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§1.4　基本不等式
考试要求　1.了解基本不等式的推导过程.2.会用基本不等式解决简单的最值问题.3.理解基本不等式在实际问题中的应用．
知识梳理
1．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立．
(3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)＋≥2(a，b同号)．
(3)ab≤2 (a，b∈R)．
(4)≥2 (a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
3．利用基本不等式求最值
(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2.
(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.
注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)不等式ab≤2与≤等号成立的条件是相同的．(　×　)
(2)y＝x＋的最小值是2.(　×　)
(3)若x>0，y>0且x＋y＝xy，则xy的最小值为4.(　√　)
(4)函数y＝sin x＋，x∈的最小值为4.(　×　)
教材改编题
1．若正实数a，b满足a＋4b＝ab，则ab的最小值为(　　)
A．16 B．8 C．4 D．2
答案　A
解析　因为正实数a，b满足a＋4b＝ab，
所以ab＝a＋4b≥2＝4，
所以ab≥16，
当且仅当a＝4b，即a＝8，b＝2时等号成立．
2．函数y＝x＋(x≥0)的最小值为________．
答案　1
解析　因为x≥0，所以x＋1>0，>0，
利用基本不等式得y＝x＋＝x＋1＋－1≥2－1＝1，
当且仅当x＋1＝，即x＝0时，等号成立．
所以函数y＝x＋(x≥0)的最小值为1.
3．若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m2.
答案　25
解析　设矩形的一边为x m，面积为y m2，
则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m，
其中0∴y＝x(10－x)≤2＝25，
当且仅当x＝10－x，即x＝5时，等号成立，
∴ymax＝25，
即矩形场地的最大面积是25 m2.
题型一　利用基本不等式求最值
命题点1　配凑法
例1　(1)已知x>2，则函数y＝x＋的最小值是(　　)
A．2 B．2＋2
C．2 D.＋2
答案　D
解析　由题意可知，x－2>0，
∴y＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝＋2，当且仅当x＝2＋时，等号成立，
∴函数y＝x＋(x>2)的最小值为＋2.
(2)设0答案　
解析　∵00，
y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤22＝，
当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立．
∵∈，
∴函数y＝4x(3－2x)的最大值为.
命题点2　常数代换法
例2　已知x>0，y>0，且4x＋2y－xy＝0，则2x＋y的最小值为(　　)
A．16 B．8＋4
C．12 D．6＋4
答案　A
解析　由题意可知＋＝1，
∴2x＋y＝(2x＋y)＝＋＋8≥2＋8＝16，
当且仅当＝，即x＝4，y＝8时，等号成立，
则2x＋y的最小值为16.
命题点3　消元法
例3　(2023·烟台模拟)已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________．
答案　6
解析　方法一　(换元消元法)
由已知得9－(x＋3y)＝xy＝·x·3y≤·2，当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号．
即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0，
令x＋3y＝t，则t>0且t2＋12t－108≥0，
得t≥6，即x＋3y的最小值为6.
方法二　(代入消元法)
由x＋3y＋xy＝9，得x＝，
所以x＋3y＝＋3y＝
＝＝
＝3(1＋y)＋－6≥2－6
＝12－6＝6，
当且仅当3(1＋y)＝，即y＝1，x＝3时取等号，
所以x＋3y的最小值为6.
延伸探究　本例条件不变，求xy的最大值．
解　9－xy＝x＋3y≥2，
∴9－xy≥2，
令＝t，
∴t>0，
∴9－t2≥2t，
即t2＋2t－9≤0，
解得0∴≤，∴xy≤3，
当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号，
∴xy的最大值为3.
思维升华　(1)前提：“一正”“二定”“三相等”．
(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．
(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法．
跟踪训练1　(1)(多选)若正实数a，b满足a＋b＝1，则下列说法错误的是(　　)
A．ab有最小值
B．8＋8有最大值8
C.＋有最小值4
D．a2＋b2有最小值
答案　AD
解析　由1＝a＋b≥2，
得ab≤，故ab有最大值，故A错误；
(＋)2＝a＋b＋2＝1＋2≤1＋2＝2，
则＋≤，则8＋8有最大值8，故B正确；
＋＝＝≥4，
故＋有最小值4，故C正确；
a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥，
所以a2＋b2有最小值，故D错误．
(2)已知x>1，则y＝的最大值为________．
答案　
解析　令t＝x－1，∴x＝t＋1，
∵x>1，∴t>0，
∴y＝＝＝≤＝，
当且仅当t＝，t＝2，即x＝3时，等号成立，
∴当x＝3时，ymax＝.
题型二　基本不等式的常见变形应用
例4　(1)若0A．b>>a>
B．b>>>a
C．b>>>a
D．b>a>>
答案　C
解析　∵0a＋b，
∴b>>.
∵b>a>0，∴ab>a2，∴>a.
故b>>>a.
(2) (2023·宁波模拟)《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为(　　)
A.≥(a>0，b>0)
B．a2＋b2≥2(a>0，b>0)
C.≤(a>0，b>0)
D.≤(a>0，b>0)
答案　D
解析　由图形可知，OF＝AB＝(a＋b)，
OC＝(a＋b)－b＝(a－b)，
在Rt△OCF中，由勾股定理可得，
CF＝＝，
∵CF≥OF，
∴≥(a＋b)(a>0，b>0)．
思维升华　基本不等式的常见变形
(1)ab≤2≤.
(2)≤≤≤(a>0，b>0)．
跟踪训练2　(2022·漳州质检)已知a，b为互不相等的正实数，则下列四个式子中最大的是(　　)
A. B.＋
C. D.
答案　B
解析　∵a，b为互不相等的正实数，
∴＋>，
<＝<，
<＝<，
∴最大的是＋.
题型三　基本不等式的实际应用
例5　中华人民共和国第十四届运动会在陕西省举办，某公益团队联系全运会组委会举办一场纪念品展销会，并将所获利润全部用于社区体育设施建设．据市场调查，当每套纪念品(一个会徽和一个吉祥物)售价定为x元时，销售量可达到(15－0.1x)万套．为配合这个活动，生产纪念品的厂家将每套纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为50元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.约定不计其他成本，即销售每套纪念品的利润＝售价－供货价格．
(1)每套会徽及吉祥物售价为100元时，能获得的总利润是多少万元？
(2)每套会徽及吉祥物售价为多少元时，单套的利润最大？最大值是多少元？
解　(1)每套会徽及吉祥物售价为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)，
供货单价为50＋＝52(元)，
总利润为5×(100－52)＝240(万元)．
(2)设售价为x元，则销售量为(15－0.1x)万套，供货单价为元，
单套利润为x－50－＝元，因为15－0.1x>0，所以0所以单套利润为
y＝x－50－＝－＋100≤100－2＝80，
当且仅当150－x＝10，即x＝140时取等号，
所以每套会徽及吉祥物售价为140元时，单套的利润最大，最大值是80元．
思维升华　利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题，设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值．
跟踪训练3　某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形ABCD，如图)上设计三个等高的宣传栏(栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形)，宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm2.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm.当直角梯形的高为__________ cm时，用纸量最少(即矩形ABCD的面积最小)．
答案　12
解析　设直角梯形的高为x cm，
∵宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm2，
且海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm，
∴海报宽AD＝x＋4，海报长DC＝＋8，
故S矩形ABCD＝AD·DC＝(x＋4)＝8x＋＋1 472≥2＋1 472＝192＋1 472，
当且仅当8x＝，
即x＝12时，等号成立．
∴当直角梯形的高为12 cm时，用纸量最少．
课时精练
1．下列函数中，最小值为2的是(　　)
A．y＝x＋
B．y＝
C．y＝ex＋e－x
D．y＝sin x＋
答案　C
解析　当x<0时，y＝x＋<0，故A错误；
y＝＝＋≥2，
当且仅当＝，即x2＝－1时取等号，
又x2≠－1，故B错误；
y＝ex＋e－x≥2＝2，
当且仅当ex＝e－x，
即x＝0时取等号，故C正确；
当x∈时，sin x∈(0,1)，
y＝sin x＋≥2，
当且仅当sin x＝，
即sin x＝1时取等号，
因为sin x∈(0,1)，故D错误．
2．已知a>0，b>0，a＋b＝2，则lg a＋lg b的最大值为(　　)
A．0 B. C. D．1
答案　A
解析　∵a>0，b>0，a＋b＝2，
∴lg a＋lg b＝lg ab≤lg2＝0，
当且仅当a＝b＝1时，取等号．
∴lg a＋lg b的最大值为0.
3．(2021·新高考全国Ⅰ)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　)
A．13 B．12 C．9 D．6
答案　C
解析　由椭圆C：＋＝1，得|MF1|＋|MF2|＝2×3＝6，则|MF1|·|MF2|≤2＝32＝9，当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时等号成立．
所以|MF1|·|MF2|的最大值为9.
4．(2023·太原模拟)已知a，b为正实数，a＋b＝3，则＋的最小值为(　　)
A. B. C. D．4
答案　A
解析　因为a＋b＝3，
所以＋＝(a＋1＋b＋2)＝≥＝，
当且仅当＝，即a＝2，b＝1时，等号成立．
所以＋的最小值为.
5．(多选)(2022·衡阳模拟)设a＝log23，b＝log2，则下列关系正确的是(　　)
A．ab> B．ab<
C.> D．ab>
答案　BCD
解析　易知a>0，b>0，＝1，a≠b，ab<＝1，ab> a>1，显然成立．
所以>ab>.
6．(多选)(2023·黄冈模拟)若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是(　　)
A．0<≤ B.＋≥1
C．log2a＋log2b<2 D.≤
答案　BD
解析　因为a>0，b>0，所以ab≤2≤，当且仅当a＝b＝2时等号成立，
则ab≤2＝4或2≤，当且仅当a＝b＝2时等号成立，
则≥，a2＋b2≥8，≤，
当且仅当a＝b＝2时等号成立，
则log2a＋log2b＝log2ab≤log24＝2，
当且仅当a＝b＝2时等号成立，故A，C不恒成立，D恒成立；
对于B选项，＋＝＝≥4×＝1，
当且仅当a＝b＝2时等号成立，故B恒成立．
7．函数y＝(x>－1)的最小值为________．
答案　0
解析　因为y＝＝x－1＋＝x＋1＋－2(x>－1)，
所以y≥2－2＝0，
当且仅当x＝0时，等号成立．
所以y＝(x>－1)的最小值为0.
8．(2023·娄底质检)已知a，b为正实数，且2a＋b＝1，则＋的最小值为________．
答案　6
解析　由已知条件得，＋＝＋＝＋4≥2＋4＝6，
当且仅当＝，即a＝，b＝时，取等号．
所以＋的最小值为6.
9．(1)当x<时，求函数y＝x＋的最大值；
(2)已知0解　(1)y＝(2x－3)＋＋＝－＋.
