资源简介

宁夏银川市、昆明市两校2023届高三下学期5月联合二模考试
理科数学
一、单选题
1．下列集合关系中错误的是（ ）
A． B． C． D．
2．规定运算，若复数满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．数列满足，，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．2022年第三十二届足球世界杯在卡塔尔举行，第一届世界杯是1930年举办的，而早在战国中期，中国就有过类似的体育运动项目：蹴鞠，又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似于今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准已列入第一批国家非物质文化遗产名录．已知半径为3的某鞠（球）的表面上有四个点，，，，，，，则该鞠（球）被平面所截的截面圆面积为（ ）
A． B． C． D．
5．已知向量，在正方形网格中的位置如图所示，那么向量与的夹角为（ ）
A．45° B．60° C．90° D．135°
6．在平面直角坐标系中，为第四象限角，角的终边与单位圆交于点，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．我国象棋源远流长，历史悠久．银川市街以某个残局的一部分如图所示，若不考虑这部分以外棋子的影响，且“马”和“炮”不动，“兵”只能往前走或左右走，每次只能走一格，从“兵”吃掉“马”的最短路线中随机选择一条路线，则能顺带吃掉“炮”的可能路线有（ ）
A．10条 B．8条 C．6条 D．4条
8．已知数列满足，数列的前项和为，若对任意恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．天鹅被人类称为美善天使，它不仅象征着忠诚、长久的爱情，同时它的生命力很顽强，因此也是坚强的代表．除此之外，天鹅还是高空飞翔冠车，飞行高度可达9千米，能飞越世界最高山峰“珠穆朗玛峰”．如图是两只天鹅面对面比心的图片，其中间部分可抽象为如图所示的轴对称的心型曲线．下列选项中，两个函数的图象拼接在一起后可大致表达出这条曲线的是（ ）
A．及 B．及
C．及 D．及
10．已知抛物线上一点到准线的距离为5，是双曲线的左焦点，是双曲线右支的一动点，则的最小值为（ ）
A．12 B．11 C．10 D．9
11．已知函数，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
12．已知线段垂直于定圆所在的平面，，是圆上的两点，是点在上的射影，当运动，点运动的轨迹（ ）
A．是圆 B．是椭圆 C．是抛物线 D．不是平面图形
二、填空题
13．从，，1，2，3这5个数中任取2个不同的数，记“两数之积为正数”事件，“两数均为负数”为事件．则__________．
14．__________．
15．有如下四个命题：
①甲乙两组数据分别甲：1，2，3，4，5，6，7，8，9；乙：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10．则甲乙的中位数分别为5和5.5．
②相关系数，表明两个变量的相关性较弱．
③若由一个列联表中的数据计算得的观测值约为4.567，则认为两个变量有关，此推断犯错误的概率不超过0.05．
附
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
④用最小二乘法求出一组数据的回归直线方程后要进行残差分析，相应数据的残差是指．
以上命题错误的序号是__________．
16．设，且，则__________．
三、解答题
17．如图所示，四棱锥的底面是矩形，底面，，，，．
（1）证明：直线平行于平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
18．已知的内角，，的对边分别为，，．
（1）写出余弦定理（只写出一个公式即可），并加以证明；
（2）若锐角的面积为，且，，求的周长．
19．为保护未成年人身心健康，保障未成年人合法权益，培养有理想、有道德、有文化、有纪律们社会主义建设者，《未成年人保护法》针对监护缺失、校园欺凌、烟酒损害、网络沉迷等问题，进一步压实监护人、学恔、住宿经营者及网络服务提供者等主体责任，加大对未成年人的保护力度．某中学为宣传《未成年人保护法》，特举行一次未成年人保护法知识竞赛，比赛规则是：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答两题，若答对题数不少于3，则被称为“优秀小组”，已知甲、乙两位同学组成一组，且同学甲和同学乙答对每道题的概率分为，．
（1）若，，则在第一轮竞赛中，求他们获“优秀小组”的概率；
（2）当，且每轮比赛互不影恦时，如果甲、乙同学在此次竞赛活动中要想获得“优秀小组”的次数为9，那么理论上至少要进行多少轮竞赛？
20．在直角坐标系上，椭圆的右焦点为，的上、下顶点与连成的三角形的面积为．
