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第1章 集合与常用逻辑用语
§1.1集合的概念
1.集合定义：把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合.
集合三要素：确定性、互异性、无序性.
2.集合的相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等.
3.元素和集合的关系：属于 (a∈A)和不属于 (a A).
4.常见数集：自然数集：N；正整数集：N *或N+；整数集：Z；有理数集：Q；实数集R.
5.集合的表示方法：
(1)列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“ ” 括起来表示集合的方法叫列举法.
(2)描述法：设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P x 的元素 x所组成的集合表示为 x∈A P(x) ，这种
表示集合的方法称为描述法.
§1.2集合间的基本关系
1.子集：对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是集合B的子集，记作A B.
2.真子集：如果集合A B，但存在元素 x∈B，且 x A，则称集合A是集合B的真子集.记作：集合A B(或B A).
3.空集：把不含任何元素的集合叫做空集.记作： .并规定：空集合是任何集合的子集.
4.子集个数：如果集合A中含有n个元素，则集合A有 2n个子集，2n-1个真子集.
§1.3集合的基本运算
1.并集：由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合集合A是集合B与B的并集.记作：A∪B.即
A∪B= x x∈A,或 x∈B .
2.交集：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A是集合B与B的交集.记作：A∩B.即
A∩B= x x∈A,且 x∈B .
3.补集：对于集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作： UA,即
UA={x|x∈U,且 x U}.
§1.4充分条件与必要条件
1.命题：可以判断真假的陈述句叫命题；
2.充分条件.必要条件与充要条件
如果“若 p，则 q”为真命题，是指由 p通过推理可以得出 q，我们就说由 p可以推出 q，记作 p q，并且说 p是 q的充分条件，q
是 p的必要条件；
如果“若 p，则 q”为假命题，那么由条件 p不能提出结论 q，记作 p q，我们就说 p不是 q的充分条件，q不是 p的必要条件；
如果“若 p，则 q”和它的逆命题“若 q，则 p”均是真命题，即既有 p q，又有 q p，就记作 p q
此时则 p是 q的充分条件，也是 q的必要条件，我们就说 p是 q的充分必要条件，简称为充要条件．
如果 p q，那么 p与 q互为充要条件.
§1.5全称量词与存在量词
1.全称量词与存在量词
(1)全称量词与全称量词命题
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示.
含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.记为 x∈Μ，p(x).
(2)存在量词与存在量词命题
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示.
含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.记为 x∈Μ，p(x).
1
2.全称量词命题与存在量词命题的否定
(1)全称量词命题 p： x∈Μ，p(x)，它的否定 p： x∈Μ， p(x).
(2)存在量词命题 p： x∈Μ，p(x)，它的否定 p： x∈Μ， p(x).
2
第2章 一元二次函数、方程和不等式
§2.1等式性质与不等式性质
1.作差法比较大小
a> b a- b> 0；
a< b a- b< 0；
a= b a- b= 0.
2.不等式的基本性质
(1) (对称性)a> b b> a
(2) (传递性)a> b，b> c a> c
(3) (可加性)a> b a+ c> b+ c
(4) (可乘性)a> b，c> 0 ac> bc；a> b，c< 0 ac< bc
(5) (同向可加性)a> b，c> d a+ c> b+ d
(6) (正数同向可乘性)a> b> 0，c> d> 0 ac> bd
(7) (正数乘方法则)a> b> 0 an> bn(n∈N ,且n> 1)
§2.2基本不等式
①重要不等式：a2+b2≥ 2ab a,b∈R ，(当且仅当 a= b时取 " = "号).
变形公式：2(a2+b2)≥ (a+ b)2 a,b∈R
a+ b
②基本不等式： 2 ≥ ab a,b∈R
+ ，(当且仅当 a= b时取到等号).
2
变形公式：a+ b≥ 2 ab a+ b；ab≤ 2 .
用基本不等式求最值时 (积定和最小，和定积最大)，要满足条件:“一正.二定.三相等”.
§2.3二次函数与一元二次方程、不等式
Δ> 0 Δ= 0 Δ< 0
y= ax2+bx+ c a> 0 的图象
ax2+bx+ c= 0(a> 0)的根 x1，x2(x1< x2) x
b
1= x2=- 2a 没有实数根
ax2+bx+ c> 0(a> 0)的解集 x x< x1,或 x> x2 x x≠- b 2a R
ax2+bx+ c< 0(a> 0)的解集 x x1< x< x2
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第3章 函数的概念与性质
§3.1函数的概念及其表示
1.设A，B是非空的实数集，使对于集合A中的任意一个数 x，如果按照某种确定的对应关系 f，在集合B中都有惟一确定的
数 y和它对应，那么就称 f：A→B为集合A到集合B的一个函数，记作：y= f x ，x∈A.
2.函数的构成要素为：定义域.对应关系.值域.
3.区间：闭区间、开区间、半开半闭区间.
4.函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.
5.分段函数
§3.2.函数的基本性质
§3.2.1单调性与最大 (小)值
1.函数单调性的定义：
设函数 f(x)的定义域为 I，区间D I，如果 x1、x2∈D，当 x1< x2时，都有：
f(x1)< f(x2)或 f(x1) - f(x2)< 0，就称 f(x)在区间D上单调递增；
特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，就称它是增函数；
f(x1)> f(x2)或 f(x1) - f(x2)> 0，就称 f(x)在区间D上单调递减.
特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，就称它是减函数；
2.最大值、最小值：
设函数 f(x)的定义域为 I，
如果存在实数M满足：(1) x∈ I，都有 f(x)≤M；(2) x0∈ I，使得 f(x0) =M，
我们就称M是函数 y= f(x)的最大值.
如果存在实数N满足：(1) x∈ I，都有 f(x)≥N；(2) x0∈ I，使得 f(x0) =N，
我们就称N是函数 y= f(x)的最小值.
§3.2.2奇偶性
1.定义：设函数n的定义域为 I,如果 x∈ I，都有-x∈ I，
且 f -x = f x (或 f(-x) - f(x) = 0)，那么就称函数 f x 为偶函数.
偶函数图象关于 y轴对称.
且若 f(-x) =-f(x) (或 f(-x) + f(x) = 0)，那么就称函数 f x 为奇函数.
奇函数图象关于原点对称.
2.奇函数的性质：
若奇函数 f x 的定义域为 I,如果 0∈ I，则有 f(0) = 0.
3.奇偶性与单调性：
奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同；偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反.
§3.3幂函数
1.幂函数的解析式：y= xα，x是自变量，α是常数.
2.几种幂函数的图象：
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3.幂函数的性质：
（1）定点： 1,1 .
（2）单调性：
当 α> 0时，y= xα在 0,+∞ 上单调递增；
当 α< 0时，y= xα在 0,+∞ 上单调递减；
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第4章 指数函数与对数函数
§4.1指数
§4.1.1n次方根与分数指数幂
1.如果 xn= a，那么 x叫做 a的n次方根.其中n> 1，n∈N+.
2. n当n为奇数时， an= a；
当n n为偶数时， an= a .
3.规定：
m
(1)a n= n am(a> 0,m,n∈N *,n> 1)；
-m
(2)a n= 1 = 1m n (a> 0,m,n∈N
*,n> 1).
ama n
(3)0的正分数指数幂等于 0.0的负分数指数幂无意义.
4.运算性质：
r
(1)aras= ar+s a> 0,r,s∈Q ； as = a
r-s
a
(2) ar s= ars a> 0,r,s∈Q ； ar s= as r= ars
(3) ab r= arbr a> 0,b> 0,r∈Q .
§4.1.2无理指数幂及其运算性质
运算性质：
r
(1)aras= ar+s a> 0,r,s∈R a ； s = a
r-s
a
(2) ar s= ars a> 0,r,s∈R ； ar s= as r= ars
(3) ab r= arbr a> 0,b> 0,r∈R .
§4.2指数函数
1.定义：函数 y= ax a> 0,a≠ 1 叫做指数函数，定义域为R.
2.性质：
a> 1 0< a< 1
图
像
(1)定义域：R
(2)值域：(0,+∞)
性 (3)过定点 (0,1)，即 x= 0时，y= 1
质 (4)增函数 (4)减函数
(5)x> 0，ax> 1； (5)x> 0，0< ax< 1；
x< 0，0< ax< 1 x< 0，ax> 1
§4.3.对数
1.定义：如果 ax=N a> 0,a≠ 1 ；
那么数 x叫做以 a为底N的对数，记作：x= logaN，a叫对数的底数，N叫真数.
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2.指数与对数间的关系：当 a> 0，a≠ 1时，ax=N x= logaN
3. log N对数恒等式：a a =N，logaaN=N .
4.两个特殊对数：
(1)以 10为底的对叫做常用对数，并把 log10N记为 lgN；
(2)以无理数 e= 2.71828 为底数的对数称为自然对数，并把 logeN记为 lnN；
5.基本性质：(1)loga1= 0；(2)logaa= 1；(3)负数和 0没有对数.
6.积、商、幂的对数运算法则：当 a> 0，a≠ 1，M> 0，N> 0时：
(1)loga MN = logaM + logaN；
(2)loga MN = logaM - logaN；
(3)log M na =nlogaM .
= log b5.换底公式：log cab a> 0,a≠ 1,c> 0,c≠ 1,b> 0 .logca
6.推论：(1)log m manb = n logab；(2)logab=
1
log a a> 0,a≠ 1,b> 0,b≠ 1 .b
§4.4.对数函数
1.定义：函数 y= logax a> 0,a≠ 1 叫做对数函数，定义域是 0,+∞ .
2.性质：
a> 1 0< a< 1
图
像
(1)定义域：(0，+∞)
(2)值域：R
性 (3)过定点 (1，0)，即 x= 1时，y= 0
质 (4)在 (0，+∞)上是增函数 (4)在 (0，+∞)上是减函数
(5)x> 1，logax> 0； (5)x> 1，logax< 0；
0< x< 1，logax< 0 0< x< 1，logax> 0
§4.5.函数的应用
4.5.1函数的零点与方程的解
1.方程 f x = 0有实数解 函数 y= f x 的图象与 x轴有公共点 函数 y= f x 有零点.
2.函数零点存在性定理：
如果函数 y= f x 在区间 a,b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f a f b < 0，那么函数 y= f x 在区间 a,b 内
至少有一个零点，即存在 c∈ a,b ，使得 f c = 0，这个 c也就是方程 f x = 0的解.
3.用二分法求方程的近似解
对于在区间 a,b 上图象连续不断且 f a f b < 0的函数 y= f x ，通过不断地把它零点所在区间一分为二，使所得区间
的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
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第5章 三角函数
§5.1.1.任意角
1.正角、负角、零角、象限角的概念.
正角：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；
负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；
零角：一条射线没有任何旋转，就称它形成了一个零角。
2.旋转与运算：
(1)角的加法：角 α的终边旋转角 β后所得的终边对应的角是 α+ β.
(2)角的减法：α- β= α+ -β 。
3.与角 α终边相同的角的集合： β β= α+ k 360°,k∈ Z = β β= α+ 2kπ,k∈ Z .
§5.1.2.弧度制
1. 1弧度角：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1弧度的角.
2.弧度公式： α = lr (r为圆的半径，弧长为 l的弧所对的圆心角为 α)。
3.弧长公式：l= α R.
4.角度与弧度换算：180° = π rad 1° = π180 rad；1 rad=
180
π °。
2
5. nπR 1 1扇形面积公式：S= 360 = 2 lR= 2 α R
2.(R为圆的半径，扇形弧长为 l，圆心角为 α)
§5.2.1.三角函数的概念
1.三角函数定义 1：设 α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P x,y ，则：
把点P的纵坐标 y叫做 α的正弦函数，记作 sinα.即 y= sinα；
把点P的横坐标 x叫做 α的余弦函数，记作 cosα.即 x= cosα；
y y
把点P的纵坐标 y与横坐标 x的比值 x 叫做 α的正切函数，记作 tanα.即 x = tanα x≠ 0 。
正弦函数、余弦函数、和正切函数统称为三角函数，通常记为：
正弦函数：y= sinx，x∈R
余弦函数：y= cosx，x∈R
正切函数：y= tanx，x≠ π2 + kπ k∈ Z
2.三角函数定义 2：设点P x,y (不与原点重合)为角 α终边上任意一点，点P与原点的距离为：r= x2+y2，则：
y y
sinα= xr ，cosα= r ，tanα= x .
3.sinα、cosα、tanα在四个象限的符号:一全正，二正弦，三正切，四余弦.
§5.2.2.同角三角函数的基本关系式
1.平方关系：sin2α+ cos2α= 1.
2. tanα= sinα商数关系： cosα .
§5.3.诱导公式
1.诱导公式一： 2.诱导公式二：
sin α+ 2kπ = sinα, sin π+ α = sinα,
cos α+ 2kπ = cosα, (其中：k∈ Z) cos π+ α = cosα,
tan α+ 2kπ = tanα. tan π+ α = tanα.
3.诱导公式三： 4.诱导公式四：
sin α = sinα, sin π α = sinα,
cos α = cosα, cos π α = cosα,
tan α = tanα. tan π α = tanα.
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5.诱导公式五： 6.诱导公式六：
sin π2 - α = cosα sin
π
2 + α = cosα
cos π2 - α = sinα cos
π
2 + α =-sinα
§5.4.正弦、余弦函数的图象与性质
1.正弦.余弦函数图象：
2.会用五点法作图.
y= sinx在 x∈ [0,2π] (0,0) π上的五个关键点为： ， 2 ,1 ，(π,0)，
3π
2 ,-1 ，(2π,0).
y= cosx在 x∈ [0,2π] π 3π上的五个关键点为：(0,1)， 2 ,0 ，(π,-1)， 2 ,0 ，(2π,1).
3.周期函数定义：
函数 f x 定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个 x∈D，都有 x+T∈D，且 f x+T = f x ，那么函数 f x
就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.
最小正周期：如果周期函数 f x 的所有周期中存在一个最小的正数，那这个最小正数叫 f x 的最小正周期.
4.正余弦函数的周期：
正弦函数是周期函数，2kπ(k∈ Z且 k≠ 0)都是它的周期，最小正周期是 2π；
余弦函数是周期函数，2kπ(k∈ Z且 k≠ 0)都是它的周期，最小正周期是 2π；
5.正切函数的图象：
5.正弦.余弦.正切函数的图像及其性质：
y= sinx y= cosx y= tanx
图像
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定义域 R R x x≠ π2 + kπ,k∈ Z
值域 [-1,1] [-1,1] R
x= 2kπ+ π2 ,k∈ Z时，ymax= 1 x= 2kπ,k∈ Z时，ymax= 1
最值 无
x= 2kπ- π ,k∈ Z时，y =-1 x= 2kπ+ π,k∈ Z时，ymin=-12 min
周期性 T= 2π T= 2π T= π
奇偶性 奇 偶 奇
单调性 在

