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(共58张PPT)
§10.3　二项式定理
第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布
能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
考试要求
内容索引
第一部分
第二部分
第三部分
落实主干知识
探究核心题型
课时精练
落实主干知识
第
一
部
分
二项式定理 (a＋b)n＝____________________________________
(n∈N*)
二项展开式的通项 Tk＋1＝_________，它表示展开式的第_____项
二项式系数 ____(k＝0,1，…，n)
1.二项式定理
k＋1
2.二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数 .
(2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间的一项______取得最大值；当n是
奇数时，中间的两项_______与_______相等，且同时取得最大值.
相等
2n
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1) 是(a＋b)n的展开式中的第k项.(　　)
(2)(a＋b)n的展开式中每一项的二项式系数与a，b无关.(　　)
(3)通项公式 中的a和b不能互换.(　　)
(4)二项式的展开式中的系数最大项与二项式系数最大项是相同的.(　　)
×
×
√
√
因为展开式的通项为Tk＋1＝ ，
A.45 B.20 C.－30 D.－90
√
令－10＋ k＝2，得k＝8，所以展开式中x2的系数为(－1)8×C＝45.
A.31 B.32 C.15 D.16
√
即3n＝35，所以n＝5，
因为二项式系数之和为2n＝64，
3.若 的展开式中二项式系数之和为64，则展开式的常数项为____.
20
探究核心题型
第
二部
分
命题点1　形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式的特定项
例1　(1)二项式 的展开式中的常数项是
A.－45 B.－10 C.45 D.65
题型一
通项公式的应用
√
√
令6－2k＝0，得k＝3，
命题点2　形如(a＋b)m(c＋d)n (m，n∈N*)的展开式问题
例2　(1)(1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是
A.56 B.84 C.112 D.168
√
(2)若 的展开式中x－2的系数为75，则a等于
A.－3 B.－2 C.2 D.3
√
(1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项即可.
(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏.
思维升华
跟踪训练1　(1)(2022·新高考全国Ⅰ) 的展开式中x2y6的系数为
_____(用数字作答).
－28
(2)在二项式 的展开式中，常数项是_______；系数为有理数的项的个数是______.
5
若展开式的系数为有理数，则k＝1,3,5,7,9，有T2，T4，T6，T8，T10，共5个.
命题点1　二项式系数和与系数和
例3　(1)在 的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32∶1，
则x2的系数为
A.50 B.70 C.90 D.120
题型二
二项式系数与项的系数问题
√
又二项式系数和为2n，
②对原式两边求导得，10(1＋x)9＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋10a10x9.
令x＝1，得a1＋2a2＋3a3＋…＋10a10＝10×29＝5 120.
(2)若(1＋x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a2＋a6＋a8＝_______；a1＋2a2＋3a3＋…＋10a10＝________.
300
5 120
命题点2　系数与二项式系数的最值问题
例4　(多选)(2023·唐山模拟)下列关于 的展开式的说法中正确的是
A.常数项为－160
B.第4项的系数最大
C.第4项的二项式系数最大
D.所有项的系数和为1
√
√
√
对于A，令2k－6＝0，解得k＝3，
对于B，由通项公式知，若要系数最大，k所有可能的取值为0,2,4,6，
∴展开式第5项的系数最大，B错误；
对于C，展开式共有7项，得第4项的二项式系数最大，C正确；
对于D，令x＝1，则所有项的系数和为(1－2)6＝1，D正确.
赋值法的应用
一般地，对于多项式(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令g(x)＝(a＋bx)n，则(a＋bx)n的展开式中各项的系数和为g(1)，(a＋bx)n的展开式中奇数项的系数和为 [g(1)＋g(－1)]，(a＋bx)n的展开式中偶数项的
系数和为 [g(1)－g(－1)].
思维升华
跟踪训练2　(1)(多选)对于 的展开式，下列说法正确的是
A.所有项的二项式系数和为64
B.所有项的系数和为64
C.常数项为1 215
D.系数最大的项为第3项
√
√
√
由C的分析可知第2,4,6项系数为负值，第1项系数为1，
故(a0＋a2＋a4＋…＋a10)2 －(a1＋a3＋a5＋…＋a9)2＝(a0＋a1＋a2＋…
(2)设 ＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则(a0＋a2＋a4＋…＋a10)2 －(a1＋a3＋a5＋…＋a9)2的值为_____.
