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(共54张PPT)
§5.4　平面向量的综合
应用[培优课]
第五章　平面向量与复数
例1　(1)(2023·宿州模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且C＝60°，a＝3，S△ABC＝ ，则AB边上的中线长为
题型一
平面向量在几何中的应用
√
即3b2＋a2＝4a·b，
思维升华
跟踪训练1　(1)(2022·商丘模拟)若O为△ABC所在平面内一点，且满足
，则△ABC的形状为
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
√
即∠BAC＝90°，所以△ABC是直角三角形．
√
∴AC⊥BD，
题型二
和向量有关的最值(范围)问题
命题点1　与平面向量基本定理有关的最值(范围)问题
√
故2x＋y的最小值为3.
命题点2　与数量积有关的最值(范围)问题
例3　(2023·郑州模拟)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，M是线段AC上任意一点，则 的最小值是
A. B.－1 C.－2 D.－4
√
＝－9λ(1－λ)＋λ×2×3×cos 60°＝3λ(3λ－2)，由二次函数性质知，
命题点3　与模有关的最值(范围)问题
例4　已知向量a＝(cos θ，sin θ)，b＝( ，1)，则|2a－b|的最大值为___.
4
方法一　由题意得|a|＝1，|b|＝2，
所以|2a－b|2的最大值为8－8×(－1)＝16，
方法三　由题意得|2a－b|≤2|a|＋|b|＝2×1＋2＝4，当且仅当向量a，b方向相反时不等式取等号，故|2a－b|的最大值为4.
向量求最值(范围)的常用方法
(1)利用三角函数求最值(范围).
(2)利用基本不等式求最值(范围).
(3)建立坐标系，设变量构造函数求最值(范围).
(4)数形结合，应用图形的几何性质求最值.
√
当且仅当λ＝μ＝1时等号成立.
即λ＋μ的最大值为2.
(2)(2022·北京)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°.P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则 的取值范围是
A.[－5,3] B.[－3,5]
C.[－6,4] D.[－4,6]
√
以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(3,0)，B(0,4).
设P(x，y)，
(3)在平面直角坐标系中，已知直线x＋2y－4＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，若点P(cos θ，sin θ)，则 的最大值为________.
由题意知，直线x＋2y－4＝0分别与x轴，y轴交于点A，B，
则A(4,0)，B(0,2)，又P(cos θ，sin θ)，
课时精练
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A.菱形 B.矩形 C.正方形 D.等腰梯形
√
故四边形ABCD为平行四边形，
故AC⊥BD即四边形ABCD为菱形.
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A.与圆C的半径有关
B.与圆C的半径无关
C.与弦AB的长度有关
D.与点A，B的位置有关
√
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如图，连接AB，过C作CD⊥AB交AB于D，则D是AB的中点，
A.8 B.9
C.12 D.16
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∵E为线段AD上的动点，∴A，D，E三点共线，
∴x＋3y＝1且x>0，y>0，
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建立如图所示的平面直角坐标系，设P(x，y)，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,2)，
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由题意，向量c与a＋b共线，故存在实数λ，使得c＝λ(a＋b)，
∴|a＋c|＝|a＋λ(a＋b)|＝|(1＋λ)a＋λb|
7.(多选)(2022·珠海模拟)已知点O在△ABC所在的平面内，则以下说法正确的有
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同理可证O为AB，AC边上中线的三等分点，
所以O为△ABC的重心，选项A正确；
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故O为△ABC的内心，选项B错误；
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所以OB⊥CA，OA⊥CB，OC⊥AB，
即点O是△ABC的垂心，选项D错误.
8.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，每逢新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望.图①是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图②中正六边形ABCDEF的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆的直径，则 的取值范围是
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如图所示，取AF的中点Q，
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9.(2022·晋中模拟)已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则 的最小值为____.