2kπ-
π π
2 ,2kπ+ 2 上单调递增 在 [2kπ- π,2kπ]上单调递增
π π
在每一个区间 kπ- 2 ,kπ+ 2
k∈ Z 2kπ+ π在 ,2kπ+
3π 上单调递减 在 [2kπ,2kπ+ π]上单调递减2 2 上单调递增
π
对称性 对称轴方程：x= kπ+ 对称轴方程：x= kπ 无对称轴2
k∈ Z π kπ对称中心 (kπ,0)，k∈ Z 对称中心 kπ+ 对称中心 ,0 ，k∈ Z2 ,0 ，k∈ Z 2
§5.5.1两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1.两角和与差的正弦：
S α+β ：sin α+ β = sinαcosβ+ cosαsinβ
S α-β ：sin α β = sinαcosβ cosαsinβ
2.两角和与差的余弦：
C α+β ：cos α+ β = cosαcosβ sinαsinβ
C α-β ：cos α β = cosαcosβ+ sinαsinβ
3.两角和与差的正切：
T α+β ：tan α+ =
tanα+ tanβ
β 1- tanαtanβ .
- = tanα- tanβT α-β ：tan α β 1+ tanαtanβ .
4.倍角公式
(1)sin2α= 2sinαcosα变形：sinαcosα= 12 sin2α.
(2)cos2α= cos2α sin2α= 2cos2α 1= 1 2sin2α.
cos2α+ sin2α= 1 2cos2α= 1+ cos2α
变形：降幂公式： cos2α- sin2α= cos2α 2sin2α= 1- cos2α
(3)tan2α= 2tanα .
1- tan2α
5.辅助角公式
y= asinx+ bcosx= a2+b2sin(x+ φ)
(其中 cosφ= a ，sinφ= b ，tanφ= b ).
a2+b2 a2+b2 a
y= asinx+ bcosx= a2+b2cos(x- θ)
(其中 cosθ= b sinθ= a， ，tanθ= a ).
a2+b2 a2+b2 b
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第6章 平面向量及其应用
§6.1.平面向量的概念
1.平面向量的概念：
向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量.

