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(共70张PPT)
电磁感应中的电路及图像问题
专题强化二十三
目标
要求
1.掌握电磁感应中电路问题的求解方法.2.会计算电磁感应电路问题中电压、电流、电荷量、热量等物理量.
3.能够通过电磁感应图像，读取相关信息，应用物理规律求解问题.
内容索引
题型一　电磁感应中的电路问题
题型二　电磁感应中电荷量的计算
题型三　电磁感应中的图像问题
课时精练
题型一
电磁感应中的电路问题
1.电磁感应中的电源
(1)做切割磁感线运动的导体或磁通量发生变化的回路相当于电源.
电动势：E＝Blv或E＝　　，这部分电路的阻值为电源内阻.
(2)用右手定则或楞次定律与安培定则结合判断，感应电流流出的一端为电源正极.
2.分析电磁感应电路问题的基本思路
3.电磁感应中电路知识的关系图
例1　如图所示，单匝正方形线圈A边长为0.2 m，线圈平面与匀强磁场垂直，且一半处在磁场中，磁感应强度随时间变化的规律为B＝(0.8－0.2t) T.开始时开关S未闭合，R1＝4 Ω，R2＝6 Ω，C＝20 μF，线圈及导线电阻不计.闭合开关S，待电路中的电流稳定后.求：
考向1　感生电动势的电路问题
(1)回路中感应电动势的大小；
答案　4×10－3 V
(2)电容器所带的电荷量.
答案　4.8×10－8 C
例2　(多选)如图所示，光滑的金属框CDEF水平放置，宽为L，在E、F间连接一阻值为R的定值电阻，在C、D间连接一滑动变阻器R1(0≤R1≤2R).框内存在着竖直向下的匀强磁场.一长为L、电阻为R的导体棒AB在外力作用下以速度v匀速向右运动.金属框电阻不计，导体棒与金属框接触良好且始终垂直，下列说法正确的是
A.ABFE回路的电流方向为逆时针，ABCD回路的电流方向为顺时针
B.左右两个闭合区域的磁通量都在变化且变化率相同，故电路
　中的感应电动势大小为2BLv
考向2　动生电动势的电路问题
√
√
根据楞次定律可知，ABFE回路电流方向为逆时针，ABCD回路电流方向为顺时针，故A正确；
根据法拉第电磁感应定律可知，感应电动势E＝BLv，故B错误；
例3　(多选) (2023·福建省莆田第二中学检测)如图所示，一不计电阻的导体圆环，半径为r、圆心在O点，过圆心放置一长度为2r、电阻为R的辐条，辐条与圆环接触良好，现将此装置放置于磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的有界匀强磁场中，磁场边界恰与圆环直径在同一直线上，现使辐条以角速度ω绕O点沿逆时针方向转动，右侧电路通过电刷与辐条中心和环的边缘相接触，R1＝ ，S处于闭合状态，不计其他电阻，则下列判断正确的是
A.通过R1的电流方向为自下而上
B.感应电动势大小为2Br2ω
C.理想电压表的示数为
D.理想电流表的示数为
√
√
由右手定则可知辐条中心为电源的正极、圆环边缘为电源的负极，因此通过R1的电流方向为自下而上，选项A正确；
由题意可知，始终有长度为r的辐条在转动切割磁场，因此感应电动势大小为E＝ Br2ω，选项B错误；
题型二
电磁感应中电荷量的计算
例4　在竖直向上的匀强磁场中，水平放置一个不变形的单匝金属圆线圈，线圈所围的面积为0.1 m2，线圈电阻为1 Ω.规定线圈中感应电流I的正方向从上往下看是顺时针方向，如图甲所示.磁场的磁感应强度B随时间t的变化规律如图乙所示.以下说法正确的是
A.在0～2 s时间内，I的最大值为0.02 A
B.在3～5 s时间内，I的大小越来越小
C.前2 s内，通过线圈某横截面的总电荷
　量为0.01 C
D.第3 s内，线圈的发热功率最大
√
3～5 s时间内电流大小不变，B错误；
第3 s内，B没有变化，线圈中没有感应电流产生，则线圈的发热功率最小，D错误.
√
在过程Ⅰ中，根据法拉第电磁感应定律，有
题型三
电磁感应中的图像问题
1.解题关键
弄清初始条件、正负方向的对应变化范围、所研究物理量的函数表达式、进出磁场的转折点等是解决此类问题的关键.
2.解题步骤
(1)明确图像的种类，即是B－t图还是Φ－t图，或者E－t图、I－t图等；对切割磁感线产生感应电动势和感应电流的情况，还常涉及E－x图像和i－x图像；
(2)分析电磁感应的具体过程；
(3)用右手定则或楞次定律确定方向的对应关系；
(4)结合法拉第电磁感应定律、闭合电路的欧姆定律、牛顿运动定律等知识写出相应的函数关系式；
(5)根据函数关系式，进行数学分析，如分析斜率的变化、截距等；
(6)画图像或判断图像.
3.常用方法
(1)排除法：定性地分析电磁感应过程中物理量的正负，增大还是减小，以及变化快慢，来排除错误选项.
(2)函数法：写出两个物理量之间的函数关系，然后由函数关系对图像进行分析和判断.
