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(共79张PPT)
§10.4　随机事件
与概率
第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布
1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概
率的区别.
2.理解事件间的关系与运算.
3.掌握古典概型及其计算公式，能计算古典概型中简单随机事件的概率.
考试要求
内容索引
第一部分
第二部分
第三部分
落实主干知识
探究核心题型
课时精练
落实主干知识
第
一
部
分
1.样本空间和随机事件
(1)样本点和有限样本空间
①样本点：随机试验E的每个可能的 称为样本点，常用ω表示.
全体样本点的集合称为试验E的 ，常用Ω表示.
②有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间.
基本结果
样本空间
(2)随机事件
①定义：将样本空间Ω的 称为随机事件，简称事件.
②表示：一般用大写字母A，B，C，…表示.
③随机事件的极端情形： 、 .
子集
必然事件
不可能事件
含义 符号表示
包含关系 若A发生，则B一定发生 ______
相等关系 B A且A B ______
并事件(和事件) ____________________ A∪B或A＋B
交事件(积事件) A与B同时发生 __________
互斥(互不相容) A与B不能同时发生 A∩B＝
互为对立 A与B有且仅有一个发生 ______________________
2.两个事件的关系和运算
A B
A＝B
A与B至少有一个发生
A∩B或AB
A∩B＝ ，且A∪B＝Ω
3.古典概型的特征
(1)有限性：样本空间的样本点只有 ；
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性 .
4.古典概型的概率公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含
其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝___＝
其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.
有限个
相等
5.概率的性质
性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0；
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P( )＝0；
性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝___________；
性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝________；
P(A)＋P(B)
1－P(B)
性质5：如果A B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为 A Ω，所以0≤P(A)≤1；
性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝__________
__________.
P(A)＋P(B)
－P(A∩B)
6.频率与概率
(1)频率的稳定性
一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐 事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性.
(2)频率稳定性的作用
可以用频率fn(A)估计概率P(A).
稳定于
1.当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥，即两事件互斥是对立的必要不充分条件.
2.若事件A1，A2，…，An两两互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)事件发生的频率与概率是相同的.(　　)
(2)两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生.(　　)
(3)从－3，－2，－1,0,1,2中任取一个数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同.(　　)
(4)若A∪B是必然事件，则A与B是对立事件.(　　)
×
×
√
√
1.一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是
A.至少有一次中靶 B.两次都中靶
C.只有一次中靶 D.两次都不中靶
√
射击两次中“至多有一次中靶”即“有一次中靶或两次都不中靶”，与该事件不能同时发生的是“两次都中靶”.
2.从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm的概率为0.2，该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm的概率为
A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8
√
由题意知该同学的身高小于160 cm的概率、该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率和该同学的身高超过175 cm的概率和为1，故所求概率为1－0.2－0.5＝0.3.
3.(2022·全国乙卷)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为______.
探究核心题型
第
二部
分
命题点1　随机事件间关系的判断
例1　(1)(多选)对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝{两弹都击中飞机}，事件B＝{两弹都没击中飞机}，事件C＝{恰有一弹击中飞机}，事件D＝{至少有一弹击中飞机}，则下列关系正确的是
A.A∩D＝ B.B∩D＝
C.A∪C＝D D.A∪B＝B∪D
√
题型一
随机事件
√
“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中、第二枚没中或第一枚没中、第二枚击中，“至少有一弹击中飞机”包含两种情况，一种是恰有一弹击中，另一种是两弹都击中，故A∩D≠ ，B∩D＝ ，A∪C＝D，A∪B≠B∪D.
(2)从装有十个红球和十个白球的罐子里任取两球，下列情况中是互斥而不对立的两个事件的是
A.至少有一个红球；至少有一个白球
B.恰有一个红球；都是白球
C.至少有一个红球；都是白球
D.至多有一个红球；都是红球
√
对于A，“至少有一个红球”可能为一个红球、一个白球，“至少有一个白球”可能为一个白球、一个红球，故两事件可能同时发生，所以不是互斥事件；
对于B，“恰有一个红球”，则另一个必是白球，与“都是白球”是互斥事件，而任取两球还可能都是红球，故两事件不是对立事件；
对于C，“至少有一个红球”为都是红球或一红一白，与“都是白球”显然是对立事件；
对于D，“至多有一个红球”为都是白球或一红一白，与“都是红球”是对立事件.
命题点2　利用互斥、对立事件求概率
例2　某商场进行有奖销售，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)；
1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖.设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A∪B∪C.
∵事件A，B，C两两互斥，
∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
(2)1张奖券的中奖概率；
设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.
事件关系的运算策略
进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析.当事件是由互斥事件组成时，运用互斥事件的概率加法公式.
思维升华
跟踪训练1　(1)有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，一个方向只能有一个人.事件“甲向南”与事件“乙向南”是
A.互斥但非对立事件 B.对立事件
C.相互独立事件 D.以上都不对
√
由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件.
(2)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.
