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(共68张PPT)
§5.3　平面向量的数量积
第五章　平面向量与复数
1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义.
2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系.
3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.
4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.
考试要求
内容索引
第一部分
第二部分
第三部分
落实主干知识
探究核心题型
课时精练
落实主干知识
第
一
部
分
1.向量的夹角
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作 ，则
＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.
2.平面向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量 叫做向量a与b的数量积，记作 .
∠AOB
|a||b|cos θ
a·b
3.平面向量数量积的几何意义
设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量， ＝a， ＝b，过 的起点A和终点B，分别作 所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到
，我们称上述变换为向量a向向量b ， 叫做向量a在向量b上的 .记为 .
投影
投影向量
|a|cos θ e
4.向量数量积的运算律
(1)a·b＝ .
(2)(λa)·b＝ ＝ .
(3)(a＋b)·c＝ .
b·a
λ(a·b)
a·(λb)
a·c＋b·c
5.平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
几何表示 坐标表示
数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝___________
模 |a|＝_____ |a|＝________
x1x2＋y1y2
夹角 cos θ＝_______
cos θ＝________________
a⊥b的充要条件 a·b＝0 ______________
|a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤
x1x2＋y1y2＝0
1.平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
2.有关向量夹角的两个结论
(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0.
(2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π.
(2)若a，b共线，则a·b＝|a|·|b|.(　　)
(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量.(　　)
(4)若a·b＝a·c，则b＝c.(　　)
√
×
×
×
√
2.已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝______.
3.若向量a＝(1,2)，b＝(－3,4)，则a·b的值等于____；a与b夹角的余弦值
等于_____.
5
因为a＝(1,2)，b＝(－3,4)，
探究核心题型
第
二部
分
例1　(1)在边长为1的等边△ABC中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点，则 等于
题型一
平面向量数量积的基本运算
√
因为在边长为1的等边△ABC中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点，
(2)(2023·亳州模拟)如图，在平面四边形ACDE中，点B在边AC上，△ABE是等腰直角三角形，四边形BCDE是边长为1的正方形，则
＝_____.
－1
则A(－1,0)，C(1,0)，D(1,1)，E(0,1)，
计算平面向量数量积的主要方法
(1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.
(2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)利用基底法求数量积.
(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义.
思维升华
跟踪训练1　(1)(2022·岳阳模拟)已知正方形ABCD的对角线AC＝2，点P在另一条对角线BD上，则 的值为
A.－2 B.2 C.1 D.4
设AC∩BD＝O，则O为AC的中点，且AC⊥BD，
如图所示，
√
12
例2　已知向量a和b的夹角为30°，|a|＝1，|b|＝ ，则|a＋2b|等于
题型二
平面向量数量积的应用
根据向量的运算法则和数量积的定义，
命题点1　向量的模
√
例3　已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，|2a－b|＝ ，则a与b的夹角为
命题点2　向量的夹角
√
所以4a2＋b2－4a·b＝37，
所以16＋9－4×2×3×cos〈a，b〉＝37，
例4　(2022·全国甲卷)已知向量a＝(m,3)，b＝(1，m＋1).若a⊥b，则m＝
______.
命题点3　向量的垂直
(1)求平面向量的模的方法
②几何法：利用向量的几何意义.
(2)求平面向量的夹角的方法
②坐标法.
(3)两个向量垂直的充要条件
a⊥b a·b＝0 |a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0).
跟踪训练2　(1)(多选)已知向量m，n满足|m|＝1，|n|＝2，|m＋n|＝ ，则下列说法正确的是
A.m·n＝－1
√
√
√
所以|m|2＋|n|2＋2m·n＝3，
即1＋4＋2m·n＝3，解得m·n＝－1，故A正确；
因为|m－n|2＝|m|2＋|n|2－2m·n＝1＋4＋2＝7，
因为(m＋n)·(m－n)＝|m|2－|n|2＝1－4＝－3≠0，故D错误.
(2)(2022·新高考全国Ⅱ)已知向量a＝(3,4)，b＝(1,0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t等于
A.－6 B.－5 C.5 D.6
√
由题意，得c＝a＋tb＝(3＋t,4)，
所以a·c＝3×(3＋t)＋4×4＝25＋3t，
b·c＝1×(3＋t)＋0×4＝3＋t.