1
因为a∈Z，且0≤a≤13，
例5　(1)设a∈Z，且0≤a≤13，若512 023＋a能被13整除，则a等于
A.0 B.1 C.11 D.12
题型三
二项式定理的综合应用
√
因为512 023＋a能被13整除，
所以a＝1.
(2)利用二项式定理计算1.056，则其结果精确到0.01的近似值是
A.1.23 B.1.24 C.1.33 D.1.34
√
二项式定理应用的题型及解法
(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式.
(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不是很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.
思维升华
跟踪训练3　(1)设n为奇数，那么11n＋
1除以13的余数是
A.－3 B.2 C.10 D.11
√
＝12n－2＝(13－1)n－2
(2)0.996的计算结果精确到0.001的近似值是
A.0.940 B.0.941 C.0.942 D.0.943
√
＝1－0.06＋0.001 5－0.000 02＋…＋0.016
≈0.941.
课时精练
第
三部
分
1. 的展开式中x4的系数为
A.10 B.20 C.40 D.80
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
√
基础保分练
令10－3k＝4，则k＝2，
A.7 B.8 C.9 D.10
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
由题意知，当k＝6时，令3n－4k＝0，得n＝8.
A.14 B.－14 C.16 D.－16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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11
12
13
14
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
A.2 B.3 C.4 D.5
√
所以当k＝0,6,12,18,24时，x的指数是整数，故x的指数是整数的有5项.
根据题意，奇数项的二项式系数之和也为128，所以在(1－2x)n的展开式中，二项式系数之和为256，即2n＝256，得n＝8，则(1－2x)8的展开式的中间项为第5项，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
5.在二项式(1－2x)n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项的系数为
A.－960 B.960 C.1 120 D.1 680
√
6.2 0232 022被2 0222除的余数是
A.1 B.0 C.2 023 D.2 022
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
√
因此2 0232 022被2 0222除的余数是1.
A.常数项是第3项
B.各项的系数和是
C.第4项二项式系数最大
D.奇数项二项式系数和为32
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
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13
14
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
对于C选项，展开式共7项，故第4项二项式系数最大，C正确；
对于D选项，奇数项二项式系数和为25＝32，D正确.
8.(多选)(2023·沧州模拟)已知(1－2x)2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023，则
A.展开式中所有项的二项式系数和为22 023
B.展开式中系数最大项为第1 350项
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
√
√
易知(1－2x)2 023的展开式中所有项的二项式系数和为22 023，故A正确；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
所以第1 350项不是系数最大项，故B错误；
当x＝1时，有a0＋a1＋a2＋…＋a2 023＝－1， ①
当x＝－1时，有a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 022－a2 023＝32 023， ②
1
2
3
4
5
6
7
8
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10
11
12
13
14
9.若x5＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋…＋a5(x－2)5，则a1＝_____，a1＋a2＋
…＋a5＝______.
令x＝3，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝35＝243；
令x＝2，得a0＝25＝32，
故a1＋a2＋…＋a5＝243－32＝211.
1
2
3
4
5
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7
8
9
10
11
12
13
14
80
211
10.已知二项式 则展开式中第4项的二项式系数为______；展开式中第4项的系数为_________.
1
2
3
4
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13
14
120
－77 760
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
11.(x＋y－2z)5的展开式中，xy2z2的系数是
A.120 B.－120 C.60 D.30
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
综合提升练
√
由题意知(x＋y－2z)5＝[(x＋y)－2z]5，
所以(x＋y－2z)5的展开式中，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
所以a1＝－4，
对所给等式，两边对x求导，
可得(2＋x)3＋3(x－1)(2＋x)2＝a1＋2a2x＋3a3x2＋4a4x3，
令x＝1，得27＝a1＋2a2＋3a3＋4a4，
所以2a2＋3a3＋4a4＝31.
12.(2023·浙江名校联盟联考)设(x－1)(2＋x)3＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a1＝_____，2a2＋3a3＋4a4＝_____.
1
2
3
4
5
6
7
8
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10
11
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14
－4
31
13.若(2x＋1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn的展开式中的各项系数和为243，则a1＋2a2＋…＋nan等于
A.405 B.810 C.243 D.64
1
2
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4
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11
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14
√
拓展冲刺练
(2x＋1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，
两边求导得2n(2x＋1)n－1＝a1＋2a2x＋…＋nanxn－1.