向量的模：向量AB的大小，也就是向量AB的长度 (或称模)，记作 AB .

零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作 0.
单位向量：长度等于 1个单位的向量叫做单位向量.

平行 (共线) 向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 (或共线向量).记作：a b.
规定：零向量与任意向量平行.
相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
§6.2.平面向量的运算
§6.2.1.向量的加法运算
1.向量加法的法则：向量加法的三角形法则和平行四边形法则.

AB+BC =AC OA+OB=OC
2. a

+ b ≤ a + b ( a 当且仅当 与 b方向方向相同时等号成立).
3.向量加法的运算律：

交换律：a+ b= b+ a结合律： a+ b + c= a+ b+ c
§6.2.2.向量的减法运算
1.相反向量：

与 a长度相等，方向相反的向量叫做 a的相反向量.记作-a.
2.向量减法的定义：

a 加上 b的相反向量，叫做 a 与 b的差.
3.向量减法的法则：三角形法则.

OA-OB=BA
§6.2.3.向量的数乘运算
1. 数乘的定义：实数 λ与向量 a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：λa，它的长度和方向规定如下：

⑴ λa = λ a ；

⑵当 λ> 0时, λa的方向与 a的方向相同；当 λ< 0时，λa的方向与 a 的方向相反.
2.运算律：

λ μa = λμ a ； λ+ μ a = λa + μa ；λ a + b = λa + λb
3.线性运算：向量的加.减.数乘运算统称为向量的线性运算.
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4.平面向量共线定理：
a

向量 a≠ 0 与 b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数 λ，使 b= λa.
§6.2.4.向量的数量积
1.向量的夹角：
a

已知两个非零向量 ，b，O 是平面上的任意一点，作OA= a，OB= b，则∠AOB= θ 0≤ θ≤ π 叫做向量 a 与 b的夹角.
2. a与 b垂直：
π
如果 a与 b的夹角是 2 ，则 a与 b垂直，记作 a⊥ b.
3.数量积：

已知两个非零向量 a ，b，它们的夹角为 θ，我们把数量 a b cosθ叫做向量 a与 b的数量积 (或内积)，记作 a b，即 a b=

a b cosθ.
4.投影向量：

向量 a在 b上的投影向量：在平面内任取一点O，作OM = a，ON = b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则OM1就是向

量 a在向量 b上的投影向量．

b

设与 同方向的单位向量为 e，a与 b的夹角为 θ，则OM1= a cosθe .
5.数量积的性质：
(1)a e = e a = a cosθ
(2)a⊥ b a b= 0
(3)a a = a 2 2或 a = a a = a

(4) a b ≤ a b
6.数量积的运算律：

(1)a b= b a

(2) λa b= λ a b = a λb

(3) a + b c = a c + b c
2 2 2 2 2
结论： a+ b = a +2a b+ b ， a+ b a - b = a -b .
§6.3平面向量基本定理及坐标表示
§6.3.1平面向量基本定理
平面向量基本定理：

如果 e1,

e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量 a，有且只有一对实数 λ1,λ2，使 a= λ1e1+ λ2
, e2. e1 e2 叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
§6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示
1.正交分解：
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
2.向量 a 的坐标表示：

在平面直角坐标系中，设与 x轴.y轴方向相同的两个单位向量分别为 i，j，取 i , j 作为基底.对于平面内的任意一个向量
a

，由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数 x，y，使得 a= xi + y j，这样平面内的任一向量 a 都可由 x，y唯一确定,我

们把有序数对 x,y 叫做向量 a的坐标，记作 a= x,y ，其中 x叫做 a在 x轴上的坐标，y叫做 a在 y轴上的坐标，a= x,y
叫做向量 a 的坐标表示.
§6.3.3平面向量加.减运算的坐标表示

1.设 a = x1,y1 ，b= x2,y2 ，则：
12

⑴ a + b= x1+x2,y1+y2 ，

⑵ a - b= x1-x2,y1-y2 ，
即：两个向量和 (差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 (差)

2.已知A(x1,y1)，B(x2,y2)，则AB= x2-x1,y2-y1 .
§6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示
1. a = x,y λa 设 ，则 = λx,λy .
2. a

设 = x1,y1 ，b= x2,y2 ，则向量 a,b共线的充要条件是 x1y2-x2y1= 0.
§6.3.5平面向量数量积的坐标表示

1.设 a = x1,y1 ，b= x2,y2 ，则：

(1)a b= x1x2+y1y2
(2) a = x2 21+y1
(3)a⊥ b a b= 0 x1x2+y1y2= 0
a

( ) = b x x +y4 cosθ 1 2 1y2
a
=
b x2+y2 x21 1 2+y22

(5)设A x1,y1 ，B x2,y2 ，则： AB = x 2 22 x1 + y2 y1 .
6.4平面向量的应用
2
cosA= b +c
2-a2 ,
a2= b2+c2 -2bccosA,
2bc
2 2 2
1.余弦定理： b2= a2+c2-2accosB, 推论： cosB= a +c -b ,c2 2 2 2ac= a +b -2abcosC.

2 2 2
cosC= a +b -c2ab .
2.正弦定理：
a = b c
sinA sinB
= = 2R.
sinC
(其中R为△ABC外接圆的半径)
a= 2RsinA，b= 2RsinB，c= 2RsinC;
sinA= a sinB= b c2R， 2R，sinC= 2R ;
a:b:c= sinA:sinB:sinC.
13
第7章 复数
§7.1复数的概念
1.复数：形式如 z= a+ bi(a,b∈R)的数叫复数，其中 i叫虚数单位，i2=-1.
a叫复数的实部，b叫复数的虚部.
2.复数的分类
复数 z= a+ bi a,b∈R
实数 (b= 0) 纯虚数 (a= 0,b≠ 0)虚数 (b≠ 0) 非纯虚数 (a≠ 0,b≠ 0)
3．复数的几何意义
复平面：用来表示复数的直角坐标系，其中 x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.
z= a+ bi 一 一 对 应复数 复平面内的点 Z a,b

复数 z= a+ bi 一 一 对 应 平面向量OZ
4.复数的模

向量OZ的模叫复数 z= a+ bi a,b∈R 的模或绝对值，即 z = a+ bi = a2+b2.
5.共轭复数

当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数 z的共轭复数用 z表示，z= a- bi.
§7.2复数的四则运算
1．复数的加、减运算及其几何意义
(1)复数加减法： a+ bi ± c+ di = a± c + b± d i；
(2)复数加法的几何意义：
复数的加法可以按照向量的加法来进行：