一次购物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上
顾客数(人) x 30 25 y 10
结算时间 (分钟/人) 1 1.5 2 2.5 3
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
①确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.
②估计一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.
一次购物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上
顾客数(人) x 30 25 y 10
结算时间 (分钟/人) 1 1.5 2 2.5 3
记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2，A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”，则可估计概率约为
因为A＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，
例3　(1)(2023·榆林模拟)在2,3,5,7这四个数中任取三个数，将其组成无重复数字的三位数，则这个数是奇数的概率为
题型二
古典概型
√
由题意，这个数可能为235,237,253,257,273,275,325,327,352,357,372,
375,523,527,532,537,572,573,723,725,732,735,752,753，共24种情况，
(2)在一次比赛中某队共有甲、乙、丙等5位选手参加，赛前用抽签的方法决定出场顺序，则乙、丙都不与甲相邻出场的概率是
√
利用公式法求解古典概型问题的步骤
思维升华
从写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回地随机抽取2张，共有15种取法，它们分别是(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，其中卡片上的数字之积是4的倍数的是(1,4)，(2,4)，(2,6)，(3,4)，(4,5)，(4,6)，共6种取法，所以所求概率是
跟踪训练2　(1)(2022·全国甲卷)从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回地随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为
√
(2)(2022·宜宾质检)2022年冬奥会在北京、延庆、张家口三个区域布置赛场，北京承办所有冰上项目，延庆和张家口承办所有雪上项目.组委会招聘了包括甲在内的4名志愿者，准备分配到上述3个赛场参与赛后维护服务工作，要求每个赛场至少分到一名志愿者，则志愿者甲正好分到北京
赛场的概率为 _____.
例4　北京冬奥会顺利闭幕后，某学校团委组织了一次“奥运会”知识讲座活动，活动结束后随机抽取120名学生对讲座情况进行调查，其中男生与女生的人数之比为1∶1，抽取的学生中男生有40名对讲座活动满意，女生中有30名对讲座活动不满意.
(1)完成右面2×2列联表，并依据小概率
值α＝0.10的独立性检验，能否推断对讲
座活动是否满意与性别有关？
满意 不满意 合计
男生
女生
合计 120
题型三
概率与统计的综合问题
α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
2×2列联表如表所示.
零假设为H0：对讲座活动是
否满意与性别无关.
根据列联表中数据，
满意 不满意 合计
男生 40 20 60
女生 30 30 60
合计 70 50 120
根据小概率值α＝0.10的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为对讲座活动是否满意与性别有关.
(2)从被调查的对讲座活动满意的学生中，利用比例分配的分层随机抽样方法抽取7名学生，再在这7名学生中抽取3名学生谈谈自己听讲座的心得体会，求其中恰好抽中2名男生与1名女生的概率.
由(1)知，在样本中对讲座活动满意的学生有70人，从中抽取7人，其中
记“恰好抽中2名男生与1名女生”为事件A，
求解古典概型的综合问题的步骤
(1)将题目条件中的相关知识转化为事件；
(2)判断事件是否为古典概型；
(3)选用合适的方法确定样本点个数；
(4)代入古典概型的概率公式求解.
思维升华
跟踪训练3　从参加环保知识竞赛的学生中抽出40名，将其成绩(均为整数)整理后画出频率分布直方图如图所示，观察图形，回答下列问题.
(1)成绩在[80,90)这一组的频数、频率分别是多少？
根据题意，成绩在[50,60)这一组的频率为0.015×10＝0.15，在[60,70)这一组的频率为0.025×10＝0.25，在[70,80)这一组的频率为0.035×10＝0.35，在[90,100)这一组的频率为0.005×10＝0.05，
(2)估计这次环保知识竞赛成绩的平均数、众数、中位数；(不要求写过程)
这次竞赛成绩的平均数约为45×0.1＋55×0.15＋65×0.25＋75×0.35＋85×0.1＋95×0.05＝68.5；
成绩在[70,80)这一组的频率最大，人数最多，则众数约为75；
70分左右两侧的频率均为0.5，则中位数约为70.
(3)从成绩是80分以上(包括80分)的学生中选2人，求他们在同一分数段的概率.
记“选出的2人在同一分数段”为事件E，成绩在[80,90)内的有40×0.1＝4(人)，设为a，b，c，d；
成绩在[90,100)内的有40×0.05＝
2(人)，设为A，B.从这6人中选出
2人，有(a，b)，(a，c)，(a，d)，
(a，A)，(a，B)，(b，c)，(b，d)，
(b，A)，(b，B)，(c，d)，(c，A)，(c，B)，(d，A)，(d，B)，(A，B)，共15种选法，其中事件E包括(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)，(A，B)，共7种选法，则P(E)＝
课时精练
第
三部
分
1.同时掷两枚硬币，“向上的面都是正面”为事件A，“向上的面至少有一枚是正面”为事件B，则有
A.A B B.A B
C.A＝B D.A1
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√
基础保分练
事件B包含“有一枚硬币正面向上”与“两枚硬币都是正面向上”，故A B.