当x<时，有3－2x>0，
所以＋≥2 ＝4，
当且仅当＝，即x＝－时，取等号．
于是y≤－4＋＝－，故函数的最大值为－.
(2)因为0所以4－x2>0，
则y＝x＝≤＝2，
当且仅当x2＝4－x2，即x＝时，取等号，
所以y＝x的最大值为2.
10．某企业为了进一步增加市场竞争力，计划利用新技术生产某款新手机．通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本300万元，每生产x(千部)手机，需另投入成本R(x)万元，且R(x)＝通过市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．
(1)求出今年的利润W(x)(万元)关于年产量x(千部)的函数关系式(利润＝销售额－成本)；
(2)今年产量为多少(千部)时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
解　(1)当0当x≥40时，W(x)＝700x－－300＝－＋9 150，
∴W(x)＝
(2)若0当x＝30时，W(x)max＝8 700(万元)．
若x≥40，W(x)＝－＋9 150≤9 150－2＝8 950，
当且仅当x＝时，即x＝100时，取等号．
∴W(x)max＝8 950(万元)．
∴今年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8 950万元．
11. (2023·湘潭模拟)已知α，β为锐角，且tan α－tan β＋2tan αtan2β＝0，则tan α的最大值为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　因为β为锐角，所以tan β>0，
由题意可得tan α＝＝≤＝，
当且仅当tan β＝时取等号，
故tan α的最大值为.
12．(2022·天津模拟)若a>0，b>0，则(a＋b)2＋的最小值为________．
答案　4
解析　若a>0，b>0，则(a＋b)2＋≥(2)2＋＝4ab＋≥4，
当且仅当
即a＝b＝时取等号，
故所求的最小值为4.
13.《几何原本》中的几何代数法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆，过点C作AB的垂线交半圆于D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E，则该图形可以完成的无字证明为(　　)
A.≤(a>0，b>0)
B．a2＋b2≥2ab(a>0，b>0)
C.≥(a>0，b>0)
D.≥(a>0，b>0)
答案　C
解析　根据图形，利用射影定理得CD2＝DE·OD，
又OD＝AB＝(a＋b)，CD2＝AC·CB＝ab，
所以DE＝＝，
由于OD≥CD，
所以≥(a>0，b>0)．
由于CD≥DE，
所以≥＝(a>0，b>0)．
14．(多选)(2022·新高考全国Ⅱ)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则(　　)
A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2
C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1
答案　BC
解析　因为ab≤2≤(a，b∈R)，
由x2＋y2－xy＝1可变形为(x＋y)2－1＝3xy≤32，
解得－2≤x＋y≤2，
当且仅当x＝y＝－1时，x＋y＝－2，
当且仅当x＝y＝1时，x＋y＝2，所以A错误，B正确；
由x2＋y2－xy＝1可变形为(x2＋y2)－1＝xy≤，
解得x2＋y2≤2，当且仅当x＝y＝±1时取等号，所以C正确；
因为x2＋y2－xy＝1可变形为2＋y2＝1，
设x－＝cos θ，y＝sin θ，
所以x＝cos θ＋sin θ，y＝sin θ，
因此x2＋y2＝cos2θ＋sin2θ＋sin θcos θ＝1＋sin 2θ－cos 2θ＋
＝＋sin∈，所以D错误．§1.1　集　合
考试要求　1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算．
知识梳理
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或 表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合 非负整数集(或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*(或N＋) Z Q R
2.集合的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A B(或B A)．
(2)真子集：如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，就称集合A是集合B的真子集，记作A?B(或B?A)．
(3)相等：若A B，且B A，则A＝B.
(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为 .空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．集合的基本运算
表示 运算 集合语言 图形语言 记法
并集 {x|x∈A，或x∈B} A∪B
交集 {x|x∈A，且x∈B} A∩B
补集 {x|x∈U，且x A} UA
常用结论
1．若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集．
2．A∩B＝A A B，A∪B＝A B A.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)集合{x∈N|x3＝x}，用列举法表示为{－1,0,1}．(　×　)
(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(　×　)
(3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或x＝1.(　×　)
(4)对任意集合A，B，都有(A∩B) (A∪B)．(　√　)
教材改编题
1．(2022·新高考全国Ⅱ)已知集合A＝{－1,1,2,4}，B＝{x||x－1|≤1}，则A∩B等于(　　)
A．{－1,2} B．{1,2}
C．{1,4} D．{－1,4}
答案　B
解析　由|x－1|≤1，得－1≤x－1≤1，解得0≤x≤2，所以B＝{x|0≤x≤2}，所以A∩B＝{1,2}，故选B.
2．下列集合与集合A＝{2 022,1}相等的是(　　)
A．(1,2 022)
B．{(x，y)|x＝2 022，y＝1}
C．{x|x2－2 023x＋2 022＝0}
D．{(2 022,1)}
答案　C
解析　(1,2 022)表示一个点，不是集合，A不符合题意；
集合{(x，y)|x＝2 022，y＝1}的元素是点，与集合A不相等，B不符合题意；
{x|x2－2 023x＋2 022＝0}＝{2 022,1}＝A，故C符合题意；
集合{(2 022,1)}的元素是点，与集合A不相等，D不符合题意．
3．设全集U＝R，集合A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2x－4≥x－2}，则A∪B＝________， U(A∩B)＝________.
答案　{x|x≥－1}　{x|x<2或x≥3}
解析　因为A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2x－4≥x－2}＝{x|x≥2}，
所以A∪B＝{x|x≥－1}，A∩B＝{x|2≤x<3}，
U(A∩B)＝{x|x<2或x≥3}.
题型一　集合的含义与表示
例1　(1)(2022·衡水模拟)设集合A＝{(x，y)|y＝x}，B＝{(x，y)|y＝x2}，则集合A∩B的元素个数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
答案　C
解析　如图，函数y＝x与y＝x2的图象有两个交点，
故集合A∩B有两个元素．
(2)已知集合A＝{1，a－2，a2－a－1}，若－1∈A，则实数a的值为(　　)
A．1 B．1或0
C．0 D．－1或0
答案　C
解析　∵－1∈A，
若a－2＝－1，即a＝1时，A＝{1，－1，－1}，不符合集合元素的互异性；
若a2－a－1＝－1，即a＝1(舍去)或a＝0时，
A＝{1，－2，－1}，
故a＝0.
思维升华　解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．
跟踪训练1　(1)(多选)若集合M＝{x|x－2<0，x∈N}，则下列四个命题中，错误的命题是(　　)
A．0 M B．{0}∈M
C．{1} M D．1 M
答案　ABD
解析　对于A，因为M＝{x|x－2<0，x∈N}，所以0∈M，所以A错误；
对于B，因为{0}是集合，且0∈M，所以{0} M，所以B错误；
对于C，因为1∈M，所以{1} M，所以C正确；
对于D，因为1是元素，1∈M，所以D错误．
(2)(2023·聊城模拟)已知集合A＝{0,1,2}，B＝{ab|a∈A，b∈A}，则集合B中元素的个数为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
答案　C
解析　因为A＝{0,1,2}，a∈A，b∈A，
所以ab＝0或ab＝1或ab＝2或ab＝4，
故B＝{ab|a∈A，b∈A}＝{0,1,2,4}，
即集合B中含有4个元素．
题型二　集合间的基本关系
例2　(1)(2022·宜春质检)已知集合A＝{x|y＝ln(x－2)}，B＝{x|x≥－3}，则下列结论正确的是(　　)
A．A＝B B．A∩B＝
C．A?B D．B A
答案　C
解析　由题设，可得A＝{x|x>2}，
又B＝{x|x≥－3}，
所以A是B的真子集，
故A，B，D错误，C正确．
(2)设集合A＝{x|－1≤x＋1≤2}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，当x∈Z时，集合A的真子集有________个；当B A时，实数m的取值范围是________．
答案　15　(－∞，－2)∪[－1,0]
解析　A＝{x|－2≤x≤1}，
若x∈Z，则A＝{－2，－1,0,1}，
故集合A的真子集有24－1＝15(个)．
由B A，
得①若B＝ ，则2m＋1②若B≠ ，则
解得－1≤m≤0，
综上，实数m的取值范围是(－∞，－2)∪[－1,0]．
思维升华　(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解．
(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
跟踪训练2　(1)(多选)已知非空集合M满足：①M {－2，－1,1,2,3,4}，②若x∈M，则x2∈M.则集合M可能是(　　)
A．{－1,1} B．{－1,1,2,4}
C．{1} D．{1，－2,2}
答案　AC
解析　由题意可知3 M且4 M，而－2或2与4同时出现，
所以－2 M且2 M，
所以满足条件的非空集合M有{－1,1}，{1}．
(2)函数f(x)＝的定义域为A，集合B＝{x|－a≤x≤4－a}，若B A，则实数a的取值范围是________________．
答案　(－∞，－3]∪[5，＋∞)
解析　由x2－2x－3≥0，得x≥3或x≤－1，
即A＝{x|x≥3或x≤－1}．
∵B A，
显然B≠ ，
∴4－a≤－1或－a≥3，
解得a≥5或a≤－3，
故实数a的取值范围是(－∞，－3]∪[5，＋∞)．
题型三　集合的基本运算
命题点1　集合的运算
例3　(1)(2021·全国乙卷)已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T等于(　　)
A． B．S C．T D．Z
答案　C
解析　方法一　在集合T中，令n＝k(k∈Z)，则t＝4n＋1＝2(2k)＋1(k∈Z)，而集合S中，s＝2n＋1(n∈Z)，所以必有T S，所以S∩T＝T.
方法二　S＝{…，－3，－1,1,3,5，…}，T＝{…，－3,1,5，…}，观察可知，T S，所以S∩T＝T.
(2)设全集U＝R，A＝{x|－2≤x<4}，B＝{x|y＝}，则图中阴影部分表示的集合为(　　)
A．{x|x≤－2} B．{x|x>－2}
C．{x|x≥4} D．{x|x≤4}
答案　C
解析　观察Venn图，可知阴影部分的元素由属于B而不属于A的元素构成，所以阴影部分表示的集合为( UA)∩B.
∵A＝{x|－2≤x<4}，U＝R，
∴ UA＝{x|x<－2或x≥4}，
又B＝{x|y＝} B＝{x|x≥－2}，
∴( UA)∩B＝{x|x≥4}．
命题点2　利用集合的运算求参数的值(范围)
例4　(2023·衡水模拟)已知集合A＝{x|y＝ln(1－x2)}，B＝{x|x≤a}，若( RA)∪B＝R，则实数a的取值范围为(　　)
A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，1]
答案　B
解析　由题可知A＝{x|y＝ln(1－x2)}＝{x|－1 RA＝{x|x≤－1或x≥1}，
所以由( RA)∪B＝R，得a≥1.