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设C(0，a)，P(0，b)，B(1，a)，A(2,0)，0≤b≤a，
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取BC的中点O，
∵△ABC为等边三角形，∴AO⊥BC，则以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，
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由二次函数性质知，
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又P，B，D三点共线，∴λ＋4μ＝1，
12.(2022·浙江)设点P在单位圆的内接正八边形A1A2…A8的边A1A2上，则
的取值范围是______________.
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以圆心为原点，A7A3所在直线为x轴，A5A1所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，
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设P(x，y)，
因为cos 22.5°≤|OP|≤1，§5.4　平面向量的综合应用
题型一　平面向量在几何中的应用
例1　(1)(2023·宿州模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且C＝60°，a＝3，S△ABC＝，则AB边上的中线长为(　　)
A．49 B．7 C. D.
答案　D
解析　由S△ABC＝absin C＝×3×b×＝，得b＝5，
根据余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos C＝19，故c＝，
不妨取AB中点为M，故＝(＋)，
故||＝
＝＝.
即AB边上的中线长为.
(2)(2022·天津)在△ABC中，＝a，＝b，D是AC的中点，＝2，试用a，b表示为________，若⊥，则∠ACB的最大值为________．
答案　b－a　
解析　＝－＝b－a，
＝－＝b－a，
由⊥得(3b－a)·(b－a)＝0，
即3b2＋a2＝4a·b，
所以cos∠ACB＝＝≥＝，
当且仅当|a|＝|b|时取等号，而0<∠ACB<π，
所以∠ACB∈.
思维升华　用向量方法解决平面几何问题的步骤
平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题．
跟踪训练1　(1)(2022·商丘模拟)若O为△ABC所在平面内一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状为(　　)
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
答案　B
解析　在△ABC中，|－|＝|＋－2|，
即||＝|(－)＋(－)|，
即|－|＝|＋|，
所以(－)2＝(＋)2，
即2－2·＋2＝2＋2·＋2，
得4·＝0.
因为与均为非零向量，
则⊥，
即∠BAC＝90°，所以△ABC是直角三角形．
(2)在平面四边形ABCD中，＝(－2,3)，＝(6,4)，则该四边形的面积为(　　)
A．3 B．4 C．13 D．26
答案　C
解析　∵·＝－12＋12＝0，
∴AC⊥BD，
∴四边形ABCD的面积为||·||＝××＝13.
题型二　和向量有关的最值(范围)问题
命题点1　与平面向量基本定理有关的最值(范围)问题
例2　如图，在△ABC中，点P满足2＝，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N，若＝x，＝y(x>0，y>0)，则2x＋y的最小值为(　　)
A．3 B．3 C．1 D.
答案　A
解析　由题意知，＝＋＝＋＝＋＝＋，又＝x，＝y(x>0，y>0)，
∴＝＋，
由M，P，N三点共线，得＋＝1，
∴2x＋y＝(2x＋y)＝＋＋≥＋2＝3，当且仅当x＝y时等号成立．
故2x＋y的最小值为3.
命题点2　与数量积有关的最值(范围)问题
例3　(2023·郑州模拟)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，M是线段AC上任意一点，则·的最小值是(　　)
A．－ B．－1 C．－2 D．－4
答案　B
解析　设＝λ(λ∈[0,1])，＝＋＝－(1－λ)＋，
·＝[－(1－λ)＋]·(λ)＝－λ(1－λ)2＋λ· ＝－9λ(1－λ)＋λ×2×3×cos 60°＝3λ(3λ－2)，由二次函数性质知，
当λ＝ 时，3λ(3λ－2) 取最小值为－1，
故·的最小值是－1.
命题点3　与模有关的最值(范围)问题
例4　已知向量a＝(cos θ，sin θ)，b＝(－，1)，则|2a－b|的最大值为________．
答案　4
解析　方法一　由题意得|a|＝1，|b|＝2，
a·b＝sin θ－cos θ＝2sin，
所以|2a－b|2＝4|a|2＋|b|2－4a·b
＝4×12＋22－8sin
＝8－8sin.
所以|2a－b|2的最大值为8－8×(－1)＝16，
故|2a－b|的最大值为4.