2.杭州亚运会的三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”，如图.现将三张分别印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片(卡片的形状、大小和质地完全相同)放入盒子中.若从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的
概率是
√
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记印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片分别为A，B，C，则样本点有(A，A)，(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C)，共9个，
其中一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的
样本点有(A，B)，(B，A)，共2个，
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3.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为
A.134石 B.169石 C.338石 D.1 365石
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4.围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为
从中取出2粒都是白子的概率是 则从中任意取出2粒恰好是同色的概
率是
√
设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B，“从中任意取出2粒恰好是同色”为事件C，则C＝A∪B，且事件A与事件B互斥.
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5.(2022·运城模拟)现有A，B，C，D，E五人随意并排站成一排，那么A，B相邻且B在A左边的概率为
√
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现有A，B，C，D，E五人随意并排站成一排，
6.(多选)下列说法中正确的有
A.若事件A与事件B是互斥事件，则P(AB)＝0
B.若事件A与事件B是对立事件，则P(A＋B)＝1
C.某人打靶时连续射击三次，则事件“至少有两次中靶”与事件“至多
有一次中靶”是对立事件
D.把红、橙、黄3张纸牌随机分给甲、乙、丙3人，每人分得1张，则事件
“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”是互斥事件
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√
√
事件A与事件B互斥，则A，B不可能同时发生，所以P(AB)＝0，故A正确；
事件“至少有两次中靶”与“至多有一次中靶”不可能同时发生，且二者必有一个发生，所以为对立事件，故C正确；
事件“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”可能同时发生，即“丙分得的是红牌”，所以不是互斥事件，故D错误.
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7.通过手机验证码注册某APP时，收到的验证码由四位数字随机组成，如某人收到的验证码(a1，a2，a3，a4)满足a1概率为________.
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∵a1＝2,2∴a2，a3，a4从3,4,5,6,7,8,9中选，
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又四位验证码共有10×10×10×10＝10 000(种)，
8.(2022·全国甲卷)从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平
面的概率为________.
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其中4个点共面有以下两种情况：
(1)所取的4个点为正方体同一个面上
的4个顶点，如图1，有6种取法；
(2)所取的4个点为正方体同一个对角
面上的4个顶点，如图2，也有6种取法.
故4个点在同一个平面共有6＋6＝12(种)情况.
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9.经统计，在某储蓄所一个营业窗口排队的人数相应的概率如下：
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求：(1)至多2人排队等候的概率；
排队人数 0 1 2 3 4 5人及5人以上
概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04
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记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F彼此互斥.
记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A＋B＋C，所以P(G)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
方法一　记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D＋E＋F，所以P(H)＝P(D＋E＋F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.
方法二　记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.
(2)至少3人排队等候的概率.
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排队人数 0 1 2 3 4 5人及5人以上
概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04
10.某县共有90个农村淘宝服务网点，随机抽取6个网点统计得到其元旦期间的网购金额(单位：万元)的茎叶图如图所示，其中茎
为十位数，叶为个位数.
(1)根据茎叶图计算样本数据的平均数；
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(2)若网购金额(单位：万元)不小于18的服务网点定义为优秀服务网点，其余为非优秀服务网点，根据茎叶图估计这90个服务网点中优秀服务网点的个数；
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(3)从随机抽取的6个服务网点中任取2个做网购商品的调查，求恰有1个网点是优秀服务网点的概率.
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样本中优秀服务网点有2个，分别记为a1，a2，非优秀服务网点有4个，分别记为b1，b2，b3，b4，
从随机抽取的6个服务网点中任取2个的可能情况有(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b1，b4)，(b2，b3)，(b2，b4)，(b3，b4)，共15种，
记“恰有1个网点是优秀服务网点”为事件M，则事件M包含的可能情况有(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，
(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，共8种，
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综合提升练
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12.整数集就像一片浩瀚无边的海洋，充满了无尽的奥秘.古希腊数学家毕达哥拉斯发现220和284具有如下性质：220的所有真因数(不包括本身的因数)之和恰好等于284，同时284的所有真因数之和也等于220，他把具有这种性质的两个整数叫做一对“亲和数”，“亲和数”的发现掀起了无数数学爱好者的研究热潮.已知220和284，1 184和1 210,2 924和2 620是3对“亲和数”，把这六个数随机分成两组，一组2个数，另一组4个数，则220和284在同一组的概率为
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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12
13
14
13.《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说.河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳
数，黑点为阴数.若从阳数和阴数中各取一数分别记
为a，b，则满足|a－b|≥2的概率为
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
拓展冲刺练
若从阳数和阴数中各取一数分别记为a，b.则样本点(a，b)共有5×5＝25(个)，满足|a－b|<2的样本点有(1,2)，(3,2)，(3,4)，(5,4)，(5,6)，(7,6)，(7,8)，(9,8)，(9,10)，共9个，记事件B为满足|a－b|<2的事件，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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12
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14.一个盒子装有红、白、蓝、绿四种颜色的玻璃球，每种颜色的玻璃球至少有一个.从中随机拿出4个玻璃球，这4个球都是红色的概率为P1，恰好有三个红色和一个白色的概率为P2，恰好有两个红色、一个白色和一个蓝色的概率为P3，四种颜色各一个的概率为P4.若恰好有P1＝P2＝P3＝P4，则这个盒子里玻璃球的个数的最小值为
A.17 B.19 C.21 D.以上都不正确
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
√
设红、白、蓝、绿四种颜色的玻璃球数量分别为a，b，c，d.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
即a＝4b＋3＝3c＋2＝2d＋1.