思维升华　对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况．
跟踪训练3　(1)(2022·全国甲卷)设全集U＝{－2，－1，0,1,2,3}，集合A＝{－1,2}，B＝{x|x2－4x＋3＝0}，则 U(A∪B)等于(　　)
A．{1,3} B．{0,3}
C．{－2,1} D．{－2,0}
答案　D
解析　由题意得集合B＝{1,3}，所以A∪B＝{－1,1,2,3}，
所以 U(A∪B)＝{－2,0}．故选D.
(2)(2023·驻马店模拟)已知集合A＝{x|(x－1)(x－4)<0}，B＝{x|x>a}，若A∪B＝{x|x>1}，则a的取值范围是(　　)
A．[1,4) B．(1,4)
C．[4，＋∞) D．(4，＋∞)
答案　A
解析　由题意可得A＝{x|1因为A∪B＝{x|x>1}，
所以1≤a<4.
题型四　集合的新定义问题
例5　(1)(多选)当一个非空数集F满足条件“若a，b∈F，则a＋b，a－b，ab∈F，且当b≠0时，∈F”时，称F为一个数域，以下说法正确的是(　　)
A．0是任何数域的元素
B．若数域F有非零元素，则2 023∈F
C．集合P＝{x|x＝3k，k∈Z}为数域
D．有理数集为数域
答案　ABD
解析　对于A，若a∈F，则a－a＝0∈F，故A正确；
对于B，若a∈F且a≠0，则1＝∈F，2＝1＋1∈F，3＝1＋2∈F，依此类推，可得2 023∈F，故B正确；
对于C，P＝{x|x＝3k，k∈Z},3∈P,6∈P，但 P，故P不是数域，故C错误；
对于D，若a，b是两个有理数，则a＋b，a－b，ab，(b≠0)都是有理数，所以有理数集是数域，故D正确．
(2)已知集合M＝{1,2,3,4}，A M，集合A中所有元素的乘积称为集合A的“累积值”，且规定：当集合A只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0.设集合A的累积值为n.
①若n＝3，则这样的集合A共有________个；
②若n为偶数，则这样的集合A共有________个．
答案　2　13
解析　①若n＝3，据“累积值”的定义得A＝{3}或A＝{1,3}，这样的集合A共有2个；
②因为集合M的子集共有24＝16(个)，
其中“累积值”为奇数的子集为{1}，{3}，{1,3}，共3个，
所以“累积值”为偶数的集合共有13个．
思维升华 解决集合新定义问题的关键
解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目所给定义和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆．
跟踪训练4　设集合U＝{2,3,4}，对其子集引进“势”的概念：①空集的“势”最小；②非空子集的元素越多，其“势”越大；③若两个子集的元素个数相同，则子集中最大的元素越大，子集的“势”就越大．最大的元素相同，则第二大的元素越大，子集的“势”就越大，依此类推．若将全部的子集按“势”从小到大的顺序排列，则排在第6位的子集是________．
答案　{2,4}
解析　根据题意，将全部的子集按“势”从小到大的顺序排列为： ，{2}，{3}，{4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，{2,3,4}．
故排在第6位的子集为{2,4}．
课时精练
1．(2022·全国乙卷)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M满足 UM＝{1,3}，则(　　)
A．2∈M B．3∈M
C．4 M D．5 M
答案　A
解析　由题意知M＝{2,4,5}，故选A.
2．设集合A＝{x∈N*|2x<4}，B＝{x∈N|－1A．{x|－1C．{0,1} D．{1}
答案　C
解析　由2x<4可得x<2，
则A＝{x∈N*|2x<4}＝{1}，
B＝{x∈N|－1所以A∪B＝{0,1}．
3．(2022·娄底质检)集合M＝{(x，y)|2x－y＝0}，N＝{(x，y)|x＋y－3＝0}，则M∩N等于(　　)
A．{(2，－1)} B．{2，－1}
C．{(1,2)} D．{1,2}
答案　C
解析　联立
解得则M∩N＝{(1,2)}．
4．(2023·南京模拟)已知集合A＝{x|x2－6x－7<0}，B＝{y|y＝3x，x<1}，则A∩( RB)等于(　　)
A．[3,7) B．(－1,0]∪[3,7)
C．[7，＋∞) D．(－∞，－1)∪[7，＋∞)
答案　B
解析　A＝{x|x2－6x－7<0}＝(－1,7)，
B＝{y|y＝3x，x<1}＝(0,3)，
所以 RB＝(－∞，0]∪[3，＋∞)，
所以A∩( RB)＝(－1,0]∪[3,7)．
5．(2022·海南模拟)已知集合A＝{x|x2≤1}，集合B＝{x|x∈Z且x＋1∈A}，则B等于(　　)
A．{－1,0,1} B．{－2，－1,0}
C．{－2，－1,0,1} D．{－2，－1,0,1,2}
答案　B
解析　因为集合A＝{x|x2≤1}，
所以A＝{x|－1≤x≤1}，
在集合B中，由x＋1∈A，得－1≤x＋1≤1，即－2≤x≤0，又x∈Z，所以x＝－2，－1,0，即B＝{－2，－1,0}．
6．(2022·怀仁模拟)已知集合A＝{x|1m}，若A∩( RB)＝ ，则实数m的取值范围为(　　)
A．(－∞，1] B．(－∞，1)
C．[1，＋∞) D．(1，＋∞)
答案　A
解析　由题知A∩( RB)＝ ，得A B，则m≤1.
7．(多选)已知集合A＝{1,3，m2}，B＝{1，m}．若A∪B＝A，则实数m的值为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
答案　AD
解析　因为A∪B＝A，所以B A.
因为A＝{1,3，m2}，B＝{1，m}，
所以m2＝m或m＝3，解得m＝0或m＝1或m＝3.
当m＝0时，A＝{1,3,0}，B＝{1,0}，符合题意；
当m＝1时，集合A、集合B均不满足集合元素的互异性，不符合题意；
当m＝3时，A＝{1,3,9}，B＝{1,3}，符合题意．
综上，m＝0或3.
8．(多选)已知全集U的两个非空真子集A，B满足( UA)∪B＝B，则下列关系一定正确的是(　　)
A．A∩B＝ B．A∩B＝B
C．A∪B＝U D．( UB)∪A＝A
答案　CD
解析　令U＝{1,2,3,4}，A＝{2,3,4}，B＝{1,2}，满足( UA)∪B＝B，但A∩B≠ ，A∩B≠B，故A，B均不正确；
由( UA)∪B＝B，知 UA B，
∴U＝A∪( UA) (A∪B)，∴A∪B＝U，
由 UA B，知 UB A，
∴( UB)∪A＝A，故C，D均正确．
9．(2023·金华模拟)已知集合U＝{1,2,3,4,5,6}，S＝{1,3,5}，T＝{2,3,6}，则S∩( UT)＝________，集合S共有________个子集．
答案　{1,5}　8
解析　由题意可得 UT＝{1,4,5}，
则S∩( UT)＝{1,5}．
集合S的子集有23个，即8个．
10.(2023·石家庄模拟)已知全集U＝R，集合M＝{x∈Z||x－1|<3}，N＝{－4，－2,0,1,5}，则Venn图中阴影部分的集合为________．
答案　{－1,2,3}
解析　集合M＝{x∈Z||x－1|<3}＝{x∈Z|－3则Venn图中阴影部分表示的集合是M∩( RN)＝{－1,2,3}．
11．已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且A∪B＝A，则m的值可能是________．
答案　0，－，
解析　由x2＋x－6＝0，得x＝2或x＝－3，
所以A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}，
因为A∪B＝A，所以B A，
当B＝ 时，B A成立，此时方程mx＋1＝0无解，得m＝0；
当B≠ 时，得m≠0，则集合B＝{x|mx＋1＝0}＝，
因为B A，所以－＝－3或－＝2，
解得m＝或m＝－，
综上，m＝0，m＝或m＝－.
12．已知集合A＝{x|(x＋3)(x－3)≤0}，B＝{x|2m－3≤x≤m＋1}．当m＝－1时，则A∪B＝________；若A∩B＝B，则m的取值范围为________．
答案　[－5,3]　[0,2]∪(4，＋∞)
解析　A＝{x|－3≤x≤3}，
当m＝－1时，B＝{x|－5≤x≤0}，
此时A∪B＝[－5,3]．
由A∩B＝B可知B A.
若B＝ ，则2m－3>m＋1解得m>4；
若B≠ ，则解得0≤m≤2，
综上所述，实数m的取值范围为[0,2]∪(4，＋∞)．
13．(多选)已知全集U＝{x∈N|log2x<3}，A＝{1,2,3}， U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，则集合B可能为(　　)
A．{2,3,4} B．{3,4,5}
C．{4,5,6} D．{3,5,6}
答案　BD
解析　由log2x<3得0因为 U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，则有A∩B＝{3},3∈B，C不正确；
若B＝{2,3,4}，则A∩B＝{2,3}， U(A∩B)＝{1,4,5,6,7}，矛盾，A不正确；
若B＝{3,4,5}，则A∩B＝{3}， U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，B正确；
若B＝{3,5,6}，则A∩B＝{3}， U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，D正确．
14．某小区连续三天举办公益活动，第一天有190人参加，第二天有130人参加，第三天有180人参加，其中，前两天都参加的有30人，后两天都参加的有40人．第一天参加但第二天没参加活动的有________人，这三天参加活动的最少有________人．
答案　160　290
解析　根据题意画出Venn图，如图所示，
a表示只参加第一天的人，
b表示只参加第二天的人，
c表示只参加第三天的人，
d表示只参加第一天与第二天的人，
e表示只参加第一天与第三天的人，
f表示只参加第二天与第三天的人，
g表示三天都参加的人，
∴要使总人数最少，则令g最大，其次d，e，f也尽量大，d＋g＝30，f＋g＝40，
∴a＋e＝160，即第一天参加但第二天没参加的有160人，
∴gmax＝30，d＝0，f＝10，a＋d＋g＋e＝190，
∴c＋e＝140，
∴emax＝140，∴c＝0，a＝20，
则这三天参加活动的最少有a＋b＋c＋…＋g＝20＋90＋0＋0＋140＋10＋30＝290(人)．
15．(多选)1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称“戴德金分割”)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了数学史上的第一次大危机．将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N＝Q，M∩N＝ ，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称(M，N)为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是(　　)
A．M＝{x∈Q|x<0}，N＝{x∈Q|x>0}满足戴德金分割
B．M没有最大元素，N有一个最小元素
C．M有一个最大元素，N有一个最小元素
D．M没有最大元素，N也没有最小元素
答案　BD
解析　对于选项A，因为M＝{x∈Q|x<0}，N＝{x∈Q|x>0}，M∪N＝{x∈Q|x≠0}≠Q，故A错误；
对于选项B，设M＝{x∈Q|x<0}，N＝{x∈Q|x≥0}，满足戴德金分割，则M没有最大元素，N有一个最小元素0，故B正确；
对于选项C，若M有一个最大元素m，N有一个最小元素n，若m≠n，一定存在k∈(m，n)使M∪N＝Q不成立；若m＝n，则M∩N＝ 不成立，故C错误；
对于选项D，设M＝{x∈Q|x<}，N＝{x∈Q|x≥}，满足戴德金分割，此时M没有最大元素，N也没有最小元素，故D正确．
16．我们将b－a称为集合{x|a≤x≤b}的“长度”．若集合M＝{x|m≤x≤m＋2 022}，N＝{x|n－2 023≤x≤n}，且M，N都是集合{x|0≤x≤2 024}的子集，则集合M∩N的“长度”的最小值为________．
答案　2 021
解析　由题意得，M的“长度”为2 022，N的“长度”为2 023，
要使M∩N的“长度”最小，则M，N分别在{x|0≤x≤2 024}的两端．
当m＝0，n＝2 024时，得M＝{x|0≤x≤2 022}，N＝{x|1≤x≤2 024}，
则M∩N＝{x|1≤x≤2 022}，此时集合M∩N的“长度”为2 022－1＝2 021；
当m＝2，n＝2 023时，M＝{x|2≤x≤2 024}，N＝{x|0≤x≤2 023}，
则M∩N＝{x|2≤x≤2 023}，此时集合M∩N的“长度”为2 023－2＝2 021.