考向1　感生问题的图像
例6　(多选)(2023·江西省宜春实验中学质检)如图甲所示，正方形线圈abcd内有垂直于线圈的匀强磁场，已知线圈匝数n＝10，边长ab＝1 m，线圈总电阻r＝1 Ω，线圈内磁感应强度随时间的变化情况如图乙所示.设图示的磁场方向与感应电流方向为正方向，
则下列有关线圈的电动势e、感应电流i、焦耳热Q以及ab边的安培力F(取向下为正方向)随时间t的变化图像正确的是
√
√
ab边受到的安培力大小为F＝nBiL，可知0～1 s内0≤F≤4 N，方向向下，1～3 s内0≤F≤2 N，方向向上，3～5 s内0≤F≤2 N，方向向下，C正确；
线圈产生的焦耳热为Q＝eit,0～1 s内产生的热量为4 J,1～5 s内产生的热量为4 J，D正确.
考向2　动生问题的图像
例7　(2023·福建厦门市模拟)如图所示，两条相距L的平行虚线间存在一匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里.现将一个上底为L、下底为3L、高为
2L的等腰梯形闭合线圈，从图示位置以垂直于磁场边界的速度向右匀速穿过磁场，取逆时针方向为感应电流正方向，则该过程线圈中感应电流i随位移s变化的图像可能是
√
由右手定则知，刚进入磁场时，线圈中感应电流为逆时针方向，故感应电流为正，设两腰与水平方向夹角为θ，则有效切割长度为l＝L＋2stan θ，
上底出磁场后，有效切割长度为l′＝2Ltan θ，即感应电流保持不变；
从下底进入磁场后，由右手定则可知感应电流方向为顺时针方向，即感应电流为负，同理可知有效长度增大，即感应电流增大，故选A.
例8　(多选)(2020·山东卷·12)如图所示，平面直角坐标系的第一和第二象限分别存在磁感应强度大小相等、方向相反且垂直于坐标平面的匀强磁场，图中虚
线方格为等大正方形.一位于Oxy平面内的刚性导体框abcde在外力作用下以恒定速度沿y轴正方向运动(不发生转动).从图示位置开始计时，4 s末bc边刚好进入磁场.在此过程中，导体框内感应电流的大小为I,ab边所受安培力的大小为Fab，二者与时间t的关系图像可能正确的是
√
√
设虚线方格的边长为x，根据题意知abcde每经过1 s运动的距离为x.
在1～2 s内，切割磁感线的有效长度均匀增加，
故感应电动势及感应电流随时间均匀增加，
在2～4 s内，切割磁感线的有效长度均匀减小，感应电动势和感应电流均匀减小，
由题意可知，在0～4 s内，ab边进入磁场的长度l＝vt，
在1～2 s内，电流I随时间均匀增加，
切割磁感线的有效长度l′＝[2x＋v(t－1)]∝t，
据F＝IlB可知Fab与t为二次函数关系，
在2～4 s内，I随时间均匀减小，切割磁场的有效长度l″＝3x－v(t－2)＝5x－vt随时间均匀减小，
故Fab与t为二次函数关系，有极大值，
四
课时精练
1.如图所示是两个相互连接的金属圆环，小金属环的电阻是大金属环电阻的二分之一，匀强磁场垂直穿过大金属环所在区域，当磁感应强度随时间均匀变化时，在大环内产生的感应电动势为E，则a、b两点间的电势差为
基础落实练
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2.如图甲所示，在线圈l1中通入电流i1后，在l2上产生的感应电流随时间变化的规律如图乙所示，l1、l2中电流的正方向如图甲中的箭头所示.则通入线圈l1中的电流i1随时间t变化的图像是图中的
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因为l2中感应电流大小不变，根据法拉第电磁感定律可知，l1中磁场的变化是均匀的，即l1中电流的变化也是均匀的，A、C错误；
根据题图乙可知，0～ 时间内l2中的感应电流产生的磁场方向向左，所以线圈l1中感应电流产生的磁场方向向左并且减小，或方向向右并且增大，B错误，D正确.
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3.(多选)(2023·广东省华南师大附中模拟)如图所示，在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场中，有两根光滑的平行导轨，间距为L，导轨两端分别接有电阻R1和R2，导体棒以某一初速度从ab位置向右运动距离s到达cd位置时，速度为v，产生的电动势为E，此过程中通过电阻R1、R2的电荷量分别为q1、q2.导体棒有电阻，导轨电阻不计.下列关系式中正确的是
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导体棒做切割磁感线的运动，速度为v时产生的感应电动势E＝BLv，故A正确，B错误；
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4.(多选)如图甲所示，单匝正方形线框abcd的电阻R＝0.5 Ω，边长L＝20 cm，匀强磁场垂直于线框平面向里，磁感应强度的大小随时间变化规律如图乙所示，则下列说法中正确的是
A.线框中的感应电流沿逆时针方向，
　大小为2.4×10－2 A
B.0～2 s内通过ab边横截面的电荷量
　为4.8×10－2 C
C.3 s时ab边所受安培力的大小为1.44×10－2 N
D.0～4 s内线框中产生的焦耳热为1.152×10－3 J
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电荷量q＝IΔt，解得q＝4.8×10－2 C，
故选项B正确；
安培力F＝BIL，由题图乙得，3 s时B＝0.3 T，代入数值得：F＝1.44×10－3 N，故选项C错误；
由焦耳定律得Q＝I2Rt，代入数值得Q＝1.152×10－3 J，故D选项正确.