经验证，玻璃球的个数的最小值为21，此时a＝11，b＝2，c＝3，d＝5.§10.4　随机事件与概率
考试要求　1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别.2.理解事件间的关系与运算.3.掌握古典概型及其计算公式，能计算古典概型中简单随机事件的概率．
知识梳理
1．样本空间和随机事件
(1)样本点和有限样本空间
①样本点：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，常用ω表示．
全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示．
②有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．
(2)随机事件
①定义：将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件．
②表示：一般用大写字母A，B，C，…表示．
③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件．
2．两个事件的关系和运算
含义 符号表示
包含关系 若A发生，则B一定发生 A B
相等关系 B A且A B A＝B
并事件(和事件) A与B至少有一个发生 A∪B或A＋B
交事件(积事件) A与B同时发生 A∩B或AB
互斥(互不相容) A与B不能同时发生 A∩B＝
互为对立 A与B有且仅有一个发生 A∩B＝ ，且A∪B＝Ω
3．古典概型的特征
(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
4．古典概型的概率公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝.
其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．
5．概率的性质
性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0；
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P( )＝0；
性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；
性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)；
性质5：如果A B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为 A Ω，所以0≤P(A)≤1；
性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
6．频率与概率
(1)频率的稳定性
一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性．
(2)频率稳定性的作用
可以用频率fn(A)估计概率P(A)．
常用结论
1．当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥，即两事件互斥是对立的必要不充分条件．
2．若事件A1，A2，…，An两两互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)事件发生的频率与概率是相同的．(　×　)
(2)两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生．(　√　)
(3)从－3，－2，－1,0,1,2中任取一个数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同．(　√　)
(4)若A∪B是必然事件，则A与B是对立事件．(　×　)
教材改编题
1．一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是(　　)
A．至少有一次中靶
B．两次都中靶
C．只有一次中靶
D．两次都不中靶
答案　B
解析　射击两次中“至多有一次中靶”即“有一次中靶或两次都不中靶”，与该事件不能同时发生的是“两次都中靶”．
2．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm的概率为0.2，该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm的概率为(　　)
A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8
答案　B
解析　由题意知该同学的身高小于160 cm的概率、该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率和该同学的身高超过175 cm的概率和为1，故所求概率为1－0.2－0.5＝0.3.
3．(2022·全国乙卷)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为________．
答案　
解析　从甲、乙等5名同学中随机选3名，有C种情况，其中甲、乙都入选有C种情况，所以甲、乙都入选的概率P＝＝.
题型一　随机事件
命题点1　随机事件间关系的判断
例1　(1)(多选)对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝{两弹都击中飞机}，事件B＝{两弹都没击中飞机}，事件C＝{恰有一弹击中飞机}，事件D＝{至少有一弹击中飞机}，则下列关系正确的是(　　)
A．A∩D＝ B．B∩D＝
C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D
答案　BC
解析　“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中、第二枚没中或第一枚没中、第二枚击中，“至少有一弹击中飞机”包含两种情况，一种是恰有一弹击中，另一种是两弹都击中，故A∩D≠ ，B∩D＝ ，A∪C＝D，A∪B≠B∪D.
(2)从装有十个红球和十个白球的罐子里任取两球，下列情况中是互斥而不对立的两个事件的是(　　)
A．至少有一个红球；至少有一个白球
B．恰有一个红球；都是白球
C．至少有一个红球；都是白球
D．至多有一个红球；都是红球
答案　B
解析　对于A，“至少有一个红球”可能为一个红球、一个白球，“至少有一个白球”可能为一个白球、一个红球，故两事件可能同时发生，所以不是互斥事件；对于B，“恰有一个红球”，则另一个必是白球，与“都是白球”是互斥事件，而任取两球还可能都是红球，故两事件不是对立事件；对于C，“至少有一个红球”为都是红球或一红一白，与“都是白球”显然是对立事件；对于D，“至多有一个红球”为都是白球或一红一白，与“都是红球”是对立事件．
命题点2　利用互斥、对立事件求概率
例2　某商场进行有奖销售，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)；
(2)1张奖券的中奖概率；
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
解　(1)P(A)＝， P(B)＝＝，P(C)＝＝.