方法二　因为a＝(cos θ，sin θ)，b＝(－，1)，
所以2a－b＝(2cos θ＋，2sin θ－1)，
所以|2a－b|＝
＝
＝.
故|2a－b|的最大值为＝4.
方法三　由题意得|2a－b|≤2|a|＋|b|＝2×1＋2＝4，当且仅当向量a，b方向相反时不等式取等号，故|2a－b|的最大值为4.
思维升华　向量求最值(范围)的常用方法
(1)利用三角函数求最值(范围)．
(2)利用基本不等式求最值(范围)．
(3)建立坐标系，设变量构造函数求最值(范围)．
(4)数形结合，应用图形的几何性质求最值．
跟踪训练2　(1)在△ABC中，||＝2，||＝2，∠BAC＝120°，＝λ，＝μ(λ>0，μ>0)，M为线段EF的中点，若||＝1，则λ＋μ的最大值为(　　)
A. B. C．2 D.
答案　C
解析　＝(＋)＝＋，
故||2＝2＝λ2＋μ2＋×4cos 120°＝λ2＋μ2－λμ＝1，
故1＝λ2＋μ2－λμ＝(λ＋μ)2－3λμ≥(λ＋μ)2－(λ＋μ)2，故λ＋μ≤2.
当且仅当λ＝μ＝1时等号成立．
即λ＋μ的最大值为2.
(2)(2022·北京)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°.P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则·的取值范围是(　　)
A．[－5,3] B．[－3,5]
C．[－6,4] D．[－4,6]
答案　D
解析　以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系(图略)，
则A(3,0)，B(0,4)．
设P(x，y)，
则x2＋y2＝1，＝(3－x，－y)，＝(－x,4－y)，
所以·＝x2－3x＋y2－4y＝2＋(y－2)2－.
又2＋(y－2)2表示圆x2＋y2＝1上一点到点距离的平方，圆心(0,0)到点的距离为，所以·∈，
即·∈[－4,6]，故选D.
(3)在平面直角坐标系中，已知直线x＋2y－4＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，若点P(cos θ，sin θ)，则|＋|的最大值为________．
答案　2＋2
解析　由题意知，直线x＋2y－4＝0分别与x轴，y轴交于点A，B，
则A(4,0)，B(0,2)，又P(cos θ，sin θ)，
所以＝(4－cos θ，－sin θ)，＝(－cos θ，2－sin θ)，
有＋＝(4－2cos θ，2－2sin θ)，
则|＋|＝
＝
＝，其中tan φ＝2，
当sin(θ＋φ)＝－1时，|＋|取得最大值，
且最大值为＝2＝2＝2＋2.
课时精练
1．四边形ABCD中，＝，(＋)·(－)＝0，则这个四边形是(　　)
A．菱形 B．矩形
C．正方形 D．等腰梯形
答案　A
解析　由题意，＝，即|AD|＝|BC|且AD∥BC，故四边形ABCD为平行四边形，
又(＋)·(－)＝·＝0，故AC⊥BD即四边形ABCD为菱形．
2．(多选)如图，点A，B在圆C上，则·的值(　　)
A．与圆C的半径有关
B．与圆C的半径无关
C．与弦AB的长度有关
D．与点A，B的位置有关
答案　BC
解析　如图，连接AB，过C作CD⊥AB交AB于D，则D是AB的中点，
故·＝||·||·cos∠CAD
＝||·||·＝||2，
故·的值与圆C的半径无关，只与弦AB的长度有关．
3.如图，在△ABC中，＝，E为线段AD上的动点，且＝x＋y，则＋的最小值为(　　)
A．8 B．9 C．12 D．16
答案　D
解析　由已知得＝3，∴＝x＋y＝x＋3y，
∵E为线段AD上的动点，∴A，D，E三点共线，
∴x＋3y＝1且x>0，y>0，
∴＋＝(x＋3y)＝10＋＋≥10＋2＝16，
当且仅当x＝y＝时，等号成立．
故＋的最小值为16.