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5.(多选)(2023·福建省莆田二中模拟)平行虚线a、b之间和b、c之间存在大小相等、方向相反的匀强磁场，相邻两虚线间的距离为l，虚线a、b之间磁场方向垂直纸面向里，b、c之间磁场方向垂直纸面向外，如图所示.现使一粗细均匀、电阻为R的导线制成的闭合直角导线框ABC以恒定的速度v沿垂直于磁场区域边界的方向穿过磁场区域，导线框的电阻为R.已知
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∠B为直角，AB边长为2l，BC边与磁场边界平行.t＝0时刻，A点到达边界a，取逆时针方向为感应电流的正方向，则在导线框穿越磁场区域的过程中，
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感应电流i及安培力的功率P随时间t变化的图线可能是
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根据题意，线框的运动过程如图所示，
由图可知，线框由初位置到位置1过程
中，切割磁场的有效长度随时间线性增大，根据右手定则可知，线框中电流方向为逆时针；
由位置1到位置2过程中，在a、b间切割磁场的有效长度不变，而在b、c间切割磁场的有效长度随时间线性增加，在两磁场中产生的感应电流方向相反，则线框中电流随时间线性减小，电流方向仍为逆时针；
由位置2到位置3的过程中，线框左侧刚进入磁场瞬间，有效长度为BC边切割磁感线，根据右手定则可知，
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电流为顺时针方向，之后AC边在a、b间切割磁场的有效长度随时间线性减小，在b、c间切割磁场的有效长度不变，则电流线性增大；
当运动到位置3，即BC边刚通过边界b时，电流方向变为逆时针，有效长度为BC边的一半，运动到位置4的过程中，有效长度线性增大，运动到位置4时，BC边即要离开磁场边界c时，有效长度为BC边长度，故B错误，A正确；
线框匀速运动，电流的功率等于安培力做功的功率，即P＝i2R，故C错误，D正确.
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6.(2023·重庆市巴蜀中学高三月考)如图所示，线圈匝数为n，横截面积为S，线圈电阻为R，处于一个均匀增强的磁场中，磁感应强度随时间的变化率为k，磁场方向水平向右且与线圈平面垂直，电容器的电容为C，两个电阻的阻值均为2R.下列说法正确的是
A.电容器上极板带负电
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能力综合练
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由楞次定律和右手螺旋定则知，电容器上极板带正电，A错误；
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回路有电流，则安培力不为零，故导体棒的安培力做功的功率不为零，故D错误.
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由右手定则判断出OA中电流方向由O→A，可知流过电阻R1的电流方向为P→R1→O，故A正确；
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9.(多选)(2019·全国卷Ⅱ·21)如图，两条光滑平行金属导轨固定，所在平面与水平面夹角为θ，导轨电阻忽略不计.虚线ab、cd均与导轨垂直，在ab与cd之间的区域存在垂直于导轨所在平面的匀强磁场.将两根相同的导体棒PQ、MN先后自导轨上同一位置由静止释放，两者始终与导轨垂直且接触良好.已知PQ进入磁场时加速度恰好为零.从PQ进入磁场开始计时，到MN离开磁场区域为止，流过PQ的电流随时间变化的图像可能正确的是
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根据题述，PQ进入磁场时加速度恰好为零，两导体棒从同一位置释放，则两导体棒进入磁场时的速度相同，产生的感应电动势大小
相等，PQ通过磁场区域后MN进入磁场区域，MN同样匀速直线运动通过磁场区域，故流过PQ的电流随时间变化的图像可能是A；
若释放两导体棒的时间间隔较短，在PQ没有出磁场区域时MN就进入磁场区域，则两棒在磁场区域中运动时回路中磁通量不变，感应电动势和感应电流为零，两棒不受安培力作用，二者在磁场中做加速运动，
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PQ出磁场后，MN切割磁感线产生感应电动势和感应电流，且感应电流一定大于刚开始仅PQ切割磁感线时的感应电流I1，则MN所受的安培力一定大于MN的重力沿导轨平面方向的分力，所以MN一定做减速运动，回路中感应电流减小，流过PQ的电流随时间变化的图像可能是D.
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10.如图甲所示，虚线MN左、右两侧的空间均存在与纸面垂直的匀强磁场，右侧匀强磁场的方向垂直纸面向外，磁感应强度大小恒为B0；左侧匀强磁场的磁感应强度B随时间t变化的规律如图乙所示，规定垂直纸面向外为磁场的正方向.一硬质细导线的电阻率为ρ、横截面积为S0，将该导线做成半径为r的圆环固定在纸面内，圆心O在MN上.求：
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由左手定则知，方向垂直于MN向左.