因为〈a，c〉＝〈b，c〉，
所以cos〈a，c〉＝cos〈b，c〉，
例5　在日常生活中，我们常常会看到两个人共提一个行李包的情景，若行李包所受的重力为G，两个拉力分别为F1，F2，且|F1|＝|F2|，F1与F2的夹角为θ，当两人拎起行李包时，下列结论正确的是
题型三
平面向量的实际应用
√
根据题意可得G＝F1＋F2，
当θ＝0时，|G|＝2|F1|＝|F1|＋|F2|，
且行李包所受的重力G不变，所以当θ角越大时，用力越大，故C错误；
用向量方法解决实际问题的步骤
跟踪训练3　(2022·长春模拟)长江流域内某地南北两岸平行，如图所示，已知游船在静水中的航行速度v1的大小|v1|＝10 km/h，水流的速度v2的大小|v2|＝4 km/h，设v1和v2所成的角为θ(0<θ<π)，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则cos θ等于
√
由题意知(v1＋v2)·v2＝0，
即10×4cos θ＋42＝0，
课时精练
第
三部
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基础保分练
1.若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为135°，则m·n等于
√
2.(2023·三明模拟)已知向量a＝(λ，2)，b＝(－1,2)，若a⊥b，则|a＋b|等于
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∵a＝(λ，2)，b＝(－1,2)，a⊥b，∴a·b＝0，即－λ＋4＝0，
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将等式|a＋2b|＝|2a－b|两边平方，得8a·b＋3b2＝3a2，
设a与b的夹角为θ，即8|a||b|cos θ＋3|b|2＝3|a|2，
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如果只有一个等式不成立，则该等式为
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
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丙：点P到三角形三个顶点的距离相等，故P为△ABC的外心；
当△ABC为等边三角形时，三心重合，此时甲、丙、丁均成立，乙不成立，满足要求，当乙成立时，其他三个至少有两个等式不成立.
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9.已知|a|＝4，b＝(－1,0)，且(a＋2b)⊥b，则a与b的夹角为_____.
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由b＝(－1,0)，得|b|＝1，
因为(a＋2b)⊥b，所以(a＋2b)·b＝0，
所以a·b＋2b2＝0，
所以|a||b|cos〈a，b〉＋2|b|2＝0，
因为|a|＝4，
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11.(多选)(2022·佛山模拟)一物体受到3个力的作用，其中重力G的大小为4 N，水平拉力F1的大小为3 N，另一力F2未知，则
A.当该物体处于平衡状态时，|F2|＝5 N
B.当F2与F1方向相反，且|F2|＝5 N时，物体所受合力大小为0
C.当物体所受合力为F1时，|F2|＝4 N
D.当|F2|＝2 N时，3 N≤|F1＋F2＋G|≤7 N
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综合提升练
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由题意知，F2的大小等于重力G与水平拉力F1的合力大小，由图①知|F2|＝5 N，故A正确；
如图②，物体所受合力应等于向量 与F2的和向量的大小，显然B错误；
当物体所受合力为F1时，说明G与F2的合力为0，所以|F2|＝4 N，C正确；
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即3 N≤|F1＋F2＋G|≤7 N，故D正确.
12.已知向量a＝(2，m)，b＝(3,1)，若向量a，b的夹角是锐角，则m的取值范围是
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因为a＝(2，m)，b＝(3,1)，
所以a·b＝6＋m，
13.(多选)已知O为坐标原点，点A(1,0)，P1(cos α，sin α)，P2(cos β，sin β)，P3(cos(α－β)，sin(α－β))，则下列选项正确的是
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因为AD＝AB＝3，∠BAD＝60°，
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拓展冲刺练
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16.在2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观.理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程.已知图①中正三角形的边长为3，则图③中 的值为____.
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在图③中，以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，§5.3　平面向量的数量积
考试要求　1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义.2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题．
知识梳理
1．向量的夹角
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．
2．平面向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积，记作a·b.
3．平面向量数量积的几何意义
设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量．记为|a|cos θ e.
4．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
5．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
几何表示 坐标表示
数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2
模 |a|＝ |a|＝
夹角 cos θ＝ cos θ＝
a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤
常用结论
1．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
2．有关向量夹角的两个结论
(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0.
(2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个向量的夹角的范围是.(　×　)
(2)若a，b共线，则a·b＝|a|·|b|.(　×　)
(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量．(　√　)
(4)若a·b＝a·c，则b＝c.(　×　)
教材改编题
1．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝，且a与b的夹角为30°，那么a·b等于(　　)
A．1 B. C．3 D．3
答案　C
解析　由题意可得a·b＝|a|·|b|cos 30°＝2××＝3.