故M∩N的“长度”的最小值为2 021.§1.3　等式性质与不等式性质
考试要求　1.掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质，并能简单应用．
知识梳理
1．两个实数比较大小的方法
作差法 (a，b∈R)
2．等式的性质
性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a；
性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
性质3　可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；
性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝.
3．不等式的性质
性质1　对称性：a>b b性质2　传递性：a>b，b>c a>c；
性质3　可加性：a>b a＋c>b＋c；
性质4　可乘性：a>b，c>0 ac>bc；a>b，c<0 ac性质5　同向可加性：a>b，c>d a＋c>b＋d；
性质6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0 ac>bd；
性质7　同正可乘方性：a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2)．
常用结论
1．若ab>0，且a>b <.
2．若a>b>0，m>0 <；
若b>a>0，m>0 >.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a(2)若>1，则b>a.(　×　)
(3)若x>y，则x2>y2.(　×　)
(4)若>，则b教材改编题
1．如果ac>bc，那么下列不等式中，一定成立的是(　　)
A．ac2>bc2 B．a>b
C．a＋c>b＋c D.>
答案　D
解析　若c<0，则a因为ac>bc，则c2>0，因为ac>bc，则>，即>，故D正确．
2．已知M＝x2－3x，N＝－3x2＋x－3，则M，N的大小关系是________．
答案　M>N
解析　∵M－N＝(x2－3x)－(－3x2＋x－3)
＝4x2－4x＋3＝(2x－1)2＋2>0，
∴M>N.
3．若1答案　
解析　由2得<<，
又1∴1×即<<1.
题型一　数(式)的大小比较
例1　(1)已知p∈R，M＝(2p＋1)(p－3)，N＝(p－6)(p＋3)＋10，则M，N的大小关系为(　　)
A．MN
C．M≤N D．M≥N
答案　B
解析　因为M－N＝(2p＋1)(p－3)－[(p－6)(p＋3)＋10]＝p2－2p＋5＝(p－1)2＋4>0，所以M>N.
(2)若a>b>1 ，P＝aeb，Q＝bea，则P，Q的大小关系是(　　)
A．P>Q B．P＝Q
C．P答案　C
解析　P，Q作商可得＝＝，
令f(x)＝，则f′(x)＝ ，
当x>1时，f′(x)>0 ，所以f(x)＝在(1，＋∞)上单调递增，
因为a>b>1，所以<，
又>0，>0，所以＝<1，所以P思维升华　比较大小的常用方法
(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．
(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论．
(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．
跟踪训练1　(1)已知a，b为不相等的实数，记M＝a2－ab，N＝ab－b2，则M与N的大小关系为(　　)
A．M>N B．M＝N
C．M答案　A
解析　因为M－N＝(a2－ab)－(ab－b2)＝(a－b)2，
又a≠b，所以(a－b)2>0，即M>N.
(2)已知M＝，N＝，则M，N的大小关系为________．
答案　M>N
解析　方法一　M－N＝－
＝
＝
＝>0.
∴M>N.
方法二　令f(x)＝
＝＝＋，
显然f(x)是R上的减函数，
∴f(2 021)>f(2 022)，即M>N.
题型二　不等式的性质
例2　(1)已知a>b>c>0，下列结论正确的是(　　)
A．2ab(a－c)
C.> D．(a－c)3>(b－c)3
答案　D
解析　∵a>b>c>0，∴2a>b＋c，故A错误；
取a＝3>b＝2>c＝1>0，则a(b－c)＝3由a>b>c>0可知，a－c>b－c>0，
∴<，(a－c)3>(b－c)3，故C错误，D正确．
(2)(多选)若a>0>b>－a，cA．ad>bc B.＋<0
C．a－c>b－d D．a(d－c)>b(d－c)
答案　BCD
解析　因为a>0>b，c0，所以ad因为0>b>－a，所以a>－b>0，因为c所以－c>－d>0，所以a(－c)>(－b)(－d)，所以ac＋bd<0，cd>0，所以＝＋<0，故B正确；
因为c－d，因为a>b，所以a＋(－c)>b＋(－d)，即a－c>b－d，故C正确；
因为a>0>b，d－c>0，所以a(d－c)>b(d－c)，故D正确．
思维升华　判断不等式的常用方法
(1)利用不等式的性质逐个验证．
(2)利用特殊值法排除错误选项．
(3)作差法．
(4)构造函数，利用函数的单调性．
跟踪训练2　(1)十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题正确的是(　　)
A．若a>b，则ac2>bc2
B．若>，则aC．若aD．若a>b，则a2>b2
答案　C
解析　对于A选项，当c＝0时不满足，故错误；
对于B选项，由不等式性质知，>两边同时乘以c2>0，可得a>b，故错误；
对于C选项，若a0，(b－a)c<0，a(a＋c)>0，故－＝＝<0，即<，故正确；
对于D选项，取a＝－1，b＝－2，可得a2(2)(多选)若<<0，则下列不等式正确的是(　　)
A.< B．|a|＋b>0
C．a－>b－ D．ln a2>ln b2
答案　AC
解析　由<<0，可知bA中，因为a＋b<0，ab>0，所以<0，>0.
则<，故A正确；
B中，因为b－a>0.
故－b>|a|，即|a|＋b<0，故B错误；
C中，因为b则－>－>0，所以a－>b－，故C正确；
D中，因为ba2>0，而y＝ln x在定义域(0，＋∞)上单调递增，所以ln b2>ln a2，故D错误．
题型三　不等式性质的综合应用
例3　(1)已知－1答案　(－4,2)　(1,18)
解析　∵－1∴－4由－1得－3<3x<12,4<2y<6，
∴1<3x＋2y<18.
延伸探究　若将本例(1)中条件改为－1解　设3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，
则∴
即3x＋2y＝(x＋y)＋(x－y)，
又∵－1∴－<(x＋y)<10,1<(x－y)<，
∴－<(x＋y)＋(x－y)<，
即－<3x＋2y<，
∴3x＋2y的取值范围为.
(2)已知3答案　
解析　∵4又3∴×3<<×8，即<<2.
思维升华　求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围．
跟踪训练3　(1)已知1≤a≤2，－1≤b≤4，则a－2b的取值范围是(　　)
A．[－7,4] B．[－6,9] C．[6,9] D．[－2,8]
答案　A
解析　因为－1≤b≤4，
所以－8≤－2b≤2，
由1≤a≤2，得－7≤a－2b≤4.
(2)已知实数a，b，c，满足a>b>c，且a＋b＋c＝0，那么的取值范围是________．
答案　－2<<－
解析　由于a>b>c，且a＋b＋c＝0，
所以a>0，c<0，b＝－a－c，－a－c－c，>－2，
－a－c>c，－a>2c，<－，
所以－2<<－.
课时精练
1．(2023·长春模拟)已知a>0，b>0，M＝，N＝＋，则M与N的大小关系为(　　)
A．M>N
B．MC．M≤N
D．M，N大小关系不确定
答案　B
解析　M2－N2＝(a＋b)－(a＋b＋2)
＝－2<0，
∴M2．已知a，b∈R，若a>b，<同时成立，则(　　)
A．ab>0 B．ab<0
C．a＋b>0 D．a＋b<0
答案　A
解析　因为<，
所以－＝<0，
又a>b，所以b－a<0，所以ab>0.
3．(多选)已知aA．b2C．2a>2b D．ln(1－a)>ln(1－b)
答案　AD
解析　对于A，因为a0，则b2－ab＝b(b－a)<0，即b2对于B，因为a0，则<，即<，故选项B错误；
对于C，因为a对于D，因为a1－b>1，又因为函数y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，所以ln(1－a)>ln(1－b)，故选项D正确．
4．若－π<α<β<π，则α－β的取值范围是(　　)
A．－2π<α－β<2π B．0<α－β<2π
C．－2π<α－β<0 D．{0}
答案　C
解析　∵－π<β<π，
∴－π<－β<π，
又－π<α<π，
∴－2π<α－β<2π，
又α<β，∴α－β<0，
∴－2π<α－β<0.
5．已知x，y∈R，且x>y>0，则(　　)
A．cos x－cos y>0
B．cos x＋cos y>0
C．ln x－ln y>0
D．ln x＋ln y>0
答案　C
解析　对于A，y＝cos x在(0，＋∞)上不是单调函数，故cos x－cos y>0不一定成立，A错误；
对于B，当x＝π，y＝时，cos x＋cos y＝－1<0，B不一定成立；
对于C，y＝ln x在(0，＋∞)上为增函数，若x>y>0，则ln x>ln y，必有ln x－ln y>0，C正确；
对于D，当x＝1，y＝时，ln x＋ln y＝ln <0，D不一定成立．
6．(多选)(2023·汕头模拟)已知a，b，c满足cA．ac(a－c)>0 B．c(b－a)<0
C．cb2ac
答案　BCD
解析　因为a，b，c满足c所以c<0，a>0，b>0，a－c>0，b－a>0，
所以ac(a－c)<0，c(b－a)<0，cb2ac.