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11.如图所示，光滑的足够长的平行水平金属导轨MN、PQ相距l，在M、P和N、Q间各连接一个额定电压为U、阻值恒为R的灯泡L1、L2，在两导轨间cdfe矩形区域内有垂直导轨平面竖直向上、宽为d0的有界匀强磁场，磁感应强度为B0，且磁场区域可以移动，一电阻也为R、长度大小也刚好为l的导体棒ab垂直固定在磁场左边的导轨上，离灯泡L1足够远.现让匀强磁场在导轨间以某一恒定速度向左移动，当棒ab刚处于磁场时两灯泡恰好正常工作.棒ab与导轨始终保持良好接触，导轨电阻不计.
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(1)求磁场移动的速度大小；
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当ab刚处于磁场时，ab棒切割磁感线，产生感应电动势，相当于电源，灯泡刚好正常工作，则电路中路端电压U外＝U
由电路的分压之比得U内＝2U
则感应电动势为E＝U外＋U内＝3U
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(2)若保持磁场不移动(仍在cdfe矩形区域)，而使磁感应强度B随时间t均匀变化，两灯泡中有一灯泡正常工作且都有电流通过，设t＝0时，磁感应强度为B0.试求出经过时间t时磁感应强度的可能值Bt.
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若保持磁场不移动(仍在cdfe矩形区域)，而使磁感应强度B随时间t均匀变化，可得棒与L1并联后再与L2串联，则正常工作的灯泡为L2，所以L2两端的电压为U，电路中的总电动势为
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11专题强化二十三　电磁感应中的电路及图像问题
目标要求　1.掌握电磁感应中电路问题的求解方法.2.会计算电磁感应电路问题中电压、电流、电荷量、热量等物理量.3.能够通过电磁感应图像，读取相关信息，应用物理规律求解问题．
题型一　电磁感应中的电路问题
1．电磁感应中的电源
(1)做切割磁感线运动的导体或磁通量发生变化的回路相当于电源．
电动势：E＝Blv或E＝n，这部分电路的阻值为电源内阻．
(2)用右手定则或楞次定律与安培定则结合判断，感应电流流出的一端为电源正极．
2．分析电磁感应电路问题的基本思路
3．电磁感应中电路知识的关系图
考向1　感生电动势的电路问题
例1　如图所示，单匝正方形线圈A边长为0.2 m，线圈平面与匀强磁场垂直，且一半处在磁场中，磁感应强度随时间变化的规律为B＝(0.8－0.2t) T．开始时开关S未闭合，R1＝4 Ω，R2＝6 Ω，C＝20 μF，线圈及导线电阻不计．闭合开关S，待电路中的电流稳定后．求：
(1)回路中感应电动势的大小；
(2)电容器所带的电荷量．
答案　(1)4×10－3 V　(2)4.8×10－8 C
解析　(1)由法拉第电磁感应定律有E＝S，S＝L2，代入数据得E＝4×10－3 V
(2)由闭合电路的欧姆定律得I＝，由部分电路的欧姆定律得U＝IR2，电容器所带电荷量为Q＝CU＝4.8×10－8 C.
考向2　动生电动势的电路问题
例2　(多选)如图所示，光滑的金属框CDEF水平放置，宽为L，在E、F间连接一阻值为R的定值电阻，在C、D间连接一滑动变阻器R1(0≤R1≤2R)．框内存在着竖直向下的匀强磁场．一长为L、电阻为R的导体棒AB在外力作用下以速度v匀速向右运动．金属框电阻不计，导体棒与金属框接触良好且始终垂直，下列说法正确的是(　　)
A．ABFE回路的电流方向为逆时针，ABCD回路的电流方向为顺时针
B．左右两个闭合区域的磁通量都在变化且变化率相同，故电路中的感应电动势大小为2BLv
C．当滑动变阻器接入电路中的阻值R1＝R时，导体棒两端的电压为BLv
D．当滑动变阻器接入电路中的阻值R1＝时，滑动变阻器的电功率为
答案　AD
解析　根据楞次定律可知，ABFE回路电流方向为逆时针，ABCD回路电流方向为顺时针，故A正确；根据法拉第电磁感应定律可知，感应电动势E＝BLv，故B错误；当R1＝R时，外电路总电阻R外＝，因此导体棒两端的电压即路端电压应等于BLv，故C错误；该电路电动势E＝BLv，电源内阻为R，当滑动变阻器接入电路中的阻值R1＝时，干路电流为I＝，滑动变阻器所在支路电流为I，容易求得滑动变阻器电功率为，故D正确．
例3　(多选) (2023·福建省莆田第二中学检测)如图所示，一不计电阻的导体圆环，半径为r、圆心在O点，过圆心放置一长度为2r、电阻为R的辐条，辐条与圆环接触良好，
现将此装置放置于磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的有界匀强磁场中，磁场边界恰与圆环直径在同一直线上，现使辐条以角速度ω绕O点沿逆时针方向转动，右侧电路通过电刷与辐条中心和环的边缘相接触，R1＝，S处于闭合状态，不计其他电阻，则下列判断正确
的是(　　)
A．通过R1的电流方向为自下而上
B．感应电动势大小为2Br2ω
C．理想电压表的示数为Br2ω
D．理想电流表的示数为
答案　AC
解析　由右手定则可知辐条中心为电源的正极、圆环边缘为电源的负极，因此通过R1的电流方向为自下而上，选项A正确；由题意可知，始终有长度为r的辐条在转动切割磁场，因此感应电动势大小为E＝Br2ω，选项B错误；由题图可知，在磁场内部的半根辐条相当于电源，磁场外部的半根辐条与R1并联，则外电路电阻为，内阻为，则因此理想电压表的示数为×＝Br2ω，选项C正确；电路中的总电流为I＝＝＝，则理想电流表的示数为×＝，选项D错误．
题型二　电磁感应中电荷量的计算
计算电荷量的导出公式：q＝n
在电磁感应现象中，只要穿过闭合回路的磁通量发生变化，闭合回路中就会产生感应电流，设在时间Δt内通过导体横截面的电荷量为q，则根据电流定义式＝及法拉第电磁感应定律＝n，得q＝Δt＝Δt＝Δt＝，即q＝n.