令x＝1，则2n×3n－1＝a1＋2a2＋…＋nan.
又因为(2x＋1)n的展开式中各项系数和为243，
令x＝1，可得3n＝243，解得n＝5.
所以a1＋2a2＋…＋nan＝2×5×34＝810.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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2
3
4
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14
√
令x＝0，得b0＝1，
1
2
3
4
5
6
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10
11
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13
14
由an＋1＝Sn·Sn＋1＝Sn＋1－Sn，
1
2
3
4
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6
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11
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公差为－1的等差数列，§10.3　二项式定理
考试要求　能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
知识梳理
1．二项式定理
二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)
二项展开式的通项 Tk＋1＝Can－kbk，它表示展开式的第k＋1项
二项式系数 C(k＝0,1，…，n)
2.二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
(2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值．
(3)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和为C＋C＋C＋…＋C＝2n.
常用结论
1．C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
2．C＝C＋C.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)Can－kbk是(a＋b)n的展开式中的第k项．(　×　)
(2)(a＋b)n的展开式中每一项的二项式系数与a，b无关．(　√　)
(3)通项公式Tk＋1＝Can－kbk中的a和b不能互换．(　√　)
(4)二项式的展开式中的系数最大项与二项式系数最大项是相同的．(　×　)
教材改编题
1.10的展开式中x2的系数等于(　　)
A．45 B．20 C．－30 D．－90
答案　A
解析　因为展开式的通项为Tk＋1＝，令－10＋k＝2，得k＝8，所以展开式中x2的系数为(－1)8×C＝45.
2．已知C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝243，则C＋C＋C＋…＋C等于(　　)
A．31 B．32 C．15 D．16
答案　A
解析　逆用二项式定理得C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝243，
即3n＝35，所以n＝5，
所以C＋C＋C＋…＋C＝25－1＝31.
3．若n的展开式中二项式系数之和为64，则展开式的常数项为________．
答案　20
解析　因为二项式系数之和为2n＝64，所以n＝6，则Tk＋1＝C·x6－k·k＝Cx6－2k，当6－2k＝0，即k＝3时为常数项，T4＝C＝20.
题型一　通项公式的应用
命题点1　形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式的特定项
例1　(1)二项式10的展开式中的常数项是(　　)
A．－45 B．－10 C．45 D．65
答案　C
解析　由二项式定理得Tk＋1＝C10－k(－x2)k＝，令－5＝0得k＝2，所以常数项为(－1)2C＝45.
(2)在6的展开式中，若常数项为－20，则实数m的值为(　　)
A. B．－ C．－2 D．2
答案　A
解析　6的展开式的通项为Tk＋1＝C(2x)6－kk＝C·26－k·(－m)k·x6－2k，
令6－2k＝0，得k＝3，
所以常数项为C·26－3·(－m)3＝－20，解得m＝.
命题点2　形如(a＋b)m(c＋d)n (m，n∈N*)的展开式问题
例2　(1)(1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是(　　)
A．56 B．84 C．112 D．168
答案　D
解析　在(1＋x)8的展开式中含x2的项为Cx2＝28x2，(1＋y)4的展开式中含y2的项为Cy2＝6y2，所以x2y2的系数为28×6＝168.
(2)若6的展开式中x－2的系数为75，则a等于(　　)
A．－3 B．－2 C．2 D．3
答案　A
解析　因为6的展开式的通项为Tk＋1＝C·x6－k·k＝Cx6－2k，令6－2k＝－2，得k＝4，
令6－2k＝0，得k＝3，则6的展开式中x－2的系数为C－aC＝75，解得a＝－3.
思维升华　(1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项即可．
(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．
跟踪训练1　(1)(2022·新高考全国Ⅰ)(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为________(用数字作答)．
答案　－28
解析　(x＋y)8展开式的通项为Tk＋1＝Cx8－kyk，k＝0,1，…，7,8.令k＝6，得T6＋1＝Cx2y6；令k＝5，得T5＋1＝Cx3y5，所以(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为C－C＝－28.