7．(多选)设a，b，c，d为实数，且a>b>0>c>d，则下列不等式正确的有(　　)
A．c2C．ac0
答案　AD
解析　因为a>b>0>c>d，
所以a>b>0,0>c>d，
对于A，因为0>c>d，由不等式的性质可得c2对于B，取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，
则a－c＝3，b－d＝3，
所以a－c＝b－d，故选项B错误；
对于C，取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，
则ac＝－2，bd＝－2，
所以ac＝bd，故选项C错误；
对于D，因为a>b>0，d所以>，
故－>0，故选项D正确．
8．(多选)(2022·沈阳模拟)已知非零实数a，b满足a>|b|＋1，则下列不等关系一定成立的是(　　)
A．a2>b2＋1 B．2a>2b＋1
C．a2>4b D.>b＋1
答案　ABC
解析　对于非零实数a，b满足a>|b|＋1，
则a2>(|b|＋1)2，
即a2>b2＋2|b|＋1>b2＋1，故A一定成立；
因为a>|b|＋1≥b＋1 2a>2b＋1，故B一定成立；
又(|b|－1)2≥0，即b2＋1≥2|b|，
所以a2>4|b|≥4b，故C一定成立；
令a＝5，b＝3，满足a>|b|＋1，
此时＝9．已知M＝x2＋y2＋z2，N＝2x＋2y＋2z－π，则M________N．(填“>”“<”或“＝”)
答案　>
解析　M－N＝x2＋y2＋z2－2x－2y－2z＋π
＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3≥π－3>0，
故M>N.
10．能够说明“设a，b，c是任意实数．若a2>b2>c2，则a＋b>c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________．
答案　－3，－1,0(答案不唯一)
解析　令a＝－3，b＝－1，c＝0，则a2>b2>c2，
此时a＋b＝－4<0，所以a＋b>c是假命题．
11．若1<α<3，－4<β<2，则2α＋|β|的取值范围是________．
答案　(2,10)
解析　∵－4<β<2，
∴0≤|β|<4，
又1<α<3，
∴2<2α<6，
∴2<2α＋|β|<10.
12．eπ·πe与ee·ππ的大小关系为________．
答案　eπ·πe解析　＝＝π－e，
又0<<1,0<π－e<1，
∴π－e<1，
即<1，即eπ·πe13．已知0A．mC．p答案　A
解析　因为01，
且ln a1，
因此，ln>0，即p>0，
又m<0，n<0，则＝＝·>1，于是得m14．实数a，b，c，d满足下列三个条件：
①d>c；②a＋b＝c＋d；③a＋d那么a，b，c，d的大小关系是________．
答案　b>d>c>a
解析　由题意知d>c①，由②＋③得2a＋b＋d<2c＋b＋d，化简得ad⑤成立，综合①④⑤式得到b>d>c>a.
15．(多选)(2023·长沙模拟)设实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则下列不等式成立的是(　　)
A．cC．b≤a D．a答案　BD
解析　∵
两式相减得2b＝2a2＋2，
即b＝a2＋1，∴b≥1.
又b－a＝a2＋1－a＝2＋>0，
∴b>a.
而c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，
∴c≥b，从而c≥b>a.
16．(2022·全国甲卷)已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，则(　　)
A．a＞0＞b B．a＞b＞0
C．b＞a＞0 D．b＞0＞a
答案　A
解析　∵9m＝10，∴m∈(1,2)，
令f(x)＝xm－(x＋1)，x∈(1，＋∞)，
∴f′(x)＝mxm－1－1，
∵x>1且1∴xm－1>1，∴f′(x)>0，
∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增，
又9m＝10，∴9m－10＝0，即f(9)＝0，
又a＝f(10)，b＝f(8)，
∴f(8)考试要求　1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系.2.理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定．
知识梳理
1．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件 p q且q p
p是q的必要不充分条件 p q且q p
p是q的充要条件 p q
p是q的既不充分也不必要条件 p q且q p
2．全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示．
(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示．
3．全称量词命题和存在量词命题
名称 全称量词命题 存在量词命题
结构 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立
简记 x∈M，p(x) x∈M，p(x)
否定 x∈M，綈p(x) x∈M，綈p(x)
常用结论
1．充分、必要条件与对应集合之间的关系
设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．
(1)若p是q的充分条件，则A B；
(2)若p是q的充分不必要条件，则A?B；
(3)若p是q的必要不充分条件，则B?A；
(4)若p是q的充要条件，则A＝B.
2．含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”．
3．命题p与p的否定的真假性相反．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)p是q的充分不必要条件等价于q是p的必要不充分条件．(　√　)
(2)“三角形的内角和为180°”是全称量词命题．(　√　)
(3)已知集合A，B，A∪B＝A∩B的充要条件是A＝B.(　√　)
(4)命题“ x∈R，sin2＋cos2＝”是真命题．(　×　)
教材改编题
1．命题“ x∈R，ex－1≥x”的否定是(　　)
A． x∈R，ex－1≥x B． x∈R，ex－1≤x
C． x∈R，ex－1答案　C
解析　由题意得命题“ x∈R，ex－1≥x”的否定是“ x∈R，ex－12．(多选)下列命题中为真命题的是(　　)
A． x∈R，x2>0 B． x∈R，－1≤sin x≤1
C． x∈R，2x<0 D． x∈R，tan x＝2
答案　BD
解析　当x＝0时，x2＝0，所以A选项错误；
当x∈R时，－1≤sin x≤1，所以B选项正确；
因为2x>0，所以C选项错误；
因为函数y＝tan x∈R，所以D选项正确．
3．若“x>3”是“x>m”的必要不充分条件，则m的取值范围是________．
答案　(3，＋∞)
解析　因为“x>3”是“x>m”的必要不充分条件，
所以(m，＋∞)是(3，＋∞)的真子集，
由图可知m>3.
题型一　充分、必要条件的判定
例1　(1)(2023·淮北模拟) “a>b>0”是“>1”的(　　)
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　由a>b>0，得>1，反之不成立，
如a＝－2，b＝－1，满足>1，但是不满足a>b>0，
故“a>b>0”是“>1”的充分不必要条件．
(2)(2021·全国甲卷)等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.设甲：q>0，乙：{Sn}是递增数列，则(　　)
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
答案　B
解析　当a1<0，q>1时，an＝a1qn－1<0，此时数列{Sn}单调递减，所以甲不是乙的充分条件．当数列{Sn}单调递增时，有Sn＋1－Sn＝an＋1＝a1qn>0，若a1>0，则qn>0(n∈N*)，即q>0；若a1<0，则qn<0(n∈N*)，不存在．所以甲是乙的必要条件．
思维升华　充分条件、必要条件的两种判定方法
(1)定义法：根据p q，q p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．
(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题．
跟踪训练1　(1)(2022·长春模拟) “a·b＝|a||b|”是“a与b共线”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　因为a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝|a||b|，
所以cos〈a，b〉＝1，
因为〈a，b〉∈[0，π]，
所以〈a，b〉＝0，
所以a与b共线，
当a与b共线时，〈a，b〉＝0或〈a，b〉＝π，
所以a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝|a||b|或a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝－|a||b|，
所以“a·b＝|a||b|”是“a与b共线”的充分不必要条件．
(2)(多选)已知幂函数f(x)＝(4m－1)xm，则下列选项中，能使得f(a)>f(b)成立的一个充分不必要条件是(　　)
A．0<< B．a2>b2
C．ln a>ln b D．2a>2b
答案　AC
解析　由题设知4m－1＝1，可得m＝，故f(x)＝，
所以，要使f(a)>f(b)，则>，即a>b≥0.
0<< a>b>0，A符合题意；
ln a>ln b a>b>0，C符合题意；
B，D选项中a，b均有可能为负数，B，D不符合题意．
题型二　充分、必要条件的应用
例2　在①A∪B＝B；②“x∈A”是“x∈B”的充分条件；③“x∈ RA”是“x∈ RB”的必要条件这三个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，求解下列问题．
问题：已知集合A＝{x|a≤x≤a＋2}，B＝{x|(x＋1)(x－3)<0}．
(1)当a＝2时，求A∩B；
(2)若________，求实数a的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解　(1)由(x＋1)(x－3)<0，
解得－1所以B＝{x|(x＋1)(x－3)<0}＝{x|－1当a＝2时，A＝{x|2≤x≤4}，
所以A∩B＝{x|2≤x<3}．
(2)若选①A∪B＝B，则A B，所以解得－1若选②“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A B，所以解得－1即a∈(－1,1)；
若选③“x∈ RA”是“x∈ RB”的必要条件，则A B，所以解得－1思维升华　求参数问题的解题策略
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
(2)要注意区间端点值的检验．
跟踪训练2　(2023·宜昌模拟)已知集合A＝{x|－2(1)若m＝2，求集合A∩B；
(2)已知p：x∈A，q：x∈B，是否存在实数m，使p是q的必要不充分条件，若存在实数m，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
解　(1)由m＝2及x2－2mx＋m2－1<0，
得x2－4x＋3<0，解得1所以B＝{x|1又A＝{x|－2所以A∩B＝{x|1(2)由x2－2mx＋m2－1<0，
得[x－(m－1)][x－(m＋1)]<0，
所以m－1所以B＝{x|m－1由p是q的必要不充分条件，
得集合B是集合A的真子集，
所以 －1≤m≤2(两端等号不会同时取得)，
所以m的取值范围为[－1,2]．
题型三　全称量词与存在量词
命题点1　含量词命题的否定
例3　(2022·漳州模拟)命题“ a∈R，x2－ax＋1＝0有实数解”的否定是(　　)
A． a∈R，x2－ax＋1＝0无实数解
B． a∈R，x2－ax＋1＝0无实数解
C． a∈R，x2－ax＋1≠0有实数解
D． a∈R，x2－ax＋1≠0有实数解
答案　B
解析　因为全称量词命题的否定是存在量词命题，
所以“ a∈R，x2－ax＋1＝0有实数解”的否定是“ a∈R，x2－ax＋1＝0无实数解”．
命题点2　含量词命题真假的判断
例4　(多选)(2023·沈阳模拟)下列命题中为真命题的是(　　)
A． x∈R，≤1
B．对于 x∈R，n∈N*且n>1，都有＝x
C． x∈R，ln(x－1)2≥0
D． x∈R，ln x≥x－1
答案　AD
解析　当x≥0时，0<≤1，故A项是真命题；
当n为偶数，且x<0时，＝－x ，故B项是假命题；
当x＝1时，ln(x－1)2无意义，故C项是假命题；
当x＝1时，ln x≥x－1，故D项是真命题．
命题点3　含量词命题的应用
例5　若“ x∈，sin xA. B．－ C. D．－
答案　D
解析　因为“ x∈，sin x所以“ x∈，m≤sin x”是真命题，
即m≤sin x对于 x∈恒成立，所以m≤(sin x)min，
因为y＝sin x在上单调递增，
所以x＝－时，y＝sin x最小，其最小值为y＝sin＝－sin ＝－，
所以m≤－，所以实数m的最大值为－.