OZ1,OZ2分别对应复数 a+ bi，c+ di，即OZ1= a,b ，OZ2= c,d ，

则OZ1+OZ2= a+ c,b+ d 对应复数 a+ c + (b+ d)i.
2.复数的乘、除运算
(1)复数的乘法： a+ bi c+ di = ac- bd + bc+ ad i；
a+ bi a+ bi c- di( ) = 2 ac+ bd复数的除法 + = +
bc- ad i.
c di c+ di c- di c2+d2 c2+d2
3.常见的运算规律
(1) z = z ；(2)z z= z 2= z 2= a2+b2；
14
第8章 立体几何初步
§8.1基本立体图形
空间几何体的结构：
(1)常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球.
(2)棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体
叫做棱柱.
直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱.
斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱.
正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱.
平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体.
(3)棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫棱锥.
正棱锥：底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫正棱锥.
正三棱锥：底面是正三角形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫正三棱锥.
正四棱锥：底面是正方形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫正四棱锥.
正四面体：四个全等正三角形所组成的几何体.
(4)棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台.
(5)圆柱：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫圆柱.
轴：旋转轴叫圆柱的轴；
底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫圆柱的底面.
侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面叫圆柱的侧面.
母线：平行于轴的边都叫圆柱侧面的母线.
(6)圆锥：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫圆锥.
(7)圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台，
(8)球：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周所形成的曲面叫球面，球面所围成的旋转体叫球体，简称球.半圆的圆
心叫球的球心.连结球心和球面上任意一点的线段叫球的半径.连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径.
§8.2立体图形的直观图
斜二测画法：
(1)建立平面直角坐标系:在已知平面图形中取互相垂直的 x轴和 y轴,两轴相交于点O.
(2)画出斜坐标系:在画直观图的纸上 (平面上)画出对应的 x 轴和 y 轴,两轴相交于点O ，且使∠x Oy = 45 或 135 ，它们确
定的平面表示水平面.
(3)画对应图形:在已知图形平行于 x轴的线段,在直观图中画成平行于 x 轴，长度保持不变.在已知图形平行于 y轴的线
段,在直观图中画成平行于 y 轴,且长度为原来一半.
§8.3简单几何体的表面积与体积
(1)圆柱侧面积；S侧面= 2π r l(r是底面圆半径，l是母线长)
(2)圆锥侧面积：S侧面= π r l(r是底面圆半径，l是母线长)
(3)体积公式：
V柱体=S h
1
；V锥体= 3 S h；V
1
台体= 3 h S
+ S S +S
(4)球的表面积和体积：
S球= 4πR
2 4，V = πR3球 3 .
§8.4空间点、直线、平面之间的位置关系
§8.4.1平面
15
1.三个事实：
基本事实 1：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.
(即不共线的三点确定一个平面)
基本事实 2：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.
基本事实 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
2.三个推论：
推论 1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.
推论 2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论 3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.
§8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系
1.空间中直线和直线的位置关系
异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线.
相交直线共面直线
空间中直线和直线的位置关系： 平行直线异面直线
2.空间中直线和平面的位置关系
直线与平面相交直线在平面外
空间中直线和平面的位置关系： 直线与平面平行直线在平面内
3.空间中平面和平面的位置关系
两个平面平行
空间中平面和平面的位置关系： 两个平面相交
§8.5空间直线、平面的平行
§8.5.1直线与直线平行
1.基本事实 4：平行与同一条直线的两条直线平行.
2.定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
§8.5.2直线与平面平行
1.线面平行判定定理 (线线平行 线面平行)：
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.
2.线面平行性质定理 (线面平行 线线平行)：
一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.
§8.5.3平面与平面平行
1.面面平行判定定理 1(线面平行 面面平行)：
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.
2.面面平行判定定理 2(线线平行 面面平行)：
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条直线平行，那么这两个平面平行.
3.面面平行性质定理 (面面平行 线线平行)：
两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.
4.面面平行的定义推论 (面面平行 线面平行)：
如果两个平面平行，那么一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行.
§8.6空间直线、平面的垂直
§8.6.1直线与直线垂直
1.异面直线所成的角定义：
已知两异面直线 a，b，经过空间任一点O分别作直线 a a，b b，我们把直线 a ，b 所成的角叫做异面直线 a，b所成的角.
16
空间两条直线所成角的取值范围是 0 ,90 .
2.两条异面直线互相垂直的定义：
如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直.
§8.6.2直线与平面垂直
1.直线与平面垂直的定义：
如果直线 l与平面 α内的任意一条直线都垂直，就说直线 l与平面 α互相垂直.
2.线面垂直定义的推论 (线面垂直 线线垂直)：
如果一条直线垂直于一个平面，那么该直线垂直于平面内的任意一条直线.
3.点到平面的距离的定义：
过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条，过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平
面的垂线段.垂线段的长度叫这个点到平面的距离.
4.线面垂直判定定理 (线线垂直 线面垂直)：
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.
5.线面垂直性质定理：
(1)垂直于同一个平面的两条直线平行.
(2)如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于该平面.
6.直线和平面所成的角的定义：
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
直线和平面所成的角范围是 0 ,90 .
7.直线到平面的距离的定义：
一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到平面的距离.
8.两个平行平面间的距离的定义：
如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，把它叫做两个平行平面间的距离.
§8.6.3平面与平面垂直
1.二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角.这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面.
记作：例如二面角 α-AB- β或二面角 α- l- β或二面角P- l-Q.
2.二面角的平面角：
在二面角 α l β的棱上任取一点O，分别在两个半平面内作射线AO⊥ l,BO⊥ l，则∠AOB为二面角 α l β的平面角.
二面角的范围是 0 ,180 .
3．两个平面互相垂直的定义：
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
4.面面垂直判定定理 (线面垂直 面面垂直)：
如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.
5.面面垂直性质定理 (面面垂直 线面垂直)：
两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.
17
第9章 统计
§9.1随机抽样
1.抽样调查
根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法，称为抽样调
查.
样本：从总体中抽取的那部分个体称为样本.
样本容量 (样本量)：样本中包含的个体数称为样本容量.
2.简单随机抽样
设一个总体含有N (N为正整数)个个体，从中逐个抽取 n(l≤ n体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的，且每次抽取时
总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样，放回简单随机抽样和
不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样.
3.分层随机抽样
按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机
抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样.
§9.2用样本估计总体
1.总体取值规律的估计
频率分布直方图的画法：
(1)求极差；(2)决定组距和组数；(3)将数据分组；(4)列频率分布表；
(5) 频率画频率分布直方图：纵轴表示 ，小长方形面积=频率.
组距
2.总体百分位数的估计
(1)第 p百分位数：它使得这组数据中至少 p%的数据小于或等于这个值，且至少有 100- p %的数据大于或等于这个值.
(2)第 p百分位数的计算步骤：
①按从小到大排列原始数据.
②计算 i=n× p%.
③若 i不是整数，而大于 i的比邻整数为 j，则第 p百分位数为第 j项数据；若 i是整数，则第 p百分位数为第 i项与第 i+ 1项
数据的平均数.
(3)四分位数：第 25、50、75百分位数称为四分位数。
其中第 25百分位数也成为第一分位数或下四分位数，第 50百分位数相当于中位数，第 75百分位数也称为第三四分位数或
上四分位数.
3.总体集中趋势的估计：
平均数、中位数、众数从不同角度刻画了一组数据的集中趋势.
对数值型数据 (如身高、收入)集中趋势的描述可以用平均数、中位数；
而对分类型数据 (如校服规格、性别)集中趋势的描述可以用众数.
4.总体离散程度的估计
方差与标准差：一组样本数据 x1,x2, ,xn
n n
1
方差：s2= n (xi x
)2；标准差：s= 1n (xi x
)2
i=1 i=1
18
第10章 概率
§10.1随机事件与概率
§10.1.1有限样本空间与随机事件
1.随机试验：
对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验.
2.有限样本空间：
样本点：随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，用ω表示.
样本空间：全体样本点的集合称为试验的样本空间，用Ω表示.
有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果，则称样本空间Ω= ω1,ω2, ,ωn 为有限样本空间.
3.随机事件
随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.
随机事件：样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件.
基本事件：只包含一个样本点的事件称为基本事件.
事件A发生：在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生.
必然事件：Ω
不可能事件：
必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形，这样每个事件都是样本空间的子集.
§10.1.2事件的关系和运算
1.事件B包含事件A：
若事件A发生，则事件B一定发生，就称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)，记作B A(或A B).
2.事件的相等：
如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，则称事件A和事件B相等.
3.并事件 (或和事件)：
事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为
事件A与事件B的并事件 (或和事件).记作A∪B(或A+B).
4.交事件 (或积事件)：
事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这个事件为事件A与事
件B的交事件 (或积事件).记作A∩B(或AB).
5.互斥事件：
如果事件A与事件B不能同时发生，即A∩B是一个不可能事件，即A∩B= ，则称事件A与事件B互斥 (或互不相容).
6.对立事件：
如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B=Ω，且A∩B= ，那么称事件A与事件B互为

对立.事件A的对立事件记为A.
§10.1.3古典概型
1.概率：对随机事件发生可能性大小的度量 (数值)称为事件的概率.事件A的概率用表示P A .
2.古典概型的特点：
①有限性：样本空间的样本点只有有限个；
②等可能性：每个样本点发生的可能性相等.
2.古典概型概率计算公式：
k
设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的 k个样本点，则事件A发生的概率P(A) = n .
§10.1.4概率的基本性质
19
性质 1：对任意事件A，都有P A ≥ 0.
性质 2：必然事件的概率为 1，不可能事件的概率为 0，即P Ω = 1,P = 0.
性质 3：如果事件A与事件B互斥，那么P A∪B =P A +P B .
性质 4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P A = 1-P B ,P B = 1-P A .
性质 5：如果A B，那么P A ≤P B .
性质 6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P A∪B =P A +P B -P A∩B .
§10.2事件的相互独立性
1.相互独立事件：对任意两个事件A与B，如果P AB =P A P B 成立，则称事件A与事件B相互独立，简称独立.
注意：当三个事件A,B,C两两独立时，P ABC =P A P B P C 一般不成立.