(2)在二项式(＋x)9的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是________．
答案　16　5
解析　由题意得，(＋x)9的通项公式为Tk＋1＝C()9－k·xk(k＝0,1,2，…，9)．当k＝0时，可得常数项为T1＝C()9＝16.若展开式的系数为有理数，则k＝1,3,5,7,9，有T2，T4，T6，T8，T10，共5个．
题型二　二项式系数与项的系数问题
命题点1　二项式系数和与系数和
例3　(1)在n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32∶1，则x2的系数为(　　)
A．50 B．70 C．90 D．120
答案　C
解析　令x＝1，则n＝4n，所以在n的展开式中，各项系数和为4n，又二项式系数和为2n，所以＝2n＝32，解得n＝5.展开式的通项为Tk＋1＝Cx5－k·k＝ ，令5－k＝2，得k＝2，所以x2的系数为C32＝90.
(2)若(1＋x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a2＋a6＋a8＝________；a1＋2a2＋3a3＋…＋10a10＝________.
答案　300　5 120
解析　①由已知得(1＋x)10展开式的通项为Tk＋1＝Cxk，所以展开式中每一项的系数即为其二项式系数．
故a2＋a6＋a8＝C＋C＋C＝300.
②对原式两边求导得，10(1＋x)9＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋10a10x9.
令x＝1，得a1＋2a2＋3a3＋…＋10a10＝10×29＝5 120.
命题点2　系数与二项式系数的最值问题
例4　(多选)(2023·唐山模拟)下列关于6的展开式的说法中正确的是(　　)
A．常数项为－160
B．第4项的系数最大
C．第4项的二项式系数最大
D．所有项的系数和为1
答案　ACD
解析　6展开式的通项为Tk＋1＝C·6－k·(－2x)k＝(－2)kC·x2k－6.
对于A，令2k－6＝0，解得k＝3，∴常数项为(－2)3C＝－8×20＝－160，A正确；
对于B，由通项公式知，若要系数最大，k所有可能的取值为0,2,4,6，
∴T1＝x－6，T3＝4Cx－2＝60x－2，T5＝(－2)4Cx2＝240x2，T7＝(－2)6x6＝64x6，
∴展开式第5项的系数最大，B错误；
对于C，展开式共有7项，得第4项的二项式系数最大，C正确；
对于D，令x＝1，则所有项的系数和为(1－2)6＝1，D正确．
思维升华　赋值法的应用
一般地，对于多项式(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令g(x)＝(a＋bx)n，则(a＋bx)n的展开式中各项的系数和为g(1)，(a＋bx)n的展开式中奇数项的系数和为[g(1)＋g(－1)]，(a＋bx)n的展开式中偶数项的系数和为[g(1)－g(－1)]．
跟踪训练2　(1)(多选)对于6的展开式，下列说法正确的是(　　)
A．所有项的二项式系数和为64
B．所有项的系数和为64
C．常数项为1 215
D．系数最大的项为第3项
答案　ABC
解析　6的展开式中所有项的二项式系数和为26＝64，故A正确；
在6中，令x＝1，得(1－3)6＝64，故B正确；
展开式的通项为Tk＋1＝C(x2)6－k·k＝(－3)kCx12－3k(0≤k≤6，k∈N)，
令12－3k＝0，得k＝4，所以常数项为(－3)4C＝1 215，故C正确；
由C的分析可知第2,4,6项系数为负值，第1项系数为1，
第3项系数为(－3)2C＝135，第5项系数为(－3)4C＝1 215，
第7项系数为(－3)6C＝729，则系数最大的项为第5项，故D不正确．
(2)设10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则(a0＋a2＋a4＋…＋a10)2 －(a1＋a3＋a5＋…＋a9)2的值为________．
答案　1
解析　令x＝1有a0＋a1＋…＋a10＝(＋1)10，令x＝－1有a0－a1＋a2－…＋a10＝(－1)10，
故(a0＋a2＋a4＋…＋a10)2 －(a1＋a3＋a5＋…＋a9)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a10)·(a0－a1＋a2－…＋a10)＝(＋1)10(－1)10＝1.
题型三　二项式定理的综合应用
例5　(1)设a∈Z，且0≤a≤13，若512 023＋a能被13整除，则a等于(　　)
A．0 B．1 C．11 D．12
答案　B
解析　因为a∈Z，且0≤a≤13，
所以512 023＋a＝(52－1)2 023＋a
＝C522 023－C522 022＋C522 021－…＋C52－C＋a，
因为512 023＋a能被13整除，
所以－C＋a＝－1＋a能被13整除，结合选项，
所以a＝1.