思维升华　含量词命题的解题策略
(1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可．当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假．
(2)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围．
跟踪训练3　(1)已知命题p： n∈N，n2≥2n＋5，则綈p为(　　)
A． n∈N，n2≥2n＋5
B． n∈N，n2≤2n＋5
C． n∈N，n2<2n＋5
D． n∈N，n2＝2n＋5
答案　C
解析　由存在量词命题的否定可知，綈p为 n∈N，n2<2n＋5.所以C正确，A，B，D错误．
(2)(多选)下列命题是真命题的是(　　)
A． x∈R，－x2－1<0
B． n∈Z， m∈Z，nm＝m
C．所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径
D．存在实数x，使得＝
答案　ABC
解析　 x∈R，－x2≤0，所以－x2－1<0，故A项是真命题；
当m＝0时，nm＝m恒成立，故B项是真命题；
任何一个圆的圆心到切线的距离都等于半径，故C项是真命题；
因为x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2，
所以≤<，故D项是假命题．
(3)若命题“ x∈R，x2＋(a－1)x＋1<0”的否定是假命题，则实数a的取值范围是________．
答案　(－∞，－1)∪(3，＋∞)
解析　命题“ x∈R，x2＋(a－1)x＋1<0”的否定是假命题，
则命题“ x∈R，x2＋(a－1)x＋1<0”是真命题，
即Δ＝(a－1)2－4>0，
解得a>3或a<－1，
故实数a的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．
课时精练
1．(2023·上饶模拟)“x2>2 021”是“x2>2 022”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　若x2>2 022，因为2 022>2 021，故x2>2 021，
故“x2>2 022”可以推出“x2>2 021”，
取x2＝2 021.5，则满足x2>2 021，但x2>2 022不成立，
所以“x2>2 021”不能推出“x2>2 022”，
所以“x2>2 021”是“x2>2 022”的必要不充分条件．
2．已知命题p： x∈Q，使得x N，则綈p为(　　)
A． x Q，都有x N B． x Q，使得x∈N
C． x∈Q，都有x∈N D． x∈Q，使得x∈N
答案　C
解析　因为存在量词命题的否定是全称量词命题，
所以由p： x∈Q，使得x N，
得綈p： x∈Q，都有x∈N.
3．已知命题：“ x∈R，方程x2＋4x＋a＝0有解”是真命题，则实数a的取值范围是(　　)
A．a<4 B．a≤4
C．a>4 D．a≥4
答案　B
解析　“ x∈R，方程x2＋4x＋a＝0有解”是真命题，
故Δ＝16－4a≥0，解得a≤4.
4．(2023·武汉模拟)已知a，b是两条不重合的直线，α为一个平面，且a⊥α，则“b⊥α”是“a∥b”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　C
解析　当b⊥α时，结合a⊥α，可得a∥b，充分性满足；
当a∥b时，结合a⊥α，可得b⊥α，必要性满足．
故“b⊥α”是“a∥b”的充要条件．
5．命题“ 1≤x≤2，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是(　　)
A．a≥4 B．a≥5
C．a≤4 D．a≤5
答案　B
解析　因为命题“ 1≤x≤2，x2－a≤0”是真命题，
所以 1≤x≤2，a≥x2恒成立，
所以a≥4，
结合选项，命题是真命题的一个充分不必要条件是a≥5.
6．(多选)下列命题是真命题的是(　　)
A．所有的素数都是奇数
B．有一个实数x，使x2＋2x＋3＝0
C．“α＝β”是“sin α＝sin β”成立的充分不必要条件
D．命题“ x∈R，x＋2≤0”的否定是“ x∈R，x＋2>0”
答案　CD
解析　2是一个素数，但2是偶数，所以A是假命题；
对于方程x2＋2x＋3＝0，其中Δ＝22－4×3＝－8<0，
所以不存在实数，使得x2＋2x＋3＝0成立，所以B是假命题；
由α＝β sin α＝sin β，但由sin α＝sin β不能得到α＝β，故“α＝β”是“sin α＝sin β”成立的充分不必要条件，所以C是真命题；
根据全称量词命题与存在量词命题的关系，可得命题“ x∈R，x＋2≤0”的否定是“ x∈R，x＋2>0”，所以D是真命题．
7．(多选)若“ x∈(0,2)，使得2x2－λx＋1<0成立”是假命题，则实数λ可能的值是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．3
答案　AB
解析　由题意可知，命题“ x∈(0,2)，2x2－λx＋1≥0成立”是真命题，
所以λx≤2x2＋1，可得λ≤2x＋，
当x∈(0,2)时，由基本不等式可得
2x＋≥2＝2，
当且仅当x＝时，等号成立，
所以λ≤2.
8.南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V1，V2，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为S1，S2，则“S1，S2不总相等”是“V1，V2不相等”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　命题：如果“S1，S2不总相等”，那么“V1，V2不相等”的等价命题是：如果“V1，V2相等”，那么“S1，S2总相等”．
根据祖暅原理，当两个截面的面积S1，S2总相等时，这两个几何体的体积V1，V2相等，所以逆命题为真，故是必要条件；
当两个三棱台，一正一反的放在两个平面之间时，此时体积相等，但截得截面面积未必相等，故是不充分条件，所以“S1，S2不总相等”是“V1，V2不相等”的必要不充分条件．
9．命题“ x∈，sin x答案　 x∈，sin x≥cos x
解析　因为“sin x所以“ x∈，sin x10．使得“2x>4x”成立的一个充分条件是________．
答案　x<－1(答案不唯一)
解析　由于4x＝22x，故2x>22x等价于x>2x，
解得x<0，
使得“2x>4x”成立的一个充分条件只需为集合{x|x<0}的子集即可．
11．已知命题“ x∈{x|－2答案　(－∞，－4]∪[6，＋∞)
解析　若原命题为真命题，则 x∈{x|－2使得m＝2x成立，则－4故若原命题为假命题，
则实数m的取值范围为(－∞，－4]∪[6，＋∞)．
12．已知α：x<2m－1或x>－m，β：x<2或x≥4，若α是β的必要条件，则实数m的取值范围是________．
答案　
解析　设A＝{x|x<2m－1或x>－m}，B＝{x|x<2或x≥4}，
若α是β的必要条件，则B A，
当2m－1>－m，即m>时，此时A＝R，B A成立；
当2m－1≤－m，即m≤时，若B A，此时无解．
综上，m>.
13．(多选)若“ x∈M，|x|>x”为真命题，“ x∈M，x>3”为假命题，则集合M可以是(　　)
A．(－∞，－5) B．(－3，－1]
C．(3，＋∞) D．[0,3]
答案　AB
解析　∵ x∈M，x>3为假命题，
∴ x∈M，x≤3为真命题，
可得M (－∞，3]，
又 x∈M，|x|>x为真命题，
可得M (－∞，0)，
∴M (－∞，0)．
14．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下：甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”，经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是________．
答案　乙
解析　四人供词中，乙、丁意见一致，或同真或同假．若同真，即丙偷的，而四人有两人说的是真话，则甲、丙说的是假话，甲说“罪犯在乙、丙、丁三人之中”是假话，即乙、丙、丁没偷，相互矛盾；若同假，即不是丙偷的，则甲、丙说的是真话，甲说“罪犯在乙、丙、丁三人之中”，丙说“甲、乙两人中有一人是小偷”是真话， 可知罪犯是乙．
15．(2022·九江模拟)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝kan＋k，则“数列{an}为等差数列”是“k＝1”的(　　)
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　当k＝1时，an＋1＝an＋1，则{an}为等差数列，必要性成立；
若{an}为等差数列，由a1＝1，a2＝2k，a3＝2k2＋k，
有2k2＋k＋1＝4k，解得k＝1或.
当k＝时，an＋1＝an＋，此时an＝1，充分性不成立．
16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“a>b”是“A＋cos A>B＋cos B”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　C
解析　在△ABC中，若a>b，则根据大边对大角可得A>B.
设f(x)＝x＋cos x，x∈(0，π)，
则f′(x)＝1－sin x，x∈(0，π)时，sin x∈(0,1]，
∴f′(x)≥0，
∴f(x)在(0，π)上单调递增，
∴a>b A>B f(A)>f(B) A＋cos A>B＋cos B.必刷小题1　集合、常用逻辑用语、不等式
一、单项选择题
1．(2023·咸阳模拟)已知集合A＝{－1,0,1,2,3}，B＝{x|2x2－5x－3<0}，那么集合A∩B等于(　　)
A．{－1,0,1,2} B．{0,1,2,3}
C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2,3}
答案　C
解析　因为B＝{x|2x2－5x－3<0}＝{x|(2x＋1)(x－3)<0}＝，
故A∩B＝{0,1,2}．
2．设集合A＝{x∈Z|(x－1)(x－5)≤0}，则集合A的子集个数为(　　)
A．16 B．32 C．15 D．31
答案　B
解析　因为集合A＝{x∈Z|(x－1)(x－5)≤0}＝{1,2,3,4,5}，
所以集合A的子集个数为25＝32.
3．(2022·百师联盟联考)命题“ x>0，cos x>－x2＋1”的否定是(　　)
A． x>0，cos x≤－x2＋1
B． x≤0，cos x>－x2＋1
C． x>0，cos x≤－x2＋1
D． x≤0，cos x≤－x2＋1
答案　C
4．(2023·长沙模拟)已知p：>1；q：x>m，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是(　　)
A．[0，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(－∞，0] D．(－∞，1]
答案　C
解析　由>1，可得x(x－1)<0，解得0记A＝{x|0m}，
若p是q的充分条件，
则A是B的子集，所以m≤0，
所以实数m的取值范围是(－∞，0]．
5．关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋1>0的解集为，则ab的值为(　　)
A．3 B．2 C．1 D．6
答案　D
解析　因为关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋1>0的解集为，
则a<0，－1，是方程ax2＋bx＋1＝0的根．
由根与系数的关系，得－＝－1＋，＝－1×，
解得a＝－3，b＝－2，故ab＝6.