例4　在竖直向上的匀强磁场中，水平放置一个不变形的单匝金属圆线圈，线圈所围的面积为0.1 m2，线圈电阻为1 Ω.规定线圈中感应电流I的正方向从上往下看是顺时针方向，如图甲所示．磁场的磁感应强度B随时间t的变化规律如图乙所示．以下说法正确的是(　　)
A．在0～2 s时间内，I的最大值为0.02 A
B．在3～5 s时间内，I的大小越来越小
C．前2 s内，通过线圈某横截面的总电荷量为0.01 C
D．第3 s内，线圈的发热功率最大
答案　C
解析　0～2 s时间内，t＝0时刻磁感应强度变化率最大，感应电流最大，I＝＝＝0.01 A，A错误；3～5 s时间内电流大小不变，B错误；前2 s内通过线圈的电荷量q＝＝＝0.01 C，C正确；第3 s内，B没有变化，线圈中没有感应电流产生，则线圈的发热功率最小，D错误．
例5　(2018·全国卷Ⅰ·17)如图，导体轨道OPQS固定，其中PQS是半圆弧，Q为半圆弧的中点，O为圆心．轨道的电阻忽略不计．OM是有一定电阻、可绕O转动的金属杆，M端位于PQS上，OM与轨道接触良好．空间存在与半圆所在平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B.现使OM从OQ位置以恒定的角速度逆时针转到OS位置并固定(过程Ⅰ)；再使磁感应强度的大小以一定的变化率从B增加到B′(过程Ⅱ)．在过程Ⅰ、Ⅱ中，流过OM的电荷量相等，则等于(　　)
A. B. C. D．2
答案　B
解析　在过程Ⅰ中，根据法拉第电磁感应定律，有
E1＝＝，根据闭合电路的欧姆定律，有I1＝，且q1＝I1Δt1
在过程Ⅱ中，有E2＝＝
I2＝，q2＝I2Δt2
又q1＝q2，即＝
所以＝，故选B.
题型三　电磁感应中的图像问题
1．解题关键
弄清初始条件、正负方向的对应变化范围、所研究物理量的函数表达式、进出磁场的转折点等是解决此类问题的关键．
2．解题步骤
(1)明确图像的种类，即是B－t图还是Φ－t图，或者E－t图、I－t图等；对切割磁感线产生感应电动势和感应电流的情况，还常涉及E－x图像和i－x图像；
(2)分析电磁感应的具体过程；
(3)用右手定则或楞次定律确定方向的对应关系；
(4)结合法拉第电磁感应定律、闭合电路的欧姆定律、牛顿运动定律等知识写出相应的函数关系式；
(5)根据函数关系式，进行数学分析，如分析斜率的变化、截距等；
(6)画图像或判断图像．
3．常用方法
(1)排除法：定性地分析电磁感应过程中物理量的正负，增大还是减小，以及变化快慢，来排除错误选项．
(2)函数法：写出两个物理量之间的函数关系，然后由函数关系对图像进行分析和判断．
考向1　感生问题的图像
例6　(多选)(2023·江西省宜春实验中学质检)如图甲所示，正方形线圈abcd内有垂直于线圈的匀强磁场，已知线圈匝数n＝10，边长ab＝1 m，线圈总电阻r＝1 Ω，线圈内磁感应强度随时间的变化情况如图乙所示．设图示的磁场方向与感应电流方向为正方向，则下列有关线圈的电动势e、感应电流i、焦耳热Q以及ab边的安培力F(取向下为正方向)随时间t的变化图像正确的是(　　)
答案　CD
解析　0～1 s内产生的感应电动势为e1＝＝2 V，方向为逆时针，同理1～5 s内产生的感应电动势为e2＝1 V，方向为顺时针，A错误；0～1 s内的感应电流大小为i1＝＝2 A，方向为逆时针(负值)，同理1～5 s内的感应电流大小为i2＝1 A，方向为顺时针(正值)，B错误；ab边受到的安培力大小为F＝nBiL，可知0～1 s内0≤F≤4 N，方向向下，1～3 s内0≤F≤2 N，方向向上，3～5 s内0≤F≤2 N，方向向下，C正确；线圈产生的焦耳热为Q＝eit,0～1 s内产生的热量为4 J,1～5 s内产生的热量为4 J，D正确．
考向2　动生问题的图像
例7　(2023·福建厦门市模拟)如图所示，两条相距L的平行虚线间存在一匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里．现将一个上底为L、下底为3L、高为2L的等腰梯形闭合线圈，从图示位置以垂直于磁场边界的速度向右匀速穿过磁场，取逆时针方向为感应电流正方向，则该过程线圈中感应电流i随位移s变化的图像可能是(　　)
答案　A
解析　由右手定则知，刚进入磁场时，线圈中感应电流为逆时针方向，故感应电流为正，设两腰与水平方向夹角为θ，则有效切割长度为l＝L＋2stan θ，则感应电流为I＝，即感应电流与位移成线性关系，且随位移增大而增大；上底出磁场后，有效切割长度为l′＝2Ltan θ，即感应电流保持不变；从下底进入磁场后，由右手定则可知感应电流方向为顺时针方向，即感应电流为负，同理可知有效长度增大，即感应电流增大，故选A.