2．已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.
答案　2
3．若向量a＝(1,2)，b＝(－3,4)，则a·b的值等于________；a与b夹角的余弦值等于________．
答案　5　
解析　因为a＝(1,2)，b＝(－3,4)，
所以a·b＝－3×1＋2×4＝5，|a|＝＝，|b|＝＝5，
所以cos〈a，b〉＝＝＝.
题型一　平面向量数量积的基本运算
例1　(1)在边长为1的等边△ABC中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点，则·等于(　　)
A. B. C. D.＋
答案　B
解析　因为在边长为1的等边△ABC中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点，
所以＝(＋)，＝(＋)＝＋(＋)＝＋，
因此·＝(＋)·
＝
＝＝.
(2)(2023·亳州模拟)如图，在平面四边形ACDE中，点B在边AC上，△ABE是等腰直角三角形，四边形BCDE是边长为1的正方形，则·＝________.
答案　－1
解析　如图所示，以B为原点，以，分别为x，y轴正方向建立平面直角坐标系．
则A(－1,0)，C(1,0)，D(1,1)，E(0,1)，所以＝(2,1)，＝(－1,1)，
所以·＝－2＋1＝－1.
思维升华　计算平面向量数量积的主要方法
(1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)利用基底法求数量积．
(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义．
跟踪训练1　(1)(2022·岳阳模拟)已知正方形ABCD的对角线AC＝2，点P在另一条对角线BD上，则·的值为(　　)
A．－2 B．2 C．1 D．4
答案　B
解析　设AC∩BD＝O，则O为AC的中点，且AC⊥BD，如图所示，
由在方向上的投影向量为，
得·＝·＝2＝2.
(2)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，若·＝2·，则·＝________.
答案　12
解析　因为·＝2·，
所以·－·＝·，
所以·＝·.
因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，
所以2||＝||||cos ，
化简得||＝2.
故·＝·(＋)＝||2＋·＝(2)2＋2×2cos ＝12.
题型二　平面向量数量积的应用
命题点1　向量的模
例2　已知向量a和b的夹角为30°，|a|＝1，|b|＝，则|a＋2b|等于(　　)
A．1＋2 B.
C. D．3
答案　B
解析　根据向量的运算法则和数量积的定义，
可得|a＋2b|＝＝
＝＝.
命题点2　向量的夹角
例3　已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，|2a－b|＝，则a与b的夹角为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　因为|2a－b|＝，
所以4a2＋b2－4a·b＝37，
所以16＋9－4×2×3×cos〈a，b〉＝37，
所以cos〈a，b〉＝－，
因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝.
命题点3　向量的垂直
例4　(2022·全国甲卷)已知向量a＝(m,3)，b＝(1，m＋1)．若a⊥b，则m＝________.
答案　－
解析　∵a⊥b，∴a·b＝m＋3(m＋1)＝4m＋3＝0，解得m＝－.
思维升华　(1)求平面向量的模的方法
①公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2；
②几何法：利用向量的几何意义．
(2)求平面向量的夹角的方法
①定义法：cos θ＝；
②坐标法．
(3)两个向量垂直的充要条件
a⊥b a·b＝0 |a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)．
跟踪训练2　(1)(多选)已知向量m，n满足|m|＝1，|n|＝2，|m＋n|＝，则下列说法正确的是(　　)
A．m·n＝－1
B．m与n的夹角为
C．|m－n|＝
D．(m＋n)⊥(m－n)
答案　ABC
解析　因为|m|＝1，|n|＝2，|m＋n|＝，所以|m|2＋|n|2＋2m·n＝3，
即1＋4＋2m·n＝3，解得m·n＝－1，故A正确；
因为cos〈m，n〉＝＝－，因为0≤〈m，n〉≤π，
所以〈m，n〉＝，故B正确；
因为|m－n|2＝|m|2＋|n|2－2m·n＝1＋4＋2＝7，所以|m－n|＝，故C正确；
因为(m＋n)·(m－n)＝|m|2－|n|2＝1－4＝－3≠0，故D错误．
(2)(2022·新高考全国Ⅱ)已知向量a＝(3,4)，b＝(1,0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t等于(　　)
A．－6 B．－5 C．5 D．6
答案　C
解析　由题意，得c＝a＋tb＝(3＋t,4)，
所以a·c＝3×(3＋t)＋4×4＝25＋3t，
b·c＝1×(3＋t)＋0×4＝3＋t.