2.若事件A与事件B相互独立，则A与B，A与B，A与B也相互独立.
§10.3频率与概率
频率的稳定性：
在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性，一般地，随着试验次数 n的增大，频率偏离概
率的幅度会缩小，即事件A发生的频率 fn A 会逐渐稳定于事件A发生的概率P A .我们称频率的这个性质为频率的稳定
性，因此我们可以用频率 fn A 估计概率P A .
20
第1章 空间向量与立体几何
§1.1空间向量及其运算
1.空间向量基本概念
空间向量：在空间,我们把具有大小和方向的量叫作空间向量.

长度 (模) ：空间向量的大小叫作空间向量的长度或模，记为 a 或 AB .

零向量：长度为 0的向量叫作零向量，记为 0.
单位向量：模为 1的向量叫作单位向量.

相反向量：与向量 a长度相等而方向相反的向量，叫作 a的相反向量，记为-a.
共线向量 (平行向量)：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量叫作共线向量或平行
向量.规定：零向量与任意向量平行.
相等向量：方向相同且模相等的向量叫作相等向量.
2.空间向量的线性运算
空间向量的线性运算包括加法、减法和数乘,其定义、画法、运算律等均与平面向量相同.
3.共线、共面向量基本定理
(1) 直线 l的方向向量：在直线 l上取非零向量 a，与向量 a平行的非零向量称为直线 l的方向向量.
(2)共线向量基本定理：

对任意两个空间向量 a= λb(b≠ 0)，a b的充要条件是存在实数 λ，使 a= λb.
(3)共面向量：

如果表示向量 a的有向线段OA所在的直线OA与直线 l平行或重合,那么称向量 a平行于直线 l.
如果直线OA平行于平面 α 或在平面 α内,那么称向量 a平行于平面 α.
平行于同一个平面的向量,叫作共面向量.

(4) 共面向量基本定理:如果两个向量 a,b , p a 不共线 那么向量 与向量 ,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对 x,y ,

使 p= xa+ yb.
4.空间向量的数量积

(1)向量的夹角：已知两个非零向量 a ,b,在空间任取一点O,作OA= a OB = b ∠AOB ， ，则 叫作向量 a,b的夹角，记作

a
,b .如果 a
,b = π 2 ,

那么向量 a,b 互相垂直,记作 a⊥ b.

(2) a ,b a

数量积定义：已知两个非零向量 ，则 b cos< a ,b>叫作 a ,b 的数量积，记作 a b.

即 a b= a b cos< a ,b>.
(3)数量积的性质：
a⊥ b a b= 0
a a = a a cos< a , 2a >= a .
(4)空间向量的数量积满足如下的运算律：
λa

b= λ a b
a b= b a (交换律):

a + b c = a c + b c (分配律).
2 2 2
推论： a+ b = a +2a b+ b 2 2，a+ b a- b = a - b .
(5)向量的投影向量：

a
b
向量 在向量 b上的投影向量 c c ： = a cos< a ,b>
b
21
向量 a 在平面 α内的投影向量与向量 a的夹角就是向量 a所在直线与平面 α所成的角.
§1.2空间向量基本定理
1.空间向量基本定理
a,b,c 如果三个向量 不共面，那么对空间任意一个空间向量 p.存在唯一的有序实数组 x,y,z .使得

p = xa + yb+ zc .
2.基底与正交分解

(1)基底：如果三个向量 a ,b,c 不共面,那么我们把 a,b,c

叫作空间的一个基底，a
,b,c 都叫作基向量.
(2)正交分解:

如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直.且长度都为 1.那么这个基底叫作单位正交基底，常用 i , j ,k 表示.把一个
空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫作把空间向量进行正交分解.
§1.3空间向量及其运算的坐标表示
1.空间直角坐标系

在空间选定点O和一个单位正交基底 i , j ,k .

以点O为原点，分别以 i , j ,k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:x轴.y轴、z轴,它们都叫作坐标轴.这

时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz,O叫作原点，i , j ,k都叫作坐标向量,通过每两个坐标轴的平面叫作坐标平面.
空间直角坐标系通常使用的都是右手直角坐标系.
2.空间向量的坐标

在空间直角坐标系Oxyz中 i , j ,k为坐标向量.给定任一向量OA,存在唯一的有序实数组 x,y,z ,使

OA= xa + yb+ zc .有序实数组 x,y,z 叫作向量OA在空间直角坐标系Oxyz中的坐标.记作OA= x,y,z . x,y,z 也叫
点A在空间直角坐标系中的坐标.记作A x,y,z .
3.空间向量运算的坐标表示

设 a = x1,y1,z1 ,b= x2,y2,z2 ，则：
(1)a+ b= x1+x2,y1+y2,z1+z2 ，
(2)a

- b= x1-x2,y1-y2,z1-z2 ，
(3)λa = λx1,λy1,λz1 .
4.空间向量平行、垂直、模长、夹角的坐标表示

(1)a b a = λb x1= λx2,y1= λy2,z1= λz2，

(2)a ⊥ b a b= 0 x1x2+y1y2+z1z2= 0，
(3) a = 2a = x21+y21+z21，


( ) , = a
b = x1x2+y1y2+z1z4 cos a b 2 . a b x21+y2 2 2 2 21+z1 x2+y2+z2
5.空间两点间的距离公式
设P 2 2 21 x1,y1,z1 ,P2 x2,y2,z2 ，则P1P2= (x2-x1) + (y2-y1) + (z2-z1) .
§1.4空间向量的应用
1.平面的法向量：直线 l⊥ α ，取直线 l的方向向量 a，称 a为平面的法向量.
2.空间中直线、平面的平行
(1) 线线平行：若 u1,u2分别为直线 l1,l2的方向向量，则
l1

l2 u1 u2 λ∈R，使得u1= λu2.

(2) 线面平行：设 u直线 l 的方向向量，n是平面 α的法向量，l α，则
l α u ⊥n u n = 0.
22
法 2 ：在平面 α内取一个非零向量 a，若存在实数 x，使得u= xa ，且 l α，则 l α.

法 3：在平面 α 内取两个不共线向量 a,b，若存在实数 x,y，使得u= xa+ yb，且 l α，则 l α.
(3) 面面平行：设n1,n2分别是平面 α,β的法向量，则
α β n1 n2 λ∈R，使得n1= λn2.
3.空间中直线、平面的垂直
( 1)线线垂直：若 u1,u2分别为直线 l1,l2的方向向量，则 l1⊥ l2 u1⊥u2 u1 u2= 0.
(2) 线面垂直：设 u直线 l的方向向量，n是平面 α的法向量，则 l⊥ α u n λ∈R，使得u= λn.
2 α a

法 ：在平面 内取两个不共线向量 ,b，若 a u= b u= 0.则 l⊥ α.
( ) 3 面面垂直：设n1,

n2分别是平面 α,β的法向量，则 α⊥ β n1⊥n2 n1 n2= 0.
4.用空间向量研究距离、夹角问题
(1)点到直线的距离：已知A,B是直线 l上任意两点，P是 l外一点，PQ⊥ l，则点P到直线 l的距离为
2
PQ= AP 2- AQ 2= AP 2- AP AB AB .
(2)求点到平面的距离

已知平面 α的法向量为n，A是平面 α内的任一点，P是平面 α外一点,过点P作则平面 α的垂线 l，交平面 α于点Q，则
点P到平面 α的距离为

n

PQ= AP
n
=
AP n
AP n
= n n
.