(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A∪B∪C.
∵事件A，B，C两两互斥，
∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝＝，
故1张奖券的中奖概率为.
(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，
∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－＝，
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.
思维升华　事件关系的运算策略
进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析．当事件是由互斥事件组成时，运用互斥事件的概率加法公式．
跟踪训练1　(1)有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，一个方向只能有一个人．事件“甲向南”与事件“乙向南”是(　　)
A．互斥但非对立事件
B．对立事件
C．相互独立事件
D．以上都不对
答案　A
解析　由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件．
(2)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．
一次购物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上
顾客数(人) x 30 25 y 10
结算时间 (分钟/人) 1 1.5 2 2.5 3
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
①确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
②估计一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．
解　①由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.则顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为＝1.9(分钟)．
②记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2，A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”，则可估计概率约为
P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝＝，
因为A＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，
所以P(A)＝P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝，
故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率约为.
题型二　古典概型
例3　(1)(2023·榆林模拟)在2,3,5,7这四个数中任取三个数，将其组成无重复数字的三位数，则这个数是奇数的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由题意，这个数可能为235,237,253,257,273,275,325,327,352,357,372,375,523,527,532,
537,572,573,723,725,732,735,752,753，共24种情况，
其中奇数共有18个，故所求概率P＝＝.
(2)在一次比赛中某队共有甲、乙、丙等5位选手参加，赛前用抽签的方法决定出场顺序，则乙、丙都不与甲相邻出场的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　在一次比赛中某队共有甲、乙、丙等5位选手参加，赛前用抽签的方法决定出场顺序，样本点总数n＝A＝120，“乙、丙都不与甲相邻出场”包含的样本点个数m＝AA＋AAA＝36，所以“乙、丙都不与甲相邻出场”的概率P＝＝＝.
思维升华　利用公式法求解古典概型问题的步骤
跟踪训练2　(1)(2022·全国甲卷)从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回地随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　从写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回地随机抽取2张，共有15种取法，它们分别是(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，其中卡片上的数字之积是4的倍数的是(1,4)，(2,4)，(2,6)，(3,4)，(4,5)，(4,6)，共6种取法，所以所求概率是P＝＝.
(2)(2022·宜宾质检)2022年冬奥会在北京、延庆、张家口三个区域布置赛场，北京承办所有冰上项目，延庆和张家口承办所有雪上项目．组委会招聘了包括甲在内的4名志愿者，准备分配到上述3个赛场参与赛后维护服务工作，要求每个赛场至少分到一名志愿者，则志愿者甲正好分到北京赛场的概率为 ________.
答案　
解析　依题意3个赛场分配的志愿者人数只有1,1,2这种情况，则共有n＝CA＝36(种)安排方法，
志愿者甲被分配到北京赛场有m＝A＋CA＝12(种)安排方法，
所以志愿者甲正好分到北京赛场的概率P＝＝.
题型三　概率与统计的综合问题
例4　北京冬奥会顺利闭幕后，某学校团委组织了一次“奥运会”知识讲座活动，活动结束后随机抽取120名学生对讲座情况进行调查，其中男生与女生的人数之比为1∶1，抽取的学生中男生有40名对讲座活动满意，女生中有30名对讲座活动不满意．
(1)完成下面2×2列联表，并依据小概率值α＝0.10的独立性检验，能否推断对讲座活动是否满意与性别有关？
满意 不满意 合计
男生
女生
合计 120
(2)从被调查的对讲座活动满意的学生中，利用比例分配的分层随机抽样方法抽取7名学生，再在这7名学生中抽取3名学生谈谈自己听讲座的心得体会，求其中恰好抽中2名男生与1名女生的概率．
参考数据：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
解　(1)2×2列联表如表所示.
满意 不满意 合计
男生 40 20 60
女生 30 30 60
合计 70 50 120
零假设为H0：对讲座活动是否满意与性别无关．
根据列联表中数据，
经计算得χ2＝＝≈3.429>2.706＝x0.10，
根据小概率值α＝0.10的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为对讲座活动是否满意与性别有关．
(2)由(1)知，在样本中对讲座活动满意的学生有70人，从中抽取7人，其中
“男生满意”的有40×＝4(人)，
“女生满意”的有30×＝3(人)，
记“恰好抽中2名男生与1名女生”为事件A，
则P(A)＝＝，
所以恰好抽中2名男生与1名女生的概率为.