因为〈a，c〉＝〈b，c〉，
所以cos〈a，c〉＝cos〈b，c〉，
即＝，
即＝3＋t，解得t＝5，故选C.
题型三　平面向量的实际应用
例5　在日常生活中，我们常常会看到两个人共提一个行李包的情景，若行李包所受的重力为G，两个拉力分别为F1，F2，且|F1|＝|F2|，F1与F2的夹角为θ，当两人拎起行李包时，下列结论正确的是(　　)
A．|G|＝|F1|＋|F2| B．当θ＝时，|F1|＝|G|
C．当θ角越大时，用力越省 D．当|F1|＝|G|时，θ＝
答案　B
解析　根据题意可得G＝F1＋F2，
则|G|＝|F1＋F2|＝＝＝，
当θ＝0时，|G|＝2|F1|＝|F1|＋|F2|，
当θ＝时，|G|＝＝|F1|，
即|F1|＝|G|，故A错误，B正确；
|G|＝，因为y＝cos θ在(0，π)上单调递减，
且行李包所受的重力G不变，所以当θ角越大时，用力越大，故C错误；
当|F1|＝|G|时，即|G|＝＝|F1|，解得cos θ＝－，
又因为θ∈(0，π)，所以θ＝，故D错误．
思维升华　用向量方法解决实际问题的步骤
跟踪训练3　(2022·长春模拟)长江流域内某地南北两岸平行，如图所示，已知游船在静水中的航行速度v1的大小|v1|＝10 km/h，水流的速度v2的大小|v2|＝4 km/h，设v1和v2所成的角为θ(0<θ<π)，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则cos θ等于(　　)
A．－ B．－ C．－ D．－
答案　B
解析　由题意知(v1＋v2)·v2＝0，
有|v1||v2|cos θ＋v＝0，
即10×4cos θ＋42＝0，
所以cos θ＝－.
课时精练
1．若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为135°，则m·n等于(　　)
A．12 B．12 C．－12 D．－12
答案　C
解析　由题意知m·n＝|m||n|cos 135°＝4×6×＝－12.
2．(2023·三明模拟)已知向量a＝(λ，2)，b＝(－1,2)，若a⊥b，则|a＋b|等于(　　)
A．5 B．6 C. D．4
答案　A
解析　∵a＝(λ，2)，b＝(－1,2)，a⊥b，∴a·b＝0，即－λ＋4＝0，∴λ＝4，∴a＋b＝(3,4)，|a＋b|＝＝5.
3．已知a，b为非零向量，且|a|＝2|b|，|a＋2b|＝|2a－b|，则a与b夹角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　将等式|a＋2b|＝|2a－b|两边平方，得8a·b＋3b2＝3a2，设a与b的夹角为θ，即8|a||b|cos θ＋3|b|2＝3|a|2，
将|a|＝|b|代入8|a||b|cos θ＋3|b|2＝3|a|2，
得cos θ＝.
4．已知|b|＝3，a在b上的投影向量为b，则a·b的值为(　　)
A．3 B. C．2 D.
答案　B
解析　方法一　设a与b的夹角为θ，∵|a|cos θ＝b，∴＝，∴|a|cos θ＝，∴a·b＝|a||b|cos θ＝×3＝.
方法二　a·b＝b·b＝b2＝.
5．已知菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，点P是BC的中点，则·等于(　　)
A．0 B. C．3 D.
答案　C
解析　由题意可得＝－(＋)＝－，
＝＋＝－，
故·＝－·
＝||2－2＝4－1＝3.
6．在△ABC中，AB＝4，BC＝5，CA＝6，△ABC外接圆圆心为O，则·等于(　　)
A．8 B. C．8 D．18
答案　A
解析　由题意得O为△ABC外心，故·＝2＝8.
7．(2023·郑州模拟)在以OA为边，以OB为对角线的菱形OABC中，＝(4,0)，＝(6，a)，则∠AOC等于(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　由题设，＝－＝(2，a)，且||＝||＝4，
所以＝4，则a＝±2，故＝(6，±2)，
由∠AOC＝2∠AOB∈(0，π)，则0<∠AOB<，
又cos∠AOB＝＝＝，则∠AOB＝，
所以∠AOC＝.