4．在△ABC中，A＝，G为△ABC的重心，若·＝·＝6，则△ABC外接圆的半径为(　　)
A. B. C．2 D．2
答案　C
解析　由·＝·，可得·(－)＝·＝0，则有AG⊥BC，
又在△ABC中，A＝，G为△ABC的重心，则△ABC为等边三角形．
则·＝×(＋)·
＝＝||2＝6，
解得||＝2，
则△ABC外接圆的半径为×＝×＝2.
5．在平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，AB⊥AD，点P为平行四边形ABCD所在平面内一点，则(＋)·的最小值是(　　)
A．－ B．－ C．－ D．－
答案　A
解析　建立如图所示的平面直角坐标系，设P(x，y)，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,2)，
所以＝(1－x，－y)，＋＝(－x，－y)＋(1－x,2－y)＝(1－2x,2－2y)，
故(＋)·＝(1－2x)(1－x)＋(2－2y)(－y)＝22＋22－，
所以当x＝，y＝时，(＋)·取得最小值－.
6．已知向量a，b为单位向量，且a·b＝－，向量c与a＋b共线，则|a＋c|的最小值为(　　)
A．1 B. C. D.
答案　D
解析　由题意，向量c与a＋b共线，
故存在实数λ，使得c＝λ(a＋b)，
∴|a＋c|＝|a＋λ(a＋b)|＝|(1＋λ)a＋λb|
＝
＝
＝＝≥＝，
当且仅当λ＝－时等号成立．
故|a＋c|的最小值为.
7．(多选)(2022·珠海模拟)已知点O在△ABC所在的平面内，则以下说法正确的有(　　)
A．若＋＋＝0，则点O为△ABC的重心
B．若·＝·＝0，则点O为△ABC的垂心
C．若(＋)·＝(＋)·＝0，则点O为△ABC的外心
D．若·＝·＝·，则点O为△ABC的内心
答案　AC
解析　选项A，设D为BC的中点，由于＝－(＋)＝－2，所以O为BC边上中线的三等分点(靠近点D)，同理可证O为AB，AC边上中线的三等分点，所以O为△ABC的重心，选项A正确；
选项B，向量，分别表示在边AC和AB上的单位向量，设为和，则它们的差是向量，则当·＝0，即⊥时，点O在∠BAC的角平分线上，同理由·＝0，知点O在∠ABC的角平分线上，故O为△ABC的内心，选项B错误；
选项C，由(＋)·＝0，得(＋)·(－)＝0，即2＝2，故||＝||，同理有||＝||，于是O为△ABC的外心，选项C正确；
选项D，由·＝·，得·－·＝0，所以·(－)＝0，即·＝0，所以⊥，同理可证⊥，⊥，所以OB⊥CA，OA⊥CB，OC⊥AB，即点O是△ABC的垂心，选项D错误．
8．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，每逢新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图①是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图②中正六边形ABCDEF的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆的直径，则·的取值范围是(　　)
A．[1,2] B．[2,3]
C. D.
答案　B
解析　如图所示，取AF的中点Q，根据题意，△AOF是边长为2的正三角形，易得|OQ|＝，
又·＝(＋)·(＋)＝||2＋·＋·＋·＝||2＋·(＋)－1＝||2－1，
根据图形可知，当点P位于正六边形各边的中点时，|PO|有最小值为，此时||2－1＝2，
当点P位于正六边形的顶点时，|PO|有最大值为2，此时||2－1＝3，
故·的取值范围是[2,3]．
9．(2022·晋中模拟)已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|2＋3|的最小值为________．
答案　7
解析　以D为坐标原点，，分别为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系，如图所示，
设C(0，a)，P(0，b)，B(1，a)，A(2,0)，0≤b≤a，
则2＋3＝2(2，－b)＋3(1，a－b)＝(7,3a－5b)，
|2＋3|＝≥7，当且仅当b＝时取得最小值7.
