正方向建立平面直角坐标系，
设正方形ABCD的边长为2a，
则正方形DEHI的边长为a，正方形EFGC的边长为a，
可知A(0,0)，B(2a,0)，D(0,2a)，DF＝(＋1)a，
则xF＝(＋1)a·cos 30°，yF＝(＋1)a·sin 30°＋2a，
即F，
又＝x＋y，
∴＝x(2a,0)＋y(0,2a)＝(2ax,2ay)，
即
即2ax－2ay＝a－a，
化简得x－y＝－.§5.2　平面向量基本定理及坐标表示
考试要求　1.了解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
知识梳理
1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个____________向量，那么对于这一平面内的任一向量a，__________一对实数λ1，λ2，使a＝________.
若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个________．
2．平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个________________的向量，叫做把向量作正交分解．
3．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝________，a－b＝________，λa＝________，|a|＝________.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则________坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝________，||＝________________.
4．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b ________________________.
常用结论
已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点P的坐标为；已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内的任意两个向量都可以作为一个基底．(　　)
(2)设{a，b}是平面内的一个基底，若λ1a＋λ2b＝0，则λ1＝λ2＝0.(　　)
(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以表示成＝.(　　)
(4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．(　　)
教材改编题
1．下列各组向量中，可以作为基底的是(　　)
A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)
B．e1＝(2，－3)，e2＝
C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)
D．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)
2．若P1(1,3)，P2(4,0)，且P是线段P1P2的一个三等分点(靠近点P1)，则点P的坐标为(　　)
A．(2,2) B．(3，－1)
C．(2,2)或(3，－1) D．(2,2)或(3,1)
3．若a＝(6,6)，b＝(5,7)，c＝(2,4)，则下列结论成立的是(　　)
A．a－c与b共线 B．b＋c与a共线
C．a与b－c共线 D．a＋b与c共线
题型一　平面向量基本定理的应用
例1 (1)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则等于(　　)
A.－ B.－
C.＋ D.＋
(2)(2022·昆明模拟)如图，在△ABM中，BM＝3CM，＝，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于(　　)
A．－ B. C．－ D.
听课记录： _____________________________________________________________
________________________________________________________________________
思维升华 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
跟踪训练1 (1)(多选)下列命题中正确的是(　　)
A．若p＝xa＋yb，则p与a，b共面
B．若p与a，b共面，则存在实数x，y使得p＝xa＋yb
C．若＝x＋y，则P，M，A，B共面
D．若P，M，A，B共面，则存在实数x，y使得＝x＋y
(2)(2023·开封模拟)如图，在△ABC中，点M是AB上的点且满足＝3，P是CM上的点，且＝，设＝a，＝b，则等于(　　)
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
题型二　平面向量的坐标运算
例2 (1)已知＝(1，－1)，C(0,1)，若＝2，则点D的坐标为(　　)
A．(－2,3) B．(2，－3)
C．(－2,1) D．(2，－1)
(2)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为(　　)
A. B. C．2 D.
听课记录： ______________________________________________________________
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思维升华 (1)利用向量的坐标运算解题，主要是利用加法、减法、数乘运算法则，然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则，化归为方程(组)进行求解．
(2)向量的坐标表示使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算．
跟踪训练2 (1)已知M(－2,7)，N(10，－2)，点P是线段MN上的点，且＝－2，则P点的坐标为(　　)
A．(2,4) B．(－14,16)
C．(6,1) D．(22，－11)
(2)已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，用基底表示c，则(　　)
A．c＝2a－3b B．c＝－2a－3b
C．c＝－3a＋2b D．c＝3a－2b
题型三　向量共线的坐标表示
命题点1　利用向量共线求参数
例3 (2023·临汾模拟)已知向量a＝(3,1)，b＝(1,1)，c＝a＋kb.若a∥c，则k等于(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
听课记录： ______________________________________________________________
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命题点2　利用向量共线求向量或点的坐标
例4 已知平行四边形ABCD的三个顶点A(－2,1)，B(3,4)，C(－1,3)，则第四个顶点D的坐标为(　　)
A．(2,2) B．(－6,0) C．(4,6) D．(－2,4)
听课记录： ______________________________________________________________
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思维升华 平面向量共线的坐标表示问题的解题策略
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1.
(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)．
跟踪训练3 (1)已知向量a＝(－3,2)，b＝(4，－2λ)，若(a＋2b)∥(a－b)，则实数λ的值为(　　)
A. B. C. D.
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C＝，若m＝(c－，a－b)，n＝(a－b，c＋)，且m∥n，则△ABC的面积为(　　)
A．3 B. C. D．3

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