(3)直线与直线的夹角

若n1,n2分别为直线 l1,l2的方向向量，θ为直线 l1,l2的夹角，则
n n
cosθ= cos = 1 2 . n1 n2
(4)直线与平面的夹角

设n1是直线 l的方向向量，n2是平面 α的法向量，直线与平面的夹角为 θ.则
n n
sinθ= cos = . n1 n2
A
n
u
θ
B C
α
(5)平面与平面的夹角
平面与平面的夹角：两个平面相交形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于 90°的二面角称为这两个平面的夹

角.若n1,n2分别为平面 α,β的法向量，θ为平面 α,β的夹角，则
n n
cosθ= cos = 1 2 . n1 n2
23
第2章 直线和圆的方程
§2.1直线的倾斜角与斜率
1.倾斜角与斜率：
倾斜角：当直线 l与 x轴相交时，以 x轴为基准，x轴正向和直线 l向上的方向之间所成的角 α叫直线的倾斜角，取值范围为
0 ≤ α< 180 .
斜率：直线的倾斜角 α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率通常用 k来表示.
k P (x ,y ) P (x ,y ) x ≠ x k= tanα= y2 y1斜率 公式：如果直线经过两点 1 1 1 ， 2 2 2 ， 1 2 ，则 x x .2 1
y
直线的方向向量：斜率为 k的直线的一个方向向量是 1,k ，若斜率为 k的直线的一个方向向量的坐标为 (x,y)，则 k= x .
2.两条直线平行和垂直的判定
斜率分别为 k1，k2的两条不重合的直线 l1,l2，有 l1 l2 k1= k2.
斜率分别为 k1，k2的两条直线 l1,l2，有 l1⊥ l2 k1k2=-1.
§2.2直线的方程
1.直线方程：
(1)点斜式：y y0= k x x0 (不能表示斜率不存在的直线)
(2)斜截式：y= kx+ b(不能表示斜率不存在的直线，b是直线与 y轴的交点纵坐标 (即 y轴上的截距))
( y- y x- x3) 1两点式：y -y =
1
2 1 x2-x
(x1≠ x2,y1≠ y2)
1
( y4) x截距式：a + = 1(a,b是直线在 x,y轴上的截距，且 a≠ 0,b≠ 0)b
(5)一般式：Ax+By+C= 0(A,B不同时为 0)
2.给定直线方程判断直线的位置关系：
(一)对于直线 l1：y= k1x+ b1，l2：y= k2x+ b2有：
( k1)l //l 1= k21 2 ；b1≠ b2
(2)l1和 l2相交 k1≠ k2；
( k = k3)l 1 21和 l2重合 b1= ；b2
(4)l1 l2 k1k2=-1.
(二)对于直线 l:Ax+By+C= 0：
(1)与直线 l:Ax+By+C= 0垂直的一个向量为 A,B ，平行的一个向量为 B,-A .
( ) l :A x+B y+C = 02 对于直线 1 1 1 1 : + + = 有：l2 A2x B2y C2 0
Al l 1B2=A2B11 2 ；B1C2≠B2C1
l1和 l2相交 A1B2≠A2B1；
l1⊥ l2 A1A2+B1B2= 0.
§2.3直线的交点坐标与距离公式
(1)两点间距离公式：
已知P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，则 P1P2 = x2 x1 2+ y 22 y1 .
(2)点到直线距离公式：
Ax +By +C
P(x 0 00,y0)到直线 l：Ax+By+C= 0的距离 d为：d= .
A2+B2
(3)两平行线间的距离公式：
24
C C
+ + = + + = = 1 2 l1：Ax By C1 0与 l2：Ax By C2 0间的距离 d为：d .
A2+B2
§2.4圆与方程
1.圆的方程：
⑴标准方程： x- a 2+ y- b 2= r2(其中圆心为 (a,b)，半径为 r.)
⑵一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F= 0.(D2+E 2-4F> 0).
§2.5直线与圆、圆与圆的位置关系
1.直线Ax+By+C= 0与圆 (x a)2+ (y b)2= r2的位置关系：(d表示圆心到直线的距离)
d> r 相离 Δ< 0;
d= r 相切 Δ= 0;
d< r 相交 Δ> 0.
2.直线和圆相交弦长公式：l= 2 r2 d2(d表示圆心到直线的距离)
3.两圆位置关系：d= O1O2
(1)外离：d>R+ r；
(2)外切：d=R+ r；
(3)相交：R r< d(4)内切：d=R- r(R> r)；
(5)内含：d r).
25
第3章 圆锥曲线的方程
§3.1椭圆
平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数 2a(大于 |F1F2| = 2c)的点的轨迹叫椭圆，两个定
定义
点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在 y轴上
图形
2 y2x + = > > y
2 2
标准方程 2 2 1 a b 0 2 +
x
2 = 1 a> b> 0 a b a b
范围 -a≤ x≤ a且-b≤ y≤ b -b≤ x≤ b且-a≤ y≤ a
A1 -a,0 、A2 a,0 A1 0,-a 、A2 0,a
顶点
B1 0,-b 、B2 0,b B1 -b,0 、B2 b,0
轴长 长轴的长= 2a短轴的长= 2b
对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称
焦点 F1 -c,0 、F2 c,0 F1 0,-c 、F2 0,c
焦距 F1F2 = 2c
a,b,c关系 c2= a2-b2
2 2 2 2
离心率 e= c ca = 2 =
a -b
2 = 1-
b
2 (0< e< 1)a a a
θ
焦点三角形面积 S△MF = b2tan (θ=∠FMF )1F2 2 1 2
b2
通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径： HH = a
A(x1,y1),B(x2,y2)， AB = (x2-x 2 2 2 11) + (y2-y1) = 1+ k |x1-x2| = 1+ k2 |y1-y2|弦长公式
(k≠ 0)
§3.2双曲线
平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于非零常数 2a(小于 |F1F2| = 2c)的点的轨迹叫双曲
定义
线，两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在 y轴上
图形
2 y2 y2x x2
标准方程 - = 1 a> 0,b> 0 - = 1 a> 0,b> 0
a2 b2 a2 b2
26
范围 x≤-a或x≥ a，y∈R y≤-a或 y≥ a，x∈R
顶点 A1 -a,0 、A2 a,0 A1 0,-a 、A2 0,a
轴长 实轴的长= 2a虚轴的长= 2b
对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称
焦点 F1 -c,0 、F2 c,0 F1 0,-c 、F2 0,c
焦距 F1F2 = 2c(c2= a2+b2)
a,b,c关系 c2= a2+b2
c 2 2 2 2
离心率 e= c a +b ba = 2 = 2 = 1+ 2 (e> 1)a a a
b
渐近线方程 y=± x y=± a xa b
焦点到渐近线
b
距离
焦点三角形面
S = b2cot θΔMFF 2 (θ=∠F1MF2)积 1 2
b2
通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径： HH = a
§3.3抛物线
平面内与一定点F和一条定直线 l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫抛物线的焦
定义
点，直线 l叫抛物线的准线.
图形
y2= 2px y2=-2px x2= 2py x2=-2py
标准方程
p> 0 p> 0 p> 0 p> 0
顶点 0,0
离心率 e= 1
对称轴 x轴 y轴
范围 x≥ 0 x≤ 0 y≥ 0 y≤ 0
p
焦点 F 2 ,
p
0 F - 2 ,
p p
0 F 0, 2 F 0,- 2
p p p p
准线方程 x=- 2 x= 2 y=- 2 y= 2
通径 过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径： HH = 2p
焦点弦长
AB = x1+x2+p
公式
参数 p的几
参数 p表示焦点到准线的距离，p越大，开口越阔
何意义
27
第4章 数列
§4.1数列的概念
1.定义：我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项.第一项叫首项，常用 a1表示.
2.通项公式：如果数列 an 的第 n项 an与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示，那这个式子叫做这个数列的通
项公式.
3.递推公式：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.
4.数列 an 的前 n项和：把数列 an 从第 1项起到第 n项止的各项之和，称为数列 an 的前 n项和.记作 Sn，即 Sn= a1+a2
+...+an.
S1, n= 1
5.通项 an与Sn之间的关系：an= Sn-Sn-1, n≥ 2.
§4.2等差数列
1.等差数列定义：如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这
个常数叫做等差数列的公差，通常用 d表示.
2.等差中项：有三个数 a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，此时A叫做 a与 b的等差中项.可知 2A= a+
b.
3.等差数列的通项公式：an= a1+ (n- 1)d.
引申式：an= am+ (n-m)d，an-am= (n- ) =
an-am d，d mn-m
4.等差数列的前n项和公式：
n n- 1 n a +a
Sn=na1+