10．已知P是边长为4的正△ABC所在平面内一点，且＝λ＋(2－2λ)(λ∈R)，则·的最小值为________．
答案　5
解析　取BC的中点O，
∵△ABC为等边三角形，∴AO⊥BC，则以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，
则B(－2,0)，C(2,0)，A(0,2)，设P(x，y)，
∴＝(x，y－2)，＝(－2，－2)，＝(2，－2)，
∴＝λ＋(2－2λ)＝(4－6λ，2λ－4)，则
∴P(4－6λ，2λ－2)，
∴＝(6λ－4,4－2λ)，
＝(6λ－2,2－2λ)，
∴·＝(6λ－4)(6λ－2)＋(4－2λ)(2－2λ)＝48λ2－72λ＋32，由二次函数性质知，
当λ＝时，·取得最小值5.
11．(2022·广州模拟)在△ABC中，D为AC上一点且满足＝，若P为BD上一点，且满足＝λ＋μ，λ，μ为正实数，则λμ的最大值为________．
答案　
解析　∵λ，μ为正实数，＝，故＝4，
∴＝λ＋4μ，
又P，B，D三点共线，∴λ＋4μ＝1，
∴λμ＝·λ·4μ≤2＝，当且仅当λ＝，μ＝时取等号，
故λμ的最大值为.
12．(2022·浙江)设点P在单位圆的内接正八边形A1A2…A8的边A1A2上，则＋＋…＋的取值范围是______________．
答案　[12＋2，16]
解析　以圆心为原点，A7A3所在直线为x轴，A5A1所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则A1(0,1)，A2，A3(1,0)，
A4，A5(0，－1)，A6，
A7(－1,0)，A8，
设P(x，y)，
于是＋＋…＋＝8(x2＋y2)＋8，
因为cos 22.5°≤|OP|≤1，
所以≤x2＋y2≤1，
故＋＋…＋的取值范围是[12＋2，16]．§5.4　平面向量的综合应用
题型一　平面向量在几何中的应用
例1 (1)(2023·宿州模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且C＝60°，a＝3，S△ABC＝，则AB边上的中线长为(　　)
A．49 B．7 C. D.
(2)(2022·天津)在△ABC中，＝a，＝b，D是AC的中点，＝2，试用a，b表示为________，若⊥，则∠ACB的最大值为________．
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思维升华 用向量方法解决平面几何问题的步骤
平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题．
跟踪训练1 (1)(2022·商丘模拟)若O为△ABC所在平面内一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状为(　　)
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
(2)在平面四边形ABCD中，＝(－2,3)，＝(6,4)，则该四边形的面积为(　　)
A．3 B．4
C．13 D．26
题型二　和向量有关的最值(范围)问题
命题点1　与平面向量基本定理有关的最值(范围)问题
例2 如图，在△ABC中，点P满足2＝，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N，若＝x，＝y(x>0，y>0)，则2x＋y的最小值为(　　)
A．3 B．3 C．1 D.
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命题点2　与数量积有关的最值(范围)问题
例3 (2023·郑州模拟)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，M是线段AC上任意一点，则·的最小值是(　　)
A．－ B．－1 C．－2 D．－4
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命题点3　与模有关的最值(范围)问题
例4 已知向量a＝(cos θ，sin θ)，b＝(－，1)，则|2a－b|的最大值为________．
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思维升华 向量求最值(范围)的常用方法
(1)利用三角函数求最值(范围)．
(2)利用基本不等式求最值(范围)．
(3)建立坐标系，设变量构造函数求最值(范围)．
(4)数形结合，应用图形的几何性质求最值．
跟踪训练2 (1)在△ABC中，||＝2，||＝2，∠BAC＝120°，＝λ，＝μ(λ>0，μ>0)，M为线段EF的中点，若||＝1，则λ＋μ的最大值为(　　)
A. B. C．2 D.
(2)(2022·北京)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°.P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则·的取值范围是(　　)
A．[－5,3] B．[－3,5] C．[－6,4] D．[－4,6]
(3)在平面直角坐标系中，已知直线x＋2y－4＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，若点P(cos θ，sin θ)，则|＋|的最大值为________．

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