思维升华　求解古典概型的综合问题的步骤
(1)将题目条件中的相关知识转化为事件；
(2)判断事件是否为古典概型；
(3)选用合适的方法确定样本点个数；
(4)代入古典概型的概率公式求解．
跟踪训练3　从参加环保知识竞赛的学生中抽出40名，将其成绩(均为整数)整理后画出频率分布直方图如图所示，观察图形，回答下列问题．
(1)成绩在[80,90)这一组的频数、频率分别是多少？
(2)估计这次环保知识竞赛成绩的平均数、众数、中位数；(不要求写过程)
(3)从成绩是80分以上(包括80分)的学生中选2人，求他们在同一分数段的概率．
解　(1)根据题意，成绩在[50,60)这一组的频率为0.015×10＝0.15，在[60,70)这一组的频率为0.025×10＝0.25，在[70,80)这一组的频率为0.035×10＝0.35，在[90,100)这一组的频率为0.005×10＝0.05，则成绩在[80,90)这一组的频率为×[1－(0.15＋0.25＋0.35＋0.05)]＝0.1，其频数为40×0.1＝4.
(2)这次竞赛成绩的平均数约为45×0.1＋55×0.15＋65×0.25＋75×0.35＋85×0.1＋95×0.05＝68.5；
成绩在[70,80)这一组的频率最大，人数最多，则众数约为75；
70分左右两侧的频率均为0.5，则中位数约为70.
(3)记“选出的2人在同一分数段”为事件E，成绩在[80,90)内的有40×0.1＝4(人)，设为a，b，c，d；成绩在[90,100)内的有40×0.05＝2(人)，设为A，B.从这6人中选出2人，有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，A)，(a，B)，(b，c)，(b，d)，(b，A)，(b，B)，(c，d)，(c，A)，(c，B)，(d，A)，(d，B)，(A，B)，共15种选法，其中事件E包括(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)，(A，B)，共7种选法，则P(E)＝.
课时精练
1．同时掷两枚硬币，“向上的面都是正面”为事件A，“向上的面至少有一枚是正面”为事件B，则有(　　)
A．A B B．A B
C．A＝B D．A答案　A
解析　事件B包含“有一枚硬币正面向上”与“两枚硬币都是正面向上”，故A B.
2．杭州亚运会的三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”，如图．现将三张分别印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片(卡片的形状、大小和质地完全相同)放入盒子中．若从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　记印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片分别为A，B，C，则样本点有(A，A)，(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C)，共9个，
其中一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的样本点有(A，B)，(B，A)，共2个，
所以所求的概率P＝.
3．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为(　　)
A．134石 B．169石
C．338石 D．1 365石
答案　B
解析　这批米内夹谷约为×1 534≈169(石)．
4．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，从中取出2粒都是白子的概率是，则从中任意取出2粒恰好是同色的概率是(　　)
A. B. C. D．1
答案　C
解析　设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B，“从中任意取出2粒恰好是同色”为事件C，则C＝A∪B，且事件A与事件B互斥．所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.即从中任意取出2粒恰好是同色的概率为.
5．(2022·运城模拟)现有A，B，C，D，E五人随意并排站成一排，那么A，B相邻且B在A左边的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　现有A，B，C，D，E五人随意并排站成一排，
样本点总数n＝A＝120，
A，B相邻且B在A左边包含的样本点个数m＝A＝24，
∴A，B相邻且B在A左边的概率P＝＝＝.
6．(多选)下列说法中正确的有(　　)
A．若事件A与事件B是互斥事件，则P(AB)＝0
B．若事件A与事件B是对立事件，则P(A＋B)＝1
C．某人打靶时连续射击三次，则事件“至少有两次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件
D．把红、橙、黄3张纸牌随机分给甲、乙、丙3人，每人分得1张，则事件“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”是互斥事件
答案　ABC
解析　事件A与事件B互斥，则A，B不可能同时发生，所以P(AB)＝0，故A正确；
事件A与事件B是对立事件，则事件B即为事件，所以P(A＋B)＝1，故B正确；
事件“至少有两次中靶”与“至多有一次中靶”不可能同时发生，且二者必有一个发生，所以为对立事件，故C正确；
事件“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”可能同时发生，即“丙分得的是红牌”，所以不是互斥事件，故D错误．
7．通过手机验证码注册某APP时，收到的验证码由四位数字随机组成，如某人收到的验证码(a1，a2，a3，a4)满足a1答案　
解析　∵a1＝2,2∴a2，a3，a4从3,4,5,6,7,8,9中选，
选出3个数，让其按照从小到大的顺序有C＝35(种)排法，
又四位验证码共有10×10×10×10＝10 000(种)，
∴它是首位为2的递增型验证码的概率为＝.
8．(2022·全国甲卷)从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．
答案　
解析　从正方体的8个顶点中任选4个，取法有C＝70(种)．
其中4个点共面有以下两种情况：
(1)所取的4个点为正方体同一个面上的4个顶点，如图1，有6种取法；
(2)所取的4个点为正方体同一个对角面上的4个顶点，如图2，也有6种取法．
故4个点在同一个平面共有6＋6＝12(种)情况．
所以所取的4个点在同一个平面的概率P＝＝.
9．经统计，在某储蓄所一个营业窗口排队的人数相应的概率如下：
排队人数 0 1 2 3 4 5人及5人以上
概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04
求：(1)至多2人排队等候的概率；
(2)至少3人排队等候的概率．
解　记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F彼此互斥．
(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A＋B＋C，所以P(G)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
(2)方法一　记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D＋E＋F，所以P(H)＝P(D＋E＋F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.