8．已知P是△ABC所在平面内一点，有下列四个等式：
甲：＋＋＝0；
乙：·(－)＝·(－)；
丙：||＝||＝||；
丁：·＝·＝·.
如果只有一个等式不成立，则该等式为(　　)
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
答案　B
解析　甲：＋＋＝0，则＋＝－，故P为△ABC的重心；
乙：·(－)＝·(－)，则(－)·＝·＝0，故AB⊥AC，即△ABC为直角三角形；
丙：点P到三角形三个顶点的距离相等，故P为△ABC的外心；
丁：·＝·，则(－)·＝·＝0，同理可得·＝·＝0，即P为△ABC的垂心，
当△ABC为等边三角形时，三心重合，此时甲、丙、丁均成立，乙不成立，满足要求，当乙成立时，其他三个至少有两个等式不成立．
9．已知|a|＝4，b＝(－1,0)，且(a＋2b)⊥b，则a与b的夹角为________．
答案　
解析　由b＝(－1,0)，得|b|＝1，
因为(a＋2b)⊥b，所以(a＋2b)·b＝0，
所以a·b＋2b2＝0，
所以|a||b|cos〈a，b〉＋2|b|2＝0，
因为|a|＝4，
所以4cos〈a，b〉＋2＝0，所以cos〈a，b〉＝－，
因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝.
10．(2022·全国甲卷)设向量a，b的夹角的余弦值为，且|a|＝1，|b|＝3，则(2a＋b)·b＝________.
答案　11
解析　(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2|a||b|cos〈a，b〉＋|b|2＝2×1×3×＋32＝11.
11．(多选)(2022·佛山模拟)一物体受到3个力的作用，其中重力G的大小为4 N，水平拉力F1的大小为3 N，另一力F2未知，则(　　)
A．当该物体处于平衡状态时，|F2|＝5 N
B．当F2与F1方向相反，且|F2|＝5 N时，物体所受合力大小为0
C．当物体所受合力为F1时，|F2|＝4 N
D．当|F2|＝2 N时，3 N≤|F1＋F2＋G|≤7 N
答案　ACD
解析　由题意知，F2的大小等于重力G与水平拉力F1的合力大小，由图①知|F2|＝5 N，故A正确；
如图②，物体所受合力应等于向量与F2的和向量的大小，显然B错误；
当物体所受合力为F1时，说明G与F2的合力为0，所以|F2|＝4 N，C正确；
由上知，重力G与水平拉力F1的合力为，||＝5 N，易知当F2与同向时合力最大，最大值为7 N；反向时合力最小，最小值为3 N，
即3 N≤|F1＋F2＋G|≤7 N，故D正确．
12．已知向量a＝(2，m)，b＝(3,1)，若向量a，b的夹角是锐角，则m的取值范围是(　　)
A．(－6，＋∞)
B.
C.∪
D.∪
答案　C
解析　因为a＝(2，m)，b＝(3,1)，
所以a·b＝6＋m，
因为向量a，b的夹角是锐角，所以
解得m>－6，且m≠.
所以实数m的取值范围是∪.
13．(多选)已知O为坐标原点，点A(1,0)，P1(cos α，sin α)，P2(cos β，sin β)，P3(cos(α－β)，sin(α－β))，则下列选项正确的是(　　)
A．||＝||
B．||＝||
C.·＝·
D.·＝·
答案　ABD
解析　由题意＝(1,0)，的坐标等于Pi的坐标(i＝1,2,3)，
||＝||＝1，A正确；
||＝＝，
||＝＝＝，
所以||＝||，B正确；
·＝cos α，·＝cos βcos(α－β)＋sin βsin(α－β)＝cos(2β－α)，C错误；
·＝cos(α－β)，·＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)，D正确．
14．在菱形ABCD中，AB＝3，∠BAD＝60°，＝2，＝2，＝2，则·＝________.
答案　
解析　因为＝－＝－＋，
＝＋＋＝＋＋＝＋，
所以·＝·＝－2＋2＋·.
因为AD＝AB＝3，∠BAD＝60°，
所以·＝－×9＋×9＋×3×3×cos 60°＝.
15.向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，a·b＝(||2－||2)，我们称为极化恒等式．在△ABC中，M是BC中点，AM＝3，BC＝10，则·＝________.
答案　－16
解析　由题设，||＝3，||＝10，
·＝·(4||2－||2)＝×(36－100)＝－16.