例8　(多选)(2020·山东卷·12)如图所示，平面直角坐标系的第一和第二象限分别存在磁感应强度大小相等、方向相反且垂直于坐标平面的匀强磁场，图中虚线方格为等大正方形．一位于Oxy平面内的刚性导体框abcde在外力作用下以恒定速度沿y轴正方向运动(不发生转动)．从图示位置开始计时，4 s末bc边刚好进入磁场．在此过程中，导体框内感应电流的大小为I, ab边所受安培力的大小为Fab，二者与时间t的关系图像可能正确的是(　　)
答案　BC
解析　设虚线方格的边长为x，根据题意知abcde每经过1 s运动的距离为x.在0～1 s内，感应电动势E1＝2Bxv，感应电流I1＝恒定；在1～2 s内，切割磁感线的有效长度均匀增加，故感应电动势及感应电流随时间均匀增加，2 s时感应电动势E2＝3Bxv，感应电流I2＝；在2～4 s内，切割磁感线的有效长度均匀减小，感应电动势和感应电流均匀减小，4 s时感应电动势E3＝Bxv，感应电流I3＝，故A错误，B正确．由题意可知，在0～4 s内，ab边进入磁场的长度l＝vt，根据F＝BIl，在0～1 s内，I＝恒定，则Fab＝BI1·vt＝t∝t；在1～2 s内，电流I随时间均匀增加，切割磁感线的有效长度l′＝[2x＋v(t－1)]∝t，据F＝IlB可知Fab与t为二次函数关系，图线是抛物线的一部分，且t＝2 s时，Fab＝；在2～4 s内，I随时间均匀减小，切割磁场的有效长度l″＝3x－v(t－2)＝5x－vt随时间均匀减小，故Fab与t为二次函数关系，有极大值，当t＝4 s时，Fab＝，故C正确，D错误．
课时精练
1.如图所示是两个相互连接的金属圆环，小金属环的电阻是大金属环电阻的二分之一，匀强磁场垂直穿过大金属环所在区域，当磁感应强度随时间均匀变化时，在大环内产生的感应电动势为E，则a、b两点间的电势差为(　　)
A.E B.E C.E D．E
答案　B
解析　a、b间的电势差等于路端电压，而小环电阻占电路总电阻的，故a、b间电势差为U＝E，选项B正确．
2．如图甲所示，在线圈l1中通入电流i1后，在l2上产生的感应电流随时间变化的规律如图乙所示，l1、l2中电流的正方向如图甲中的箭头所示．则通入线圈l1中的电流i1随时间t变化的图像是图中的(　　)
答案　D
解析　因为l2中感应电流大小不变，根据法拉第电磁感定律可知，l1中磁场的变化是均匀的，即l1中电流的变化也是均匀的，A、C错误；根据题图乙可知，0～时间内l2中的感应电流产生的磁场方向向左，所以线圈l1中感应电流产生的磁场方向向左并且减小，或方向向右并且增大，B错误，D正确．
3．(多选)(2023·广东省华南师大附中模拟)如图所示，在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场中，有两根光滑的平行导轨，间距为L，导轨两端分别接有电阻R1和R2，导体棒以某一初速度从ab位置向右运动距离s到达cd位置时，速度为v，产生的电动势为E，此过程中通过电阻R1、R2的电荷量分别为q1、q2.导体棒有电阻，导轨电阻不计．下列关系式中正确的是(　　)
A．E＝BLv B．E＝2BLv
C．q1＝ D.＝
答案　AD
解析　导体棒做切割磁感线的运动，速度为v时产生的感应电动势E＝BLv，故A正确，B错误；设导体棒的电阻为r，根据法拉第电磁感应定律得＝＝，根据闭合电路欧姆定律得＝，通过导体棒的电荷量为q＝Δt，导体棒相当于电源，电阻R1和R2并联，则通过电阻R1和R2的电流之比＝，通过电阻R1、R2的电荷量之比＝＝，结合q＝q1＋q2，解得q1＝，故C错误，D正确．
4．(多选)如图甲所示，单匝正方形线框abcd的电阻R＝0.5 Ω，边长L＝20 cm，匀强磁场垂直于线框平面向里，磁感应强度的大小随时间变化规律如图乙所示，则下列说法中正确的是(　　)
A．线框中的感应电流沿逆时针方向，大小为2.4×10－2 A
B．0～2 s内通过ab边横截面的电荷量为4.8×10－2 C
C．3 s时ab边所受安培力的大小为1.44×10－2 N
D．0～4 s内线框中产生的焦耳热为1.152×10－3 J
答案　BD
