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第八章 二元一次方程组
8.4 三元一次方程组的解法
一、温故知新（导）
1、解方程组：
（1）这是几元几次方程组？
二元一次方程组
（2）求解的思想是什么？
消元
（3）用什么方法消元可以解这个方程？
加减法或代入法
也就是说：解二元一次方程组，用“ 消元 ” 的思想，通过加减法或代入法，把“ 二元 ”转化为“ 一元 ”，从而得解.
2、思考：该怎么解？
这是今天我们要学的内容，下面我们来看看今天的学习目标和重难点。
学习目标
1、了解三元一次方程组的概念.能解简单的三元一次方程组，进一步体会“消元”思想；
2、会利用三元一次方程组解决实际问题，进一步提高分析问题、解决问题的能力.
学习重难点
重点：掌握三元一次方程组的解法；
难点：三元一次方程组如何化归到二元一次方程组.
二、自我挑战（思）
1、小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍.求1元、2元、5元纸币各多少张？
问题1：题中有哪些未知量？你能找出哪些等量关系？
三个未知量：
1元纸币的数量x张
2元纸币的数量y张
5元纸币的数量z张
等量关系，用方程表示等量关系.
（1）1元纸币的数量+2元纸币的数量+5元纸币的数量=12
x+y+z=12①
(2)三种纸币的总钱数=22
x+2y+5z=22②
(3)1元纸币的数量=4倍的2元纸币的数量
x=4y③
问题2：观察列出的三个方程，你有什么发现？
①和②是三元一次方程，③是二元一次方程.
2、因为三种纸币的数量必须同时满足上述三个方程，故将三个方程联立在一起.
在这个方程组中，含有三个未知数，每个方程中所含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做 三元一次方程 组.
三、互动质疑（议、展）
1、组成三元一次方程组的三个一次方程中，每一个一次方程都含有三个未知数吗？
组成三元一次方程组的三个一次方程中，不一定要求每一个一次方程都含有三个未知数．
2、什么叫三元一次方程组的解？
类似二元一次方程组的解，三元一次方程组中 各个方程 的公共解，叫做这个三元一次方程组的解.
3、能不能像以前一样“消元”，把“三元”化成“二元”呢？ 从而解这个三元一次方程组呢？
能，把分别代入，得到两个只含y、z的方程：
4y+y+z=12，
4y+2y+5z=22.
它们组成方程组
得到二元一次方程组之后，就不难求出y和z，进而求出x.
4、归纳总结：
从上面的分析可以看出.解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行 消元 ，把 “三元” 转化为 “二元” ，使解三元一次方程组转化为解 二元一次方程组 ，进而再转化为解 一元一次方程 .
思路：
5、实例：
例1 解三元一次方程组
解：，得
11x+10z=35 ④
①与④组成方程组
解这个方程组，得
把x=5，y=-2代入②，得
+3y-2=9，
所以.
因此，这个三元一次方程组的解为
例2 在等式y=ax2＋bx＋c中，当x=-1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60.求a，b，c的值．
解：根据题意，得三元一次方程组
②-①，得
④
③-①，得
⑤
④与⑤组成方程组，得
解这个方程组，得
把代入①，得
c=-5
因此
四、清点战果（评）
今天你是否完成了学习目标？你的困惑解决了没？
五、一战成名（检）
1、方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
1、解：，
②×3+③，得9x+10z=25④，
由①和④组成一个二元一次方程组：，
解得：，
把代入②，得10+y-2=9，
解得：y=1，
所以方程组的解是，
故选：B．
2、解三元一次方程组要使解法较为简便，首先应进行的变形为（　　）
A．①+② B．①-② C．①+③ D．②-③
2、解：解三元一次方程组要使解法较为简便，首先应进行的变形为①+②．
故选：A．
3、解方程组，把上面的三元一次方程组消元转化成下面的二元一次方程组，需要经历如下的步骤，请你选出正确的步骤（　　）
A． B． C． D．
3、解：A．①+②得5x+y=7，①×2+③得8x-y=6，故A正确；
B．①+②得5x+y=7，②×2-③得：2x+3y=8，故B错误；
C．①+②得5x+y=7，①×2-③得-11y+8z=2，故C错误；
D．①×2-③得-11y+8z=2，①×2+③得8x-y=6，故D错误；
故选：A．
4、三元一次方程组的解是 .