6．(2023·衡水质检)已知实数x，y，z满足x>y，z>0，则下列不等式恒成立的是(　　)
A.－>0 B.－<0
C．x2z－y2z>0 D．xz>yz
答案　D
解析　令x＝2，y＝1，z＝1，则－＝－，即－<0，所以A选项错误；
令x＝1，y＝－1，z＝1，则－＝2，即－>0，所以B选项错误；
令x＝－1，y＝－2，z＝1，则x2z－y2z＝－3<0，所以C选项错误；
因为xz－yz＝(x－y)z，由x>y，z>0得xz－yz>0，即xz>yz，所以D选项正确．
7．给定集合S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，对于x∈S，如果x＋1 S，x－1 S，那么x是S的一个“好元素”，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有(　　)
A．5个 B．6个 C．9个 D．12个
答案　B
解析　若由S的3个元素构成的集合中不含“好元素”，则这3个元素一定是连续的3个整数，
故不含“好元素”的集合有{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}，共6个．
8．当a>0且a≠1时，若 x∈R，a2x＋a－2x＋t(ax＋a－x)>0成立，则t的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞) B．(－∞，1)
C．(－1，＋∞) D．(－∞，－1)
答案　C
解析　令m＝ax＋a－x，则当a>0且a≠1时，m＝ax＋a－x≥2＝2，
当且仅当x＝0时，等号成立，
且m2＝(ax＋a－x)2＝a2x＋a－2x＋2，
则a2x＋a－2x＝m2－2，
原不等式可化为m2＋tm－2>0对任意m∈[2，＋∞)恒成立．
所以t>－m恒成立，
又y＝－m在[2，＋∞)上单调递减，
所以t>－2＝－1.
二、多项选择题
9．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－2x<0}，B＝{x|2x>1}，则(　　)
A．A∩( UB)＝ B．A∪B＝A
C．A B D．B A
答案　AC
解析　∵A＝{x|x2－2x<0}＝(0,2)，
B＝{x|2x>1}＝(0，＋∞)，
∴A∩( UB)＝ ，A∪B＝B，A B，
故AC正确，BD错误．
10．以下命题中是真命题的是(　　)
A． x∈R，使exB． θ∈R，函数f(x)＝sin(2x＋θ)都不是偶函数
C．“a，b∈R，a>b”是“a|a|>b|b|”的充要条件
D．“x∈A”是“x∈A∩B”的必要不充分条件
答案　CD
解析　设f(x)＝ex－x－1，所以f′(x)＝ex－1，
当x＝0时，函数f′(x)＝0，当x<0时，f′(x)<0，
当x>0时，f′(x)>0，
故在x＝0时函数f(x)取得最小值，f(0)＝0，
所以f(x)＝ex－x－1≥f(x)min＝f(0)＝0，
即 x∈R，ex≥x＋1，故A错误；
当x＝时f(x)＝sin＝cos 2x，
故函数f(x)为偶函数，故B错误；
当a>b>0时，等价于a2－b2＝(a＋b)(a－b)>0，
当0>a>b时，等价于－a2＋b2＝－(a＋b)(a－b)>0，
当a>0>b时，等价于a2＋b2>0，
反之同样成立，故C正确；
“x∈A∩B” “x∈A”，“x∈A” “x∈A∩B”，则“x∈A”是“x∈A∩B”的必要不充分条件，故D正确．
11．(2022·莆田质检)已知直线l：ax＋by＋1＝0(a>0，b>0)与圆C：x2＋y2＝1相切，则下列说法正确的是(　　)
A．ab≥ B．ab≤
C.＋≥4 D.2≤
答案　BCD
解析　因为直线l：ax＋by＋1＝0与圆C：x2＋y2＝1相切，
所以圆心C(0,0)到直线l的距离等于1，
即＝1，即a2＋b2＝1，且a>0，b>0，
因为a2＋b2≥2ab且a2＋b2＝1，
所以ab≤＝，即A错误，B正确；
因为a2＋b2＝1，
所以＋＝＋＝2＋＋
≥2＋2＝4，即C正确；
因为a2＋b2≥2ab且a2＋b2＝1，
所以2＝≤＝
(当且仅当a＝b时取等号)，即D正确．
12．已知3a＝2,5b＝3，则下列结论正确的是(　　)
A．aB．a＋C．a＋b<2ab
D．a＋ab答案　AD
解析　因为3a＝2,5b＝3，则a＝log32，b＝log53.
对于A，∵23<32，则2<，从而0＝log31因为33>52，则3>，则＝对于B，－＝(a－b)＋＝，
因为0b＋，B错误；
对于C，因为2ab＝2log32·log53＝2log52＝log54，
所以，a＋b－2ab＝log32＋log53－log54＝log32－log5>log3－log5＝0，
所以，a＋b>2ab，C错误；
对于D，构造函数f(x)＝，其中0当00，则函数f(x)在(0，e)上单调递增，因为0三、填空题
13．已知集合A＝{x|－2≤x≤2}，若集合B＝{x|x≤a}满足A B，则实数a的取值范围为________．
答案　[2，＋∞)
解析　∵A＝{x|－2≤x≤2}≠ ，A B，
∴A与B的关系如图，
∴a≥2.
14．设p：实数x满足(x－3a)(x－a)<0，q：实数x满足≤0.当a<0时，若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是________．
答案　[－2，－1)
解析　由≤0，得
解得－3≤x<－2，
即q：B＝{x|－3≤x<－2}，
因为a<0，由(x－3a)(x－a)<0，得3a即p：A＝{x|3a若p是q的必要条件，则q p，
所以B A，
所以即－2≤a<－1.
15．下列命题中，真命题的序号是________．
① x∈R，sin x＋cos x＝；
②若p：<0，则綈p：≥0；
③lg x>lg y是>的充要条件；
④△ABC中，边a>b是sin A>sin B的充要条件；
⑤“a＝2”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件．
答案　④
解析　对①，∵sin x＋cos x＝sin≤，>，故①为假命题；
对②，命题p：<0，解得01}，故②为假命题；
对③，当x＝1，y＝0时，满足>，但lg x>lg y不成立，故③为假命题；
对④，根据正弦定理＝可得，边a>b是sin A>sin B的充要条件，故为真命题；
对⑤，满足函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上为增函数的a的取值范围为a≤2，故“a＝2”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件，故⑤为假命题．
16．一般地，把b－a称为区间(a，b)的“长度”．已知关于x的不等式x2－kx＋2k<0有实数解，且解集区间长度不超过3个单位，则实数k的取值范围为________．
答案　[－1,0)∪(8,9]
解析　不等式x2－kx＋2k<0有实数解等价于x2－kx＋2k＝0有两个不相等的实数根，则Δ＝(－k)2－8k>0，解得k<0或k>8，
设x2－kx＋2k＝0的两根分别为x1，x2，不妨令x1由题意得x2－x1＝＝≤3，解得－1≤k≤9，结合k<0或k>8，所以实数k的取值范围为[－1,0)∪(8,9]．§1.5　一元二次方程、不等式
考试要求　1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式.2.结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式.3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法．
知识梳理
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)，不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解的对应关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数的图象
方程的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1不等式的解集 {x|xx2} {x|x≠－} R
2．分式不等式与整式不等式
(1)>0(<0) f(x)g(x)>0(<0)；
(2)≥0(≤0) f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
3．简单的绝对值不等式
|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)，|x|0)的解集为(－a，a)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若方程ax2＋bx＋c＝0无实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(　×　)
(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(x1，x2)，则a<0.(　√　)
(3)若ax2＋bx＋c>0恒成立，则a>0且Δ<0.(　×　)
(4)不等式≥0等价于(x－a)(x－b)≥0.(　×　)
教材改编题
1．不等式<0的解集为(　　)
A． B．(2,3)
C．(－∞，2)∪(3，＋∞) D．(－∞，＋∞)
答案　B
解析　<0等价于(x－3)(x－2)<0，解得22．已知2x2＋kx－m<0的解集为(t，－1)(t<－1)，则k＋m的值为(　　)
A．1 B．2 C．－1 D．－2
答案　B
解析　因为2x2＋kx－m<0的解集为(t，－1)(t<－1)，
所以x＝－1为方程2x2＋kx－m＝0的一个根，
所以k＋m＝2.
3．已知对任意x∈R，x2＋(a－2)x＋≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．
答案　[1,3]
解析　 x∈R，x2＋(a－2)x＋≥0，则Δ≤0 (a－2)2－1≤0 1≤a≤3.
题型一　一元二次不等式的解法
命题点1　不含参数的不等式
例1　(1)不等式|x|(1－2x)>0的解集是(　　)
A.
B.
C．(－∞，0)∪
D．(－∞，0)∪
答案　D
解析　原不等式等价于
即x<且x≠0，故选D.
(2)(多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，则下列选项中正确的是(　　)
A．a>0
B．不等式bx＋c>0的解集是{x|x<－6}
C．a＋b＋c>0
D．不等式cx2－bx＋a<0的解集为∪
答案　ABD
解析　∵关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，∴a>0，A选项正确；
且－2和3是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系得
则b＝－a，c＝－6a，则a＋b＋c＝－6a<0，C选项错误；
不等式bx＋c>0即为－ax－6a>0，解得x<－6，B选项正确；
不等式cx2－bx＋a<0即为－6ax2＋ax＋a<0，即6x2－x－1>0，解得x<－或x>，D选项正确．
命题点2　含参数的一元二次不等式
例2　已知函数f(x)＝ax2＋(2－4a)x－8.
(1)若不等式f(x)<0的解集为，求a的值；
(2)当a<0时，求关于x的不等式f(x)>0的解集．
解　(1)不等式f(x)<0，即ax2＋(2－4a)x－8<0，
可化为(ax＋2)(x－4)<0.
因为f(x)<0的解集是，
所以a>0且－＝－，
解得a＝3.
(2)不等式f(x)>0，即ax2＋(2－4a)x－8>0，
因为a<0，所以不等式可化为(x－4)<0，
当4<－，即－当4＝－，即a＝－时，原不等式的解集为 ；
当4>－，即a<－时，原不等式的解集为.
综上所述，
当－当a＝－时，原不等式的解集为 ；
当a<－时，原不等式的解集为.
思维升华　对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．
(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数．
(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．
跟踪训练1　解关于x的不等式．
(1)>1；
(2)m>0时，mx2－mx－1<2x－3.
解　(1)移项得－1>0，合并得>0，等价于(3x＋1)(－x－2)>0，
即(3x＋1)(x＋2)<0，解得－2所以不等式的解集为.
(2)移项得mx2－(m＋2)x＋2<0，
对应的方程(mx－2)(x－1)＝0的两根为和1，
当01，解得1当m＝2时，＝1，原不等式无解；
当m>2时，<1，解得综上所述，当0当m＝2时，原不等式的解集为空集；
当m>2时，原不等式的解集为.
题型二　一元二次不等式恒成立问题
命题点1　在R上恒成立问题
例3　(多选)对任意实数x，不等式2kx2＋kx－3<0恒成立，则实数k可以是(　　)
A．0 B．－24 C．－20 D．－2
答案　ACD
解析　当k＝0时，不等式即为－3<0，不等式恒成立；当k≠0时，若不等式恒成立，则 －24命题点2　在给定区间上恒成立问题
例4　已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f(x)<5－m恒成立，则实数m的取值范围为________．
答案　
解析　要使f(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，
即m2＋m－6<0在x∈[1,3]上恒成立．
方法一　令g(x)＝m2＋m－6，x∈[1,3]．
当m>0时，g(x)在[1,3]上单调递增，
所以g(x)max＝g(3)，即7m－6<0，
所以m<，所以0当m＝0时，－6<0恒成立；
当m<0时，g(x)在[1,3]上单调递减，
所以g(x)max＝g(1)，即m－6<0，
所以m<6，所以m<0.