16．在2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．已知图①中正三角形的边长为3，则图③中·的值为________．
答案　6
解析　在图③中，以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，
||＝2，＝＝(1,)，
||＝，即＝，
||＝，由分形知PN∥OM，所以＝，
所以＝＋＋＝，
所以·＝1×＋×＝6.§5.3　平面向量的数量积
考试要求　1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义.2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题．
知识梳理
1．向量的夹角
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则________＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．
2．平面向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量____________叫做向量a与b的数量积，记作________．
3．平面向量数量积的几何意义
设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b________，叫做向量a在向量b上的________________．记为____________．
4．向量数量积的运算律
(1)a·b＝________________.
(2)(λa)·b＝____________＝____________.
(3)(a＋b)·c＝________________.
5．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
几何表示 坐标表示
数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝________
模 |a|＝______ |a|＝________
夹角 cos θ＝______________ cos θ＝________________
a⊥b的充要条件 a·b＝0
|a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤
常用结论
1．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
2．有关向量夹角的两个结论
(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0.
(2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个向量的夹角的范围是.(　　)
(2)若a，b共线，则a·b＝|a|·|b|.(　　)
(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量．(　　)
(4)若a·b＝a·c，则b＝c.(　　)
教材改编题
1．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝，且a 与b 的夹角为30°，那么a·b等于(　　)
A．1 B. C．3 D．3
2．已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.
3．若向量a＝(1,2)，b＝(－3,4)，则a·b的值等于________；a与b夹角的余弦值等于______.
题型一　平面向量数量积的基本运算
例1 (1)在边长为1的等边△ABC中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点，则·等于(　　)
A. B.
C. D.＋
(2)(2023·亳州模拟)如图，在平面四边形ACDE中，点B在边AC上，△ABE是等腰直角三角形，四边形BCDE是边长为1的正方形，则·＝________.
听课记录：______________________________________________________________
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思维升华 计算平面向量数量积的主要方法
(1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)利用基底法求数量积．
(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义．
跟踪训练1 (1)(2022·岳阳模拟)已知正方形ABCD的对角线AC＝2，点P在另一条对角线BD上，则·的值为(　　)
A．－2 B．2
C．1 D．4
(2)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，若·＝2·，则·＝________.
题型二　平面向量数量积的应用
命题点1　向量的模
例2 已知向量a和b的夹角为30°，|a|＝1，|b|＝，则|a＋2b|等于(　　)
A．1＋2 B.
C. D．3
听课记录： ______________________________________________________________
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命题点2　向量的夹角
例3 已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，|2a－b|＝，则a与b的夹角为(　　)
A. B.
C. D.
听课记录： ______________________________________________________________
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命题点3　向量的垂直
例4 (2022·全国甲卷)已知向量a＝(m,3)，b＝(1，m＋1)．若a⊥b，则m＝________.
听课记录： ______________________________________________________________
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思维升华 (1)求平面向量的模的方法
①公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2；
②几何法：利用向量的几何意义．
(2)求平面向量的夹角的方法
①定义法：cos θ＝；
②坐标法．
(3)两个向量垂直的充要条件
a⊥b a·b＝0 |a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)．
跟踪训练2 (1)(多选)已知向量m，n满足|m|＝1，|n|＝2，|m＋n|＝，则下列说法正确的是(　　)
A．m·n＝－1
B．m与n的夹角为
C．|m－n|＝
D．(m＋n)⊥(m－n)
(2)(2022·新高考全国Ⅱ)已知向量a＝(3,4)，b＝(1,0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t等于(　　)
A．－6 B．－5 C．5 D．6
题型三　平面向量的实际应用
例5 在日常生活中，我们常常会看到两个人共提一个行李包的情景，若行李包所受的重力为G，两个拉力分别为F1，F2，且|F1|＝|F2|，F1与F2的夹角为θ，当两人拎起行李包时，下列结论正确的是(　　)
A．|G|＝|F1|＋|F2|
B．当θ＝时，|F1|＝|G|
C．当θ角越大时，用力越省
D．当|F1|＝|G|时，θ＝
听课记录： ______________________________________________________________
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思维升华 用向量方法解决实际问题的步骤
跟踪训练3 (2022·长春模拟)长江流域内某地南北两岸平行，如图所示，已知游船在静水中的航行速度v1的大小|v1|＝10 km/h，水流的速度v2的大小|v2|＝4 km/h，设v1和v2所成的角为θ(0<θ<π)，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则cos θ等于(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－

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