4、解：，
①+②+③得：2x+2y+2z=2，
整理得：x+y+z=1④，
把①代入④得：5+z=1，
解得：z=-4，
把②代入④得：x-1=1，
解得：x=2，
把③代入④得：y-2=1，
解得：y=3，
则方程组的解为．
5、已知，则= .
5、解：方程组整理得：，
②×4-①得：11y=22z,
解得：y=2z,
把y=2z代入②得：x+4z=7z,
解得：x=3z,
则==．故答案为：．
6、已知y=ax2+bx+c.当x=3时，y=0；当x=-1时，y=0；当x=0，y=3；求a、b、c的值．
6、解：由题意得：
将c=3代入①，③中得：，
由④×3+⑤得：12a+12=0，
解得：a=-1，
将a=-1代入④中得：-1-b+3=0，
解得：b=2，
即a=-1，b=2，c=3．
六、用
（一）必做题
1、观察方程组的系数特征，若要使求解简便，消元的方法应选取（　　）
A．先消去x B．先消去y
C．先消去z D．以上说法都不对
1、解：方程①+②×2可直接消去未知数y,
即可得到一个关于x、z的二元一次方程组，
∴要使运算简便，消元的方法应选取先消去y,
故选：B．
2、方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
2、解：，
②+③得：x+y=-1④，
把④代入①得-1-z=8，
解得：z=-9，
把z=-9代入②得：y=10，
把z=-9代入③得：x=-11，
则方程组的解为．故选：D．
3、已知x+y=1，y+z=5，x+z=6，则xyz等于（　　）
A．0 B．7 C．8 D．9
3、解：由题意得：，
①+②+③，得2x+2y+2z=12，
x+y+z=6④，
④-①，得z=5，
④-②，得x=1，
④-③，得y=0，
所以xyz=1×0×5=0，
故选：A．
4、如果，则x+y+z的值为 ．
4、解：把三个方程相加可得：
3x+3y+3z=12，
所以x+y+z=4，
故答案为：4．
5、若对于有理数x和y,定义一种运算“△”，x△y=ax+by+c,其中a、b、c为常数．已知3△5=15，7△3=-5，求5△4的值 ．
5、解：∵3△5=15，7△3=-5，
∴，
①+②，可得：10a+8b+2c=10，
∴5a+4b+c=5，
∴5△4=5a+4b+c=5，
故答案为：5．
6、一个三位数，十位上的数字是个位上的数字的，百位上的数字与十位上的数字之和比个位上的数字大1.将百位与个位上的数字对调后得到的新三位数比原三位数大495，求原三位数．
6、解：设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为x、y、z.
由题意，得
解得
所以原三位数是368.
（二）选做题
7、水果市场将120吨水果运往各地商家，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）
车型 甲 乙 丙
汽车运载量（吨/辆） 5 8 10
汽车运费（元/辆） 400 500 600
（1）若全部水果都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
（2）为了节约运费，市场可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送（每种车型至少1辆），已知它们的总辆数为16辆，你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗？
7、解：（1）设需甲车型x辆，乙车型y辆，得：，
解得．
答：需甲车型8辆，乙车型10辆；
（2）设需甲车型x辆，乙车型y辆，丙车型z辆，得：，
消去z得5x+2y=40，x=8-y,
因x,y是正整数，且不大于14，得y=5，10，
由z是正整数，解得，，
当x=6，y=5，z=5时，总运费为：6×400+5×500+5×600=7900元；
当x=4，y=10，z=2时，总运费为：4×400+10×500+2×600=7800元＜7900元；
∴运送方案：甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆．
8、甲、乙两人在某环形道路上跑步，假设他们在跑步过程中各自保持一定的速度不变．如果他们同时从同一地点反向而行，那么就会形成每隔10分钟相遇一次的规律；如果他们同时从同一地点同向而行，那么5分钟后甲在乙的前方200米，并且他们的相遇规律变成了每隔100分钟相遇一次．求甲的速度和环形道路的长度．
8、解：设甲的速度为x米/分，乙的速度为y米/分，环形道路的长度为s米，
依题意得：，
解得：．
答：甲的速度为220米/分，环形道路的长度为4000米．
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第八章 二元一次方程组
8.4 三元一次方程组的解法
一、温故知新（导）
1、解方程组：
（1）这是几元几次方程组？
（2）求解的思想是什么？
（3）用什么方法消元可以解这个方程？
也就是说：解二元一次方程组，用“ ” 的思想，通过加减法或代入法，把“ ”转化为“ ”，从而得解.