d= 1 n 2 2
5.等差数列常用性质：
①若m+n= p+ q m,n,p,q∈N+ ，则 am+an= ap+aq；
②下标为等差数列的项 ak,ak+m,ak+2m, ，仍组成等差数列；
③数列 λan+b (λ,b为常数)仍为等差数列；
④若 {an}、{bn}是等差数列，则 {kan}、{kan+pbn} (k、p是非零常数)、{a *p+nq} (p,q∈N )， 也成等差数列.
⑤单调性： an 的公差为 d，则：
ⅰ)d> 0 an 为递增数列；
ⅱ)d< 0 an 为递减数列；
ⅲ)d= 0 an 为常数列；
⑥数列 {an}为等差数列 an= pn+ q(p,q是常数)
⑦若等差数列 an 的前 项和 ，则 、 、 是等差数列.
§4.3等比数列
1.等比数列定义：如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这
个常数叫等比数列的公比，常用 q来表示 (q≠ 0).
2.等比中项：若三数 a、G、b成等比数列，那么G叫做 a与 b的等比中项.此时G2= ab.
3.通项公式：a = a qn-1n 1
引申式：a = a qn-m an m ， n n-ma = q .m
a1 1- qn= a -a q4. 1 n等比数列前n项和公式：Sn 1- q = 1- q q≠ 1
5.等比数列常用性质：
①若m+n= p+ q m,n,p,q∈N+ ，则 am an= ap aq；
28
② ak,ak+m,ak+2m, 为等比数列，公比为 qk(下标成等差数列,则对应的项成等比数列)
③数列 λan (λ为不等于零的常数)仍是公比为 q的等比数列；
对于正项等比数列 an ，则 lgan 是公差为 lgq的等差数列；
④若 an 是等比数列，则 can ， a 2n ，
1