(2)利用二项式定理计算1.056，则其结果精确到0.01的近似值是(　　)
A．1.23 B．1.24
C．1.33 D．1.34
答案　D
解析　1.056＝(1＋0.05)6＝C＋C×0.05＋C×0.052＋C×0.053＋…＋C×0.056＝1＋0.3＋0.037 5＋0.002 5＋…＋0.056≈1.34.
思维升华　二项式定理应用的题型及解法
(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式．
(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不是很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.
跟踪训练3　(1)设n为奇数，那么11n＋C·11n－1＋C·11n－2＋…＋C·11－1除以13的余数是(　　)
A．－3 B．2 C．10 D．11
答案　C
解析　11n＋C·11n－1＋C·11n－2＋…＋C·11－1＝C·11n＋C·11n－1＋C·11n－2＋…＋C·11＋C－2＝(11＋1)n－2
＝12n－2＝(13－1)n－2
＝C·13n－C·13n－1＋…＋(－1)n－1·C·13＋(－1)n·C－2，
因为n为奇数，则上式＝
C·13n－C·13n－1＋…＋(－1)n－1·C·13－3＝[C·13n－C·13n－1＋…＋(－1)n－1·C·13－13]＋10，
所以11n＋C·11n－1＋C·11n－2＋…＋C·11－1除以13的余数是10.
(2)0.996的计算结果精确到0.001的近似值是(　　)
A．0.940 B．0.941
C．0.942 D．0.943
答案　B
解析　0.996＝(1－0.01)6＝C×1－C×0.01＋C×0.012－C×0.013＋…＋C×0.016
＝1－0.06＋0.001 5－0.000 02＋…＋0.016
≈0.941.
课时精练
1.5的展开式中x4的系数为(　 　)
A．10 B．20 C．40 D．80
答案　C
解析　由题意可得Tk＋1＝C·(x2)5－k·k＝(－1)kC·2k·x10－3k，
令10－3k＝4，则k＝2，
所以所求系数为(－1)2C·22＝40.
2．已知n的展开式中的常数项是第7项，则正整数n的值为(　　)
A．7 B．8 C．9 D．10
答案　B
解析　n的展开式的通项为Tk＋1＝C2n－kx3n－4k，由题意知，当k＝6时，令3n－4k＝0，得n＝8.
3．(3x＋1)5的展开式中的常数项为(　　)
A．14 B．－14 C．16 D．－16
答案　A
解析　因为在5的展开式中，的系数为C(－1)4＝5，常数项为C(－1)5＝－1，所以(3x＋1)5的展开式中的常数项为5×3＋(－1)＝14.
4．在24的展开式中，x的指数是整数的项数是(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
答案　D
解析　因为24的展开式的通项公式为Tk＋1＝C()24－kk＝，所以当k＝0,6,12,18,24时，x的指数是整数，故x的指数是整数的有5项．
5．在二项式(1－2x)n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项的系数为(　　)
A．－960 B．960 C．1 120 D．1 680
答案　C
解析　根据题意，奇数项的二项式系数之和也为128，所以在(1－2x)n的展开式中，二项式系数之和为256，即2n＝256，得n＝8，则(1－2x)8的展开式的中间项为第5项，
且T5＝C(－2)4x4＝1 120x4，即展开式的中间项的系数为1 120.
6．2 0232 022被2 0222除的余数是(　　)
A．1 B．0 C．2 023 D．2 022
答案　A
解析　因为2 0232 022＝(2 022＋1)2 022＝2 0222 022＋C·2 0222 021＋…＋C·2 0222＋C·
2 022＋1＝2 0222 022＋C·2 0222 021＋…＋C·2 0222＋2 0222＋1＝2 0222×(2 0222 020＋C·2 0222 019＋…＋C＋1)＋1，
因此2 0232 022被2 0222除的余数是1.
7．(多选)在二项式6的展开式中，正确的说法是(　　)
A．常数项是第3项
B．各项的系数和是
C．第4项二项式系数最大
D．奇数项二项式系数和为32
答案　BCD
解析　二项式6的展开式通项为Tk＋1＝C·()6－k·k＝.