解析　由楞次定律判断感应电流为顺时针方向，由法拉第电磁感应定律得电动势E＝S＝1.2×10－2 V，感应电流I＝＝2.4×10－2 A，故选项A错误；电荷量q＝IΔt，解得q＝4.8×
10－2 C，故选项B正确；安培力F＝BIL，由题图乙得，3 s时B＝0.3 T，代入数值得：F＝1.44×
10－3 N，故选项C错误；由焦耳定律得Q＝I2Rt，代入数值得Q＝1.152×10－3 J，故D选项正确．
5.(多选)(2023·福建省莆田二中模拟)平行虚线a、b之间和b、c之间存在大小相等、方向相反的匀强磁场，相邻两虚线间的距离为l，虚线a、b之间磁场方向垂直纸面向里，b、c之间磁场方向垂直纸面向外，如图所示．现使一粗细均匀、电阻为R的导线制成的闭合直角导线框ABC以恒定的速度v沿垂直于磁场区域边界的方向穿过磁场区域，导线框的电阻为R.已知∠B为直角，AB边长为2l，BC边与磁场边界平行．t＝0时刻，A点到达边界a，取逆时针方向为感应电流的正方向，则在导线框穿越磁场区域的过程中，感应电流i及安培力的功率P随时间t变化的图线可能是(　　)
答案　AD
解析　根据题意，线框的运动过程如图所示，
由图可知，线框由初位置到位置1过程中，切割磁场的有效长度随时间线性增大，根据右手定则可知，线框中电流方向为逆时针；由位置1到位置2过程中，在a、b间切割磁场的有效长度不变，而在b、c间切割磁场的有效长度随时间线性增加，在两磁场中产生的感应电流方向相反，则线框中电流随时间线性减小，电流方向仍为逆时针；由位置2到位置3的过程中，线框左侧刚进入磁场瞬间，有效长度为BC边切割磁感线，根据右手定则可知，电流为顺时针方向，之后AC边在a、b间切割磁场的有效长度随时间线性减小，在b、c间切割磁场的有效长度不变，则电流线性增大；当运动到位置3，即BC边刚通过边界b时，电流方向变为逆时针，有效长度为BC边的一半，运动到位置4的过程中，有效长度线性增大，运动到位置4时，BC边即要离开磁场边界c时，有效长度为BC边长度，故B错误，A正确；线框匀速运动，电流的功率等于安培力做功的功率，即P＝i2R，故C错误，D正确．
6.(2023·重庆市巴蜀中学高三月考)如图所示，线圈匝数为n，横截面积为S，线圈电阻为R，处于一个均匀增强的磁场中，磁感应强度随时间的变化率为k，磁场方向水平向右且与线圈平面垂直，电容器的电容为C，两个电阻的阻值均为2R.下列说法正确的是(　　)
A．电容器上极板带负电
B．通过线圈的电流大小为
C．电容器所带的电荷量为
D．电容器所带的电荷量为
答案　D
解析　由楞次定律和右手螺旋定则知，电容器上极板带正电，A错误；因E＝nkS，I＝＝，B错误；又U＝I×2R＝，Q＝CU＝，C错误，D正确．
7．(2023·山东省模拟)如图甲所示，一长为L的导体棒，绕水平圆轨道的圆心O匀速顺时针转动，角速度为ω，电阻为r，在圆轨道空间存在有界匀强磁场，磁感应强度大小为B.半径小于的区域内磁场竖直向上，半径大于的区域内磁场竖直向下，俯视图如图乙所示，导线一端Q与圆心O相连，另一端P与圆轨道连接给电阻R供电，其余电阻不计，则(　　)
A．电阻R两端的电压为
B．电阻R中的电流方向向上
C．电阻R中的电流大小为
D．导体棒的安培力做功的功率为0
答案　C
解析　半径小于的区域内，E1＝B·＝，半径大于的区域，E2＝B·＝，根据题意可知，两部分电动势相反，故总电动势E＝E2－E1＝，根据右手定则可知圆心为负极，圆环为正极，电阻R中的电流方向向下，电阻R上的电压U＝E＝，故A、B错误；电阻R中的电流大小为I＝＝，故C正确；回路有电流，则安培力不为零，故导体棒的安培力做功的功率不为零，故D错误．
8.(多选)如图，PAQ为一段固定于水平面上的光滑圆弧导轨，圆弧的圆心为O，半径为L.空间存在垂直导轨平面、磁感应强度大小为B的匀强磁场．电阻为R的金属杆OA与导轨接触良好，图中电阻R1＝R2＝R，其余电阻不计．现使OA杆在外力作用下以恒定角速度ω绕圆心O顺时针转动，在其转过的过程中，下列说法正确的是(　　)
A．流过电阻R1的电流方向为P→R1→O
B．A、O两点间电势差为
C．流过OA的电荷量为
D．外力做的功为
答案　AD