方法二　记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.
10.某县共有90个农村淘宝服务网点，随机抽取6个网点统计得到其元旦期间的网购金额(单位：万元)的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．
(1)根据茎叶图计算样本数据的平均数；
(2)若网购金额(单位：万元)不小于18的服务网点定义为优秀服务网点，其余为非优秀服务网点，根据茎叶图估计这90个服务网点中优秀服务网点的个数；
(3)从随机抽取的6个服务网点中任取2个做网购商品的调查，求恰有1个网点是优秀服务网点的概率．
解　(1)由题意知，样本数据的平均数＝＝12.
(2)样本中优秀服务网点有2个，频率为＝，由此估计这90个服务网点中优秀服务网点约有90×＝30(个)．
(3)样本中优秀服务网点有2个，分别记为a1，a2，非优秀服务网点有4个，分别记为b1，b2，b3，b4，
从随机抽取的6个服务网点中任取2个的可能情况有(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b1，b4)，(b2，b3)，(b2，b4)，(b3，b4)，共15种，
记“恰有1个网点是优秀服务网点”为事件M，则事件M包含的可能情况有(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，共8种，
故所求概率P(M)＝.
11．如果事件A，B互斥，记，分别为事件A，B的对立事件，那么(　　)
A．A∪B是必然事件
B.∪是必然事件
C.与一定互斥
D.与一定不互斥
答案　B
解析　如图①所示，A∪B不是必然事件，∪是必然事件，与不互斥；如图②所示，A∪B是必然事件，∪是必然事件，与互斥．
12．整数集就像一片浩瀚无边的海洋，充满了无尽的奥秘．古希腊数学家毕达哥拉斯发现220和284具有如下性质：220的所有真因数(不包括本身的因数)之和恰好等于284，同时284的所有真因数之和也等于220，他把具有这种性质的两个整数叫做一对“亲和数”，“亲和数”的发现掀起了无数数学爱好者的研究热潮．已知220和284，1 184和1 210,2 924和2 620是3对“亲和数”，把这六个数随机分成两组，一组2个数，另一组4个数，则220和284在同一组的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由题意可得一共有C种分组方法，若要满足220和284在同一组，则分两种情况讨论：①220和284在2个数这一组中，有C种分组方法，②220和284在4个数这一组中，有C种分组方法．故所求概率P＝＝.
13．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说．河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中．如图，白圈为阳数，黑点为阴数．若从阳数和阴数中各取一数分别记为a，b，则满足|a－b|≥2的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　若从阳数和阴数中各取一数分别记为a，b.则样本点(a，b)共有5×5＝25(个)，满足
|a－b|<2的样本点有(1,2)，(3,2)，(3,4)，(5,4)，(5,6)，(7,6)，(7,8)，(9,8)，(9,10)，共9个，记事件B为满足|a－b|<2的事件，则P(B)＝，所以满足|a－b|≥2的事件的概率为P()＝
1－P(B)＝1－＝.
14．一个盒子装有红、白、蓝、绿四种颜色的玻璃球，每种颜色的玻璃球至少有一个．从中随机拿出4个玻璃球，这4个球都是红色的概率为P1，恰好有三个红色和一个白色的概率为P2，恰好有两个红色、一个白色和一个蓝色的概率为P3，四种颜色各一个的概率为P4.若恰好有P1＝P2＝P3＝P4，则这个盒子里玻璃球的个数的最小值为(　　)
A．17 B．19
C．21 D．以上都不正确
答案　C
解析　设红、白、蓝、绿四种颜色的玻璃球数量分别为a，b，c，d.
由题意得C＝CC＝CCC＝CCCC，
则有＝·b＝·bc＝abcd，
即a＝4b＋3＝3c＋2＝2d＋1.
经验证，玻璃球的个数的最小值为21，此时a＝11，b＝2，c＝3，d＝5.§10.4　随机事件与概率
考试要求　1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别.2.理解事件间的关系与运算.3.掌握古典概型及其计算公式，能计算古典概型中简单随机事件的概率．
知识梳理
1．样本空间和随机事件
(1)样本点和有限样本空间
①样本点：随机试验E的每个可能的________________称为样本点，常用ω表示．
全体样本点的集合称为试验E的________________，常用Ω表示．
②有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．
(2)随机事件
①定义：将样本空间Ω的________称为随机事件，简称事件．
②表示：一般用大写字母A，B，C，…表示．
③随机事件的极端情形：________________、________________.
2．两个事件的关系和运算
含义 符号表示
包含关系 若A发生，则B一定发生
相等关系 B A且A B
并事件(和事件) A∪B或A＋B
交事件(积事件) A与B同时发生
互斥(互不相容) A与B不能同时发生 A∩B＝
互为对立 A与B有且仅有一个发生
3．古典概型的特征
(1)有限性：样本空间的样本点只有________；
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性________．
4．古典概型的概率公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝________＝.