对于A选项，令＝0，可得k＝3，故常数项是第4项，A错误；
对于B选项，各项的系数和是6＝，B正确；
对于C选项，展开式共7项，故第4项二项式系数最大，C正确；
对于D选项，奇数项二项式系数和为25＝32，D正确．
8．(多选)(2023·沧州模拟)已知(1－2x)2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023，则(　　)
A．展开式中所有项的二项式系数和为22 023
B．展开式中系数最大项为第1 350项
C．a1＋a3＋a5＋…＋a2 023＝
D.＋＋＋…＋＝－1
答案　AD
解析　易知(1－2x)2 023的展开式中所有项的二项式系数和为22 023，故A正确；
由二项式通项，知Tk＋1＝C(－2x)k＝(－2)kCxk，所以第1 350项的系数为(－2)1 349C<0，所以第1 350项不是系数最大项，故B错误；
当x＝1时，有a0＋a1＋a2＋…＋a2 023＝－1，①
当x＝－1时，有a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 022－a2 023＝32 023，②
①－②，可得a1＋a3＋a5＋…＋a2 023＝－，故C错误；
当x＝0时，a0＝1，当x＝时，a0＋＋＋＋…＋＝0，
所以＋＋＋…＋＝－a0＝－1，故D正确．
9．若x5＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋…＋a5(x－2)5，则a1＝________，a1＋a2＋…＋a5＝________.
答案　80　211
解析　因为x5＝[2＋(x－2)]5，则a1＝C·24＝80.
令x＝3，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝35＝243；
令x＝2，得a0＝25＝32，
故a1＋a2＋…＋a5＝243－32＝211.
10．已知二项式10，则展开式中第4项的二项式系数为________；展开式中第4项的系数为________．
答案　120　－77 760
解析　10的二项展开式的通项是
Tk＋1＝C(3)10－kk(k＝0,1，…，10)．
则第4项的二项式系数为C＝120；
第4项的系数为C373＝－77 760.
11．(x＋y－2z)5的展开式中，xy2z2的系数是(　　)
A．120 B．－120 C．60 D．30
答案　A
解析　由题意知(x＋y－2z)5＝[(x＋y)－2z]5，
展开式的第k＋1项为C(x＋y)5－k(－2z)k，
令k＝2，可得第3项为(－2)2C(x＋y)3z2，
(x＋y)3的展开式的第m＋1项为Cx3－mym，
令m＝2，可得第3项为Cxy2，
所以(x＋y－2z)5的展开式中，
xy2z2的系数是(－2)2CC＝120.
12．(2023·浙江名校联盟联考)设(x－1)(2＋x)3＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a1＝________，2a2＋3a3＋4a4＝________.
答案　－4　31
解析　因为x·C·23·x0－C·22·x1＝－4x，
所以a1＝－4，
对所给等式，两边对x求导，
可得(2＋x)3＋3(x－1)(2＋x)2＝a1＋2a2x＋3a3x2＋4a4x3，
令x＝1，得27＝a1＋2a2＋3a3＋4a4，
所以2a2＋3a3＋4a4＝31.
13．若(2x＋1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn的展开式中的各项系数和为243，则a1＋2a2＋…＋nan等于(　　)
A．405 B．810 C．243 D．64
答案　B
解析　(2x＋1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，
两边求导得2n(2x＋1)n－1＝a1＋2a2x＋…＋nanxn－1.
令x＝1，则2n×3n－1＝a1＋2a2＋…＋nan.
又因为(2x＋1)n的展开式中各项系数和为243，
令x＝1，可得3n＝243，解得n＝5.
所以a1＋2a2＋…＋nan＝2×5×34＝810.
14．已知Sn是数列{an}的前n项和，若(1－2x)2 023＝b0＋b1x＋b2x2＋…＋b2 023x2 023，数列{an}的首项a1＝＋＋…＋，an＋1＝Sn·Sn＋1，则S2 023等于(　　)
A．－ B.
C．2 023 D．－2 023
答案　A
解析　令x＝，得
2 023＝b0＋＋＋…＋＝0.
令x＝0，得b0＝1，
所以a1＝＋＋…＋＝－1.