解析　由右手定则判断出OA中电流方向由O→A，可知流过电阻R1的电流方向为P→R1→O，故A正确；OA产生的感应电动势为E＝，将OA当成电源，外部电路R1与R2并联，则A、O两点间的电势差为U＝·＝，故B错误；流过OA的电流大小为I＝＝，转过弧度所用时间为t＝＝，流过OA的电荷量为q＝It＝，故C错误；转过弧度过程中，外力做的功为W＝EIt＝，故D正确．
9.(多选)(2019·全国卷Ⅱ·21)如图，两条光滑平行金属导轨固定，所在平面与水平面夹角为θ，导轨电阻忽略不计．虚线ab、cd均与导轨垂直，在ab与cd之间的区域存在垂直于导轨所在平面的匀强磁场．将两根相同的导体棒PQ、MN先后自导轨上同一位置由静止释放，两者始终与导轨垂直且接触良好．已知PQ进入磁场时加速度恰好为零．从PQ进入磁场开始计时，到MN离开磁场区域为止，流过PQ的电流随时间变化的图像可能正确的是(　　)
答案　AD
解析　根据题述，PQ进入磁场时加速度恰好为零，两导体棒从同一位置释放，则两导体棒进入磁场时的速度相同，产生的感应电动势大小相等，PQ通过磁场区域后MN进入磁场区域，MN同样匀速直线运动通过磁场区域，故流过PQ的电流随时间变化的图像可能是A；若释放两导体棒的时间间隔较短，在PQ没有出磁场区域时MN就进入磁场区域，则两棒在磁场区域中运动时回路中磁通量不变，感应电动势和感应电流为零，两棒不受安培力作用，二者在磁场中做加速运动，PQ出磁场后，MN切割磁感线产生感应电动势和感应电流，且感应电流一定大于刚开始仅PQ切割磁感线时的感应电流I1，则MN所受的安培力一定大于MN的重力沿导轨平面方向的分力，所以MN一定做减速运动，回路中感应电流减小，流过PQ的电流随时间变化的图像可能是D.
10．如图甲所示，虚线MN左、右两侧的空间均存在与纸面垂直的匀强磁场，右侧匀强磁场的方向垂直纸面向外，磁感应强度大小恒为B0；左侧匀强磁场的磁感应强度B随时间t变化的规律如图乙所示，规定垂直纸面向外为磁场的正方向．一硬质细导线的电阻率为ρ、横截面积为S0，将该导线做成半径为r的圆环固定在纸面内，圆心O在MN上．求：
(1)t＝时，圆环受到的安培力；
(2)在0～t0内，通过圆环的电荷量．
答案　(1)，垂直于MN向左　(2)
解析　(1)根据法拉第电磁感应定律，圆环中产生的感应电动势E＝S
上式中S＝
由题图乙可知＝
根据闭合电路的欧姆定律有I＝
根据电阻定律有R＝ρ
t＝t0时，圆环受到的安培力大小F＝B0I·(2r)＋I·(2r)
联立解得F＝
由左手定则知，方向垂直于MN向左．
(2)通过圆环的电荷量q＝·Δt
根据闭合电路的欧姆定律和法拉第电磁感应定律有＝，＝
在0～t0内，穿过圆环的磁通量的变化量为
ΔΦ＝B0·πr2＋·πr2
联立解得q＝.
11．如图所示，光滑的足够长的平行水平金属导轨MN、PQ相距l，在M、P和N、Q间各连接一个额定电压为U、阻值恒为R的灯泡L1、L2，在两导轨间cdfe矩形区域内有垂直导轨平面竖直向上、宽为d0的有界匀强磁场，磁感应强度为B0，且磁场区域可以移动，一电阻也为R、长度大小也刚好为l的导体棒ab垂直固定在磁场左边的导轨上，离灯泡L1足够远．现让匀强磁场在导轨间以某一恒定速度向左移动，当棒ab刚处于磁场时两灯泡恰好正常工作．棒ab与导轨始终保持良好接触，导轨电阻不计．
(1)求磁场移动的速度大小；
(2)若保持磁场不移动(仍在cdfe矩形区域)，而使磁感应强度B随时间t均匀变化，两灯泡中有一灯泡正常工作且都有电流通过，设t＝0时，磁感应强度为B0.试求出经过时间t时磁感应强度的可能值Bt.
答案　(1)　(2)B0±t
解析　(1)当ab刚处于磁场时，ab棒切割磁感线，产生感应电动势，相当于电源，灯泡刚好正常工作，则电路中路端电压U外＝U
由电路的分压之比得U内＝2U
则感应电动势为E＝U外＋U内＝3U
由E＝B0lv＝3U，可得v＝
(2)若保持磁场不移动(仍在cdfe矩形区域)，而使磁感应强度B随时间t均匀变化，可得棒与L1并联后再与L2串联，则正常工作的灯泡为L2，所以L2两端的电压为U，电路中的总电动势为
E＝U＋＝
根据法拉第电磁感应定律得E＝＝ld0
联立解得＝，所以经过时间t时磁感应强度的可能值Bt＝B0±t.

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