（1）求的方程；
（2）已知过点的直线与相交于，两点，问上是否存在点，使得？若存在，求出的方程．若不存在，请说明理由．
21．已知函数，．
（1）若直线是曲线的一条切线，求的值；
（2）若对于任意的，都存在，使成立，求的取值范围．
选做题：
22．在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线的极坐标方程为．
（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）在直角坐标系中，若把曲线图象向下平移2个单位，然后横坐标不变，纵坐标压缩到原来的，得到曲线，直线与曲线交于点、，与轴交于点，求的值．
23．已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若不等式的解集非空，求的取值范围．
参考答案
1-5ADCDC 6-10CCCAD 11-12AA
4．【详解】因为三棱锥的外接球的半径为3，而，
所以为外接球的直径，如图，将二棱锥放入如图所示的长方体，则，
设长方体的另一棱长为，所以，解得：，即，
设外接球的球心为，所以，，
取的外接圆的半径为，则，
则，所以，则，
所以该鞠（球）被平面所截的截面圆面积：．
10．【详解】抛物线的准线为，则点到准线的距离为，所以，
则，故，设是双曲线的右焦点，，
则，则，故，
当且仅当，，三点共线时取等号，所以的最小值以9．
11．【详解】函数的定义域为，定义域关寸原点对称，
，
所以函数为奇函数，因为，
当且仅当，即时，等号成立，所以函数在上单调递增，
所以可化为，即，
所以，即，解得，
所以不等式的解集为．
12．【详解】设定圆圆心为，半径为，连接，设直径为，连接，，
平面，平面，；
为直径，，又，，平面，
平面，又平面，，
又，，，平面，
平面，平面，，
在中，，则点的轨迹是以为圆心，为半径的圆．
13． 14．0 15．② 16．2
16．【详解】解：因为，，所以，
又，，则，
所以，即，由，
根据，，则，
所以，即，所以，
所以，所以，
因为，且，所以．
三、解答题
17．【详解】（1）由题意知，，，两两互相垂直，以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，．底面，底面，．
又，，且，平面，
平面，所以是平面的一个法向量．
因为，所以．又平面，所以平面．
（2）因为，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则由，解得，
令，得平面的一个法向量为．
设直线与平面所成的角的，
则．
故：直线与平面所成角的正弦值为．
18．【详解】（1）余弦定理：．
证明如下：设，，，则，则，
即，则，
即．
（2）得，即，因为，所以，
因为的面积为，所以，则，
又为锐角三角形，所以．所以，故的周长为10．
19．【详解】（1）解：由题可知，所有可能的情况有：
①甲答对1次，乙答对2次的概率；
②甲对2次，乙答对1次的概率；
③甲答对2次，乙答对2次的概率．故所求的概率．
（2）他们在一轮竞赛中获“优秀小组”的概率
．
因为，，，
所以，，所以，
由基本不等式，当且仅当时，等号成立，所以，
令，则，，
所以当时，，设他们小组在轮竞赛中获“优秀小组”的次数为，
则，由，得，所以理论上至少要进行19轮竞赛．
20．【详解】（1）依题意得，所以，
另由，，解得：，所以椭圆的标准方程为．
（2）①当的斜率不存在时，则，，，
因为，所以点，而点不在椭圆上，故不存在点符合题意．
②当的斜率存在时，设的方程为，，，，
联立得，
则，而，
因为，则，所以，
而在曲线上，所以，即，所以，符合题意．
综上所述，存在点满足题意，此时直线的方程为或．
21．【详解】（1）由得，，
设直线与曲线的切点为，
则，解得，因此的值为．
（2）由得，
设，则，
因为当时，，所以在上单调递增，
又因为，，所以存在，使，
且当时，；当时，；
从而，且当时，；
当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，
因此，
由，得，，从而，
所以，由对于任意的，都存在，使成立，
得对于任意的，都有，
即不等式在上恒成立，即不等式在上恒成立．
设，则，因为，
当时，，，；
当时，，，；
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，因此，故的取值范围为．
22．【详解】（1）由直线的参数方程为（为参数），将代入中，
可得；曲线的极坐标方程为，所以有，即，
所以．
（2）把曲线图象向下平移2个单位，然后横坐标不变，纵坐标压缩到原来的，
可得，可知，所以的标准参数方程为（为参数），
代入中，得，
设，对应参数为，，则，即为上述方程的两根，，
．
23．【详解】（1）因为，所以，
当时，原不等式转化为，无解．
当时，原不等式转化为，解得．
当时，原不等式转化为，解得．
综上所述，原不等式的解集为；
（2）由已知可得，
由不等式的解集非空，可得，
则，
解得，故的取值范围为．

展开更多......

收起↑