综上所述，m的取值范围是.
方法二　因为x2－x＋1＝2＋>0，
又因为m(x2－x＋1)－6<0在x∈[1,3]上恒成立，
所以m<在x∈[1,3]上恒成立．
令y＝，
因为函数y＝＝在[1,3]上的最小值为，所以只需m<即可．
所以m的取值范围是.
命题点3　在给定参数范围内的恒成立问题
例5　(2023·宿迁模拟)若不等式x2＋px>4x＋p－3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是(　　)
A．[－1,3]
B．(－∞，－1]
C．[3，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
答案　D
解析　不等式x2＋px>4x＋p－3
可化为(x－1)p＋x2－4x＋3>0，
由已知可得[(x－1)p＋x2－4x＋3]min>0(0≤p≤4)，
令f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3(0≤p≤4)，
可得
解得x<－1或x>3.
思维升华　恒成立问题求参数的范围的解题策略
(1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数．
(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论．
跟踪训练2　(1)不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4≥0的解集为 ，则实数a的取值范围是(　　)
A．{a|a<－2或a≥2} B．{a|－2C．{a|－2答案　C
解析　因为不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4≥0的解集为 ，
所以不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0的解集为R.
当a－2＝0，即a＝2时，－4<0，符合题意；
当a－2≠0，即a≠2时，
需满足
解得－2综上，实数a的取值范围是{a|－2(2)设a∈R，若关于x的不等式x2－ax＋1≥0在1≤x≤2上有解，则(　　)
A．a≤2 B．a≥2
C．a≤ D．a≥
答案　C
解析　由x2－ax＋1≥0在1≤x≤2上有解，
得≥a在1≤x≤2上有解，
则a≤max，
由于＝x＋，
而y＝x＋在[1,2]上单调递增，
故当x＝2时，x＋取得最大值，
故a≤.
课时精练
1．(多选)与不等式x2－x＋2>0的解集相同的不等式有(　　)
A．x2＋x－2>0 B．－x2＋x－2>0
C．－x2＋x－2<0 D．2x2－3x＋2>0
答案　CD
解析　对于不等式x2－x＋2>0，Δ＝1－4×2＝－7<0，故不等式x2－x＋2>0的解集为R.
对于A项，不等式x2＋x－2>0可变形为(x－1)(x＋2)>0，解得x<－2或x>1；
对于B项，不等式－x2＋x－2>0即x2－x＋2<0，Δ＝1－4×2＝－7<0，故不等式－x2＋x－2>0的解集为 ；
对于C项，不等式－x2＋x－2<0等价于x2－x＋2>0，满足条件；
对于D项，对于不等式2x2－3x＋2>0，Δ＝9－4×22<0，故不等式2x2－3x＋2>0的解集为R.
2．已知命题p：“ x∈R，(a＋1)x2－2(a＋1)x＋3>0”为真命题，则实数a的取值范围是(　　)
A．－1C．a<－1 D．－1≤a<2
答案　D
解析　当a＝－1时，3>0成立；
当a≠－1时，需满足
解得－1综上所述，－1≤a<2.
3．已知不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1A. B.
C．{x|－21}
答案　A
解析　因为不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1所以ax2＋bx＋2＝0的两根为－1,2，且a<0，即－1＋2＝－，(－1)×2＝，解得a＝－1，b＝1，
则不等式可化为2x2＋x－1<0，解得－14．(2023·孝感模拟)已知y＝(x－m)(x－n)＋2 023(n>m)，且α，β(α<β)是方程y＝0的两个实数根，则α，β，m，n的大小关系是(　　)
A．αC．m<α<β答案　C
解析　∵α，β为方程y＝0的两个实数根，
∴α，β为函数y＝(x－m)(x－n)＋2 023的图象与x轴交点的横坐标，
令y1＝(x－m)(x－n)，
∴m，n为函数y1＝(x－m)(x－n)的图象与x轴交点的横坐标，
易知函数y＝(x－m)(x－n)＋2 023的图象可由y1＝(x－m)(x－n)的图象向上平移2 023个单位长度得到，
∴m<α<β5．(多选)已知a∈R，关于x的不等式>0的解集可能是(　　)
A．(1，a) B．(－∞，1)∪(a，＋∞)
C．(－∞，a)∪(1，＋∞) D．
答案　BCD
解析　当a<0时，不等式等价于(x－1)(x－a)<0，
解得a当a＝0时，不等式的解集是 ；
当00，
解得x>1或x当a＝1时，不等式等价于(x－1)2>0，解得x≠1；
当a>1时，不等式等价于(x－1)(x－a)>0，
解得x>a或x<1.
6．(多选)已知关于x的一元二次不等式x2＋5x＋m<0的解集中有且仅有2个整数，则实数m的值可以是(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
答案　AB
解析　画出函数f(x)＝x2＋5x＋m的图象，关于x的一元二次不等式x2＋5x＋m<0的解集为函数图象在x轴下方的部分对应的点的横坐标x的集合，
由函数f(x)＝x2＋5x＋m的图象的对称轴为x＝－，所以为使得不等式的解集中有且仅有2个整数，必须且只需使得解得4≤m<6.
7．不等式>x的解集是________．
答案　(－∞，－1)∪(1,5)
解析　不等式>x化为以下两个不等式组或
解即解得x<－1，
解即解得1所以原不等式的解集是(－∞，－1)∪(1,5)．
8．(2023·合肥模拟)若不等式x2＋ax＋4≥0对一切x∈[1,3]恒成立，则a的最小值为________．
答案　－4
解析　∵当x∈[1,3]时，x2＋ax＋4≥0恒成立，
∴a≥－恒成立，
又当x∈[1,3]时，x＋≥2＝4，当且仅当x＝2时取等号．
∴－≤－4，
∴a≥－4，故a的最小值为－4.
9．已知集合：①A＝；②A＝{x|x2－2x－3<0}；③A＝{x||x－1|<2}，集合B＝{x|x2－(2m＋1)x＋m2＋m<0}(m为常数)，从①②③这三个条件中任选一个作为集合A，求解下列问题：
(1)定义A－B＝{x|x∈A且x B}，当m＝0时，求A－B；
(2)设命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q成立的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
解　(1)选①：
>1，若x＋1>0，即x>－1时，>1，即4>x＋1，解得－1若x＋1<0，则<0，则>1无解，所以>1的解集为(－1,3)，
故A＝(－1,3)，由m＝0，可得x2－x<0，即x(x－1)<0，解得0故B＝(0,1)，则A－B＝(－1,0]∪[1,3)．
选②：
x2－2x－3<0，解得－1故A＝(－1,3)，
m＝0，x2－x<0，即x(x－1)<0，解得0则A－B＝(－1,0]∪[1,3)．
选③：
|x－1|<2，－2故A＝(－1,3)，
m＝0，x2－x<0，即x(x－1)<0，解得0故B＝(0,1)，
则A－B＝(－1,0]∪[1,3)．
(2)由(1)可知，条件①②③求出的集合A相同，即A＝(－1,3)．
由x2－(2m＋1)x＋m2＋m<0，即(x－m)[x－(m＋1)]<0，
解得B＝(m，m＋1)，
因为p是q成立的必要不充分条件，所以B?A，所以
或解得－1≤m≤2，故m的取值范围为[－1,2]．
10．已知函数f(x)＝ax2＋(1－a)x＋a－2.
(1)若不等式f(x)≥－2对于一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若a<0，解关于x的不等式f(x)解　(1) x∈R，f(x)≥－2恒成立等价于 x∈R，ax2＋(1－a)x＋a≥0，
当a＝0时，x≥0，对一切实数x不恒成立，则a≠0，
此时必有
即解得a≥，
所以实数a的取值范围是.
(2)依题意，因为a<0，则f(x)0，
当a＝－1时，－＝1，解得x≠1；
当－11，解得x<1或x>－；
当a<－1时，0<－<1，解得x<－或x>1，
所以，当a＝－1时，原不等式的解集为{x|x≠1}；当－1当a<－1时，原不等式的解集为.
11．(多选)已知函数f(x)＝x2－ax－1，当x∈[0,3]时，|f(x)|≤5恒成立，则实数a的值可以是(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．3
答案　CD
解析　∵|f(x)|≤5 －5≤x2－ax－1≤5，
①当x＝0时，a∈R；
②当x≠0时，|f(x)|≤5 －5≤x2－ax－1≤5
x－≤a≤x＋，
当x∈(0,3]时，min＝2＋＝4，max＝3－2＝1，
∴1≤a≤4，
综上，1≤a≤4.
12．关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(m，n)(m甲：m＝－3；乙：n＝－1；丙：m＋n＝－2；丁：ac<0.
如果只有一个假命题，则假命题是(　　)
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
答案　B
解析　假设只有甲是假命题，当n＝－1，m＋n＝－2时，m＝－1，所以mn＝1＝>0，所以ac<0是假命题，与已知矛盾，所以这种情况不符合题意；
假设只有乙是假命题，当m＝－3，m＋n＝－2时，n＝1，所以mn＝－3＝<0，所以ac<0，符合题意；
假设只有丙是假命题，m＝－3，n＝－1，所以mn＝3＝>0，所以ac<0是假命题，与已知矛盾，所以这种情况不符合题意；
假设只有丁是假命题，m＝－3，n＝－1时，m＋n≠－2，与已知矛盾，所以这种情况不符合题意．
13．下面给出了问题：“已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－20.”的一种解法：
因为不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－20可化为a(－x)2＋b(－x)＋c>0，所以－2<－x<1，即－10的解集为{x|－1参考上述解法，解答问题：
若关于x的不等式＋<0的解集为{x|－2A.∪
B．(－1,1)∪(1,3)
C．(－3，－1)∪(1,2)
D.∪
答案　A
解析　因为x＝0不是不等式＋<0的解，
所以不等式＋<0等价于＋<0，
所以－2<－<－1或1<－<3，解得－114．已知0<θ<，若cos2θ＋2msin θ－2m－2<0恒成立，则实数m应满足的条件是________．
答案　m≥－
解析　∵cos2θ＋2msin θ－2m－2<0，
∴1－sin2θ＋2msin θ－2m－2＝－sin2θ＋2msin θ－2m－1<0.
设x＝sin θ(0由题意可知，0当对称轴x＝m≤0时f(x)在x∈(0,1)上单调递减，
则f(x)当对称轴0解得1－当对称轴x＝m≥1时，f(x)在x∈(0,1)上单调递增，
则f(x)综上所述，m≥－.

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