2、思考：该怎么解？
这是今天我们要学的内容，下面我们来看看今天的学习目标和重难点。
学习目标
1、了解三元一次方程组的概念.能解简单的三元一次方程组，进一步体会“消元”思想；
2、会利用三元一次方程组解决实际问题，进一步提高分析问题、解决问题的能力.
学习重难点
重点：掌握三元一次方程组的解法；
难点：三元一次方程组如何化归到二元一次方程组.
二、自我挑战（思）
1、小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍.求1元、2元、5元纸币各多少张？
问题1：题中有哪些未知量？你能找出哪些等量关系？
三个未知量：
等量关系，用方程表示等量关系.
（1）1元纸币的数量+2元纸币的数量+5元纸币的数量=12
(2)三种纸币的总钱数=22
(3)1元纸币的数量=4倍的2元纸币的数量
问题2：观察列出的三个方程，你有什么发现？
2、因为三种纸币的数量必须同时满足上述三个方程，故将三个方程联立在一起.
在这个方程组中，含有三个未知数，每个方程中所含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做 组.
三、互动质疑（议、展）
1、组成三元一次方程组的三个一次方程中，每一个一次方程都含有三个未知数吗？
组成三元一次方程组的三个一次方程中，不一定要求每一个一次方程都含有三个未知数．
2、什么叫三元一次方程组的解？
类似二元一次方程组的解，三元一次方程组中 的公共解，叫做这个三元一次方程组的解.
3、能不能像以前一样“消元”，把“三元”化成“二元”呢？ 从而解这个三元一次方程组呢？
4、归纳总结：
从上面的分析可以看出.解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行 ，把 转化为 ，使解三元一次方程组转化为解 ，进而再转化为解 .
思路：
5、实例：
例1 解三元一次方程组
例2 在等式y=ax2＋bx＋c中，当x=-1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60.求a，b，c的值．
四、清点战果（评）
今天你是否完成了学习目标？你的困惑解决了没？
五、一战成名（检）
1、方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
2、解三元一次方程组要使解法较为简便，首先应进行的变形为（　　）
A．①+② B．①-② C．①+③ D．②-③
3、解方程组，把上面的三元一次方程组消元转化成下面的二元一次方程组，需要经历如下的步骤，请你选出正确的步骤（　　）
A． B． C． D．
4、三元一次方程组的解是 .
5、已知，则= .
6、已知y=ax2+bx+c.当x=3时，y=0；当x=-1时，y=0；当x=0，y=3；求a、b、c的值．
六、用
（一）必做题
1、观察方程组的系数特征，若要使求解简便，消元的方法应选取（　　）
A．先消去x B．先消去y
C．先消去z D．以上说法都不对
2、方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
3、已知x+y=1，y+z=5，x+z=6，则xyz等于（　　）
A．0 B．7 C．8 D．9
4、如果，则x+y+z的值为 ．
5、若对于有理数x和y,定义一种运算“△”，x△y=ax+by+c,其中a、b、c为常数．已知3△5=15，7△3=-5，求5△4的值 ．
6、一个三位数，十位上的数字是个位上的数字的，百位上的数字与十位上的数字之和比个位上的数字大1.将百位与个位上的数字对调后得到的新三位数比原三位数大495，求原三位数．
（二）选做题
7、水果市场将120吨水果运往各地商家，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）
车型 甲 乙 丙
汽车运载量（吨/辆） 5 8 10
汽车运费（元/辆） 400 500 600
（1）若全部水果都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
（2）为了节约运费，市场可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送（每种车型至少1辆），已知它们的总辆数为16辆，你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗？
8、甲、乙两人在某环形道路上跑步，假设他们在跑步过程中各自保持一定的速度不变．如果他们同时从同一地点反向而行，那么就会形成每隔10分钟相遇一次的规律；如果他们同时从同一地点同向而行，那么5分钟后甲在乙的前方200米，并且他们的相遇规律变成了每隔100分钟相遇一次．求甲的速度和环形道路的长度．
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