r 1
a ， an (r∈ Z)是等比数列，公比依次是 q，q
2，q ，q
r.
n
⑤单调性：
a1> 0,q> 1或 a1< 0,0< q< 1 an 为递增数列；a1> 0,0< q< 1或 a1< 0,q> 1 an 为递减数列；
q= 1 an 为常数列；
q< 0 an 为摆动数列；
⑥既是等差数列又是等比数列的数列是常数列.
⑦若等比数列 an 的前 项和 ，则 、 、 是等比数列.
29
第5章 一元函数的导数及其应用
§5.1导数的概念及其意义
Δy f x0+Δx - f x1. y= f x = 0 导数定义：对于函数 ，把比值 叫做函数 y= f x 从 x0到 x0+Δx的平均变化率，如果当Δx Δx
Δx→ Δy Δy0时，平均变化率 无限趋近于一个确定的值，即 有极限，则称 y= f x 在 x= x0处可导，并把这个确定的值叫Δx Δx
Δy f x +Δx=
- f x
做 y f x 在 x= x0处的导数 (也称瞬时变化率)，记作 f (x0)或 y ，即 f (x ) =lim =lim 0 0 .x=x 00 Δx→0 Δx Δx→0 Δx
2.函数 y= f(x)在点 x0处的导数 f (x0)的几何意义：
(1)切线：在曲线上任取一点P x,f x ，如果当点P x,f x 沿着曲线 y= f(x)无限趋近于点P0 x0,f x0 时，割线P0P无
限趋近于一个确定的位置，这个确定的位置的直线P0T称为曲线 y= f(x)在点P0处的切线.
(2)f (x0)的几何意义：f (x0)是曲线 y= f(x)在P(x0,f(x0))处的切线P0T的斜率.
3.导函数：当 x= x0时，f (x0)是一个唯一确定的数，这样当 x变化时，y= f (x)就是 x的函数，我们称它为 y= f(x)的导函
数，简称导数.有时记作 y .
§5.2导数的运算
1.几种常见函数的导数
①C = 0； ② (xα) = αxα-1； ③ (sinx) = cosx； ④ (cosx) = sinx；
⑤ (ax) = axlna； ⑥ (ex) = ex； ⑦ (log x) = 1 1a xlna； ⑧ (lnx) = x
2.导数的四则运算法则
(1) f x ± g x = f (x) ± g (x).
(2) f x g x = f (x)g x ± f x g (x).特别地： cf x = cf (x).
f x
f (x)g x( ) = - f x g
(x)
3 g x ≠ 0 .
g x g x 2
3.复合函数求导法则
由函数 y= f(u),u= g(x)复合而成的的函数 y= f(g(x))的导数和函数 y= f(u),u= g(x)的导数间的关系为 y x= y u u x，即 y
对 x的导数等于 y对u的导数与u对 x的导数的乘积.
§5.3导数在研究函数中的应用
1.导数与函数的单调性
(1)在某个区间 a,b 上，如果 f (x)> 0，则函数 y= f(x)在区间 a,b 上为单调递增；
在某个区间 a,b 上，如果 f (x< 0，则函数 y= f(x)在区间 a,b 上为单调递减.
(2)设函数 y= f(x)在某个区间内可导，
若 f(x)为增函数，则 f (x)≥ 0( f (x)在 a,b 上的任何子区间内都不恒等于零)；
若 f(x)为减函数，则 f (x)≤ 0( f (x)在 a,b 上的任何子区间内都不恒等于零).
30
2.函数的极值
函数 y= f(x)在点 x= a的函数值 f a 比它在点 x= a附近其他点的函数值都小，f (a) = 0,而且在点 x= a附近的左侧 f
x < 0,右侧 f (x)> 0，我们把 a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数 y= f(x)的极小值；
函数 y= f(x)在点 x= b的函数值 f b 比它在点 x= b附近其他点的函数值都大，f (b) = 0,而且在点 x= b附近的左侧 f
x > 0,右侧 f (x)< 0，我们把 b叫做函数的极大值点，f b 叫做函数 y= f(x)的极大值.
极小值点和极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.
3.最大值、最小值：
设函数 f(x)的定义域为 I，
如果存在实数M满足：(1) x∈ I，都有 f(x)≤M；(2) x0∈ I,使得 f(x0) =M，
我们就称M是函数 y= f(x)的最大值.
如果存在实数N满足：(1) x∈ I，都有 f(x)≥N；(2) x0∈ I,使得 f(x0) =N，
我们就称N是函数 y= f(x)的最小值.
31
第6章 计数原理
§6.1分类加法与分步乘法计数原理
1.分类加法计数原理：
完成一件事有两类不同方案，在第 1类方案中有m种不同的方法，在第 2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事情共
有N=m+n种不同的方法.
2.分步乘法计数原理：
完成一件事有两个步骤，做第 1步有m种不同的方法，做第 2步有n种不同的方法，那么完成这件事情共有N=m×n种不
同的方法.
§6.2排列与组合
1.排列定义：从n个不同的元素中任取m m≤n 个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同的元素中取出m个
元素的一个排列.
全排列：把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列.
2.排列数：从n个不同的元素中任取m m≤n 个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排
列数，记作Amn .
3.排列数公式：
(1)Amn=n n- 1 n- 2 n-m+ 1 ；
(2)Ann=n!，规定 0!= 1.
Amn= n! ；
n-m !
4.组合定义：从n个不同的元素中取出m m≤n 个元素作为一组，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个组合.
5.组合数：从n个不同的元素中取出m m≤n 个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组
合数，记作Cmn .
6.组合数公式：
m n n- 1 n- 2 n-m+ 1 n
(1)Cmn =
An m m
m 或Cn = m! 或Cn =
n!
；
Am m! n-m !
(2)Cmn =Cn-m 0n ，规定Cn= 1；
(3)Cm mn+1=Cn +Cm-1n .
§6.3二项式定理
1.二项式定理
(1)二项式定理：
a+ b n=C0nan+C1 n-1na b+C2an-2b2+ +Ckan-kbkn n + +Cn nnb n∈N+ .
右边的多项式叫做 a+ b n的二项展开式.
(2)二项展开式的通项：第 k+ 1项：Tk+1=Ckan-kbkn 0≤ k≤n,k∈N ,k∈N+ .
(3)二项式系数：Ckn
2.二项式系数的性质：
(1)若令 a= 1,b= x,则有： 1+ x n=C0xn+C1xn 1n n +C2 n 2nx + +Cnx0n ，
若令 x= 1，则有 1+ 1 n= 2n=C0n+C1n+C2n+ +Cnn.
奇数项二项式系数的和等于偶数项二项式系数的和.即C0n+C2n+ =C1n+C3n+ = 2n-1.
(2)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即Cmn =Cn mn ；
(3)增减性与最大值：
当 k< n+ 1 n+ 12 时，二项式系数C
k
n的值逐渐增大，当 k> 2 时,C
k
n的值逐渐减小；
32
n
当n为偶数时，中间的一项C 2n 取得最大值；
n-1 n+1
当n为奇数时，中间的两项C 2 和=C 2n n 相等，且同时取最大值.
33
第7章 随机变量及其分布
§7.1条件概率与全概率公式
P(AB)
1.条件概率：设A，B为两个随机事件，且P A > 0，称P B A = ( ) 为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概P A
率，简称条件概率.
2.乘法公式：对任意两个事件A与B，若P A > 0，则P AB =P A P B A .
3.全概率公式：设A1,A2, An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪ ∪An=Ω，且P Ai > 0，i= 1,2, ,n，则对任意的事
n
件B Ω,有P B = P Ai P B Ai .
i=1
§7.2离散型随机变量及其分布列
1.随机变量：对于随机试验样本空间中的每个样本点ω，都有唯一的实数X ω 与之对应，我们称X为随机变量，可能取值为
有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量.随机变量常用大写英文字母表示，例X,Y,Z.
2.概率分布列：
(1)定义：设离散型随机变量X可能取的不同值为 x1,x2, ,xn，我们称X取每一个值 xi的概率：P X= xi = pi，i= 1,2, ,
n，为X的概率分布列，简称分布列.常用表格表示：
X
P
(2)性质：① pi≥ 0，i= 1,2,3 n；② p1+p2+ +pn= 1.
3.两点分布：
若X的分布列如表所示
X 0 1
P 1- p p
我们称X服从两点分布或 0- 1分布.
§7.3离散型随机变量的数字特征
1.离散型随机变量的均值
(1)定义：若离散型随机变量X的分布列如表所示
X
P
n
则称则称E X = x1p1+x2p2+ +xipi+ +xnpn= xipi为离散型随机变量X的均值或数学期望 (简称期望).它反映了离
i=1
散型随机变量取值的平均水平.
(2)性质：E aX+ b = aE X + b.
2.离散型随机变量的方差
(1)定义：若离散型随机变量X的分布列为
X
P
n
则称D(X) = (xi-E(X))2pi为离散型随机变量X的方差，也记为Var X ，并称 D(X)为随机变量 的标准差.记为
i=1
σ X .它反映了离散型随机变量取值的离散程度.
34
D X 越小，取值越集中;D X 越大，取值越分散.
(2)性质：D(aX+ b) = a2D(X).
§7.4二项分布与超几何分布
1.二项分布
我们只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努
利试验，n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为 p 0< p< 1 ，用X表示事件A发生的次数，则A的分布列
为
P(X= k) =Ck k n-knp (1- p) ，k= 0,1,2, n.
随机变量X的具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X B n,p .
2.超几何分布
在含有M件次品的N件产品中，任取n件 (不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为
k n-k
P X=
C C
k = M N-Mn (k= 0,1,2, ,m),CN
其中m=min M ,n ，n,M ,N∈N *，n≤N，M≤N，m=max 0,n-N+M ，r=min n,M .
如果随机变量X的分布列具有上式形式,那么称随机变量X服从超几何分布.
§7.5正态分布
1.正态分布定义：
- x-μ
2
1 2
若连续性随机变量X的概率分布密度函数为 f x = e 2σ ，x∈R，μ∈R，σ> 0，
σ 2π
则称随机变量X服从正态分布，记为记作X N (μ,σ2).它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线.
当 μ= 0,σ= 1时，称随机变量X服从标准正态分布.
2.正态曲线的特点：
曲线是单峰的，它关于直线 x= μ对称；
1
曲线在 x= μ处达到峰值 ；
σ 2π
当 x 无限增大时，曲线无限接近 x轴；
当 σ较小时，峰值高，正态曲线瘦高，表示随机变量X的分布比较集中；
当 σ较大时，峰值低，正态曲线矮胖；表示随机变量X的分布比较分散.
3.正态分布的期望、方差
若X N (μ,σ2)，则E(x) =u，D x = σ2.
4.3σ原则
若X N (μ,σ2),P μ- 3σ≤X≤ μ+ 3σ ≈ 0.9973，由此看到一次试验中，X的取值几乎总是落在区间 μ- 3σ,μ+ 3σ 内，
在此区间外的概率大约只有 0.0027，通常认为服从正态分布的随机变量X只取 μ- 3σ,μ+ 3σ 中的值，这在统计学中称为
3σ原则.
35
第8章 成对数据的统计分析
§8.1成对数据的统计相关性
1.相关关系：两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系.
2.相关关系分类：
正相关：当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，就称这两个变量正相关；
负相关：当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现减小的趋势，就称这两个变量负相关.
3.线性相关：如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，就称这两个变量线性相关.
4.样本相关系数 r：
n n
xi-x y-y i xiyi-nx y
(1)r= i=1 = i=1n n n n
xi-x 2 y 2i-y x2i-nx 2 y2i-ny 2
i=1 i=1 i=1 i=1
(2)样本相关系数 r的数字特征：
当 r> 0时，称成对样本数据正相关；
当 r< 0时，称成对样本数据负相关；
当 r 越接近 1时，成对样本数据的线性相关程度越强；
当 r 越接近 0时，成对样本数据的线性相关程度越弱.
§8.2一元线性回归模型及其应用
1.一元线性回归模型：
Y= bx+ a+ e E(e) = 0,D(e) = σ2.
Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量，a为截距参数，b为斜率参数，e是Y与 bx+ a之间的随机误差.

2. 经验回归方程 y= bx+ a：
(1)相关概念：
经验回归直线：经验回归方程也称经验回归函数或经验回归公式，图形称为经验回归直线.

最小二乘估计：求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的 b,a叫做 b,a的最小二乘估计.

残差：对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的 y称为预测值，观测值减去预测值称为
残差.
n n xi-x yi-y xiyi-nx
y
b= i=1 = i=1
( n n2) xi-x
2 x2i-nx 2
i=1 i=1
a = y - bx
(3)决定系数R2：
n
- yi yi 2
R2= 1- i=1n
yi-yi 2
i=1
R2越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好；
R2越小，表示残差平方和越大，即模型的拟合效果越差；
§8.3列联表与独立性检验
1.分类变量：现实生活中，人们经常需要回答一定范围内的两种现象或性质之间是否存在关联性或相互影响的问题，为了表
述方便，我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为分类变量.
2. 2×2列联表：
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Y
X 合计
Y= 0 Y= 1
X= 0 a b a+ b
X= 1 c d c+ d
合计 a+ c b+ d n= a+ b+ c+ d
3.独立性检验：
(1)零假设 (原假设)H0：P Y= 1 X= 0 =P Y= 1 X= 1 ，即分类变量X和Y独立.
(2)χ2独立性检验：
2= n(ad- bc)
2
① χ (a+ b) (c+ d) (a+ c) (b+ d)
②临界值：对于小概率值 α，可以找到相应的正实数 xα，使下面关系成立：P(χ2≥ xα) = α，我们称 xα为 α的临界值.
常用小概率值和相应的临界值表：
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
③基于小概率值 α的检验规则：
当 χ2≥ xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过 α.
当 χ2< xα时，我们没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立.
这种利用 χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为 χ2独立性检验，简称独立性检验.
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