其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．
5．概率的性质
性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0；
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P( )＝0；
性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝________；
性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝________；
性质5：如果A B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为 A Ω，所以0≤P(A)≤1；
性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝________________.
6．频率与概率
(1)频率的稳定性
一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐____________事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性．
(2)频率稳定性的作用
可以用频率fn(A)估计概率P(A)．
常用结论
1．当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥，即两事件互斥是对立的必要不充分条件．
2．若事件A1，A2，…，An两两互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)事件发生的频率与概率是相同的．(　　)
(2)两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生．(　　)
(3)从－3，－2，－1,0,1,2中任取一个数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同．(　　)
(4)若A∪B是必然事件，则A与B是对立事件．(　　)
教材改编题
1．一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是(　　)
A．至少有一次中靶
B．两次都中靶
C．只有一次中靶
D．两次都不中靶
2．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm的概率为0.2，该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm的概率为(　　)
A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8
3．(2022·全国乙卷)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为________．
题型一　随机事件
命题点1　随机事件间关系的判断
例1 (1)(多选)对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝{两弹都击中飞机}，事件B＝{两弹都没击中飞机}，事件C＝{恰有一弹击中飞机}，事件D＝{至少有一弹击中飞机}，则下列关系正确的是(　　)
A．A∩D＝ B．B∩D＝
C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D
(2)从装有十个红球和十个白球的罐子里任取两球，下列情况中是互斥而不对立的两个事件的是(　　)
A．至少有一个红球；至少有一个白球
B．恰有一个红球；都是白球
C．至少有一个红球；都是白球
D．至多有一个红球；都是红球
听课记录：______________________________________________________________
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命题点2　利用互斥、对立事件求概率
例2 某商场进行有奖销售，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)；
(2)1张奖券的中奖概率；
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(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
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思维升华 事件关系的运算策略
进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析．当事件是由互斥事件组成时，运用互斥事件的概率加法公式．
跟踪训练1 (1)有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，一个方向只能有一个人．事件“甲向南”与事件“乙向南”是(　　)
A．互斥但非对立事件
B．对立事件
C．相互独立事件
D．以上都不对
(2)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．
一次购物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上
顾客数(人) x 30 25 y 10
结算时间 (分钟/人) 1 1.5 2 2.5 3
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
①确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
②估计一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．
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题型二　古典概型
例3 (1)(2023·榆林模拟)在2,3,5,7这四个数中任取三个数，将其组成无重复数字的三位数，则这个数是奇数的概率为(　　)
A. B. C. D.
(2)在一次比赛中某队共有甲、乙、丙等5位选手参加，赛前用抽签的方法决定出场顺序，则乙、丙都不与甲相邻出场的概率是(　　)
A. B. C. D.
听课记录：______________________________________________________________
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思维升华 利用公式法求解古典概型问题的步骤
跟踪训练2 (1)(2022·全国甲卷)从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回地随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为(　　)
A. B. C. D.
(2)(2022·宜宾质检)2022年冬奥会在北京、延庆、张家口三个区域布置赛场，北京承办所有冰上项目，延庆和张家口承办所有雪上项目．组委会招聘了包括甲在内的4名志愿者，准备分配到上述3个赛场参与赛后维护服务工作，要求每个赛场至少分到一名志愿者，则志愿者甲正好分到北京赛场的概率为 ________.
题型三　概率与统计的综合问题
例4 北京冬奥会顺利闭幕后，某学校团委组织了一次“奥运会”知识讲座活动，活动结束后随机抽取120名学生对讲座情况进行调查，其中男生与女生的人数之比为1∶1，抽取的学生中男生有40名对讲座活动满意，女生中有30名对讲座活动不满意．
(1)完成下面2×2列联表，并依据小概率值α＝0.10的独立性检验，能否推断对讲座活动是否满意与性别有关？
满意 不满意 合计
男生
女生
合计 120
(2)从被调查的对讲座活动满意的学生中，利用比例分配的分层随机抽样方法抽取7名学生，再在这7名学生中抽取3名学生谈谈自己听讲座的心得体会，求其中恰好抽中2名男生与1名女生的概率．
参考数据：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
________________________________________________________________________
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思维升华 求解古典概型的综合问题的步骤
(1)将题目条件中的相关知识转化为事件；
(2)判断事件是否为古典概型；
(3)选用合适的方法确定样本点个数；
(4)代入古典概型的概率公式求解．
跟踪训练3 从参加环保知识竞赛的学生中抽出40名，将其成绩(均为整数)整理后画出频率分布直方图如图所示，观察图形，回答下列问题．
(1)成绩在[80,90)这一组的频数、频率分别是多少？
(2)估计这次环保知识竞赛成绩的平均数、众数、中位数；(不要求写过程)
(3)从成绩是80分以上(包括80分)的学生中选2人，求他们在同一分数段的概率．
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