由an＋1＝Sn·Sn＋1＝Sn＋1－Sn，
得＝－＝1，
所以－＝－1，
所以数列是首项为＝－1，
公差为－1的等差数列，
所以＝－1＋(n－1)·(－1)＝－n，
所以Sn＝－，所以S2 023＝－.§10.3　二项式定理
考试要求　能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
知识梳理
1．二项式定理
二项式定理 (a＋b)n＝___________________________________(n∈N*)
二项展开式的通项 Tk＋1＝________________，它表示展开式的第________项
二项式系数 ________(k＝0,1，…，n)
2.二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数________．
(2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间的一项________取得最大值；当n是奇数时，中间的两项________与________相等，且同时取得最大值．
(3)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和为C＋C＋C＋…＋C＝________.
常用结论
1．C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
2．C＝C＋C.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)Can－kbk是(a＋b)n的展开式中的第k项．(　　)
(2)(a＋b)n的展开式中每一项的二项式系数与a，b无关．(　　)
(3)通项公式Tk＋1＝Can－kbk中的a和b不能互换．(　　)
(4)二项式的展开式中的系数最大项与二项式系数最大项是相同的．(　　)
教材改编题
1.10的展开式中x2的系数等于(　　)
A．45 B．20
C．－30 D．－90
2．已知C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝243，则C＋C＋C＋…＋C等于(　　)
A．31 B．32 C．15 D．16
3．若n的展开式中二项式系数之和为64，则展开式的常数项为________.
题型一　通项公式的应用
命题点1　形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式的特定项
例1 (1)二项式10的展开式中的常数项是(　　)
A．－45 B．－10 C．45 D．65
(2)在6的展开式中，若常数项为－20，则实数m的值为(　　)
A. B．－ C．－2 D．2
听课记录：______________________________________________________________
________________________________________________________________________
命题点2　形如(a＋b)m(c＋d)n (m，n∈N*)的展开式问题
例2 (1)(1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是(　　)
A．56 B．84 C．112 D．168
(2)若6的展开式中x－2的系数为75，则a等于(　　)
A．－3 B．－2 C．2 D．3
听课记录：______________________________________________________________
________________________________________________________________________
思维升华 (1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项即可．
(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．
跟踪训练1 (1)(2022·新高考全国Ⅰ)(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为________(用数字作答)．
(2)在二项式(＋x)9的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是________．
题型二　二项式系数与项的系数问题
命题点1　二项式系数和与系数和
例3 (1)在n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32∶1，则x2的系数为(　　)
A．50 B．70 C．90 D．120
(2)若(1＋x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a2＋a6＋a8＝________；a1＋2a2＋3a3＋…＋10a10＝________.
听课记录：______________________________________________________________
________________________________________________________________________
命题点2　系数与二项式系数的最值问题
例4 (多选)(2023·唐山模拟)下列关于6的展开式的说法中正确的是(　　)
A．常数项为－160
B．第4项的系数最大
C．第4项的二项式系数最大
D．所有项的系数和为1
听课记录：______________________________________________________________
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思维升华 赋值法的应用
一般地，对于多项式(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令g(x)＝(a＋bx)n，则(a＋bx)n的展开式中各项的系数和为g(1)，(a＋bx)n的展开式中奇数项的系数和为[g(1)＋g(－1)]，(a＋bx)n的展开式中偶数项的系数和为[g(1)－g(－1)]．
跟踪训练2 (1)(多选)对于6的展开式，下列说法正确的是(　　)
A．所有项的二项式系数和为64
B．所有项的系数和为64
C．常数项为1 215
D．系数最大的项为第3项
(2)设10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则(a0＋a2＋a4＋…＋a10)2 －(a1＋a3＋a5＋…＋a9)2的值为________．
题型三　二项式定理的综合应用
例5 (1)设a∈Z，且0≤a≤13，若512 023＋a能被13整除，则a等于(　　)
A．0 B．1 C．11 D．12
(2)利用二项式定理计算1.056，则其结果精确到0.01的近似值是(　　)
A．1.23 B．1.24 C．1.33 D．1.34
听课记录：______________________________________________________________
________________________________________________________________________
思维升华 二项式定理应用的题型及解法
(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式．
(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不是很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.
跟踪训练3 (1)设n为奇数，那么11n＋C·11n－1＋C·11n－2＋…＋C·11－1除以13的余数是(　　)
A．－3 B．2 C．10 D．11
(2)0.996的计算结果精确到0.001的近似值是(　　)
A．0.940 B．0.941 C．0.942 D．0.943

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